Zgodovinski okvir

Trije klasicni problemi grške geometrije

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

17. oktober 2012

Zgodovinski okvir

Grcija v 5. stoletju pnš.

Perzijci sredi 6. stoletja zasedli Malo Azijo, vstaja jonskih mest499 pnš. zatrta, neuspešna pomoc AtenPerzijske vojne: poraz Perzijcev na Maratonskem polju 490pnš., zmaga Kserksa pri Termopilah, poraz v pomorski bitki priSalamini 480, poraz pri Plataji 179 pnš.

Zlata doba Aten (Periklej, Sokrat, drugi filozofi, razvojmatematike v Atenah)

Peloponeške vojne 431 pnš., prevlada Šparte od 404 pnš. do371 pnš. Matematika se razvija tudi in predvsem v kolonijah.

Zgodovinski okvir

Grcija

Slika: Kraji znanih grških matematikov

Zgodovinski okvir

Trije klasicni problemi

Duplikacija kocke: konstruirati rob kocke z dvakrat vecjoprostornino kot dana kocka,

Trisekcija kota: razdeliti poljuben kot na tri enake dele,

Kvadratura kroga: konstruirati kvadrat, ki ima enakoplošcino kot dani krog.

Samo z evklidskim orodjem

Zgodovinski okvir

Podvojtev kocke

Legenda: Dve varianti:- Kralj Minos in velikost grobnice sina Glavka- Deloški problem in povecanje oltarja boga Apolona

Hipokratova redukcija:

dvojno geometrijsko razmerje a : x = x : y = y : b

formula x3 = 2s3

Zgodovinski okvir

Hipokrat s Kiosa (∼ 470 - 410 pnš.)

Slika: Hipokrat s Kiosa

Zgodovinski okvir

Metode reševanja problema duplikacije

Menajhem ∼ 350 pnš.: stožnice

Platon : cevljarski kotnik

Apolonij : prilagoditev polmera kroga

Eratosten : trije enaki pravokotniki z diagonalo

Diokles : cisoida

Zgodovinski okvir

Menajhemova podvojitev kocke s stožnicami

s

y2s

x = 2sy2

2y = sx

0

( )a

s

y

xy = 2s2

2y = sx

0

( )b

x x

Slika: Podvojitev kocke s stožnicami

Zgodovinski okvir

Podvojitev kocke po Platonu

( )b

S

C

V

W

D

R

T

U

P

( )a

A B

C

D

P

a

b

xy

Slika: Podvojitev kocke po Platonu

PC/PB = PB/PA = PA/PDTocka V mora ležati na premici skozi D in P.

Zgodovinski okvir

Platon (∼ 428 - 348 pnš.)

Slika: Filozof in matematik Platon

Zgodovinski okvir

Dvojno razmerje po Apoloniju

0

( )B

( )a,b

a

b

x

y

Slika: Konstrukcija dvojnega razmerja po Apoloniju

Tetiva skozi tocko (a,b) mora sekati krožnico v presecišcih le-tez osema.Potem je a/y = y/x = x/b = (a+x)/(b +y).

Zgodovinski okvir

Eratostenova metoda

A B C D

E

( )a

A B C D

EF

GH

( )b

Slika: Konstrukcija dvojnega razmerja po Eratostenu

AE : BF = BF : CG = CG : DH

Zgodovinski okvir

Dioklova cisoida

Q

P

d

2d

d 23

( )b

O

B

A

O d

Q

PR

( )a

( ,0)d

R

Slika: Dioklova cisoida in podvojitev kocke

OP = RQ

Zgodovinski okvir

Tretjinjenje kota z vstavljanjem

B

AD

C

E

F

Ga

a

a

a

Slika: Tretjinjenje kota z vstavljanjem

EF = 2AB

Zgodovinski okvir

Arhimedova metoda

AO

B

C

D

aaa

Slika: Tretjinjenje kota po Arhimedu

Zgodovinski okvir

Vietova in Newtonova metoda

60

a

a

A B

C

DM

N

bx

Slika: Tretjinjenje kota po Vietu in Newtonu

Zgodovinski okvir

Nikomedova konhoida

B

A

D

C

O

L

Konhoida

b

bb

a

Slika: Tretjinjenje kota z Nikomedovo konhoido

Zgodovinski okvir

Hipijeva trisektrisa oziroma Dinostratova kvadratrisa

0 1

1

A

B

b

a

b 3

Slika: Hipijeva trisektrisa oziroma Dinostratova kvadratrisa

Zgodovinski okvir

Trisekcija z Arhimedov spiralo

A

B

O

P

a

aq aq

q

Q

Slika: Tretjinjenje kota z Arhimedovo spiralo

Zgodovinski okvir

Trisekcija kota s tomahawkom

A

B

C

D

S T UR

Slika: Tretjinjenje kota s tomahawkom

Zgodovinski okvir

Papusova trisekcija s hiperbolo

0

B

A

C

P

Q

2a

2a

a

b

a = b

Slika: Tretjinjenje kota s hiperbolo

Zgodovinski okvir

Kvadratura kroga

Kako konstruirati (z evklidskim orodjem) kvadrat, ki jeplošcinsko enak krogu?

Klasi cno: Konstrukcija z evklidskim orodjem

Ferdinand Lindemann 1882: Število π je transcendentno.Posledica: Klasicna kvadratura kroga ni možna

Moderno: V smislu teorije množic

Miklos Laczkovich 1990: Poljubna dva topološka diska zmerljivim robom in enako plošcino v ravnini sta enaka porazkosanju.Posledica: Moderna kvadratura kroga je možna.

Zgodovinski okvir

Hipokratova kvadratura lune

( )a

A B

C

A

( )b

B

CD

Slika: Hipokratovi luni

Hipokrat s Kiosa je odkril še dva primera lun, ki se dajokvadrirati.

M. Hladnik, Hipokratove lune, Presek 28 (2001/02),št. 2,98-104.

Zgodovinski okvir

Rektifikacija krožnice

Približne metode:

(a) Pogosto πd ≈ 3d +d√

2/10 oziroma π ≈ 3+√

2/10 ≈ 3.141

(b) Poljski jezuit Adam Kochanski (1631-1700): V krajišcu Bpremera AB danega kroga nacrtamo tangento, na eno stranodmerimo centralni kot 30 stopinj in od presecišca C kraka stangento na drugo stran odmerimo tri polmere do tocke D.Potem je obseg kroga približno enak 2AD.

Zgodovinski okvir

Metoda Kochanskega

BA

C

300

D

Slika: Približna rektifikacija

Zgodovinski okvir

Nezmožnost rešitve z evklidskim orodjem

(1) Duplikacija kocke (s stranico 1). Konstruirati število x =3√

2,ki reši enacbo x3 −2 = 0. Koren algebraicne enacbe lahkokonstruiramo z ravnilom in šestilom samo, ce se izraža ssamimi kvadratnimi koreni. Da pa se pokazati, da mora enacbatretje stopnje z racionalnimi koeficienti v tem primeru imeti vsajen racionalen koren.(2) Trisekcija kota. Konstruirati x = cos(θ/3), ce poznamocosθ . Zaradi cosθ = 4cos3(θ/3)−3cos(θ/3) bi pri θ = 600

tak x zadošcal kubicni enacbi 8x3 −6x −1 = 0, ki nimaracionalnih korenov.(3) Kvadratura kroga. Stranica kvadrata z isto plošcino kot krogs polmerom 1 meri

√π. Ker je to število transcendentno, se ga

ne da konstruirati samo z ravnilom in šestilom.

Zgodovinski okvir

Konstrukcije samo s šestilom ali samo z ravnilom

Samo s šestilom: Lorenzo Mascheroni (1750-1800) in (žeprej 1672) Georg Mohr

Samo z ravnilom: Jean Victor Poncelet (1788-1867)

Z ravnilom in fiksnim krogom: Abul Wefa (940-998), JakobSteiner (1796-1863), Francesc Severi (1879-1961)

Zgodovinski okvir

Posebna literatura

H. Eves, An Introduction t the History of Mathematics, Holt,Rinehart and Winston, 1964.

G.E. Martin, Geometric Constructions, UTM, Springer1998.

Wikipedia, spletni portal.