tugas proyek akhir probstok
DESCRIPTION
tugasTRANSCRIPT
-
TUGAS PROYEK AKHIR
PROBABILITAS DAN STOKASTIK
Ayu Yunita Sari / 1306369812
Indah Fresha / 1306369876
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS INDONESIA
2015
-
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji syukur rahmat Allah SWT sehingga kami dapat menyelesaikan
laporan tugas akhir untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Probabilitas dan Stokastik tepat
waktu. Banyak kesulitan yang telah kami temui dalam menyelesaikan Laporan Tugas Akhir ini,
tetapi hal ini tidak menyurutkan semangat kami untuk menyelesaikan tugas pengganti UAS ini.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih jauh dari
kesempurnaan olehnya itu penulis mengharapkan kritik serta saran yang bersifat membangun
demi kesempurnaan makalah ini.
Penulis juga berharap agar makalah ini dapat berguna bagi para pembaca serta dapat
dijadikan bahan pembelajaran tambahan selain buku palajaran .
Penulis menyadari bahwa kesempurnaan hanya milik Allah SWT dan kekurangan adalah
milik kami. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan masukan berupa kritik dan saran
untuk perbaikan karya tulis ini di kemudian hari.
Akhir kata, penulis berharap karya tulis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.
Depok, 02 Juni 2015
( Penulis )
-
DAFTAR ISI
Halaman judul ...........................................................................................................................................
Kata Pengantar ...........................................................................................................................................
Daftar Isi ...........................................................................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ..........................................................................................................................
1.2 Rumusan Masalah ...............................................................................................................................
1.3 Tujuan Penulisan ................................................................................................................................
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Dasar Teori
2.2 Pembahasan
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan ...........................................................................................................................
Lampiran
Daftar Pustaka
-
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Antrian adalah suatu kejadian yang biasa dalam kehidupan seharihari. Menunggu di
depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api atau tiket bioskop, pada pintu jalan tol, pada
bank, pada kasir supermarket, dan situasisituasi yang lain merupakan kejadian yang sering
ditemui. Studi tentang antrian bukan merupakan hal yang baru.
Salah satu model yang sangat berkembang sekarang ini ialah model matematika.
Umumnya, solusi untuk model matematika dapat dijabarkan berdasarkan dua macam prosedur,
yaitu : analitis dan simulasi. Pada model simulasi, solusi tidak dijabarkan secara deduktif.
Sebaliknya, model dicoba terhadap harga harga khusus variabel jawab berdasarkan syarat
syarat tertentu (sudah diperhitungkan terlebih dahulu), kemudian diselidiki pengaruhnya
terhadap variabel kriteria. Karena itu, model simulasi pada hakikatnya mempunyai sifat induktif.
Misalnya dalam persoalan antrian, dapat dicoba pengaruh bermacam macam bentuk sistem
pembayaran sehingga diperoleh solusi untuk situasi atau syarat kedatangan dan pelayanan.
Kami memiliki berbagai ide yang muncul, namun kami memilih judul Daftar Antrian
Truk untuk pembuatan data daftar antrian penggunaan truk. Judul tersebut dipilih karena kami
ingin mendapatkan Waiting Line Theory dan kami berkesempatan untuk mendapatkan data
survey langsung yang berlokasi tidak jauh dari tempat tinggal kami. Dalam pengolahan data
survey yang kami dapat, kami menggunakan pola distribusi poisson dalam distribusi penggunaan
truk baik kedatangan maupun keberangkatannya.
1.3 Rumusan Masalah
Sehubungan dengan adanya masalah yang timbul maka penulis merumuskan masalah sebagai
beikut :
1. Apakah jumlah unit truk cukup ?
2. Apa yang mengurangi waktu pasti jika kita menambah jumlah unit truk?
3. Berapa tenaga kerja supaya mendapatkan biaya yang paling murah dengan pelayanan
yang sama?
-
1.4 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan penulis melakukan survei ini adalah lebih meningkatkan efisiensi baik untuk
tenaga kerja dan distributor dalam efisiensi waktu, tenaga, dan biaya untuk khususnya tenaga
kerja, dapat mengurangi jumlah biaya yang dikeluarkan tanpa mengurangi pelayanan yang
sama.
-
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Dasar Teori
Sistem Antrian
Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :
1. Populasi dan cara kedatangan pelanggan datang ke dalam sistem
2. Sistem pelayanan ( Waiting Line & Work Station )
3. Kondisi pelanggan saat keluar sistem
1. Populasi dan Cara Kedatangan Pelanggan
a) Populasi
Populasi yang akan dilayani,setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang,
mobil, panggilan telepon untuk dilayani, dan lain lain. Unsur ini sering dinamakan proses
input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan
cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak.
Karakteristik dari populasi yang akan dilayani dapat dilihat menurut ukurannya, pola
kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang
akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite).
b) Distribusi Kedatangan
-
Secara umum, formula garis tunggu antrian memerlukan informasi tingkat kedatangan unit
per periode waktu (arrival rate). distribusi kedatangan bisa teratur - tetap dalam satu periode.
Artinya kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian dengan unit/ pelanggan berikutnya memiliki
periode waktu yang sama. Kedatangan yang seperti ini biasanya hanya ada di sistem produksi
dimana antrian dikendalikan oleh mesin. Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses
pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini,
kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya.
Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat
ditentukan dua cara yaitu :
Dengan cara menganalisa kedatangan per satuan waktu untuk melihat apakah waktu
kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian mengikuti pola distribusi statistik tertentu. Biasanya
kita mengasumsikan bahwa waktu kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian dengan unit/
pelanggan berikutnya berdistribusi eksponensial.
Dengan cara menetapkan lama waktu (T) dan mencoba menentukan berapa banyak unit/
pelanggan yang datang ke dalam sistem dalam kurun waktu T. Secara spesifik biasanya
diasumsikan bahwa jumlah kedatangan per satuan waktu mengikuti pola distribusi Poisson.
Probabilitas n kedatangan dalam waktu T ditentukan dengan rumus
P ( n,t ) =
n = 0,1,2,..
Keterangan :
= rata rata kedatangan per satuan waktu
T = periode waktu
n = jumlah kedatangan dalam satuan waktu T
P (n,t) = Probabilitas n kedatangan dalam satuan waktu T
Jika kedatangan mengikuti Distribusi Poisson dapat ditunjukkan secara matematis bahwa
waktu antar kedatangan akan terdistribusi sesuai dengan distribusi eksponensial .
P ( T ) = 1 - 0
Keterangan :
-
P ( T ) = Probabilitas dimana waktu antar kedatangan T
= rata rata kedatangan per satuan waktu
t = suatu waktu tertentu
c) Pola Kedatangan
Kedatangan unit truk dalam sistem antrian, untuk beberapa kasus, dapat dikendalikan.
Misalnya kedatangan dikendalikan dengan cara menambah jumlah unit truk untuk mengambil
tanah kali pada jam sepi untuk efisiensi biaya bahan bakar transportasi.
d) Jumlah Unit/ Pelanggan yang Datang
Kedatangan tunggal atau dengan kata lain satu kali kedatangan bisa saja hanya terdiri dari
satu unit. Namun demikian bisa saja dalam satu kali kedatangan terdiri dari banyak unit yang
disebut batch arrivals, misalnya kedatangan truk pada suatu tempat penggalian tanah atas
permintaaan konsumen tertentu.
Sebuah penyedia tanah kali yang menyewakan truk yang dioperasikan oleh satu kelompok yang
terdiri dari tiga orang tenaga kerja. Terjadi antrian truk tetapi di saat lain, petugas yang
mengoperasikan menganggur.
Data yang didaptakan : rata-rata kedatangan 4 truk per jam.
rata-rata pelayanan 5 truk per jam.
biaya sewa truk Rp. 200.000 per jam
upah tenaga kerja Rp. 250.000 per hari
Perusahaan menggunakan 2 kelompok tenaga kerja, sehingga rata-rata pelayanan 12 truk per
jam. Dan 1 harinya 8 jam kerja untuk truk.
Untuk mengatasi masalah tersebut,dilakukan penambahan kelompok tenaga kerja untuk
mengoperasikan mesin.
2.2 Pembahasan
-
Perkiraan prestasi dari sistem antrian dapat digambarkan dengan misalnya : rata-rata jumlah
kedatangan dalam antrian, rata-rata waktu tunggu dari suatu kedatangan dan persentase waktu
luang dari pelayanan. Ukuran prestasi ini dapat digunakan untuk memutuskan jumlah pelayanan
yang harus diberikan, perubahan yang harus dilakukan dalam kecepatan pelayanan atau
perubahan lain dalam sistem antrian. Dengan sasaran pelayanan, jumlah pelayan dapat
ditentukan tanpa berpatokan pada biaya waktu tunggu. Ukuran prestasi dan parameter model
antrian ditentukan dengan notasi sebagai berikut:
= rata-rata kecepatan kedatangan (jumlah kedatangan persatuan waktu) 1/ = rata-rata waktu antar kedatangan
= rata-rata kecepatan pelayanan (jumlah satuan yang dilayani persatuan waktu bila pelayan
sibuk).
1/ = rata-rata waktu yang dibutuhkan pelayan
= faktor penggunaan pelayan (proporsi waktu pelayan ketika sedang sibuk) Pn = probabilita bahwa n satuan (kedatangan) dalam system
Lq = rata-rata jumlah satuan dalam antrian (rata-rata panjang antrian)
Ls = rata-rata jumlah satuan dalam system
Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian
Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistem
Dalam kasus ini antrian yang didasarkan pada asumsi berikut :
1. Satu pelayanan dan satu tahap.
2. Jumlah kedatangan per unit waktu digambarkan oleh Distribusi Poisson dengan = rata-rata kecepatan kedatangan
3. Waktu pelayanan eksponensial dengan = rata-rata kecepatan pelayanan
4. Disiplin antrian adalah first come first served (Aturan antrian pertama datang-pertama dilayani) seluruh kedatangan dalam barisan hingga dilayani,
5. dimungkinkan panjang barisan yang tak terhingga.
6. populasi yang dilayani tidak terbatas
7. rata-rata kedatangan lebih kecil dari rata-rata waktu pelayanan
Dalam asumsi tersebut dapat diperoleh hasil
a. probabilitas fasilitas layanan sibuk atau factor utilisasi fasilitas
1. satu kelompok kerja : = 4/5
Pw = /
-
= 0.8
2. dua kelompok kerja :
= 4/10
= 0.4
3. tiga kelompok kerja :
= 4/15
= 0.267
4. empat kelompok kerja :
= 4/20
= 0.2
5. lima kelompok kerja :
= 4/25
= 0.16
b. Jumlah rata-rata dalam antrian
1. satu kelompok kerja :
= 42/ 5(5-4)
= 3.2
2. Dua kelompok kerja :
= 42/10(10-4)
= 0.267
3. Tigakelompok kerja :
= 42/15(15-4)
= 0.096
4. Empat kelompok kerja :
= 42/20(20-4)
=0.05
5. Lima kelompok kerja :
= 42/25(25-4)
= 0.03
c. Jumlah rata-rata didalam sistem ( yang antri dan yang sedang dilayani)
1. Satu kelompok kerja
= 4/5-4
= 4
2. Dua kelompok kerja
= 4/10-4
= 0.67
3. Tiga kelompok kerja
= 4/15-4
-
= 0.36
4. Empat kelompok kerja
= 4/20-4
= 0.25
5. Lima kelompok kerja
= 4/25-4
= 0.19
d. Waktu rata-rata dalam antrian
1. Satu kelompok kerja :
= 4/5(5-4)
= 0.8
2. Dua kelompok kerja :
= 4/10(10-4)
= 0.067
3. Tiga kelompok kerja :
= 4/15(15-4)
= 0.024
4. Empat kelompok kerja :
= 4/20(20-4)
= 0.0125
5. Lima kelompok kerja :
= 4/25(25-4)
= 0.0076
e. Waktu rata-rata dalam sistem
1. Satu kelompok kerja :
= 1/5-4
= 1
2. Dua kelompok kerja :
= 1/10-4
= 0.167
3. Tiga kelompok kerja :
= 1/15-4
= 0.09
4. Empat kelompok kerja :
= 1/20-4
= 0.0625
5. Lima kelompok kerja :
= 1/25-4
-
= 0.0476
-
Perbandingan penggunaan kelompok tenaga kerja
1
kelompok
2
kelompok
3
kelompok
4
kelompok
5
kelompok
Rata-rata jumlah truk dalam
antrian
3.2 0.267 0.096 0.05 0.03
Rata-rata jumlah truk dalam
sistem
4 0.67 0.36 0.25 0.19
Rata-rata waktu truk dalam
antrian
0.8 0.067 0.024 0.0125 0.0076
Rata-rata waktu truk dalam
sistem
1 0.167 0.09 0.0625 0.0476
Probabilitas fasilitas 0.8 0.4 0.267 0.2 0.16
Biaya total penggunaan berdasarkan banyak kelmpok kerja
1. Satu kelompok kerja :
Biaya truk per hari = 4 x 8 jam x Rp 250.000
= Rp 8.000.000
Biaya tenaga kerja perhari = 3 x Rp. 200.000
= Rp 600.000
Biaya total = Rp 8.600.000
2. Dua kelompok kerja :
Biaya truk per hari = 0.67 x 8 jam x Rp. 250.000
= Rp. 1.333.000
Biaya tenaga kerja per hari = 6 x Rp. 200.000
= Rp. 1.200.000
-
Biaya total = Rp. 2.533.000
3. Tiga kelompok kerja :
Biaya truk per hari = 0.36 x 8 jam x Rp. 250.000
= Rp. 720.000
Biaya tenaga kerja per hari = 9 x Rp. 200.000
= Rp. 1.800.000
Biaya total = Rp. 2.520.000
4. Empat kelompok kerja :
Biaya truk per hari = 0.25 x 8 jam x Rp. 250.000
= Rp. 500.000
Biaya tenaga kerja per hari = 12 x Rp. 200.000
= Rp. 2.400.000
Biaya total = Rp. 2.900.000
5. Lima kelompok kerja :
Biaya truk perhari = 0.19 x 8jam x Rp. 250.000
= Rp. 380.000
Biaya tenaga kerja per hari = 15 x Rp. 200.000
= Rp. 3.000.000
Biaya total = Rp. 3.380.000
Biaya truk Biaya tenaga kerja Biaya total
Satu kelompok Rp. 8.000.000 Rp. 600.000 Rp. 8.600.000
Dua kelompok Rp. 1.333.000 Rp. 1.200.000 Rp. 2.533.000
Tiga kelompok Rp. 720.000 Rp. 1.800.000 Rp. 2.520.000
-
Empat kelompok Rp. 500.000 Rp. 2.400.000 Rp. 2.900.000
Lima kelompok Rp. 380.000 Rp. 3.000.000 Rp. 3.380.000
-
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Pola distribusi Poiison digunakan dalam antrean di mana kedatangan pelanggan cenderung
mengelompok seperti data survey yang kami dapatkan. Penggunaan pola distribusi Poisson dapat
mengurangi biaya , waktu, dan tenaga yang dikeluarkan dalam suatu pola antrean yang banyak.
Lampiran
Data Kedatangan Truk Data Pelayanan Truk Truk ke Jam Kedatangan Truk ke Jam Selesai Pelayanan Dilayani Oleh
1 8.15 1 8.42 kelompok 1
2 8.33 2 8.51 kelompok 2
3 8.47 3 9.12 kelompok 1
4 8.58 4 9.28 kelompok 2
5 9.14 5 9.39 kelompok 1
6 9.27 6 9.47 kelompok 2
7 9.44 7 9.55 kelompok 1
8 9.55 8 10.22 kelompok 2
9 10.05 9 10.33 kelompok 1
10 10.26 10 10.51 kelompok 2
Daftar Pustaka
queuing-bcit.blogspot.com/
en.wikipedia.org/wiki/Queueing_theory