tugas 1 rekayasa hidrologi 2
DESCRIPTION
Ini adalah Tugas 1 Rekayasa Hidrologi 2 (Rehid 2). Isinya adalah review dari MK. Rehid 1.TRANSCRIPT
Tugas Rekayasa Hidrologi II
1
REVIEW
REKAYASA HIDROLOGI I
Ilmu Cuaca (Meteorologi):
Ilmu yang menelaah keadaan dan perilaku cuaca di lapisan atmosfer bawah
dan proses terjadinya.
Ilmu Iklim (Klimatologi):
Ilmu yang menelaah keadaan dan perilaku iklim.
Cuaca:
Keadaan atmosfer pada saat yang pendek di tempat tertentu.
Iklim:
Deskripsi dari keadaan cuaca di daerah yang luas dalam waktu yang panjang.
Iklim adalah kebiasaan alam yang digerakkan oleh gabungan unsur-unsur iklim,
yaitu: radiasi matahari (lama penyinaran), suhu udara, kelembaban udara
(kelengasan), tekanan udara (tekanan atmosfer), angin, awan, presipitasi
(hujan, salju, embun), evaporasi, dan transpirasi.
Keduanya (cuaca dan iklim), merupakan:
- Sumber daya, salah satu bagian untuk keberhasilan dalam
pembangunan.
- Salah satu komponen alam, sehingga semua organisme, bahan
sandang, bahan makanan, bangunan, gedung, dll. tidak terlepas dari
pengaruh atmosfer.
Atmosfer:
Lapisan gas (selubung udara) yang tebal, yang menyelubungi seluruh
permukaan bumi. Terdiri atas: Trofosfer, Stratosfer, Mesosfer, dan Termosfer
(berturut-turut dari lapisan bawah ke atas)
Keadaan atmosfer meliputi suhu udara, tekanan udara, kelembaban udara,
angin, awan, evaporasi, dan transpirasi.
Tugas Rekayasa Hidrologi II
2
HIDROLOGI: Ilmu yang menyangkut masalah air.
Pembidangan HIDROLOGI yaitu:
- POTAMOLOGY Æ Sungai.
- CRYOLOGY Æ Salju.
- LIMNOLOGY Æ Danau.
Air dalam bahasan HIDROLOGI ada 2 (dua), yaitu:
- Air permukaan.
- Air tanah.
KONSEP DASAR ILMU HIDROLOGI:
- Mengestimasi (memperkirakan) volume air yang tersedia. Merupakan
tahapan yang sangat penting dalam semua sumber daya air.
- Lalu dianalisa. Analisa ini adalah landasan bagi pengembangan
perencanaan dan sistem pengembangan sumber daya air.
DASAR HIDROLOGI:
Ilmu HIDROLOGI mempelajari “Siklus Hidrologi”.
HIDROLOGI:
Ilmu tentang seluk beluk air di bumi, kejadiannya, peredaran dan distribusinya,
sifat alami dan kimianya, serta reaksinya terhadap lingkungan dan
hubungannya dengan kehidupan.
(Federal Council for Science and Technology, USA; 1959)
Sumber informasi pokok dalam HIDROLOGI:
- Data Hujan: Besaran, intensitas, volume, lama/durasi, dan arah gerak
hujan (tergantung Kecepatan angin).
- Data Sungai:
o Data Tinggi Muka Air Æ Piesal Meter atau AWLR.
o Debit Sungai di suatu tempat tertentu (Hidrometri).
Tugas Rekayasa Hidrologi II
3
SIKLUS HIDROLOGI
Lapisan Tak Jenuh:
Lapisan dalam tanah yang bila tidak hujan akan berupa rongga kosong.
Lapisan Jenuh:
Lapisan dalam tanah yang rongganya selalu terisi oleh air.
Limpasan:
Hujan yang tidak ditangkap oleh tanaman/bangunan-bangunan lain di atas
bumi, yang tidak dapat menguap (evaporasi), yang tidak meresap (infiltrasi),
atau yang menempati suatu tampungan.
Limpasan (Run-off):
Semua air yang mengalir bergerak meninggalkan Daerah Tangkapan Sungai
(DAS), tanpa memperhatikan asal/jalan yang ditempuh, sebelum mencapai
saluran.
Air Limpasan = Aliran Permukaan + Aliran dalam Tanah
= Air Permukaan + Aliran Air Bawah Permukaan.
Limpasan Permukaan (Surface Run-off):
Limpasan yang selalu mengalir melalui permukaan.
Aliran Dasar (Base Flow):
Limpasan/Debit minimum yang masih ada, karena adanya aliran keluar/lepasan
dari aquifers.
Tugas Rekayasa Hidrologi II
4
HIDROLOGI dalam Pengembangan Sumber Daya Air (PSDA):
- Water supply (untuk air minum),
- Irigasi,
- Pengendalian banjir,
- Hydro power,
- Pengendalian erosi,
- Navigasi,
- Rekreasi, dsb.
Ilmu Hidrologi digunakan untuk menentukan DESIGN PARAMETER yang
serupa dengan DESIGN LOAD di dalam Analisa Struktur.
Parameter-parameter yang didapat dari HIDROLOGI:
- Frekwensi hujan,
- Durasi (lama) hujan,
- Intensitas debit dan curah hujan.
DATA yang tersedia meliputi:
- MEKANISME KARAKTERISTIK daerah aliran:
o Tata guna lahan yang dinamis,
o Klimatologi yang sukar diprediksi,
o Struktur geologi.
- Secara umum, penelitian hidrologi mengharuskan adanya pengumpulan
data-data mengenai:
o Intensitas hujan, diperoleh dengan “Alat Ukur Curah Hujan”.
��Manual Æ Gelas ukur.
��Automatic Æ Rain Fall Automatic Record (RFAR).
o Kelembaban, yaitu udara yang menyerap uap air.
Jumlahnya bergantung pada suhu udara dan suhu air.
��Jika suhu udara tinggi dan suhu air rendah, maka uap air
yang diserap udara semakin banyak dan kelembaban jadi
tinggi.
��Jika suhu udara dan suhu air rendah, maka kelembaban-
nya juga rendah.
Tugas Rekayasa Hidrologi II
5
��Makin tinggi suhu udara, makin banyak uap air yang di-
kandungnya.
��Uap air memberikan tekanan parsial yang biasanya diukur
dengan BAR atau tinggi milimeter air raksa (mm Hg).
;�1 BAR = 100 KN/m2.
;�1 mili BAR = 102 N/m2.
;�1 mm Hg = 1,33 mm BAR.
o Suhu/temperatur,
o Kecepatan angin.
PRESIPITASI:
Uap air yang mengkondensasi dan jatuh ke tanah dalam rangkaian proses
Siklus Hidrologi (berupa: hujan, salju, dan embun).
HUJAN EFEKTIP:
Sebagian dari total presipitasi, yang sesungguhnya terdistribusi di permukaan
bumi.
INTENSITAS CURAH HUJAN:
Jumlah curah hujan dalam suatu satuan waktu.
- Satuan jumlah curah hujan = mm, cm, m.
- Satuan WAKTU = jam, harian, bulanan, tahunan.
Tugas Rekayasa Hidrologi II
6
Contoh Tabel Data Curah Hujan: - Data Curah Hujan JAM-AN
Hari/Tanggal: 28 Pebruari 2000;
STASIUN:
JAM (mm)
00:00 -
01:00 -
02:00 50
03:00 60
04:00 50
-
-
-
23:00 -
jammm
Artinya pada jam 02:00, curah
hujan yang turun sebesar 50
mm/jam.
- Data Curah Hujan HARIAN
BULAN: JANUARI.
TAHUN: 2000.
TANGGAL (mm)
1
2
3
31
harimm
- Data Curah Hujan BULANAN
STASIUN:
TAHUN: 2000.
BULAN (mm)
JANUARI
PEBRUARI
MARET
DESEMBER
bulanmm
- Data Curah Hujan TAHUNAN
STASIUN:
TAHUN (mm)
2000
2001
2002
dst.
tahunmm
Tugas Rekayasa Hidrologi II
7
Keadaan curah hujan dengan intensitas curah hujan:
Intensitas Curah Hujan (mm) Keadaan Curah Hujan
1 jam 24 jam
Hujan sangat ringan < 1 < 5
Hujan ringan 1 – 5 5 – 20
Hujan normal 5 – 20 20 – 50
Hujan lebat 10 – 20 50 – 100
Hujan sangat lebat > 20 > 100
EVAPORASI:
Peristiwa berubahnya air menjadi uap dan bergerak dari permukaan tanah
dan permukaan air ke udara.
Faktor-faktor yang mempengaruhi penguapan: Suhu air, suhu udara
(atmosfer), kelembaban, kecepatan angin, tekanan udara, dan sinar
matahari.
EVAPORASI berhubungan dengan:
- Selisih dalam tekanan uap
pada permukaan air dan
pada udara di atasnya,
- Selisih antara suhu air dan
udara,
- Adanya tekanan atmosfer,
- Kualitas air (air tawar, asin,
payau).
Contoh:
γair tawar < γair laut
Air tawar jadi lebih dahulu
menguap daripada air laut.
TRANSPIRASI: Peristiwa penguapan dari tanaman.
Dipengaruhi oleh:
- Kadar kelembaban tanah,
- Keadaan tanaman itu sendiri.
EVAPOTRANSPIRASI: Penguapan keduanya secara bersamaan.
Tugas Rekayasa Hidrologi II
8
Pada sistem IRIGASI:
Keperluan air untuk irigasi Eff
PSReEtIrr
++−=
Keterangan:
Irr = Irrigation water requirement for head gate.
Et = Evaporation.
Re = Effective Rain fall
S = Paddy water requirement.
P = Percolation.
Eff = Irrigation Efficiency.
METODE HARGREAVES:
Untuk menghitung evaporasi yang terjadi pada sistem irigasi.
Dimana:
Ev = Evaporation.
Et = Evapotranspiration.
K = Crop consumptive use coefficient.
D = Monthly Daytime coefficient.
Tc = Mean monthly Temperature.
Fh = 0,59 - 0,55 Hn2.
Hn = Mean moon Relative Humidity.
Fw = 0,75 + 0,0255 Wkh.
Wkh = Wind velocity (Km/jam).
Fs = 0,478 + 0,58 S.
S = Sunshine (%).
Fe = 0,95 + 10-4 E.
E = Elevation (m). Ketinggian tempat di atas permukaan laut.
Et = K . Ev
Ev = 17,4 D . Tc . Fh . Fw . Fs . Fe
Tugas Rekayasa Hidrologi II
9
Evaporasi pada WADUK, BENDUNG/BENDUNGAN, RESERVOIR, dsb. di-
pengaruhi oleh angin dan matahari (temperatur).
Persamaan Empiris dari PENMAN:
[ ]
+−=
100
V1 ee 0,35E da
Dimana:
E = Evaporasi (mm/hari).
ea = Tekanan uap jenuh pada suhu rata-rata harian (mm/Hg).
ed = Tekanan uap sebenarnya (mm/Hg).
V = Kecepatan angin pada ketinggian 2 m di atas permukaan tanah.
V Æ 1 m/detik = 54 mile/hari.
Elemen-elemen Meteorologi dan Pengamatannya:
- Tabel Kelembaban.
- Tabel Tekanan Uap Jenuh.
- Tabel Harga-harga K yang digunakan dalam Rumus Evapotranspirasi
Blaney.
- Tabel Koeffisien Tanaman untuk Padi Sawah yang digunakan dalam
berbagai Report (Kc).
- Tabel Indeks Evapotranspirasi Bulanan Potensial.
Tugas Rekayasa Hidrologi II
10
EVAPOTRANSPIRASI:
- Air dalam tanah menguap ke udara melalui tumbuhan.
- Persamaan yang banyak dipakai:
o Persamaan BLANEY - CRIDDLE:
Dimana:
U = Banyaknya EVAPOTRANSPIRASI bulanan (Inch).
K = Koefisien yang tergantung jenis tanaman.
F = t × P/100.
t = Suhu rerata bulanan (oF).
P = Persen rerata penyinaran matahari tahunan dalam
bulan yang ditinjau.
o Persamaan BLANEY - CRIDDLE yang diubah:
( )
100
813 t 45,7 PK U
+⋅⋅= [mm/bulan]
Dimana:
K = Kt × Kc Æ Kt = 0,0311 t + 0,240
Kc = nilainya diperoleh dari tabel.
t = Suhu udara rata-rata bulanan (oC).
P = Persentase jam siang bulanan dalam satu tahun.
o Persamaan TURC, LANG BEIN & IVUND:
( )2I
P 0,9 PE +=
Dimana:
E = Penguapan tahunan.
P = Hujan tahunan rerata.
I = 300 + 25 t + 0,05 t3
t = Suhu rerata tahunan.
U = K . F
Tugas Rekayasa Hidrologi II
11
ANALISIS HUJAN
- Dalam analisis data hujan disyaratkan adanya jaringan yang memadai,
baik dalam pengertian kerapatan maupun penyebarannya.
- Hal yang perlu diperhatikan dalam Daerah Aliran (Rain Fall Area) pada
ANALISIS HIDROLOGI:
o Pengukuran Data Hujan Lokal (Point Rain Fall)
��Diperoleh dari masing-masing alat pengukur hujan, baik
biasa (manual) maupun otomatis (Rain-fall Recorder).
��Pemilihan alat perlu memperhatikan ketelitian yang
diperoleh dan kemudahan dalam pemasangan.
��Datanya dapat dibuat ke dalam bentuk GRAFIK atau
HISTOGRAF/HISTOGRAM (Intensitas Vs Waktu).
o Sedangkan untuk keperluan analisis yang diperlukan adalah:
Data Hujan Daerah Aliran (Area Rain Fall).
Makin banyak STASIUN HUJAN, makin menguntungkan dari segi
“informasi”. Tapi tidak dari segi operasional, serta biaya.
Contoh Point Rain Fall Analysis:
Tugas Rekayasa Hidrologi II
12
DAERAH ALIRAN SUNGAI (DAS):
- Daerah Aliran Sungai (DAS), Catchments Area, Basin, Water shed.
- Daerah dimana semua airnya mengalir ke dalam suatu sungai yang
dimaksudkan.
- Umumnya dibatasi oleh batas topografi, yang berarti ditetapkan
berdasarkan aliran permukaan.
- Nama DAS ditandai dengan nama Sungai yang bersangkutan.
- Di dalam suatu DAS, terdapat beberapa SUB-DAS.
Perhitungan Area Rain Fall atau Average Rain Fall of BASIN:
- Cara Rerata Aljabar (Arithmetic Mean Method)
Hujan Rerata:
4
XXXXP
IVIIIIII +++=
Dimana:
XI, XII, XIII, dan XIV
adalah tinggi hujan
pada Stasiun I, II, III,
dan IV.
Tugas Rekayasa Hidrologi II
13
o Cara ini paling mudah dan sederhana.
o Hasilnya tidak teliti.
o Hanya baik digunakan pada daerah yang relatif datar, serta
jaringan pengukuran hujan teratur.
o Data dari masing-masing stasiun tidak jauh berbeda dari angka
rata-ratanya.
- Thiessen Polygon Method
o Cara ini memberikan
hasil yang lebih baik,
karena telah memasuk-
kan faktor daerah
pengaruh dari masing-
masing stasiun hujan
tertentu.
o Cara ini paling banyak
dipergunakan dalam
praktek, karena mudah dan unsur subyektifitasnya relatif kecil,
meskipun masih mengandung kelemahan dimana “Faktor
Topografi” tidak tercakup di dalamnya.
o Kerugian/kelemahan lainnya adalah kurang flexible, apabila
terjadi perubahan jumlah stasiun.
Sta Pi ∆ H A
Ai.i = αi Pi
A Pa Aa αa αa Pa
B Pb Ab αb αb Pb
C Pc Ac αc αc Pc
A P� =
Tugas Rekayasa Hidrologi II
14
- Isohyets Method
o Dengan cara garis ketinggian hujan yang sama. Garis yang
menghubungkan tempat-tempat yang mempunyai tinggi hujan
yang sama.
o Metode ini menggunakan
“Isohyet” sebagai garis-garis
yang membagi DAS menjadi
daerah-daerah yang
luasnya dipakai sebagai
“Faktor koreksi” dalam
perhitungannya.
o Pemberian bobot pada
masing-masing stasiun
hujan dilakukan dengan
penggambaran garis Isohyet, sehingga hujan yang terjadi di
antara dua buah Isohyet dianggap HUJAN RERATA dua garis
Isohyet yang mengapitnya.
o Cara ini baik, karena “Pengaruh Topografi” tercakup di dalamnya,
yaitu dalam penggambaran garis-garis Isohyet-nya. Bahkan bisa
dianggap sebagai cara yang terbaik, yang memungkinkan
seseorang memasukkan ilmu dan pengalamannya dalam
menggambarkan garis Isohyet, sehingga pengaruh distribusi
hujan dapat dimasukkan.
o Cara perhitungannya sama dengan cara “Thiessen”, dengan
pengertian:
DAERAH Pi ∆ H A
Ai.i = αi Pi
I P1 A1 α1 α1 P1
II P2 A2 α2 α2 P2
III P3 A3 α3 α3 P3
A P� =
Dimana:
A1, A2, dan A3
adalah luas relatif
masing-masing
daerah antara dua
garis Isohyet.
Tugas Rekayasa Hidrologi II
15
TINGGI INTENSITAS CURAH HUJAN
- Kasus dimana data hujan jam-jaman tidak tersedia atau hanya tersedia
data hujan harian/bulanan, dapat pula digunakan rumus empiris seperti
Rumus MONO NOBE (SOSRODARSONO & TAKEDA; 1983).
- Rumus empiris tersebut digunakan untuk mengubah intensitas hujan
harian/bulanan ke intensitas hujan dengan lama (durasi) hujan yang
lebih pendek.
Intensitas Curah Hujan Bulanan:
( ) ( )hari
mm 2431atau 30
II B
24 ×=
Intensitas Curah Hujan Harian:
3
2
24t
t
24
24
II
=
ANALISA FREKUENSI
- Tujuan ANALISA FREKUENSI hujan dan banjir adalah memperkirakan
besarnya variasi yang masa ulangnya panjang.
- Variasi terbesar yang kita dapatkan dari pengamatan hujan dan banjir,
umumnya tidak ada lebih besar dari variasi perkiraan.
- Perlu meng-ekstrapolasi “Lengkung Frekuensi” atau “Lengkung
Probabilitas”.
Dimana:
I24 = Intensitas hujan HARIAN.
IB = Intensitas hujan BULANAN (mm).
Dimana:
It = Intensitas hujan untuk lama hujan t (mm/jam).
I24 = Intensitas hujan HARIAN (mm/hari).
t = Lama/durasi hujan (jam).
Tugas Rekayasa Hidrologi II
16
- Dalam memanfaatkan berbagai cara Analisis Frekuensi (Frequency
Analysis) pada pengolahan data distribusi (sebaran), yang banyak
dipergunakan:
o Distribusi NORMAL Æ gx = 0.
o Distribusi LOG-NORMAL Æ g log x ≈ 0.
o Distribusi GUMBEL Æ gx ≈ 1,14.
o Distribusi LOG-GUMBEL Æ g log x ≈ 1,14.
o Distribusi LOG-PEARSON III Æ Distribusi Data lainnya.
- Parameter Statistik (Descriptive Statistic):
o Measure of Centrally (Mean = Harga Rata-rata; X ).
o Measure of Variation (Standard Deviation = Simpangan baku; S�
).
Koeffisien variasi (Coefficient of Variation; Cv = %):
Perbandingan antara Standar Deviasi dengan harga rata-ratanya.
o Distribution of DATA.
o Measure of A Symmetric.
o Mean of Normality.
- Konsep Dasar Probability:
o Cumulative Distribution Function (CDF).
o Pengertian statis mengenai Distribusi Frekuensi:
Frekuensi Kumulatif dari suatu variasi, kalau banyaknya variasi di
dalam seri tak terhingga besarnya atau sama dengan:
FREKUENSI KUMULATIF TEORITIS:
( ) ( )∫= dX XF'P X
( )∑=
−⋅−
=N
1n
2XXn
1N
1S�
Tugas Rekayasa Hidrologi II
17
Dimana:
M = Nomor data-nya di dalam seri.
o Analisis Frekuensi digunakan untuk peramalan (forecasting).
o Ramalan waktu yang menunjukkan besarnya suatu peristiwa
Hidrologis (hujan, banjir, dsb.) dalam waktu dekat adalah tujuan
dari Peramalan Hidrologis (Hydrological Forecasting).
Periode Ulang/Masa Ulang:
- Sasaran utama “Analisis Frekuensi Peristiwa Hidrologis” adalah me-
nentukan “Masa Ulang/Periode Ulang Peristiwa Hidrologis” yang ber-
harga tertentu X.
- Analisis Frekuensi menguraikan peristiwa yang dapat diharapkan me-
nyamai atau lebih besar daripada rata-ratanya tiap N tahun.
- Interval waku rata-rata suatu peristiwa akan sama atau dilampaui 1 kali,
disebut: Masa Ulang/Periode Ulang (Recurrence Interval).
- Jumlah tahun rata-rata antara timbulnya suatu peristiwa dengan
peristiwa yang lebih besar disebut: Selang Waktu Pelampauan.
- Selang waktu per-ulangan (Recurrence Interval)
- Kalau seri data-nya diurut dari besar ke kecil, maka:
( )1M
tTe
−= dan
M
tTr =
( )mN
tTe
−=
Dimana:
N = Banyaknya data pengamatan.
T = Banyaknya tahun pengamatan.
m = Nomor terendah menurut urutan
besarnya peristiwa di dalam seri.
( )1mN
tTr
+−=
Tugas Rekayasa Hidrologi II
18
Waktu Konsentrasi (Time Concentration):
Lama waktu yang diperlukan untuk mencapai titik F oleh air hujan yang jatuh di
tempat terjauh dari F.
0,385
0,77
CS
L0,00013t ⋅= [Jam]
atau:
0,385
1,15
CH7700
Lt
⋅= [Jam]
Kalau L dan H dinyatakan dalam meter dan tC dalam menit, rumusnya:
0,77
CS
L0,0195t
= [Menit] Dimana: L
HS =
Melengkapi Curah Hujan yang Hilang:
- Regresi Linear Æ Persamaan Garis Lurus.
Metode ini digunakan untuk mencari data hujan yang hilang pada 1
(satu) stasiun tanpa membandingkannya dengan data hujan stasiun
lainnya.
( )( )[ ]( )
n
n
ab
a
ba
YY
XX
XY
2XX
YYXX
XY
∑
∑
=
=
−=
∑
−
∑ −−=
+= ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )XX2
X
YX Y - Y
X2
X
YXY
2X
YX
:maka Y,YYdan XXX Jika
b
a
−⋅⋅
=
⋅⋅
−=
⋅=
=−=−
∑∑
∑∑
∑∑
Dimana:
L = Panjang jarak dari tempat terjauh
daerah aliran sampai tempat
pengamatan (diukur menurut jalan-
nya sungai) (feet).
H = Selisih ketinggian antara tempat ter-
jauh dan tempat pengamatan (feet).
Tugas Rekayasa Hidrologi II
19
- Normal Ratio Method (Linsley, Kohler & Paulhus; 1958)
o DATA yang hilang diperkirakan dengan data yang tercatat pada
saat yang sama di 3 s/d 5 Stasiun Hujan di sekitarnya.
o Cara sederhana ini dipandang “kurang realistik”, karena pengaruh
hujan suatu titik stasiun dengan stasiun sekitarnya juga
dipengaruhi oleh jarak antara stasiun hujan tersebut.
Dimana:
PX = Hujan yang diperkirakan (mm).
NX = Hujan tahunan normal pada Stasiun X (mm).
Pa
Pb
Pc
=
Hujan yang diketahui pada
Stasiun A, B, dan C.
Na
Nb
Nc
=
Hujan tahunan normal pada
Stasiun A, B, dan C.
Dimana:
n = Banyaknya data hujan.
X = Variabel tahun (waktu).
Y = Variabel curah hujan.
⋅+
⋅+
⋅⋅=
c
cX
b
bX
a
aXX
N
PN
N
PN
N
PN
n
1P
Tugas Rekayasa Hidrologi II
20
- Reciprocal Method (Simanton & O. Borne; 1980)
o Cara ini memperbaiki cara sebelumnya, dengan memperhitung-
kan pengaruh jarak antara 2 (dua) Stasiun Hujan.
o Cara ini cukup memakai data dari 3 (tiga) Stasiun Hujan saja.
Dimana:
Dxa
Dxb Jarak antara Stasiun X (yang datanya hilang) dengan
Dxc Stasiun A, B, dan C.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )222
222
Dxc
1
Dxb
1
Dxa
1
PcDxc
1Pb
Dxb
1Pa
Dxa
1
Px
++
⋅+⋅+⋅=