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Universidade Estadual de CampinasUNICAMP
Tutorial
MuPAD Light 2.5.2
para windowsEzzizis Carvalho Costa Alegre
RA:047085 MA111, TurmaC Janeiro de 2006
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Índice
Introdução............................................ Oque é MuPAD.................................. Como Obtê-lo Pela Internet................ Iniciando o programa.......................... Equações............................................. Funções............................................... Derivadas ........................................... Intregrais............................................ Limites............................................... Gráfico................................................
Gráficos Bidimensionais...................... Gráficos Tridimensionais................... Exercício Máximo Mínimo................ Comandos úteis...................................
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Introdução O presente tutorial consiste numa demonstração de comandos e de operaçõesdo MuPAD, que podem ser desenvolvidos em sistemas computacionais quecarregam o tal programa , quer desta versão, ou em outra, por indivíduos que têmdomínio nas áreas de cálculo ou em matemática.
Os comandos, que serão descritos, exige muita dedicação e muita organização daparte dos usuários. Este sistema computacional desenvolve trabalhos e estudosbásicos, mas também realiza operações complexas que envolvem gráficos ,funções , limites , Integrais entre outras, que compõem as ferramentas do cálculo eda geometria analítica. A versão Mupad light 2.5.2 é a versão livre, mas já não está disponível para todos. Faremos uma breve apresentação deste programa, das suas versões e restrições, edeixaremos explicitamente os comandos de execução e os seus respectivosexemplos. O objetivo principal deste trabalho é ensinar e promover estudos sobre o Mupad edesfrutar de recursos que compõem o sistema, com o fim de levar o aluno , professore demais, aperfeiçoar e ampliar cada vez mais os seus conhecimentos científicos
Anteriormente os estudos ligados a esfera de cálculo, eram desenvolvidosmanualmente sem a presença de calculadoras ou de outra técnica científica , porpessoas que demostram talento e dedicação, para toda a humanidade , dispondo atéhoje ferramentas que são extremamente importantes para o progresso e odesenvolvimento intelectual de cada homem.
Deve-se realcar ou mesmo homenagear os matemáticos, fisicos, filósofos edemais , que formularam conceitos que até hoje são usados por todo universo emuito exaltado nos estudos científicos.Atualmente pode-se realizar um cálculo “complexo “ numa simples calculadora oumesmo num dos softwares de uma forma rápida e eficaz, que a tecnologia, emcomunhão, com a ciência nos oferece ,como é o caso do Mupad.
Mas espera-se que a homem saiba dar valor....
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O QUE É MuPAD
Mupad é um sistema algébrico computacional desenvolvido pelo MuPADResearch Group na Universidade de panderborn(Alemanha), sob a direção doprofessor B.Fchssteiner.Este projeto teve início em setembro de 1989 , com a tese de mestrado de KarstenMorisse e Oliver Kluge . Andreas Kemper, em sua tese de mestrado, desenvolveulinguagem de programação MuPAD, semelhante em diversos aspectos ao Pascal -linguagem de programação de aprendiozado relativamente fácil. A palavra” MuPAD” advém do expressão mupas que foi substituido em 1990 pelaexpressão atual representando, por um lado a ( Multi Processing Algebra DateTool, ferramenta de processamento de dados algébricos ) e por outro o local deorigem do projeto ( universidade de Panderborn).
Existe duas versões para windows ; uma Pro(v 2.5.3) e Light(v 2.5.2). A versão Pro 2.5.3 do Windows dispõe de uma interface mais amigável e pode serutilizada para fins comerciais. Atividades comerciais devem pagar US$500 ,00 oumais por uma licença individual; usuários governamentais ou acadêmicos pagamUS$ 300.00, e alunos US$ 100,00. Pode-se experimentar essa versão por 30 diascom recursos limitados
A versão Light 2.5.2 é a versão livre , disponível para todos que desejam disfrutardeste sistema. Atualmente esta versão não existe no mapa do download do site noprograma Em 2003 , estava presente e disponível para todos, que quizessem baixar e instalá-lo no seu computador.No presente ano deste tutorial esta versão é quase inexistente.A versão light é muito eficaz funciona em windows 98, 2000 , XP mas não se adequaao windows 3.1 Com o desenvolvimento da ciência surgiram novas versões e indicações de comobaixar e instalar no computador, é o caso de Macintosh, Linux, Unix,etc.
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COMO OBTÊ-LO PELA INTERNET
Como já fiz referência, a versão light é quase inexistente, pode-se obtê-laatravés de pessoas que baixaram e instalaram em seus computadores, no períodoque este ainda estava disponível, e agora estão partilhando às outras pessoas. Para ter acesso a demais versões, basta acessar o site www.mupad.com e fazer odownload. O site contem informações de natureza importantes, que podem servir deorientação no estudo ou pesquisa de outras versões . Fica desde já uma dica para os usuários que desejarem ampliar seus conhecimentostanto acadêmicos como ciêntificos.
O site contém novas versões que atualmente não são gratuitas, para se usufruirdelas deve-se disponibilizar uma certa quantia em dinheiro, como já havia citado,para ter acesso a este programa.As versões presente no site, são todas apresentadas na forma “ Mupad Pro” ,estasfuncionam em microsofts também diferentes. Vejam algumas versões disponíveis no site :A nova versão MuPAD Pro 3.1, adequada ao Windows, a versão MuPAD Pro2.5.3 e MuPAD Pro 3.1 .1 para Macintosh., a versão MuPAD Pro 3.2 para Linuxe Mupad pro 2.0 para Microsoft wold
Pode-se ver que as versões se encaixam ao modelo do programa que é instalado nocomputador, por isso é extremamente importante que as pessoas estejam beminformadas sobre o programa.
Tendo acesso ao software, dever-se baixá-lo e salvá-lo no computador e logo aseguir fazer a instalação.Na área de trabalho do windows aparece um ícone do programa. Antes prosseguir, quero fazer referência a duas situações que podem vir a ocorrerquando for instalado o programa. - Aqueles que forem portador de um computador pessoal poderá fazê-lo facilmenteseguindo os procedimentos que serão descritas a seguir:clicando em cima do atalho e logo a seguir o comando executar. Aparece umacaixa de diálogo com algumas informações e opções para o usuário; Seguindotodos passos, o programa será instalado.
Caso o seja um aluno ou mesmo, um professor no qua,l não tem na sua posse um
– computador deverá pedir uma licença na instituição na qual estuda ou trabalha
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para fazer a instalação do programa.– Desta forma o programa será instalado ( por um técnico), e o mesmo já
estará capacitado para iniciar.
Tanto no primeiro caso como no segundo a primeira vez que iniciar o programa, oprograma exigirá um nome e uma senha pessoal de bloquei e de uso pessoal.
A senha e o nome, são importantes para que o programa não funcione comlimitações. A senha aceita são de usúários que possivelmente teriam baixado pelaprimeira vez no seu computador quando o programa ainda estava no ar.Caso contrário o programa poderá sofrer interrupções, e sempre um aviso será dadoquando o programa é utilizado.
Cumprindo todas as normas, o programa está pronto para ser usado.
Iniciando o programa
A janela do MuPAD light é composta por uma barra de menus, por umabarra de ferramentas e por um espaço denominado, área de trabalho.
O menu do programa serve de auxílio por possível dificuldade que se possater quando da execução. É composto pelos comandos File, Edit, View, Session eHelp; que posteriormente faremos referência quando estaremos explicando asnoções de cada comando. As ferramentas são componentes dos menu, cumprem asmesmas funções mas, são mais rápidas de serem utilizadas
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A área de trabalho é representada por uma tela branca, nesta área todos as trabalhossão executados
O Mupad Light, versão 2.5.2, para windows, possui recursos suficientespara realizar operações básicas e complexas, ela funciona em parte como umacalculadora , como já fiz referência. A primeira coisa que se apela, é muita atenção e muita organização . Esteprograma é muito sensível ao uso, um simple erro de sintaxe e comando , podesignificar erro em toda operação .
Deve-se tomar muito cuidado com as letras maiúsculas e minúsculas , sendo estesmuitas vezes o motivo de muitos erros.
Cada linha do promp começa com um símbolo “ ”
Os comandos a serem executados(input) aparecem em vermellho enquanto asrespostas do programa( output) surgem em azul um pouco abaixo e distanciadas.Este padrão pode ser modificado através dos menus View -> Options: Botões InputRegions e Output Regions, domonstradas a baixo:
No Mupad os comandos executados não podem ser avaliado novamente namesma linha input . Este programa não permite que se faça alteração do conteúdodepois de avaliá-lo. É necessário que se escreva novamente na linha corrente doprompt.
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Para se avaliar a linha da operação basta pressionar a tecla “Enter”. A mudânça de linha para divisão de um mesmo problema é feita com a
combinação das teclas “Enter + Shift”.Os comandos são os mesmos para apagar: “Bakspeace” e “Delete “
O programa realiza operações básicas com comandos e símbolos idênticos
aos outros sistemas computacionias de cálculo. É o caso da Adição, Subtração,Divisão, Potenciação e Multiplicação .
Representadas da seguinte forma :Adição: +Subtração:-Divisão : /Potenciação: ^Multiplicação: *
No mupad, o número decimal é separado por um “ponto” e não por uma
vírgula. O mupad entende a vírgula como a separação de números, que nãopossuem relação entre si, ou mesmo de operações. Vejamos agora alguns símbolos de uso do programa:
“=” Significa igualdade “!” Significa fatorial“:=” Representa a atribuição para valiar expressões mais vezes
Exemplos:
PARENTESES, CHAVES E COLCHETES
As operações no mupad mais complexas, exigem a utilização de outros
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símbolos, como parênteses e chaves. Chaves “{..}” consiste em agupar uma ou mais expressões do mesmo problema .
Parênteses “ (..)” o mais usual neste programa, é usado para associar e ordenaras expressões. O uso das chaves são em última instâncias consequência dosparêntese quando este é insuficiente .Colchetes “ [ ]” são usados em alguns casos especiais. Veja o exemplo:
Note que a expressão PI foi utilizado pelo próprio programa. A expressão PI
tem o seu significado própio e nãodeve ser cunfundido, neste caso simboliza avariável “x”. Seria a mesma expressão definida acima mas com a variável diferente.
COMANDOS ÚTEIS DE ENSINAMENTOS E APRENDIZADOS
MuPAD também dispõe comandos de ajuda : info e o help
O inf esclarece a função de cada comando e das variáveis .No caso dos comandos ela diz a sua função e as variáveis diz as suas propriedades. Para obter o resultado é necessário que os parâmetros estejam entre parênteses:
O help exige parâmetros entre parênteses e entre aspas. Um modo mais fácil deutilizá-lo é digitar o ponto de interrogação (“ ? ”)antes da palavra ser pesquisada.
Para obter os resultados em expressões numéricas basta usar a função float. OMuPAD tem por padrão utilizar manipulações algébricas sempre que possível veja o exemplo:
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Do mesmo modo que se expressa termos não exatos em casas decimais pode-sedefinir a quantidade de casa a se obter através do comando DIGITS. O DIGITS representa a quantidade de casas decimais a serem impressas toda vezque um valro numérico é desejado. O seu valor padrão é 10. Mas é só atribuir um valores neste esquema que eladetermina.Exemplo:
A barra invertida é sinal de superioridade e continuidade, superioridade da linhaprincipal e continuidade do resultado na linha abaixo. O MuPAD permite também que o resultado da expressão anterior seja obtidanovamente e relacionada com a questão principal. Este fato acontece com a ajuda docomando last(n). O last(n) é o valor atribuído ao n-ésimo output na ordem inversa, ou seja, 1 é oúltimo, 2 é o penúltimo assim sucesivamente, assumidos no lugar de “n”. Um exemplo torna as coisas mais claras
1 A primeira expressão o sistema repitiu a questão. O seno de 3 é um número não exato, para melhor precisão osistema retorna a pergunta.
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EQUAÇÕES
A resolução de equações é feitas através do comando solve. A resolução deequações com apenas uma variável é calculada através do esquema solve(equations), deste modo ela definirá automáticamente a variável.Para duas ou mais equações e variáveis, o esquema é solve(equations, variável).Vejamos o exemplo de apenas uma variável.
Duas ou mais variáveis
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Por outro lado existe duas formas possíveis de manipulações algébricas. Umadelas é expand, como diz o nome, tem a função de expandir expressões e a outrasimplify serve para simplicar. Todas as expressões devem ser envolvidas porparênteses:Exemplo
2 Equações e variáveis são envolvidas por chaves
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Em certos casos , os dois comandos exercem a mesma função.
FUNÇÕES
Mupad define as funções usando os símbolos “ - > ” e “ :=” através doesquema variável-> função As variáveis são primeiramente definidas e logo a seguir as funções Observe atentamente os exemplos:
Para obter o resultado das variáveis basta atribuí-las um valor:
Funções de variáveis diferentes são agrupadas em parênteses como no exemplo:
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As funções compostas são definidas conforme a definições
As funções trigonométricas comuns como hiperbólicas são representados pelomesmo esquema
As funções logarítmicas e exponenciais o parâmetro é quase o mesmo. Asfunções logarítmicas de( base a) é definida deste modo “log (b, x)”, sendo b umnúmero real, enquanto o logarítmo natural de base ´”E” expressa-se assim “ln(x)”Exemplo:
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A função módulo é assim definida “ abs(x)”-> módulo de x
DERIVADAS
A derivada das funções são rapidamente calculdas através do operador D ouo apostrofe(f `) Tanto um como o outro exercem as mesmas funções, elas sediferenciam em pequenos casos particulares que demonstraremos em diante
Espie o exemplo:
3
3 Já foi feito referência, mas realça-se mais uma vez , o MuPAD utiliza outras variáveis em suas respostas, mas estasnão influências nas mesmas. O id representa a variável x
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Para além do operador D existe o diff. O comando diff é utilizado paradistinguir a função e a variável, através do esquema diff (função, variável).Algumas funções são muito restritas e exige que se explicite as suas variáveis:
Exemplo:
Observação
Se aplicarmos a operador D na função D (sinh(x)), por exemplo, o sistemanão endenderá x como uma variável , entenderá o mesmo, como um númeroqualquer. Por isso ela repete a mesma expressão.Resumidamente , pode-se ver que as funções e as variáveis quando sãoprimeiramente definidas podem ser aplicadas o operador D, caso contrário não.Então fica aí uma alerta. O operador D somente é utilizado depois das funções seremdefinidas , caso contrário o uso será o diff .
Ambos realizam derivadas de ordem superior. Segunda derivada D'', f'', diff'', assim sucesivamente, conforme a sugestão dousuário.
INTEGRAÇÃO
Para a integração o programa utiliza o operador “int”. É análogo aos esquema demostrados acima.
Vejam só: “int(função , variável )”, para integrais indefinidas
“ int( função, variável =mínimo..máximo)” para integrais definidas. No caso de interagais definidas , os intervalos são separados por dois pontos “..”identificando por um lado o limite mínimo e por outro o limite máximo.
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A continuidade e descontinuidade das funções têm de ser verificadas antes deatribuir os intervalos . As vezes podem ocorrer erros na montagem da expressãoproveniente da continuidade e descontimuidade. Os erros são avisados com umamensagem desse tipo
O limite pode dar uma ajuda para encontrar as descontinuidades
LIMITES
O cálculo de limite é representado em três formasCálculo de limite pela esquerda(se existir) “ limit (função, x=a, Left)” Exemplo:
Cálculo de limite pela direita( se exixtir) “ limit (função, x=a, Right)”
Exemplos:
Cálculo de limite bidirecional (se existir) “limit (função,x=a)”
Exemplo:
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GRÁFICOS
A construção dos gráficos, considero, que seja a parte mais delicada e maisagradável do programa. Os gráficos devem ser plotados conforme os comandos.Requer muita atenção e domínio no que se está a fazer.
Os gráficos são todos realizados através da biblioteca Plot e exibidos naVCamLight.Quando se está usando o MuPAD , qualquer comando Plot também abrirá o Vcam,a menos que o comando esteja incorreto
Existe duas forma de operação de câmera: uma para gráficos de duasdimensões e outra para gráficos de três dimensões. Os gráficos de duas dimensões são controlados através das ferramentasZoon, enquanto de trés dimensões têm a vantagem de rotacionar a imagem depoisde plotada. O mupad plota curvas, tanto em duas como em três imensão , superfícies , curvasde níveis e campos vetoriais.
Qualquer gráfico pode ser salvo como uma imagem no formato VC e aberto sem anecessidade de se executar o programa
Como a janela MuPAD, a janela Vcam Light é composta pela barra de menue pela barra de ferramentas..As duas primeiras ferramentas , mostradas na tabela abaixo, apenas funcionam emgráficos 2D, permite ampliar ou reduzir o tamanho da imagem. As quatroseguintes permitem girar gráficos 3D para se obter um melhor ângulo. Os doisúltimos mudam a perspectiva , como se observador estivesse mais perto ou maislonge da imagem.
GRÁFICOS BIDIMENSIONAIS
Existem diversas opções de construção de gráficos bidimensionais Vamos começar falando do comando plotfunc2d
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Plotfunc2d
Com este comando as funções são facilmente plotadas e sem necessidade deespecificação de alguns parâmetros, mas este é muito limitado.Exemplos:
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As imagens dos gráficos podem ser alteradas, atribuindo valores as intervalos X e Y ,vamos partir como o exemplo da função cúbica f(x) =X^3Vejam só:
As vezes é útil exigir maior precisão do computador: o gráfico acima não apresentatoda imagem.
Compare agora dois gráficos da mesma função f(x)= x*cos(1/x^2) definidas pelo
4 Neste exemplo a função foi definida antes de plotada. É um critério pessoal, pode-se aplicar a função diretamente nocomamdo como plotfunc2d(x^3), a solução será a mesma.
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intervalo x e y
A opção Grid =n serviu para remover os pontos excessivos para a montagem dográfico mais rápido. No lado esquerdo vê-se o gráfico de 10 pontos, onde pode-seobservar com melhor precisão a imagem enquanto que do lado direito de 100 pontosnão.Os erros de aproximação númerica são mais visíveis na função a esquerda do que dadireita.
Plot2d
O comando plot2d é usado para curvas parametrizadas. plot2d ( [Mode = Curve, [x(t), y(t) ], t = [ a , b ] ] ) Observe o exemplo:
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Cos(2*x) e sin(2*x) representam a função x(t) e y(t) apresentados no esquema.Estas duas servem como demonstração das duas funções.
Através deste comando pode-se definir também pontos e formas geométricaspara compor diversas funções em um único gráfico, na forma de uma lista ( Mode=List )Caso queiramos mudar o estilo das nossas curvas ou mesmo das superfícies podemosalterar as varáveis com novas opções e atribuido-as algumas cores .
As cores no mupad são representadas pelo esquema Color = [R,G ,B], isto é,são necessários três números que variam de 0 à 1. Esta especificam a quantidade decada cor, que comporão os pontos [ 0,0,0] correspondente ao preto e [1,1,1] aobranco.O mupad já possui consigo cores padronizadas que podem ser acessadas usando oesquema “RGB = Cor” , por exemplo “RGB=vermelho”Existe três modos de coloração : Flat(cor única), Height( gradiente, que variaconforme a altura) e function(função definida pelo usuário). Em geral a Height é amais utilizada, por dar alguns graficos melhor aparência.
Exemplo:
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Para além de plotar pontos do gráfico o mupad pode também plota polígnos.O esquema é polygon(a, b,c,< opções>.), sendo o “a,b,c “ os pontos e “opções “as opções, quanto a cor , altura, preenchimento e fechado .A opção Filled(preenchido) e Closed (fechado).
Plot
O comando plot possui diversas opções e modo de plotagem. Ela é a mais “eficaz ” pois todos os objetos podem ser plotados nele.Ela carrega consigo três subcomandos: “Plot ::Implicit”, para funções implicitas, “Plot: :Contour” para obter contornos e Plot: :Vectorfield para criar campos vetoriais.
Plot :: Implicit Como diz a expressão, o comando é usado para funções implicitasExemplo: f(x) x^3 + y^3 - 3*x*y
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Para criar um conjunto de isotermas, basta adicionar o operador “contour”. Ocontour pode ser usado assim “contour = a” ou contour=[$ a..b],sendo “a e b”números reais.Tanto um como om outro traduz -se na mesma linguagem.O símbolo “$” é usado como uma abreviação.
Plot :: ContourA sintaxe do comando plot::contour( [ x, y , função )], x = a .. b, y = c ..
d) , difere dos anteriores. Gráficos gerado pelo Plot::contour costumam ficarmelhores . Para o mesmo efeito existe a opção Style = attached que gera uma imagemtridimensional.Observe os dois exemplos que se seguem :
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Plot contour plota funções implicitas mas estas ficam ilegível, por isso temos queadicionar várias linhas de contorno.
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Plot::Vectorfield
Este comando cria campos vetoriais bidimensionais. A quantidade de vetores édefinida por Grid=[x,y]. A utilidade dos campos vetoriais é servir como camposdirecionais.
Exemplo:
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Pode-se fazer novas criações associando estilo de gráficos anteriores com docampos vetoriais.
Plotar uma função junto como outros objetos através do comando plot(sem usar oplot2d ou plofunctions2d), é necessário usar a opção Plot::functions
GRÁFICOS TRIDIMENSIONAIS
Os parámetros são análogos aos gráfico 2D. Uma das maiores vantagens dosgráficos tridimensionais no Mupad é que é possível ajustar em tempo real o ânguloda visão.As opções de estilo dos gáficos podem ser encontadas através do menu View>Options. Esta janela contem duas formas de estilo de gráficos que explicareilogo a seguir.
A primeira diz respeito a formatação de gráficos depois de plotados, ou seja, o estilodos eixos, a quantidade de marcas, cores ,etc. A segunda informa, de como devem ser plotados os objetos, Tipos e Detalhes,que devem ser encarados pra montar a imagem
Observe imagem de algumas funções mostradas acima, mas agora em trêsdimensões:
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Plot3d
Não há muito que dizer sobre os comandos apresentados, estes foramutilizados em gráficos de duas dimensões
Neste caso usamos a opção Surface para os dois parâmetros e atribuimos nova cora imagem. Explicações que já foram dadas anteriormente.
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Conclusão: Acabou-se de fazer uma breve explicação do que é MuPAD e do queeste sistema é capaz. Mupad tem capacidade de realizar coisas melhores do queestas, que anos após anos , poderemos usufruir.
EXERCÍCIO MÁXIMO E MÍNIMO
Uma chapa retangular de metal tem 5 metros de largura e 8 metros de comprimento.Cortam-se quadrados coerentes com seus quatro cantos . A chapa resultante deve serdobrada e soldadade modo a formar uma caixa aberta em cima (sem tampa).Como se pode obter com este processo uma caixa de voluma máximo?
Solução: A chapa, suponhamos de zinco , foi dobrada em seus cantos cortados eformou uma caixa aberta como demonstra o exmplo.Como podemos escolher x de forma que a caixa tenha volume máximo ?
Neste caso o volume, é V=x(5-2x)(8-2x) conforme mostra a figura, logoem relação a x será dado como V(x)= x(5-2x)(8-2x).
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Sabe-se que a função V(x)= x(5-2x)(8-2x), varia entre x=0, x=5/2 ex=4 ,ou seja , 0 < x > 4
Com a ajuda do mupad vamos calcular a derivada da funçãoe achar os respectivos pontos críticos.
No primeiro caso determinamos a variável X como função de V. Logo depoisaplicamos o operador diff para a resolução da derivada.
Pode-se verificar que esta, não nos dá um resultado satisfatório. Portantorecorremos a resolução da equação para torná-la mais simples .
Nota-se que o MuPAD responde sempre com uma alternativa e nos diz o quedevemos fazer logo a seguir.. Tivemos que repetir a equação muitas vezespara torná-la mais simples possível.
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Tivemos como resultado final os pontos críticos ou zeros da derivada.
Portanto tem-se:
Zeros da função x=0, x=5/3 , x=4
Zeros da Derivada x = 1, x= 10/3
Neste caso teriamos as seguintes soluções V(0)=0V(1)=18V(10/3)=-7,4
Resposta : O x terá que ser um de forma que caixa tenha volume máximo.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Alguns Comandos ùteis
Sintaxe
Atribuição: :=Declaração de função: f := x -> expressão
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Declaração de sequência: $ a .. bInformação sobre variável/comando: info (expresssão)ajuda detalhada: help(“expressão”)Resolução de equações /sistemas : solve({x + y + z = a , x+ y + z = b }, { x, y, z}) Ré-utilização da última saida : last(1) ou % Desenvolvimento de expressões : expand (expressão)Simplificação de expressão :simplify( expressão)Remoção de valor de variáveis: delete x, y, z............... Precisão decimal exibida :DIGITS
Funções
Módulo:abs (x)Quadrática : sqrt(x)Logarítmica (x na base b): log(b , x)Exponencial:(exp(x)Trigonométrias : sin(x), cos(x), .....................Hiperbólicas :sinh(x), tan(x).................Trigonométricas Inversas: arcsin(x)...................
Cálculo
Limites: limt(f, x = a, Left / Right)Derivação: diff( f, x ) ou D ( f )Integração : int( f, x = a .. b )
Gráficos
Plotagem geral : plot(objet)plotagem de funções em 2 dimensões : plotfunc2d(f , x = a .. b )plotagem de funções em 3 dimensões :plotfunc3d(f, x = a.. b, y = a .. b)plogem de gráficos em 2 dimensões : plot2d( [ Mode = tipo, [.. ])plotagem de gráficos em 3dimensões :plot3d ( [ Mode = tipo, [...] )
objetos para função plot funções implicitasplot::implicit( [ expressão1, expressão 2,....] , x=a..b, y = c.. d
Curvas de nívelplot::contour ( [ x, y, z ]s = a..b, t = c..d, contours = [ e.. f] )
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Campos Vetoriaisplot::vectorfield :( [ Vx, Vy ], x =a .. b, y = c. . d)
Superfícies Parametrizadsplot::Surface3d ( [ x, y , z], s = a..b, t = c..d )
Outras opções de gráficos Funções 2D: plot::function2d ( f, x = a .. b)Funções 3D:plot::functions3d(f, x= a..b, y= c.. d)Curvas 2D Parametrizadas: plot::curve2d ( [ x,y], t = [a..b])Curvas 3D parametrizads : plot ::curve3d ( [ x, y], t= a..b)
Algumas opções para gráficos
Color = [R,G,B], definição de coresGrid=n , definição de pontosGrid=[x,y] , definição de vetores