turma a1 sala nt 03 data 03 de dezembro de 2015 -...
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Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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GOVERNO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO
CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA
PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA
Matemática Aplicada a ADM – 2015.2
Discente ___________________________________________CPF
Turma A1 – Sala NT 03 – Data 03 de Dezembro de 2015
Limites e Continuidade
A importância do estudo de Limite
O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e
integrais. Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as
definições rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de
limite é trabalhada geometricamente por meio de sequências e pela análise do gráfico de uma
função. A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na
compreensão e, consequentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no
campo das ciências que lidam com a Matemática.
O Cálculo Diferencial e Integral é uma um ramo da matemática, toda ela,
fundamentada no conceito de limite. O conceito de limite de uma função f é uma das ideias
fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um
físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na
verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é
experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os
valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela
seria igual ao valor L. Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada
por f(x), então podemos representar esse resultado por:
Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de
fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que
possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, economia, psicologia, biologia
engenharia entre outras.
Lxfx
)( lim0
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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Breve Histórico
Uma preocupação já presente, entre os gregos antigos consistia na busca de
procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de
transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos
dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de reta
ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas
de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou
indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do
círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com número
cada vez maior de lados, de acordo com a sequência de figuras apresentada a seguir.
Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos
isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura
convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da sequência em questão.
Introdução
Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que
pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado.
Exemplos
01. Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele
estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.
02. Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta.
03. No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de
combustível necessário para que a aeronave entre em órbita.
...
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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04. Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais
potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha
que x meses a partir de agora, o preço de certo modelo seja de
(u.m.).
a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45.
b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1.
c) Quando o preço será de $ 43 u.m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses.
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x )? Resp.: P(x) $ 40 quando x .
5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de
milhares.
a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: P(9) = 194/10 milhares.
b) De quanto à população crescerá durante o 90 ano? Resposta P(9) – P(8) = 67 habitantes.
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resp. Aprox. 20 mil/ha.
PS: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido,
mas do qual se pode aproximar tanto quanto se desejar.
Conceito de limite:
Exemplos
01. Inicialmente, vamos tomar a função f: , definida por y = f(x) = x – 2 e determinar o
valor de f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2.
Atribuindo a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez
mais de 2 pelo lado esquerdo, é possível determinar os valores de f(x),
conforme ilustra o quadro ao lado:
Percebe-se que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os
valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero).
x f(x)
1 -1
1,5 -0,5
1,8 -0,2
1,9 -0,1
1,99 -0,01
1,999 -0,001
1,9999 -0,0001
1,99999 -0,00001
1,999999 -0,000001
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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Por outro lado, atribuindo-se a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez mais
de 2, pelo lado direito, é possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no
seguinte quadro:
Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que
os valores de x aproximam-se de 2 (dois).
Graficamente, usando o software Graphmatica
, temos:
Neste caso, escrevemos em linguagem matemática:
0)(lim)(lim)(lim222
xfxfxfxxx
Lê-se: Limites laterais de f(x) são iguais ao limite de f(x), quando x tende para 2 e é igual a 0.
02. Tomemos a função .3
9)(
2
x
xxf Suponha que estejamos interessados em saber de que
valor se aproxima f(x) quando x se aproxima de 3.
Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3.
Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se
aproxima de 6. Note que nos aproximamos de x por valores
menores do que 3.
Matematicamente, representamos esta situação por:
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis).
6)( lim-3
xfx
x f(x)
3 1
2,5 0,5
2,3 0,3
2,1 0,1
2,01 0,01
2,001 0,001
2,0001 0,0001
2,00001 0,00001
2,000001 0,000001
x f(x)
2,5 5,5
2,8 5,8
2,9 5,9
2,99 5,99
2,999 5,999
2,9999 5,9999
... ...
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3.
Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do
que 3, mais f(x) se aproxima de 6.
Matematicamente, representamos esta situação por
6)( lim3
xfx
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis).
Estes limites, são chamados limites laterais.
O limite de uma função existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais.
Simbolicamente:
LxfxfLxfaxaxax
)(lim)(lim)(lim
Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que:
6)(lim3
xfx 6)(lime 6)(lim pois,
33
xfxf
xx
Limites laterais: São obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de f(x),
quando x tende a 2 pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que x (limite de
f(x), quando x tende a 2 pela direita).
Exemplos
01. Analisar a função f: , definida por 1
1)(
2
x
xxfy , quando x
tende (aproxima-se) para 1.
Atribuindo valores para x, pode-se construir um quadro e em seguida,
fazendo o esboço do gráfico, lembrando que }1/{)( xxfDom
(Dom = domínio, ou seja, valores que são possíveis de serem atribuídos
a variável independente x).
x f(x)
3,4 6,4
3,2 6,2
3,1 6,1
3,01 6,01
3,001 6,001
3,0001 6,0001
... ...
x
1
12
x
xy
-1 0
0 1
0,9999 1,9999
1 Não existe
1,0001 2,0001
2 3
3 4
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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Graficamente, usando o software Graphmatica
, temos
Observe no gráfico, o que ocorre com as imagens
das sequencias cujos valores se aproximam de 1.
As imagens se aproximam de 2. Portanto, neste
caso, escrevemos:
2)(lim)(lim)(lim111
xfxfxfxxx
Perceba que o limite dessa função para x tendendo
a 1 existe, embora a função não esteja definida no
ponto x = 1.
De forma genérica, escrevemos: Lxfax
)(lim
De acordo com os exemplos apresentados anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma
função f, quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a,
o valor de f(a) é irrelevante.
Nota:
L
Lxf
LxfLxf
ax
ax
ax,
)(lim
)(lim)(lim
02. O gráfico a seguir representa uma função f de ]9 ,6[ em . Determine:
a) )2(f = b) )(lim2
xfx
=
c) )(lim2
xfx
= d) )(lim2
xfx
=
e) )2(f = f) )7(f =
Solução: a) 3)2( f b)
)(lim2
xfx
2 c)
)(lim2
xfx
5 d) Não existe o limite pedido,
pois: )(lim2
xfx
)(lim2
xfx
e) 0)2( f f) 0)7( f
Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f.
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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03. Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. À medida que o gás é
comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa
pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine:
a) Vp 100lim b) V
p 100lim c) V
p 100lim
Solução:
a) Vp 100lim = 0,8
b) Vp 100lim = 0,4
c) Não existe o limite pedido, pois:
Vp 100lim V
p 100lim
Continuidade em Aplicações
Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de
importantes fenômenos físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o
tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no
instante t = t0 (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o
gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque
com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As descontinuidades ocorrem nos
momentos em que acontece o reabastecimento.
Figura 1 Figura 2
Lista de Exercícios
01. Seja a função f: *, definida por
||)(
x
xxf . Esboce o gráfico de f e calcule )(lim
0xf
x.
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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02. Seja f a função racional definida por )2(
)2()12()(
x
xxxf . Esboce o gráfico de f e
calcule )(lim2
xfx
. Dica: Inicialmente, explicite o domínio de f.
03. Dada a função f definida por:
1,2
1,2
1,4
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf . Esboce o gráfico de f e calcule o
seu limite quando x tende a 1.
04. Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia
executou um experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um
labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o
labirinto na enésima tentativa era de aproximadamente n
nf12
3)( minutos.
a) Para que valores de n a função f ( n ) tem significado no contexto do experimento
psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo )Z( *
b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7
minutos
c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos?
Resposta: 12a tentativa
d) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para
atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia
capaz de atravessar o labirinto em menos de 3 minutos?
Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 min.
05. Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas
adquiridas pelo comprador através da equação x
xP200
50)( , em que P(x) é o preço em
dólares por saca e x é o número de sacas vendidas.
a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 (cem) sacas?
b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 (duzentas) sacas?
c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou?
d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x )?
Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) $ 50 quando x
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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06. O gráfico a seguir representa uma função f de ]2 ,4[ em . Determine:
a) )1(f = b)
)(lim1
xfx
c)
)(lim1
xfx
Resposta:
a) 5)1( f b) 3 c) 5
07. Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um
medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do
medicamento presente na corrente sanguínea após t horas é exibida na figura a seguir.
Determine e interprete:
a) )(lim8
tft
b) )(lim8
tfp
Resposta:
a) 150 b) 250 Interpretação: Não existe limite.
08. O gráfico a seguir representa uma função f de [4 ,3[ em . Determine:
a) )1(f = b)
)(lim1
xfx
c)
)(lim1
xfx
Resposta:
a) 4)1( f b) -2 c) 4
09. Se a equação horária de uma partícula é ,16)( 2 ttts determine:
a) A velocidade média no intervalo de tempo [2; 2,1].
b) A velocidade instantânea da partícula no instante t = 2.
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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Propriedades dos Limites
A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites
sem utilizar a pesquisa do número que aparece na definição de limite.
Sejam a e números reais quaisquer, então ccax
lim isto é o limite de uma constante é a
própria constante.
Se são números reais, então: bmabmxax
)(lim
.
Se ,)(lim e )(lim
MxgLxfaxax
então:
a) )]()([lim
MLxgxfax
b) )]()([lim
MLxgxfax
c) 0M que desde M
L=
)(
)(lim
xg
xf
ax
d) n) positivo inteiro p/ ( )(lim
nn
axLxf
e) par n p/ 0 L que desde ,)(lim
nn
axLxf
f) 0 L que desde , .ln)(ln lim
Lxfax
g) )( cosf(x) cos lim
Lax
h) )( f(x)sen lim
Lsenax
i) lim )(
Lxf
axee
Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: )()(lim
afxfax
.
Exemplos:
01. Calcule )15(lim 2
2
xx
x512522
02. Calcule
2>xse ,x
2xse 3x, sendo)(lim
22 xf
x .
Solução: Se 623)(lim 22 x
xfx . Por outro lado, 42)(lim2>x 2
2 x +
xf .
Portanto, não existe o limite.
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de
limites.
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
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Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então:
)()(lim aqxqax
Exemplos
01. Calcule 76
125lim
2
3
x
xx
x
Solução
11
73
11
40
736
13235
76
125lim
22
3
x
xx
x
02. Calcular 3 2
5 943lim
xx
x
Solução:
464 9+20-75 =943lim943lim 333
2
5
3 2
5
xxxx
xx
Em resumo
Sejam f e g funções tais que: 2px
1px
L)x(flim e L)x(flim
então:
1) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxfpxpxpx
, ou seja, o limite da soma é igual a soma
dos limites.
2) )(lim.)(lim 1 xfkLkxfkpxpx
3) )x(glim)x(flim LL)]x(g)x(f[limpxpx
21px
4) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxfpxpxpx
5) 0L que desde ,)x(glim
)x(flim
L
L
)x(g
)x(flim 2
px
px
2
1
px
6) Nn ,)x(flimL)]x(f[limn
px
n
1
n
px
7) par) én que em caso (no 0L que desde ,)x(flimL)x(flim 1npx
n1
n
px
8)
k ,lim kkpx
, ou seja, o limite de uma constante é a própria constante.
9) pxlimpx
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
12
10) )x(glim
px
L
1
)x(g
px
px2 )x(flimL)x(flim
L(x)flim ,...,L(x)flim ,L(x)flim Se nnpx
22px
11px
, então
11) n21n21px
L...LL)]x(f...)x(f)x(f[lim
12) n21n21px
L...L.L)]x(f)...x(f).x(f[lim
, 2n,Nn
Exemplos:
1) 24...)8x4(lim 3
2x
2) ) c b,a, ( ,cbpap...)cbxax(lim 22
px
3) 2
3...
1x
1xxlim
23
1x
4)
54x3
1x 2
3...
2x
x2xlim
Lista de Exercícios
1) )1x5xx(lim 23
1x
=
2) )3x4x2x(lim 23
1x
=
3) )1x2x2x4(lim 23
2x
=
4) 5x
4x5xlim
2
2
3x
=
5) 2x
10x7xlim
2
2x
=
6) 3x
3x2xlim
2
3x
=
7) xx
x2x5xx3lim
2
234
0x
=
8) 1x2x
3x4xlim
5
3
1x
=
9) 6x
36xlim
2
6x
=
10) 2x3x
1xlim
2
2
1x
=
11) 2x
32xlim
5
2x
=
12) 27x54x36x10x
27x18x8xlim
234
234
3x
=
13) 4x2
2xlim
2x
=
14) 2x
4xlim
4x
=
15) x42
xlim
0x =
16) x22
xlim
0x =
17) 1x
x32lim
1x
=
Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
13
18) 11x
xlim
0x =
19) 2x
3x21lim
4x
=
20) 11x5x3
22x3x2lim
2
2
2x
=
Respostas:
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
8 4 - 5 - 26 5 -3 -4 -2
3
1
12 -2
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
80 2 0 4 4 22 -1/4 2 4/3 5/14
Limites no Infinito
Introdução
Consideremos a função f definida por x
xf1
)( e analisemos, mediante uma tabela, o seu
comportamento quando os valores de crescem ilimitadamente através de valores positivos.
x
4
1
3
1
2
1
1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000
4 3 2 1
2
1
3
1
4
1
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
Pela tabela constatamos que quando cresce ilimitadamente através de valores positivos, os
valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos
tal fato por: , que se lê: “limite de f de , quando tende a mais infinito, é
igual a zero”.
PS: Quando uma variável independente está crescendo ilimitadamente através de valores
positivos, escrevemos: “ ”. Devemos enfatizar que não é um número real. O
símbolo indica, portanto, o comportamento da variável independente .
Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável
decrescem ilimitadamente através de valores negativos.
x
)(xf
x
0)(lim
xfx
x x
x
x
x
x
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
14
x -
4
1 -
3
1 -
2
1
-1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000
-4 -3 -2 -1 -
2
1 -
3
1 -
4
1
-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001
Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de decrescem
ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez
mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ ” para indicar os valores de que estão
decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um
0)(lim
xfx
, que se lê: “limite de f de , quando tende a menos infinito, é igual a zero.
Pelo gráfico da função x
xf1
)( cujo esboço é indicado pela
figura ao lado, notamos que quando x cresce ilimitadamente através
de valores positivos ( ), os valores da função )(xf
aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto,
simbolicamente podemos escrever ou 01
lim xx
.
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura
indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores
negativos ( ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero).
Simbolicamente, escrevemos: 0)(lim
xfx
ou 01
lim xx
.
Exemplos
01. Observe o gráfico da função
apresentado na figura a seguir:
Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende
para o valor 1, quando x tende para o infinito. Isto é, quando .x Denotamos por
)(xf
x
x x
x x
x
0)(lim
xfx
x
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
15
02. A função
tende para 2 quando x como podemos observar na Figura a
seguir.
Assim, podemos escrever: 2
1
12lim
x
x
x
Limite de uma função Polinomial
Consideremos a função polinomial 13764)( 23 xxxxP , podemos escrevê-la
na seguinte forma:
32
3
4
13
4
7
4
614)(
xxxxxP
Portanto,
32
3
4
13
4
7
4
61lim)4(lim)(lim
xxxxxP
xxx
Ora, é claro que: 14
13
4
7
4
61lim
32
xxxx. Temos, então: )4(lim)(lim 3xxP
xx
Assim, temos dois casos:
)4(lim)(lim 3xxPxx
e
)4(lim)(lim 3xxPxx
Generalizando, sendo 01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP n
n
n
n
, podemos sempre escrever:
n
nxx
xaxP
lim)(lim
Limite de uma função racional
Dada a função racional )(
)()(
xQ
xPxf , onde P e Q são funções polinomiais em x com:
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP n
n
n
n
e 01
2
2
1
1 ...)( bxbxbxbxbxQ m
m
m
m
Sendo 0na e .0mb Tem-se então que:
mn
xm
n
m
m
n
n
xm
mx
n
nx
x
x
xxx
b
a
xb
xa
xb
xa
xQ
xP
xQ
xPxf
limlim
lim
lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim)(lim
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
16
Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados:
1o)
)(lim xfmn
x
2o) 0)(lim
xfmn
x
3o)
m
n
x b
axfmn
)(lim
Exemplos:
1)
x
x
x
xx
xxx
xxxlim
9
10
9
10lim
4109
115810lim
2
3
2
23
2) 00151
lim1515
lim21012
1196815lim
4
3
24
23
xx
x
xxx
xxx
xxx
3) 5
71lim
5
7
5
7lim
58145
21187lim
3
3
23
23
xxx x
x
xxx
xxx
4) Calcule 1
lim2 x
x
x
Solução:
Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx ( ,0x pois )x e então dividimos o
numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x
11
1
1lim
1lim
1lim
1lim
222
2
2
2
2
2
2
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
5) Calcule xxxx
43lim 2
Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por xxx 432, temos:
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx
xxxx
43
43lim
43
43lim
43
4343lim43lim
22
22
2
222
Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem:
2
3
11
3
143
1
43
lim43
43
lim43lim
2222
2
2
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xxxxxx
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
17
Exercícios
01. Calcule os limites indicados:
a) 43
3lim
2
2
x
xx
x Resposta: 1/3
b) 35
23lim
2
x
x
x Resposta: 0
c) 62
3lim
2
x
x
x Resposta: 0
d) x
x
x
2
34lim Resposta: 2
e) xxx
1lim 2 Resposta: 0
f) xxxx
2lim Resposta: 1
g) xx
1lim
Resposta: 0
h) xx
12lim
Resposta: 2
i) 4lim 2
xxx
Resposta:
j) x
xe
lim Resposta: 0
k)
22
1lim
xx Resposta: 1
l)
31
1lim
xx Resposta: 1
m)
x
xe
1
3lim Resposta: 4
n) 1lnlim 2
xx
Resposta:
o) 1lnlim 2
xx
Resposta:
p) 1lim 2
xxx
Resposta: 0
02. Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo:
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
18
15limd) 7816
364lim)
43lim b) 723lim)
2x3
2
2
2x
3
2
21
xx
xxc
xxxxa
x
x
32
2
34
32
1
42
2
1
352limh)
)56(
)354(limg)
92
16limf)
276
352lim)
2
1
x
xx
t
tt
s
s
xx
xxe
xt
sx
3 xsex +4
-3< xse 9
sendo f(x)limj)
2343lim)
2
3x
32
2
x
xxix
2> xse2x -4
2 xse x= f(x) sendo ),(lim)
3
2xfk
x
03. Calcule os limites:
2
3x2
2
1
32x5
x-9- xlimd) 344
62x lim)
x2
2x-5 limb)
1-x
23x lim)
xx
xc
a
x
x
04. Considere a função definida por:
1 1
1 4
1 3
)(
2 xsex
xse
xsex
xf , determine:
)(lim (c) )(lim )()(lim)(1x1x1x
xfxfbxfa
05. Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os limites abaixo, se
existirem: )(lim )()(lim )()(lim)(
111xfiiixfiixfi
xxx
1 xse x -3
1 xse 13)()
1 xse 1x
1 xse 4)()
2
xxfb
xxfa
1 xse 2-x
1 xse 2
1 xse
)()
2x
xfc
06. Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada
item abaixo. Caso não exista, justifique.
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
19
f(3) e) f(x) d) f(x) c) f(x) b) f(x) ) limlimlimlim3 3 3 0 - xxxx
a
07. Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada
item abaixo. Caso não exista, justifique.
f(x) h)f(x)g)f)f(-2) f(3) e)f(x) d)f(x) c)f(x) b)f(x) ) limlimlimlimlimlim2 2 1 3 3 3 -- xxxxxx
a
08. Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada
item abaixo. Caso não exista, justifique.
)(limj) f(-3) i)h)f(1) f(2)g) )(limf)
)(lim e) )(limd) )(lim) )(lim b) )(lim)
12
22333
xfxf
xfxfxfcxfxfa
xx
xxxxx
09. Calcule os seguintes limites laterais:
9
lim)f 36
6lim)e
4
2lim)
4
lim)c 2
lim)b 4
2lim)
23
26
22
422
2
x
x
x
x
x
xd
x
x
x
x
x
xa
xxx
xxx
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
20
10. Calcule o )(lim2
xfx
sendo:
2 x se 5
2 xse 2
4
)(
2
x
x
xf
RESPOSTAS: 1) a)-13 b) 425 c) –1 d) 15 e) 0 f) –23 g) –64 h) 34
5
i) 6 j) 1 k ) não existe 2) a) 1 b) 4 c)3 d)2 3) a) 17/2 b)
1/64 c) 1 d)3 4) 2)(lim logo 2)(lim;2)(lim)111
xfxfxfaxxx
5) )(lim existe não logo 3)(lim;0)(lim)111
xfxfxfaxxx
2)(lim logo 2)(lim ;2)(lim)111
xfxfxfbxxx
1)(limlogo1)(lim;1)(lim)111
xfxfxfcxxx
6) a) 3 b) 2 c) 4 d) não existe e) 3
7) a) 2 b) -2 c) não existe d) 3 e) 1 f) -3 g) -1 g) -1
08) a) + b) - c) não existe d) - e) -
f) não existe g) não existe h) 1,5 i) 0 j) não existe
09) f) e) d) -c) b) )a 10) 4)(lim2
xfx
FUNÇÕES CONTÍNUAS
Introdução Sejam f e g funções de gráficos:
Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g
apresenta um salto a outra não.
Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p
é igual ao valor da função quando x é igual a p, isto é:
)()(lim pfxfpx
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
21
Por exemplo, se e p = 2, temos que:
As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas
contínuas nesse ponto.
Definição
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições
abaixo:
(i) )( pf
(ii) )(lim)(lim :é isto ),(lim xfxfxfpxpxpx
(iii) f(p))(lim
xfpx
Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é
descontínua em .px
Exemplos
1) Verifique se a função xxxf 352)( é contínua em .4x
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
12343542)4( f
12343542)352(lim)(lim4
xxxfxpx
)4()(lim4
fxfx
Portanto, como )4()(lim4
fxfx
a função é contínua em
2) Verifique se a função 2
|2|)(
xxf é contínua em .2x
Solução: Primeiramente, lembramos que:
2se,2
2
2se,2
2
2
|2|
xx
xx
x
A seguir, analisaremos uma a uma as três condições:
4)( 2 xxf
)()2(042)4(lim)(lim 22
2pffxxf
xpx
.4x
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
22
02
0
2
22)2(
f .
Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
02
0
2
22
2
2lim
2
|2|lim)(lim
222
xxxf
xxx e
02
0
2
22
2
2lim
2
|2|lim)(lim
222
xxxf
xxx
Como )(lim)(lim22
xfxfxx
)(lim2
xfx
e 0)(lim2
xfx
.
)2()(lim2
fxfx
. Portanto, como )2()(lim2
fxfx
a função é contínua em .2x
3) Verifique se a função
3,3
3,2
3,1
)(
2
xsex
xse
xsex
xf é contínua em .3x
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: 2)3( f .
Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
81913)1(lim)(lim 22
33
xxf
xx e 033)3(lim)(lim
33
xxf
xx
Como )(lim)(lim33
xfxfxx
não existe )(lim3
xfx
e, portanto a função dada não é contínua
em .3x
4) Verifique se a função
2,3
2,2)(
2 xsexx
xsexxf é contínua em .2x
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
422)2( f .
Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
422)2(lim)(lim22
xxfxx
e
264232)3(lim)(lim 22
22
xxxf
xx
Como )(lim)(lim22
xfxfxx
não existe )(lim2
xfx
e, portanto a função dada é descontínua
em .2x
5) A função
1,1
1,1
1
)(
2
xse
xsex
x
xg também não é contínua no ponto ,1x pois: 1)1( g .
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
23
Limites laterais
211)1(lim)1(
)1()1(lim
1
)1(lim)(lim
11
2
11
x
x
xx
x
xxg
xxxx e
211)1(lim)1(
)1()1(lim
1
)1(lim)(lim
11
2
11
x
x
xx
x
xxg
xxxx
Como )(lim)(lim11
xgxgxx
)(lim1
xgx
e 2)(lim1
xgx
.
)2(12)(lim1
gxgx
Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a
função dada não é contínua no ponto especificado, como
confirma o gráfico a seguir:
6) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da
função
3,92
30,2
0,4
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf .
Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são 0x e .3x
Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto ,0x
assim:
.000002)0( 2 f
Limites laterais:
0)4(lim)(lim00
xxfxx
e 0)2(lim)(lim 2
00
xxxf
xx
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
24
Como )(lim)(lim00
xfxfxx
)(lim0
xfx
e 0)(lim0
xfx
.
)0()(lim0
fxfx
Logo, como )0()(lim0
fxfx
a função é contínua em .0x
Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para
o ponto ,3x assim:
.396332)3( 2 f
Limites laterais:
396332)2(lim)(lim 22
33
xxxf
xx e
396932)92(lim)(lim33
xxfxx
Como )(lim)(lim33
xfxfxx
)(lim3
xfx
e 3)(lim3
xfx
.
)3()(lim3
fxfx
Logo, como )3()(lim3
fxfx
a função é contínua em .3x
Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade, verificamos que a função f é
continua, concluímos que f é contínua para todo x real, e vemos que seu gráfico não tem
qualquer tipo de salto ou interrupção.
Lista de Exercícios
1) Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados:
a) 5 xem 2x
x3)x(f
b) 4 xem
4x
1)x(f
b) c) 0 xem e1)x(f x
1
d)
-1 xse 3x,
1- xem 1 xse ,1
-1 xse ,1
23
)(
2
x
xx
xf
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
25
e) 2 xem 2 xse ,2x
2 xse 6,-7x)(
2
xf f) 3em32)( 2 xxxf
g) 1. xem 1
1)(
xxf h) 4 xem
4 xse2x -10
4 xse 2
4 xse 103
)(
x
xf
2) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado:
a) 2 xem
2 xse a,
2 xse ,2
65
)(
2
x
xx
xf b) 4 xem
4 xse a,3x
4 xse ,4
2
)(
x
x
xf
c) 0 xem
0 xse a,43x
0 xse ,22
)(2
x
x
x
xf
Respostas:
1)
a b c d e f g h
sim não não não sim sim não Sim
2) a b c
a = -1
4
47a
4
2a
3) Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados, e justifique sua
resposta.
a)
2,
2,4
2,2
)(
2 se xx
se x
xsex
xf b)
xsex
xsexxf
1,1
1,12)(
c)
0,2
0,5
0,23
)(
x se
xse
xsex
xf d)
65,3
51,2
1,1
xsex
x sex
xsex
f(x)
4) A função
2,2
21,1
1,1
)(
2
x se
xse x
x sex
xf possui algum ponto de descontinuidade? Quais?
Justifique.
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
26
5) Verifique se as seguintes funções possuem algum ponto de descontinuidade.
a) 3)( xxf b)1
23)(
x
xxf c)
2
2)(
2
x
xxxf
d)
2 xse 1,
2xse,2
2
)(
2
x
xx
xf e)
5xse 2,
5xse,3)(
xxf f)
1xse x,-3
1xse2,2x-)(
2xxf
6) Indique onde cada uma das funções abaixo é descontínua e justifique sua resposta.
a)
2
2)(
2
x
xxxf b)
0xse1,
0xse,1
)( 2xxf c)
2xse1,
2xse,2
2
)(
2
x
xx
xf
7) Determine o valor de m para que cada função abaixo seja contínua no ponto dado.
a) 3 xem
3 x se m,
3 xse ,3
9
)(
2
x
x
xf b) 0 xem
0 x se m,
0 xse,3)(
2
x
xx
xf
8) Verifique se as funções abaixo são contínuas, justificando sua resposta.
a)
1xse 2x,
1xse,1)(
2xxf b)
1xse 2,x
1xse,2)(
2xxf
9) Explique porque f(x) não é contínua em x.
a) 3 x em3
5)(
xxf b) 2 xem
2 x se 5,
2 xse,2
4
)(
2
x
x
xf
c) 1 xem
1 xse ,
1 x se 3,
1 xse 2,x
)(
x
xf d) 3xem3
9)(
2
x
xxf
Lista de Revisão
1) x2
x3senlim
0x
2) x4
xsenlim
0x
3) x3
x2tglim
0x
4) x3sen
x4senlim
0x
11) xsen
xsentgxlim
20x
12) xsenxcos
x2coslim
4
πx
13) xsenx
xsenxlim
0x
14) x3senx
x2senxlim
0x
20) 20x x3
x2cos1lim
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
27
5) x5tg
x3tglim
0x
6) x
xcos1lim
0x
7) xsen.x
xcos1lim
0x
8) 20x x
xsec1lim
9) x
xsentgxlim
0x
10) tgx1
xcosxsenlim
4
πx
15) x4sen
x3cosx5coslim
0x
16) xsen
x2senx3senlim
0x
17) x
asen)axsen(lim
0x
18) x
acos)axcos(lim
0x
19) xπ
2
xsen1
limπx
Respostas
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
2
3
4
1
3
2
3
4
5
3
0
2
1
2
1
2
2
2
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 2 0
4
1
0 1 a cos a sen
0
3
2
21) Calcule os seguintes limites:
a) xtg
x lim
0 x b)
2xsen lim
0 xx c)
xsenx 5
4xsen lim
0 d)
3
hsen lim
0 hh
e) 2
2
0
cos-1 lim
x
x
x f)
1 cos
x- lim
2
2
0 xx g)
xx cos1
senxx lim
0
Resposta: a) 1 b) 2 c) 4/5 d) 1/3 e) 1 f) 1
g) 2
II Lista de Revisão
1) Mostre que:
a) 12
4
0)31(lim ex x
x
b) 2x
1
0xe)x21(lim
c) 33
1x
1
0xee
3
x1lim
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
28
d) 7
4x
1
0xe
7
x41lim
e)
e
1e)x1(lim 1x
1
0x
f) π
1x
1
0xe
π
x1lim
2) Calcule os seguintes limites:
a)
2
n
11 lim
n
n b)
n
31 lim
n
n
c)
x1
x lim
x
x
d) x
51 lim
1
x
x e)
xsen
xsenx
1
1 lim
Resposta: a) e b) e3 c) e
-1 d) e
5
e) e
3) Calcule os limites abaixo:
a)
x 1
ln 2 xlim Fazer x+ 1 = u
x+1
b)
x 2
ln 3 xlim Fazer x+ 2 = u
x+2
c) x
x 0
2 1lim
x
d)
senx
x 0
e 1lim
senx
e) x 0
sen5xlim
tg4x f)
x2
cos xlim
x2
g) 2
x 0
ln 1 xlim
x
h)
3
x 1
ln xlim
x 1
i) cossec x
x 0lim 1+senx ( Fazer sen x = u)
j) 2 x 0
1 cos xlim
x
k) 3 x 0
tgx senxlim
x
l)
1
x 4
x 4
1+xlim
5
m) x
x x 0
10 1lim
5 1
(dividir por x Num. e Den.) n)
x
x
2lim 1+
x
Resposta:
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
29
a) 1 b) 1 c) 1/e
2log d) 1 e) 5/4 f) 1 g) 2
h) 3 i) e j) 1/2 k) 1/2 l) 5 e m) 1/ 5log n) e2
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
INTRODUÇÃO
Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se aproximam de
uma reta a medida que x cresce ( x + ) ou decresce (x ). Veja as Figuras a seguir:
Essas retas são chamadas assíntotas.
Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas
horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.
2. Assíntota Vertical
Dizemos que a reta ax é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
)(lim)( )(lim)()(lim)( )(lim)(
xfivxfiiixfiixfiaxaxaxax
3. Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta by é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
bxfiibxfixx
)(lim)( )(lim)(
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
30
Exemplos:
1) Seja a função 3
5)(
xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais,
se elas existirem.
Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos, facilmente
que }.3{)( fD Sendo assim, vamos calcular: )3(
5lim
3 xx .Para calcular o limite da
função quando x tende a 3 devemos calcular os limites laterais, assim:
Para calcular )3(
5lim
3 xx, fazemos com 0h , assim temos:
51
lim5)(
5lim
)33(
5lim
)3(
5lim
0003 hhhx hhhx
Por outro lado, para calcular )3(
5lim
3 xx, fazemos ,3 hx com 0h , assim temos:
51
lim55
lim)33(
5lim
)3(
5lim
0003 hhhx hhhx
Desta forma, temos:
)(lim)(lim33
xfexfxx
Logo, 3x é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv).
Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta existir.
Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer:
05
lim3
5lim)(lim
xxxf
xxx
Logo, 0y é a assíntota horizontal.
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:
,3 hx
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
31
2) Considere a função 2)2(
43)(
xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais
e/ou verticais, se elas existirem.
Solução:
Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que
}.2{)( fD
Sendo assim, vamos calcular 22 )2(
43lim
xx.
Para calcular o limite da função quando x tende a 2 (dois) devemos calcular os limites laterais,
assim:
Para calcular 2
2 )2(
43lim
xx, fazemos hx 2 , com ,0h vamos a:
34
lim3 lim4
3 lim)(
43 lim
)22(
43 lim
)2(
43 lim
200 20 20 20 22 hhhhx hhhhhx
Agora para calcular 2
2 )2(
43lim
xx, fazemos hx 2 , com 0h , vamos a:
34
lim3 lim4
3 lim)22(
43 lim
)2(
43 lim
200 20 20 22 hhhx hhhhx
Assim, temos:
)(lim2
xfx
e )(lim2
xfx
Logo 2x é uma Assíntota Vertical da função dada.
Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta existir:
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
32
Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular 2 )2(
43 lim
xx, ou seja:
3034
lim3 lim44
43 lim
)2(
43 lim
2 2 2
xxxx xxxx
Logo, 3y é a assíntota horizontal.
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo e faça um esboço do gráfico da
função dada.
a) 2
5
xy b)
1-x
12x y
c)
x
2 y d)
1)-(x
2 y
2 e)
2-x
3 1- y
2) Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo e construa um esboço de
cada gráfico.
a) 2
13)(
x
xxf b)
32)(
2xxf c)
1
35)(
x
xxf d)
13)(
xxf
e)
2
1)(
2
x
xf f) 4
4)(
xxf g)
2
3)(
xxf h)
4.3
1)(
xxxf
3) Sabe-se que sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é
função da pressão a que o mesmo está submetido. E a lei dessa
função é dada pelo gráfico da figura abaixo;
Representada por ,P
KV onde K é uma constante que depende
da massa e da temperatura do gás.
a) Com respeito à função ,P
KV 0P (não tem sentido físico
considerar a pressão P nula ou negativa), o que se pode dizer de
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
33
V quando P diminuir, tendendo para zero? Resposta: Aumenta, tendendo a mais infinito.
b) Para a mesma função, o que acontece com o volume V quando a pressão P cresce,
tornando-se muito grande, isto é, quando P tende para infinito? Resposta: Diminui,
tendendo a zero.
4) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes,
0f ). Seja e o eixo principal dessa lente. Seja P um objeto situado em e e P’ a imagem
correspondente. As abscissas p e p’ de P e P’ respectivamente, tomadas em relação ao
centro ótico o da lente, se relacionam através da equação de Gauss: ,1
'
11
fpp dessa
equação tiramos que: ,'fp
pfp
onde f é uma constante que depende da lente. Construa
o gráfico de p’ em função de p.
6) Faça o esboço do gráfico da função f definida por
0|,|
0,1
)(
xsex
xsexxf . A seguir
determine:
a) O domínio da função. Resposta: Dom(f) =
b) A imagem da função. Resposta: Im(f) = [0, +[ = {y / y 0}
c) A função é crescente ou decrescente? Resposta: A função é decrescente
d) A função dada possui ponto de mínimo? Qual é esse ponto? Apresente as suas
coordenadas?
Definição formal de Limite
Definição:
Diremos que L é o limite de uma função f, quando xx0 se, para todo > 0 existe > 0 tal
que 0 < |x - x0| < |f(x) - L| <
Observação: Tomamos 0 < |x - x0| < (|x - x0| 0) para fazer ênfase que na análise do limite
o ponto x = x0 não interessa.
Para entender a definição de Limite, façamos a seguinte interpretação: Por estamos
denotando um número pequeno qualquer, portanto |f(x) – L| < quer dizer que f(x) está
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
34
próximo de L. Nestas condições, o limite de f quando x xo é igual a L se existe um
intervalo que contenha a xo, que faça que a imagem de todo ponto deste intervalo continue
estando próximo de L, isto é que faça que |f(x) – L| < . Dai o fato que deve existir um
número > 0, pois o intervalo em questão será ]xo – , xo + [.
A figura a seguir representa graficamente as desigualdades (i) e (ii) em uma reta real.
Reformulando a definição de limites, teremos:
significa que, para todo ,0 existe um tal que se x está no intervalo aberto
),( aa e ax , então f(x) está no intervalo aberto ).,( LL Veja a figura a seguir.
Lxfax
)( lim
0
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
35
Exemplos
1) Mostre que o limite da função f(x) = 3x – 1 é igual a L = 2 quando x 1.
Solução: Neste caso é simples conferir que .2)(lim1
xfx
Provaremos que para todo > 0, é possível encontrar > 0, satisfazendo
0 < |x - 1| < |f(x) – 2| <
Para mostrar que existe > 0, satisfazendo a propriedade acima, consideramos primeiro a
desigualdade
|f(x) – 2| = |3x – 1 – 2| = |3x – 3| = 3|x – 1| <
Por uma simples inspeção, concluímos que podemos tomar = /3, portanto
0 < |x - 1| < /3 |f(x) – 2| <
2) Usando a definição de limite, prove que:
213x lim1
x
Para esta prova devemos mostrar que, > 0, > 0, tal que:
2)13( x sempre que 1 0 x
O exame da desigualdade envolvendo proporciona uma chave para escolha de .
As seguintes desigualdades são equivalentes:
3 1 13 )1(3 33( 2)13(
xxxxx
A última desigualdade nos sugere a escolha do . Fazendo ,3
vem que:
2)13( x sempre que 1 0 x
Portanto,
213x lim1
x
.
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
36
3) Usando a definição de limite, prove que:
16 lim 2
4
x
x
Mostre que, dado > 0, > 0, tal que:
16 2x sempre que 4 0 x
Da desigualdade envolvendo , temos.
4 .4 16 2 xxx
Necessitamos agora substituir 4 x por um valor constante. Neste caso, vamos supor:
0 < ≤ 1, e então, de 4 0 x , seguem as seguintes desigualdades equivalentes:
9 4 x 75 x 314114 xx
Logo, 9 4 x
Escolhendo ,1,9
min
temos que se 4 x então:
9 9
9 4 .4 16 2
xxx
Portanto, 16 lim 2
4
x
x
4) Mostre que .31
1lim
3
1
x
x
x
Solução: Pela definição, temos que provar que para todo > 0, é possível encontrar > 0,
satisfazendo
0 < |x - 1| < |f(x) – 3| <
De acordo com a definição, dado > 0 devemos encontrar > 0 que verifique a desigualdade
acima. Portanto nosso ponto de partida será a desigualdade
2123131
1 223
xxxxxx
x
x
Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,
quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.
37
Note que para x próximo de 1, a expressão acima está próximo de zero. Para descrever isto
em termos de desigualdades, necessitamos estimar o termo |x + 2|. Para isto suporemos que |x
– 1| < 1, desta forma teremos que
|x – 1| < 1 -1 < x – 1 < 1 2 < x + 2 < 4
Desta forma, 142131
13
xxx
x
x
Finalmente, tomando = /4, encontramos
0 < |x - 1| < /4 |f(x) – 3| <
Como é simples verificar. Note que a igualdade acima é válida se = min {/4, 1}.
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Prove o limite 1073x lim1
x
. Utilize: = 0,5
2) Prove o limite 21
1x lim
2
1
xx
. Utilize: = 0,75
3) Prove o limite 3
1
x-2
1 lim
5
x
. Utilize: = 0,75
Bibliografia:
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,
Derivação, Integração. Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2006.
STEWART, James. Cálculo. Vol. 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014.
ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre:
Bookman, 2014.
THOMAS, G. B. Cálculo. vol. 1, 12ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap01_Calc1.html