tugas matematika buku kalkulus
TRANSCRIPT
Tugas Matematika
Integral Hal 49- 59
Disusun Oleh :
Nama : 1. Ricky Adi Pratama
2. Devi Yunita
3.Gustiana
Kelas : 1EA
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
TAHUN AJARAN 2014/2015
Industri Air Kantung Sungailiat 33211
Bangka Induk, Propinsi Kepulauan Bangka Belitung
Telp : +62717 93586
Fax : +6271793585 email : [email protected]
http://www.polman-babel.ac.id
Dua aturan integrasi berguna
Latihan 7.7
Cari integral tak tentu yang paling umum..
1.∫ (3 x4−5 x3−21 x2+36 x−10 )dx
2.∫ [3x2−4cos (2x ) ]dx
3.∫( 8t5 + 5t )dt4.∫( 1
√25−θ2+
1
100+θ2 )dθ
5.∫ e5x−e4x
e2 xdx
6.∫( x7+ x4x5 )dx7.∫( x7+ x4x5 )dx8.∫ (x2+4 )2dx=∫ x4
9.∫( 73√ t )dt10.∫ 20+x√ x
dx
Penyelesaian :
1.
∫ (3x4−5 x3−21x2+36 x−10 )dx=∫ 3x4dx−∫ 5x3dx−∫21 x2dx+∫36 x dx−¿∫ 10dx=¿3∫ x4dx−5∫ x3dx−21∫ x2dx+36∫ x dx−10∫dx=3( x55 )−5( x44 )−21( x33 )+36 ( x22 )−10 x+c=35 x5−54 x4−7 x3+18 x2−10x+c¿¿
2.
∫ [3 x2−4cos (2 x ) ]dx=∫ 3 x2dx−∫ 4cos (2 x )dx=3∫ x2dx−4∫cos (2 x )dx=3( x33 )−4( 12 sin 2 x)+c=x3−2sin 2x+c
3. ∫( 8t5+ 5t )dt=∫ 8t 5dx+∫ 5
tdx=8∫ t−5dx+5∫ 1
tdx=8 t
−4
−4+5 ln|t|+c=−2t−4+5 ln|t|+c
4.
∫( 1
√25−θ2+
1
100+θ2 )dθ=∫ 1
√25−θ2dx+∫ 1
100+θ2dx=∫ 1
√52+θ2dx+∫ 1
102+θ2dx=sin−1( θ5 )+ 110 tan−1 θ10 +c
5. ∫ e5x−e4 x
e2 xdx=∫ (e3 x−e2x )dx=∫e3x dx−∫e2x dx=1
3e3x−1
2e2x+c
6. ∫( x7+x4x5 )dx=∫ x7
x5dx+∫ x4
x5dx=¿
7. ∫ 1
(e6+x2 )dx=∫ (e6+x2 )dx=ln|e6+x2|+c
8.
∫ (x2+4 )2dx=∫ x4+16+2.x2 .4dx=∫ x4+8x2+16dx= 14+1
x4+1+ 82+1
x2+1+16 x+c=15x5+ 8
3x3+c
9. ∫( 73√t )dt=∫7 t−13 dt= 7
−13
+1t−13
+1+c= 7
23
t23+c=21
2t23+c
10.
∫ 20+x√xdx=∫ (20+x ) x
−12 dx=∫ (20 x
−12 +x
12 )dx= 20
−12
+1x
−12
+1+ 112+1x12+1
+c=2012
x12+ 132
x32+c=40 x
12+ 23x32+c
Integrasi dasar teknikIntegrasi dengan substitusi
Latihan 8.1
Gunakan integrasi dengan substitusi untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum.
1.∫ 3 ( x3−5 )4 x2dx
2.∫ ex4
x3dx
3.∫ t
t 2+7dt
4.∫ (x5−3 x )14 (5 x4−3 )dx
5.∫ x3−2x(x4−4 x2+5 )4
dx
6.∫ x3−2 xx4−4 x2+5
dx
7.∫ cos (3 x2+1 )dx
8.3co s2√x ¿¿
9.∫ e2x
1+e4xdx
10.∫ 6 t2 e t3−2dt
PENYELESAIAN
1.∫ 3 ( x3−5 )4 x2dx
u = x3 – 5 du = 3x2 dx
=∫u4du
¿ 15u5+c
¿(x¿¿3−5)5
5+c¿
2.∫ ex4
x3dx
u=x4
¿∫ex4 14.4 x3dx
¿ 14∫ e
x34 x3dx
¿ 14∫ e
udu
¿ 14eu+c
¿ 14ex
4
+c
3.∫ t
t 2+7dt
u=t2+7 du=2 t dx
∫ t
t 2+7dt
∫ 122 t
t2+7dt
12∫
2t
t 2+7dt
12∫
duu
12∈|u|+c
12∈(t 2+7 )+c
4.∫ (x5−3 x )14 (5 x4−3 )dx
u=(x5−3 x ) du=5 x4−3dx
¿∫u14 du
¿4 u54+c
¿4 (x5−3 x )54+c
5.∫ x3−2x(x4−4 x2+5 )4
dx
u=x4−4 x2+5 du=4 x3−8 xdx
¿∫ 14.4 (x3−2 x )
u4dx
¿ 14∫
du
u4
¿ 14∈|u|+c
¿ 14∈(x4−4 x2+5 )+c
6.∫ x3−2 xx4−4 x2+5
dx
u=x4−4 x2+5 du=4 x3−8 xdx
¿4 (x3−2x )
¿∫ 14.4 (x3−2 x)x4−4 x2+5
dx
¿ 14∫
duu
¿ 14∈|u|+c
¿ 14∈(x4−4 x2+5 )+c
9.∫ e2x
1+e4xdx
¿∫ e2x
1+e2 x(2)dx
u=1+e2 x du=2.e2 xdx
¿∫ 12.2.e2x
1+e2x (2)
¿ 12∫
duu
¿ 12∈|u|dx
¿ 12∈1+e4 x+c
10.∫ 6 t2 e t3−2dt
u=t3−2 du=3 t2dt
¿∫6 t 2e t3−2dt
¿∫2 (3 t2 )e t3−2dt
¿∫ 13 .3 (2 ) . (3 t 2 ) .e t3−2dt
¿ 13∫6du . e
u
¿ 13eu .6 du
¿ 13e t
3−2 .6+c
¿2e t3−2+c
Integrasi dengan bagian
Latihan 8.2
Gunakan integrasi dengan bagian untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum.
1. ∫2 x.sin2x dx
2. ∫ x3lnx dx
3. ∫ tetdt
4. ∫ x cos x dx
5. ∫cot−1 (x )dx
6. ∫ x2 ex dx
7. ∫w(w−3)2dw
8. ∫ x3∈(4 x )dx
9. ∫ t (t+5)−4dt
10. ∫ x √x+2 . dx
PENYELESAIAN
1. ∫2 x sin2 x dxMisalnya :u = 2x du = x
dv = sin 2x dx v= ∫sin 2 xdx = - 12
cos2x
∫u .dv=uv –∫u .du
∫2 x sin2 x dx = (2x) (- 12
cos 2x ) - ∫(−12cos2 x) . 2x
= - 22
cos 2x + 12∫ cos2 x dx
= - x cos 2x + 12
. 12
sin 2x
= - x cos 2x + 12
. sin 2x + c
2. ∫ x3∈xdxMisalnya :
U= inx du = 1x
dx
dv= x3dx v = ∫ x3dx=¿ x4
4
∫u .dv=uv –∫u .du
∫ x3∈xdx = (in x) ( x4
4) - ∫ x4
4 . 1x
dx
= x4inx4
- 14
. x4
4
= x4inx4
- x4
16 + c
3. ∫ t et dtMisalnya :U = t du = dt
dv = e t dt v = ∫ etdt = e t
∫u .dv=u . v –∫u .du∫ t et dt = (t) (e t ¿ - ∫ etdt
= t et - ∫ etdt
= t et - e t + c
4. ∫ x cos x dxMisalnya : U= x du = dx
dv = cos x dx v = ∫cos xdx = sin x
∫u .dv=u . v –∫u .du∫ x cos x dx = ( x ) ( sin x ) - ∫sin x dx = sin x + cosx dx = sin x + cosx + c
5. ∫cot−1( x ) dx
Misalnya :U = sinx−1
Du= cosx−1
Subtitusi du = sinx−1 du = cosx−1
∫ cosx−1
sinx−1 dx = ∫ duu
Salve integral= in (u) + cSubsitusi kembaliU=sinx−1
= in (sinx−1 ¿+c
6. ∫ x2 ex dxMisalnya : U = x2 du = 2x
dv = exdx v = ∫ exdx = ex
∫u .dv=¿¿ u.v - ∫u.du
∫ x2 ex dx = x2 ex-∫ x2 .2x =xe2x-∫2 x .dx =xe2x - x+c
7. ∫w ¿¿
Misalnya :U= w du= dwdv = ¿
∫u .dv=¿¿ u.v - ∫u.du
∫w ¿¿
= (w2−3w )−12w+c
8. ∫ x3∈(4 x )dx
Misalnya :
U= in4x du= 14 xdx
dv= x3dx v = ∫ x3dx = 14x4
∫u .dv=¿¿ u.v - ∫ v.du
∫ x3∈(4 x )dx = in4x.14x4-∫¿ 4 x . 1
4 xdx
= 14x4∈4 x−1
5x5 :1216 x2+c
= 14x4∈4 x -
2x5
80 x2 + c
9. ∫ t (t+5)−4dt
Misalnya : U= t du= dt
dv =(t+5)−4 v=∫−4 t−3−20−3 = 2t−2+10−2
∫u .dv=¿¿ u.v - ∫ v.du
∫ t (t+5)−4dt =( t. 2t−2+10−2 ) - ∫2 t−2+10−2 . dt = 20 t−4+¿
10. ∫ x √x+2 .dx
Misalnya :U = x du = dx
Dv=√ x+2 dx v= ∫¿¿ =2x112 +0.67
112
∫u .dv=¿¿ u.v - ∫ v.du
∫ x √x+2 .dx = x . 2x112 +0.67
112 - ∫2 x
112+0.67
112 . dx
= x.2,67x32 - (2x
32 + 0,67
32 ) dx
= 2,67x2 32 - 2,67x
62 + c
Integrasi dengan menggunakan tabel rumus terpisahkan
Latihan 8.3
Gunakan tabel rumus integral dalam Lampiran C untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum.
1. ∫cot x dx
2. ∫ 1( x+2 )(2 x+5)
dx
3. ∫ ( lnx )2dx
4. ∫ x cos x dx
5. ∫ x
( x+2 )2dx
6. ∫3 xex dx
7. ∫√10w+3dw
8. ∫ t (t+5)−1dt
9. ∫ x √x+2dx
10.∫ 1sinucosu
du
PENYELESAIAN
1. ∫cot x dx
( Formula nomor 7)
Penyelesaian :
∫cot x dx=∫ cosxsinxdx
Misalkan :u=sin xdu=cos x dx
Subsitusi du=cos x ,U=sin x
∫ cos xsin xdx=∫ du
u
salve integral
ln|u|+C
subsitusi kembaliU=sin x
ln|sin x|+c
2. ∫ 1( x+2 )(2 x+5)
dx
¿ 1( x+2 )(2x+5)
= Ax+2
+ A2 x+5
A= 1( x+2 )(2.2+5)
=19
B= 1(5+2 )(2 x+5)
=17
Sehingga :
∫ 1( x+2 ) (2 x+5 )
dx=∫ 1( x+2 ) (2x+5 )
¿∫19
(x+2 )dx+∫
19
(2 x+5 )dx
¿ 19ln|x+2|+ 1
7ln|2 x+5| + c
3. ∫ (lnx )2dx=∫ (lnx ) (lnx )dx
Missal : U = ln x ❑
⇒
du=¿ ¿2
Dv = dxdv =∫ dx v = x∫¿¿ (x ln )
¿¿. x - ∫ x 1x2dx
¿ x .¿ - ∫ 1x dx¿ x .¿ x - ∫ x−1dx
¿ x .¿ - 10x0+c
¿ x .¿ - +c
= ln x ( x ln x-x ) – ∫(x ln x− x¿)¿ . 1x
=x (ln x¿2 - x ln x -
4. ∫ x cos x dx
Penyelesaian :
U=X→du=dxdv=cosx→v=sinx
∫udv=uv−∫vdu∫ xcosxdx=xsinx−∫sinx dx∫ xcosxdx=xsinx+cosx+c
5. ∫ x
( x+2 )2dx
Penyelesaian :
x
( x+2 )2= A
( x+2 )+ B
( x+2 )=A ( x+2 )+B
( x+2 )2
A=2
A+B=0=−2
Sehingga :
∫ x
( x+2 )2dx=∫ dx
( x+2 )–dx
( x+2 )2
Misall u=x+2→du=dx
∫ dx
( x+2 )–∫ dx
( x+2 )2=∫ du
u–∫ du
u2=2 ln+ 2
u+c
2 ln ( x+2 )+ 2( x+2 )
+c
6. ∫3 xex dx
U = 3x dv =ex dxdudx
=3 v = ∫ exdx=ex
du = 3 dx∫udv = u.v –∫ v du= (3x) . (e¿¿ x)¿ – ∫ ex .3dx= 3x ex−3 ex
7. ∫√10w+3 dw( Formula nomor 2)
∫√10w+3 dw = ∫¿¿ dw
¿ 112+1
¿
¿23¿
8. ∫ t (t+5)−1dt
=∫ tt+5 dt = ∫ t ¿¿
Missal:
U = t + 5 U= t+5
dudt
= 1 t = (u-5)
du=dt t=u❑→ u=t+5 =5
t = 2 ❑→ u=t+5 = 7
=∫ tt+5 dt = ∫ t ¿¿
(u0−5u¿………….=u−u
∫−5u−1 +1 du
∫−5 (u1¿−15x)dx¿
-5 (ln |u| - 150+1
x0+1)
-5 ( ln |t+5| - 15
x)
-5 ln |t+5| + x
9. ∫ x √x+2dx
misal u=x+2→x=u−2du=dx
Sehingga integral diatas dapat menjadi :¿∫ (u−2 )√U du
¿∫ (u−2 )U12 du
¿∫ (U52 )−U
12 du
¿ 27U27−23U32+C
¿∫(x+2)52−23( x+2)
32+C