tt1_predavanje-linijski kod,i,ii nikvistov kriterij

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Odsjek za telekomunikacije

Telekomunikacione tehnike Stranica 1

A. SPECIFIČNOSTI PRENOSA DIGITALNIH SIGNALA U OSNOVNOM OPSEGU.

LINIJSKI SIGNALI I SPEKTRALNE KARAKTERISTIKE LINIJS KIH SIGNALA.

NYQUISTOVI USLOVI ZA PRENOS BEZ ISI. DIJAGRAM OKA. TK KANAL:

IZDVAJANJE SIGNALA IZ ŠUMA FILTRIRANJEM I KORELACIJ OM

A.1. Intersimbolska interferencija

U prethodnim izlaganjima, baveći se koderom, tretirali smo digitalni signal na izlazu iz kodera. Isti se

može napisati u obliku,

( ) ( )u t a x t kTk kk

= −∑ ,

gde je x(t) usamljeni pravougaoni impuls,

x(t)

U

t0 T

Ako uzmemo za primjer unipolarni niz, ak∈{0,1}, pa za neku konkretnu poruku ak digitalni signal

izgleda kao na slici:

uK(t)

U

t0 T 2T 3T 4T

0 1 1 0 0 0 01 1 1

Ako želimo da ovaj signal prenesemo od izvora do odredišta, srećemo se sa konkretnim problemom da

ovaj signal ima spektar beskonačne širine. Konkretno, spektralna gustina snage ovog unipolarnog niza

iznosi,

( ) ( ) ( )S

U U T

Tω δ ω

ωω

= +

2 2

2 2

2

2

sin /

.,

Telekomunikacijski kanal, međutim, može da propusti samo opseg učestanosti konačne širine, tako da

se isti ponaša kao, na primer, idealni filtar HL(jω) propusnik niskih učestanosti, kao na slici.


Telekomunikacine tehnike Stranica 2

S(ω)

ω0 2π/T-2π/T 4π/T-4π/T 6π/T

HL(jω)

Da bismo analizirali uticaj kanala na prenešeni signal, posmatrajmo maksimalno uprošćen sistem za

prenos digitalnog signala:

uu(t)HL(jω)uk(t)Koder

PRIJEMNIK

nT

OdlučivačBinarni nizBinarni niz

PREDAJNIKKanal

Kada se unipolarni niz uk(t) sa prethodne slike prenosi duž kanala, pošto isti propušta samo dio spektra

signala, neminovno dolazi do izobličenja prenošenog signala, pa ovaj signal na ulazu u prijemnik ima

ovakav oblik:

uK(t)

U

t0 T 2T 3T 4T

Vidi se da su se na izlazu iz kanala pojedini simboli (0 i 1) razlili i izmiješali, tako da ih je sada mnogo

teže međusobno razlikovati. Ovo mješanje simbola usljed ograničavanja spektra prenošenog signala

naziva se intersimbolska interferencija (ISI).

ISI je pojava koja vrlo nepovoljno utiče na prenos digitalnog signala, te moramo izvršiti analizu da

bismo odredili pod kojim uslovima se ta pojava može izbjeći.

A.2. Najkvistova učestanost

Za analizu ćemo ponovo posmatrati uprošćen sistem za prenos digitalnog signala, prikazan na slici.



uu(t)HL(jω)uk(t)Koder

PRIJEMNIK

nT

OdlučivačBinarni nizBinarni niz

PREDAJNIKKanal

uu(nT)

Pretpostavimo da se na izlazu iz kodera dobija unipolarni niz, u kome je kao standardni signal umjesto

pravougaonog impulsa korišćen delta impuls:

( ) ( )u t a t kTk kk

= −∑ δ , ak∈{0,1}.

uK(t)

t0 T 2T 3T 4T

0 1 1 0 0 0 01 1 1

...

Kanal ćemo predstaviti kao idelani filtar propusnik niskih učestanosti, granične učestanosti ωg:

( )H jLg

gω

ω ωω ω

=≤>

1

0

, ,

, .

Takva funkcija prenosa je prikazana na slici.



ω0 ωg

HL(jω)

−ωg

1

Na osnovu osobine linearnosti, odziv kanala (linearni sistem) na niz delta impulsa je niz impulsnih

odziva:

( ) ( )u t a h t kTu kk

= −∑ .

gde je h(t) impulsni odziv idealnog NF filtra, koji smo već računali:

( ) ( )h t

t

t

g g

g

=ωπ

ω

ω

sin.

1

xπ0

( )sin x

x

2π 3π−π

Signal uu(t) na ulazu u prijemnik će, dakle, izgledati ovako:

( )( )( )

( )u t at kT

t kTug

k

g

gk=

−

−∑ωπ

ωω

sin.

t0 T 2T 3T 4T

...

uu(t)

0 1 1 0 0 0 01 1 1

Sa slike se može vidjeti da su se pojedinačni simboli na ulazu u prijemnik međusobno pomiješali.

Međutim, u prijemniku se ulazni signal uu(t) odabire u trenucima t=nT, i na osnovu tog odbirka se

donosi odluka o poslatom simbolu, dok se ostatak ulaznog signala (za t≠nT) u našem prijemniku

ignoriše. Dakle, nas ne interesuje da li su simboli pomiješani u bilo kom trenutku t, već da li su

pomiješani u trenutku odabiranja nT. Ako u trenutku t=nT simboli nisu pomiješani, smatramo

da nema ISI.

U trenutku odabiranja t=nT, odbirak primljenog signala na ulazu u odlučivač je, na osnovu prethodnih

izraza,



( )( )( )

( )u nT aT n k

T n ku

g

k

g

gk=

−

−∑ωπ

ω

ω

sin.

Pogledajmo još jednom izgled funkcije sin(x)/x. Prema gornjoj slici, odbirci ove funkcije uzeti u

tačkama x=mπ, gde je m cijeli broj, su svi jednaki nuli, sem za m=0:

( )sin ,

,

m

m

m

m

ππ

=≠=

0 0

1 0.

To znači da ako usvojimo da proizvod granične učestanosti kanala i intervala između dva simbola

(interval signalizacije) ωgT=mπ, gdje je m prirodan broj, za izraz u prethodnoj sumi će važiti,

( )( )( )

( )( )( )

sin sin ,

,

ω

ωπ

πg

g

T n k

T n k

m n k

m n k

n k

n k

−

−=

−−

==≠

1

0.

Dakle, od cijele sume će ostati samo sabirak za k=n, tj. odbirak signala na osnovu koga se vrši

odlučivanje iznosi,

( )u nT au

g

n=ωπ .

Ovim smo pokazali da odbirak uzet u trenutku t=nT na osnovu koga se u prijemniku vrši

odlučivanje o poslatom simbolu an zavisi samo od tog simbola, i niti od jednog drugog. Time smo

pokazali da nema miješanja simbola, tj. da nema intersimbolske interferencije. Dakle, uspjeli

smo da ostvarimo prenos signala u kanalu ograničenog opsega učestanosti bez ISI.

Utvrdili smo da neće doći di ISI u prenosu, ako granična učestanost kanala iznosi ωg=mπ/T, tj.

fg=m/(2T), gde je T signalizacioni interval, a m je prirodan broj. Ako, radi ekonomičnosti, uzmemo

najnižu vrednost za graničnu učestanost, to znači da usvajamo m=1. Kako smo ranije pokazali da

1/T=Vb, gde je Vb binarni protok, vidimo da se u ovom idealnom sistemu može uspostaviti jedno

važno pravilo:

fV

gb

,min =2

,

tj. minimalna granična učestanost kanala fg,min potrebna za prenos binarnog signala protoka Vb bez

intersimbolske interferencije iznosi fg=Vb/2.

Ova granična učestanost se naziva Najkvistova (Nyquist) učestanost.

Primjer 1. Za slučaj da smo izvršili IKM modulaciju govornog (telefonskog) signala prema

standardu, dobili smo binarni signal čiji je protok Vb=64kbit/s. Za prenos takvog signala kanalom u

osnovnom opsegu biće minimalno potreban opseg učestanosti od 0 do 32 kHz, ako želimo da

izbjegnemo intersimbolsku interferenciju.

U konkretnom primjeru, ako je fg jednako Najkvistovoj učestanosti, signal uu(t) na ulazu u prijemnik,

kao i njegovi odbirci na osnovu kojih se vrši odlučivanje, imaće sljedeći izgled:



t0 T 2T 3T 4T

...

uu(t)

0 1 1 0 0 0 01 1 1

ωg/π

A.3. I Nyquistov kriterijum

Rezultate za prenos signala bez ISI, koje smo izveli u prethodnoj glavi, izveli smo za jedan specijalni

slučaj - digitalni signal smo dobili na izlazu iz prijemnika u obliku povorke delta impulsa, a kanal smo

predstavili kao idealni filtar propusnik niskih učestanosti. Sada je vrijeme da se vratimo realnom

modelu sistema za prenos digitalnog signala:

uK(t)K

Binarni niz(0,1)

HT(jω)uT(t)

Predajnifiltar

PREDAJNIK

uR(t)HR(jω)

uu(t)Linijaveze

Prijemnifiltar

PRIJEMNIK

nT

Odlučivač

Pragodlučivanja

Up

Binarniniz (0,1)

Signal na izlazu kodera,


= −∑ ,

gde je x(t) standardni signal. Taj signal može da se zamisli kao da je dobijen kao odziv filtra funkcije

prenosa X(jω) na pobudu δ impulsom. To znači da se koder koji daje na izlazu kodovani signal iz

prethodnog izraza može zamijeniti rednom vezom kodera koji daje na izlazu povorku delta impulsa i

filtra funkcije prenosa X(jω):



X(jω)K

Binarni niz(0,1)

( )a x t kTkk

−∑K

Binarni niz(0,1)


= −∑ δ ( )a x t kTkk

−∑

To znači da realni sistem za prenos možemo predstaviti na sljedeći način:

Cjelokupni lanac, filtar u koderu - predajni filtar - kanal - prijemni filtar može da se zamisli kao jedan

ekvivalentni filtar H(jω):

H(jω)

PREDAJNIK

uR(t)

PRIJEMNIK

nT

Odlučivač

Prag odlučivanja Up

Binarniniz (0,1)

K

Binarniniz

(0,1)


= −∑ δ

Ekvivalentni kanal

uR(nT)

Uvodeći ekvivalentni kanal, funkcije prenosa,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )H j X j H j H j H jT L Rω ω ω ω ω= ,

sveli smo problem izbjegavanja ISI na oblik za koji smo već pokazali da postoji rešenje: ISI će biti

izbjegnuta ako funkcija prenosa H(jω) ekvivalentnog kanala ima oblik idealnog filtra propusnika

niskih učestanosti.

Idealni NF filtar nije jedina funkcija prenosa koja omogućava prenos digitalnog signala bez ISI.

Baveći se problemom prenosa telegrafskog signala, Najkvist (H. Nyquist) je 1928. godine došao do

sljedećeg rezultata, koji je poznat kao I Najkvistov kriterijum:

Da se u prenosu digitalnog signala izbegne intersimbolska interferencija, funkcija prenosa

ekvivalentne linije veze mora da zadovoljava uslov,

H j nT

constn

ωπ

+

=

=−∞

∞

∑2

.

gde je T signalizacioni interval.

Prethodni kriterijum kaže da će se u prenosu digitalnog signala izbjeći ISI, ako funkcija prenosa

ekvivalentnog kanala ponovljena beskonačno mnogo puta duž frekvencijske ose sa korakom 2π/T i

sabrana daje konstatnu vrednost. Ovo je prikazano na sljedećoj slici.



ω0 2π/T-2π/T 4π/T-4π/T 6π/T

H(jω)

H[j(ω−2π/Τ)]

H[j(ω−4π/Τ)]H[j(ω+2π/Τ)]

const

Već smo pokazali da funkcija prenosa HNF(jω) idealnog filtra propusnika niskih učestanosti

omogućava prenos digitalnog signala bez ISI, zadovoljava I Najkvistov kriterijum, što je lako pokazati

crtežom:

ω0 π/T-π/T 2π/T-2π/T 3π/T

HNF(jω) HNF[j(ω−2π/Τ)]HNF[j(ω+2π/Τ)]

const

To, međutim, nije jedina moguća funkcija prenosa koja zadovoljava I Najkvistov kriterijum.

Postavljeni uslov zadovoljava i funkcija prenosa sa kosinusoidalnim zaobljenjem:

( )H j

c

cc c

c

ω

ω ω ωπ ω ω

ωω ω ω ω ω

ω ω ω

=

≤ −

−−

− < < +

> +

1

1

2

1

2 20

1

11 1

1

,

sin ,

,

.

ω0 ωc-ω1

H(jω)

ωc+ω1

ωc

−ωc-ω1 −ωc+ω1

−ωc

1

0.5

Količnik ρ=ω1/ωc naziva se faktor zaobljenja, (roloff factor) i njegove granice su 0≤ρ≤1.



Prednost funkcije prenosa sa kosinusoidalnim zaobljenjem je da ona ima postepen prelaz iz propusnog

u nepropusni opseg, dok je kod idealnog NF filtra ovaj prelaz nagao. U praksi je mnogo lakše

napraviti filtar koji ima funkciju prenosa skoro jednaku filtru sa kosinusnim zaobljenjem, nego

aproksimirati idealni NF filtar. Pošto se u oba slučaja ostvaruje prenos digitalnog signala bez ISI, u

praksi se sistem za prenos skoro isključivo projektuje tako da ekvivalentna funkcija prenosa ima

kosinusoidalno zaobljenje.

Mana ove funkcije prenosa je da je njena maksimalna učestanost fc+f1, dok idealni NF filtar ima

graničnu učestanost fc, gde je fc Najkvistova učestanost. U oba slučaja se bez ISI ostvaruje prenos

binarnog signala sa protokom Vb=2fc, što znači da se primjenom filtra za kosinusoidalnim zaobljenjem

za prenos digitalnog signala zauzima širi opseg učestanosti od minimalno potrebnog. Stoga se u praksi

teži da faktor zaobljenja ρ ima manju vrednost.

A.4. Dijagram oka

ISI se javlja kao posljedica ograničenja frekventnog opsega linijskog signala.Repni dijelovi impulsa

protežu se na nekoliko uzastopnih signalizacionih nivoa.Kada amplituda repnih dijelova premaši nivo

praga u demodulatoru dolazi do pojave greške pri odlučivanju.

Grafička interpretacija S izgleda 1:

Ova interpretacija može se dobiti na osciloskopu, ali takav način predstavljanja je nepraktičan.

Adekvatno rješenje je dijagram oka digitalnog signala.To se postiže spoljnom sinhronizacijom

osciloskopa sa frekvencijom takta digitalnog signala koji se posmatra.Na taj način, na osciloskopu

ekrana dobije se oko čiji oblik izgleda 1B.P. Lathi :’’Modern digital and analog communication’’, Oxford University, Third Edition, 1998 John G Proakis, Masoud Salehi : ‘’Communication system Engineering’’, Northeastern University, 1994 Ivo M Kostić : ‘’Digitalni telekomunikacioni sistemi’’, Univerzitet Crne Gore, Beograd 1994



Šrafirani dio označava sektor u kome su koncentrisani odzivi sa niza prethodnih signalizacionih

intervala. Ovako formirano oko omogućava uvid u marginu po amplitudi šuma i uvid u marginu

džitera.

Dakle ako je otvor oka po visini veći, sistem ima veću rezervu u pogledu aktivnosti na aditivni

šum.Ukoliko je otvor manji po horizontali džiter takta je manji.2

Na sljedečoj slici prikazano je oko za bipolarni binarni signal na izlazu iz kanala čija je širina znatno

veča od širine prve arkade spektra posmatranog signala

Slika 5.3

2 B.P. Lathi :’’Modern digital and analog communication’’, Oxford University, Third Edition, 1998 John G Proakis, Masoud Salehi : ‘’Communication system Engineering’’, Northeastern University, 1994 Ivo M Kostić : ‘’Digitalni telekomunikacioni sistemi’’, Univerzitet Crne Gore, Beograd 1994



U slučaju da je otvor oka po visini jednak dvostrukoj amplitudi signala, a otvor oka po horizontali

iznosi T, znači da u sinhronizacionom intervalu nema preklapanja odziva pa ni intersimbolske

interferencije.

Dijagram oka služi nam kao indikator kvaliteta prenosa i možemo ga koristiti u sva tri moguča slučaja:

a) prisutan signal, ISI i šum

b) prisutan signal i ISI

c) prisutan signal i šum

A.5. Optimalni (prilagođeni) filtar

U prethodnim tačkama analizirali smo najprostiji prijemnik binarnog signala:

uR(t)uu(t)Kanal

PRIJEMNIK

+

n(t)

nT+T/2

Odlučivač

Prag odlučivanja Up

Binarniniz (0,1)

uR(nT+T/2)

Vidjeli smo da se kod ovog prijemnika može dogoditi da greška nastupi zato što je baš u trenutku kada

je uzet odbirak signala sa šumom, šum "prebacio signal na drugu stranu praga odlučivanja", iako je

najveći dio bitskog intervala signal sa šumom sa prave strane praga odlučivanja, kao što je to, recimo,

na sljedećoj slici između 2T i 3T:

uR(t)

U1

tT 2TU0 3T

Greška

Up

4T

1 0 0 1

Pošto smo odabiranje izvršili samo u trenutku t=nT+T/2, slijedi da smo ostatak bita prije i poslije

trenutka odabiranja prenosili uzalud. Postavlja se pitanje da li možemo da izmijenimo prijemnik tako

da iskoristimo cjelokupno trajanje primljenog bita. To ćemo uraditi tako što ćemo prije odabiranja,

signal i šum propustiti kroz filtar funkcije prenosa HR(jω). Od ovog filtra očekujemo da "u sebi

sakupi" cio primljeni bit signala i da ga onda dovede na odabirač upravo u trenutku kada vršimo



odabiranje. Istovremeno od tog filtra očekujemo da u tom procesu akumulacije signala uu(t) akumulira

što manje šuma n(t).

uR(t)uu(t)Linijaveze

PRIJEMNIK

+

n(t)

nT

Odlučivač

Pragodlučivanja

Up

Binarniniz (0,1)

HR(jω)nR(t)

Da bismo iskoristili cio bitski interval, pomjerili smo trenutak odabiranja na kraj bita, dakle u trenutak

nT. Na odabiraču sada imamo signal uR(t) koji je prošao kroz filtar HR(jω) i šum nR(t) koji je prošao

kroz isti taj filtar.

Poznato je da vjerovatnoća greške zavisi od količnika amplitude odbirka uR(nT) i varijanse σ2 šuma

nR(nT), ili, što je isto, od količnika uR2(nT)/σ2. Ako bismo projektovali filtar HR(jω) koji bi na svom

izlazu baš u trenutku odabiranja t=nT dao maksimalni mogući količnik uR2(nT)/σ2, imali bismo

minimalnu moguću vjerovatnoću greške; to bi bio najbolji mogući, tj. optimalni filtar.

Da bismo došli do funkcije prenosa optimalnog filtra nećemo ulaziti u probleme intersimbolske

interferencije; smatraćemo da na ulazu u prijemnik deluje samo jedan standardni signal x(t), i to

trajanja jednakog bitskom intervalu T:

x(t)

t0 T

Ako nema ISI, u binarnom signalu na ulazu u prijemnik


= −∑

svi simboli će biti razdvojeni u vremenu, pa možemo uprostiti analizu. Zaključci do kojih dođemo

pobuđujući prijemnik samo jednim standardnim signalom x(t) mogu da se onda direktno primene i na

cio niz tih signala koji čine signal uK(t) na ulazu u realni prijemnik.

Dakle, prijemnik sa ulaznim filtrom pobuđujemo jednim standardnim signalom x(t), a odbirak uzet u

trenutku t0 vodimo na odlučivač.



y(t)x(t)

PRIJEMNIK

+

n(t)

t0

OdlučivačHR(jω)nR(t)

Cilj nam je da projektujemo filtar HR(jω) tako da u trenutku odabiranja ostvarimo maksimalni količnik

kvadrata (tj. "snage") odbirka signala i snage šuma:

( )2

20

σty

.

y(t) predstavlja odziv filtra HR(jω) na pobudu x(t). Dakle, važi,

( ) ( ) ( ) ( )y t Y j e d X j H j e dj tR

j t= =−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫1

2

1

2π ω ω π ω ω ωω ω .

Brojilac u izrazu koji maksimiziramo je, dakle,

( ) ( ) ( ) ( )y t X j H j e dRj t

0

2

2

21

20=

−∞

∞

∫πω ω ωω .

Što se tiče snage bijelog šuma na izlazu iz filtra, ona iznosi,

( )σ π ω ω2 21

2 2=

−∞

∞

∫p

H j dNR .

Sa ovim, količnik koji maksimiziramo je jednak,

( ) ( ) ( )

( )y t

X j H j e d

pH j d

Rj t

NR

0

2

2

2

2

1

2

2

0

σ

π ω ω ω

ω ω

ω

= −∞

∞

−∞

∞

∫

∫.

Da bismo našli HR(jω) koje daje maksimum ovog izraza iskoristićemo Švarcovu nejednakost, koja

glasi,

( ) ( ) ( ) ( )A j B j d A j d B j dω ω ω ω ω ω ω−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫ ∫≤2

2 2,

pri čemu jednakost važi samo ako je

( ) ( )A j k B jω ω= ⋅ * ,

gde je k proizvoljna konstanta, a * označava "konjugovano kompleksno".

Da iskoristimo Švarcovu nejednakost, usvojićemo smjene,



( ) ( )( ) ( )

A j H j

B j X j e

R

j t

ω ω

ω ω ω

=

= 0,

Tada Švarcova nejednakost glasi,

( ) ( ) ( ) ( )X j H j e d X j e d H j dRj t jGwt

Rω ω ω ω ω ω ωω 0 0

22 2

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫ ∫≤ ,

Primjenjeno u izrazu koji maksimiziramo, dobijamo,

( ) ( ) ( )

( )( )y t

X j d H j d

pH j d

pX j d

R

NR

N

0

2

2

2 2

2

2

1

2

2

2 1

2σπ ω ω ω ω

ω ωπ ω ω≤ =−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞−∞

∞∫ ∫

∫∫ .

Kako je

( )1

2

2

π ω ωX j d Ex−∞

∞

∫ = .

gde je Ex ukupna energija standardnog signala x(t), ova nejednakost glasi,

( ) 2

0

2

2 xy t E

Noσ≤ .

Maksimum količnika signal/šum ćemo ostvariti kada gornja nejednakost postane jednakost, što se,

prema Švarcovoj nejednakosti, dešava kada je

( ) ( )A j k B jω ω= ⋅ * ,

tj.

( ) ( )H j k X j eRj tω ω ω= ⋅ −* 0 ,

Ovim smo dobili funkciju prenosa HR(jω) optimalnog filtra kojim se maksimizira količnik signal/šum

na odabiraču. Pošto je funkcija prenosa ovog filtra određena spektrom standardnog signala X(jω), ovaj

filtar se naziva i prilagođeni filtar.

Interesantno je da izračunamo impulsni odziv prilagođenog filtra. Računajući prema definiciji,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

h t H j e d k X j e e d

k X j e d k x t t

R Rj t j t j t

j t t

= = =

= − − = ⋅ −

−∞

∞−

−∞

∞

− −

−∞

∞

∫ ∫

∫

1

2

1

2

1

2

0

00

π ω ω π ω ω

π ω ω

ω ω ω

ω

*

.

dakle, impulsni odziv prilagođenog filtra je istog oblika kao standardni signal x(t), samo okrenut u

vremenu. Ako standardni signal x(t) izgleda kao na sljedećoj slici, (poštujući početnu pretpostavku da

je trajanje standardnog signala ograničeno na interval od 0 do T),



x(t)

t0 T

Odziv okrenut u vremenu je,

x(-t)

t0-T

Impulsni odziv prilagođenog filtra može da izgleda kao,

hR(t)=kx(t0-t)

t-T+t0 t0

Ovakav odziv se dobija za kašnjenje filtra t0<T, i on nije fizički ostvarljiv (kauzalan), jer impulsni

odziv počinje pre trenutka t=0.

hR(t)=kx(T-t)

tT0

Ovdje je t0=T, i odziv počinje u trenutku t=0. Ovo se najčešće koristi (dakle, hR(t)=kx(T-t)).

hR(t)=kx(t0-t)

t-T+t0 t0

Ovde je t0>T. Ovakav filtar je takođe kauzalan, ali se rijetko koristi, zbog nepotrebnog kašnjenja.

Vratimo se sada na odziv prilagođenog filtra na pobudu standardnim signalom x(t). Kao što smo

pokazali, za prilagođeni filtar važi jednakost,

( ) 2

0

2

2 xy t E

Noσ≤ ,



gdje je EX ukupna energija standardnog signala, No je jednostrana spektralna gustina snage šuma na

ulazu u prijemnik. Najzad, količnik |y(t0)|2/σ2 predstavlja kvadrat količnika ampitude odbirka i σ šuma,

što se upravo javlja kao argument u izrazu za vjerovatnoću greške u odlučivanju. Za prijemnik sa

prilagođenim filtrom, dakle, važi,

( )P erfc

u terfc

E

peR x

N= =

1

2 2

1

20

σ.

Kada se na ulaz u prijemnik umjesto jednog standardnog signala dovodi cijeli binarni niz uu(t), jedan

standardni signal nosi informaciju o jednom bitu, pa Ex je energija koja je potrošena da se prenese

jedan bit poruke, i naziva se i energija po bitu, Eb.

Kao zaključak možemo reći sljedeće: ako u prijemnik stavimo prilagođeni filtar prije odabirača,

dobićemo minimalnu vjerovatnoću greške za dati signal i šum, dakle ostvarili smo najbolju strukturu

prijemnika. Impulsni odziv prilagođenog filtra je

( ) ( )h t k x T tR = ⋅ − ,

gde je k proizvoljna konstanta, T je bitski interval, a x je standardni signal koji se koristio za prenos.

Vjerovatnoća greške na izlazu iz ovog prijemnika je,

1 1

2 2b s

e

E PTP erfc erfc

No No= = ,

gde je Eb energija korisnog signala na ulazu u prijemik po bitu poruke, Ps je srednja snaga korisnog

signala na ulazu u prijemnik, T je bitski interval, a No je jednostrana spektralna gustina snage šuma na

ulazu u prijemnik. Pošto je trajanje standardnog signala jednako trajanju bita, pored odličnih

karakteristika u pogledu vjerovatnoće greške, ne dolazi ni do intersimbolske interferencije.

Važan zaključak je takođe da na vjerovatnoću greške ne utiče oblik standardnog signala, već samo

njegova energija. To nam pruža mogućnost da za prenos digitalnog signala koristimo najrazličitije

standardne signale sa jednakim rezultatima u pogledu vjerovatnoće greške. Naravno, najčešće se kao

standardni signal koristi pravougaoni impuls.

Integrator sa rasterećenjem

Pošto se u praksi kao standardni signal najčešće koristi pravougaoni impuls, pogledajmo čemu je

jednak odziv prilagođenog filtra na pobudu ulaznim signalom uu(t). Odziv je konvolucija pobude i

impulsnog odziva, tako da važi,

( ) ( ) ( )u t u h t dR u R= −−∞

∞

∫ τ τ τ .

U trenutku t=nT se uzima odbirak signala uR(t) na osnovu koga se odlučuje o poslatom bitu. Dakle,

( ) ( ) ( )u nT u h nT dR u R= −−∞

∞

∫ τ τ τ .



Iako granice integrala teorijski idu od -∞ do ∞, impulsni odziv hR(nT-τ) počinje u tenutku (n-1)T a

završava se u trenutku nT, pošto je impulsni odziv prilagođen pravougaonom impulsu trajanja T,

takođe pravougaoni impuls trajanja T, kao na sljedećoj slici:

hR(t)

tT0

kU

hR(nT-τ)

τnT(n-1)T

kU

U granicama integrala od (n-1)T do nT, hR(t) je konstantno i iznosi kU, te se može izvući ispred

integrala. Dakle,

( ) ( )( )

u nT kU u dR un T

nT

=− −∫ τ τ

1

.

Ovaj poslednji izraz pokazuje da, ako kao standardni signal koristimo pravougaoni impuls, u

prijemniku prilagođeni filtar možemo zamijeniti sklopom koji će računati integral ulaznog signala u

okviru trajanja jednog bita, od (n-1)T do nT, proslijediti vrednost integrala u trenutku nT sklopu za

odlučivanje, a zatim se resetovati i računati integral ulaznog signala u sljedećem intervalu trajanja bita.

Ovakav sklop se naziva integrator sa rasterećenjem, i najčešće se koristi u prijemnicima umjesto

prilagođenog fitra. Pošto se radi o integratoru, umesto konstante kU koristi se oznaka 1/Ti, gde je Ti

konstanta integratora:

( ) ( )( )

u nTT

u dRi

un T

nT

=−∫

1

1

τ τ .

Ovaj blok ćemo u blok šemama obilježavati na sljedeći način:

( )( )

1

1T

dti n T

nT

−∫

Funkcija prenosa integratora sa rasterećenjem iznosi,

( )H je

j Ti

j T

iω ω

ω

=− −1

,

gde je T bitski interval, a Ti je konstanta integratora. Najčešće se uzima da je ova konstanta jednaka

jedinici.

tt1_predavanje-linijski kod,i,ii nikvistov kriterij

Documents