Hairley Figueira Mesquita

Jéssica Otaviano das Virgens

Luana Miranda

TRIGONOMETRIA E UM ANTIGO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

Universidade Federal do Espírito Santo - UFES

São Mateus – ES, 2011

Hairley Figueira Mesquita

Jéssica Otaviano das Virgens

Luana Miranda

TRIGONOMETRIA E UM ANTIGO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

Universidade Federal do Espírito Santo - UFES

São Mateus – ES - 2011

Trabalho realizado para a

disciplina de Fundamentos de

Matemática, uma das disciplinas

do Curso de Licenciatura em

Matemática, com a orientação

do professor Lúcio Souza

Fassarella.

ÍNDICE

Introdução --------------------------------------------------------------------------------------- 01

Trigonometria e um antigo problema de otimização -------------------------------- 02

Problema Proposto --------------------------------------------------------------------------- 02

Uma solução engenhosa ------------------------------------------------------------------- 03

Aplicação ---------------------------------------------------------------------------------------- 09

Conclusão --------------------------------------------------------------------------------------- 11

Referências ------------------------------------------------------------------------------------- 12

INTRODUÇÃO

Este trabalho tem por objetivo, apresentar uma resolução simples de uma

questão que pode ser considera muito complexa.

Regiomontanus, considerado um dos maiores matemáticos do século XV,

ganha um grande destaque nessa área de resoluções de problemas. Foi ele

que em 1764 escreveu um livro e em 1533 o mesmo foi publicado, contendo

diversos problemas.

Entre os interessantes problemas propostos por Regiomontanus, iremos

destacar um que trata de um antigo problema de otimização.

Considerando que este problema possui várias resoluções, iremos destacar

duas formas de resolvê-lo: usando a trigonometria, envolvendo cálculo, e a

outra, baseado em conceitos da geometria plana, o qual iremos dar ênfase.

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Trigonometria e um antigo problema de otimização

Regiomontanus

Nascido na cidade koningsberg, Prússia, Johann Muller (1436-1476), um dos

maiores matemáticos do século XV, mais conhecido como Regiomontanus,

realizou diversos estudos nas áreas de Astronomia, Geometria e

Trigonometria. Entre os interessantes problemas propostos por

Regiomontanus, se destaca um de 1471 como o primeiro problema de

extremos encontrados na História da Matemática desde a antiguidade.

Problema proposto “Suponha uma estátua de altura h sobre um pedestal de altura p. Um homem

de altura m (m < p) enxerga do pé ao topo da estátua sob um ângulo α, que

varia de acordo com a distância d entre o homem e a base do pedestal.

Determinar d para que o ângulo de visão seja o maior possível.”

Este problema possui maneiras diferentes de resolver. Uma delas é usando a

trigonometria e técnicas do cálculo.

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Aplicando a fórmula básica da tangente por trigonometria, conseguimos

expressar α em função da distância dada, da altura da estátua, do pedestal e

do observador:

Por precisar de conhecimentos na área de cálculo para expressar o máximo e

o mínimo da função, provaremos por métodos mais simples, utilizando

conceitos da geometria plana, assim como Regiomontanus provou.

Uma solução engenhosa para o problema

Primeiramente vamos marcar os pontos A B e C, tais que:

A: Topo da estátua.

B: Pé da estátua.

C: Olhos do observador.

H: Altura da estátua

P: Altura do pedestal

h: Altura da pessoa

d: Distância entre a pessoa e

a base do pedestal.

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Agora, traçamos a reta r que passa por C e é paralela ao chão, considerando

que o chão seja regular.

Traçamos então a única circunferência λ com centro na mediatriz do segmento

AB que passa pelos pontos A e B e tangência a reta r.

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Provaremos que o ângulo α assume o maior valor possível quando C coincide

com Ct. Para isso mostraremos que se β é a medida do ângulo ACtB, β ≥ α

para qualquer posição de C diferente de Ct.

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Mas podemos observar que:

Se D é o ponto de encontro da reta AC com a circunferência λ, temos que o

ângulo β é também a medida do ângulo ADB, pois, ângulos inscritos com o

mesmo arco implicam que estes ângulos são congruentes, isto é, BCtA≡BDA.

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Denotando por σ a medida do ângulo CBD, temos no ∆BCD:

α + σ +180 – β = 180°

β = α + σ

Concluímos então que β > α, logo o ângulo ACtB é o ângulo de máximo campo

visual.

Agora determinaremos a distância d entre o observador e a base do pedestal.

Sendo Q o ponto de intersecção da reta AB com r, sendo as retas r e AB,

respectivamente tangente e secante a circunferência, aplicando potência de

pontos no ponto Q encontraremos a distância d desejada.

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Analisando os triângulos AQCt e BQCt, temos:

Logo:

Podemos ver que os dois triângulos são semelhantes, pois:

Além de semelhantes podemos afirmar que eles também são congruentes,

pois:

Se θ = φ, então ε = κ.

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Aplicando o 1° caso de Semelhança de triângulos, temos:

Podemos escrever da seguinte forma:

d 2 = (P - h +H) (P - h)

Aplicação

Com base nos estudos e nos conhecimentos adquiridos, um bom exemplo a

ser citado é a altura do Cristo Redentor. Vamos considerar que sua altura total

é de 30m, seu pedestal mede 8m e admitiremos um observador com 1,70m de

altura. Temos:

A que distância esse observador deve ficar da base do pedestal do Cristo

Redentor para que o seu ângulo de visão seja o maior possível?

“A” é o topo.

“B” o pé da estátua.

“C” os olhos do observador.

P = 8m

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h = 1,70m

H = 30m

Usando a fórmula d 2 = (P - h + H) (P - h), obtemos:

d² = (8 - 1,70 + 30)(8 - 1,70)

d² = 228,69

d = 15,12

Encontramos uma distância de aproximadamente 15m. Seria preciso, porém,

que o terreno em volta ao Cristo fosse plano dentro desse raio.

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CONCLUSÃO

Com o trabalho apresentado, podemos concluir que o mesmo tem por

finalidade proporcionar ao indivíduo, uma nova maneira de enxergar as várias

possibilidades que a matemática o apresenta na resolução de problemas

complexos.

Conseguimos observar, com o problema proposto, que sempre tem uma

maneira mais simples de resolver as questões, inicialmente consideradas

complicadas.

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REFERÊNCIAS

• O trabalho foi baseado no artigo Trigonometria e um antigo problema de

otimização – José Luis Pastore Mello, RPM 52.

• Semelhança de Triângulos e Potência de Ponto – Livro: Fundamentos

de Matemática Elementar – Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo.

Volume 9 – Geometria Plana.

• Orientação com os professores: Lúcio Souza Fassarella e Wescley

Bonomo.

• Todos os desenhos foram feitos pelo grupo utilizando o programa

Geogebra.

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