מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לישראל טכנולוגי מכון – הטכניון

הע"תש חורף סמסטר וניהול תעשייה להנדסת הפקולטה

אמידה נקודתית – 9תרגיל כיתה

. אוכלוסייה יכולה על תכונה או אוסף תכונות אוסף פריטים עליהם מעוניינים במידע מסוים – יהאוכלוס

להיות סופית או אינסופית.

יה.אוסף חלקי של פריטים מהאוכלוס – מדגם

.)(ההאוכלוסי של גודל המהווה מאפיין מסכם – פרמטר

פונקציה של התצפיות במדגם שאינו תלוי בפרמטר לא ידוע. – סטטיסטי

.)ˆ(סטטיסטי המשמש לאמידת פרמטר – מדוא

.שהתקבל מהמדגם מדושל האהספציפי הערך המספרי – אומדן

ולרוב לא ידוע. משתמשים באומד על מנת לאמוד את הערך הלא ידוע של קבוע הינו ערך הפרמטרהערות7

לכל מדגם, הוא מחזיר – מ"מהאומד הוא הפרמטר )אם ערך הפרמטר ידוע, אין סיבה לאמוד אותו(.

אומדן אחר.

7מתקיים לכל ערך של , אם לפרמטר מד חסר הטיהואייקרא ̂מד וא )ˆ(E.

והטייתו ניתנת ע"י7 מד מוטהואאחרת, הוא )ˆ()ˆ( EBias.

נעדיף אומד חסר הטיה על אומד מוטה.

MSE7 2)(שגיאה ריבועית ממוצעת 2ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) [ ( )]MSE E Var Bias

.

מינימלית. MSEנעדיף את האומד בעל

)ˆ()ˆ()ˆ(0 , מתקיים7מד חסר הטיה לפרמטר והוא א ̂אם הערה7 BiasVarMSE.

27 - לשונותמקובל אומד

כאשר התוחלתידועה -

2 2 2

2 1 1

( )

ˆ

n n

i i

i i

X X n

n n

ו( כאשר התוחלת לא ידועה-X)7 אומד לתוחלת

2 2 2

2 2 1 1

( )

ˆ1 1

n n

i i

i i

X X X nX

Sn n

X 7 X סטיית התקן של

XSE SD

n

X7 אומד לסטיית התקן שלˆ

X

x

n

SSE SD

n

מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לישראל טכנולוגי מכון – הטכניון

הע"תש חורף סמסטר וניהול תעשייה להנדסת הפקולטה

9תרגיל כיתה

1שאלה

, נלקח מדגם מקרי בגודל 1ידועה תקן בעלת סטיית השל אוכלוסיי לשם אמידת התוחלת

30n ים לאומד. הוצעו שלושה- 730X 10, התצפיות 03ממוצעX התצפיות הראשונות ו 03ממוצע-

102 20 X 20כאשרX התצפיות הראשונות. 03הוא ממוצע

הוא חסר הטיה. במידה ולא חשבו את הטייתו. אומדים בדקו האם האומדאחד מה לכל .א

.MSE-ים חשבו את האומדלכל אחד מה .ב

ים המוצעים לאמידת התוחלת. אומדהטוב ביותר מבין שלושת ה אומדבחרו ב .ג

2שאלה

זהה, אך מכונה א' המכונות. הקוטר של החלקים המיוצרים בשתי רכיבמכונות לייצור אותו 0במפעל

מכונה ב'. רכיבים מעם סטיית תקן כפולה מזו של מייצרת רכיבים

- תוחלת הקוטר

2 - 'שונות הקוטר במכונה ב

,1 ממכונה א'7של רכיבים mנבחר מדגם מקרי בגודל , mX X

,1 ממכונה ב'7של רכיבים nומדגם מקרי בגודל , nY Y

1) 7קוטר הרכיבים נציע אומד לתוחלת ) 0 1m nT aX a Y a

אומד חסר הטיה לתוחלת? Tהאם .א

aלפי ערך T? מה יהיה האומד T המביא למינימום את שונות האומד a מה צריך להיות הערך של .ב

במקרה זה? MSEשמצאתם? מהו

nKכעת נאמוד את התוחלת על סמך המדגם ממכונה ב' בלבד ע"י האומד .ג Y האם .K הינו

של האומד? MSEאומד חסר הטיה? מהו

?MSEעדיף על סמך קריטריון Kאו Tאיזה מהאומדים .ד

7-הוצע אומד אחר ל .ה1 1

ˆ2 3

X Y האם הינו חסר הטיה? מהו .MSE ?של האומד

מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לישראל טכנולוגי מכון – הטכניון

הע"תש חורף סמסטר וניהול תעשייה להנדסת הפקולטה

3שאלה

1 ויהי 2, ,..., nX X X 7מדגם מקרי מהתפלגות אקספוננציאלית

1( | ) 0, 0

x

Xf x e x

את תוחלתו ואת שונותו. ו. חשב-מד ל וא ועיהצ .א

נסמן

1

.

.-מד לוא ועיהצ .ב

-מד לוא ומצא .ג 1  p P X .

מינימלי. MSEבעל -מד לויהיה א cX-כך ש c ומצא .ד

4שאלה

ידועה. אינה, אולם השונות 043ידוע שתוחלת מספר התקלות בחודש במפעל לייצור מזגנים הוא

להלן תוצאות מדגם מקרי של מספר תקלות בחודש במפעל7

040 ,024 ,030 ,021 ,050 ,053 ,034 ,023 ,050 ,040

? לפי אומד זה ןשונות של מספר תקלות חודשי. מהו האומדל הציעו אומד .א

שגם התוחלת וגם השונות אינן ידועות. הציעו אומד לתוחלת ואומד לשונות של מספר נניח כעת .ב

תקלות חודשי. מהם האומדנים?

םהאם היית )התוחלת אינה ידועה(, לו היינו מניחים שהנתונים נדגמו מהתפלגות פואסון .ג

חסר הוא החדשהאם האומד ?ןכן, מהו האומד ומהו האומד באומד אחר לשונות? אם ים משתמש

הטיה?

5שאלה

0או 0, 3לשם כך הגנוטיפ של פקעת צריך להכיל אדום., סגול או לבןפקעת של צבעוני תצמיח צבעוני

)היא אלל דומיננטי ההסתברות ל .אללים דומיננטיים בהתאמה )P A היא אלל רצסיבי וההסתברות ל

( ) 1P a (0 1) .לבנים 03סגולים, 35, אדומים 000צבעונים נמצאו7 063 מקרי של במדגם.

המבוססים על אומדים להסתברויות לקבל צבעוני בצבעים לבן -ל ים שוניםמדואשני מצאו .א

ואדום לפי שכיחויותיהם במדגם. מהם האומדנים? האם הם זהים?

. הסבירו למה הוא עדיף על האומדים שהוצעו בסעיף א'.-אומד אחר למצאו .ב