TRIGONOMETRÍA 1.- Pasa de grados a radianes y viceversa:

a) 135º b) 12º25’32” c) 54π rad d) 0,71 rad

2.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo A del siguiente triángulo rectángulo.

3.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo B del siguiente triángulo rectángulo.

4.- Calcula las razones trigonométricas de los siguientes triángulos:

5.- Calcula las diagonales de un rombo sabiendo que sus ángulos son 60º y 120º y que sus lados miden 6cm.

3n

n

1+c

1-c

6.- Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del 2º cuadrante si el seno vale 45

.

7.- Sabiendo que la tangente de cierto ángulo es positiva y su coseno vale -0,7. Calcula las demás razones trigonométricas de ese ángulo. 8.- Calcula el seno y el coseno del ángulo agudo α sabiendo que tg α = 2

9.- Calcula el coseno y la tangente del ángulo α si sen α = 21

y 90º < α < 180º.

10.- Calcula el seno y la tangente del ángulo α del que se sabe que cos α = – 0,5 y 180º < α < 270º. 11.- Halla el seno y el coseno de un ángulo cuya tg = -7. El ángulo pertenece al 4º cuadrante. 12.- Se observa la cima de una montaña con un ángulo de elevación de 62º. Si nos alejamos 400 m el ángulo de elevación es ahora de 32º. Calcula la altura de la montaña. 13.- En un supermercado se produce un robo. La alarma está conectada a las dos comisarías de policía más cercanas, separadas entre sí 4 Km. Con los datos de la figura del margen, ¿a qué distancia se encuentra el supermercado de la comisaría A? ¿Y de la B? 14.- Un avión realiza el trayecto entre dos ciudades P y Q, que distan entre sí 2000 Km. A 70 Km. de la ciudad P, el piloto observa que se encuentra 5º fuera de ruta. ¿A qué distancia se encuentra en ese momento de la ciudad Q? 15.- Dos boyas están situadas a 64 m de distancia. Un barco se encuentra a 35 m de la más cercana. El ángulo formado por las visuales de las boyas es de 35º. ¿Qué distancia separa al barco de la boya más alejada?

16.- Un topógrafo situado en la llanura observa dos picos, A y B, de una montaña situados a 870 y 960 metros, respectivamente, del observador con un ángulo de 55º. Encuentra la distancia entre ambos picos. 17.- Dos puestos de vigilancia, A y B, situados en la costa y a una distancia de 10 Km., controlan las balsas de narcotraficantes. El puesto A observa un barco S con un ángulo BAS = 37º y el puesto B observa el mismo barco S con un ángulo ABS = 20º. ¿A qué distancia se encuentra el barco de los puestos de vigilancia A y B? 18.- Un solar tiene forma triangular. Se han podido determinar dos lados que miden 10 y 7 m, respectivamente, y el ángulo comprendido se ha medido con un teodolito y resultó ser igual a 30º. Para poder replantear una posible construcción se necesita conocer el resto de los elementos del triángulo. 19.- Desde un cierto punto se observa la copa de un árbol bajo un ángulo de 40º. Desde el mismo punto y a una altura de 2m se observa la copa del mismo árbol bajo un ángulo de 20º. Calcula la altura del árbol y a qué distancia nos encontramos del mismo. 20.- Desde un punto A se observa un pájaro volando con un ángulo de elevación de 24º. Desde otro punto B situado al otro lado del pájaro y a 300m del anterior se observa el mismo pájaro con 30º se elevación. Calcular la altura del pájaro y la distancia en línea recta desde el punto B al pájaro. 21.- Calcula el área y el perímetro de un eneágono regular inscrito en una circunferencia de 12 cm de radio. 22.- Calcula el área de la circunferencia inscrita y de la circunscrita a un dodecágono regular de 20 cm de lado. 23.- Un trapecio regular tiene una altura de 2 cm y sus bases son de 4 y 8 cm respectivamente. Calcular el perímetro, se área y el valor de sus ángulos.

24.- Si el seno de cierto ángulo vale 57

− y se sabe que el ángulo pertenece al tercer cuadrante, calcular las

razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad de este ángulo. 25.- En el ejercicio se proponen datos de diferentes triángulos. Calcula los datos que faltan:

a b c A B C 1 37 24 61 2 57 100 57º 3 90 100 57º 4 57 57º 62º 5 4,7 41º 59º 6 321 470 123º

26.- En el dibujo se conocen los datos: α = 20º; β = 30º; δ = 70º. El triángulo T1 es rectángulo, uno de sus catetos mide 10 cm. Se pide: Calcula los demás datos de T1 y T2.

27.- Calcula AB.

28.- Un foco halógeno proyecta la luz según el diagrama. ¿Cuál es la superficie que ilumina?

29.- Calcular sen75º - sen15º.

30.- Demostrar 2

sen3 sen 2sen3 sen 1 tg

x xx x x+

=− −

.

31.- Resolver el triángulo del que se conocen los siguientes datos: A = 45º, a = 8cm, b = 10cm. 32.- Resolver el triángulo del que se conocen los siguientes datos: a = 23m, B = 53º, C = 84º. 33.- Resolver el triángulo del que se conocen los siguientes datos: A = 45º, a = 12m, b = 9m. 34.- Resolver el triángulo del que se conocen los siguientes datos: C = 47º, a = 5m, b = 4m. 35.- Expresar cos(30º + x) en términos de senx y cosx. 36.- Expresar tg(45º + x) en términos de tgx. 37.- Demostrar las siguientes identidades: a) sen(a + b) · sen(a – b) = sen2a – sen2b b) sen(a + b) · sen(a – b) = cos2b – cos2a 38.- Expresar cos3 α en función de sen α y cos α.

39.- Calcula todos los ángulos x que verifiquen que sen x = 23 , expresando los resultados en grados

sexagesimales y en radianes.

40.- Calcula todos los ángulos x que verifiquen que cos x = 21 , expresando los resultados en grados

sexagesimales y en radianes. 41.- Escribe el valor de sen 3a en función de sen a y cos a. 42.- Sabiendo que α es un ángulo del primer cuadrante y que sen α = h, calcula en función de h el valor de cotg (180º + α). 43.- Calcular sen(a + b + c) en función de las razones trigonométricas de a, b y c.

44.- Demostrar la fórmula: cos x = sen (x + 2π ).

45.- Comprobar: cos( ) cos( )sen( ) sen( )

a b a ba b a b− − +− + +

= tgb.

46.- Sabiendo que tg2x = 1

2 hallar senx.

47.- Transformar en producto la expresión trigonométrica: cos x + cos2x + cos3x. 48.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) cos x – sen x = sen 3x b) cos 2x + 6cos2 x = 1 (0 ≤ x ≤ 360)

c) cos x + sen2 2x

= 1

d) cos x – sen 2x = 0 e) sen 3x = 2sen x f) cos 2x + 5cos2 x = 5 49.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0,360º]:

a) sen x = 12

b) sen2 x – 3cos2 x = 0 c) sen 2x + cos 2x = 1 d) sen x + cos x = 2 e) tg2 x + 3 = 4tg x

50.- Demuestra que son ciertas las siguientes identidades trigonométricas:

a) sec sen =cotgsen cos

−α α αα α

b) tg tg 21 sec 1 sec sen

− =+ −

α αα α α

c) sen cos ·tg 2tgcos+

=α α α α

α

d) cos cos·(cos sen )cos sen 1 2sen ·cos

−=

− −α α α

α α α α

e) sen2α - cos2α = sen4α - cos4α

f) cosec sen cotg 0cotg cosec

−− =

α α αα α

Respuestas:

1.- a) 34π

rad b) 0,069πrad c) 225º d) 40º40’48”

2.- sen 45º = 2

2 cos 45º =

22

tg 45º = 1

3.- sen B = 0,6 cos B = 0,8 tg B = 0,75

4.- senα = 3 1010

cosα = 1010

tgα = 3

senα = 21

cc+

cosα = 1 tg1

cc

−+

α = 21

cc−

5.- D = 6 3 cm d = 6cm

6.- cos α = 35

− tg α = 43

−

7.- sen α =-0,7141 tg α = 1,0201

8.- sen α = 2 5

5 cos α =

5

5

9.- cos α = - 3

2 tg α = -

33

10.- sen α = - 0,866... tag α = 1,732...

11.- sen α = 7 210

− cos α = 210

12.- h = 374,31m 13.- A 3,30 Km. de la comisaría A y a 1,89 Km. de la comisaría B 14.- Está a 1930,27 Km. de Q 15.- d = 89,44 m 16.- d = 848,76 m 17.- A 4,07 Km. de A y a 7,17 Km. de B 18.- Lado = 5,26 m Ángulos: 41º37’52’’ 108º22’8’’ 19.- h = 3,53m d = 4,21 m 20.- d = 150,82m h = 71,41 m 21.- A = 416,52cm2 P = 73,88cm 22.- Ainscrita = 4375,67cm2 Acircunscrita = 4689,83cm2 23.- P = 17,66cm A = 12cm2 45º y 135º

24.- sen2 α = 20 649

cos2 α = 149

− tg2 α = -20 6

sen2α = 7 2 6

14+ cos

2α = 7 2 6

14−

− tg2α = 7 2 6

7 2 6+

−−

25.-

a b c A B C 1 37 24 61 Sin solución 2 83,90 57 100 57º 34º43’55’’ 88º16’4’’

3 87,11 21,81

90 100 54º16’26’’11º43’34’’

57º 68º43’33’’ 111º16’26’’

4 54,14 57 56,46 57º 62º 61º 5 3,13 4,09 4,7 41º 59º 80º 6 698,77 321 470 123º 22º39’37’’ 34º20’23’’

26.- Datos de T1 : Hipotenusa = 29,23; Cateto = 27,47; Ángulos: 90º y 70º Datos de T2 : Ángulo = 80º: Lados: 27,47 cm; 13,94 cm; 26,21cm 27.- AB = 16,66 u 28.- 1,97 u2

29.- 22

31.- B = 62º6’52” C1 = 72º73’8” c1 = 10,8127 cm B = 117º53’8” C2 = 17º6’52” c2 = 3,3294 cm 32.- A = 43º b = 26,93 m c = 33,54 m 33.- B = 33º01’40” C = 102º58’20” c = 16,54 m 34.- A1 = 80º45’13” B1 = 52º14’47” c = 3,7 m A2 = 5º14’47’’ B2 = 127º45’12’’

35.- 1 ( 32

cosx – senx)

36.- 1 tg1 tg

xx

+−

38.- cos 3α – 3 sen 2 α cos α

39.- x = 60º + 360º · k = 3π + 2kπ rad con k ∈ Z y x = 120º + 360º · k =

3π2 + 2kπ rad con k ∈ Z

40.- x = 60º + 360º · k = 3π + 2kπ rad con k ∈ Z y x = 300º + 360º · k =

3π5 + 2kπ rad con k ∈ Z

41.- sen 3a = 3 sen a cos 2 a – sen 3 a

42.- cotg (180º + α) = h

h 21−

43.- sena·cosb·cosc + cosa·senb·cosc + cosa·cosb·senc – sena·senb·senc

46.- senx = ± 45

47.- cos2x·(1 + 2cosx) 48.- a) x = 15º + 180ºk x = 75º + 180ºk x = 90º + 180ºk b) x = 60º x = 120º x = 240º x = 300º c) x = 0º + 360ºk d) x = 90º + 180ºk x = 30º + 360ºk x = 150º + 360ºk e) x = 0º + 180ºk x = 30º + 180ºk x = 150º + 180ºk f) x = 22,2076º + 360ºk x = 337,7924º + 360º x = 157,7923º + 360ºk x = 202,2065 + 360ºk 49.- a) x = 30º x = 150º b) x = 60º x = 120º x = 240º x = 300º c) x = 0º x = 45º x = 180º x = 225º x = 360º d) x = 45º e) x = 45º x = 71,56º x = 225º x = 251,56º