trƯỜng ĐẠi hỌc nÔng lÂm giang cha4dt.doc · web view4.3bưu điện dung 1 máy tự...
TRANSCRIPT
CHƯƠNG 0: GIẢI TÍCH TỔ HỢP
I.Nguyên lý đếm
I.1.Nguyên lý cộng.
Một công việc được thực hiện theo một trong k khả năng trong đó:
Khả năng 1 có cách thực hiện
Khả năng 2 có cách thực hiện
……………………………………………………
Khả năng k có cách thực hiện.
Khi đó số cách thực hiên công việc này là + +…+
I.2.Nguyên lý nhân
Một công việc được tiến hành qua k giai đoạn, trong đó
giai đoạn thứ i có ( i=1, 2,…k) cách thực hiện.
Khi đó số cách thực hiện công việc là . …
Ví dụ 1.Số điện thoại của một thành phố gồm 7 chữ số.
a)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định cho thành phố này?
b)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định mà trong số
thuê bao đó không có số 3 cho thành phố này?
c)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định mà trong số thuê bao đó các chữ số
khác nhau cho thành phố này?
Giải
Ta có số điện thoại của thành phố này có dạng
a)Vì được chọn từ các số: 0,1,2,…9 nên có 10 cách chọn.
Tương tự cũng có 10 cách chọn.
Vậy theo nguyên lý nhân có thể cung cấp được 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 số thuê
bao.
b)Để được số thuê bao mà các chữ số đều là số lẻ thì , , phải được chọn từ các số
lẻ 1, 3, 5, 7, 9 nên , đều có 5 cách chọn.Vậy theo nguyên lý nhân có thể cung
cấp được 5.5.5.5.5.5.5=57 số thuê bao cố định mà không có số 3.
c)Để đươc số thuê bao gồm 3 chữ số khác nhau thì có 10 cách chọn, có 9 cách chọn,
có 8 cách chọn, có 7 cách chọn, có 6 cách chọn, có 5 cách chọn, có 4 cách
chọn nên theo nguyên lý nhân có thể cung cấp được 10.9.8.7.6.5.4 = 604.800 số thuê bao
mà các chữ số khác nhau .
II.Giải tích tổ hợp
II.1.Chỉnh hợp
*Định nghĩa chỉnh hợp:Một chỉnh hợp chập k của n là một nhóm gồm k phần tử lấy từ n
phần tử ban đầu ( sao cho nhóm k phần tử này thỏa 2 tính chất: không lặp và
quan tâm đến thứ
Ví dụ 2
Cho 3 điểm A,B,C phân biệt trong mặt phẳng.
Một véc tơ khác không được tạo thành từ 3 điểm này là một chỉnh hợp chập 2 của 3 vì một
véctơ khác không được tạo thành từ 3 điểm trên là một nhóm 2 phần tử(1phần tử trong
trường hợp này là 1 điểm) lấy từ 3 phần từ ban đầu thoả 2 tính chất chất:không lặp(vì đang
xét véctơ khác không)và quan tâm thứ tự( đảo thứ tự 2 điểm trong 1 véctơ sẽ tạo véctơ
khác)
* Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là
= n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)=
Ví dụ 3.Từ ví dụ 2 ta có 1 véctơ khác không được tao thành từ 3 điểm là 1 chỉnh hợp chập
2 của 3 nên số véctơ khác không đuợc tạo thành từ 3 điểm bằng số chỉnh hơp chập 2 của 3
và bằng =3.2=6.Cụ thể ta có 6 chỉnh hợp đó là:
II.2.Tổ hợp
*Định nghĩa tổ hợp.Một một tổ hợp chập k của n là nhóm gồm k phần tử lấy từ n phần tử
ban đầu ( sao cho nhóm k phần tử này thỏa 2 tính chất: không lặp và không quan
tâm đến thứ tự
Ví dụ 4. Cho 3 điểm A,B,C phân biệt trong mặt phẳng.
Một đoạn thẳng được tạo thành từ 3 điểm này là một tổ hợp chập 2 của 3 vì một đoạn thẳng
như vậy là một nhóm 2 phần tử lấy từ 3 phần từ ban đầu thoả 2 tính chất chất:không lặp
(nếu 2 điểm trùng nhau thì không thể gọi là 1 đoạn thẳng) và không quan tâm thứ tự( đảo
thứ tự 2 điểm trong 1 đoạn thẳng thì không tạo thành đoạn thẳng khác)
*Số tổ hợp chập k của n phần tử là =
Ví dụ 5.Từ ví dụ 4 ta có 1 đoạn thẳng được tao thành từ 3 điểm là 1 tổ hợp chập 2 của 3
nên số đoạn thẳng đuợc tạo thành từ 3 điểm bằng số tổ hơp chập 2 của 3 và bằng =3.Cụ
thể ta có 6 tổ hợp đó là:AB, AC,BC.
Ví dụ 6.Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
a)Có bao nhiêu cách lấy?
b)Có bao nhiêu cách lấy để được 3 sản phẩm tốt?
c)Có bao nhiêu cách lấy để được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu?
d)Có bao nhiêu cách lấy để được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu?
Giải
a)Một cách lấy ra 3 sản phẩm từ là nhóm 3 từ 9 không lặp và không quan tâm thứ tự ( vì 3
sản phẩm này phân biệt và có thay đổi sự sắp xếp 3 sản phẩm thì cũng là 3 sản phẩm đó
được lấy) nên đó là một tổ hợp chập 3 của 9. Số cách lấy = số tổ hợp chập 3 của 9 và
bằng = = 84
b) Để lấy được 3 sản phẩm tốt thì 3 sản phẩm đó phải lấy từ các sản phẩm tốt trong lô,nên
mỗi cách lấy là 1 tổ hợp chập 3 của 4 Số cách lấy = =4
c)Để được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm ta có 2 giai đoạn:
+ Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có = 6 cách
+ Giai đoạn 1: Lấy 1 sản phẩm xấu có = 6 cách
Theo nguyên lý nhân số cách lấy được 2 sản phẩm tốt, 1sản phẩm xấu là 6.6 = 36 cách.
II.3.Hoán vị
*Định nghĩa hoán vị.
Một chỉnh hợp chập n của n được gọi là một hoán vị của n.
*Số hoán vị của n phần tử là = n!
Ví dụ7. Cho tập hợp S =
a) Có bao nhiêu tập con có 3 phần tử của S?
b) Có bao nhiêu tờ vé số có 3 chữ số khác nhau được tạo từ S?
c) Có bao nhiêu tờ vé số có 5 chữ số khác nhau được tạo từ S?
Giải
a) Một tập con có 3 phần tử của S là 1 nhóm gồm 3 phần tử từ 5 phần tử có tính chất
không lặp và không quan tâm thứ tự nên đó là một tổ hợp chập 3 của 5 số tập
con có 3 phần tử của S = số tổ hợp chập 3 của 5 = =10.
b) Một tờ vé số gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S cũng là nhóm 3 phần tử từ 5
phần tử cũng có tính chất không lặp(3 chữ số khác nhau) nhưng quan tâm thứ
tự(đảo thứ tự 3 chữ số trong tờ vé số ta sẽ được tờ vé số khác). Vậy mỗi tờ vé số
gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S là 1 chỉnh hợp chập 3 của 5 số tờ vé số
gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S = số chỉnh hợp chập 3 của 5 = =60.
c) Tương tự câu b ta có 1 tờ vé số gồm 5 chữ số khác nhau là 1 chỉnh hợp chập 5 của 5
nghĩa là 1 hoán vị của 5 phần tử trong S . Do đó
Số tờ vé số có 5 chữ số khác nhau được tạo từ S=
CHƯƠNG 1
ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤTI.CÁC KHÁI NIỆM
I.1.Phép thử, không gian mẫu, biến cố
*Phép thử là một thí nghiệm có thể cho ra nhiều kết qủa khác nhau mà ta không biết trước được kết quả nào chắc chắn xảy ra.
Ví dụ 1.Tung đồng xu và quan sát xem được mặt nào là 1 phép thử.
Tung một con xúc xắc và quan sát xem được nút nào là một phép thử
*Không gian mẫu.
Không gian mẫu là tập hợp các trường hợp có thể xảy ra của phép thử. Ký hiệu là
Ví dụ 2. Không gian mẫu của phép thử tung đồng xu và quan sát xem được mặt nào là
Không gian mẫu của phép thử tung một con xúc xắc và quan sát xem được nút nào là:
*Biến cố
Biến cố là một tập con của không gian mẫu.Các biến cố thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa A,B,C…
Mỗi tập con chỉ gồm 1 phần tử của được gọi là 1 biến cố sơ cấp
Một biến cố được gọi là xảy ra nếu kết qủa của phép thử là 1 phần tử của biến cố đó.
Biến cố tất yếu.Vì chứa mọi kết qủa của phép thử nên chắc chắn xảy ra, ta gọi là biến cố tất yếu.
Biến cố bất khả.Vì Φ là tập con của và Φ không chứa phần tử nào nên Φ không bao giờ xảy ra, ta gọi Φ là biến cố bất khả.
Ví dụ 3.
*Đối với phép thử tung đồng xu ở trên, ta có các biến cố như sau:
A = “được mặt sấp”(A = )
(Để ký hiệu A là biến có được mặt sấp ta có ta cũng có thể làm như sau:
Gọi A là biến cố được mặt sấp)
B = “được mặt ngửa”(B = )
**Đối với phép thử tung con xúc xắc ở trên, ta có các biến cố như sau:
A=“Được nút 1” (A = ) ,
B= “Được nút chẵn”(B= ,
C= “Được nút chia hết cho 3”(C = )
Ví dụ 4.Một lô hàng có 3 sản phẩm tốt ( ) và 2 sản phẩm xấu( ).Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm và quan sát xem 3 sản phẩm nào được lấy là 1 phép thử. Không gian mẫu của phép thử này là
và ta có những biến cố sau:
Gọi A là biến cố được 3 sản phẩm tốt( )
Gọi B là biến cố được 2 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu. ()
Gọi C là biến cố được 1 sản phẩm tốt,2 sản phẩm xấu. ()
I.2 Phép toán và quan hệ trên biến cố.
*Tổng, tích hai biến cố.
Với 2 biến cố A, B bất kỳ
Tổng của A và B ký hiệu A+B là 1 biến cố sao cho: A+B xảy ra A xảy ra hoặc B xảy ra nghĩa là có ít nhất một biến cố xảy ra.
Tích của A và B ký hiệu AB là 1 biến cố sao cho: AB xảy ra A xảy ra và B xảy ra.
Chú ý: Khi diễn đạt biến cố bằng lời nếu có từ hoặc thì đó là tổng các biến cố, nếu có từ và thì đó là tích các biến cố.
Ví dụ 5.Với A,B trong ví dụ 3phần ** ta có
A+B là biến cố được nút 1 hoặc nút 2
AB là biến cố được nút 1 và nút 2 nghĩa là AB= ɸ
Với A,B trong ví dụ 5 ta có
A+B là biến cố được 3 sản phẩm tốt hoặc được 2 sản phẩm tốt 1 sản phẩm xấu.Nói cách khác A+B là biến cố được ít nhất 2 sản phẩm tốt.
A.B là biến cố được 3 sản phẩm tốt và được 2 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu.
Vậy AB=
* Hai biến cố xung khắc.
Hai biến cố A, B xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời cũng xảy ra, nghĩa là AB = .
*Biến cố đối lập.
Biến cố đối lập của A ký hiệu là đối lập nhau nếu A+ = và A =
Ví dụ 6.Một chiếc hộp có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm
Gọi = “ được i sản phẩm tốt” (i=0,1,2,3,4)
A= “ được ít nhất 2 sản phẩm tốt”,
B= “ được 3 sản phẩm cùng loại”
Hãy biểu diễn các biến cố A, , B, và thông qua các biến cố
Giải
Khi lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm,biến cố A được ít nhất 2 sản phẩm tốt nghĩa là được 2 sản phẩm tốt,2 sản phẩm xấu hoặc được 3 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu hoặc được 4 sản phẩm tốt, do đó A = + +
là biến cố được không quá 1 sản phẩm tốt nghĩa là được 0 sản phẩm tốt hoặc 1 sản
phẩm tốt, do đó = .
Sản phẩm trong hộp có 2 loại: tốt và xấu, vì vậy biến cố B được 4 sản phẩm cùng loại nghĩa là được 4 sản phẩm tốt hoặc được 4 sản phẩm xấu, do đó B = + .
Ta có = “được 4 sản phẩm khác loại” = + +
Ví dụ 7.Có 2 xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập.
Gọi M = “ xạ thủ 1 bắn trúng”, N = “ xạ thủ 2 bắn trúng”.
A = “ cả 2 người bắn trúng”,B = “ có 1 người bắn trúng”.
C = “có ít nhất 1 người bắn trúng”.
Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C thông qua các biến cố M, N, ,
Giải
Ta thấy = “ người 1 bắn không trúng(bắn trật)”, = “ người 2 bắn không trúng(bắn
trật)”
Biến cố A= “ cả 2 người bắn trúng”
= “ người 1 bắn trúng” và “ người 2 bắn trúng” do đó A = M.N
Biến cố B = “có 1 người bắn trúng”= “ người 1 bắn trúng” và “người 2 bắn trật” hoặc “người 1 bắn trật” và “người 2 bắn trúng”, vì vậy
B =M + N
Biến cố C có ít nhất 1 người bắn trúng nghĩa là có 1 người bắn trúng ( B) hoặc có 2 người
bắn trúng (A), do đó C= A+ B = M + N+MN
Nhận xét
Biến cố C có ít nhất 1 người trúng cũng có nghĩa là người 1 trúng hoặc người 2 trúng vì vậy ta cũng có thể biểu diễn C = M+ N
II.Định nghĩa xác suất.
Định nghĩa xác suất cổ điển.
Xét 1 phép thử gồm n biến cố sơ cấp đồng khả năng và biến cố A là tổng của biến cố sơ cấp đồng khả năng. Xác suất của biến cố A ký hiệu P(A) và được định nghĩa như sau:
P(A) = Trong đó:
+ là số trường hợp để A xảy ra hay còn gọi là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A, và đó chính là số phần tử của A,
+n là tổng số trường hơp xảy ra hay còn gọi là số sự kiện đồng khả năng, và đó chính là số phần tử của .
Nhận xét
Để tìm P(A) ta cần tìm 2 con số và n và thường phải sử dụng công cụ tổ hợp. Đối với nhiều bạn đọc, tính P(A) bằng định nghĩa cổ điển là bài toán khó vì họ thường chưa định hướng được cách giải. Ở đây tôi xin nêu cách phân tích để định hướng bài toán như sau:
Tổng số trường hợp xảy ra của phép thử (n ) sẽ phụ thuộc vào phép thử, thế nhưng nhiều người khi tính số này không quan tâm đến phép thử là gì.Đó là một sai lầm. Vì vậy để tìm n các bạn hãy trả lời cho được phép thử là gì.Thực ra nếu phải dung giải tích tổ hợp để tìm n thì phép của bài toán đó sẽ rơi vào 2 loại. Đó là một lần (giai đoạn)thực hiện hay nhiều lần thực hiện? Bạn hãy đọc đề cho kỹ để xác định điều này.(Bạn cũng cần phân biệt số lần thực hiện với số cách thực hiện. Ví dụ một lô hàng có 10 sản phẩm lấy ngẫu nhiên ra k sản phẩm( nghĩa là bốc cùng lúc ra k sản phẩm) thì số lần thực hiện là 1, còn số cách thực hiện là ). Nếu 1 lần thực hiện thì thường sẽ không lặp và không quan tâm thứ tự nên để tìm n ta dung tổ hợp. Còn nếu nhiều lần thì có thể lặp hoặc không và cũng có thể quan tâm thứ tự hoặc không vì vậy số cách thực hiện được tính bằng nguyên lý nhân( số chỉnh hợp, số chỉnh hợp lặp, số hoán vị đều được tính dựa vào nguyên lý nhân). Như vậy khi bạn đã xác định phép thử phép thử rơi vào loại nào trong 2 loại trên bạn chỉ cần dùng tổ hợp hoặc nguyên lý nhân là có thể tìm được n.Để tìm ta phải xem biến có A là biến cố nào. Ràng
buộc A với phép thử, rồi hạn chế bớt số trường hợp có thể xày ra ta sẽ có .
Ví dụ 8.Một chiếc hộp có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm
a)Tính xác suất được 3 sản phẩm tốt.
b)Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu.
c)Tính xác suất được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu.
Giải
a)Gọi A= “được 3 sản phẩm tốt”
Ở đây phép thử là: Lấy cùng lúc ra 3 sản phẩm (1 lần thực hiện) nên mỗi cách lấy ra 3 sản từ hộp tương ứng với một tổ hợp chập 3 của 5(3 sản phẩm khác nhau, không quan tâm thứ tự)
Vậy n = =10.
Tương tự lấy được 3 sản phẩm tốt là một tổ hợp chập 3 của 3 nên = =1
P(A)=
b) Gọi B= “được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu”
Để lấy được 3 sản phẩm trong đó có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu ta chia 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có = 3 cách
Giai đoạn 2: Lấy 1 sản phẩm xấu có = 2 cách
Theo nguyên lý nhân = 3.2=6
Vậy P(B)=
c) Gọi C= “được1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu”.
Để lấy được 3 sản phẩm trong đó có 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu
ta chia 2 giai đoạn
Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có = 3 cách
Giai đoạn 2: Lấy 1 sản phẩm xấu có = 1 cách
Theo nguyên lý nhân = 3.1=3
Vậy P(C)=
Ví dụ 9.Chọn ngẫu nhiên 1 tờ vé số có 3 chữ số, tính xác suất
a) được tờ không có số 3.
b) được tờ có 3 chữ số khác nhau.
c) được tờ có 3 chữ số đều là số lẻ.
Giải
Ba chữ số của tờ vé số được cấu tạo từ 10 chữ số: 0,1,…8,9. Nhưng ở đây không phải lấy 1 lần ra 3 chữ số từ 10 chữ số vì nếu lấy cùng lúc thì 3 chữ số đó đều phải khác nhau(không có số nào được trùng lại),trong khi đó 3 chữ số trên tờ vé số có thể trùng lại. Như vậy phép thử ở đây phải hiểu: Quan sát 3 lần chọn, mỗi lần chọn một số từ 0 đến 9 nghĩa là có 3 lần thực hiện và mỗi lần có 10 cách nên tổng số trường hợp xảy ra n= 10.10.10= 1000
a)Gọi A = “được tờ không có số 3”.
Số trường hợp để A xảy ra = 9.9.9=729
Vậy P(A)=
b)Gọi B = “được tờ có 3 chữ số khác nhau”.
Số trường hợp để B xảy ra =10.9.8=720(có thể thấy
= =720)
Vậy P(B)=
c)Gọi C = “được tờ có 3 chữ số đều là số lẻ”.
Số trường hợp để C xảy ra =5.5.5=125
Vậy P(C)=
Ví dụ 10. Đoàn tàu điện gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở đó đang có 12 hành khách chờ lên tàu. Giả sử hành khách lên tàu ngẫu nhiên và mỗi toa còn hơn 12 chổ trống.Tính xác suất:
a) Tất cả cùng lên toa II
b) Tất cả cùng lên 1 toa.
c) Toa 1 có 4 người, toa 2 có 5 người, còn lại lên toa 3.
Giải
Ta thấy bài toán không quan tâm đến chỗ ngồi mà chỉ quan tâm đến toa.Giả thiết mỗi toa còn hơn 12 chỗ trống để có thể cho 12 người vào cùng 1 toa.
Phép thử ở đây quan sát mỗi người chọn 1 toa tàu để lên. Do đó có 12 lần( giai đoạn) thực hiện.Mỗi người chọn 1 trong 3 toa nên có =3 cách.Có 12 người nên theo nguyên lý nhân
n=3.3…3=
a)Gọi A = “tất cả cùng lên toa II”
Số trường hợp để A xảy ra = 1.1…1=1
Vậy P(A)=
b) Gọi B = “tất cả cùng lên 1 toa”
Người thứ nhất không có ràng buộc gì mà chỉ chọn 1 toa từ 3 toa nên có =3, những người còn lại phải lên toa mà người thứ nhất đã lên nên mỗi người có 1 cách chọn.
Số trường hợp để B xảy ra = .1.1…1=3
Vậy P(B)=
c)Gọi C = “Toa 1 có 4 người, toa 2 có 5 người, còn lại lên toa 3”.
= =27.720.
Vậy P(C)=
Ví dụ 11.Xếp ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì ghi sẵn địa chỉ, mỗi phong bì 1 lá.
a)Tính xác suất cả 3 lá đúng người nhân.
b) Tính xác suất lá 1 đúng người nhận
Giải
Rõ ràng phép thử gồm 3 lần thực hiện(mỗi lần là xếp 1 lá thư vào phong bì)
Vì mỗi lá thư vào 1 phong bì nên lá thứ nhất có 3 cách, lá thứ 2 có 2 cách và lá thứ 3 có 1 cách.Theo nguyên lý nhân n=3.2.1= 6
a)Gọi A= “cả 3 lá đều đúng người nhận”
Để tính số trường hợp để A xảy ra ta thấy lá 1 có 1 cách( phải xếp vào phong bì của lá 1), tương tự lá 2, 3 cũng có 1 cách = 1.1.1=1
P(A)=
b) Gọi B= “lá 1 đúng người nhận”
Để tính số trường hợp để B xảy ra ta thấy lá 1 có 1 cách( phải xếp vào phong bì của lá 1), lá 2 có 2 cách,lá 3 có 1 cách = 1.2.1=2
P(A)=
Ví dụ 12. Hộp 1 có 4 bi đỏ, 6 bi trắng.Hộp 2 có 3 bi đỏ, 5 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp ra 1 bi.
a) Tính xác suất được 2 bi đỏ.
b) Tính xác suất được 1 bi đỏ, 1 trắng.
Giải
Phép thử gồm 2 lần(giai đoạn) thực hiện.
Giai đoạn 1:Lấy từ hộp 1 ra 1 bi có 10 cách.
Giai đoạn 2:Lấy từ hộp 2 ra 1 bi có 8 cách
Theo nguyên lý nhân n= 10.8=80
a)Gọi A = “Được 2 bi đỏ”
Để được 2 bi đỏ ta chia 2 giai đoạn.
Giai đoạn 1:Bi từ hộp 1 phải được bi đỏ có 4 cách
Giai đoạn 2:Bi từ hộp 2 phải được bi đỏ có 3 cách
Số cách lấy được 2 bi đỏ: =4.3=12
P(A)=
b) A = “Được 1 bi đỏ, 1 trắng”
Để tính ta có 2 trường hợp:
Trường hợp 1:Bi từ hộp 1 là bi đỏ, bi từ hộp 2 là bi trắng có : 4.5=20
Trường hợp 2: Bi từ hộp 1 là bi trắng, bi từ hộp 2 là bi đỏ có: 6.3=18
=20+18=38
P(B)=
Ví dụ 13. Một lô hàng có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu. Lấy ra 2 sản phẩm theo 3 cách sau:
+Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm.
+Lấy lần lượt có hoàn lại ra 2 sản phẩm.
+ Lấy lần lượt không hoàn lại ra 2 sản phẩm.
Xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố sau trong 3 phép thử trên:
a) Lấy được 2 sản phẩm tốt. b) Lấy được 2 phế phẩm.
Giải
Ba sản phẩm trong lô hàng là phân biệt nhau nên ta ký hiệu 2 sản phẩm tốt là còn
sản phẩm xấu ta ký hiệu .
Với phép thử lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm.
Ở đây phép thử là lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm (1 lần thực hiện) nên mỗi cách lấy là 1 nhóm gồm 2 sản phẩm không lặp và không quan tâm thứ tự (vì ta có thay đổi thứ tự của 2 sản phẩm thì vẫn 2 sản phẩm đó được lấy) nên mỗi cách lấy như vậy là một tổ hợp chập 2 của 3. Suy ra, tổng số trường hơp xảy ra n= =3 và không gian mẫu của phép thử là:
a) Gọi A = “ được 2 sản phẩm tốt”
Số trường hợp để A xảy ra: = =1 (A = )
P(A) =
b) Gọi B = “được 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu”
Số trường hợp để B xảy ra: = 2 (B = )
P(A) =
Với phép thử lấy lần lượt không có hoàn lại ra 2 sản phẩm .
Ở đây phép thử là lấy lần lượt( không cùng lúc) ra 2 sản phẩm( 2 lần thực hiện). Nên mỗi cách lấy là một nhóm 2 sản phẩm không lặp ( vì lấy không hoàn lại) và quan tâm thứ tự (vì lấy lần lượt) nên đó là một chỉnh hợp chập 2 của 3. Suy ra, tổng số trường hơp xảy ra: n= = 3.2 = 6 và không gian mẫu của phép thử là:
a) Gọi A = “ được 2 sản phẩm tốt”
Số trường hợp để A xảy ra: = =2 (A = )
P(A) =
b) Gọi B = “ được 1 sản phẩm tốt 1 sản phẩm xấu”
Số trường hợp để B xảy ra
Ta có 2 trường hợp.
Trường hợp 1:Sản phẩm đầu tốt, sản phẩm sau xấu
Để đếm số cách trong trường hợp này ta chia 2 giai đoạn
Giai đoạn 1: Lấy sản phẩm lần 1, để được tốt ta có 2 cách
Giai đoạn 2: Lấy sản phẩm lần 2, để được tốt ta có 1 cách.
Theo nguyên lý nhân có 2.1=2 cách trong trường này.
Trường hợp 2:Sản phẩm đầu xấu, sản phẩm sau tốt
Tương tự ta cũng có 1.2= 2 cách trong trường này.
Suy ra (B )
P(B) =
Với phép thử lấy lần lượt có hoàn lại ra 2 sản phẩm.
Giống như cách lấy 2 ở đây phép thử cũng lấy lần lượt( không cùng lúc) ra 2 sản phẩm( 2 lần thực hiện). nhưng mỗi cách lấy là một nhóm 2 sản phẩm có thể lặp lại ( vì có hoàn lại) .Theo nguyên lý nhân tổng số trường hơp xảy ra n= = 9 và không gian mẫu của phép thử là:
a)Gọi A = “ được 2 sản phẩm tốt”
Số trường hợp để A xảy ra: = 2.2=4(A )
P(A) =
b)Gọi B= “được 1 sản phẩm tốt 1 sản phẩm xấu”
Tương tự như trường lấy không hoàn lại, số trường hợp để B xảy ra: 4
(B = )
P(B) =
Nhận xét:
*Cách 1 và cách 2 có xác suất giống nhau nhưng phép thử là khác nhau.
* Ta có thể tính xác suất của các biến cố trong cách 2 , và 3 bằng định lý xác suất.
BÀI TẬP
1.1Một công ty có 4 nhân viên nam, 5 nhân viên nữ. Giám đốc công ty chọn ngẫu nhiên ra 4 người đi công tác.
a) Tính xác suất giám đốc chọn được 4 người nam đi công tác.
b) Tính xác suất giám đốc chọn được 3 người nam, 1 người nữ đi công tác.
1.2 Môt công ty kinh doanh với hóa đơn gồm 7 chữ số. Công ty phát thưởng bằng cách dùng hàm random chọn ngẫu nhiên 1 hóa đơn từ máy vi tính.Tính xác suất số hóa đơn trúng thưởng
a) là một số chẵn
b) là một số có số đầu tiên là số 9 và các chữ số đều khác nhau.
c) là một số có số đầu tiên là số 9, chữ số còn lại khác nhau và số lẻ.
1.3 Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ra 3 sản phẩm theo 3 cách sau:
+Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
+Lấy lần lượt có hoàn lại ra 3 sản phẩm.
+ Lấy lần lượt không hoàn lại ra 3 sản phẩm.
Xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố sau trong 3 phép thử trên:
a) Lấy được 3 sản phẩm tốt. b) Lấy được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm
1.4 Có 4 khách hàng cùng đi vào 1 cửa hàng có 6 quầy phục vụ. Tính xác suất để:
a)Cả 4 khách đến cùng 1 quầy.
b)Mỗi người đến 1 quầy khác nhau.
1.5 Giả sử cấu tạo protein của sinh vật chỉ gồm 14 loại axit amin cơ bản.
Tính xác suất sinh tổng hợp chuỗi polypeptid (mạch thẳng) gồm 12 axit amin, sao cho:
a) Trong chuỗi có các axit amin valine, cystine, thyroxine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 1 lần và các axit amin glycine, leucine mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 2 lần.
b) Trong chuỗi có các axit amin valine, cystine, thyroxine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 1 lần và các axit amin glycine, leucine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 2 lần.Tất cả các axit amin này (valine, cystine,thyroxine glycine và leucine ) luôn nằm gần nhau và nằm giữa các axit amin valine, cystine là các axit amin glycine, leucine, thyroxin.
CHƯƠNG 2:CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
I.Công thức cộng xác suất.
I.1.Công thức cộng 1
Nếu A, B xung khắc thì P(A+B) = P(A) +P(B)
Nếu xung khắc từng đôi thì P( = P(
I.2 Công thức cộng 2
Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thì P(A+B) = P(A) +P(B)-P(AB)
Nếu A, B, C là 3 biến cố bất kỳ thì P(A+B+C) = P(A) +P(B)+P(C)- P(AB)-P(AC)-
P(BC)+P(ABC).
Nhận xét . Khi dùng công thức cộng để tính xác suất, bạn đọc cần lưu ý rằng loại bài toán
này sẽ có 2 loại biến cố: Biến cố bài toán đã cho (thường tính được xác suất hoặc đã biết
xác suất) và biến cố cần tính xác suất (các bạn phải nhận ra được chúng). Do đó các bạn
phải đặt tên các biến cố đã cho để dùng (nếu các biến cố đã cho chưa được ký hiệu), sau đó
biểu diễn biến cố cần tính xác suất thông qua các biến cố đề cho. Khi biểu diễn biến cố cần
tính xác suất, diễn đạt các biến cố thành lời nếu các bạn thấy có từ hoặc thì các bạn nên
nghĩ đến quan hệ tổng và sẽ dùng công thức cộng
Ví dụ 1.Một lô hàng có 4 sản phẩm loại I, 5 sản phẩm loại II.
Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm
a)Tính xác suất được 3 sản phẩm cùng loại.
b)Tính xác suất được không quá 2 sản phẩm loại I.
Giải
Đề bài cho các biến cố: = “có i sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm lấy ra từ lô hàng”.( i=
0,1,2,3)
Các biến cố này xung khắc từng đôi và P( ) = ,
P( ) = , P( ) = , P( ) =
a) Biến cố cần tính xác suất: A= “được 3 sản phẩm cùng loại”
Vì lô hàng chỉ có 2 loại nên được 3 sản phẩm cùng loại là được 3 sản phẩm cùng loại I
hoặc được 3 sản phẩm cùng loại II” nên A = + . Suy ra P(A)=P( + )=P( P(
)=
b) Gọi B= “được không quá 2 sản phẩm loại I”
Ta có B = + .Vì xung khắc từng đôi nên
P(B) = P( + )=
Ví dụ 2. Trong 1 kỳ thi AN phải thi 2 môn: toán và ngoại ngữ. Xác suất An đậu toán là 0,2,
xác suất An đậu ngoại ngữ là 0,3. Còn xác suất An đậu cả 2 môn là 0,1. Tính xác suất An
đậu ít nhất môt môn.
Giải
Ta thấy đề bài cho 3 biến cố là: H= “An đậu môn toán”, K=“An đậu ngoại ngữ” và M=
“An đậu môn toán và đậu ngoại ngữ”. Ta có H, K là 2 biến cố không xung khắc cũng
không độc lập, M = HK, P(H)= 0,2, P(K) = 0,3, P(M) = P(HK) = 0,1.
Biến cố cần tính xác suất A = “An chỉ đậu ít nhất 1 môn” nghĩa là An đậu toán và đậu
ngoại ngữ do đó A= H+K. Vì H, K không xung khắc( An có thể thi đậu cả toán và ngoại
ngữ) nên P(A) = P(H+K) = P(H) + P(K) – P(HK) = 0,2+0,3 -0,1= 0,4
II.Công thức nhân xác suất.
II.1.Xác suất có điều kiện.
Xác suất của A tính trong trường hợp B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A
với điều kiện B xảy ra.Ký hiệu P(A/B)
Ví dụ 3. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ các số 1,2,…,20.Tính xác suất được số chia hết cho 2
biết rằng đã được số chia hết cho 3
Giải
Gọi A = “được số chia hết cho 2” ta dễ thấy P(A) = 10/20
Nhưng ở đây yêu cầu tính xác suất của A biết rằng đã được số chia hết cho 3 nghĩa là tính
xác suất của A khi đã có B = “đã được số chia hết cho 3” xảy ra.Vậy ta cần tính P(A/B)
Khi đã được số chia hết cho 3 ta thấy tổng số trường hợp n= 6 vì chỉ còn có 6 trường hợp
có thể xảy ra đó là được các số 3,6,9,12,15,18, và trong đó có 3 trường hợp để A xảy
ra( được các số 6,12,18) vì vậy theo định nghĩa xác suất cổ điển xác suất của A trong
trường hợp này 3/6
Vậy P(A/B) =3/6=1/2.
Ví dụ 4.Một lớp học có 100 sinh viên trong đó có 30 sinh viên giỏi toán, 40 sinh viên giỏi
ngoại ngữ và 10 sinh viên giỏi cả 2 môn. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ lớp học.
a) Tính xác suất được sinh viên giỏi toán.
b) Tính xác suất được sinh viên giỏi toán, biết rằng sinh viên đó giỏi ngoại ngữ.
Giải
Gọi A = “ được sinh viên giỏi toán”
Gọi B = “ được sinh viên giỏi ngoại ngữ”
a) P(A) = 30/100
b)Theo yêu cầu ta tính P(A/B)
Khi B xảy ra nghĩa là ta đã chọn được sinh viên giỏi ngoại ngữ nên tổng số trường hợp
xảy ra n = 40, trong đó có 10 sinh viên giỏi toán nên = 10 . Vậy P(A)= 10/40
Ví dụ 5. Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Có 2 người khách mỗi người lần
lượt lấy từ lô ra 1 sản phẩm để mua.Tính xác suất người thứ 2 mua được sản phẩm tốt biết
rằng người thứ nhất mua được sản phẩm tốt.
Giải
Gọi B = “ khách hàng thứ nhất mua được sản phẩm tốt”
Gọi A = “khách hàng thứ hai mua được sản phẩm tốt”
Ta cần tính P(A/B)
Khi B xảy ra (người thứ nhất đã lấy đi 1 sản phẩm và đó là sản phẩm tốt), lúc này lô hàng
chỉ còn 8 sản phẩm trong đó có 3 tốt, 5 xấu. Người thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm để
mua thì tổng số trường hợp xảy ra n = 8, = 3.Vậy P(A/B) = 3/8
*Định lý. P(A/B) =
II.2.Hai biến cố độc lập
Hai biến cố A, B được gọi là độc lập nếu P(A/B)= P(A) hoặc P(B/A)=P(B)
II.3.Công thức nhân xác suất 1.
Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P(A).P(B)
Nếu độc lập trong toàn bộ thì P( = P(
Ví dụ 6. Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất máy 1, máy 2, máy 3 hoạt
động tốt trong 1 ca làm việc lần lượt là 0,1,0,2 và 0,3
a) Tính xác suất cả 3 máy đều hoạt động tốt.
b) Tính xác suất có 2 máy hoạt động tốt.
c) Tính xác suất có 1 máy hoạt động tốt.
d) Tính xác suất có ít nhất 1 máy hoạt động tốt.
e) Biết rằng có 2 máy hoạt đông tốt tính xác suất máy 1 hoạt động tốt
Giải
Đề bài cho 3 biến cố: = “ Máy 1 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc” , = “ Máy 2
hoạt động tốt trong 1 ca làm việc”, = “ Máy 3 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc”, với P(
) = 0,1, P( ) = 0,2, P( ) = 0,3. Các biến cố , , không xung khắc từng
đôi, nhưng độc lập trong toàn bộ.
Ta ký hiệu bốn biến đề bài cần tính xác suất trong các câu a, b, c, d lần lượt là A, B, C, D.
a)Ta có A = . . P(A) = P( ).P( ).P( )= 0,1.0,2.0,3=0,006 (do ,
, độc lập trong toàn bộ)
b) B = . . + . . + . .
P(B) = P( . . )+ P( . . )+P( . . )
(do 3 biến cố xung khắc từng đôi)
= P( ).P( ).P( )+P( ).P( ).P( )+P( ).P( ).P( )
=0,1.0,2.0,7+0,1.0,8.0,3+0.9.0,2.0,3= 0,092
c) C = . . + . + . .
Tương tự câu b, ta có P(C) =P( ).P( ).P( )+ P( ).P( ).P( )+P( ). P(
).P( )=0,1.0,8.0,7 + 0,9.0,2.0,7 +0,9.0,8.0,3 = 0,398
d)D = . . + . . + . . + . . + . . +
. + . .
P(D) = P( ).P( ).P( )+P( ). P( ).P( )+ P( ).P( ).P( )+P( ). P(
).P( )+P( ).P( ).P( )+ P( ).P( ).P( )+P( ). P( ).P( ) =
0,496
Ta cũng có thể tính P(D) như sau: D = + + , với cách phân tích này do , ,
không xung khắc nên
P(D) = P( )+ P( )+P( )-P( . )-P( . )-P( . )+P( )= P( )
+ P( )+P( )-P( ).P( )-P( ).P( )-P( ).P( )+P( )
= 0,1+0,2+0,3 -0,1.0,2-0,1.0,3-0,2.0,3+0,1.0,2.0,3= 0,496
Hoặc có thể dùng biến cố đối lập P( ) = 1 – P(D) = 1- P( ).P( ).P( ) = 1-
0,9.0,8.0,7= 0,496
e)P( /B)= =
=0,152
II.4. Công thức nhân xác suất 2.
Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thì
P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B)P(A/B)
Nếu là các biến cố bất kỳ thì P( =P(
Ví dụ 7. Xếp ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì ghi sẵn địa chỉ, mỗi phong bì 1 lá.Tính
xác suất cả 3 lá đúng người nhân.
Giải
Giống như ví dụ 6 ở đây đề cho 3 biến cố: = “ Lá 1 bỏ đúng phong bì” , = “Lá 2 bỏ
đúng phong bì”, = “Lá 1 bỏ đúng phong bì ”, nhưng chưa cho xác suất của 3 biến cố
này và 3 biến cố , , , không xung khắc từng đôi, không độc lập trong toàn bộ.
Gọi A = “Cả 3 lá đều bỏ đúng”.
Vì các biến cố , , , không độc lập trong toàn bộ nên để tính các xác suất này ta
phải dùng công thức nhân 2.
Ta có A = . .
P(A) = P( ).P( / ).P( / )
P( )=2/6 , P( / )= ½
(Khi xảy ra nghĩa là lá 1 đã bỏ đúng, tổng số trường hợp n= 2! Số trường hợp để
xảy ra(lá 2 bỏ đúng) là =1),
P( / ) =1.Vậy P(A)= 2/6 .1 / 2 .1 =1/6
Ví dụ 8. Một người tham gia đấu thầu 2 dự án. Khả năng trúng thầu dự án thứ nhất là
0,6. Nếu trúng thầu ở dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu ở dự án thứ 2 là 0,8, còn
nếu không trúng thầu ở dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu ở dự án thứ 2 chỉ còn là
0,3.Tính xác suất
a) Trúng thầu dự án thứ 2
b) Trúng thầu cả 2 dự án
c) Trúng thầu 1 dự án
d) Trúng thầu ít nhất 1 dự án
Giải
Gọi = “người đó trúng thầu ở dự án thứ nhất”
= “người đó trúng thầu ở dự án thứ hai”
a)Tacó = + P( )=P( + )=P( )P( / )+P( )P( / )=
0,6.0,8+0,4.0,3=0,6
b) Gọi A = “Trúng thầu cả 2 dự án”
A= P(A)= P( )P( / )=0,6.0,8=0,48
c)Gọi B = “Người đó trúng thầu 1 dự án”
B= + P(B) =P( )P( / )+P( )P( / )=0,6.0,2+0.4.0,3=0,24
d)Gọi C = “Người đó trúng thầu ít nhất 1 dự án”
C= + + P(C)= P( )P( / )+P( )P( / )+P( )P( / )
=0,6.0,2+0.4.0,3+0,6.0,8=0,72
Hoặc P(C)= 1- P( )= 1- P( )=1-P( )P( )=1-0,4.0,7=0,72
III.Công thức Bernoulli.
III.1 Dãy phép thử Bernoulli
Dãy n phép thử Bernoulli là dãy phép thử thỏa 3 điều kiện:
-Các phép thử độc lập.
- Trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc xảy ra.
- Xác suất P(A) = p (cố định) trong mỗi phép thử.
III.2.Công thức Bernoulli:
Gọi là xác suất được k lần A xảy ra trong dãy n phép thử Bernoulli. Khi đó =
k = 0,1,…,n; q=1-p
Ví dụ 9. Một nhân viên bán hàng 1 ngày bán hàng ở 5 địa điểm, xác suất bán được hàng ở
mỗi địa điểm là 0,2
a) Tính xác suất có 2 địa điểm bán được hàng.
b) Tính xác nhân viên bán được hàng
Giải
Nếu ta coi việc nhân viên đến bán hàng ở 1 địa điểm là 1 phép thử thì nhân viên này đến
bán hàng ở 5 địa điểm coi như 1 dãy 5 phép thử.Trong mỗi phép thử hoặc người đó bán
được hàng hoặc người đó không bán đượ hàng nghĩa là hoặc biến cố A = “Nhân viên bán
được hàng” xảy ra hoặc xảy ra và P(A) = 0,2.Vậy đây là dãy 5 phép thử Bernoulli.
a)Gọi B = “ có 2 địa điểm bán được hàng”
Khi đó B= “có 2 lần A xảy ra trong dãy 5 phép thử Bernoulli”.
Vì vậy P(B) = =
b)Gọi C = “ nhân viên bán được hàng”
= “ Nhân viên không bán được hàng” = “ có 0 địa điểm bán được hàng”
P( ) = = = 0,32768
Vậy P(C)= 1- P( )=0,67232
V.Công thức xác suất toàn phần, BAYES.
V.1.Nhóm biến cố đầy đủ.
Nhóm biến cố , được gọi là đầy đủ nếu:
- . = ( xung khắc từng đôi)
- + =Ω
V.2 Công thức xác suất toàn phần.
Nếu A là biến cố bất kỳ được chi phối bởi nhóm biến đầy đủ , thì
P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ +…+P( ).P(A/
V.3Công thức xác suất Bayes
Cho , là nhóm biến cố đầy đủ và A là biến cố được chi phối bởi nhóm
biến đầy đủ này.Giả sử A xảy ra, khi đó P( /A) = , j = 1,2,…,n
Nhận xét. Để áp dụng công thức xác suất toàn phần ta phải thấy được nhóm biến cố đầy đủ
chi phối biến cố A. Khi sử dụng công thức này ta phải biết chọn nhóm biến cố đầy đủ cho
phù hợp với biến cố A cần tính xác suất. Nếu bài toán gồm 2 phần thì biến cố cần tính xác
suất sẽ liên quan đến phần sau còn phần đầu sẽ có nhóm biến cố đầy đủ. Nếu bài toán gồm
2 bước hoặc 2 giai đoạn thì thì biến cố cần tính xác suất liên quan đến bước sau còn phần
đầu sẽ có nhóm biến cố đầy đủ
Ví dụ 10. Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất cùng 1 loại sản phẩm. Sản phẩm của
phân xưởng I chiếm 30% số lượng sản phẩm của nhà máy. Tương tự, phân xưởng II và III
chiếm 35% và 25%. Tỷ lệ chính phẩm của từng phân xưởng lần lượt là 94%,98% và 97%.
Tính tỷ lệ chính phẩm của nhà máy.
Giải
Bài toán này gồm 2 phần: phân xưởng của nhà máy và sản phẩm chính phẩm.Việc tính tỷ
lệ chính phẩm của nhà máy tương đương với chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy,
tính xác suất được chính phẩm. Biến cố cần tính xác suất A= “được sản phẩm chính phẩm”
liên quan đến phần chính phẩm, như vậy theo nhận xét trên nhóm đầy đủ sẽ liên quan đến
phần đầu và đó là các biến cố : = “ sản phẩm lấy ra là của phân xưởng i” i=1,2,3 (bạn
đọc dễ dàng kiểm tra đây là nhóm đầy đủ)
Theo giả thiết ta có P( ) = 0,4, P( ) = 0,35, P( ) = 0,425
P(A/ ) = 0,94( Ở đây diễn dạt thành lời ta thấy: P(A/ ) là xác suất được chính phẩm với
điều kiện sản phẩm này do phân xưởng I sản xuất ra, theo đầu bài ta có ngay 0,94)
Tương tự P(A/ ) = 0,98, P(A/ ) = 0,97
Theo công thức xác suất toàn phần
P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ +P( ).P(A/ =0,4.0,94+0,35.0,98+0,25.0,97
=0,9615
Ví dụ 11. Có 2 lô sản phẩm: Lô I có 8 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm
xấu. Lô II có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ
lô hàng I ra 2 sản phẩm bỏ vào lô hàng II rồi từ lô hàng II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy từ lô hàng II.
Giải
Biến cố cần tính xác suất A = “ có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy từ
lô II”. Ta không thể tính trực tiếp P(A), vì xác suất của A thay đổi tùy thuộc vào trong
thực tế biến cố nào trong các biến cố chi phối A xảy ra. Vậy các biến cố chi phối A ở đây
là gì? Ở đây bài toán gồm 2 bước, bước 1 lấy 1 sản phẩm từ lô hàng I bỏ sang lô hàng II ,
bước 2 lấy từ lô hàng II ra 2 sản phẩm. Biến cố A nằm ở bước 2 và nó phụ thuộc vào bước
1 lấy được 2 sản phẩm gì từ lô I bỏ vào lô II , từ đây ta có nhóm biến cố đầy đủ là :
lần lượt là các biến cố “có 0,1,2 sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy từ lô I bỏ vào
lô II”
Ta có P( )= , P( )= ,P( )=
P(A/ ) = , P(A/ )= , P(A/ )=
Theo công thức xác suất toàn phần P(A) = P( ).P(A/ +P( ).P(A/ +P( ).P(A/
= + + =2811/6160=0,4563
Cách khác.Ta cũng thấy xác suất của A phụ thuộc vào 3 sản phẩm lấy từ lô II là sản phẩm
của lô nào và với cách phân tích này ta có thể tính xác suất của A dựa vào nhóm biến cố
đầy đủ: = “có 3 sản phẩm của lô hàng II trong 3 sản phẩm lấy từ lô II” , = “có 2 sản
phẩm của lô hàng II, 1 sản phẩm của lô I trong 3 sản phẩm lấy từ lô II”, = “có 1 sản
phẩm của lô hàng II, 2 sản phẩm của lô I trong 3 sản phẩm lấy từ lô II”
P( ) = , P( ) = , P( ) =
Tính P(A/ )
Khi xảy ra ta có 3 sản phẩm lấy từ lô II là sản phẩm của lô II, nên tổng số trường hợp
xảy ra n = , số trường hợp để A xảy ra: =
P(A/ )= .
Khi xảy ra ta có trong 3 sản phẩm lấy từ lô II có 2 sản phẩm của lô II, 1 sản phẩm của
lô I để được 2 sản phẩm tốt, 1 xấu thì 2 sản phẩm của lô II là 2 sản phẩm tốt và sản phẩm
của lô I là xấu hoặc 2 sản phẩm của lô II có 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu và sản phẩm
của lô I là sản phẩm tốt do đó
P(A/ )= , P(A/ )=
Theo công thức xác suất toàn phần
P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ +P( ).P(A/
= + + =0,4563
Ví dụ 12.Thùng I có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu trắng.
Thùng II có 5 quả cầu đỏ, 7 quả cầu trắng.
Thùng III có 4 quả cầu đỏ, 5 quả cầu trắng.
Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng I bỏ vào thùng II, rồi từ thùng II lấy ngẫu nhiên 1 quả
bỏ vào thùng III sau cùng từ thùng III lấy ngẫu nhiên ra 3 quả.Tính xác suất có 2 quả đỏ, 1
qủa trắng trong 3 qủa lấy từ thùng III
Giải
Ta thấy biến cố cần tính xác suất A = “có 2 quả đỏ, 1 qủa trắng trong 3 qủa lấy từ thùng
III” phụ thuộc vào quả lấy từ thùng II bỏ vaò là quả màu gì. Do đó ta có nhóm biến cố đầy
đủ chi phối biến cố A là =“quả lấy từ thùng II bỏ vào thùng III là đỏ”, =“quả lấy từ
thùng II bỏ vào thùng III là trắng” .Theo công thức xác suất toàn phần P(A)=P( ).P(A/
+ P( ).P(A/ .Để tính P( ),ta thấy biến cố này phụ thuộc vào 2 quả bỏ từ hôp I
vào hộp II là quả màu gì và như vậy nhóm biến cố đầy đủ chi phối biến cố là: = “ Có
0 qủa đỏ trong 2 quả lấy từ hộp I bỏ vào hộp II”, = “ Có 1 qủa đỏ trong 2 quả lấy từ hộp
I bỏ vào hộp II”, = “ Có 2 qủa đỏ trong 2 quả lấy từ hộp I bỏ vào hộp II”.Theo định lý
xác suất toàn phần P( )=P( ).P( +P( ).P( +P( ).P( = +
+ =
Tương tự P( =P( )=P( ).P( +P( ).P( +P( ).P( = (Hoặc
P( =1- P( ))
P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ = . + = =
Cách khác. Ta cũng thấy xác suất của A phụ thuộc vào 3 quả cầu lấy từ hộp III là quả cầu
của hộp nào(cuả hộp này xác suất sẽ khác so với quả cuả hộp khác ) và với cách phân tích
này ta có thể tính xác suất của A dựa vào nhóm biến cố đầy đủ: = “có 3 quả của hộp III
trong 3 quả lấy từ hộp III” , = “có 2 quả của hộp III, 1 quả hộp II trong 3 quả lấy từ
hộp III”, = “có 2 quả của hộp III, 1 quả hộp I trong 3 quả lấy từ hộp III”,
P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ +P( ).P(A/ = + .
+ = + +
=
Ví dụ 13. Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Có 2 người khách mỗi người lần
lượt lấy từ lô ra 1 sản phẩm để mua.
a) Tính xác suất người thứ 2 mua được sản phẩm tốt.
b) Biết rằng người 2 mua được sản phẩm tốt tính xác suất người thứ nhất mua được
sản phẩm tốt.
Giải
a)Phép thử của bài toán gồm 2 bước. Bước 1 khách hàng thứ nhất lấy mua 1 sản phẩm.
Bước 2 khách hàng 2 lấy mua một sản phẩm. Ta thấy biến cố cần tính xác suất A = “
khách hàng thứ hai mua được sản phẩm tốt”. phụ thuộc vào nhóm biến cố đầy đủ: B =
“khách hàng thứ nhất mua được sản phẩm tốt”, = “khách hàng thứ nhất mua được sản
phẩm xấu”. Do đó theo công thức xác suất toàn phần
P(A)= P(B) P(A/B)+ P( )P(A/ ) =
b)Theo yêu cầu ta cần tính P(B/A).Áp dụng công thức Bayes
P(B/A)= = 3/8
BÀI TẬP
2.1.Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 6 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm.
1) Tính xác suất được ít nhất 2 sản phẩm tốt2) Tính xác suất được không quá 1 sản phẩm tốt.
2.2 Một doanh nhân đầu tư vào 2 dự án.Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư các dự án I, II tương ứng là 9%, 7% và gặp rủi ro đồng thời khi đầu tư vào cả 2 dự án là 4%. Tính xác suất ít nhất 1 dự án gặp rủi ro.
2.3 Ba công ty A, B, C kinh doanh độc lập.Xác suất công ty A, B,C bị thua lỗ trong 1 năm lần lượt là 0,2; 0,4;0,7.
Tính xác suất:
a) Cả 3 công ty cùng thua lỗ trong 1 năm.
b) Có 2 công ty bị thua lỗ trong 1 năm.
c) Có ít nhất 1 công ty bị thua lỗ trong 1 năm.
2.4 Tỷ lệ phế phẩm của 1 máy là 5%.Tính xác suất trong 10 sản phẩm do máy sản xuất có không quá 1 phế phẩm.
2.5 Một lô hàng có 6 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Nhân viên cửa hàng lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm đem trưng bày, sau đó một khách hàng chọn mua 3 sản phẩm từ lô hàng.
a) Tính xác suất khách hàng mua đuợc 2 sản phẩm tốt,1 xấu.
b) Nếu khách hàng mua được2 sản phẩm tốt,1 xấu. tính xác suất 2 sản phẩm nhân viên đem trưng bày có 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu.
2.6 Một lô hàng có 60% sản phẩm của máy A, 40%sản phẩm của máy B.Tỷ lệ phế phẩm của các máy tương ứng là 3% và 4%.Lấy ngẫu nhiên từ lô 1 sản phẩm để kiểm tra
a)Tính xác suất được phế phẩm
b) Biết rằng được phế phẩm,tính xác suất phế phẩm đó là của máy A.
2.7 Có 3 lô hàng: Lô hàng I có 4 sản phẩm tốt và 5 phế phẩm. Lô hàng II có 5 sản phẩm tốt và 7 phế phẩm. Lô hàng III có 7 sản phẩm tốt và 6 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng I ra 2 sản phẩm bỏ vào lô hàng II, rồi từ lô hàng II lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm bỏ vào lô hàng III. Sau đó từ lô hàng III lấy 3 sản phẩm đem trưng bày thì thấy được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm. Tính xác suất để 3 sản phẩm đem trưng bày có 2 sản phẩm của lô hàng III, 1 sản phẩm của lô II.
2.8 Có 3 chuồng gà con:Chuồng I có 4 gà kháng bệnh và 5 gà nhiễm bệnh. Chuồng II có 5 gà kháng bệnh và 7 gà nhiễm bệnh.Chuồng III có 7 gà kháng bệnh và 6 gà nhiễm bệnh. Bắt ngẫu nhiên 2 con gà từ chuồng I bỏ sang chuồng II, sau đó bắt ngẫu nhiên 1 con từ chuồng II bỏ sang chuồng III. Một thời gian sau bắt từ chuồng III ra 3 con để kiểm nghiệm thì thấy có 2 kháng bệnh, 1 nhiễm bệnh. Tính xác suất để 3 con gà đem kiểm nghiệm có 2 con của chuồng III, 1 con của chuồng II.
CHƯƠNG 3: BIẾN NGẪU NHIÊN
I.Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên.
I.1.Khái niệm biến ngẫu nhiên.
Ta biết một biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Các biến cố
đó có thể biểu hiện về mặt định tính như: được mặt sấp, được sản phẩm tốt … và cũng có
thể biểu hiện về mặt định lương như: được nút 6, được sản phẩm 7 kg… .Trong thực tế
nhiều vấn đề ta quan tâm đến những biến cố thể hiện về mặt lượng chẳng hạn khi tung con
xúc xắc ta quan tâm xúc xắc được nút gì, lấy 1 sản phẩm từ lô hàng ta quan tâm xem được
sản phẩm bao nhiêu kg,… và từ đó ta đưa ra khái niệm biến ngẫu nhiên.Nói cách khác biến
ngẫu nhiên là những đại lượng nhận giá trị này hay giá trị khác ở những lần thử khác nhau
mà ta không khẳng định được trước khi thực hiện phép thử ( còn tùy thuộc vào biến cố nào
sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử)
I.2.Phân loại biến ngẫu nhiên.
Dựa vào giá trị của biến ngẫu nhiên ta chia biến ngẫu nhiên ra làm 2 loại:
-Biến ngẫu nhiên rời rạc: là loại biến ngẫu nhiên nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các
giá trị cách quãng nhau chẳng hạn như số sản phẩm tốt trong n sản phẩm lấy từ lô hàng, số
khách hàng đến cửa hàng trong 1 ngày…
-Biến ngẫu nhiên liên tục: là loại mà giá trị của nó lấp kín một đoạn số nào đó như trong
lượng của sản phẩm do máy sản suất,doanh thu của doanh ngiệp trong 1 năm...
II. Luật phân phối xác suất.
Luật phân phối xác suất đó là cách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên
với các xác suất tương ứng của các giá trị đó.
II.1.Luật phân phối xác suất của biến rời rạc.
Trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc luật phân phối được diễn ta thông qua bảng phân phối
xác suất như sau:
X ….
p
Trong đó < < …. < là các giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận và
i=1,2,…n.
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì P(a<X<b) =
Ví dụ 1.Một chiếc hộp có 10 quả cầu trong đó có 4 quả cầu đỏ 6 quả cầu vàng. Lấy ngẫu
nhiên ra 2 quả. Gọi X là số quả đỏ trong 2 quả lấy ra.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X,
b) Tính P(-0,2 < X < 1,7).
Giải
a)X nhận các giá trị : 0, 1,2 .
P(X= 0) = , P(X= 1) = ,P(X= 2) =
Bảng phân phối xác suất của X
X 0 1 2
P
b) P(-0,2 < X < 1,7)= P(X=0)+ P(X=0)= + =
Ví dụ 2.Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất các máy bị hỏng trong một
ca làm việc tương ứng là 0,1, 0,25, 0,4
a)Xác định luật phân phối xác suất của số máy hỏng trong một ca làm việc.
b)Tính xác suất có ít nhất một máy hỏng một ca làm việc.
Giải
a)Gọi X là số máy hỏng trong một ca làm việc.
Ta có X nhận các giá trị 0,1,2,3.
Gọi = “là biến cố máy thứ i bị hỏng trong một ca làm việc” ( i =1,2,3)
= “là biến cố máy thứ i không bị hỏng trong một ca làm việc” ( i =1,2,3)
Ta có P( ) = 0,1, P( ) = 0,25, P( ) = 0,4
P( )= 0,9, P( )= 0,75, P( )= 0,6
(X= 0) = “Cả 3 máy đều hoạt động tốt”= .
P(X=0) =P( ) = P( )P( )P( )=0,9.0,75.0,6=0,405
P(X=1)=P( )P( )P( )+P( )P( )P( )+P( )P( )P( )
= 0,1.0,75.0,6+0,9.0,25.0,6+0,9.0,75.0,4=0,45
P(X=2)=P( )P( )P( )+P( )P( )P( )+P( )P( )P(
= 0,1.0,25.0,6+0,1.0,75.0,4+0,1.0,25.0,4=0,055
P(X=3) =P( ) = P( )P( )P( ) = 0,1.0,25.0,4=0.01
X 0 1 2 3
p 0,405 0,45 0,055 0,01
b)P(X≥1) = 1-P(X=0)=1- 0,405=0,595
Ví dụ 3. Hộp I có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu.
Hộp II có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu.
a)Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm.Tìm luật phân phối xác suất của số sản
phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi lấy ra 2 sản phẩm.Tìm luật phân phối xác suất của số sản
phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra.
c) Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ra 1 sản phẩm bỏ vaò hộp II sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên
ra 2 sản phẩm. Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy từ
hộp II.
Giải
a) Gọi X là số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra
= “sản phẩm lấy từ hộp I là tốt”
= “sản phẩm lấy từ hộp II là tốt”
X nhận các giá trị: 0, 1, 2.
P(X=0) = P( ).P( )=
P(X=1) = P( ).P( )+P( )P( ). = + =
P(X=2)= P( )P( )=
X 0 1 2
P
b) Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra.
= “ hộp I được chọn”
= “hộp II được chọn”
Y nhận các giá trị: 0, 1, 2.
P(Y=0) = P( ).P(Y=0/ )+ P( ).P(Y=0/ )= + =
P(Y=1) = P( ).P(Y=1/ )+ P( ).P(Y=1/ )= + =
P(Y=2) = P( ).P(Y=2/ )+ P( ).P(Y=2/ )= + =
Y 0 1 2
p
c) Gọi Z là số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra
= “ Sản phẩm lấy từ hộp I bỏ vào hộp II là tốt”
=“ Sản phẩm lấy từ hộp I bỏ vào hộp II là xấu”
P(Z=0) = P( ).P(Z=0/ )+ P( ).P(Z=0/ )= + =
P(Z=1) = P( ).P(Z=1/ )+ P( ).P(Z=1/ )= + =
P(Z=2) = P( ).P(Z=2/ )+ P( ).P(Z=2/ )= + =
Z 0 1 2
p
II.2.Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục.
Trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục ta không thể dung bảng phân phối xác suất để thể hiện
luật phân phối xác suất( các bạn hãy nghĩ xem tại sao?) mà ta phải dung hàm mật độ. Hàm
mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục X ký hiệu là p(x) và đó là 1 hàm số thoả các điều
kiên sau:
- p(x) ≥ 0
-P(a<X<b)=
-
Ví dụ 4. Doanh thu (triệu đồng)của một công ty trong một tháng là biến ngẫu nhiên X có
hàm mật độ:
p(x) =
a) Xác định k.
b) Tính xác suất công ty có doanh thu duới 73 triệu đồng
Giải
a)Theo tính chất của hàm mật độ:
+ + =1 ( )+ + =1
0 + k + 0=1 k=1/750
b) P(X<73) = = + = 0,286
III Hàm phân phối
Hàm số F(x) xác định như sau: F(x) = P(X< x) được gọi là là hàm phân phối cuả biến
ngẫu nhiên X. Như vậy với 1 số thực x giá trị của hàm phân phối tại x chính là xác suất
mà biến ngẫu nhiên X nhận giá trị bên trái điểm đó ( các bạn chú ý ở đây x là biến số
của hàm phân phối chứ không nhất thiết là giá trị của X). Như vậy cả 2 loại biến ngẫu
nhiên đều có khái niệm hàm phân phối.
Với biến ngẫu nhiên rời rạc:
F(x) = P(X< x) = R
Với biến ngẫu nhiên liên tục
F(x) = P(X< x) = R
Từ định nghĩa hàm phân phối ta có P(a X<b)= F(b)-F(a)
Ví dụ 5. Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, xác định hàm phân phối của X.
b) Tính P(0,2 < X < 2,7).
Giải
a)X nhận các giá trị : 0, 1,2 3.
P(X= 0) = , P(X= 1) =
P(X= 2) = ,P(X= 3) =
Bảng phân phối xác suất của X
X 0 1 2 3
P
Ta có F(x) = P(X< x) = .
Để xác định giá trị F(x) ta cần tính P(X< x) mà xác suất này sẽ phụ thuộc vào x nằm ở đâu
so với các giá trị cuả biến ngẫu nhiên X.Vì vậy:
Với một x nào đó nhỏ hơn hoặc bằng 0 (giá trị nhỏ nhất của X)
ta thấy biến ngẫu nhiên X không nhận giá trị nào trong khoảng (- ,x) nên P(X<x) = 0.
Vậy F(x) = 0 , x 0.
Với một x nào đó lớn hơn 0 nhỏ hơn hoặc bằng 1 ta thấy biến ngẫu nhiên X chỉ nhận
một giá tri khoảng (- ,x) là 0 nên P(X<x) = P(X=0) = 10/84. Do đó F(x) = 0 0<x 1
Với một x nào đó lớn hơn 1 nhỏ hơn hoặc bằng 2 ta thấy biến ngẫu nhiên X nhận 2 giá
tri khoảng (- ,x) là: 0, 1 nên P(X<x) = P(X=0) + P(X=1) = 10/84 + 40/84 = 50/84.
Do đó F(x) = 50/84 1<x 2
Với một x nào đó lớn hơn 2 nhỏ hơn hoặc bằng 3 ta thấy biến ngẫu nhiên X nhận 3 giá
trị trong khoảng (- ,x) là: 0, 1,2 nên P(X<x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 10/84 +
40/84 + 30/84= 80/84.Do đó F(x) = 80/84 2<x 3.
Cuối cùng một x nào đó lớn hơn 3 , trong khoảng (- ,x) biến ngẫu nhiên X nhận cả 4
giá tri 0, 1,2, 3 nên P(X<x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)+P(X=3) = 10/84 + 40/84 +
30/84 + 4/84= 1.Do đó F(x) = 1 3<x.
Vậy F(x) =
b) Cách 1. Tính thông qua luật phân phối(bảng phân phối)
P(0,2 < X < 2,7)= P(X= 1) +P(X= 2)= + = .
Cách 2.Tính thông qua hàm phân phối
P(0,2 < X < 2,7)=F(2,7)-F(0,2)= - =
Ví dụ 6. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
p(x) =
a) Xác định k,hàm phân phối xác suất của X.
b)Tính P(0,7< X< 2)
Giải
a)Theo tính chất của hàm mật độ: (1)
Ở đây hàm số p(x) có giá trị khác nhau trên các khoảng, cụ thể là p(x) = 0 trên (
,p(x) = k trên [ , và p(x) lại bằng 0 trên( do đó để tính tích phân suy rộng của
hàm p(x) trên ( ta tách tích phân này thành 3 tích phân trên 3 khoảng tùy vào giá trị
của p(x) . Khi đó
(1) + + =1 + + =1
( )+ + =1
0 + k + 0=1 =1 k=3
b)Ta có X là biến ngẫu nhiên liên tục nên
F(x) = P(X< x) = .
Muốn xác định giá trị hàm phân phối tại 1 điểm x nào đó ta cần tính tích phân suy rộng của
hàm p(t) trên khoảng (- ,x]. Khi tính tích phân này giá trị hàm p(t) có thể được cho bởi
những công thức khác nhau vì vậy ta phải xem p(t) có giá trị như thế nào trên (- ,x],
nhưng giá trị này lại phụ thuộc vào điểm x nằm ở đâu so với các điểm ranh giới của các
khoảng mà công thức của p(t) thay đổi .Do đó:
Với một giá trị x nào đó nhỏ hơn 0 ta có p(t) = 0 t (- ,x] nên
F(x) = = =0
Với một giá trị x bất kỳ nào đó lớn hơn hoặc bằng 0 nhỏ hơn 1 trên khoảng (- ,x] ta có
p(t) = 0 t (- ,0) ,còn p(t) = 3 t [0 ,x] nên
F(x) = = + = + =
Với một giá trị x nào đó lớn hơn 1, trên khoảng (- ,x] ta có p(t) = 0 t (- ,0) ,còn
p(t) = 3 t [0 ,1], p(t) = 0 t (1,x], nên F(x) = = + +
= + + =1
Vậy F(x) =
b) P(0,7<X< 2)
Cách 1 Tính thông qua hàm mật độ
P(0,7<X<2)= = + = + = =0,675
Cách 2 Tính thông qua hàm phân phối
P(0,7<X< 2)= F(2)-F(0,7) =1- =0,675
V.Đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Từ luật phân phối của biến ngẫu nhiên người ta rút ra một vài con số để đặc trưng cho các
mặt này mặt khác của biến ngẫu nhiên và đôi khi để so sánh các biến ngẫu nhiên với
nhau.Các con số đó được gọi là các đặc trưng của biến ngẫu nhiên.Trong thực tế ta thường
quan tâm đến các đặc trưng sau:
V.1.Trung bình. Trung bình của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là E(X) và được định
nghĩa.
E(X) = nếu X rời rạc.
E(X) = nếu X liên tục.
V.1.Phương sai
Phương sai của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là D(X) và được định nghĩa.
D(X) = nếu X rời rạc.
D(X) = nếu X liên tục
*Công thức tính phương sai: D(X) = E( )- trong đó
E( ) = nếu X rời rạc.
E( ) = nếu X liên tục.
Ví dụ 7.Tính trung bình và phương sai của các biến ngẫu nhiên trong các ví dụ 5 và 6
Giải
Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 5 là biến rời rạc nên
E(X)= 0. +1. +2 +3 =
D(X)= E( )- = . + . + + - =
Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 6 là biến liên tục nên
E(X) = = + +
= + + =
D(X) = E( )- [E(X)
E( ) = = + + =
D(X)= – =
Ví dụ 8.Cho biến ngẫu nhiên X chỉ nhận 3 giá trị -1,0,1.Biết rằng E(X)=0,1 và E( ) =
0,9.Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải
Giả sử bảng phân phối xác suất của X là:
Theo giả thiết:
E(X)=0,1 -1. +0 +1 =0,1 - + =0,1(a)
E( ) = 0,9 + + =0,9 + =0,9(b).Từ (a)và (b) ta có =0,5,
=0,4.Mặt khác + + =1 =0,1.
Vậy
X -1 0 1
p 0,4 0,1 0,5
X -1 0 1
P
Ví dụ 9. Một công ty bán bảo hiểm cho những người tuổi 40 với giá 100 ngàn đồng và nếu
người mua bảo hiểm chết trong thời gian đó thì số tiền bồi thường là 10 triệu đồng. Biết
rằng lợi nhuận trung bình khi công ty bán 1 thẻ bảo hiểm 0,05 triệu. Hãy tính xác suất một
người ở độ tuổi 40 sống thêm 1 năm.
Giải
Gọi p là xác suất một người ở tuổi 40 sống thêm 1 năm,
X là lợi nhuận thu được khi bán một thẻ baỏ hiểm( triệu đồng).
Nếu người mua bảo hiểm sống thêm 1 năm thì công ty sẽ thu được 0,1 triệu, còn nếu người
mua bảo hiểm chết trong năm đó thì công ty bị lỗ
0,1 -1=9,9 triệu, do đó ta có bảng phân phối xác suất của X
X -9,9 0,1
p 1-p p
Theo giả thuyết E(X) = 0,05 -9,9(1-p)+0,1p = 0,05 p = 0,995
Ví dụ 10.Tuổi thọ của một thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
p(x) = .Thiết bị được gọi là đạt tiêu chuẩn nếu có tuổi thọ trên 10 (tháng)
a) Xác định k, hàm phân phối của X.
b) Tính tỷ lệ đạt tiêu chuẩn và tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.
Giải
a)Theo tính chất của hàm mật độ:
+ =1 +k =1
( )+k =1 0+k ( )=1 0+k (
)=1 k=5
*Hàm phân phối của X
Do giá trị của p(t) đuợc cho bởi 2 công thức trên 2 khoảng và ranh giới của 2 khoảng đó là
0 nên để xác định F(x) ta có 2 trường hợp sau:
Với một giá trị x nào đó nhỏ hơn 0, p(t) = 0 t (- ,x] nên
F(x) = = =0
Với một giá trị x bất kỳ nào đó lớn hơn 0, trên khoảng (- ,x] ta có p(t) = 0 t (-
,0) ,còn p(t) = t [0 ,x] nên F(x) = = +
= + = -1
Vậy F(x) =
b)Tỷ lệ đạt tiêu chuẩn của loại thiết bị này
P(X>10) = =5 =5 ( )= ( )=
Tuổi thọ trung bình:
E(X) = = 0 +
Để tính I = ta đặt
=
Vậy E(X) = =1/25 ( )
BÀI TẬP
3.1 Một công ty có 6 nhân viên nam, 5 nhân viên nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 4 người đi công
tác. Gọi X là số người nam trong 4 người đi công tác.Hãy lập bảng phân phối xác suất cho
X, xác định hàm phân phối xác suất của X và tính số người nam trung bình trong 4 người
đó.
3.2 Một doanh nghiệp vận tải có 3 xe ôtô hoạt động độc lập,xác suất các ôtô bị hỏng trong
1 ngày lần lượt là 0,3; 0,4;0,2 .Lập bảng phân phối xác suất của số ôtô bị hỏng trong 1
ngày, tính số ôtô bị hỏng trong 1 ngày.
3.3 Cho biến ngẫu nhiên X chỉ nhận 3 giá trị 0 1 và 2 .Hãy lập bảng phân phối xác suất của
X, biết rằng E(X)=0,6 E( ) = 0,8 .
3.4 Hộp I có 5 sản phẩm tốt, 6 sản phẩm xấu.
Hộp II có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu.
a)Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ra 1 sản phẩm và từ hộp II ra 2 sản phẩm.Tìm luật phân phối
xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi lấy ra 3 sản phẩm.Tìm luật phân phối xác suất của số sản
phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
c) Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ra 1 sản phẩm bỏ vaò hộp II sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên
ra 3 sản phẩm. Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy từ
hộp II.
3.5 Có 2 kiện hàng: Kiện I có 5 tốt, 4 xấu. Kiện II có 6 tốt,5 xấu.Nhân viên cửa hàng lấy
ngẫu nhiên từ mỗi kiện ra 2 sản phẩm.
a)Hãy lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm đem trưng bày.
b)Sau khi đem 4 sản phẩm đi trưng bày người ta bỏ chung các sản phẩm ở 2 kiện vào 1
chiếc hộp, rồi 1 khách hàng lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm để mua. Hãy lập bảng
phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm khách mua.
3.6Tuổi thọ(tháng) của một loại côn trùng là biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
p(x) =
Tìm k và tính tỷ lệ côn trùng thọ từ 1 đến 2 tháng tuổi.
3.7Tuổi thọ dân cư của 1 quốc gia là biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
p(x) =
a) Xác định k và hàm phân phối của X.
b) Tuổi thọ trung bình của dân cư quốc gia trên là bao nhiêu?
c) Tìm tỷ lệ người có tuổi thọ từ 60 đến 70 tuổi.
CHƯƠNG 4.
LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
I. Luật phân phối nhị thức.
I.1. Dãy phép thử Bernoulli
Dãy n phép thử Bernoulli là dãy phép thử thỏa 3 điều kiện:
-Các phép thử độc lập.
- Trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc xảy ra.
- Xác suất P(A) = p (cố định) trong mỗi phép thử.
I.2. Định nghĩa phân phối nhị thức
Cho 1 dãy phép thử Bernoulli. Gọi X là số lần A xảy ra trong n phép thử. Khi đó X nhận các giá trị 0,1,2,…,n với P(X=k) = , k =0,1,…,n (q=1-p). Người ta gọi những biến X này là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức. Ký hiệu X~B(n,p).
Ví dụ 1.Cho X~B(2, 0,3). Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải
X nhận các giá trị 0,1,2.
P(X=0) = = 0,49, P(X=1) = = 0,42
P(X=2) = = 0,09
X 0 1 2
p 0,49 0,42 0,09
I.3.Các đặc trưng của phân phối nhị thức.
Cho biến ngẫu nhiên X~B(n,p) Khi đó E(X) = np, D(X) = npq
Ví dụ 2.Xác suất bán được hàng ở mỗi địa điểm của một nhân viên là 0,3.
a)Giả sử trong 1 tháng nhân viên này bán hàng ở 3 địa điểm độc lập nhau. Lập bảng phân phối của số địa điểm bán được hàng trong tháng của nhân viên này.
b) Giả sử trong 1 năm nhân viên này bán hàng ở 40 địa điểm địa điểm độc lập nhau .Tính số địa điểm bán được hàng trung bình trong 1 năm của nhân viên này.
Giải
a) Gọi X là số địa điểm bán được hàng trong tháng của nhân viên này.
Ta có X~B(3, 0,3)
X nhận các giá trị 0,1,2,3.
P(X=0) = = 0,343, P(X=1) = = 0,441
P(X=2) = = 0,189,P(X= 3) = = 0,027
X 0 1 2 3
p 0,343 0,441 0,189 0,027
b) Gọi Y là số địa điểm bán được hàng trong 1 năm của nhân viên này.
Ta có Y~B(40, 0,3).Do đó E(Y)=np=40.0,3=12
II.Luật phân phối siêu bội.
II.1.Định nghĩa phân phối siêu bội
Cho 1 tập hợp gồm M phần tử trong đó có phần tử có tính chất A và M- phần tử không có tính chất A. Lấy ngẫu nhiên từ tập hợp này ra N phân tử. Gọi X là số phần tử có tính chất A trong N phần tử lấy ra. Khi đó X có thể nhận các giá trị 0,1,…,N với
P(X = k) = và người ta gọi những biến X như vậy là biến ngẫu nhiên có luật
phân phối siệu bội. Ký hiệu X~ H(M, ,N).
Chú ý trong công thức xác suất trên ta cần các điều kiện cho các tổ hợp, cụ thể là:, do đó biến X chỉ nhận những giá trị k thoả max0, N+
-M k minN, .
Ví dụ 3.Cho X~H(7, 3,5). Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải
Ta có max0, N+ -M= 0,1=1 và minN, =5,3 = 3 nên
X nhận các giá trị 1, 2, 3.
P(X= 1) = , P(X= 2) = , P(X= 3) =
X 1 2 3
p
II.2.Các đặc trưng của phân phối siêu bội
Cho biến ngẫu nhiên X~ H(M, ,N). Khi đó
E(X) = , D(X) = .
Ví dụ 4.Trong 7 giấy thông báo thuế thu nhập có 4 giấy mắc sai sót. Nhân viên kiểm tra lấy ngẫu nhiên 5 giấy thông báo để kiểm tra.
a. Thiết lập phân phối xác suất của số giấy thông báo thuế có sai sót trong 5 giấy được kiểm tra.
b. Tìm trung bình và phương sai của số giấy thông báo có lỗi trong 5 giấy được kiểm tra.
Giải
a)Gọi X số giấy thông báo thuế có sai sót trong 5 giấy được kiểm tra.
Ta có X~H(7,4,5) và max0, N+ -M= 0,2=2 và minN, =4,5 = 4 nên X nhận các giá tri 2,3,4.
P(X=2) = ,P(X=3) = ,P(X=4) =
X 2 3 4
p
c) E(X) = =
D(X) = = =
Nhận xét Trong các bài toán, phân phối nhị thức và phân phối siêu bội ít khi được cho trước, mà đòi hỏi chúng ta phải dựa vào mô hình của định nghĩa để nhận biết. Muốn nhận biết được phân phối nhị thức thì trước hết phải nhận biết được dãy phép thử Bernoulli, tức n lần thực hiện; còn gắn với siêu bội thì chỉ một lần thực hiện(lấy theo nghĩa tổ hợp).Để thấy rõ điều này bạn đọc xem ví dụ sau:
Ví dụ 5. Một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu.
a) Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.Hãy cho biết luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm có hoàn lại ra 3 sản phẩm.Hãy cho biết luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
Giải
Gọi X là số tốt trong 3 sản phẩm lấy ra
a) Ở đây ta có 1 tập hợp ban đầu gồm 10 phần tử đó là 10 sản phẩm của lô hàng, lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm nghĩa là lấy từ tập hợp này ra 3 phần tử. Ta thấy X chính là số phần tử có tính chất A trong 3 phần tử lấy ra, với tính chất A là sản phẩm tốt.Nên theo định nghĩa cuả mô hình phân phối siêu bội ta có X~H(10, 6, 3).
Dễ thấy max0, N+ -M= 0,-1=0 và minN, =3,6 = 3
Nên X nhận các giá tri 0,1,2,3
P(X=0) = ,P(X=1) =
P(X=2) = ,P(X=3) =
X 0 1 2 3
P
b) Bây giờ ta không lấy cùng 1 lúc mà lấy lần lượt từng sản phẩm và có hoàn lại ra 3 sản phẩm, do đó ta coi như có 1 phép thử đó là lấy từ lô hàng ra 1 sản phẩm và lập lại phép thử này 3 lần độc lập. Trong mỗi phép thử hoặc được sản phẩm tốt hoặc được sản phẩm xấu
nên trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc xảy ra với A= “đuợc sản phẩm tốt” và P(A)
= 0,6.Vậy X chính là số lần biến cố A xảy ra trong 3 phép thử lập lại. Theo định nghĩa của mô hình phân phối nhị thức ta có X~B(3, 0,6)
X nhận các giá trị 0,1,2,3.
P(X=0) = = 0,064, P(X=1) = = 0,288
P(X=2) = = 0,432, P(X= 3) = = 0,216
X 0 1 2 3
P 0,064 0,288 0,432 0,216
III.Luật phân phối Poisson.
III.1.Định nghĩa phân phối Poisson.
Biến ngẫu nhiên X nhận vô hạn đếm được những giá trị nguyên không âm
0,1,2,…,n,… với P(X=k) = ( là hằng số dương) được gọi là biến
ngẫu nhiên có phân phối Poisson.Ký hiệu X~P( )
III.2.Các đặc trưng của phân phối Poisson.
Cho X~ P( ). Khi đó E(X) = D(X) =
Ví dụ 6.Tại 1 trạm kiểm soát giao thông trung bình trong 30 giây có 1 xe ô tô qua trạm. Biết số xe ô tô qua trạm có phân phối Poisson.
a) Tính xác suất có 5 xe qua trạm trong 2 phút,
b) Tính xác suất có ít nhất có 3 xe ô tô qua trạm trong 4 phút.
Giải
a)Gọi X là số xe ô tô qua trạm trong 4 phút.
Vì trung bình trong 30 giây có 1 xe qua trạm trung bình trong 2 phút có 1.4= 4 xe qua
trạm = E(X) = 4 X~P(4) P( X = 5) =
b) Gọi Y là số xe ô tô qua trạm trong 1 phút.
Lập luận như câu a) ta có Y ~P(2)
P(3 ) = 1- P(0 ) = 1- P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)
IV.Luật phân phối chuẩn.
IV.1.Định nghĩa phân phối chuẩn.
Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ p(x) = trong đó a,
là hằng số, > 0 được gọi là biến ngẫu có phân phối chuẩn.
Ký hiệu X ~ N(a,
IV.2.Công thức tính xác suất trên 1 khoảng của phân phối chuẩn.
P( = - ; P( =0,5-
Trong đó (x) là hàm LAPLACE được định nghĩa như sau: (x)=
Giá trị hàm LAPLACE tra ở bảng hàm LAPLACE, chẳng hạn (0,21)= 0,0793(lấy giá trị trên dòng 0,2 cột 3)
Chú ý: Đối với biến ngẫu nhiên liên tục P(X= k) = 0 do đó
P( =P( =P( =P(
Ví dụ 7.Thời gian đợi phục(phút) của một khách hàng tại 1 ngân hàng là biến ngẫu nhiên X có phân phối: X~N( 6; 0,25). Tính tỷ lệ khách hàng đợi từ 4,8 đến 6,4 phút để được phục vụ.
Giải
P(4,8< X< 6,4) = ( )- ( )= (0,8)- (-2,4)
=0,28814+0,4918=0,77994
IV.3.Các đặc trưng của phân phối chuẩn .
Cho X ~ N(a, .Khi đó E(X) = a , D(X) =
Ví dụ 8. Lãi suất đầu tư vào 2 thị trường A và B là 2 biến ngẫu có phân phối chuẩn với trung bình là 10% và 9%; độ lệch chuẩn là 4% và 3%
a)Nếu muốn có lãi suất trên 8% thì nên đầu tư vào thị trường nào?
b)Nếu muốn rủi ro về lãi suất nhỏ thì nên đầu tư vào dự án nào?
Giải
a)Gọi X là lãi suất khi đầu tư vào dự án A, Y là lãi suất khi đầu tư vào dự án B.
Ta có X~N(10,16); Y~N(9,9)
Xác suất được lãi suất trên 8% khi đầu tư vào dự án A: P(X>8)=0,5- =0,5-
=0,6915
Xác suất được lãi suất trên 8% khi đầu tư vào dự án B: P(Y>8)=0,5- =0,5-
=0,6293
Vậy nên đầu tư vào thị trường A.
b)Độ rủi ro về lãi suất khi đầu tư vào thị trường A :D(X)= 16
Độ rủi ro về lãi suất khi đầu tư vào thị trường B :D(Y)= 9
Vậy để rủi ro về lãi suất bé thì đầu tư vào dự án B.
V.Luật phân phối khi bình phương.
Cho là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân chuẩn N(0,1)
Biến ngẫu nhiên X = được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối khi bình phương với
bậc tự do n được ký hiệu X~ .
Với xác suất ta có thể tra bảng phân vị khi bình phương và xác định được giá trị sao
cho P(X< )=
Ví dụ 9. Cho biến ngẫu nhiên X~ .
a)Tính P(X>1,239)
b) Tìm t sao cho P(X< t) = 0,95
Giải
a) Từ bảng phân vị trên dòng 7, ta thấy giá trị 1,239 tương ứng với cột 0,01.Vậy P(X>1,239)= 0,01.
b) Từ bảng phân vị trên dòng 7, cột 0,95 ta có t = 14,0671.
VI.Luật phân phối Student
Cho các biến ngẫu nhiên Z~N(0,1) và Y~ .Biến ngẫu nhiên X = được gọi là biến
ngẫu nhiên có phân phối Student với bậc tự do n và được ký hiệu X~ .
Với xác suất ta có thể tra bảng phân vị Student và xác định được giá trị sao cho P(X>
)=
Ví dụ 10.Cho biến ngẫu nhiên X ~ .Tìm t sao cho
a)P(X> t) = 0,025
b) P(X< t) = 0,99
Giải
a)Từ bảng phân vị Student dòng 15 cột 0,025 ta có t = 2,1315
b)P(X< t) = 0,99 1- P(X t)=0,99 P(X t)=0,01 P(X> t)=0,01
tương tự như trên ta có t =2,6025
Ví dụ 11.Cho biến ngẫu nhiên X ~ .Tính P(X>2,3069),P(X<1,974)
Từ bảng phân vị Student ứng với bậc tự do 24(dòng 24) ta thấy 2,3069 nằm trên cột 0,015 P(X>2,3069)=0,015
P(X<1,974)=1- P(X>1,974)=1-0,03=0,97
VII.Các định lý giới hạn.
Cho X~B(n;p).
*Nếu n khá lớn và p khá bé(n>30, p<0,1) thì X P( =np)
*Nếu n khá lớn và p không quá bé cũng không quá lớn (np>5, nq>5)
thì X≈N(a= np; =npq) và
a) P(X = k) = với (hàm Gausse)
b) P( = -
Ví dụ 12.Xác suất một chai CoCa bị vỡ khi vận chuyển là 0,002. Người ta vận chuyển 1000 chai.
a) Tính xác suất có 4 chai bị vỡ.
b) Tính xác suất có ít nhất 3 chai bị vỡ.
Giải
Gọi X là số chai CoCa bị vỡ trong 1000 chai vận chuyển.
X~ B(1000;0,002)
Vì n=1000 khá lớn và p khá bé nên X P(2)
a)P(X=4)= 0,09
b)P(X 3) = 1- P(0 )= 1-
Ví dụ 13.Một máy sản xuất sản phẩm với xác suất đuợc sản phẩm tốt là 0,2.Cho máy sản xuất ra 100 sản phẩm.
a) Tính xác suất có 40 sản phẩm tốt.
b)Tính xác suất có ít nhất 25 sản phẩm tốt.
Giải
Gọi X là số sản phẩm tốt trong 100 sản phẩm do máy sản xuất
Ta có X~B(100,0,2)
Vì np=20>5,nq=80>5 nên X N(20,16) nên
a) P(X=40)= =
b) P(25<X<100)= - = (15)- (1,25)=0,5-0,3944=0,1056
Ví dụ 14.Tỷ lệ phân ly về màu hoa ở đời F2 của một loại đậu như sau:
Đỏ: Hồng: Trắng = 4: 9: 3
a) Giả sử đem gieo 300 hạt đời F2 (tỷ lệ thành công 100%). Tính xác suất để có từ 60 đến 80 hạt cho hoa màu đỏ.
b) Giả sử đem gieo 8 hạt đời F2 (tỷ lệ thành công 100%). Tính xác suất để có 5 hạt cho hoa màu đỏ và nhiều nhất 2 hạt cho hoa màu hồng.
Giải
a)Gọi X là số hạt cho hoa màu đỏ trong 300 hạt được gieo.
Ta có X ~ B(300,1/4).
Vì np=75>5, nq=225 > 5 nên X N(75;56,25)
P(60 Ф Ф
=Ф Ф =0,7528
b)+Xác suất được 5 hạt cho hoa màu đỏ,0 hạt cho hoa màu hồng, 3 hạt cho hoa màu trắng:
= =0,00036
+Xác suất được 5 hạt cho hoa màu đỏ,1 hạt cho hoa màu hồng, 2 hạt cho hoa màu trắng:
= =0,0032
+Xác suất được 5 hạt cho hoa màu đỏ,2 hạt cho hoa màu hồng, 1 hạt cho hoa màu trắng:
= =0,0097
Xác suất được 5 hạt cho hoa màu đỏ,không quá 2 hạt cho hoa màu hồng:
p = + + =0,01326
Ví dụ 15.Sản phẩm sản xuất xong được đóng thành kiện, mỗi kiện có 15 sản phẩm trong đó có 10 sản phẩm loại I. Người nhận hàng qui định cách kiểm tra như sau: Từ kiện lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm, nếu thấy cả 3 sản phẩm đều loại I thì nhận kiện hàng đó.Kiểm tra 120 kiện hàng trong rất nhiều kiện hàng.
a) Tính xác suất có 30 kiện được nhận.
b) Tính xác suất có không dưới 30 kiện được nhận.
Giải
Gọi A = “ kiện hàng được nhận”
Ta có P(A)= =0,264
Ta coi kiểm tra 1 kiện hàng là 1 phép thử, như vậy kiểm tra 120 kiện hàng chính là lập lại
phép thử này 120 lần, trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc xảy ra. Nếu gọi X là số
kiện hàng được nhận trong 120 kiện kiểm tra thì X~B(120;0,264)
Vì n khá lớn và p không quá bé cũng không quá lớn nên X N(31,68;23,316)
a)P(X=30)= =
=0,207 =0,207.0,3765=0,0779
b) P(30 = - = - = 0,5+
0,1331=0,6331
Ví dụ 16.Tuổi thọ của một con chip máy tính là một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ
p(x) = .Con chip được gọi là loại I nếu có tuổi thọ trên 1 năm. Một mạng
máy tính gồm 100 chíp hoạt động độc lập.Mạng sẽ hoạt động tốt khi có ít nhất 30 chíp loại I.Tính xác suất mạng này hoạt động.
Giải
Gọi X tuổi thọ của một chip máy tính.
Xác suất được chip loại I: P(X>1)= = = =0,152
Gọi Y là số chip hoạt động tốt trong mạng.
Ta có Y~B(90;0,152)
Vì n khá lớn và p không quá bé cũng không quá lớn nên Y~N(13,68;11,6)
Xác suất mạng hoạt động P(30 )= ( )- ( )= (22,4)-
(4,79)=0,5-0,4999991=0,0000009
BÀI TẬP
4.1Một công ty cung cấp nguyên vật liệu gửi 5 giấy đòi nợ tới 1 xí nghiệp yêu cầu thanh toán cho 5 đợt hàng vừa qua(mỗi giấy viết cho mỗi đợt).Trong 5 giấy đòi nợ có 2 giấy ghi sai số tiền thanh toán. Do đến hạn phải trả trả nợ ngân hàng công ty yêu cầu xí nghiệp phải thanh toán ngay cho 3 đợt bất kỳ trong 5 đợt giao hàng này. Kế toán của xí nghiệp lấy ngẫu
nhiên ra 3 giấy và làm phiếu chi.Tính xác suất để trong 3 giấy lấy ra có ít nhất 1 giấy ghi sai số tiền phải thanh toán.
4.2 Có 7 chứng từ xếp lẫn lộn trong đó có 3 chứng từ chưa được kiểm tra.Lấy ngẫu nhiên ra 5 chứng từ.Gọi X là số chứng từ chưa đuợc kiểm tra trong 5 chứng từ lấy ra.
a)Hãy lập bảng phân phối xác suất của X
b)Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.
4.3Bưu điện dung 1 máy tự động đọc địa chỉ trên bì thư để phân loại theo từng khu vực gởi đi.Xác suất đọc sai 1 địa chỉ trên bì thư là 0,01
Dùng máy này phân loại 3 bì thư, hãy xác định luật phân phối xác suất của số bì thư bị phân loại sai trong 3 bì thư đó .
4.4Số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút là biến ngẫu nhiên có phân phối Poision.Biết rằng trung bình trong 1 phút có 9 cuộc gọi đến tổng đài
Tính xác suất có không quá 2 cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút.
4.5 Xác suất để 1 sản phẩm bị hỏng là 0,3.Kiểm tra 3600 sản phẩm.Tính xác suất để số sản phẩm hỏng từ 342 đến 378
4.6 Trọng lượng của 1 sản phẩm(đơn vị: gam) do 1 máy sản xuất là biến ngẫu nhiên X với X~N(100,2).Sản phẩm được coi là đạt kĩ thuật nếu có trọng lượng từ 98 đến 103gam.
a)Tìm tỷ lệ sản phẩm không đạt kĩ thuật của máy.
b) Cho máy sản suất 100 sản phẩm. Tính xác suất có không qúa 15 sản phẩm không đạt kĩ thuật trong 100 sản phẩm này.
4.7 Tỷ lệ phân ly về hình dạng trái của một loại Dưa ở đời F2 như sau:
Tròn: Dẹp: Dài = 6: 1: 9
a) Giả sử đem gieo 400 hạt đời F2(tỷ lệ nẩy mầm 100%). Tính xác suất để có từ
140 đến 170 hạt cho dưa trái tròn.
b) Giả sử đem gieo 9 hạt đời F2(tỷ lệ nẩy mầm 100%). Tính xác suất để có 6 hạt
cho trái tròn, không quá 2 hạt cho trái dẹp.