tugas 2 elplas (autosaved)
DESCRIPTION
asdfasdfTRANSCRIPT
-
SI-5111
ELASTISITAS DAN PLASTISITAS
TUGAS #2
Kelompok 3
Cendekia Raihan Al-Bairuni 15012119
Mega Suci Ramadhita 25015045
Darwinton Rumapea 25015051
PROGRAM STUDI MAGISTER TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN LINGKUNGAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2015
-
2
Soal 1
Balok dengan kedua perletakan terkekang penuh, bekerja beban segitiga sama kaki q.
Tetapkan lendutan maksimum, gaya-gaya dalam, dan putaran sudut balok.
Jawab:
Untuk
(
)
(
)
(
)
Syarat batas:
( ) , memberikan
( ) , memberikan
( ) , memberikan
Sehingga,
(
)
Lendutan maksimum diperoleh pada yang menghasilkan
.
-
3
Maka, lendutan maksimumnya adalah
(
)
(
(
)
(
)
( )
)
(
)
(
)
(
)
Soal 2
Balok diatas tumpuan sederhana (sendi-sendi) dibebani beban luar q(x)=q_0 sin(x/l).
Tetapkan fungsi lendutan, putaran sudut balok, dan gaya-gaya dalam sepanjang bentang.
Jawab:
Beban ( ) dapat disubstitusi menjadi beban terpusat ( ):
( ) ( )
(
)
( ) [
(
)]
( )
( )
( )
Reaksi perletakan pada titik A dan B:
Gaya dalam lintang sepanjang balok:
-
4
( ) ( )
(
)
( )
[
(
)]
( )
(
)
( )
(
)
Gaya dalam momen sepanjang balok:
( ) ( )
(
)
( ) [ (
)
(
)]
( ) (
)
(
)
Fungsi putaran sudut balok:
( )
( )
( ) (
)
( )
( )
[
(
)]
( )
(
)
Dengan syarat batas (
)
, maka
( )
(
)
( )
(
)
Fungsi lendutan sepanjang balok:
( )
( )
( )
(
)
( )
[
(
)]
( )
(
)
Saat , ( ) , maka
-
5
( )
(
)
( )
(
)
Soal 3
Balok diatas tumpuan sendi-jepit seperti gambar.
Pertanyaan: tetapkan frekuensi alami balok.
Jawab:
Persamaan lendutan:
Syarat batas:
1. Lendutan di ( )
2. Momen di ( )
3. Lendutan di ( )
4. Rotasi di ( )
Keempat syarat batas tersebut disubstitusi ke persamaan lendutan dan turunannya.
1. Lendutan di x = 0
( )
2. Momen di x = 0
( )
Dari syarat batas (1) dan (2) diperoleh
3. Lendutan di x = L
( )
4. Rotasi di x = L
( )
( )
Dari syarat batas (3) dan (4) bila ditulis dalam bentuk matriks:
[
] {
}
Solusi non-trivial jika determinan = 0
-
6
|
|
Dengan menyelesaikan persamaan di atas diperoleh,
a. Mode pertama:
b. Mode kedua:
c. Mode ketiga:
Maka frekuensi natural untuk balok jepit-sendi yaitu:
(
)
(
)
Soal 4
Balok kantilever bentang dibebani beban seperti pada gambar. Tetapkan kurva garis
elastisitas balok, besaran gaya-gaya dalam sepanjang bentang.
Jawab:
Reaksi perletakan pada titik A:
(
)
Persamaan gaya dalam sepanjang balok AB:
Untuk
-
7
( )
Untuk
(
)
(
)
(
)
(( )
(
) )
(
)
(
( )
(
)
)
Untuk
( )
( )
Fungsi putaran sudut dan lendutan sepanjang bentang:
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Putaran sudut untuk
adalah
( )
(
)
Dengan syarat batas saat , ( ) , sehingga
( )
( )
( )
Fungsi lendutan untuk
adalah
-
8
( ) (
)
( )
( )
( )
( )
Putaran sudut untuk
adalah
( )
( (
))
(
)
( )
(( )
(
)
(
) )
( )
(
)
( )
(
)
( )
Fungsi lendutan untuk
adalah
( ) (
(
))
(
)
( )
(( )
(
)
(
)
(
) )
( )
(
)
( )
(
)
( )
Putaran sudut untuk
adalah
( )
(
( )
)
(
)
( )
( )
(
(
)
(
)
( )
)
( )
-
9
( )
(
)
Fungsi lendutan untuk
adalah
( ) (
(
))
(
)
( )
( )
(
(
)
(
)
( )
(
) )
( )
( )
(
)
Kurva garis elastis:
Soal 5
Balok tertumpu di atas tiga tumpuan: jepit sendi sendi menerima beban seperti pada
gambar. Tetapkan kurva garis elastis balok, besaran gaya-gaya dalam sepanjang bentang.
Jawab:
Struktur ini merupakan struktur statis tak tentu. Reaksi perletakan struktur akan ditentukan
dengan menggunakan metoda gaya / unit load. Pertama dipilih 2 buah reaksi perletakan
sebagai redundan yaitu dan .
0.5 1.0 1.5 2.0
70
60
50
40
30
20
10
-
10
Struktur 1
( )
(
) (
) (
) (
)
( )
Persamaan gaya dalam momen:
untuk
untuk
(
)
untuk
(
)
( )
Struktur 2
( )
(
) ( )
Persamaan gaya dalam momen:
untuk
(
)
-
11
untuk
Struktur 3
( )
( )
Persamaan gaya dalam momen untuk :
( )
Struktur 4 (dengan Beban Maya 1 Satuan di B)
( )
( )
Persamaan gaya dalam momen:
untuk
untuk
-
12
Struktur 5 (dengan Beban Maya 1 Satuan di C)
( )
( )
Persamaan gaya dalam momen:
untuk
[
]
[
]
[
(
)]
[
]
[ (
)]
[
]
[ ( )]
[
]
[
]
[ ]
[
(
)]
[ ]
[
(
)
( )
]
[ ]
-
13
[ (
)]
[ ]
[ ( )]
[ ]
Eliminasi kedua persamaan: dan tersebut
untuk memperoleh nilai RB dan RC.
Dengan menggunakan Wolfram Mathematica, diperoleh
dan
(
)
(
) (
) (
) (
) (
) ( )
(
) (
) (
) (
) (
) ( )
(
)
( )
( )
Menentukan persamaan gaya dalam:
untuk dari titik A
-
14
[
]
[
]
Saat x = 0
[
]
[
]
[
]
Saat x = 0
[
]
untuk dari titik A
(
)
-
15
[
]
[
]
Saat x = l/8
[
(
)
(
) ]
[
(
)
(
)
(
)]
[
]
[
]
[
]
Saat x = l/8
[
(
)
(
)
(
) ]
[
(
)
(
)
(
)
]
[
]
untuk dari titik C
[
]
-
16
[
]
Saat x = l/2
[
(
)
(
)
]
[
(
)
(
)
]
[
]
[
]
[
]
Saat x = l/2
[
(
)
(
)
(
) ]
[
(
)
(
)
(
)
( )
]
[
]
RESUME:
untuk dari titik A
[
]
[
]
untuk dari titik A
-
17
[
]
[
]
untuk dari titik C
[
]
[
]
Kurva garis elastis:
Soal 6
Balok sederhana dengan konsentrasi massa M seperti pada Gambar.
-
18
Buktikan penyelesaian eksak dari balok berupa persamaan transcendental
(
)
hal dimana
Dan bila diperoleh
Jawab:
Soal 7
Balok sederhana dengan beban terpusat aksial ( ) seperti pada gambar.
Syarat-syarat batas:
( ) ( )
( ) ( )
Buktikan:
Jawab:
Soal 8-9-10
Tentukan dari sistem struktur balok dengan pola beban pada gambar (soal 8, 9, dan 10),
besarnya lendutan ditengah bentang (
)
Jawab:
-
19
Struktur 1
Persamaan beban : q(x) = q
Hitung reaksi tumpuan di A
2
RA RB
qlRA
Hitung persamaan gaya geser batang sejauh x dari titik A
2
Qx RA qx
qlQx qx
Hitung persamaan momen batang sejauh x dari titik A
2
2
22
xMx RAx qx
qxqlxMx
Hitung persamaan rotasi batang sejauh x dari titik A
2
2
2 3
1
22
2
12 2 3
d M
dx EI
d qxqlx
dx EI
qd x dxlx
EI
q xlxC
EI
Untuk menhitung C1, masukan nilai x = l/2, dimana nilai rotasi batang di tengah bentang = 0
2 3
3 3
3
0 12 2 2 3 2
0 14 6
112
q l l llC
EI
l lC
lC
Selanjutnya substitusikan nilai C1 sehingga didapat persamaan rotasi batang :
2 3 3
2 2 3 12
q x llx
EI
(1)
Hitung persamaan lendutan batang sejauh x dari titik A
-
20
2 3 3
2 3 3
2 3 4 3
1
2 2 2 3 12
1
2 2 2 3 12
22 2 2 6 12 12
dw Q
dx KG
dw ql q x llxqx
dx KG EI
ql q x llxdw qx dx dx
KG EI
q lx x q x l xlxw C
KG EI
Karena titik A merupakan tumpuan sendi maka lendutan pada titik A = 0, sehingga untuk x
= 0; w = 0; sehingga apa bila disubstitusikan ke persamaan di atas akan didapatkan C2 = 0,
sehingga persamaan menjadi
2 3 4 3
2 2 2 6 12 12
q lx x q x l xlxw
KG EI
(2)
Hitung lendutan di tengah bentang, x = l/2
2 3 4 3
2 2 4 4 4
2 4
1 1
2 2 2 2 2 6 2 12 2 12 2
4 8 2 48 192 24
5
8 384
q l l l q l l l llw
KG EI
q l l q l l lw
KG EI
ql qlw
KG EI
Struktur 2
Persamaan beban : q(x) = 2qx/l untuk x l/2
Hitung reaksi tumpuan di A
1
2 2 4
RA RB
ql qlRA
Hitung persamaan gaya geser batang sejauh x dari titik A
22
2 4
qx x ql qxQx Ra
l l
Hitung persamaan momen batang sejauh x dari titik A
2 3
3 4 3
qx x qlx qxMx Rax
l l
Hitung persamaan rotasi batang sejauh x dari titik A
-
21
3
3
2
2 4
2
1
4 3
4 3
18 12
d M
dx EI
d qlx qx
dx EI l
ql x xdx
EI l
ql x xC
EI l
Untuk menhitung C1, masukan nilai x = l/2, dimana nilai rotasi batang di tengah bentang = 0
2 4
2
2 2
2
1 10 1
8 2 12 2
0 132 192
51
192
ql l lC
EI l
l lC
lC
Selanjutnya substitusikan nilai C1 sehingga didapat persamaan rotasi batang :
2 4 2
2
5
8 12 192
ql x x l
EI l
(1)
Hitung persamaan lendutan batang sejauh x dari titik A
2 2 4 2
2
2 2 4 2
2 2
3 3 5 2
2 2
1 5
4 8 12 192
1 5
4 8 12 192
52
4 3 24 60 192
dw Q
dx KG
dw ql qx ql x x l
dx KG l EI l
ql x ql x x lw dx dx
KG l EI l
ql x x ql x x l xw C
KG l EI l
Karena titik A merupakan tumpuan sendi maka lendutan pada titik A = 0, sehingga untuk x
= 0; w = 0; sehingga apa bila disubstitusikan ke persamaan di atas akan didapatkan C2 = 0,
sehingga persamaan menjadi
3 3 5 2
2 2
5
4 3 24 60 192
ql x x ql x x l xw
KG l EI l
(2)
Hitung lendutan di tengah bentang, x = l/2
-
22
3 3 5 2
2 2
3 3 3
2 4
1 1 1 1 5
4 2 3 2 24 2 60 2 192 2
5
8 24 192 1920 384
12 120
ql l l ql l l l lw
KG l EI l
ql l l ql l l lw
KG EI
ql qlw
KG EI
Struktur 3
Persamaan beban : ( )
Persamaan beban : ( ) ( )
Hitung reaksi tumpuan di A
2
qaRA RB
Hitung persamaan gaya geser batang sejauh x dari titik A
Untuk x a 2 2
2 2 2
qx qa qxQx RA
a a
Untuk a x ( l - a )
0Qx
Hitung persamaan momen batang sejauh x dari titik A
Untuk x a 2 3
2 3 2 6
qx x qax qxMx Rax
a a
Untuk a x ( l - a ) 22
2 3 2 2 3 3
qa a qax qa a qaMx Rax x a x
Hitung persamaan rotasi batang sejauh x dari titik A
Untuk x a
3 3
3
1 1
2 6 2 6
1
2 6
d M
dx EI
d qax qx qax qx
dx EI a EI a
qax qxdx
EI a
-
23
2 411
4 24
qax qxC
EI a
(1)
Untuk a x ( l - a )
2
2
2
1
3
1
3
23
d M
dx EI
d qa
dx EI
qadx
EI
qa xC
EI
Untuk menhitung C2, masukan nilai x = l/2, dimana nilai rotasi batang di tengah bentang = 0 2
2
0 23 2
26
qa lC
EI
qlaC
EI
Selanjutnya substitusikan nilai C2 sehingga didapat persamaan rotasi batang untuk nilai a
x ( l - a ) sebagai berikut :
2 2 2
23 6 6
qa x qla qax l
EI EI EI ; untuk a x ( l - a ) (2)
Persamaan (1) dan (2) akan memiliki nilai sama pada saat nilai x = a, dengan menggunakan
kondisi batas tersebut maka nilai C1 pada persamaan (1) dapat dicari sebagai berikut :
x = a;
2
2 4
3 2 3 3
3 2
12 1
6 4 24
13 6 4 24
18 6
qa qa qa l a a C
EI EI a
qa qla qa qaC
qa qlaC
Sehingga persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut :
2 4 3 21
4 24 8 6
qax qx qa qla
EI a
; untuk x a (3)
Hitung persamaan lendutan batang sejauh x dari titik A
untuk x a
-
24
Karena titik A merupakan tumpuan sendi maka lendutan pada titik A = 0, sehingga untuk x
= 0; w = 0; sehingga apa bila disubstitusikan ke persamaan di atas akan didapatkan C3 = 0,
sehingga persamaan menjadi
3 3 5 2
2 22 6 12 120 8 6
qa x x qa x x a x laxw
KG a EI a
; untuk x a (4)
untuk a x ( l - a )
2 2
2
02 2
6 6
26
dw Q
dx KG
dw qa qax l x l
dx KG EI EI
qaw x l dx
EI
22( ) 4
6
qaw x lx C
EI (5)
Persamaan (4) dan (5) akan memiliki nilai sama pada saat nilai x = a, dengan menggunakan
kondisi batas tersebut maka nilai C4 pada persamaan (5) dapat dicari sebagai berikut :
3 3 5 2 22
2 2
3 3 3 2 22
2 3 2 3 2
2 4
( ) 42 6 12 120 8 6 6
( ) 42 6 12 120 8 6 6
( ) 43 5 6 6 6
43 30
qa a a qa a a a a laa qaa la C
KG a EI a EI
qa a a qa a a a la qaa la C
KG EI EI
qa qa a la qa a laC
KG EI EI
qa qaC
KG EI
Sehingga persamaan (5) dapat ditulis sebagai berikut :
2 2 4 3 2
2 2 4 2
2 2
2 2 4 2
2 2
3 3
2
1 1
2 2 4 24 8 6
1
2 2 4 24 8 6
1
2 2 4 24 8 6
2 6
dw Q
dx KG
dw qa qx qax qx qa qla
dx KG a EI a
dw qa x qa x x a la
dx KG a EI a
qa x qa x x a law dx dx
KG a EI a
qa x x qa xw
KG a EI
5 2
23
12 120 8 6
x a x laxC
a
-
25
2 2 42( )
6 3 30
qa qa qaw x lx
EI KG EI ; untuk a x ( l - a ) (6)
Hitung lendutan di tengah bentang, x = l/2
22 2 4
2 2 2 4
22 2 2
6 2 2 3 30
24 3 30
6 4 5 3
qa l l qa qaw l
EI KG EI
ql a qa qaw
EI KG EI
qa l a qaw
EI KG
Struktur 4
Persamaan beban : ( )
Persamaan beban : ( ) ( )
Hitung reaksi tumpuan di A
1 1( ) 2 ( )
2 2 2
RA RB
qRA q l a qa l a
Hitung persamaan gaya geser batang sejauh x dari titik A
untuk x a 2 2
2
( )2 2 2
2
qx q qxQx RA l a
a a
q xQx l a
a
untuk a x ( l - a )
( ) ( ) ( )2 2 2
2
qa q qaQx RA q x a l a q x a
lQx q x
Hitung persamaan momen batang sejauh x dari titik A
untuk x a 2 2
3
( )2 3 2 2 3
2 3
qx x q qx xMx RAx l a x
a a
q xMx lx ax
a
untuk a x ( l - a )
-
26
22
( )( )
2 3 2
( )( ) ( )
2 2 3 2
1
2 3
qa a x aMx RAx x a q x a
q qa a x aMx l a x x a q x a
aMx q x lx
Hitung persamaan rotasi batang sejauh x dari titik A
untuk x a
3
3
2 3
2 3
d M
dx EI
d q xlx ax
dx EI a
q xlx ax dx
EI a
2 2 4
12 2 2 12
q lx ax xC
EI a
(1)
untuk a x ( l - a )
22
22
3 2 2
2 3
2 3
22 3 2 3
d M
dx EI
d q ax lx
dx EI
q ax lx dx
EI
q x lx a xC
EI
Untuk menhitung C2, masukan nilai x = l/2, dimana nilai rotasi batang di tengah bentang = 0
3 2 2
3 3 2
3 2
10 2
2 3 2 2 2 3 2
0 224 8 6
212 6
q l l l a lC
EI
l l a lC
l a lC
Selanjutnya substitusikan nilai C2 sehingga didapat persamaan rotasi batang untuk nilai
( ) sebagai berikut : 3 2 2 3 2
2 3 2 3 12 6
q x lx a x l a l
EI
3 2 2 3 24 6 4 224
qx lx a x l a l
EI ; untuk a x ( l - a ) (2)
-
27
Persamaan (1) dan (2) akan memiliki nilai sama pada saat nilai x = a, dengan menggunakan
kondisi batas tersebut maka nilai C1 pada persamaan (1) dapat dicari sebagai berikut :
x = a;
2 2 4
3 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 33
3 2 3
4 6 4 2 124 2 2 2 12
4 6 4 2 6 6 12 1
21
12
q q la aa aa la a a l a l C
EI EI a
a la a la la a a Cl
a la lC
Sehingga persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut :
2 2 4 2 3 32
2 2 2 12 12
q lx ax x la a l
EI a
42 2 2 3 36 6 2
24
q xlx ax la a l
EI a
; untuk x a (3)
Hitung persamaan lendutan batang sejauh x dari titik A
untuk x a
2 42 2 2 3 3
2 42 2 2 3 3
3 53 3 2 3 3
6 6 22 24
6 6 22 24
2 2 2 32 3 24 5
dw Q
dx KG
dw q x q xl a lx ax la a l
dx KG a EI a
q x q xw l a dx lx ax la a l dx
KG a EI a
q x q xw lx ax lx ax la x a x l x C
KG a EI a
Karena titik A merupakan tumpuan sendi maka lendutan pada titik A = 0, sehingga untuk x
= 0; w = 0; sehingga apa bila disubstitusikan ke persamaan di atas akan didapatkan C3 = 0,
sehingga persamaan menjadi
3 53 3 2 3 32 2 2
2 3 24 5
q x q xw lx ax lx ax la x a x l x
KG a EI a
;untuk x a (4)
untuk a x ( l - a )
3 2 2 3 2
3 2 2 3 2
4 6 4 22 24
2 4 6 4 22 24
dw Q
dx KG
dw q l qx x lx a x l a l
dx KG EI
q qw l x dx x lx a x l a l dx
KG EI
2 4 3 2 2 3 22 2 2 42 24
q qw lx x x lx a x l x a lx C
KG EI (5)
Persamaan (4) dan (5) akan memiliki nilai sama pada saat nilai x = a, dengan menggunakan
kondisi batas tersebut maka nilai C4 pada persamaan (5) dapat dicari sebagai berikut :
-
28
3 53 3 2 3 3 2 4 3 2 2 3 2
2 42 3 4 3 4 3 2 4 3 4 3 3
2 2 2 2 2 2 42 3 24 5 2 24
2 2 2 2 2 2 42 3 24 5 2 24
4
q a q a q qla aa la aa la a a a l a la a a la a a l a a la C
KG a EI a KG EI
q a q a q qla a la a la a l a la a a la a l a a l C
KG EI KG EI
C
4 2
120 6
qa qa
EI KG
Sehingga persamaan (5) dapat ditulis sebagai berikut :
4 2
2 4 3 2 2 3 22 2 22 24 120 6
q q qa qaw lx x x lx a x l x a lx
KG EI EI KG
2 42 4 3 2 2 3 22 2 2
2 3 24 5
q a q aw lx x x lx a x l x a lx
KG EI
; ( ) (6)
Hitung lendutan di tengah bentang, x = l/2
2 4 3 22 42 3 2
2 2 4 2 2 4
2 2 22 2 2 3 24 2 2 2 2 2 5
5
2 4 3 24 16 2 5
q l l a q l l l l l aw l l a l a l
KG EI
q l a q l a l aw
KG EI
Soal 11
Hitung besarnya reaksi perletakan jepit sempurna: FEM, FEV, dan FEN setiap balok dengan
pola beban pada gambar.
Jawab:
Struktur 1
Reaksi perletakan:
-
29
Syarat batas:
( )
Diketahui besarnya rotasi di tengah bentang (x=L/2) = 0
(
)
(
)
(
)
(
)
Struktur 2
Reaksi perletakan:
-
30
Syarat batas:
( )
Diketahui besarnya rotasi di tengah bentang (x=L/2) = 0
(
)
(
)
(
)
(
)
Struktur 3
Reaksi perletakan:
-
31
Bentang
Syarat batas: ( )
( )
Bentang ( )
(
)
(
)
Syarat batas di x=a :
Diketahui besarnya rotasi di tengah bentang (x=L/2) = 0
(
) (
)
(
)
-
32
Struktur 4
Reaksi perletakan:
( )
( )
Bentang
( )
Syarat batas: ( )
( )
( )
Bentang ( )
(
)
( )
-
33
Syarat batas di x=a :
Diketahui besarnya rotasi di tengah bentang (x=L/2) = 0
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
Struktur 5
Reaksi perletakan:
( )
( )
Bentang
-
34
Syarat batas: ( )
( )
Bentang ( )
( )
(
)
( )
Syarat batas di x=a :
Diketahui besarnya rotasi di tengah bentang (x=L/2) = 0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
-
35
Struktur 6
Reaksi perletakan:
Bentang
Syarat batas:
( )
Diketahui besarnya rotasi di tengah bentang (x=L/2) = 0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)