tugas translate chapter12 lagrangian and hamiltonian

Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian

DENDY SITI KAMILAH

1


12.1 PENDAHULUAN

Dalam bab-bab sebelumnya, kami jelas menunjukkan dan menetapkan pentingnya hukum

Newton. Dengan menggunakan hukum kedua Newton dan kondisi awal yang diberikan, kami mampu

mendapatkan persamaan gerak dari sistem tertentu dan menggambarkan gerak sistem. Hukum Newton

dapat digunakan hanya jika semua gaya yang bekerja pada sistem yang diketahui, yaitu kondisi dinamis

yang dikenal. Selain itu, kami menggunakan koordinat persegi panjang, dengan penggunaan sesekali

polar, silinder, atau koordinat bola.

Dalam kebanyakan situasi, masalahnya tidak sesederhana itu untuk memecahkan dengan cara

dinamis dan kondisi awal, misalnya, massa yang dibatasi untuk bergerak pada permukaan bola atau

manik yang meluncur pada sebuah kawat. Dalam situasi ini, tidak hanya bentuk yang tidak diketahui

kendala membuat masalah sulit untuk memecahkan, tetapi menggunakan empat persegi panjang atau

lainnya yang biasa digunakan Koordinat dapat membuat tidak mungkin untuk mengatasi masalah itu

(bahkan jika gaya kendala yang dikenal). Dua metode yang berbeda, persamaan Lagrangangian dan

persamaan Hamilton, telah dikembangkan untuk menangani masalah tersebut. Kedua teknik ini bukan

hasil dari teori-teori baru. Mereka berasal dari hukum kedua Newton dan mereka menawarkan banyak

kemudahan dalam menangani masalah yang sangat sulit yang bersifat fisik. Pertama, teknik ini

menggunakan koordinat umum. Artinya, bukan dari yang terbatas pada penggunaan koordinat persegi

panjang atau kutub dan sejenisnya, kuantitas apapun yang cocok, seperti kecepatan, momentum linier,

momentum sudut, atau (panjang)2, yang digunakan dalam memecahkan masalah. Koordinat umum

tersebut biasanya dilambangkan dengan qK, di mana q1 mungkin v, q2 mungkin x, q3 mungkin sudut ,

dan seterusnya. Selanjutnya, teknik ini menggunakan pendekatan energi, memiliki keuntungan utama

berurusan dengan skalar, bukan vektor. Kita akan membahas ini secara rinci dalam bagian berikut. Kita

mungkin menyebutkan secara singkat perbedaan antara Lagrange dan metode Hamilton. Dalam

formalisme Lagrange koordinat umum digunakan adalah posisi dan kecepatan, sehingga persamaan

diferensial linear orde kedua. Di Hamilton formalisme koordinat umum digunakan adalah posisi dan

momentum, sehingga diferensial linear orde pertama persamaan. Metode ini tidak hanya membantu

dalam memecahkan persamaan gerak menggambarkan sistem, tetapi juga dapat digunakan untuk

menghitung kendala dan gaya reaksi.

12.2 KOORDINAT UMUM DAN KENDALA

Untuk menemukan posisi partikel, kita membutuhkan tiga koordinat. Koordinat ini bisa Cartesian

koordinat x, y, dan z, silinder koordinat r, , dan z, bulat koordinat r, , dan f, atau tiga koordinat lain

yang cocok. Jika ada beberapa batasan atau kendala terhadap mosi partikel, kita membutuhkan kurang

dari tiga koordinat. Misalnya, jika partikel dibatasi untuk bergerak pada permukaan pesawat, hanya dua

koordinat yang cukup, sedangkan jika partikel tersebut dibatasi untuk bergerak dalam garis lurus, hanya

satu koordinat sudah cukup untuk menggambarkan gerakan partikel.


DENDY SITI KAMILAH

2

Mari kita mempertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari N partikel. Untuk menentukan

posisi seperti sistem pada waktu tertentu, kita perlu N vektor, sementara setiap vektor dapat

digambarkan oleh tiga koordinat. Dengan demikian, secara umum, kita perlu 3N koordinat untuk

menggambarkan suatu sistem mekanik yang diberikan. Jika ada kendala, jumlah koordinat yang

diperlukan untuk menentukan sistem akan berkurang. Sebagai contoh, misalkan sistem adalah tubuh

yang kaku, dan seperti yang kita tahu, jarak antara partikel yang berbeda adalah tetap. Ini jarak tetap

dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan. Seperti yang kita dijelaskan dalam Bab 9, tubuh kaku dapat

sepenuhnya dijelaskan oleh hanya enam koordinat, yaitu, hanya enam koordinat diperlukan untuk

menentukan konfigurasi yang kaku tubuh sistem. Dari enam, tiga koordinat memberikan posisi beberapa

titik acuan yang nyaman di tubuh, biasanya pusat massa sehubungan dengan asal beberapa sistem

koordinat yang dipilih, dan sisanya tiga koordinat menggambarkan orientasi tubuh dalam ruang.

Kami tertarik untuk menemukan jumlah minimum koordinat diperlukan untuk menggambarkan

system N partikel. Biasanya, kendala pada setiap sistem yang diberikan dijelaskan dengan cara

persamaan. Misalkan ada sejumlah m persamaan seperti yang menggambarkan kendala. Minimum

jumlah koordinat, n, harus benar-benar menggambarkan gerakan atau konfigurasi dari sistem tersebut

pada waktu tertentu diberikan oleh

(12.1)

Dimana n adalah jumlah derajat kebebasan dari sistem. Hal ini tidak perlu bahwa n ini koordinat

harus persegi panjang, silinder, atau koordinat lengkung lainnya. Sebagai soal Bahkan, n bisa setiap

parameter, seperti panjang, (panjang)2, sudut, energi, berdimensi kuantitas, atau kuantitas lainnya,

asalkan benar-benar menggambarkan konfigurasi sistem. Itu Nama umum koordinat diberikan untuk

setiap set jumlah yang benar-benar menggambarkan keadaan atau konfigurasi sistem. Koordinat umum

n ini lazim ditulis sebagai

q1, q2, q3, . . . qn (12.2a)

atau qk, dimana k= 1,2, 3 . . . . n (12, 2b)

Koordinat umum n ini tidak dibatasi oleh kendala. Jika setiap koordinat dapat bervariasi

independen yang lain, sistem ini dikatakan holonomic. Dalam sistem nonholonomic, yang koordinat tidak

bisa bervariasi secara independen. Oleh karena itu dalam sistem tersebut jumlah derajat kebebasan

adalah kurang dari jumlah minimum yang diperlukan untuk menentukan koordinat konfigurasi sistem.

Sebagai contoh, bola dibatasi untuk menggulung pada permukaan pesawat sempurna kasar kebutuhan

hanya lima koordinat untuk menentukan konfigurasi, dua untuk posisi pusat massa dan tiga untuk

orientasi. Tapi lima koordinat tidak bisa semua bervariasi secara independen. Ketika gulungan bola,

setidaknya dua koordinat harus berubah. Oleh karena ini adalah sistem nonholonomic. Itu investigasi dan

deskripsi sistem nonholonomic terlibat dan tidak akan dipertimbangkan di sini. Kita akan membatasi diri

pada pembahasan sistem holonomic untuk sementara waktu.

Satu set cocok koordinat umum dari sebuah sistem adalah yang menghasilkan persamaan gerak

yang mengarah ke interpretasi mudah gerak. Ini qn bentuk koordinat umum ruang konfigurasi, dengan

setiap dimensi diwakili oleh koordinat qK. Jalur system diwakili oleh kurva dalam ruang konfigurasi. Jalan

di ruang konfigurasi tidak meminjamkan dirinya untuk interpretasi yang sama sebagai jalur dalam ruang


DENDY SITI KAMILAH

3

tiga dimensi biasa. Di analogi dengan koordinat Cartesian, kita dapat menentukan turunan dari qk yang

�̇�1, �̇�2 . . , Atau �̇�k sebagai kecepatan umum.

Mari kita mempertimbangkan partikel tunggal yang koordinat persegi panjang x, y, dan z adalah

fungsi dari umum koordinat q1, q2, dan q3, yaitu

(12.3)

Misalkan perubahan sistem dari konfigurasi awal yang diberikan oleh (qh q2, q3) ke lingkungan

Konfigurasi yang diberikan oleh (qx + 8QU q2 + sq2, q3 + 8q3). Kita dapat mengekspresikan sesuai

perubahan dalam koordinat Cartesian oleh hubungan berikut:

(12.4)

dengan ekspresi yang sama untuk y dan z, dimana n adalah sama dengan tiga dan derivatif parsial x/

xK, .. . adalah fungsi dari q itu. Nilai n tergantung pada derajat kebebasan. Sebagai contoh, jika tidak ada

kendala, m = 0, dan dari Persamaan. (12.1) untuk N = 1, n = 3, karena kami telah menggunaka di atas, n

akan kurang dari 3 jika ada kendala pada sistem.

Mari kita mempertimbangkan kasus yang lebih umum di mana sistem mekanis terdiri dari

sejumlah besar partikel yang memiliki derajat kebebasan n. Konfigurasi sistem yang ditentukan oleh

umum koordinat q1, q2, . . qn. Misalkan konfigurasi perubahan sistem dari (q1, q2, . . qn) ke konfigurasi

baru {q1 + q1 . q2 + q2,. . . , qn + qn). Koordinat kartesian partikel i berubah dari (xi, yi zi) ke (xi + Xiyi +

yi zi, + zi). pemindahan ini Xi, Yi dan zi dapat dinyatakan dalam hal umum koordinat qk sebagai

(12.5)

dengan ekspresi yang sama untuk yi dan zi. Sekali lagi turunan parsial adalah fungsi dari umum

koordinat qk.

Hal ini penting pada saat ini untuk membedakan antara dua jenis pemindahan: yang sebenarnya

perpindahan dri dan virtual (tidak dalam kenyataannya atau nama) perpindahan ri. Misalkan massa mi

yang bertindak oleh gaya eksternal Fi dan menyebabkan massa mi bergerak dari ri ke ri + dri dalam waktu

Interval dt. Perpindahan ini harus konsisten dengan kedua persamaan gerak dan persamaan kendala

yang menggambarkan sistem ini secara massal, maka perpindahan tersebut sebenarnya perpindahan. Di

sisi lain, perpindahan virtual konsisten dengan persamaan dari kendala tetapi tidak memenuhi

persamaan gerak atau waktu. Misalnya, bob pendulum panjang mungkin dipindahkan dari (, ) untuk

(, + ) dalam setiap interval waktu sewenang-wenang selama sebagai bob tetap pada busur lingkaran

dengan jari-jari . Dengan demikian ri dan qi adalah perpindahan virtual. Kita akan memanfaatkan

prinsip kerja virtual di bawah ini. Kami akan menyebabkan maya perpindahan ri sehingga maya W

kerja. Pada dasarnya, dalam pemindahan tersebut, relative orientasi dan jarak antara partikel tetap tidak

berubah.


DENDY SITI KAMILAH

4

12.3 GAYA UMUM

Partikel Tunggal

Pertimbangkan gaya F yang bekerja pada satu partikel bermassa m dan menghasilkan

perpindahan maya r partikel. Usaha yang dilakukan W dengan gaya ini diberikan oleh

(12.6)

di mana Fx, Fy, dan Fz adalah komponen persegi panjang F. Kita dapat mengekspresikan perpindahan x,

y, dan zin hal qk koordinat umum. Memanfaatkan Pers. (12.4) dan (12.6), kita dapat menulis

(12.7)

Dimana

(12.8)

Qk disebut gaya umum terkait dengan koordinat umum qK. dimensi dari Qk tergantung pada

dimensi qK. Dimensi Qk qk adalah kerja. Jika terjadi kenaikan qK memiliki dimensi jarak, Qk akan

memiliki dimensi jara, jika Qk memiliki dimensi sudut , Qk akan memiliki dmensions torsi . Ini

mungkin menunjukkan bahwa kuantitas QK dan jumlah x, y, dan z disebut perpindahan virtual sistem

karena tidak perlu bahwa pemindahan tersebut mewakili pemindahan sebenarnya.

Sistem Partikel

Mari kita menerapkan ide-ide sebelumnya untuk kasus umum dari sistem yang terdiri dari N

partikel bertindak oleh gaya Fi = (i = 1, 2, … , N). Total kerja yang dilakukan W untuk sebuah r

perpindahan virtual, system adalah

(12.9)

Sekali lagi, mengekspresikan perpindahan virtual dalam hal koordinat umum, menggunakan Persamaan.

(12.5), kita mendapatkan

(12.10a)

Bertukar urutan penjumlahan, kita mendapatkan

(12.10b)

atau

(12.11)


DENDY SITI KAMILAH

5

Dimana

(12.12)

Qk disebut gaya umum yang terkait dengan koordinat umum qk. Sekali lagi, dimensi gaya umum Qk

tergantung pada dimensi qk tapi produk Qk qk selalu bekerja.

Sistem Konservatif

Mari kita menuliskan ungkapan gaya umum yang konservatif. Misalkan seorang konservatif

medan gaya diwakili oleh fungsi potensial V = V (x, y, z). Komponen persegi panjang dari gaya yang

bekerja pada sebuah partikel diberikan oleh

(12.13)

Persamaan Qk untuk gaya umum yang diberikan oleh pers. (12.8) menjadi

(12.8)

Ekspresi dalam tanda kurung adalah turunan parsial dari fungsi V sehubungan dengan qk. Artinya,

(12.14)

Ini mengungkapkan hubungan antara gaya umum dan potensi mewakili konservatif System

Perhatikan gerak partikel bermassa m bergerak dalam pesawat. Menggunakan pesawat

koordinat polar (r, ) sebagai koordinat umum, menghitung (a) perpindahan x dan y, dan (b) gaya

umum untuk partikel bertindak dengan gaya

Solusi

Karena koordinat kutub pesawat (r, ) adalah koordinat umum


DENDY SITI KAMILAH

6

(a) perubahan dalam koordinat Cartesian adalah

(b) Dari definisi umum,

kita dapatkan

LATIHAN 12.1 Pertimbangkan gerak sebuah partikel bermassa m bergerak di angkasa. Menggunakan

umum koordinat (r, , z), menghitung (a) perpindahan x, y, dan z, dan (b) gaya umum untuk

partikel bertindak dengan gaya

12.4 PERSAMAAN LAGRANGE GERAK UNTUK SATU PARTIKEL

Kami tertarik dalam menggambarkan gerak sebuah partikel tunggal dengan cara persamaan

ditulis dalam hal koordinat umum. Hal ini membawa kita untuk persamaan Lagrange. Kita bisa mulai

dengan Hukum kedua Newton, F = ma. Tapi lebih mudah untuk memulai dengan ekspresi untuk energi

kinetic T dalam hal koordinat Cartesian dan kemudian menulis Tin hal koordinat umum. (Catatan bahwa

kita menggunakan T bukannya K untuk energi kinetik.) Mari x, y, dan z menjadi koordinat Cartesian,

sementara q1, q2, … , qn adalah koordinat umum. Energi kinetik partikel dalam Cartesian koordinat adalah

(12.15)

Karena (12.16)

Sama seperti (12.17)


DENDY SITI KAMILAH

7

kita dapat mengevaluasi dalam qk dengan prosedur berikut:

(12.18)

Dengan demikian kita dapat menggambarkan berbagai komponen kecepatan dalam hal koordinat umum

qk dan umum kecepatan ; yaitu,

(12.19)

Kita sekarang dapat menulis persamanaan (12.15) untuk energy kinetic sebagai

(12.20)

Mengambil turunan yang berhubungan dengan kecepatan umum �̇�k

(12.21)

Gunakan persamaan (12.18), kita bisa menuliskan

(12.22)

Perhatikan bahwa x/qk adalah koefisien �̇�k dalam ekspresi �̇� dalam persamaan (12.18) substitusikan ini

dan ekspresi yang sama untuk istilah lain dalam Pers. (12.21),

(12.23)

Sekarang membedakan kedua sisi dari persamaan ini terhadap t:

(12.24)

Untuk menyederhanakan tiga istilah terakhir di sisi kanan, kita menggunakan fakta bahwa d/dt dan /qk

adalah yang dapat dipertukarkan

(12.25)


DENDY SITI KAMILAH

8

Dengan demikian istilah keempat di sebelah kanan persamaan. (12.24) dapat ditulis sebagai

(12.26)

dengan ekspresi yang sama untuk istilah lain. Juga mencatat bahwa

(12.27)

Menggabungkan Pers. (12,25) dan (12,26) dengan Persamaan. (12.24), kita memperoleh

(12.28)

Menggunakan definisi gaya umum dan energi kinetik yang diberikan oleh Pers. (12.8) dan (12,20),

(12.8)

(12.20)

pada persamaan (12.28), memberikan

(12.29)

Persamaan diferensial ini dalam koordinat umum menggambarkan gerak partikel dan dikenal sebagai

persamaan Lagrange gerak.

Persamaan Lagrange mengambil bentuk yang lebih sederhana jika gerakan berada dalam medan

gaya konservatif sehingga

(12.30)

yang pada mengganti dalam Pers. (12.29) menghasilkan

(12.31)

Mari kita mendefinisikan fungsi Lagrangian L sebagai perbedaan antara energi kinetik dan potensial

energi, yaitu,

(12.32)

Hal ini penting untuk mengetahui bahwa, jika V adalah fungsi dari koordinat umum dan bukan dari yang

umum kecepatan, maka

(12.33)

[Jika V tidak terlepas dari kecepatan q, maka V = V (q, q) akan menyebabkan gaya tensor, yang kita tidak

akan membahas di sini.] Jadi kita dapat menulis


DENDY SITI KAMILAH

9

Subsitusikan hasil ini pada persamaan (12.31), menghasilkan

(12.34)

Dimana persamaan Lagrange menggambarkan gerak partikel dalam medan gaya konservatif.

Untuk memecahkan persamaan ini, kita harus mengetahui fungsi Lagrangian L dalam umum yang sesuai

koordinat. Karena energi adalah kuantitas skalar, Lagrangian L adalah fungsi skalar. Demikian Lagrangian

L akan invarian terhadap transformasi koordinat. Ini berarti bahwa Lagrangian memberikan deskripsi

yang sama dari sistem dalam kondisi tertentu tidak peduli yang koordinat umum digunakan. Jadi Pers.

(12.34) menggambarkan gerakan partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif dalam hal

apapun koordinat umum. Pertimbangkan sebuah partikel bermassa m bergerak dalam pesawat dan

tunduk pada gaya yang menarik kuadrat terbalik. Cari persamaan gerak dan ekspresi bagi gaya umum.

Larutan Biarkan pesawat koordinat polar (r, ) menjadi koordinat umum untuk digunakan dalam masalah

ini. Kutub koordinat (r, ) dan koordinat Cartesian (x, y) terkait dengan

x = r cos dan y = r sin (i)

Menggunakan hubungan ini, kita memperoleh ungkapan berikut untuk energi kinetik dan potensial:

(ii)

(iii)

Dengan demikian Lagrangian di koordinat (r, ) adalah

(iv)

Pada persamaan Lagrangian

Mari kita subsitusi q1 = r dan q2 = , sehingga

(v)

Dan (vi)

Dari persamaan (iv)

Dan


DENDY SITI KAMILAH

10

Subsitusikan ini ke persamaan (v), kita dapatkan

(vii)

Karena partikel bergerak dalam bidang konservatif, kita dapat menulis

(viii)

Dan kita ambil persamaan (vii) untuk, F(r) = Fr

(ix)

Sekali lagi dari persamaan (iv)

Dan

Oleh karena itu Persamaan Lagrange [Eq. (vi)] mengambil bentuk

(x)

Atau (xi)

dimana J, yang dapat diidentifikasi sebagai momentum sudut, adalah konstan. Artinya, integrasi

Persamaan (xi) hasil

= Konstan (xii)

Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa dalam medan gaya konservatif momentum sudut J adalah

konstanta gerak. Juga, seperti dari contoh sebelumnya,

Qr = Fr dan Q = r F

kita mungkin tiba di berikut menggunakan Persamaan. (12.33),

(xiii)

(xiv)

Maka,

Dan

Dimana Q = adalah torsi dan sama dengan nol.

LATIHAN 12.2 Ulangi contoh untuk kasus gaya kuadrat terbalik menjijikkan. Bagaimana situasi dalam

latihan ini berbeda dengan yang ada dalam contoh?


DENDY SITI KAMILAH

11

Contoh 12.3

Pertimbangkan mesin Atwood terdiri dari katrol tunggal momen inersia terhadap suatu sumbu melalui

pusatnya dan tegak lurus terhadap pesawat tersebut. Panjang tali inextensible menghubungkan dua

massa dan akan lebih dari katrol adalah . Hitung percepatan sistem.

Solusi

Misalkan x adalah jarak vertikal variabel dari katrol untuk m1 massa sedangkan m2 massa di kejauhan -

X dari katrol, seperti ditunjukkan pada Gambar. Contoh 12.3. Jadi hanya ada satu derajat kebebasan x

yang mewakili konfigurasi sistem. Kecepatan dari dua massa dan kecepatan sudut dari disk dapat ditulis

sebagai

(i)

Gambar Contoh 12.3

Dan , dimana (ii)

demikian, total energi kinetik dari sistem adalah

(iii)

sedangkan energi potensial dari sistem ini adalah

(iv)

System Lagranian adalah

Hanya ada satu derajat kebebasan, yang merupakan umum koordinat q = x. Persamaan Lagrange adalah

(vi)

Dari peresamaan (v)


DENDY SITI KAMILAH

12

Dan

Subsitusikan ini ke persamaan (vi), persamaan Lagranian menjadi

Jika

Jika m1 > m2 , massa m1 turun dengan percepatan konstan

Jika m1 > m2 , massa m1 Jika m1 > m2 , massa m1 naik dengan percepatan konstan

Contoh 12.3 Pertimbangkan mesin Atwood ganda, seperti ditunjukkan pada Gambar. Exer. 12.3. Dengan

asumsi gesekan puli, yaitu I1 = I2 = 0, menghitung percepatan massa. Asumsikan dua derajat kebebasan

X1 dan x2, seperti yang ditunjukkan.

Gambar contoh 12.3

Latihan 12.4 Pertimbangkan mesin Atwood dibahas dalam Contoh 12.3. Asumsikan bahwa katrol

adalah gesekan, dan menghitung ketegangan S dalam tali, seperti ditunjukkan pada Gambar. Ex. 12.4.

Gambar contoh 12.4


DENDY SITI KAMILAH

13

Solusi

Dalam Contoh 12.3, sementara membahas mesin Atwood, kami hanya tertarik pada gerakan sistem;

maka koordinat dibatasi untuk memiliki nilai konstan. Untuk menemukan ketegangan dalam tali,

panjang harus disertakan sebagai koordinat. Karena katrol adalah gesekan, tidak ada energi kinetik

rotasi. Oleh karena itu ekspresi untuk energi kinetik diberikan oleh

(i)

Dua gaya yang bekerja pada sistem adalah ketegangan S dalam tali dan gaya gravitasi, seperti yang

ditunjukkan. Itu kerja yang dilakukan ketika x meningkat menjadi x + Sx, sementara tetap konstan,

membandingkan dengan

kita dapatkan

Pekerjaan dilakukan ketika meningkat menjadi + 1, sedangkan x tetap konstan, adalah

bandingkan dengan

kita dapatkan

Perhatikan bahwa umum gaya Qx tidak mengandung S, sementara g, tergantung pada S. Untuk

memecahkan S, kita harus memecahkan berikut dua persamaan Lagrange.

Persamaan Lagrangian untuk koordinat x dan 1, diberikan oleh Persamaan. (12.29), dan umum gaya

yang diberikan oleh Pers. (Ii) dan (iii), adalah

Kami memecahkan persamaan dengan menggantikan T dan menyederhanakan

Subsitusi untuk v1=0 dan a1=0, kita dapat dua hasil persamaan

Kita pecahkan persamaan (vi) dan (vii) untuk S dan ax, seperti berikut


DENDY SITI KAMILAH

14

Diberikan

Didapatkan

Nilai S diberikan oleh Persamaan. (viii), sedangkan nilai x dihitung dari Persamaan. (ix), sebagai

ditunjukkan di bawah ini

Biarkan ax = (vf - VO)/tl, danmenggunakan ini dalam

Persamaan. (ix) kita mendapatkan

Diintegralkan dari x0 sampai x dan t0 sampai t

Kami mendapatkan perpindahan x sebagai

LATIHAN 12.4 Ulangi contoh asumsi bahwa katrol tidak gesekan dan bahwa ia memiliki sesaat inersia I

tugas translate chapter12 lagrangian and hamiltonian

Documents