ts. ngô văn thanh, - iop.vast.ac.vnslides).pdf · 2.1. phương pháp khoanh vùng 2.1.1. khoanh...

TS. Ngô Văn Thanh,Viện Vật lý.

Cao học vật lý – chuyên ngành Vật lý lý thuyết.

Chương.2 Giải phương trình đại số phi tuyến.2.1. Phương pháp khoanh vùng (Bracketing interval)

2.1.1. Khoanh vùng nghiệm bằng cách vẽ đồ thị các hàm (Bracketing a root by plotting the graph of functions).

2.1.2. Khoanh vùng nghiệm từ trong ra ngoài (Bracketing a root by outward from an initial interval).

2.1.3. Khoanh vùng nghiệm từ ngoài vào trong (Bracketing a root by inward on an initial interval).

2.2. Phương pháp phi đạo hàm (Methods without derivatives)

2.2.1. Phương pháp chia đôi (bisection method).

2.2.2. Phương pháp lặp đơn giản và thay thế liên tiếp (Simple iterative method with successive substitution).

2.2.3. Phương pháp cát tuyến (Secant method)

2.3. Phương pháp đạo hàm (Methods with derivatives)

2.3.1. Phương pháp lặp Newton (Newton iterative method).

2.3.2. Phương pháp lặp Newton cho hệ các phương trình không tuyến tính (Newton iterative method for the system of non-linear equations)

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

2.1. Phương pháp khoanh vùng 2.1.1. Khoanh vùng nghiệm bằng cách vẽ đồ thị các hàm.

Một số kiểu nghiệm của một phương trình phi tuyến:


Phương trình có nghiệm trong khoảng (a, b) nếu

liên tục trên khoảng (a, b).

Các bước thực hiện:

Vẽ đồ thị của hàm số bằng các phần mềm

như Gnuplot, Mathematica, Matlab…

Dựa trên đồ thị, xác định khoảng (a, b) mà nghiệm nằm trong khoảng đó.

Xác định nghiệm gần đúng của phương trình x0.


2.1.2. Khoanh vùng nghiệm từ trong ra ngoài

Xét hai điểm bất kỳ

Tính tích

Nếu tích trên thì kết thúc chương trình tính.

Ngược lại, nếu

Nếu thì thay giá trị

Ngược lại: thì thay

Với b là thừa số tùy chọn.

Thực hiện các phép tính trên theo một số vòng lặp xác định.


INTEGER, PARAMETER :: NTRY=50

REAL, PARAMETER :: FACTOR=1.6

INTEGER :: j

REAL :: f1,f2

if (x1 == x2) RETURN

f1=func(x1)

f2=func(x2)

succes=.true.

do j=1,NTRY

if ((f1 > 0.0 .and. f2 < 0.0) .or. &

(f1 < 0.0 .and. f2 > 0.0)) RETURN

if (abs(f1) < abs(f2)) then

x1=x1+FACTOR*(x1-x2)

f1=func(x1)

else

x2=x2+FACTOR*(x2-x1)

f2=func(x2)

end if

end do

succes=.false.


2.1.3. Khoanh vùng nghiệm từ ngoài vào trong (cho phép khoanh vùng nhiều nghiệm)

Xét hai điểm cho trước

Chia thành n khoảng và trong đó có tối đa là nb nghiệm.

Tính tích

Nếu tích trên đưa ra khoảng nghiệm

Thực hiện các phép tính trên cho n khoảng.


nbb=0

x=x1

dx=(x2-x1)/n

fp=fx(x)

do i=1,n !Loop over all intervals

x=x+dx

fc=fx(x)

if(fc*fp.le.0.) then

nbb=nbb+1

xb1(nbb)=x-dx

xb2(nbb)=x

if(nbb.eq.nb)goto 1

endif

fp=fc

enddo

1 continue

nb=nbb

END SUBROUTINE zbrak.


2.2. Phương pháp phi đạo hàm2.2.1 Phương pháp chia đôi (bisection method).

Tìm nghiệm nhanh hơn phương pháp khoanh vùng nghiệm.

Có độ chính xác cao hơn.

Chỉ tìm được một nghiệm nào đó khoảng (a, b).

Xét khoảng (a, b) mà trong đó phương trình phi tuyến có nghiệm, tức là

Chọn điểm c là điểm giữa của (a, b).

Nếu như f (c) cùng dấu với f (a) thì thay khoảng (a, b) bằng (c, b).

Nếu như f (c) cùng dấu với f (b) thì thay khoảng (a, b) bằng (a, c).

Thực hiện qua trình lặp trên một số bước nào đó, hoặc khoảng chia đôi bé hơn một thừa số cho trước (sai số).


fmid=func(x2)

f=func(x1)

if (f*fmid >= 0.0) write(6,*) 'rtbis:root must be bracketed‘

if (f < 0.0) then

rtbis=x1

dx=x2-x1

else

rtbis=x2

dx=x1-x2

end if

do j=1,MAXIT !Bisection loop.

dx=dx*0.5

xmid=rtbis+dx

fmid=func(xmid)

if (fmid <= 0.0) rtbis = xmid

if (abs(dx) < xacc .or. fmid == 0.0) RETURN

end do

write(6,*) 'rtbis:too many bisections'


2.2.3 Phương pháp cát tuyến (Secant method).

Áp dụng cho các hàm trơn (smooth) ở gần nghiệm.

Tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp bisection.

Xét khoảng (a, b) mà trong đó phương trình phi tuyến có nghiệm.

Chọn hai điểm ban đầu p0 = a, p1 = b.

Phương trình đường thẳng đi qua (p0, f(p0)) và (p1, f(p1))

Giao điểm với trục hoành tại (p2, 0):

suy ra

Tổng quát:


fl=func(x1)

f =func(x2)

if (abs(fl) < abs(f)) then

rtsec=x1

xl=x2

call swap(fl,f)

else

xl=x1

rtsec=x2

end if

do j=1,MAXIT !Secant loop.

dx=(xl-rtsec)*f/(f-fl)

xl=rtsec

fl=f

rtsec=rtsec+dx

f=func(rtsec)

if (abs(dx) < xacc .or. f == 0.0) RETURN ! Convergence.

end do


2.3. Phương pháp đạo hàm (Methods with derivatives)2.3.1. Phương pháp lặp Newton (Newton iterative method).

Khai triển chuỗi Taylor:

Xét: suy ra

Hệ số góc của phương trình f(x):

Suy ra

Nghiệm của phương trình là khi


Nếu hàm số f(x) không tính được đạo hàm bằng giải tích thì phải tính f ’ (x)theo phương pháp gần đúng tại mỗi vòng lặp.


Thuật toán:

Run_newton(f; f’; x0;N; tol)

(1) đặt x = x0; n = 0

(2) while n <= N

(3) tính fx f(x)

(4) if (|fx| < tol)

(5) return x

(6) tính fpx f’(x)

(7) if |fpx| < tol

(8) return x

(9) Gán x = x – fx/fpx

(10) Gán n = n + 1

(11) end while


Chương trình:

INTEGER, PARAMETER :: MAXIT=20

INTEGER :: j

REAL :: df,dx,f

rtnewt = 0.5*(x1+x2) !Initial guess.

do j=1,MAXIT

call funcd(rtnewt,f,df)

dx = f/df

rtnewt = rtnewt-dx

if ((x1-rtnewt)*(rtnewt-x2) < 0.0)&

write(6,*) 'rtnewt:values jumped out of brackets'

if (abs(dx) < xacc) RETURN ! Convergence.

end do

write(6,*) 'rtnewt exceeded maximum iterations'

END FUNCTION rtnewt


Một số trường hợp mà phương pháp lặp Newton sẽ tính sai.

Kết hợp bisection và Newton-Raphson. Phương pháp bisection được áp dụng cho trường hợp phương pháp Newton hội tụ chậm hoặc nghiệm tìm đượcvượt ra ngoài khoảng nghiệm.


Chương trình:

call funcd(x1,fl,df)call funcd(x2,fh,df)if ((fl > 0.0 .and. fh > 0.0) .or. &

(fl < 0.0 .and. fh < 0.0)) &write(6,*)'root must be bracketed in rtsafe'

if (fl == 0.0) thenrtsafe = x1RETURN

else if (fh == 0.0) thenrtsafe = x2RETURN

else if (fl < 0.0)xl = x1xh = x2

elsexh = x1xl = x2

end if*

rtsafe = 0.5*(x1+x2) !Initialize the guess for root,dxold = abs(x2-x1) !the “stepsize before last,”dx = dxold !and the last step.call funcd(rtsafe,f,df)


do j=1,MAXIT !Loop over allowed iterations.

if (((rtsafe-xh)*df-f)*((rtsafe-xl)*df-f) > 0.0 .or. &

abs(2.0*f) > abs(dxold*df) ) then

! Bisect if Newton out of range,

! or not decreasing fast enough.

dxold = dx

dx = 0.5*(xh-xl)

rtsafe = xl+dx

if (xl == rtsafe) RETURN

!Change in root is negligible.

else !Newton step acceptable. Take it.

dxold = dx

dx = f/df

temp = rtsafe

rtsafe = rtsafe-dx

if (temp == rtsafe) RETURN

end if


if (abs(dx) < xacc) RETURN !Convergence criterion.

call funcd(rtsafe,f,df)

if (f < 0.0) then !Maintain the bracket on the root.

xl = rtsafe

else

xh = rtsafe

end if

end do

write(6,*) 'rtsafe:exceeded maximum iterations'

END FUNCTION rtsafe


2.3.2. Phương pháp lặp Newton cho hệ các phương trình không tuyến tính

Xét hệ hai phương trình không tuyến tính bất kỳ:

Giao điểm của các đường mức chính là nghiệm của hệ phương trình.


Xét hệ N phương trình không tuyến tính

Khai triển chuỗi Taylor cho hệ phương trình trên

Ma trận các đạo hàm riêng chính là ma trận Jacobian

Suy ra:

Bỏ qua số hạng bậc cao, đặt , ta có

Giải phương trình trên để tìm bằng phương pháp phân ly LU. Nghiệm gần

đúng của hệ có dạng:


REAL, DIMENSION(:), INTENT(INOUT) :: x

INTEGER, DIMENSION(size(x)) :: indx

REAL, DIMENSION(size(x)) :: fvec,p

REAL, DIMENSION(size(x),size(x)) :: fjac

do i=1,ntrial

call usrfun(x,fvec,fjac)

! User subroutine supplies function values at x

! in fvec and Jacobian matrix in fjac.

if (sum(abs(fvec)) <= tolf) RETURN

!Check function convergence.

!Right-hand side of linear equations.

p = -fvec

call ludcmp(fjac,indx,d)

!Solve linear equations using LU decomposition

call lubksb(fjac,indx,p)

!Update solution.

x = x+p

if (sum(abs(p)) <= tolx) RETURN

!Check root convergence.

end do@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

***********************************************************INTEGER,FUNCTION assert_eq(n1,n2,n3,string)INTEGER, INTENT(IN) :: n1,n2,n3CHARACTER(LEN=*),INTENT(IN) :: string

* IF (n1==n2 .and. n2==n3) assert_eq = n1ELSE write(6,*) 'nrerror: an assert_eq failed', string

*END FUNCTION assert_eq

*************************************************************FUNCTION outerprod(a,b)REAL,DIMENSION(:), INTENT(IN) :: a,bREAL,DIMENSION(size(a),size(b)) :: outerprod

* outerprod = spread(a,dim=2,ncopies=size(b))*& spread(b,dim=1,ncopies=size(a))

*END FUNCTION outerprod

*************************************************************


Hàm SPREAD(A, DIM, N_copy)

DIM=1 : thêm các hàng, DIM=2 : thêm các cột.

Ví dụ A = (/2, 7/)

SPREAD(A, 1, 4)

SPREAD(A, 2, 4)


*******************************************************SUBROUTINE swap(a,b)REAL, INTENT(IN) :: a,bREAL :: temp

* temp = aa = bb = temp

*END SUBROUTINE swap

*******************************************************INTEGER,FUNCTION imaxloc(arr)REAL, INTENT(IN) :: arrINTEGER, DIMENSION(1) :: imax

*imax=maxloc(arr(:))imaxloc=imax(1)

* END FUNCTION imaxloc


ts. ngô văn thanh, - iop.vast.ac.vnslides).pdf · 2.1. phương pháp khoanh vùng 2.1.1. khoanh...

Documents