trigonometria mgr. jozef vozár
DESCRIPTION
TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár. Trigonometria. Riešenie všeobecného trojuholníka. B. β. a. c. γ. C. b. α. A. Mgr. Jozef Vozár. Trigonometria. Sinusova veta. Trigonometria. Treba vedieť: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
TRIGONOMETRIA
Mgr. Jozef Vozár
Trigonometria
Riešenie všeobecného trojuholníka
A
B
C
α
β
γ
a
b
c
Mgr. Jozef Vozár
Trigonometria
Sinusova veta
Trigonometria
Treba vedieť: 1. Vzťah medzi obvodovým a stredovým uhlom
patriacim k tomu istému oblúku kružnice (stredový = 2x obvodový)
2. Vyjadrenie sinusu uhla v pravouhlom trojuholníku, ako podiel dĺžok protiľahlej odvesny a prepony.
α
2α
r
a/2
α
a/2Sin α = ––––––––––- r
S
A
B
C
P
Spájame goniometriu s geometriou
• SP je výška trojuholníka BSC• BSP je pravouhlý trojuholník• Uhol BAC je obvodový k oblúku BC• Uhol BSC je stredový uhol k oblúku BC
Z toho potom vyplývajú nasledovné vzťahy:
Sinusova veta
sin α ––––- = 2r a
Sinusova veta
sin β ––––- = 2r b
Sinusova veta
sin γ ––––- = 2r c
Sinusova vetaV každom trojuholníku ABC, so stranami a,b,c a uhlami α,
β, γ a polomerom opísanej kružnice r platí:
sin α sin γ sin β –––– = –––– = –––– = 2r a c b
Sinusova veta- príklad
V trojuholníku ABC platí:a=5, b = 7, α = 30°.
Vypočítaj c, r, β, γ.
Sinusova veta- príklad
Riešenie:1.sin α ½ 1 ––––- = 2r → –––– = –– → a 5 10
r =1/20
Sinusova veta- príklad
2. sin β sin β sin β ––––- = 2r →1/10 = ––––– = –––– → b b 7 sin β =7/10 →
β = 44,4°
Sinusova veta- príklad
3.γ = 180° - 30° - 44,4°
γ = 105,6°
Sinusova veta- príklad
4.
sin γ sin γ 0,96 –––- = 2r→ c = ––––- = –––––– → c 2r 1/10
c = 9,6
Trigonometria
Kosinusova veta
C[x;y]
P
ba
cA
B
y
| x|
Kosinusova veta
| x | xcos α = – cos( π - α ) = - ––––––– = ––– b b
Kosínusová veta
y2 = b2 - x2
y2 = a2 – ( c – x )2
Obrázok 2
Kosínusová veta
b2 - x2 = a2 – ( c – x )2
a2 = b2 + c2 - 2cx
Kosínusová veta
Ale (viď obrázok)
x = b cos α
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α
Kosínusová veta
V každom trojuholníku ABC so stranami a, b, c a uhlami α, β, γ platí:
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α
b2 = a2 + c2 - 2 ac cos β
c2 = a2 + b2 - 2 ab cos γ
Kosínusová veta- príklad
V trojuholníku ABC sú dané dĺžky všetkých jeho strán:
a = 16,9b = 26c = 27,3Vypočítaj veľkosti jeho vnútorných uhlov.
Kosínusová veta- príklad
1. Najprv treba skontrolovať či to je trojuholník – či platia trojuholníkové nerovnosti. a + b > c
a + c > b b + c > a
Kosínusová veta- príklad
2. Pre výpočet uhla α použijeme kosinusovú vetu
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α
Kosínusová veta- príklad
2 bc cos α = b2 + c2 - a2
b2 + c2 - a2
cos α = ––––––––––––––––––2 bc
α = 36°50'
Kosínusová veta- príklad
3. Ďalej pokračujeme ako pri sinusovej vete,
pretože tá je ľahšia.
Obsah trouholníka
A
B
C
va
b
a
c
β
γ
Obsah trojuholníka
S = ½ a.va
va = b.cos γ
S = ½ a. b.cos γ