tugas 1 galat dan letak akar
DESCRIPTION
Salah satu materi perkuliahan pada mata kuliah Metode NumerikTRANSCRIPT
Galat, Letak Akar, dan Metode Bagi Dua
Anggota Kelompok
Rohmad Fauzi 1413011093
I Gede Dedi Kurniawan 1413011113I Made Widiatmika 1413011114
Made Krisna Yasa 1413011116
I Ketut Suartika 1413011117
I Kadek Ega Dian Wibawa 1413011061
Penyelesaian matematika pada prinsipnya ada dua macam yaitu penyesaian analitis yang menghasilkan solusi eksak dan penyelesaian numeris yang menghasilkan berupa pendekatan (hampiran).
Solusi eksakMisalnya persamaan kuadrat : x2 – 5 x + 6 = 0Solusi persamaannya : x = 2 atau x = 3Tidak terjadi error atau penyimpangan
Berbeda dengan persamaan x2 - 5 = 0. Berapa nilai x yang memenuhi bila dinyatakan dalam bentuk desimal ?
Tentu jawabannya bisa bermacam-macam bergantung pada seberapa akurat jawaban tersebut. Apabila diperlukan jawaban akurat sampai 5 desimal tentu berbeda dengan jawaban yang akurat sampai 7 desimal karena solusi yang diberikan berupa hampiran.
Galat
Berdasarkan sumbernya, galat dapat dibedakan menjadi 4, yaitu:
1. Galat Percobaan (galat bawaan), yaitu galat yang timbul dari data yang diberikan. Hal ini dapat terjadi karena kekeliruan dalam pengukuran maupun kesalahan dalam mengasumsikan data sehingga data yang diolah secara numeris sudah mengandung galat atau penyimpangan yang mengakibatkan hasil perhitungan mengandung galat/eror.
Contoh :Pemakaian alat ukur yang tidak akurat yang menghasilkan pengukuran (data) yang mengandung galat.
Galat
2. Galat Pemotongan adalah galat yang terjadi karena proses perhitungan untuk mencapai hasil dimana memerlukan sejumlah berhingga atau tak berhingga langkah. Untuk efisiensi baik waktu, tenaga ataupun biaya, proses dipotong sampai sejumlah tertentu langkah, sehingga hasilnya mengandung galat.
Contoh :Untuk menghitung nilai sin x digunakan deret Taylor.
Galat
...!7!5!3
753
xxxxSinx
Karena deret ini tak hingga maka perhitungan hanya dilakukan sampai 3 atau 5 suku saja, tergantung seberapa akurat nilai yang diperlukan. Suku-suku yang tidak dihitung merupakan galat atau error.
hampiran
error
Galat
!3
3xxSinx
...
!7!5
75
xxE
3. Galat Pemrograman adalah galat yang timbul akibat kurang cermatnya program komputer yang digunakan. Bentuk matematis atau urutan perhitungan dapat mempengaruhi hasil proses perhitungan. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan bug. Dan proses penghilangan galat dinamakan debugging
4. Galat Pembulatan (rounding off error), yaitu galat yang terjadi karena pembulatan bilangan sebagai hampiran terhadap suatu bilangan.
Galat
Contoh :
Dari penjabaran di atas, terdapat tak berhingga banyak angka 3. Namun untuk keperluan perhitungan, cukup diambil sampai empat angka di belakang koma, sehingga pembulatan dari penjabaran di atas menjadi 3,3333 (hampiran). Dalam pembulatan tersebut, galat yang terjadi yaitu sebesar 0,000033…
Galat
...333333,33
10
Salah satu cara untuk mengurangi galat adalah penggunaan formula matematis yang paling sedikit menggunakan operasi perkalian.
Bentuk terakhir ini hanya mengandung 4 operasi perkalian.
Galat
Contoh:
3784)( 345 xxxxxf
Dalam bentuk matematis seperti di atas terdapat 12 operasi perkalian. Bentuk ini
dapat dimodifikasi untuk mengurangi banyaknya operasi perkalian dengan tujuan
mengurangi besarnya galat, yaitu
3784)( 345 xxxxxf
3}]7)8)4(({[3}]7)84({[
3}7)84({
3)784(
2
23
234
xxxxxxxxxx
xxxxx
xxxx
Dalam metode numerik terdapat dua macam galat, yaitu galat mutlak dan galat relatif (%). Galat mutlak merupakan harga mutlak dari galat yang terjadi, sedangkan galat relatif merupakan persentase penyimpangan yang terjadi terhadap nilai sejati.
Galat
Misalkan *p adalah suatu nilai hampiran numerik untuk nilai sejati p yang tidak
diketahui. Maka
*ppE
Disebut galat, sedangkan E disebut galat mutlak. Dan nilai
ppp
Er*
, dengan 0p
Disebut galat relatif (biasanya dinyatakan dalam bentuk persen).
GalatKarena nilai p biasanya tidak diketahui, dalam perhitungan penyebut dalam galat
relatif sering digunakan nilai hampiran, sehingga persamaan menjadi
**
ppp
ErA
Yang disebut dengan galat relatif hampiran.
Nilai Eksak = Nilai Hampiran + Galat
Menentukan Letak Akar
Beberapa metode pendekatan akar memerlukan interval yang mengandung akar persamaan yang dicari solusinya. Untuk mendapatkan interval tsb dapat ditempuh beberapa cara antara lain sebagai berikut.
Tabel
Grafik
Letak Akar untuk Polinom
Menentukan Letak Akar
Tabel
Prinsip yang digunakan dalam cara ini adalah, di antara bilangan positif dan negatif dalam bilangan real ada bilangan nol. Jika sebuah fungsi f yang kotinu, di titik a bernilai positif dan di titik yang lain b bernilai negatif atau sebaliknya maka di dalam interval (a,b) pasti ada titik c sehingga f (c) = 0. Ini berarti c adalah akar dari f(x) = 0
Menentukan Letak AkarTabel
Contoh :Tentukan interval yang memuat salah satu akar dari f(x) = ex - 3 Jawab:
Perbedaan tanda f(x) terjadi di x = 1 dan di x = 2, Ini berarti bahwa dalam interval (1,2) ada akar dari f(x) = 0. Sebenarnya dapat juga dipilih interval (0,2) tetapi ini tidak dipakai.
x f(x)
0 -2 Negatif1 -0.28 Negatif2 1.39 positif
Menentukan Letak Akar
Grafik
Untuk menentukan letak akar f( x) = 0 dapat ditempuh dengan membuat grafik fungsi tsb. kemudian tentukan interval yang memuat titik potong kurva dengan sumbu x.Contoh :Misalnya f(x) = ex - 3. Fungsi ini dipecah menjadi dua fungsi g(x) dan h( x), yang masing-masing dicari sebagai berikut.
Menentukan Letak AkarGrafik
ex - 3 = 0 ex = 3
g( x) = ex dan h( x) = 3
Akar dari f( x) = 0 adalah perpotongan antara g( x) dan h( x) Interval yang memuat akar dapat ditentukan dengan melihat atau memperkirakan akar tsb berapa yaitu perpotongan antara g(x) dan h(x). Akar termuat dalam interval (a,b).
Menentukan Letak AkarLetak Akar untuk Polinom
Persamaan polinom mempunyai bentuk umum:P( x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x 3 + . . . . . . +
an xn an ≠ 0, n > 2
Menurut teori aljabar, P( x) = 0 mempunyai n buah akar yang berupa bilangan real atau kompleks. Akar kompleks selalu berpasangan. Untuk menentukan lokasi akar polinom dapat digunakan aturan Descartes sebagai berikut.
Menentukan Letak AkarLetak Akar untuk Polinom
Untuk menentukan lokasi akar polinom dapat digunakan aturan Descartes sebagai berikut.
Akar Real PositifMisalkan n menyatakan banyaknya pergantian tanda dari koefisien ai dari P(x). Sedangkan np adalah banyak akar real positif maka: a) np ≤ n b) n - np = 0, 2, 4, ……. ( genap )
Menentukan Letak AkarLetak Akar untuk Polinom
Akar Real NegatifMisalkan m menyatakan banyaknya pergantian tanda pada koefisien ai pada P(-x), dan ng menyatakan banyaknya akar real negatif maka:
a) ng ≤ mb) m - ng = 0, 2, 4 , …..
Menentukan Letak AkarLetak Akar untuk Polinom
Batas Selang Akar
Misalkan ρ = 1 + maks n
i
aa . ni 1
maka semua akar real dari P(x) terletak dalam interval (- ρ, ρ)
SELESAI