truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí · 2018. 8. 13. ·...

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

101

E

L

K

I

J

H

B D

C

A

O

MN

Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho

M, N không song song với CD. Gọi O là một điểm thuộc miền trong tam giác

BCD.

a). Tìm giao tuyến của BCD và OMN .

b). Tìm giao điểm của BD và OMN .

c). Tìm giao điểm của BC và OMN .

d). Tìm giao điểm của MN và ABO .

e). Tìm giao điểm của AO và BMN .

LỜI GIẢI

a) Có O (BCD) (OMN) (1).

Trong mp(ACD) gọi

H CD (BCD)H CD MN

H MN (OMN)

H (BCD) (OMN) (2).

Từ (1) và (2) suy ra

(BCD) (OMN) HO

b) Trong mp(BCD) gọi J BC HO

và I BD HO .

Có

J BCJ BC HO

J HO (OMN)

J BC (OMN) .

Có I BD

I BD HO I BD (OMN)I HO (OMN)

.

c) Có A (ABO) (ACD) (3).

Trong mp(BCD) gọi

K BO (ABO)K BO CD

K CD (ACD)

K (ABO) (ACD) (4).

Từ (3) và (4) suy ra (ABO) (ACD) AK

Trong mp(ACD) gọi L MN

L MN AK L MN (ABO)L AK (ABO)

.

d) Có BL (ABK) (BMN)


102

Q

K J

I

G

NM

F

PH

E

A D

C

S

B

Trong mp(ABK) gọi E AO

E AO BL E AO (BMN)E BL (BMN)

.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD, gọi M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác

SAB và SCD. Xác định giao điểm của:

a) BD và (SMN) b) MN và (SAD) c) SD và (BMN) d) SA và (CMN).

LỜI GIẢI

a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm

của AB và CD.

Trong mp(ABCD) gọi

G BDG BD EF

G EF (SMN)

G BD (SMN) .

b) Chọn mp(SEF) chứa MN. Tìm

giao tuyến (SAD) và (SEF).

Có S (SAD) (SEF) (1).


I AD (SAD)

I AD EF I (SAD) (SEF)I EF (SEF)

(2).

Từ (1) và (2) suy ra (SAD) (SEF) SI .

Trong mp(SEF) gọi J MN

J MN SI J MN (SAD)J SI (SAD)

.

c) Chọn mp(SAD) chứa SD. Tìm giao tuyến (SAD) và (BMN).

Trong mp(SAB) gọi

H SA (SAD)H SA BM

H BM (BMN)

H (SAD) (BMN) (3).

Có J MN (BMN)

J MN SI J (BMN) (SAD)J SI (SAD)

(4).

Từ (3) và (4) suy ra (BMN) (SAD) HJ .

Trong mp(SAD) gọi K SD

K SD HJ K SD (BMN)K HJ (BMN)

.

d) Chọn mp(SAD) chứa SA. Tìm giao tuyến (SAD) và (CMN).

Trong mp(SCD) gọi

P SD (SAD)P SD CN

P CN (CMN)

P (SAD) (CMN) (5).


103

K

JH

I

A D

B

S

C

E

F

Có J MN (CMN)

J MN SI J (CMN) (SAD)J SI (SAD)

(6).

Từ (5) và (6) suy ra (CMN) (SAD) PJ .

Trong mp(SAD) gọi Q SA

Q SA PJ Q SA (CMN)Q PJ (CMN)

.

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn AD. Gọi E

và F là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh SB và CD.

a) Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng SAC .

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng AEF với các đường thẳng BC và SC.

LỜI GIẢI

a) Chọn mp(SBF) chứa EF. Có

S (SAC) (SBF) (1).


H AC (SAC)H AC BF

H BF (SBF)

H (SAC) (SBF) (2).


(SAC) (SBF) SH .

Trong mp(SBF) gọi

I EF

I EF SH I EF (SAC)I SH (SAC)

.

b) Trong mp(ABCD) gọi J BC

J BC AF J BC (AEF)J AF (AEF)

.

Trong mp(SBC) gọi K SC

K EJ SC K SC (AEF)K EJ (AEF)

.

Câu 10: Cho tứ diện SABC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, BC. Lấy điểm M trên đoạn IJ, lấy N trên cạnh SC.

a) Tìm H SM ABC b) Tìm K CM SAB

c) Tìm L MN ABC d) Tìm P AM SBC

LỜI GIẢI

a) Chọn mp(SAJ) chứa SM.

Có AJ (SAJ) (ABC) . Trong

mp(SAJ) gọi H SM AJ , có


104

P

L

K

H

I

J

A C

B

S

M

N

K

G

FK

E

P

N

M

AC

B

O

Q

H SM

H SM (ABC)H AJ (ABC)

.

b) Chọn mp(IBC) chứa CM.

Có BI (IBC) (S AB) . Trong mp(IBC)

gọi K CM BI , có

K CM

K CM (S AB)K BI (S AB)

.

c) Chọn mp(SHC) chứa MN.

Có CH (SHC) (ABC) . Trong

mp(SHC) gọi L CH MN , có

L MN

L MN (ABC)L CH (ABC)

.

d). Chọn mp(SAJ) chứa AM.

Có SJ (SAJ) (S BC) . Trong mp(SAJ) gọi P AM SJ , có

P AM

P AM (S BC)P SJ (S BC)

.

Câu 11: Cho tứ diện OABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA,OB và

AB. Trên cạnh OC lấy điểm Q sao cho OQ QC

a). Tìm E BC MNQ

b). Tìm F CP MNQ

c). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, tìm giao điểm K của đường thẳng BG

với mặt phẳng MNQ .

LỜI GIẢI a) Trong mp(OBC) gọi E NQ BC , có

E BC

E NQ (MNQ)

E BC (MNQ)

b) Có

E BC (ABC)

E NQ (MNQ)

E (ABC) (MNQ) (1).

Trong mp(OAC) gọi


105

K

F

E

Q

P

G

M

R

O

C

A D

B

S

K MQ AC , có

K AC (ABC)

K MQ (MNQ) K (ABC) (MNQ) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (ABC) (MNQ) EK .

Trong mp(ABC) gọi F CP EK , có F CP

F CP (MNQ)F EK (MNQ)

.

c) Trong mp(ABC) gọi K BG EK , có K BG

K BG (MNQ)K EK (MNQ)

.

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SAD.

a) Tìm giao điểm E của SA với mặt phẳng OMG

b) Tìm giao điểm F của AD với mặt phẳng OMG

c) Tìm giao điểm K của GM với ABCD

LỜI GIẢI a) Gọi R trung điểm của AD.


P BR AC . Có

(SAC) (SBR) SP .

Trong mp(SBR) gọi

Q SP MQ , có

Q SP (SAC)

Q MQ (OMG)

Q (SAC) (OMG) (1).

Có O (SAC) (OMG) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (SAC) (OMG) OQ . Trong mp(SAC) gọi E OQ SA ,

có E SA

E SA (OMG)E OQ (OMG)

.

b) Trong mp(SAD) gọi F EG AD , có F EG (OMG)

F AD (OMG)F AD

.

c) Trong mp(SBR) gọi K MG BR , có

K MG

K MG (ABCD)K BR (ABCD)

.


106

K

H

F

O

E

Q

P

C

AD

B

S

M

N

K

H

G

N

M

S

A C

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt nằm trong tam giác SAB và SAD

a) Tìm giao điểm E của MN với mặt phẳng ABCD

b) Tìm giao điểm F của AB với mặt phẳng OMN

c) Tìm giao điểm H của SA với mặt phẳng OMN

d) Tìm giao điểm K của CD với mặt phẳng OMN

LỜI GIẢI

a) Trong mp(SAB) gọi P SM AB .

Trong mp(SAD) gọi Q SN AD .

Trong mp(SPQ) gọi E MN PQ ,

có

E MN

E PQ (ABCD)

E MN (ABCD) .

b) Trong mp(ABCD) gọi

F OE AB , có

F ABF AB (OMN).

F OE (OMN)

c) Trong mp(SAB) gọi H FM SA ,

có

H SAH SA (OMN)

H FM (OMN)

d) Trong mp(ABCD) gọi K OE CD , có

K CD

K CD (OMN)F OE (OMN)

.

Câu 14: Cho tứ diện S.ABC ; lấy điểm M là trung điểm SA; lấy điểm N là trọng tâm SBC;P nằm trong ABC . Tìm giao điểm

a) I của MN với ABC . Tứ giác ABIC là hình gì?

b) SB và MNP . c) SC và MNP . d) NP và SAB .

LỜI GIẢI

a) Gọi E trung điểm của BC. Trong mp(SAE) gọi

I MNI MN AE

I AE (ABC)


107

I MN (ABC) .

Trong mp(SAE) dựng EK SA,K MI . Xét NMS và NKE

có:

MNS KNE (đối đỉnh), và

MSN KEN (so le trong).

EK NE 1

NMS ~ NKE g.gMS NS 2

EK 1

do AM MSAM 2

.

Trong AIM có EK 1

2AM

EK là đường trung bình, nên E trung điểm của AI.

Trong mp(ABC) tứ giác ABIC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ABIC là hình bình hành.

b) Có P và I là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (ABC). Do đó PI (MNP) (ABC) .

Có N (SBC) (MNP) (1).

Trong mp(ABC) gọi F PI (MNP)

F PI BC F (S BC) (MNP)F BC (SBC)

(2).

Từ (1) và (2) suy ra (SBC) (MNP) FN .

Trong mp(SBC) gọi G SB

G SB FN G SB (MNP)G FN (MNP)

.

Trong mp(SBC) gọi H SC

H SC FN H SC (MNP)H FN (MNP)

.

c) Có M SB (SAB)

M (SAB) (MNP)M (MNP)

(3).

Có G SB (SAB)

G SB FN G (SAB) (MNP)G FN (MNP)

(4).

Từ (3) và (4) suy ra (SAB) (MNP) GM .

Trong mp(MNP) gọi J NP

J NP GM J NP (SAB)J GM (SAB)

.

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB và AB 2CD . Gọi I, J, K lần lượt là ba điểm trên các cạnh SA,AB,BC

a) Tìm giao điểm của IK và mp SBD .

b) Tìm giao điểm F của SD và mp IJK . Tính tỉ số FS

FD.


108

H

R

G

Q

F

P

E

O

J

I

K

CD

A B

S

c) Tìm giao điểm G của SC và mp IJK . Tính tỉ số GS

GC.

LỜI GIẢI a) Chọn mp(SAK) chứa IK. Có S (SBD) (SAK) (1).


O AK (SAK)O AK BD

O BD (SBD)

O (SAK) (SBD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (SAK) (SBD) SO .

Trong mp(SAK) gọi

E IK

E IK SO E IK (SBD)E SO (SBD)

.

b) Trong mp(ABCD) gọi P, Q lần lượt là giao điểm của JK với AD và CD.

Có:

JKB QKC

KB KC KBJ KCQ g.c.g JB CQ

KCQ KBJ(so le trong)

Ngoài ra thì JB DC (Vì 1

JB DC AB2

). Do đó C là trung điểm của DQ, và

BJCQ là hình bình hành. Trong DPQ có CJ là đường trung bình. Do đó A là trung điểm của DP.

Có I (SAD) (IJK) (3).

Có P AD (SAD)

P AD JK P (SAD) (IJK)P JK (IJK)

(4).

Từ (3) và (4) suy ra (SAD) (IJK) IP .

Trong mp(SAD) gọi F SD

F SD IP F SD (IJK)F IP (IJK)

.

Trong mp(SAD) dựng AR SD,R PF . Suy ra 1

AF DF2

(5) (Tính chất đường

trung bình), và có IAR ISF g.c.g AR SF (6).

Từ (5) và (6) suy ra FS 1

FD 2 .

c) Có F (SCD) (IJK) , và có Q IJ CD Q (SCD) (IJK) .

Vậy (SCD) (IJK) FQ

Trong mp(SCD) gọi G SC

G SC FQ G SC (IJK)G FQ (IJK)

.


109

H

R

P

Q

F

K

E

I

J

A

B D

C

M

N

Trong mp(SCD) dựng CH SD,H FQ . Suy ra 1

CH DF2

(Tính chất đường

trung bình), CH SF (Theo câu b) GFS GHC g.c.g GS GC .

Từ đó suy ra GS

1GC

.

Câu 16: Cho tứ diện S.ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK 2KD .

a) Tìm giao điểm E của CD với mp IJK . CMR: DE DC .

b) Tìm giao điểm F của AD với mp IJK . CMR: FA 2FD .

c) Chứng minh: FK IJ

d) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao

điểm của MN với mp IJK .

LỜI GIẢI

a) Trong mp(BCD) gọi

E CDE CD JK

E JK (IJK)

E CD (IJK) .

Trong mp(BCD) dựng

DH BC,H JE KDH ~ KBJ g.g

DH KD 1 1DH CJ

BJ KB 2 2.

Trong CEJ có 1

DH CJ DH2

là đường trung bình của tam giác này. Suy

ra D trung điểm của CE. Vậy DE DC .

b) Có I (IJK)

I (IJK) (ACD)I AC (ACD)

(1).

E CD (ACD)

E CD JK E (IJK) (ACD)E JK (IJK)

(2).

Từ (1) và (2) suy ra (IJK) (ACD) EI .

Trong mp(ACD) gọi F AD

F AD EI F AD (IJK)F EI (IJK)

.

Có F là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và EI của tam giác ACE, suy ra F là trọng tâm của tam giác này. Nên FA 2FD . c) Tương tự câu b) có K là trọng tâm của BCE . Theo tính chất trọng tâm có EF EK 2

FK IJEI EJ 3

.

d) Chọn mp(ABN) chứa MN.


110

J

I

O

K

H

GF

E

C

A D

B

S

N

M

Trong mp(BCD) gọi P BN (ABN)

P BN JK P (ABN) (IJK)P JK (IJK)

(3).

Trong mp(ACD) gọi

Q AN (ABN)

Q AN IE Q (ABN) (IJK)Q EI (IJK)

(4).

Từ (3) và (4) suy ra (ABN) (IJK) PQ .

Trong mp(ABN) gọi R MN

R MN PQ R MN (IJK)R PQ (IJK)

.

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm của SA, SB. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh SD.

1) Tìm giao tuyến của SAD và SBC ; SAC và SBD .

2) Tìm giao điểm của IM và SBC ; JM và SAC ;SC và IJM

LỜI GIẢI

a) Trong mp(SCD) gọi

E SN CD

Trong mp(SBE) gọi

F BE MN , có

F MNF MN (ABCD)

F BE (ABCD)

b) Có S (SAC) (SBE) (1)


O AC BE , có

O AC (SAC)

O BE (SBE)

O (SAC) (SBE) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (SAC) (SBE) SO .

Có A (AMN) (SAC) (3).

Trong mp(SBE) gọi I SO MN , có

I SO (SAC)

I MN (AMN)

I (SAC) (AMN) (4).

Từ (3) và (4) suy ra (SAC) (AMN) AI .

Trong mp(SAC) gọi H AI SC , có H SC

H SC (AMN)H AI (AMN)

.

Trong mp(SCD) gọi K HN SD , có K SD

K SD (AMN)K HN (AMN)

.

c) Có C (CMN) (SAC) (5).


111

O

G

E

F

L

K

J

H

I

AC

B

S

N

P

M

Có I SO (SAC)

I (SAC) (CMN)I MN (CMN)

(6).

Từ (5) và (6) suy ra (SAC) (CMN) CI .

Trong mp(SAC) gọi J SA CI , có J SA

J SA (CMN)J CI (CMN)

.

Câu 18: Cho tứ diện SABC. Lấy điểm M trên cạnh SA. Lấy N, P lần lượt nằm trong các tam giác SBC và ABC. 1) Tìm giao điểm của MN với ABC

2) Tìm giao điểm của MNP với AB; SB; AC; SC .

3) Tìm giao điểm của NP với SAB , SAC .

LỜI GIẢI

a) Trong mp(SBC) gọi I SN BC

Trong mp(SAI) gọi H AI MN , có H MN

H MN (ABC)H AI (ABC)

.

b) Có S (SAC) (SBE) (1).

Trong mp(ABCD) gọi O AC BE , có

O AC (SAC)

O BE (SBE)

O (SAC) (SBE) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (SAC) (SBE) SO .


112

K

J

E

N

O

M

B

AD

C

S

Có A (AMN) (SAC) (3).

Trong mp(SBE) gọi I SO MN , có

I SO (SAC)

I MN (AMN)

I (SAC) (AMN) (4).

Từ (3) và (4) suy ra (SAC) (AMN) AI .

Trong mp(SAC) gọi H AI SC , có H SC

H SC (AMN)H AI (AMN)

.

Trong mp(SCD) gọi K HN SD , có K SD

K SD (AMN)K HN (AMN)

.

c) Có C (CMN) (SAC) (5).

Có I SO (SAC)

I (SAC) (CMN)I MN (CMN)

(6).

Từ (5) và (6) suy ra (SAC) (CMN) CI .

Trong mp(SAC) gọi J SA CI , có J SA

J SA (CMN)J CI (CMN)

.

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi M là

trung điểm của SB, N là điểm thuộc đoạn SD sao cho SN 2ND .

a). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBD và SAC .

b). Tìm giao điểm E của đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD . Tính EN

EM.

c). Tìm giao điểm K của đường thẳng SC và mặt phẳng AMN . Gọi J giao điểm

của AK và SO, tính JK

JA.

LỜI GIẢI

a) Có S SAC SBD (1). Có

O AC (SAC)

O AC BDO BD (SBD)

O SAC SBD (2).


SAC SBD SO .

b) Trong mp(SBD) gọi


113

Hình 2

L

JN

O

M

D

S

B E

Hình 3

QJ

O

S

CA

K

E MN BD , có E MN

E MN (ABCD)E BD (ABCD)

.

Trong mp(SBD), dựng DL MN,L SB . Có SN SM BM

2 2 LND ML ML

trung điểm của BM. Suy ra LD là đường trung bình của BEM 2LD EM .

Vậy có

2DL

EN MN 231 1EM EM 2DL 3

.

c) Trong mp(SBD) gọi J SO MN ,

có J MN (AMN)

J SO (SAC)

J (AMN) (SAC) (3) và

A (AMN) (SAC) (4). Từ (3), (4)

(AMN) (SAC) AJ . Vậy điểm K

cần tìm, chính là giao điểm của AJ và SC.

Dựa vào hình 2, có MO đường trung của BDS , do đó có JOM ~ JSN g.g

JO OM

JS SN , mà

1SD

OM 3 JO 322SN 4 JS 4

SD3

.

Mặt phẳng (SAC) được vẽ lại ở hình 3. Dựng OQ AK,Q SC .

Có SJ JK 4 4

JK OQSO OQ 7 7

và

CO OQ 1

AK 2OQCA AK 2

.

Do đó JK 2 JK 2

AK 7 JA 5 .

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi và không có

cặp cạnh đối nào song song. Lấy điểm M trên cạnh SC và điểm N trên cạnh SD.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và NBC .

b) Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng SBD .

LỜI GIẢI


114

J

I

H

A

B

C

D

S

M N

a) Có

N SD (SAD)

N (BCN)

N (SAD) (BCN) (1).


H AD BC . Vì

H AD (SAD)

H BC (BCN)

H (SAD) (BCN) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (SAD) (BCN) HN .

b) Bước 1: Chọn mp(SAC) chứa AM

Bước 2: Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD).

Trong mp(ABCD) gọi I AC BD . Vì

I AC (SAC)

I BD (SBD)

I (SAC) (SBD) (3).

Ngoài ra S (SAC) (SBD) (4).

Từ (3) và (4) suy ra (SAC) (SBD) SI

Trong mp(SAC) gọi J AM SI . Vì J AM

J AM (SBD).J SI (SBD)

DẠNG 3: Tìm thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P).

Thiết diện là phần chung của mặt phẳng (P) và hình (H) .

Xác định thiết diện là xác định giao tuyến của mp (P) với các mặt của hình (H).

Thường ta tìm giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt phẳng nào

đó thuộc hình (H), giao tuyến này dễ tìm được. Sau đó kéo dài giao tuyến này cắt

các cạnh khác của hình (H), từ đó ta tìm được các giao tuyến tiếp theo. Đa giác giới

hạn bởi các đoạn giao tuyến này khép kín thành một thiết diện cần tìm.


115

H

F

I

E

N

K

A C

B

S

M

Thông qua cụ thể những bài tập sau thì các bạn sẽ hiểu rõ hơn.

Câu 1: Cho tứ diện SABC. Gọi K,N trung điểm SA và BC. M là điểm thuộc

đoạn SC sao cho 3SM 2MC .

a) Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng KMN .

b) Mặt phẳng KMN cắt AB tại I. Tính tỉ số IA

IB.

LỜI GIẢI

a) Trong mp(SAC) gọi

E AC KM . Trong mp(ABC)

gọi I AB EN . Từ đó suy ra thiết

diện cần tìm là tứ giác MNIK.

b) Trong mp(SAC) dựng

AF SC,F EM

KAF KSM g.c.g

AF SM

Theo đề bài có MS 2 AF 2

3 3CM CM

.

Trong ECM có AF EA 2

CM EC 3

Trong mp(ABC) dựng AH EA 2 AH 2

AH BC,H ENNC EC 3 NB 3

Ngoài ra có IA AH 2IAH ~ IBN g.g

IB BN 3

truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí · 2018. 8. 13. ·...

Documents