trƯỜng ĐẠi hỌc trÀ vinh khoa khoa hỌc cƠ bẢn bỘ mÔn toÁn hỌc

MÔN HỌC: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

GVHD: ThS Trần Minh TâmEmail: [email protected]

Phone: 0919. 718.095Đơn vị công tác: BM Toán học, Khoa KHCB, ĐHTV

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINHKHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN HỌC

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤTCHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤTCHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊCHƯƠNG 4: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊCHƯƠNG 5: TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI

NỘI DUNG MÔN HỌC

NỘI DUNG:I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢPII. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐIII. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤTIV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Mô hình bài toán của giải tích tổ hợp

Từ tập hợp chọn ngẫu nhiên k phần tử (lập nhóm gồm k phần tử) thỏa điều kiện nào đó

Số cách thực hiện?

1, , na a

Nhóm có thứ tựKhi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta được nhóm khác.

Nhóm không có thứ tựKhi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta không nhận được nhóm khác.

Nhóm có lặpCác phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm.

Nhóm không lặpCác phần tử của nhóm chỉ có thể có mặt một lần trong nhóm.


Tổ hợp

Tổ hợp chập k từ n phần tử là nhóm không lặp, không có thứ tự gồm k phần tử từ n phần tử đã cho.

Số tổ hợp

!

!( )!kn

nC

k n k


Ví dụ

Một hộp có 7 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra

a) 3 quả cầu đỏ.

b) 4 quả cầu mà có 3 xanh, 1 đỏ.


Chỉnh hợp

Chỉnh hợp chập k từ n phần tử là nhóm không lặp, có thứ tự gồm k phần tử từ n phần tử đã cho.

Số chỉnh hợp

!( )!

kn

nAn k


Ví dụ

Một lớp học có 12 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 lớp trưởng và 2 lớp phó.

Một cách chọn 1 lớp trưởng và 2 lớp phó là một nhóm có 3 phần tử có thứ tự. Tổng số cách là

312

12!1320

9!A


Chỉnh hợp lặp

Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là nhóm có lặp, có thứ tự gồm k phần tử từ n phần tử đã cho.

Số chỉnh hợp lặp

kknB n



Quy tắc cộng

Nếu công việc 1 có n1 cách thực hiện, công việc 2 có n2 cách thực hiện và các cách thực hiện công việc 1 không trùng với bất cứ cách thực hiện công việc 2 nào thì có n1 + n2 cách thực hiện “công việc 1 hoặc công việc 2”.

Ví dụ

Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau?

Các số có 1 chữ số: 3 cách {1,2,3}

Các số có 2 chữ số: 6 cách {12,21,13,31,23,32}

Các số có 3 chữ số: 6 cách {123,132,213,231,312,321}

Các cách trên đôi một không trùng nhau, vậy theo quy tắc cộng, có 3+6+6=15 cách lập các số có chữ số khác nhau từ 3 chữ số 1,2,3.


Quy tắc nhân

Nếu công việc 1 có n1 cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n2 cách thực hiện công việc 2 thì có n1xn2 cách thực hiện “công việc 1 rồi công việc 2”.

Ví dụ

Giả sử để đi từ A đến C phải đi qua B theo sơ đồ

Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ A đến C?

A B C


II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ1. Khái niệm

Phép thử ngẫu nhiên

Là sự thực hiện một số điều kiện xác định (thí nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này không thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử thường được lặp lại nhiều lần.

Không gian mẫu (KG biến cố sơ cấp)

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu (hay không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu .

Mỗi kết quả của phép thử, , gọi là biến cố sơ cấp.

Một tập con của không gian mẫu gọi là biến cố.


Các ký hiệu

- : không gian mẫu.

- : biến cố sơ cấp

- A, B, C, …: biến cố

- |A|: số phần tử của biến cố A


Ví dụ

- Tung đồng xu

={S,N}; 1=“S”, 2=“N”

- Tung con xúc sắc

={1,…, 6}

i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,…,6

- Đo chiều cao (đv: cm) 0,250


Tổng 2 biến cố

Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu (AB), là tập chứa những kết quả trong thuộc về A hoặc B.

A B A B

II. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ2. Quan hệ giữa các biến cố

Tích của hai biến cố

Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tích của A và B, ký hiệu (AB), là tập chứa những kết quả trong thuộc về A và B.

A BA B


Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu A B=.

A B

A B=


Biến cố đối lập

Biến cố không xảy ra khi biến cố A xảy ra gọi là biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu .

Biến cố chắc chắn - . Biến cố không thể - .

A

A

A


Ví dụ. Tung một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất.

Không gian mẫu: ={1,2,3,4,5,6}

Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn”

B = “ Xuất hiện mặt có số điểm ít nhất là 4”

A = {2,4,6}; B={4,5,6}


= {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6}

A {1, 3, 5}

A B {4, 6}

A B {2, 4, 5, 6}

A A {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Biến cố đối lập:

Biến cố tích:

Biến cố tổng:

A B {5}

B {1, 2, 3}


Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu . Giả sử tất cả các kết quả trong đều đồng khả năng xảy ra, thì xác suất xảy ra biến cố A

( )A

P A

Soá caùc khaû naêng thoûa ñieàu kieän cuûa AToång soá khaû naêng trong khoâng gian maãu

III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT(Theo cổ điển)

Ví dụ

1. Tung 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất, tính xác suất xuất hiện mặt lẻ.

2. Một lớp học có 300 sinh viên trong đó có 80 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên, tính xác suất chọn được sinh viên nữ.

2. Một hộp có 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất chọn được 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu xanh.

II. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT(Theo cổ điển)

Định nghĩa theo lối cổ điển có 2 nhược điểm sau:

- Tất cả các kết quả phải đồng khả năng xảy ra.

- Không gian mẫu phải hữu hạn.

III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT(Theo cổ điển)

Định nghĩa theo quan điểm thống kê

Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu và

A . Thực hiện phép thử n lần độc lập, thấy biến cố A suất hiện n(A) lần. n(A) gọi là tần số suất hiện biến cố A, và n(A)/n là tần suất xảy ra A. Khi đó xác suất xảy ra A là

Giới hạn của tần suất xảy ra biến cố A trong một số phép thử rất lớn, n.

( )( ) lim

n

n AP A

n

III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT(Theo thống kê)

Ví dụ. Tung đồng xu.

Xác suất xuất hiện mặt S: P(S)=1/2

Xác suất xuất hiện mặn H: P(H)=1/2

Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm chứng.

Người thí nghiệm Số lần tung Số lần sấp

Tần suất

Buffon 4040 2048 0.5080

Pearson 12000 6019 0.5016

Pearson 24000 12012 0.5005

III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT(Theo thống kê)

Định nghĩa theo quan điểm hình học

Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền hình học có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó, xác suất xảy ra A

((

)

))

(

mes AP A

mes

Ñoä ño mieàn AÑoä ño mieàn

III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT(Theo hình học)

Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến)

Hai tàu thủy cập bến 1 cách độc lập nhau trong một ngày đêm. Biết rằng thời gian tàu thứ nhất đỗ lại ở cảng để bốc hàng là 4 giờ, của tàu thứ hai là 6 giờ. Tìm xác suất để một trong hai tàu phải chờ cập bến.


Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến)x (giờ): thời điểm tàu thứ nhất cập bến. y (giờ): thời điểm tàu thứ hai cập bến.A = “Một trong hai tàu phải chờ cập bến”Nếu tàu 1 cập bến trước thì tàu 2 phải chờ

y – x 4Nếu tàu 2 cập bến trước thì tàu 1 phải chờ

x – y 6Vậy A xảy ra khi -4 x – y 6, thể hiện ở miền gạch chéoVậy

2 2 2

2

124 18 20

2( ) 0.371524

ASP AS


1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 A

Không thể xảy ra

Chắc chắn xảy ra

.5

1

0

III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT(tính chất cơ bản của xác suất)

2.Nếu A B thì

3.

4. P(A)1)AP(

( ) ( )P A P B

( ) 1, ( ) 0P P

III. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT(tính chất cơ bản của xác suất)

Ví dụ.

Một bộ bài tây có 52 lá, rút ngẫu nhiên 1 lá

♥ ♣ ♦ ♠Đặt:

A = “Rút được con át”

B = “Rút được lá đỏ”

P(A B) P(A) P(B) P(A B)

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT1. Công thức cộng xác suất

P(“Đỏ” + “Át”) = P(“Đỏ”) + P(“Át”) - P(“Đỏ” ∩ “Át”)

= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52Phần dư khi giao 2 biến cố

ĐenMàu

Loại Đỏ Tổng

Át 2 2 4

Khác 24 24 48

Tổng 26 26 52

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT1. Công thức cộng xác suất

Xác suất có điều kiện là xác suất xảy ra một biến cố, cho trước một biến cố khác đã xảy ra

P(A B)P(A|B)

P(B)

P(A B)P(B|A)

P(A)

Xác suất xảy ra A với điều kiện B đã xảy ra

Xác suất xảy ra B với điều kiện A đã xảy ra

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT2. Công thức xác suất có điều kiện

Ví dụ. Khảo sát các xe ô-tô trong thành phố, thấy có 70% có hệ thống điều hòa (AC) và 40% có máy chơi nhạc (CD). 20% có cả điều hòa và máy chơi nhạc. Chọn ngẫu nhiên 1 xe ô-tô, biết đã chọn được xe có máy điều hòa, hỏi xác suất xe đó có máy chơi nhạc là bao nhiêu?

Gọi:AC = “Chọn được xe có điều hòa”CD = “Chọn được xe có dàn CD”Yêu cầu đề bài: Tính P(CD|AC)?


Không CDCD Tổng

AC .2 .5 .7

Không AC .2 .1 .3

Tổng .4 .6 1.0

P(CD AC) .2P(CD|AC) .2857

P(AC) .7

70% có điều hòa

40% có dàn CD

20% có điều hòa + CD


Không CDCD Tổng

AC .2 .5 .7

Không AC .2 .1 .3

Tổng .4 .6 1.0

Cho trước AC, ta chỉ cần xét 70% xe có điều hòa. Do đó, 20% số xe có dàn CD. 20% of 70% sẽ là 28.57%.

P(CD AC) .2P(CD|AC) .2857

P(AC) .7


Công thức nhân xác suất cho hai biến cố A và B

Ta cũng có

P(A B) P(B)P(A|B)

P(A B) P(A)P(B|A)

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT3. Công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất cho n biến cố A1,A2,…,An

1 2 1 3 1 2 1 2

1

1

2 )

( ) ( | ) ( | ) ( | )

(

n

n n

P A A

P A P A A P A A A P A

A

A A A


Ví dụ

P(“Át” ∩“Đỏ") = P(“Át”)P(“Đỏ”|“Át”)

4 2 252 4 52


Ví dụ

Một lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm kém chất lượng. Một khách hàng trước khi mua lô hàng chọn cách kiểm tra sau: chọn ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 4 sản phẩm.Nếu thấy có bất kỳ sản phẩm kém chất lượng nào thì loại lô hàng. Tính xác suất khách hàng chấp nhận lô hàng.


Hai biến cố A và B gọi là độc lập khi và chỉ khi:

Biến cố A độc lập với biến có B khi xác suất của biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kia

Nếu A và B độc lập, thì

P(A B) P(A)P(B)

P(A)B)|P(A

P(B)A)|P(B


Ví dụTrong khảo sát về nội thất xe ô-tô trong thành phố, 70% xe có máy điều hòa (AC), 40% có máy chơi nhạc(CD), và 20% có cả hai.Hỏi AC và CD có độc lập hay không?


Không CDCD Tổng

AC .2 .5 .7

Không AC .2 .1 .3

Tổng .4 .6 1.0

P(AC ∩ CD) = 0.2

P(AC) = 0.7

P(CD) = 0.4P(AC)P(CD) = (0.7)(0.4) = 0.28

P(AC ∩ CD) = 0.2 ≠ P(AC)P(CD) = 0.28

Do đó hai biến cố AC và CD không độc lập.


Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất.

Không gian mẫu: ={1,2,3,4,5,6}

Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn”

B = “ Xuất hiện mặt có số điểm bé hơn 4”

C = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 2 điểm”

D = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 6 điểm”

A = {2,4,6}; B={1,2,3}; C={1,2}; D={1,6}

Hãy kiểm tra tính độc lập của các biến cố A, B, C, D.


Hệ đầy đủ các biến cố

Hệ A1,A2,…,An gọi là hệ

đầy đủ các biến cố nếu

1 2

1

n

i j i j n

A

AA

A AA1

A2

A3

A4

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT4. Công thức xác suất đầy đủ

xét A1,A2,…,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quan

Cho là hệ đầy đủ các biến cố, và B là một biến cố có liên quan đến hệ này. Xác suất xảy ra B

,A A

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A

1 11

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )n

i i n ni

P B P A P B A P A P B A P A P B A

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT4. Công thức xác suất đẩy đủ

( ) ( ' )

( ) ( ) ( ' )

( ) ( | ) ( ') ( | ')

=

B A B A B

P B P A B P A B

P A P B A P A P B A


Ví dụ

Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 3 phân xưởng sx có công suất làm ra bóng đèn như nhau. Biết rằng tỷ lệ bóng bị lỗi do từng phần xưởng làm ra tương ứng là 5%, 7% và 10%. Một khách hàng mua bóng đèn của nhà máy sản xuất. Tính xác suất khách hàng mua nhằm bóng bị lỗi.


Xét A1,A2,…,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quan.

Công thức Bayes

( ) ( | )( | ) , 1

),

(,i i

i

P A P B AP A B

Bi n

P

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT5. Công thức Bayes

Ví dụMột học sinh đi học từ nhà đến trường có thể đi bằng hai con đường khác nhau. Biết rằng nếu học sinh đi theo con đường thứ nhất thì khả năng bị kẹt xe là 15% và đi theo con đường thứ hai bằng 20%. Học sinh chọn ngẫu nhiên một con đường để đi. Biết rằng học sinh đã bị kẹt xe, hỏi xác suất học sinh đã đi con đường thứ nhất là bao nhiêu?

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT5. Công thức Bayes

Phép thử Bernoulli: là phép thử ngẫu nhiên chỉ có 2 kết quả xãy ra đối lập nhau là và

đã biết.• Công thức Bernoulli: Thực hiện phép thử

Bernoulli n lần độc lập, tính xác suất để có k lần xãy ra biến cố A

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT6. Công thức Bernuolli

,A A

( )P A p

( ; ; ) (1 ) k k n knP n k p C p p

• Ví dụ: Giả sử trả lời ngẫu nhiên 10 câu hỏi trắc nghiệm (4 phương án lựa chọn). Tính xác suất để trả lời đúng được 5 câu

IV. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT6. Công thức Bernuolli

trƯỜng ĐẠi hỌc trÀ vinh khoa khoa hỌc cƠ bẢn bỘ mÔn toÁn hỌc

Documents