TUGAS APDKelas D Dosen : Bapak

Disusun Oleh : ARI SUSANTI 2310100069

JURUSAN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2011

nomer 2 halaman 131 Lakukan undian dengan menggunakan 10 buah dadu homogin sekaligus. Berapa peluang nampaknya mata 6 sebanyak 8 buah ?

Jawaban

Kita tahu bahwa = P ( mata 6 ) = 1/6 dan dalam hal ini N = 10, X = 8, dengan X berarti muka brmata 6 nampak di sebelah atas. Maka : ( 1/6 )8 ( 5/6 )2 = 0.000015

P (X=8) =

10 8

Ini berarti dalam undian dengan 10 dadu akan diperoleh mata 6 sebanyak 8 kali, terjadi kira-kira 15 dari tiap sejuta. nomer 3 halaman 131-132 10 % dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A : a) semuanya, b) sebuah, c) dua buah, d) paling sedikit sebuah, e) paling banyak dua buah, f) tentukan rata-rata terdapatnya kategori A Jawaban

a) Kita artikan X = banyak benda kategori A. Maka = peluang benda termasuk kategori A = 0.10.

Semuanya tergolong kategori A berarti X = 30.

P ( X = 30 ) =

30 30

( 0.10 )30 ( 0.9 )0 = 10-30

Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.

b) Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1 30 P(X=1)= 1 Peluang sampai itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0.1409. ( 0.10 )1 ( 0.9 )29 = 0.1409

c) Di sini X = 2, sehingga : 30 P(X=2)= 2 d) Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1,2,3,.30. Jadi perlu P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + . . . + P ( X = 30 ). Tetapi P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + . . . + P ( X = 30 ) = 1,sehingga yang dicari adalah 1 - P ( X = 0 ). 30 ( 0.10 )0 ( 0.9 )30 = 0.0423 ( 0.10 )2 ( 0.9 )28 = 0.2270

Sekarang P ( X = 0 ) =

0Peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A adalah 1 0.0423 = 0.9577. e) Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti X = 0,1,2. Perlu dicari P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ). Di atas, semuanya ini telah dihitung. Hasilnya = 0.0423 + 0.1409 + 0.2270 = 0.4102. f) Dengan rumus VIII (8), didapat = 30 (0.15) = 3. Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.

nomer 10 halaman 155

x 0 1 2 3

P(x) 0.4 2a 0.3 a

a. Tentukan harga a! b. Cari peluang variable acak A paling sedikit berharga satu.

Jawaban

a. Dalam hal ini terjadi distribusi peluang untuk variable acak X dimana sesuai teorema ( ) Sehingga nilai-nilai dalam table bisa dihitung dengan cara seperti di bawah ini : 0.4 + 2a + 0.3 + a = 1 0.7 + 3a = 1 3a = 1 0.7 3a = 0.3 a = 0.3 / 3 a = 0.1 Maka nilai a bisa didapatkan yakni a = 0.1

b. Peluang variabel acak X paling sedikit berharga satu berarti X = 0,1,2,3. Jadi perlu P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ). Tetapi P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) = 1, sehingga yang dicari adalah 1 - P ( X = 0 ). Dan diketahui P ( X = 0 ) = 0.4,maka peluang variabel acak X paling sedikit berharga satu adalah 1 0.4 = 0.6.

nomer 13 halaman 155

Kapan distribusi binom akan dapat didekati oleh : a. distribusi Poison? b. distribusi normal? Untuk kedua hal di atas, berikanlah rata-rata dan variansnya.

Jawaban

a. Distribusi Poison dapat dianggap sebagai pendekatan distribusi binom jika dalam hal distribusi binom, N cukup besar sedangkan = peluang terjadinya peritiwa A, sangat dekat kepada nol sedemikian sehingga = Np tetap. Maka distribusi binom yakni N P (x) = P (X=x) = n x (1 )N x dengan x = 0,1,2,N,0 < < 1

sangat baik didekati oleh distribusi Poisson yakni P (x) = P (X=x) = e x / x! Untuk penggunaannya, sering dilakukan pendekatan ini jika N 50 sedangkan Np < 5. Rata-ratanya yakni = Dan variansnya yakni =

b. Distribusi Normal dapat dianggap sebagai pendekatan distribusi binom jika dalam hal distribusi binom, N cukup besar sedangkan = P (A) peluang terjadinya peritiwa A terjadi, tidak terlalu dekat kepada nol, dengan rata-rata = N dan simpangan baku = ( )

Untuk pembakuan agar daftar distribusi normal baku dapat dipakai maka dapat digunakan transformasi : Z = X N / ( )

Dengan X = variabel acak diskrit yang menyatakan terjadinya peristiwa A. Karena telah mengubah acak diskrit dari distribusi binom menjadi variabel acak kontinu dalam distribusi normal, maka nilai-nilai X perlu mendapat penyesuaian. Yang dipakai adalah dengan jalan menambah atau mengurangi dengan 0.5. Rata-ratanya yakni = N Dan variansnya yakni = ( )

nomer 19

halaman 155

Berikan contoh di mana diperkirakan dapat digunakan : a. Distribusi Poisson. b. Distribusi multinom. c. Distribusi hipergeometrik.

Jawaban

a. Contoh distribusi Poisson adalah rata-rata ada 3 orang tuli untuk setiap 200 orang. Sebuah sampel berukuran 400 telah diambil. Jika x = banyak tuli per 200 orang maka = 6. Peluangnya tidak dapat yang tuli ialah : P (0) = e-6 (6)0 / 0! = e-6 = 0.00248. Sedangkan peluang terdapatnya tuli sama dengan 0.99752.

b. Contoh distribusi Multinom adalah sebuah kotak berisi 4 barang yang dihasilkan oleh mesin X dan oleh mesin Z sebanyak 6 barang. Tidak ada perbedaan lain pada

barang-barang tersebut kecuali kategori berdasarkan mesin. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak tersebut, identitas mesin dilihat, lalu disimpan kembali ke dalam kotak. Tentukan peluang diantara 2 barang yang diambil sehingga didapat 1 barang dari mesin X dan 1 barang dari mesin Z. Dapat diketahui bahwa P ( dari mesin X ) = 4/10 , P (dari mesin Z) = 6/10. Sehingga P (1 dari mesin X dan 1 dari mesin Z) = 2! / 1! 1! (4/10)1 (6/10)1 = 0.48.

c. Contoh distribusi hipergeometrik adalah pada daerah tertentu terdapat populasi manusia sebanyak 40 orang. 8 diantaranya meninggal pada tanggal 5 Oktober. Secara acak diambil 6 orang. Berapa peluangnya diantara 6 orang tersebut : a. Terdapat tidak lebih 4 orang yang meninggal pada tanggal 5 Oktober? Maka tidak lebih dari 4 orang yang meninggal pada 5 Oktober berarti x = 4.32 2

8 4

P (4) =40 6

= 0.0001489