MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT

Vegyipari keverőtengely rezgéseinek vizsgálata

Tóth Dániel IV. éves gépészmérnök hallgató

Konzulens: Dr. Nándori Frigyes

egyetemi docens Mechanikai Tanszék

Miskolc, 2010

-2-

1. BEVEZETÉS

A vegyipar az újkori ipar részeként alakult ki. Az első vegyi gyár Leblanc párizsi szódagyára. A XIX. század a vegyipar első virágzásának kora (1827 Liebig műtrágyagyár, 1856 Perkin szintetikus szerves kátrányfesték, 1864 Chardonnet nitrátselyem, 1876 Nobel első modern robbanóanyag). A vegyipar nagyobb méretű fejlődése az első világháború alatt indult meg. A salétromsavgyártás nagyüzemi technológiája, a folyékony tüzelőanyagok előállításának korszerűsítése és nem utolsósorban a műanyaggyártás új technológiák, gépek és szerkezeti anyagok bevezetését hozták meg. A két világháború közötti időszakban jelentek meg a saválló acélok és a műanyagok előfutárai szerkezeti anyagként. A második világháború alatt és után a vegyipar fejlődésének üteme minden eddigit felülmúlt.

A mai társadalom nem képzelhető el korszerű vegyipar nélkül. Egy ország felemelkedésének egyik legfontosabb követelménye az ipar és ezen belül a vegyipar fejlesztése. A gazdasági fejlődésben és a műszaki haladásban a vegyipar szerepe jelentősen megnövekedett [1].

A vegyipari gépek és készülékek legnagyobb része egyszerű, durva szerkezet. Éppen egyszerűségük azt a veszélyt rejti magában, hogy mind a tervezésnél, mind a gyártásnál könnyen rejtve maradhat a különleges üzemi viszonyok által támasztott minőségi követelmény. A vegyipari készülékek és gépek az ipar egyéb gépi berendezéseivel szemben mennyiségileg nem anyagigényesek, de az igényelt szerkezeti anyaggal és feldolgozásával szemben fokozott minőségi igényeket támasztanak [3].

A vegyipari tartályok keverőtengelyei a működésük során számos erőhatásnak vannak kitéve. Különösen a nagy fordulatszám mellett üzemelő berendezések esetén fontos a tengely dinamikai vizsgálata.

Jelen diákköri dolgozatban a keverőtengely dinamikai modellezésével foglalkozunk. Ehhez külön kell modelleznünk a rugalmas tengelyt és a rajta rögzített lapátozást is. Figyelembe kívánjuk venni a lapátozás tömegén kívül a tehetetlenséget is, illetve a rúd rugalmassága mellett a tömegét is. A sajátfrekvenciák mellett megvizsgáljuk a gerjesztett rezgéseket is.

-3-

2. VEGYIPARI KEVERŐ BERENDEZÉSEK SZEREPE ÉS JELLEMZŐI

A vegyipari műveleteket a folyamatok hajtóereje és a leíró törvényszerűségek alapján az alábbi főbb csoportokba szokás sorolni [2]: - hidrodinamikai műveletek: a folyadékok, gázok mozgásával foglalkozik, a hidrodinamika törvényszerűségei határozzák meg. Ilyen művelet a folyadékok, gázok áramlása, az ülepítés, a centrifugálás, a szűrés és a keverés is, - hőátadási műveletek: hőátadással foglalkozik, a hőtan törvényszerűségei határozzák meg, - anyagátadási műveletek: a kiindulási elegy komponenseinek fázishatáron keresztül történő áthaladása jellemzi, az anyagátadás törvényszerűségei határozzák meg, - kémiai műveletek: a reakció kinetika törvényszerűségei határozzák meg, anyag- és energiaátvitellel járnak, - mechanikai műveletek: szilárdtest mechanika törvényszerűségei határozzák meg.

A keverés az egyik leggyakrabban alkalmazott alapművelet. A keverésnél két vagy több (egymástól különböző tulajdonságú) anyagot úgy kell egyesíteni, hogy az egyes alkatrészek eloszlása, meghatározott legkisebb térfogatelemben a kívánt keverési aránynak feleljen meg. A cél elsősorban az, hogy a különböző alkotókat a rendelkezésre álló térben egyenletesen elosszuk, nagyfinomságú heterogén rendszert állítsunk elő. A másodlagos cél a hőátvitel és az anyagátvitel javítása, meggyorsítása és a kémiai reakció elősegítése. A keverőkben lejátszódó folyamatok annyira bonyolultak, hogy nem lehet azokat könnyen kezelhető matematikai összefüggésekkel részleteiben pontosan követni. Általában alkalmazott módszer, hogy egyszerűsített, elképzelt modellt alkotunk, amellyel már közelítően főbb vonásaiban helyesen lehet a folyamatot jellemezni és egyszerű, könnyen kezelhető matematikai összefüggésekkel leírni.

Keverési feladatok, célok lehetnek az egyfázisú folyadék esetén a koncentrációkiegyenlítés, kétfázisú folyadék-folyadék rendszer esetén a két fázis emulgeáltatása, folyadék-szilárd rendszer esetén szuszpenzió, oldatok készítésekor az oldódási sebesség növelése, diszpergáltatással gáz szétoszlatása folyadékban és a hőcsere (hűtés vagy fűtés) hatékonyabbá tétele is. A folyadékok keverésénél legtöbbször cél, valamely technológiai művelet megkönnyítése. A keverőkészülékek kialakítása szempontjából döntő jelentőségű az, hogy a keverendő anyagok közül a legnagyobb tömegű (térfogatú) legtöbbször folyadékállapotú. Folyadék és szilárd fázis keverésénél a folyamat lehet oldás és kristályosítás, valamint szuszpenzió készítése, illetve szuszpenzió fenntartása. Folyadékok összekeverése szükséges a szolvens extrakciónál, folyadékok savas vagy lúgos kezelésénél (növényi és ásványi olajok finomítása), folyadékfázisú reakcióknál, polimerizációnál. Folyadék és gáz fázis érintkezésénél akkor célszerű keverős készüléket alkalmazni, ha a folyadék mennyisége viszonylag nagy a gáz mennyiségéhez képest, tehát gázt kell a folyadékban egyenletesen eloszlatni. A legtöbb keverős készülék függőleges tengelyre szerelt, forgó mozgású keverőelemes szerkezet. A lassú, vagyis kisebb fordulatszámú síklapátos keverők a legegyszerűbbek. A keverőelem lapátjai lemezből, laposacélból, szögacélból és esetleg csőből készülnek. A lapátok többnyire párhuzamosak a forgó tengellyel. Emiatt a síklapátos keverőknél a jellegzetes áramlási irány tangenciális. A

-4-

fordulatszámuk általában alacsony (minden esetben 100 min-1 alatt van). A propellerkeverő erős axiális (vertikális vagy tengelyirányú) áramlást hoz létre. Ott alkalmazzák, ahol nagy folyadéktömeget kell mozgatni. Kisebb tartályoknál hordozható kivitelű, könnyen felszerelhető propellerkeverőket használnak. Az edénybe ferdén nyúlnak be. Nagyobb tartályoknál egy vagy több, vízszintes tengelyű propellerkeverő jól alkalmazható. Két fajtája a függőleges tengelyelrendezésű- és a ferde tengelyelrendezésű propellerkeverők.

A vegyiparban egyre jobban terjed az egyszerű, könnyen előállítható turbinakeverők (vagy röviden turbókeverők) használata. A gyorskeverők közé tartoznak (n=50-1800 min-1) és nagy nyíróerőket lehet létrehozni segítségükkel. Tárcsás turbókeverőket egyenes és ívelt lapokkal készítenek. Két csoportja a zárt- és a nyitott turbinakeverők. A folyadékkeverők tervezési lépésénél az első feladat a technológia követelményeknek legjobban megfelelő keverőtípus kiválasztása. Ezt követően meg kell határozni a gazdaságos keverési időt (folytonos üzemű készülékeknél a tartózkodási időt). Ezután meg kell határozni a keverő fordulatszámát, majd meg kell állapítani a keverés teljesítményszükségletét. Végül az esetleges hőátadó felület nagyságát kell meghatározni.

A keverők viselkedése és hatásossága nagymértékben függ a keverendő anyag tulajdonságaitól. Nagy viszkozitású anyagok keveréséhez a térfogategységre vonatkoztatott keverési teljesítményszükséglet nagy. Ezek a keverők lamináris tartományban dolgoznak. A készülék aktív tere, a keverési tér csökken. A keverésnél az összekeverendő komponenseket a kívánt arányban szét kell osztani. Az egyes keverőszerkezetek abban különböznek egymástól, hogy az anyag mozgatását különféle módokon oldják meg. A legegyszerűbb szerkezetű keverőgépek a keverődobok vagy dobkeverők. A keverőtér egyszerű kialakítású, forgó tartály.

1. ábra 2. ábra Egy ipari keverőkészülék Lapátozott keverőtengely egy tartályban

-5-

3. KRITIKUS FORDULATSZÁMOK ÉRTELMEZÉSE

Egyes propelleres keverők megfelelően megtámasztott rugalmas tengelyből, illetve azon rögzített egy vagy több merev propellerből állnak. A legegyszerűbb mechanikai modellek a kéttámaszú tartón rögzített egyetlen merev tárcsa.

A leggyakrabban előforduló irodalmak [3] [4] [5] [6] szerint a kritikus fordulatszámok értelmezéséhez a tengelyt tömeg nélküli rugalmas anyaggal modellezzük és a tárcsát pedig merevnek tételezzük fel.

A gyorsan forgó keverők (propeller-, turbó-, turbina-, tárcsás stb. keverők) tengelyeit ellenőrizni kell kritikus fordulatszám szempontjából. Az ellenőrző számítás azon az elven alapul, hogy a tengelyvégre ékelt keverőelem tömegén kívül befolyást gyakorolhat a kritikus fordulatszámra a forgó tömeg giroszkopikus (pörgettyű) hatása. A kritikus szögsebesség (ωkr) elérésekor ugyanis a tengely elhajlik, és az elhajlás síkjával együtt forog a csapágyak eredeti középvonala körül, ugyanakkor a saját tengelye körül is forog az ω szögsebességgel egyező vagy ellentétes irányban (egyező vagy ellentétes precesszió). A kritikus fordulatszámok értelmezéséhez a 3. ábra elrendezésből indulunk ki:

3. ábra

Rugalmas tengely és merev tárcsa elhelyezése konzolos, túlnyúló, rugalmas tengelyen

Az ”A” és ” B” helyen csapágyazott tengely túlnyúlik z irányban.

Feltételezzük, hogy a tárcsa statikusan és dinamikusan is ki van egyensúlyozva, azaz a súlypont a forgástengelyre esik és a forgástengely egyúttal tehetetlenségi főtengely.

A tengelyre számított másodrendű nyomatékok, a tárcsához kötött (ξ, ɳ, ζ) koordináta-rendszerben a tehetetlenségi tenzor mátrixával adhatóak meg, továbbá a szögsebesség vektor is felbontható a helyi koordinátarendszerben:

-6-

Js= �J� 0 0

0 J� 0

0 0 J�

� (3.1)

ω��� = (−sinφ e������ + cosφ e�����) ω , ω = állandó (3.2) A dinamikai vizsgálathoz felírjuk a dinamika egyenletrendszerét [4] [7] [9]. Az egyik az impulzustétel, amely a következő formában fogalmazható meg:

m a����� = F�� (3.3) ahol: a����� = - m r ω� e������ A perdülettétel alkalmazása:

Js ε� + ω ����� × Js ω��� = M ����� (3.4)

Js ε ��� = 0 (mert ω��� = állandó)

Js ω ����� = (−J� sinφ e������ + J� cosφ e�����) ω

M���� = ω ������ × Js ω ����� = ω �− sinφ e������ + cosφ e����� � × �−J�sinφ e������ + J� cosφ e������ ω

M���� = ω� �– sinφ cosφ J� e����� + sinφ cosφ J� e������ = ω� �J� − J�� sinφ cos φ e�����

M���� = − ω� �J� − J�� sinφ cos φ e� ����� = − ω� J� sinφ cos φ e����� (3.5)

Ebben az esetben, az impulzus tétel alapján a tengelyvégre (a keverőelem súlypontjában) az F�� = m r ω� e������ centrifugális erő és az M���� = J� ω� φ (−e�����) giroszkopikus nyomaték hat. ahol m: a keverőtengely redukált tömegének és a keverőelem tömegének összege

Jd: a forgástengelyre és a merőleges tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékok különbsége (Jd = Jζ - Jɳ).

Jelentse: c11: a tengelyvég elhajlása az ott ható egységnyi erő hatására c12: a tengelyvég elhajlása az ott ható egységnyi nyomaték hatására c21: a tengelyvég szögelfordulása az ott ható egységnyi erő hatására c22: a tengelyvég szögelfordulása az ott ható egységnyi nyomaték hatására A precessziós mozgás egyenlete:

r = c11m ω2 y - c21Jd ω2 φ,

φ = c12 m ω2 y – c22 Jd ω2 φ, (3.6)

vagy

-7-

(1- c11 m ω2) y + c21 Jd ω2 φ = 0.

- c12 m ω2 y + (c22 Jd ω2 +1 ) φ = 0. (3.7)

Csak az r ≠ 0 és φ ≠ 0 megoldásokat keressük, ezért az egyenlet együtthatóiból összeállított determináns zérus kell, hogy legyen:

�1 − c�� m ω� c�� J� ω�

−c�� m ω� c�� J� ω� + 1� = 0. (3.8)

Ebből ω2 = u helyettesítéssel kapjuk:

(c�� c�� - c�� c�� ) m Jd u2 – [c�� Jd - c�� m ] u – 1 = 0. (3.9) Figyelembe véve, hogy c�� = c�� , és a következő kifejezéseket behelyettesítve:

A = (c�� c22 - c��� ) m Jd ,

B = c22 Jd - c��m, (3.10)

kapjuk A u2 - Bu – 1 = 0. (3.11) Ebből

� =�±√�����

�� (3.12)

Így

ω� =��±√��� ��

�� (3.13)

ω = �c�� J� − c�� m ± ( c�� J� − c�� m)� + 4 ( c�� c�� − c��� ) m J�

2( c�� c�� − c��� ) m J�

(3.14) Be lehet bizonyítani [3], hogy a c�� c�� - c��

� > 0 minden esetben, ezért a következő körülmények lehetségesek:

1. Ha A > 0 és B > 0, akkor √B� + 4A > B így (B +√B� + 4A ) > 0, illetve (B - √B� + 4A ) < 0. Ekkor a tengelynek csak egy kritikus szögsebessége van:

-8-

ω� =��±√�����

�� (3.15)

2. Ha A > 0 és B < 0, akkor, mint az 1. esetben, √B� + 4A > B. Ekkor a tengelynek ismét csak egy kritikus szögsebessége van, de az nagyobb, mint az 1. esetben. 3. Ha A < 0 és B < 0, akkor √B� + 4A < B, így ( B ± √B� + 4A ) < 0.

Mivel A < 0, ��±√��� ��

��> 0. Ekkor a tengelynek két kritikus szögsebessége

van:

ω�

= �� � √�����

�� (3.16)

és

ω�

= ��� √�����

�� (3.17)

4. Ha A = 0, akkor B = - c11 m és az (3.11) egyenlet lesz:

c�� m ω�- 1 = 0. (3.18) Ebből:

ω� = � �

�� � (3.19)

Ez az eset akkor áll fenn, ha a keverőelem tömege egy ponttá redukálható a

tengely végén. A továbbiak részletesen elemzik a kör illetve körgyűrű keresztmetszetű

tengelyek esetét. A (3.6) egyenletrendszerből kapott determináns kifejtése után a következő alak kapható:

(1 − c�� m ω � ) (c�� J� ω2 + 1) + c��� m J� ω4 = 0 (3.20)

Új változót vezetünk be:

η = c�� m ω � = � �

���

�� (3.21)

tehát: � =

�

�� �

Ezek bevezetése után az alábbi egyenlet adódik:

-9-

(1 − η) (1 + c�� J� �

�� � ) + c��

� m J� ��

��� ��

= 0 (3.22)

A számításhoz szükséges további jellemzők megadása:

��� =��(� ���� ��)

� � �� �� (3.23)

��� =� (� � ���� � ��)

� � �� �� (3.24)

��� =� ���� � ��

� � �� �� (3.25)

Amelyekben: I1: a konzolos tengelyrész-keresztmetszet másodrendű nyomatéka

I2: a támaszok közötti tengelykeresztmetszet másodrendű nyomatéka. Behelyettesítés a (3.22) egyenletbe:

(1 − η)�1 +� ���� � ��

� � �� �� J�

�

� � �� ��

��� ���� ����+

� (� � ���� � ��)

� �� ��

�

m J� ��

�� � � �� ��

��� ���� �����

= 0

(3.26)

Egyszerűsítések után a következő egyenleteket kapjuk meg:

(1 − η)�1 + �� �

�

� ���� � ��

���� ���� ���� +

�� ��

�

(� � ���� � ��)�

����� ���� ����

= 0 (3.27)

�� ��

� � � ���� � ��

���� ���� ��� −

(� � ���� � ��)�

����� ���� ����� -

�� �

�

� ���� � ��

���� ���� ��� + η – 1 = 0 (3.28)

Egy speciális esetként megvizsgáljuk a tömör vagy körgyűrű keresztmetszet (I1=I2) feltételezésénél kapott eredményeket.

Tehát ez esetben a következőképpen egyszerűsödik az egyenlet:

�� ��

� � � �� �

���� �� � −

(� � ��� )�

����� �� ��� -

�� �

�

� �� �

���� �� � + η – 1 = 0 (3.29)

��

� +

�

��

��

� �� �� �� �� − ([��

��� + 3 + 4

�

� ]

��

� �� �� �� − 1) � − 1 = 0 (3.30)

Újabb változókat vezetünk be:

γ = ��

� �� �� �� és λ =

�

�

Az új változók behelyettesítése után kapott egyenlet:

-10-

��

� + λ� γ�� − [�λ� + 3 + 4 λ � γ − 1] � − 1 = 0 (3.31)

Ha a λ le van rögzítve, akkor γ függvényében, az η-ra két gyök adódik. A két gyök közül a negatívnak nincs értelme.

4. ábra

Különböző λ értékekre (λ=0.5, λ=1 és λ=2) kapott pozitív gyökök

Nem lettek ábrázolva a γ negatív értékei, mivel az nyújtott forgórészt feltételez (ilyen lapátozásnál nem szokott előfordulni). Megállapítható, hogy a pozitív gyökök esetén a kezdeti szakaszt leszámítva hamar kialakul egy állandó frekvencia. A gyorsan forgó keverőtengelyeket a keverőelemmel együtt minden esetben statikusan és dinamikusan ki kell egyensúlyozni, máskülönben az egész számítás kétségessé válik.

A (3.3) (3.4) alaptételek térbeli egyenletek, így vetületük a bemutatott (y z) -sík mellett az (x z)-síkban is vizsgálható. Ekkor a (3.6) formula is érvényes, ha r az x irányú kitérést, φ pedig az y körüli szögelfordulást jelenti.

Az elmondottakból következik, hogy a pörgettyűhatás következtében a forgó tengelyek rezgése nem egy, hanem két síkban megy végbe. E két rezgés összegeként a meggörbült tengely rugalmas szála a rezgés sajátkörfrekvenciájával megegyező szögsebességgel forog. A rezgés sajátkörfrekvenciája egyező precesszió esetén általában nagyobb, ellentétes precesszió esetén pedig kisebb, mint a nem forgó tengely sajátkörfrekvenciája. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha a tengely tömege a rajta lévő tárcsák tömegéhez viszonyítva elhanyagolható.

További általánosításra is van lehetőség. Gyakran több tárcsával ellátott változó keresztmetszetű tengellyel sikerül kellő hűséggel modelleznünk. A rudak tömegét elhanyagolva, csavarásra merevnek tekintve őket a szögelfordulások

-11-

mindegyik tárcsán azonosak, a (3.6) alatti formulák további tagokkal kibővülnek. Ezek az egyes tömegek kitéréseit illetve szögelfordulásait tartalmazzák [7].

Igazolható, hogy van az egyenletrendszernek olyan állandósult megoldása, amelynek a következő mechanikai kép felel meg: a tengely súlypontjai egy-egy kör mentén keringenek ω szögsebességgel; a tengely rugalmas vonala síkgörbe; a tárcsák ehhez képest relatív nyugalomban vannak.

A kritikus forgási szögsebességeket ennek alapján így is definiálhatjuk: ωkrit-ok azok a szögsebességek, amelyekkel a tengely hibátlanul felékelt tárcsákkal képes az imént részletezett stacionárius mozgásra. Mivel a síkgörbe síkjával ω szögsebességgel együttforgó koordinátarendszerből szemlélve ez a mozgástípus relatív nyugalomnak felel meg, ωkrit-ok azok a szögsebességek, amelyeknél hibátlanul felékelt tárcsákkal az ugyanilyen szögsebességgel forgó síkban relatív egyensúlyi állapot lehetséges.

-12-

4. KEVERŐTENGELY VÉGESELEMES DINAMIKAI VIZSGÁLATA

A Gépészmérnöki és Informatikai Kar Vegyipari Gépek Tanszéke rendelkezésre bocsájtott egy konkrét berendezést, amelyen numerikus vizsgálatokat végzünk. A berendezés géprajzának egy részlete a 5. ábrán látható.

A keverőtengely 2968 mm hosszú, teljes súlya 42,23 kg és hét különböző keresztmetszet típusból áll. A tengely két helyen van megfogva (”A” és ”B”) és két koncentrált tömeg van ráhelyezve (”C” és ”D”). Az ”A” támasz csuklós támasz, a ”B” pedig görgős, valamint a ”C” és ”D” helyeken lapátokat rögzítünk. Az elcsavarodás ellen a bal oldali szabad vég szögelfordulását szintén zérusra írtuk elő.

Hatágú ferdelapátos keverő van felszerelve a tengely jobb végére (”D” hely) és a tengely végétől 552 mm-re (”C” helyen). A lapát szemléltetése a 6. ábrán látható. A tengely jobb végén található keverő tömege 2,5 kg, míg a ”C” helyen lévő keverőé 4,3 kg (a jobb kiegyensúlyozás érdekében).

5. ábra

Keverő tengely

A végeselem-módszerrel történővégeselem szoftvert használtuka tengely geometriáját. Ezt úgy tettükprogramba elsőként (összesen 16 csomópont van)meg a feladatot. Ez azt jelentivonalra vannak felfűzve teljes tengelyhosszon) a rúdelmélet szerint. A rúd képes mozogniés a csavarás miatt fordulni ishasználtunk. Az Euler és Bernoulli által felállított feltételezést használó ADINA programrendszerben ”axiális terhelést, nyírást és hajlítást is számítani. A feltételezésük szerint a rúd keresztmetszetei merőlegesek maradnak a deformálódott középvonalralapként fordulnak el [8]. A teljes rudat összesen 153 elem írja le

A tömegeket és a tehetetlenségeket úgy számítotthengerszimmetrikus részekre a klasszikus képlet,lett alkalmazva.

Háromféle számításra sajátfrekvenciáit koncentrált tömegek nélkül, majdtehetetlenségekkel és koncentrált tömegekkel sajátfrekvencia összehasonlítását az 1. táblázat tartalmazza.

-13-

6. ábra Hatágú ferdelapátos keverő

módszerrel történő számítások elvégzéséhez az Adin

végeselem szoftvert használtuk. A végeselemes modellezéshez elsőEzt úgy tettük meg, hogy csomópontok

(összesen 16 csomópont van). Egyfajta rúdelemként. Ez azt jelenti, hogy csomóponttól csomópontig egy vonal v

a keresztmetszetek (amelyekből hét különbözőa rúdelmélet szerint. A rúd képes mozogni

fordulni is. A keresztmetszet típushoz csőAz Euler és Bernoulli által felállított feltételezést használó

ADINA programrendszerben ”beam” elem néven található meg, nyírást és hajlítást is számítani. A feltételezésük szerint a rúd

őlegesek maradnak a deformálódott középvonalraA teljes rudat összesen 153 elem írja le.

A tömegeket és a tehetetlenségeket úgy számítottukhengerszimmetrikus részekre a klasszikus képlet, míg a lapátokra

Háromféle számításra került sor. Először megvizsgáltukkoncentrált tömegek nélkül, majd koncentrált tömegekkel és végül

tehetetlenségekkel és koncentrált tömegekkel együttesen isösszehasonlítását az 1. táblázat tartalmazza.

ő számítások elvégzéséhez az Adina hez elsőként felépítettük

csomópontok lettek beadva a údelemként oldottuk

hogy csomóponttól csomópontig egy vonal van, és a ől hét különböző féle van a

a rúdelmélet szerint. A rúd képes mozogni, illetve a hajlítás cső (”pipe”) típust

Az Euler és Bernoulli által felállított feltételezést használó rúdelem az meg [9]. Ez képes

, nyírást és hajlítást is számítani. A feltételezésük szerint a rúd őlegesek maradnak a deformálódott középvonalra és merev

uk ki, hogy a a lapátokra közelítő formula

őször megvizsgáltuk a keverőtengely tömegekkel és végül

együttesen is. Az első 14

-14-

1. táblázat Sajátfrekvenciák alakulása különböző esetekre

Sajátfrekvencia Koncentrált tömeg

nélkül Koncentrált tömeggel

Koncentrált tömeggel és

tehetetlenséggel 1 1.18015E+01 9.11410E+00 9.11343E+00 2 1.18015E+01 9.11410E+00 6.09658E+01 3 7.17802E+01 6.10163E+01 6.09658E+01 4 7.17802E+01 6.10163E+01 1.50302E+02 5 1.82580E+02 1.53487E+02 1.53350E+02 6 1.82580E+02 1.53487E+02 1.53350E+02 7 2.37469E+02 2.37469E+02 2.57083E+02 8 2.80854E+02 2.57280E+02 2.57083E+02 9 2.80854E+02 2.57280E+02 3.81283E+02 10 4.28649E+02 3.81283E+02 3.90204E+02 11 4.28649E+02 3.91201E+02 3.90204E+02 12 4.44565E+02 3.91201E+02 4.84078E+02 13 6.28475E+02 6.05288E+02 6.00855E+02 14 6.49909E+02 6.05288E+02 6.00855E+02

Mivel térbeli a feladat ezért bizonyos síkbeli lengésekhez tartozó frekvenciák

kétszer is megjelennek, tehát ezért amikor két azonos frekvencia jelentkezik, az ahhoz tartozó frekvencia két különböző síkban történik. A táblázatból jól kivehető, hogy a tömegek ráhelyezésével a sajátfrekvenciák lefelé torzulnak el.

A lengésképek a legbonyolultabb esetre vannak bemutatva (amikor a koncentrált tömegek és a tehetetlenség hatása is figyelembe van véve):

-15-

7. ábra

A 2. lengéskép

8. ábra

A 3. lengéskép

-16-

9. ábra

Az 5. lengéskép

10. ábra

A 7. lengéskép

-17-

5. GERJESZTETT REZGÉSEK

Kétféle rezgéstípust különböztetünk meg az egyik az úgynevezett szabad rezgés, a másik a gerjesztett rezgés. Utóbbi során a mechanikai rendszerre alternáló erő vagy mozgás hat. A gerjesztett rezgés során a rezgés frekvenciája a gerjesztés frekvenciájától függ, de erőssége szoros összefüggésben van a mechanikai rendszer jellemzőivel.

Akkor minősítendő a mechanikai modell valamelyik, q-val jelölendő koordinátájának q(t) mozgástörvénye rezgőmozgásnak, ha a q(t) függvény korlátos, vagyis ha q egy megadott számnál nem nagyobb és egy másik megadott számnál nem kisebb, és ha a mozgás dq/dt sebessége legalább kétszer előjelet vált a vizsgált időtartományban [7]. 5.1. A harmonikus gerjesztés vizsgálata

A gyakorlati számítások többségében a mérnöknek kis amplitúdójú, harmonikus rezgésekkel kell foglalkoznia. Az ilyen rezgéseket állandó együtthatójú, lineáris differenciálegyenletek írják le. A harmonikus gerjesztés mozgásegyenlete a következő formában írható fel:

M q� + K q = F cos ω t (5.1)

ahol: F : a gerjesztés amplitúdó vektora

ω : a gerjesztés körfrekvenciája q : általános megoldás (q = qh + qp).

A partikuláris megoldás a következőképpen néz ki:

qp = Qg cos ω t (5.2)

ahol: Qg - a gerjesztett rezgés amplitúdó vektora

A partikuláris megoldás második deriváltja:

q� p= - ω2 qp (5.3)

A (5.1)-be való behelyettesítés után az alábbi alak adódik:

( K – ω2 M ) Qg = F (5.4)

amelyből meghatározható a gerjesztett rezgés Qg amplitúdója, illetve megrajzolható a rezgéskép.

Az Adina programrendszer lehetővé tesz frekvenciaanalízist is, amikor a kialakuló rezgés amplitúdóját a gerjesztési frekvencia függvényében ábrázoljuk. A továbbiakban az 4. fejezetben ismertetett szerkezet gerjesztett rezgéseiből néhány rezgésképet, illetve frekvenciagörbét ismertetünk. Utóbbi esetben megvizsgáljuk a csillapítás változásának a határát is.

-18-

A gerjesztés az első esetben a tengely végén (a lapát helyén) volt, a terhelő erő 1 kN. A 150 Hz frekvencián való gerjesztés deformációja két síkban lett ábrázolva, a 11. ábrán és a 12. ábrán láthatóak. A csillapítási tényező úgy lett értelmezve, hogy az egyes sajátfrekvenciákhoz rendeltünk egy-egy csillapítást. A nagysága első közelítésben 5 % volt.

11. ábra

Deformáció 150 Hz frekvenciára

12. ábra

Deformáció 150 Hz frekvenciára

Mivel nincs megfelelő modell, hogy megmondjuk, hogy egy tartályban forgó keverőtengely, amelynek a propellere érintkezik a folyadékkal (ami nem is tisztán homogén és lehetnek benne szemcsék is), tehát olyan bonyolult a kölcsönhatás, hogy a szakirodalomban nem található megfelelő eredmény arra nézve, hogy a csillapító hatást hogyan kell figyelembe venni, ezért néhány jellegzetes értéken megvizsgáltuk ennek a hatását.

A modell úgy van felépítve, hogy gerjesztés csak a tengely jobb végen van, tehát csak egy keverő van figyelembe véve. Ez látható a 13. ábrától kezdve a 16. ábráig. Az ezt követő négy ábra vízszintes tengelyein a 0 és 75 Hz frekvencia közötti rész van szemléltetve, a függőleges tengelyeken pedig a rezonanciagörbe amplitúdó maximumait mutatják meg.

-19-

13. ábra

Az 1 % -os csillapítású frekvenciagörbe

14. ábra

Az 5 % -os csillapítású frekvenciagörbe

-20-

Az 1 %-os csillapításhoz képest látható, hogy a maximális amplitúdó értéke kisebb lett (míg ezen az ábrán már csak 4.5, addig az 1 % -os csillapításnál 5 volt ez az érték).

15. ábra

A 15 % -os csillapítású frekvenciagörbe

16. ábra

A 90 % -os csillapítású frekvenciagörbe

-21-

Az ábrákból jól kivehető az a tendencia, hogy ha a csillapítást növeljük, akkor az amplitúdó maximum lecsökken. 5.2. Nem harmonikus gerjesztés vizsgálata 5.2.1. Lassan növekvő (statikus) terhelés vizsgálata

Az első esetben a statikus terhelést is dinamikus terhelésként számoltuk, ami azt jelentette, hogy a terhelést időben lassan változva érte el a tényleges terhelést, majd konstans maradt, ahogy azt a 17. ábra is mutatja. A csillapítás egységesen (a statikus és ütésszerű terhelés esetén is) a Rayleigh-féle csillapítási tényezőt alkalmazva 7,5 %. Az időlépés hossza 0,1 s, a lépés száma 100 volt. A 17. és a 19. ábra vízszintes tengelyén az idő s-ban van ábrázolva, míg a függőleges tengelyeken a terhelés látható.

17. ábra

Terhelés-idő (F-t) függvény statikus esetre A gerjesztés által okozott elmozdulás a 18. ábrán látható:

-22-

18. ábra

Az elmozdulás statikus esetre

A maximális elmozdulás értéke 0,4180 volt. 5.2.2. Ütésszerű terhelés vizsgálata

Az második esetben a gyorsan változó terhelést számoltuk, ami azt jelentette, hogy a terhelést időben gyorsan (rövid lineáris szakaszon) változva éri el a tényleges értéket, ahogy azt a 19. ábra mutatja.

-23-

19. ábra

Terhelés-idő (F-t) függvény ütésszerű terhelés esetére A gerjesztés által okozott elmozdulás a 20. ábrán látható.

20. ábra

Az elmozdulás ütésszerű terhelés esetére

-24-

A maximális elmozdulásra gyorsan változó terhelés esetén 0,5448 adódott. Ezek

után levonható az a következtetés, hogy az ütésszerű terhelésre 0,5448

0,4180= 1.303-szor

akkora elmozdulás adódik, mint a statikusra. A megnövekedő kitérés hatására a propeller lapátok felütközhetnek a tartály

falára, amely a keverő beakadásához és végül a tönkremeneteléhez vezethet.

-25-

6. ÖSSZEFOGLALÁS Jelen dolgozat keretei között egy vegyipari tartály keverőtengelyének vizsgálatával foglalkoztunk. Az elméleti alapok bemutatása után vizsgált konkrét feladatot csak numerikusan volt esélyünk megoldani, a szerkezetünk geometriai felépítése és annak bonyolultsága miatt. A sajátfrekvenciák és a gerjesztett rezgések frekvenciájának ismeretében elkerülhetőek a káros rezgések, rezonanciák. Az adott csillapítások ismeretében meghatározható, hogy milyen frekvenciákon mekkora amplitúdó növekedést okoz a gerjesztési frekvencia és a sajátfrekvencia közelsége. Az Adina programrendszert használtuk, mivel ez tette lehetővé, hogy a feladatot megoldjuk úgy, hogy minden tömeg minden egyes hatását külön figyelembe vegyük. Számításaink kimutatták, hogy a gyorsan változó (ütésszerű) terhelés hatására (a statikus terheléshez képest) mintegy 30%-al megnőnek az elmozdulás és a feszültség értékek. A konstruktőrök számára is rendkívül lényeges dolog, hogy a kialakított végeselemes modell lehetővé teszi, hogy az egyes paraméterek (tömeg, méretek stb.) változásának hatását külön-külön megvizsgáljuk.

-26-

IRODALOMJEGYZÉK [1] FEJES GÁBOR – TARJÁN GUSZTÁV: Vegyipari Gépek és műveletek.

Tankönyvkiadó, Budapest, 1979. [2] FONYÓ ZSOLT – FÁBRY GYÖRGY: Vegyipari művelettani alapismeretek.

Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004. [3] SZÁNTAY BALÁZS: Vegyipari Készülékek szerkesztése. Tankönyvkiadó,

Budapest, 1964. [4] DR. LUDVIG GYŐZŐ: Gépek Dinamikája. Műszaki könyvkiadó, Budapest,

1973. [5] J. S. RAO: Rotor Dynamics. Wiley Eastern Limited, 1983. [6] DANIEL J. INMAN: Engineering Vibration. Prentice Hall, Englewood Cliffs,

New Jersey, 1985. [7] DR. BOSZNAY ÁDÁM: Műszaki rezgéstan. Műszaki könyvkiadó, Budapest,

1962. [8] PÁCZELT ISTVÁN: Végeselem –módszer a mérnöki gyakorlatban. 1.

kötet, Miskolci Egyetemi kiadó 1999. [9] KLAUS – JÜRGEN BATHE: Finite Element Procedures. Prentice Hall,

1996.

-27-

TARTALOMJEGYZÉK 1. BEVEZETÉS ............................................................................................................... 2 2. VEGYIPARI KEVERŐ BERENDEZÉSEK SZEREPE ÉS JELLEMZŐI ............... 3 3. KRITIKUS FORDULATSZÁMOK ÉRTELMEZÉSE .............................................. 5 4. KEVERŐTENGELY VÉGESELEMES DINAMIKAI VIZSGÁLATA ................. 12 5. GERJESZTETT REZGÉSEK ................................................................................... 17 5.1. A harmonikus gerjesztés vizsgálata ................................................................... 17 5.2. Nem harmonikus gerjesztés vizsgálata .............................................................. 21 5.2.1. Lassan növekvő (statikus) terhelés vizsgálata ............................................ 21 5.2.2. Ütésszerű terhelés vizsgálata ...................................................................... 22 6. ÖSSZEFOGLALÁS .................................................................................................. 25