türk bina deprem yönetmeliği kapsamında performansa dayalı ... · yapı dinamiği ve deprem...
TRANSCRIPT
![Page 1: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/1.jpg)
Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı Tasarım, Sismik Taban Yalıtımı ve PERFORM-3D ile
Mühendislik Uygulamaları
Gebze Teknik Üniversitesi, 2016
Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş:
Çok Serbestlik Dereceli Sistemler
Dr. Barış Erkuş (İTÜ)
![Page 2: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/2.jpg)
Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş
•Tek Serbestlik Dereceli Sistemler
•Analitik ve matematiksel modelleme
•Serbest titreşim
•Harmonik yük altındaki davranış
•Zaman tanım alanı analizi
•Deprem spektrumu
•Çok Serbestlik Dereceli Sistemler
•Analitik ve matematiksel modelleme
•Kütle, rijitlik ve sönüm matrisleri
•Modal analiz – mod şekilleri ve periyotları
•Mod birleştirme yöntemiyle dinamik analiz – tepki spektrumu analizi
•Mod birleştirme yöntemiyle dinamik analiz – modal zaman tanım alanı analizi
•Taslak TBDY Kapsamında Deprem Analizi ile İlgili Genel Kurallar
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 2
![Page 3: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/3.jpg)
Çok Serbestlik Dereceli Sistemler: İçerik
•Temel Matematik Bilgileri
•Lineer Denklem Sistemleri (Ö)
•Matrisler ve Temel Matris Operasyonları (Ö)
•Özdeğer Problemi (Ö)
•Matrislerin Bölünmesi (Ö)
•Yapıların Matematiksel Modellemesi
•Sürekli Kütleli Sistemler
•Toplu Kütleli Sistemler
•Mekanik ve Yapısal Sistemler
•Serbestlik Dereceleri ve Sistem Matrisleri
•Yapı Serbestlik Dereceleri
•Toplu ve Sürekli Kütle Matrisleri (Ö)
•Rijitlik Matrisi (Ö)
•Statik Yoğunlaştırma, Rijit Diyafram Kabulü
•Modal Analiz: Mod Şekilleri ve Periyotları
•Genelleştirilmiş Serbestlik Dereceleri
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 3
•Özdeğerler, Özvektörler ve Özmatris (Ö)
•Rayleigh-Ritz Yöntemi
•Yüklemeye Bağlı Rayleigh-Ritz Yöntemi
•Sönüm matrisi
•İçsel Enerji Sönümleme
•Klasik Sönümleme Matrisi
•Sabit Sönümleme Matrisi (Ö)
•Rayleigh Sönümleme Matrisi (Ö)
•Klasik Olmayan Sönümleme (Ö)
•Modal Analiz: Modal Denklemler (Ö)
•Mod Birleştirme Yöntemi ile Dinamik Analiz
•Modal Zaman-Tanım Alanı Analizi (Ö)
•Tasarım Spektrumu Analizi (Ö)
•Doğrudan Zaman-Tanım Alanı Analizi
•Newmark-b Yöntemi (Ö)
•Özel Konular (Ö): Örnekler
![Page 4: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/4.jpg)
Temel Matematik Bilgileri: Lineer Denklem Sistemleri
•n adet denklem
•n adet bilinmeyen: x1, x2, …, xn
•n × n adet katsayı: a11, a12, …, ann
•n adet sabit: b1, b2, …, bn
•aij
•i: denklem sayısı (satır)
•j: bilinmeyen numarası xj (sütun)
•bi , i: denklem sayısı (satır)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 4
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1. Denklem
2. Denklem
j j n n
j j n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a
1 1 2 2
1 1 2 2
. Denklem
. Denklem
i i ij j in n i
n n nj j nn n n
x a x a x a x b i
a x a x a x a x b n
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 4 2 7 1. Denklem
2 6 4 3 2. Denklem
3 5 8 4 3. Denklem
x x x
x x x
x x x
•Çözüm Yöntemleri•Gauss-Eleme Yöntemi
Örnek:
![Page 5: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/5.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 5
Temel Matematik Bilgileri: Lineer Denklem Sistemleri
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
1
2
i
n
b
b
b
b
1
2
i
n
x
x
x
x
A-grubu x-grubu b-grubu
![Page 6: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/6.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 6
Temel Matematik Bilgileri: Matrisler
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn n n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
1
2
1
i
n n
b
b
b
b
b
1
2
1
i
n n
x
x
x
x
x
(1-Boyutlu ise “Vektör” de denir)
![Page 7: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/7.jpg)
Temel Matematik Bilgileri: Matrislerin Gösterimi•Herhangi bir n×m matrisin gösterimi
• A : koyu, düz (“italic” olmayan) ve BÜYÜK HARF
•[A] : köşeli parantez ile , düz (“italic” olmayan) ve BÜYÜK HARF
• : harf altında “tilde” işareti ile, düz (“italic” olmayan) ve BÜYÜK HARF
•Herhangi bir n×1 veya 1×m vektörünün gösterimi
• x : koyu, düz (“italic” olmayan) ve küçük harf
•{x} : süslü parantez ile düz (“italic” olmayan) ve küçük harf
• : harf altında “tilde” işareti ile, düz (“italic” olmayan) ve küçük harf
•Skalar gösterimi:
• x, y : eğik (“italic”) ve küçük harf
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 7
•Örnekler:
•a : skalar
•M : matris
• : skalar
• : vektör
• : vektör
• : matris
• : skalar
• : matris
A
x
![Page 8: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/8.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 8
Excel: Matrislerin Tanıtılması
![Page 9: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/9.jpg)
11 12 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2
1 2
1 2 1 1
j n
j n
i i ij in i i
n n nj nn n nn nn n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Ax b
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 9
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
11 1 12 2 1 1 1 1. Denklemj j n na x a x a x a x b
+
+
+
×
×
×
![Page 10: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/10.jpg)
11 12 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2
1 2
1 2 1 1
j n
j n
i i ij in i i
n n nj nn n nn nn n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Ax b
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 10
21 1 22 2 2 2 2 2. Denklemj j n na x a x a x a x b
+
+
+
×
×
×
![Page 11: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/11.jpg)
1
. denklemn
i ij j
j
b a x i
bAx
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 11
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
1 1 2 2 . Denklemi i i ij j in nb a x a x a x a x i
![Page 12: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/12.jpg)
çarpimi, ilk satir
n m n k
m k
AB
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 12
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
×
×
×
×
×
+
+
+
+
![Page 13: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/13.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 13
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
çarpimi, ikinci satir
n m n k
m k
AB
×
×
×
×
×
+
+
+
+
![Page 14: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/14.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 14
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
çarpimi, üçüncü satir
n m n k
m k
AB
![Page 15: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/15.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 15
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
çarpimi, birinci satir-ikinci sütun
n m n k
m k
AB
![Page 16: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/16.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 16
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
çarpimi, ikinci satir-ikinci sütun
n m n k
m k
AB
![Page 17: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/17.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 17
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
n m m k n k
n m n k
m k
A B C
![Page 18: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/18.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 18
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
AB BA
![Page 19: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/19.jpg)
Excel
•Matrislerin Çarpımı
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 19
![Page 20: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/20.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 20
Temel Matematik Bilgileri: İç Çarpımının Matris Çarpım Olarak İfadesi
a
b
x y zˆ ˆ ˆa a a a i j k
x y zˆ ˆ ˆb b b b i j k
x x y z z za b a b a b a b
x
y
z
a
a
a
a
x
y
z
b
b
b
b
T
T
x
x y z y
z
b
a b a a a b
b
a b
a b
b a
![Page 21: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/21.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 21
Temel Matematik Bilgileri: Matris Skalar Çarpım
n m
n m n m
a
a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a
A
A A
![Page 22: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/22.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 22
Temel Matematik Bilgileri: Matris Toplama ve Çıkarma
n m n m n m
n m n m n m
A B C
A B B A
+
![Page 23: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/23.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 23
Temel Matematik Bilgileri: Matris Devriği (Transpozu)
T
T
n m m n
n m
m n
A C
![Page 24: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/24.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 24
Temel Matematik Bilgileri: Matris Devriği (Transpozu)
T
T
n m m n
n m
m n
A C
![Page 25: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/25.jpg)
Excel
•Toplama
•Skalar Çarpım
•Transpose
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 25
![Page 26: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/26.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 26
Temel Matematik Bilgileri: Matris Satır ve Sütunları
n m
n m
A
Satır
Sütun
![Page 27: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/27.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 27
Temel Matematik Bilgileri: Matris Satır Vektörleri Gösterimi
1
2
3
n m
n m
A
a
a
a
Satır Vektörü
![Page 28: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/28.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 28
Temel Matematik Bilgileri: Matris Sütun Vektörleri Gösterimi
1 2 3 4 5
| | | | |
| | | | |
n m
n m
A
a a a a a
Sütun Vektörü
![Page 29: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/29.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 29
Temel Matematik Bilgileri: Kare Matris
n n
n n
A
![Page 30: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/30.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 30
Temel Matematik Bilgileri: Matris Diyagonalı
n n
n n
A
![Page 31: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/31.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 31
Temel Matematik Bilgileri: Diyagonal Matris
0 0
0 0
0 0
n n
n n
A
![Page 32: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/32.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 32
Temel Matematik Bilgileri: Birim Matris
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n n
n n
I
![Page 33: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/33.jpg)
11 12 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2
1 2
1 2 1 1
j n
j n
i i ij in i i
n n nj nn n nn nn n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Ax b
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 33
Temel Matematik Bilgileri: Diyagonal Matris - Kolaylıklar
![Page 34: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/34.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 34
Temel Matematik Bilgileri: Diyagonal Matris - Kolaylıklar
11 1 1
22 2 2
1 1
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
ii i i
nn n nn n n n
a x b
a x b
a x b
a x b
Ax b ii
i
bx
a
![Page 35: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/35.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 35
Temel Matematik Bilgileri: Birim Matris - Kolaylıklar
1 1
2 2
1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
i i
n nn n n n
x b
x b
x b
x b
Ix b
1
ii i
bx b
Ix b x b
![Page 36: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/36.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 36
Temel Matematik Bilgileri: Simetrik Matris
T
T
n n n n
n n n n
A A
![Page 37: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/37.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 37
Temel Matematik Bilgileri: Simetrik Matris
T
T
n n n m m n
m m m n n m
B A A
C A A
B ve C matrisleri simetriktir.
![Page 38: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/38.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 38
Temel Matematik Bilgileri: Matris Tersi
1
1
1
A
A A I
A A I
1
1 1
1 1
1
1
her iki tarafı soldan ile çarparsak
A
A Ax A b
A A x A b
Ix A b
x
b
A
Ax
b
![Page 39: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/39.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 39
Temel Matematik Bilgileri: Matris Determinantı (Büyüklük)
A
![Page 40: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/40.jpg)
Excel
•Matris Tersi
•Sistem Çözümü
•Diyagonal Matris ile Çözüm
•Determinant
•Transpose ile Simetrik Matris Oluşturma
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 40
![Page 41: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/41.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 41
Temel Matematik Bilgileri: Matrislerin Bölünmesi
11 12 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2
1 2
1 2 1 1
j n
j n
i i ij in i i
n n nj nn n nn nn n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Ax b
a11
a12
a21
a22 x2
x1 b1
b2
![Page 42: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/42.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 42
Temel Matematik Bilgileri: Matrislerin Bölünmesi
11 11 1 1
21 21 2 21 1n n n n
Ax b
a a x b
a a x b
21 1 22 2
22 2 21 1
1
2 22 21 1
11 1 12 2 1
1
11 1 12 22 21 1 1
1
11 12 22 21 1 1
1
11 12 22 21
1 1
1
1 1
2.Satır:
1.Satır:
ˆ
ˆ
ˆ
a x a x 0
a x a x
x a a x
a x a x b
a x a a a x b
a a a a x b
a a a a a
ax b
x a b
2
11 12 1 1
21 22 2 11
: 0
nn n n
Örnek
b
a a x b
a a x 0
![Page 43: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/43.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 43
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri (Baz Vektörleri) – Genel
a a a
x
y
v
v
Büyüklük
Baz Vekt
:
Büyüklük
ör :
:
leri
v v
v v
aa v
aa v
a
a
a
aa v
x
y
v
v
aa v
a a a
vv
a
7 5 2 57 5
32 5
. , ..
a.
a v
![Page 44: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/44.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 44
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Birim Vektörler
a a a
x
y
v
v
Büyüklük:
Baz Vek
1
Büyüklük
törleri
1
:
:
v v
v v
aa v
aa v
a
a
a
aa v
x
y
v
vaa v
a a ava 7 5 1 7 5a, .. a v
![Page 45: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/45.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 45
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Diklik
x
y
v
v
x
y
v
v
90
|v| = 1
![Page 46: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/46.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 46
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Diklik
x
y
v
v
x
y
v
v
90
Vektörler dik değilse, birbirlerine bağlıdırlar. Vektörler dikse, birbirlerine bağlı değillerdir.
v v 0 v v = 0 v v = 1 v v = 1
![Page 47: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/47.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 47
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Diklik
1
2 1 1 2 2 3 3
3
1
2 1 1 2 2 3 3
3
T T T T
1 1 1 1 1 2 2 1 2 3
T T
1 1 1 1 , eğer baz vektörl
x | | |
x a a a
x | | |
x | | |
x a a a
x | | |
a a a
a
x v v v
x v v v
v x v v v v v v
v x v v
T
1 1 1
eri dik ise
(1) = , eğer baz vektörleri birim vektörler isea av x
![Page 48: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/48.jpg)
Excel
•Örnek Baz Vektörleri
•Normalizasyon
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 48
![Page 49: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/49.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 49
Genel Tartışma
1 2 3
1 T
T
, iki türlü çarpım karşımıza çıkmaktadır.
1. Tür: ,
2 Tür: ,
| | |
| | |
.
V v v v
V V V V
V AV V AV
![Page 50: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/50.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 50
Temel Matematik Bilgileri: Dik Olmayan Baz Vektörleri
1 2 3
1
T
2 1 2 3
3
1
1
2 1 2 3
3
, baz vektörlerinin olusturduğu matris
1
dik olmayan
0 0
0
| | |
| | |
| | | a b c
e b f
| | | g h i
| | |
| | |
V v v v
v
V V v v v v
v
v
V V v v v v
v
1 0
0 0 1
I
![Page 51: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/51.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 51
Temel Matematik Bilgileri: Dik Baz Vektörleri
1 2 3
1
T
2 1 2 3
3
1
1
2 1 2 3
3
, dik baz vektörlerinin olusturduğu matris
0 0
0 0
0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
| | |
| | |
| | | a
b
| | | c
| | |
| | |
V v v v
v
V V v v v v
v
v
V V v v v v
v
I
![Page 52: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/52.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 52
Temel Matematik Bilgileri: Brim-Dik Baz Vektörleri
1 2 3
1
T
2 1 2 3
3
1
1
2 1 2 3
3
, -dik baz vektörlerinin olusturduğu matris
1 0 0
0 1 0
0 0 1
birim
1 0 0
0
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
V v v v
v
V V v v v v I
v
v
V V v v v v
v
1 0
0 0 1
I
![Page 53: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/53.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 54
Temel Matematik Bilgileri: Dik Olmayan Baz Vektörleri
1 2 3
T
, baz vektörleri icin:
Genel kare bir matrisi için,
S
dik olm
imetrik bir matrisi için,
n
aya
| | |
| | |
a b c
e b f
g h i
a b c
e b f
g h i
V v v v
A V AV
A V AV
![Page 54: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/54.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 55
Temel Matematik Bilgileri: Dik Baz Vektörleri
1 2 3
Verilen bir matrisi icin dik baz ,
vektörlerini öyle bir seçilebiliriz ki
0 0
Genel kare bir matrisi için, 0 0
0 0
Simetrik bir matrisi için,
| | |
| | |
a
b
c
AV v v v
A V AV
AT
0 0
0 0
0 0
a
b
c
V AV V AV
![Page 55: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/55.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 56
Temel Matematik Bilgileri: Dik Baz Vektörleri – Özdeğer Problemi
1 2 3 , Verilen bir matrisi için:
0 0
Baz vektörlerinin 0 0 durumunu saglaması için
0 0
ile matrisleri arasında özel bir bağlantının sağlanması gereki
Ö
r
zd
.
| | |
| | |
a
b
c
V v v v A
V AV
V A
eger Problemi
![Page 56: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/56.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 57
Temel Matematik Bilgileri: Özdeğer Problemi – Normalleştirme
1 2 3
T
, bazen dik baz vektörlerinin büyüklüğü
1 0 0
Simetrik bir mat
normall
risi için, 0 1 0 olacak şekilde seçilir.
0 0 1
Bu seçim işlemine (birim yapma) denireştirme
| | |
| | |
V v v v
M V MV
![Page 57: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/57.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 58
Temel Matematik Bilgileri: Özdeğer Problemleri
1
1
2
: baz vektörleri, özvektö
: baz vektör
: genel veya simetrik bir matris + PD
matrisinin
matrisinin
matrisini
: baz matrisi, özvek
k
tö
at
r
n
m
rler
atrisi
sa
n n
n
n
n
n
| | |
| | |
A
A
A
A
Φ
1
2
0 0
0 0 : özdeger matrisi
0 0
yilari, ö
m
zdegerle
atr
r
isininn n
n
AΛ
![Page 58: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/58.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 59
Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi
1
1
1 2 2
1
-adet baz vektörleri ve katsayıl
: genel bir ma
arı
0 0
,
tris +
0 0
0
P
0
Dn nn n
n
n n
n
n
| | |
| | |
Φ Φ AΦ Λ
A A
![Page 59: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/59.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 60
Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi
T T T
1 1 1 2 2 2
1
T
1 2
1
2
1
-adet baz vektörleri ve
: simetrik matris
katsayıları
, , ... ,
0 0
,
+
0 0
0
d k
PD
0
i
n n
n n n
n
n n n
n
n
n
| | |
| | |
A A A
Φ
A A
Φ AΦ Λ
![Page 60: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/60.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 61
Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi – Özet
1
1 2 2
1 1
: genel bir matris + PD
0 0
, 0 0
0 0
n
n
| | |
| | |
Φ Λ
Φ AΦ Λ A ΦΛΦ
ΦAΦA AΛ
![Page 61: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/61.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 62
Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi – Özet
1
1 2 2
T T
T
T
0 0
, 0 0
0 0
Ayrıca vektörler ise: , : diyag
: simet. bir ma
.
Ayrıca vek
genel
b törler ise:
tris + PD
ir
im
n
n
| | |
| | |
Φ Λ
Φ AΦ Λ A ΦΛΦ
Φ Φ D D
Φ
Φ
A
Φ
ΦA AΛ
I
![Page 62: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/62.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 63
Temel Matematik Bilgileri: Genel Özdeğer Problemi
1 1
1 1
1 1
-adet dik baz vektörleri ve katsayıla
,
rı
Standard Özdeğer Proble i: m
n nn n
n
A
Φ ΦA Β Β
Β Β
A
Β
Β Β A
Λ
A
A
A
A
![Page 63: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/63.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 64
Temel Matematik Bilgileri: Genel Özdeğer Problemi
1 1
1
T T
, simetrik olmayabilir (genel matris)
Ancak şu diklik koşulları sağlan
, : simetr
ır:
,
ve : diyagonal matri
ik mat
sler
ris
di
is
r
eler;
n n
A B
A B
Β ΒΦ Φ Λ
D D
A A
A Β
Β A
Φ
A
Φ Φ Φ
D
A Β
D
![Page 64: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/64.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 65
Temel Matematik Bilgileri: Genel Özdeğer Problemi
1 1
T
T
matrisi olacak sekilde seçilebilir
Bu duru
, : simetrik
mda
matris isele
olur
r;
n n
I
Φ Φ
Φ Φ Φ
Φ Φ
A A
A
Λ
Λ
Β Β
Β
Β
A
![Page 65: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/65.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 66
Temel Matematik Bilgileri: Özvektörlerin Kullanımı
2
2
1
2
, ,
, : sabit matrisler
, 1 zamana bagli vektör
n
dt t t t
dt
n n
x t
x tt n
x t
A x Bx 0 Ax Bx 0 Ax Bx 0
A B
x
![Page 66: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/66.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 67
Temel Matematik Bilgileri: Özvektörlerin Kullanımı
T T
T T
T T
: Özvektörler : Özdeğerler
,
ve diyagonal matrislerdir
t t
A Β Φ Λ
x Φq
Bx Ax 0 BΦq AΦq 0
Φ BΦq AΦq Φ 0
Φ BΦq Φ AΦq 0
Φ AΦ A Φ BΦ B
A B
![Page 67: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/67.jpg)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 68
Özdeğer ve Özvektörlerin Bulunması
2
n n n
2
n n
2
n
2
n n
2
n
,
0
0 değeri bulunabilir
vektörü bulunabilir
t sin t t sin t
sin t
Mx Kx 0
x x
K M
KX M
K M
K M 0
![Page 68: Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı ... · Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş •Tek Serbestlik Dereceli Sistemler •Analitik ve matematiksel](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041606/5e347ce9e41a14107c5a482b/html5/thumbnails/68.jpg)
Excel
•Genel Matris için Özdeğer Problemi
•Simetrik Matris için Özdeğer Problemi
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 69