tuyen tap cac bat dang thuc trong cac de thi tuyen sing dai hoc(ca hd)

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức

PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

1. Cho a, b > 0 chứng minh:

2. Chứng minh:

3. Cho a + b 0 chứng minh:

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:

5. Chứng minh: Với a b 1:

6. Chứng minh: ; a , b , c R

7. Chứng minh:

8. Chứng minh:

9. a. Chứng minh:

b. Chứng minh:

10. Chứng minh:

11. Chứng minh:

12. Chứng minh:

13. Chứng minh:

14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì:

15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

1

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh:

2. Chứng minh:

3. Chứng minh: với a , b , c 0

4. Cho a, b > 0. Chứng minh: , với m Z+

5. Chứng minh:

6. Chứng minh:

7. Chứng minh: .

8. Chứng minh: , a > 0

9. Chứng minh: .

10. Cho a , b > 0. Chứng minh:

11. Cho a , b 1 , chứng minh: .12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

2


13. Cho a > b > c, Chứng minh: .

14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc.b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc

c)

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:

16. Chứng minh:

a) ,x R b) , x > 1 c)

17. Chứng minh:

18. Chứng minh: , x , y R

19. Chứng minh: ; a , b , c > 0

20. Cho a , b , c > 0. C/m:

21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:a. với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)

b. với a , b , c 0 , (Côsi 3 số )

22. Chứng minh: ; a , b , c > 0

23. Chứng minh:

24. Cho , x > 0. Định x để y đạt GTNN.

25. Cho . Định x để y đạt GTNN.



3


28. Cho , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.

29. Cho , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.

30. Tìm GTNN của , x > 0.


32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN.

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x . Định x để y đạt GTLN

35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , . Định x để y đạt GTLN

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , x . Định x để y đạt GTLN

37. Cho . Định x để y đạt GTLN


III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2. Chứng minh:

3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 7.

4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 .


6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 2.

7. Cho a + b 1 Chứng minh:

4


Lời giải :

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

1. Cho a, b > 0 chứng minh: (*)

(*) . ĐPCM.

2. Chứng minh: ()

a + b 0 , () luôn đúng.

a + b > 0 , () , đúng.

Vậy: .

3. Cho a + b 0 chứng minh:

, ĐPCM.

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: ()

()

, ĐPCM.

5. Chứng minh: Với a b 1: ()

, ĐPCM.

Vì : a b 1 ab 1 ab – 1 0.

6. Chứng minh: ; a , b , c R

5


. ĐPCM.

7. Chứng minh:

. ĐPCM

8. Chứng minh:

9. a. Chứng minh:

b. Chứng minh:

10. Chứng minh:

.

11. Chứng minh:

.

6


12. Chứng minh:

(x – y + z)2 0.

13. Chứng minh:

.

14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì:

a + b 1 b 1 – a b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3

a3 + b3 = .

15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2

, , a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

7


4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0 (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0 (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng

Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.

II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:

, ,

.

2. Chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

,

.

3. Chứng minh: , với a , b , c 0.

,

4. Cho a, b > 0. Chứng minh: , với m Z+

8


5. Chứng minh:

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:

, ,

.

6. Chứng minh: ()

()

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:

.

7. Chứng minh: ()

() .

Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm:

8. Chứng minh: () , a > 0

()

9. Chứng minh: .

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:

9


10. Cho a , b > 0. Chứng minh:

, ,

Vậy:

11. Cho a , b 1 , chứng minh: .

12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

Tương tự: ;

xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).

13. Cho a > b > c, Chứng minh: .

14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:

a) b + c 16abc.

b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b)

c)

10


15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:

16. Chứng minh:

a)

b) =

c.

17. Chứng minh:

Vì :

, ,

, dựa vào: .

18. Chứng minh: , x , y R

11


19. Chứng minh: ; a , b , c > 0

Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.

a + b + c = (X + Y + Z)

.

Cách khác:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

20. Cho a , b , c > 0. C/m:

, tương tự

21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:a. với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)

b. với a , b , c 0 , (Côsi 3 số )

12


.

22. Chứng minh: ; a , b , c > 0

, ,

,

vì :

Vậy:

23. Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:

24. Cho , x > 0. Định x để y đạt GTNN.

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:

Dấu “ = ” xảy ra , chọn x = 6.

Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6


Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm :

Dấu “ = ” xảy ra

Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng

13





Vậy: Khi thì y đạt GTNN bằng




Vậy: Khi thì y đạt GTNN bằng

28. Cho , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.

14


Dấu “ = ‘ xảy ra (0 < x < 1)

Vậy: GTNN của y là khi

29. Cho , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.

Dấu “ = ‘ xảy ra .

Vậy: GTNN của y là khi


Dấu “ = ‘ xảy ra x = 2 (x > 0).

Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.


Dấu “ = ‘ xảy ra x = 2 (x > 0).

Vậy: GTNN của y là khi .

32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

f(x) = –10x2 + 11x – 3 =

Dấu “ = “ xảy ra

Vậy: Khi thì y đạt GTLN bằng .

33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN. Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 x 6):

15


x(6 – x) 9

Dấu “ = “ xảy ra x = 6 – x x = 3 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x . Định x để y đạt GTLN.

y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , :

(2x + 6)(5 – 2x)

Dấu “ = “ xảy ra 2x + 6 = 5 – 2x


35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , . Định x để y đạt GTLN.

y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , :

(2x + 5)(10 – 2x)

Dấu “ = “ xảy ra 2x + 5 = 10 – 2x

Vậy: Khi thì y đạt GTLN bằng

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , x . Định x để y đạt GTLN

y = 3(2x + 1)(5 – 2x)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , :

(2x + 1)(5 – 2x) 9

Dấu “ = “ xảy ra 2x + 1 = 5 – 2x x = 1 Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.


16







III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki()

.

2. Chứng minh:

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 7.

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số :

3a2 + 4b2 7.



3a2 + 5b2 .


17



7a2 + 11b2 .

6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 2. Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

a2 + b2

2

a4 + b4

2

7. Cho a + b 1 Chứng minh:

18


PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1. (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:

2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 x + y + z.

3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: A = x + y + z +

4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)

Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: A = .

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:

19


< 2

6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2 16.7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:

8. (CĐKTYTế1 2006)Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y 0; x2 + x = y + 12.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.

10. (Học viện BCVT 2001)Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1

thì:

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh:

12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)

Cho các số a, b, c thoả:

Chứng minh:

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

20


14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:

15. (ĐH PCCC khối A 2001)Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì:

16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi > 1 ta luôn có: x + – 1 ≥ x.Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: (*)

18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13

19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng:

20. (ĐHQG HN khối A 2000)Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng

minh rằng:

22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:

21


23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: P =

25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:

(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥

26. (ĐH Y HN 2000)

Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất

của tổng x + y.27. (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

29. (ĐH An Ninh khối A 2000)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n

30. (CĐSP Nha Trang 2000)Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì

khác không:

BĐT cuối cùng luôn đúng BĐT cần chứng minh đúng.

22


32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)

Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:

33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:

34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:

2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*)35. (Đại học 2002 dự bị 1)

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

(a, b, c là các cạnh của ABC, R là

bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?36. (Đại học 2002 dự bị 3)

Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =

37. (Đại học 2002 dự bị 5)Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.

Chứng minh bất đẳng thức: và tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: S = .

38. (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các

cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:

39. (Đại học khối A 2003)Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z 1. Chứng minh rằng:

23


40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + cosx

41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:

trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = .

42. (Đại học khối A 2005)

Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : .

Chứng minh rằng:

43. (Đại học khối B 2005)Chứng minh rằng với mọi x R, ta có:

Khi nào đẳng thức xảy ra?44. (Đại học khối D 2005)

Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

Khi nào đẳng thức xảy ra?45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)

Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: 6

46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)

24


Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: 256

Đẳng thức xảy ra khi nào?47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng:

Khi nào đẳng thức xảy ra?48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng nếu 0 y x 1 thì .

Đẳng thức xảy ra khi nào?49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:

50. (Đại học khối A 2006)Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:

(x + y)xy = x2 + y2 – xy.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = .

51. (Đại học khối B 2006)Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A =

LỜI GIẢI

25


1. (CĐGT II 2003 dự bị)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:

A , B , C

Ta có: AB =

AC =

BC =

Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC

2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

x3 + y3 + z3 3 2(x3 + y3 + z3) 6

x3 + 1 + 1 3 x3 + 2 3x (1)

Tương tự: y3 + 1 + 1 3 y3 + 2 3y (2)

z3 + 1 + 1 3 z3 + 2 3z (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)

Cách 1:

Theo BĐT Côsi: 1 x + y + z 3 > 0

Từ đó: A 3 +

Đặt: t = , điều kiện: 0 < t

Xét hàm số f(t) = 3t + với 0 < t

26


f(t) = 3 – = < 0, t

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =

Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = .

Cách 2:

Theo BĐT Côsi: 1 x + y + z 3 > 0 3

x + , y + , z +

Từ đó: A= 2 +

10

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = .Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =

4. (CĐSPHCM khối ABT 2006)

Ta có: x + y = 4x + 4y – 5 = 0

A = = A 2 + 2 – 5

A 5

Dấu "=" xảy ra . Vậy Amin = 5.

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có:

27


Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm.6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Ta có: (x + 1)2 16 (1) (x + 1)2 16

(x + 1) 4 (do x > 0) (x + 1)2 4x (x – 1)2 0 (2)

(2) luôn đúng nên (1) được chứng minh.7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Xét vế trái của BĐT đã cho: VT =

= 3 +

Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:

; ;

Khi đó: VT 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm).8. (CĐKTYTế1 2006)

y 0, x2 + x = y + 12 x2 + x – 12 0 – 4 x 3y = x2 + x – 12 A = x3 + 3x2 – 9x – 7Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – 7 với – 4 x 3f(x) = 3x2 + 6x – 9 ; f(x) = 0 x = 1 hoặc x = – 3f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z 3 xyz 3 (xyz)2 27 xyz 3

Dấu "=" xảy ra x = y = z = .

Vậy minA = 3 .10. (Học viện BCVT 2001)

28


Ta có hàm số f(x) = là hàm nghịch biến nên:

(a – b) ≤ 0, a, b.

, a, b. (1)

Tương tự: (2)

(3)

Mặt khác: (4)

Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

Hay (vì a + b + c = 1)

Dấu “=” xảy ra a = b = c = .

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Do a2 + b2 + c2 = 1 nên (1)

Mà 2a2.(1 – a2)2 ≤

a2.(1 – a2)2 ≤ a(1 – a2) ≤ (2)

Từ (1), (2) suy ra:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra a = b = c = .

12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)

29


Ta có:

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt (S2 – 4P ≥ 0)

Ta được hệ:

Từ (2) P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:

S2 – 2(1 – cS) = 2 – c2 S2 + 2cS + c2 – 4 = 0

Với S = – c – 2 P = 1 + c(c + 2) = c2 + 2c + 1BĐT: S2 – 4P ≥ 0 (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥ 0

–3c2 – 4c ≥ 0 (3)

Với S = –c + 2 P = 1 – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1BĐT: S2 – 4P ≥ 0 (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥ 0

–3c2 + 4c ≥ 0 (4)

Từ (3), (4) ta được:

Tương tự ta chứng minh được:

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì:

(1)

Dấu “=” xảy ra x = y.

Áp dụng (1) ta được:

Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được:

đpcm

Dấu “=” xảy ra a = b = c.

30


14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

x3 + y2 ≥ 2

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có:

Tương tự ta cũng có:

;

Suy ra:

Dấu “=” xảy ra x = y = z = 1

15. (ĐH PCCC khối A 2001)Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = là đồng biến và dương.

Do đó hàm số y = logxa = là nghịch biến.

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta được:

VT= Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + bDo đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1.

16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Xét f(x) = x – x + – 1 (x ≥ 0)

f(x) = (x – 1 – 1); f(x) = 0 x = 1

Vậy với x ≥ 0 và > 1 thì f(x) ≥ 0 hay x + – 1 ≥ x.

31


BĐT cần chứng minh:

Áp dụng BĐT đã chứng minh với = , ta có:

; ;

Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có:

Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có:

Suy ra:

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

BĐT (*) (1)

Theo BĐT Côsi ta có:

Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh.

Dấu “=” xảy ra a = b = 2.

18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0.Do đó theo BĐT Côsi ta có:

32


(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ = 1

27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13Đẳng thức xảy ra 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c a = b = c = 1.

19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Từ giả thiết ta có: = 1 0 < < 1 = 1

Từ đó suy ra:

20. (ĐHQG HN khối A 2000)Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c thì x, y, z > 0.Đ.kiện a + b + c = 0 xyz = 2a+b+c = 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3Mặt khác: x3 + 1 + 1 ≥ 3x x3 ≥ 3x – 2Tương tự: y3 ≥ 3y – 2; z3 ≥ 3z – 2 x3 + y3 + z3 ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)

Ta có:

Đặt x = ; y = ; z = thì

giả thiết

và đpcm

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2

33


Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:

Đẳng thức xảy ra x = y = z = a = b = c = 3

22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Ta có: 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3

(a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0 (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 (a + b)(a – b)2 ≥ 0BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng.Đẳng thức xảy ra a = b.

23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)a) a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.Đẳng thức xảy ra a = b = cb) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Ta có:

Đặt x = ; y = ; z = thì

giả thiết và P =

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

34


(y + z + z + x + x + y).P ≥

2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2 P ≥ (x + y + z) ≥

P ≥

Nếu P = thì x = y = z = 1 a = b = c = 1

Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = . Vậy minP =

25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)(a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥

≥ 1 + 3 + abc =

Đẳng thức xảy ra a = b = c > 0.26. (ĐH Y HN 2000)

= 6(x + y)

x + y ≥

Giá trị đạt được

Vậy min(x + y) =

27. (ĐH An Giang khối D 2000)Giả sử a ≥ b ≥ 0 ac(a – b) ≥ bc(a – b) ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 (1)

và xy + yz + zx ≥ 3 (2)

Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:

35


2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3)Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:

(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz xy + yz + zx > (vì 2 +xyz > 0)

29. (ĐH An Ninh khối A 2000)Ta có: 34 = 81, 43 = 64 34 > 43 BĐT cần chứng minh đúng với n = 3.

Với n > 3, đpcm n > < n (1)

Ta có: = =

= 1 +

= 1 + 1 + <

< 1 + 1 + < 1 + 1 + <

< 1 + 1 + + … = 1 + = 3

< 3 < n (1)

30. (CĐSP Nha Trang 2000)Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( ), ta có:

A = ≤

mà a + b = 1 nên A ≤

Dấu “=” xảy ra a = b a = b = ( do a + b = 1)

Vậy maxA = khi a = b =

31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

BĐT cần chứng minh ≥ 9

36


3 + ≥ 9

32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)Áp dụng BĐT Côsi ta có:

* (1)

* ; ;

(2)

Kết hợp (1) và (2) ta được:

33. (ĐH Hàng hải 1999)

Do (x – 1)2 ≥ 0 nên x2 + 1 ≥ 2x ≤ 1

Tương tự ta cũng có: ≤ 1; ≤ 1

Do đó: + + ≤ 3

Hay: (1)

Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:

≤ ≤ 2

(2)

Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh.34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)

Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x2 ≥ x3; y2 ≥ y3; z2 ≥ z3.

37


Suy ra: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) Do đó nếu ta chứng minh được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (1)thì (*) đúng.Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥ 0 x2 + y2 – x2y – 1 ≤ 0 (2)

Dấu “=” ở (2) xảy ra

Tương tự ta cũng có: x2 + z2 – z2x – 1 ≤ 0 (3)y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4)

Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3

Vậy (1) đúng (*) đúng

Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra (x; y; z)

35. (Đại học 2002 dự bị 1)

≤

≤ = =

≤

Dấu “=” xảy ra

36. (Đại học 2002 dự bị 3)

Cách 1: S = ≥ = 5

minS = 5

Cách 2: S = = f(x), 0 < x <

38


f(x) = ; f(x) = 0 x = 1

Lập bảng xét dấu f(x), suy ra minS = 5.

Cách 3: 2 + ≤ (3)

Dấu “=” ở (3) xảy ra

(3) ≥ 5

Vậy minS = 5.37. (Đại học 2002 dự bị 5)

Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b N) nên c ≥ b + 1 thành thử:

S = ≥ =

Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh.


Để tìm minS, ta đặt = và xét hàm số có biến số

liên tục x:

f(x) = (2 ≤ x ≤ 48)

f(x) = ; f(x) = 0

Bảng biến thiên:

Chuyển về biểu thức f(b) = (2 ≤ b ≤ 48, b N)

Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)].

39


Ta có f(7) = ; f(8) =

Vậy minS = khi

38. (Đại học 2002 dự bị 6)

Ta có diện tích tam giác: S =

ha = ; hb = ; hc =

Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) ≥ 9

và vì S = , nên ta có:

39. (Đại học khối A 2003)

Với mọi ta có: (*)

Đặt

Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:

Vậy P =

Cách 1:

Ta có: P =

với t = 0 < t

Đặt Q(t) = 9t + Q(t) = 9 – < 0, t Q(t) giảm trên

40


Q(t) Q = 82. Vậy P

Dấu "=" xảy ra x = y = z = .

Cách 2: Ta có:

(x + y + z)2 + = 81(x + y + z)2 + – 80(x + y + z)2

18(x + y + z). – 80(x + y + z)2 162 – 80 = 82

Vậy P

Dấu "=" xảy ra x = y = z = .

40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm max: y = sin5x + cosx ≤ sin4x + cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + cosx ≤ , x R (2)

(1 – cosx) – sin4x ≥ 0 (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

(1 – cosx). – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ≥ 0 (3)Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

≤

Vậy BĐT (3) đúng (2) đúng y ≤ , x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1

x = k2. Vậy maxy = .

Tìm min: Ta có y = sin5x + cosx ≥ – sin4x + cosx.

Tương tự như trên, ta được miny = – , đạt được khi x = + k2.41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)

(1)

(do 0 < ) (3)

Biến đổi vế trái của (2) như sau:

≤ =

= – = – =

41


Do (3) suy ra: =

=


42. (Đại học khối A 2005)Với a, b > 0 ta có:

4ab (a + b)2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.Áp dụng kết quả trên ta có:

= (1)

Tương tự:

= (2)

= (3)

Vậy: = 1

Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = .

43. (Đại học khối B 2005)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

2.3x (1)

Tương tự ta có:

2.4x (2) 2.5x (3)

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3) là các đẳng thức x = 0.

42


44. (Đại học khối D 2005)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

1 + x3 + y3 3 = 3xy (1)

Tương tự: (2); (3)

Mặt khác

(4)

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức x = y = z = 1.


Ta có: 3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4x 4

Tương tự: ;

Vậy 2

6 = 6


Ta có: 1 + x = 1 +

1 + = 1 +

1 + = 1 +

Vậy: 256 = 256

47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cách 1:

Ta có:

43


Suy ra: = 3

Dấu "=" xảy ra a = b = c =

Cách 2:Đặt x = x3 = a + 3b; y = y3 = b + 3c;

z = z3 = c + 3a

x3 + y3 + z3 = 4(a + b + c) = 4. = 3. BĐT cần ch. minh x + y + z 3

Ta có: x3 + 1 + 1 3 = 3x; y3 + 1 + 1 3 = 3y;

z3 + 1 + 1 3 = 3z

9 3(x + y + z) (vì x3 + y3 + z3 = 3)Vậy x + y + z 3

Dấu "=" xảy ra

a = b = c =

48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)Ta có: 0 x 1 x2

(1)

Theo BĐT Côsi ta có:

Dấu "=" xảy ra

49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

44


Ta có:

Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:

(vì x + y + z 3 = 3)

Vậy: .

50. (Đại học khối A 2006) Cách 1:

Từ giả thiết suy ra: .

Đặt = a, = b, ta có: a + b = a2 + b2 – ab (1)

A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2

Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab.

Vì ab ≤ nên a + b ≥ (a + b)2 –

(a + b)2 – 4(a + b) ≤ 0 0 ≤ a + b ≤ 4Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16

Với x = y = thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.

Cách 2:Đặt S = x + y, P = xy với S2 – 4P 0. Từ giả thiết S, P 0.

Ta có: SP = S2 – 3P P =

A = = = = =

45


A =

Đk: S2 – 4P 0 S2 – 0 S2 0 0 (vì S0)

(*)

Đặt h = f(S) = h = < 0, S thoả (*)

Từ bảng biến thiên, ta có: 0 < h 4 và h 1, S thoả (*).

Mà A = h MaxA = 16 khi x = y = (S = 1, P = ).

Cách 3:

(x + y)xy = > 0 > 0

A = = =

Dễ chứng minh được: (với a + b > 0)

dấu "=" xảy ra khi a = b.

Áp dụng với a = , b = , ta có:

A 16.

Dấu "=" xảy ra khi . Vậy Max A = 16.

Cách 4:

A = , suy ra

46


S2 – 4P 0 S2 – 4 0 0 (chia cho S2)

Nên: A = 16. Vậy Max A = 16 (khi x = y = ).

51. (Đại học khối B 2006)Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y).Do OM + ON ≥ MN nên:

Do đó: A ≥ 2 = f(y)

Với y ≤ 2 f(y) = 2 + 2 – y f(y) = – 1

f(y) = 0 2y = y =

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

Với y ≥ 2 f(y) ≥ 2 ≥ 2 > 2 + .

Vậy A ≥ 2 + với mọi số thực x, y.

Khi x = 0 và y = thì A = 2 +

Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + .

47


48

tuyen tap cac bat dang thuc trong cac de thi tuyen sing dai hoc(ca hd)

Documents