tx tintin def
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NOLAN JARA J.
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INTEGRAL INDEFINIDA
Sea 3 2( ) ( ) 3 ( )F x x F x x f x x3 anti derivada de 3x2
Porque (x3)=3x2 F(x) f(x) (x3+C): Conjunto de anti derivadas de 3x2 ; C es constante real Porque: (x3+C)= (x3)+( C )= 3x2 En general: ( F(x) + C ) : Conjunto de anti derivadas de f(x) )()( xfxF al conjunto de anti derivadas de f(x) se le llama integral indefinida de f(x). Se denota y define:
( ) ( )f x dx F x C )()( xfxF Por ejemplo
2 33x dx x C , porque la derivada de x3 es 3x2 REGLAS DE INTEGRACIN 1) dxxfCdxxCf )()( 2) dxxfdxxfdxxgxf )()())()(( 3) CxFdxxf )()( )()( xfxF 4) CxFdxxF )()( 5) ( ) ( )dF x F x C ; ( )dz z C 6) ( ) ( )f u du F u C ( ) ( )F u f u TCNICAS DE INTEGRACIN I) INTEGRACION DIRECTA La integracin directa es aplicable cuando identificamos la funcin primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivacin que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcin primitiva. Ejemplo:
1) 2 22 por que ( ) 2dxdx x C x xdx
2) 3 4 4 34 por que ( ) 4dx dx x C x xdx
3) dxxdxx 22 33 Cx
123
12
Cx
33
3
Cx 3 3 2 por que ( ) 3d x xdx
F derivada de F
F anti derivada de F = f
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En general:
1
1) ; 11
nn xx dx C nn
111 1 por que ( ) ( ) ( )
1 1 1
nn n nd x d nx x x
dx n n dx n
Si 1 11 ln ; 0n x dx dx x C xx
1 (ln )por que xx
12) ln ; 0dx x C xx
3) x xe dx e C
( )x xpor que e e
4) 0; 1ln
xx aSi a a a dx C
a
1 1 ( ) ( ) lnln ln ln
xx x xapor que a a a a
a a a
5) Senxdx C osx C ( cos ) (cos ) ( )por que x x senx senx
6 ) C osxdx Senx C ( )por que senx cosx
27) sec xdx tgx C 2 ( )por que tgx sec x
28) csc xdx cotgx C 2 2 ( ) ( ) ( ) cospor que cotgx cotgx cosec x ec x
9) secxtgxdx secx c (sec ) secpor que x xtgx
II) POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE En muchas ocasiones, cuando la integracin directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integracin por sustitucin. Ejemplo:
1) senxtgxdx dxcosx
.senx dx
cosx
( ); cosd cosx u xcosx
ln( )cosx C
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11 ln ln( ) ln( ) lntgxdx du u c cosx c Cosx c Secx cu
ln / /tg x d x s e c x c
2
12)1
dxx ;
2x tg dx sec d
2
2 2
1 11
dx sec dx sec
d c arctan x c
2
1 arctan1
dx x cx
( )3)
( )Secx Secx tgxSecxdx dx
Secx tgx
2Sec x SecxtgxdxSecx tgx
( )tgx Secx dxtgx Secx
( )d tgx Secxtgx Secx
1 lndz z cz
= ln( )secx tgx c z
lnsecxdx secx tgx c
2
14)1
dxx
; 2x tg dx sec d
2
2
1 11
dx sec dsecx
= sec d ln tg sec C ( i )
Como: x tg 12 x
En (i): 22
1 ln( 1)1
dx x x cx
Cxxdxx
)1ln(1
1 22
x
1
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[Escriba texto] Pgina 4
2
15)1
dxx ; x Sen dx cos d
Como: x sen 1 21 x
2
1I Cos dCos
1 d Sec d
Cos
CtgSec ln
Cx
xx
22 11
1ln Cxx
x
)1)(1(1ln
CxxC
xx
11ln
21
11ln
2/1
Cxxdx
x 11ln
21
11
2
Otra forma:
dxxxdxx )1)(1(1
11
2 dxxx
1
11
121
dxxdxx 11
11
21
dxxxdx
xx
)1()1(
1)1(
21
)1()1(
1)1(
21
xxd
xxd
Cxx 1ln1ln21 C
xx
1
1ln21
Cxxdx
x 11ln
21
11
2
x
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Ejemplo Hallar las integrales indefinidas siguientes: 1) 1I x x dx . Solucin. Sea 21 1 2r x x r dx rdr En I
drrrrI 2.)1( 2 drrr )(2 245 3
25 3r r C
Crr )53(152 23 Cxx )23()1(
152 2/3
Cxxdxxx32)1(
521 2/3
2) ln(ln )ln
xI dxx x
. Solucin.
Sea 1lnt x dt dxx
En I ln(ln ) 1
lnxI dx
x x
ln ...( ) ; lnt dt i y tt
1dy dtt
En (i)
I dttt1.ln
2
2yydy C Ct 2)(ln2
1 = Cx 2)(ln(ln21
1 1
2 2
ln ln ln3) (ln ) ; ln1 ln 1 ln 1 ln 1
( 1) 1 1( 1 ) 1 1 1 1
x x dx x tI dx d x dt t xxx x x x t
tI dt t dt t t dtt t
3 31 1
2 2 2 22 21 2 1 ln 1 2 ln 13 3
t t c x x c
3) 2ln
1 lnx dx
x x
Problemas: 1) Halle una funcin cuyo grfico tiene un mnimo relativo en x =1 y un mximo
relativo en x = 4. Solucin: PCx ...4,1
2( 1)( 4) 5 4y x x x x dxxxy )45( 23 25 4 1
3 2x x x
2) Halle una funcin cuya recta tangente tiene pendiente (4x+1) para cada x; (1,2) pertenece al grafico de la funcin.
Solucin: ( ) (4 1)Ltm f x x dxxxf )14()( Cxx 22 Cxxxf 22)( ; Como el punto (1,2) pertenece al grafico de la funcin
Cf )1()1(2)1(2 2 1 C ; 12)( 2 xxxf
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3) Un estudio ambiental de una cierta comunidad sugiere que dentro de t aos el nivel de monxido de carbono en el aire estar cambiando a un ritmo de (0,1) t +0.1 partes de milln por ao; si el nivel actual de monxido de carbono en el aire es de 3.4 Cul ser el nivel dentro de 3 aos?
Solucin: y(t): nivel de monxido de carbono dentro de t aos y(0) = 3.4, y ( 3 )?
1( ) (0,1) 0,110ty t t razn de cambio del nivel del monxido de carbono dentro
de t aos
dttty10
1)( dtt )1(101
)1()1(101 tdt Ct
2)1(
101 2
Ctty 20
)1()(2
Cy 201)0(4.3
2067
C 20
682)(2
ttty
15,42083)3( y
4) La poblacin de EE.UU. era de 100 millones en 1950 y de 200 millones en el ao 2000. Suponiendo que la tasa de crecimiento es en cualquier instante proporcional al tamao de la poblacin, determine el tamao de la poblacin en un instante arbitrario t. Cul es la poblacin proyectada para el ao 2030? Observacin:
* ; 0a x
a x ee d x C aa
* ( )( ) ; 0Sen axCos ax dx C aa
*cos( )( ) ; 0axsen ax dx C a
a
*
1( ( ))( ( )) ( ) ; 11
nn f xf x f x dx C n
n
* Cedxxfe xfxf )()( )(.
* ( ) ln ( )( )
f x dx f x Cf x
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TABLA DE DERIVADAS Sean u = f(x), v = g(x) y w = h(x), c una constante, n
1) dxdc = 0 2) 1
dxdx
3) dxdw
dxdv
dxduwvu
dxd
4) dxduccu
dxd
5) dxduv
dxdvuuv
dxd
6) 2vdxdvu
dxduv
vu
dxd
7) 1 nn nxxdxd 8)
dxdunuu
dxd nn 1)(
9) si Y=F(u) y u=f(x)dxdu
dudY
dxdY
10) dxdu
uu
dxd 1ln 11)
dxdu
ueu
dxd log)(log
12) dxduee
dxd uu 13)
dxduaaa
dxd uu ln)( , 0a
14) dxdvuu
dxduvuu
dxd vvv .ln1 15) usenu
dxd cos
dxdu
16) dxdusenuu
dxd
cos 17) dxduutgu
dxd 2sec
18) dxduuecgu
dxd 2coscot 19)
dxdutguuu
dxd .secsec
20) dxduguecuecu
dxd cot.coscos 21)
dxdu
uarcsenu
dxd
211
22) dxdu
uu
dxd
211arccos
23)
dxdu
uarctgu
dxd
211
24) dxdu
uguarc
dxd
211cot
25) dxdu
uuuarc
dxd
11sec2
26) dxdu
uuecu
dxd
11arccos2
27)
dxdu
uuu
dxd
28) xgxgfxgfdxd
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[Escriba texto] Pgina 8
TABLA DE INTEGRALES
1)
cnuduu
nn
1
1
; si n 1 . 2) cuudu ln .
3) cedue uu . 4) 1;0;ln aacaadua
uu .
5) cusenudu cos . 6) csenuuducos . 7) cutgudu secln . 8) csenuudu lncot . 9) ctguuudu seclnsec . 10) cuuudu cotcsclncsc .
11) 0,1 122 ac
autg
aaudu . 12)
c
auau
aaudu ln
21
22 .
13) 0,ln21
22
acau
auaua
du . 14) 0,122
acausen
uadu .
15) cauu
audu 22
22ln . 16) ctguudu2sec .
17) cguudu cotcsc2 . 18) cuutgudu secsec 19) cuguduu csccotcsc . 20) vduuvudv
21) cauuaauuduau 222
2222 ln22
22) 0,22
12
2222 acausenauauduua
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[Escriba texto] Pgina 9
Hallar las siguientes integrales por el mtodo de sustitucin:
84 5) ) 3 . 7 . iii) . .x xdxi ii x x dx a e dxa x
dxxx
xvidxx
xvdxxx
xiv2
1)171
3).32
31)2252
1
84 52) . 3 . ) ) 6 7 .xevii x sen x dx vii dx ix x dx
x
III) INTEGRACIN POR PARTES La frmula para la "integracin por partes", se deduce a partir de la regla de la diferencial de un producto de funciones. Veamos: Si u = u(x), v = v(x)
( . )d u v udv vdu ( . ) ( )d u v udv vdu uv udv vdu
vduuvudv INTEGRALES QUE SE PUEDEN RESOLVER POR PARTES a) Aquellas cuyo integrando son funciones inversa de las trigonomtricas.
b) Aquellas cuyo integrando es de la forma.
. ; . ; n nx Senbx dx x Cosbx dx n N c) Aquellas cuyo integrando es de la forma.
. ; . ; ax ax n axe Senbx dx e Cosbx dx x e dx d) Integrales de la forma.
; nx lnbxdx n N Ejemplo: 1 ) xI x e d x u v v d u u dv
. x xI x e e dx Ceex xx .
CxedxexI xx )1( 2) 2 ;xI e dx x y x y ydydx 2
arcsen . ; arccos . ; arctg . ; arccot .x dx x dx x dx x dx
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[Escriba texto] Pgina 10
2 2 2 ( 1)y y yI e ydy y e dy e y C 2 ( 1)xe x C u dv 3) xI Senxe dx uv vdu = u dv
x xSenxe e Cosxdx dxeCosxeSenx xx u dv
( )xSenxe uv vdu ( ( ))x x xSenxe Cosxe e Senx dx
( )x x xSenxe e Cosx e Senxdx ICosxeeSenx xx )( ( )xe Senx Cosx I
CCosxSenxeIx
)(2
4) vduuvdxxln dxxxxx1.))((ln dxxx ln
u dv
dxxx ln Cxxx ln
Cxxxdx )1(lnln
5) )3(31 235 33 dxxexdxex xx 33
3
31 dxex x dyye y3
1 =
3,)1(31 xyCye y
6)5
2
1ln11
x x dxxx
Sugerencia.
5
2
1ln1
1
xux
xdv dxx
Resolver por el mtodo de Integracin por Partes:
25
1( )) ) . . ) .cos .x x
arcsenxi dx ii x e dx iii e x dx
x
dxxxvidxxvdxexiv xx .ln.cos).5.)..) 22 dxxxixdxxxviiidxxvii ).3cos(.).ln.).ln) 22
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[Escriba texto] Pgina 11
IV) INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES
Se llama funcin racional a la del tipo ( )( )( )
P xf xQ x
, donde P(x) y Q(x) son
polinomios. Una funcin racional se denomina propia si el grado del polinomio P(x) es inferior al grado del polinomio Q(x); en el caso contrario la funcin racional se llama impropia. Reciben el nombre de fracciones elementales, las funciones racionales propias del tipo siguiente:
2 22
Ax+B Ax+B ; , 2 ; ; , 2x x
4 0
m m
A A m mx a px qx a px q
p q
Para la integral
2 2 , 2n n
dxI nx a
Se tiene la siguiente formula recurrente:
112 22 2
1 1 2 3. . .2 ( 1) 2 2n nn
x nI Ia n a nx a
Esta frmula permite, despus de aplicada (n-1) veces, reducir la integral dada. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES CON AYUDA DEL DESARROLLO EN FRACCIONES ELEMENTALES.
Antes de proceder a la integracin de una funcin racional ( )( )
P xQ x
es necesario efectuar
las transformaciones algebraicas y clculos siguientes: 1) Si se da una funcin racional impropia, separar de ella la parte entera, o sea, representarla en la forma
( )( )
P xQ x
= M(x) + ( )( )
R xQ x
, donde M(x) es un polinomio y ( )( )
R xQ x
, una funcin racional
propia. 2) Descomponer el denominador de la funcin racional propia en factores lineales y cuadrticos:
2 2( ) ... ... ...; 4 0nmQ x x a x px q p q 3) Desarrollar la funcin racional propia en fracciones elementales:
1 2 1 1 2 2
1 1 22 2
( ) ... ...( )
m n nm m n n
A B x CA A B x C B x CR xQ x x a x px qx a x a x px q x px q
4) Calcular los coeficientes indeterminados 1 2 1 2 1 2, ,..., , , ,..., , , ,...,m n nA A A B B B C C C ; para lo cual se debe reducir la ultima igualdad a un denominador comn, agrupar los coeficientes de iguales potencias de x en los miembros izquierdo y derecho de la identidad obtenida y resolver el sistema de ecuaciones lineales respecto a los coeficientes buscados. Como resultado, la integracin de una funcin racional se reducir a la integracin del polinomio y de las fracciones racionales elementales. Ejemplo:
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[Escriba texto] Pgina 12
1) dxxxx
xxI
2
15223
2
2 2
3 2
2 5 1 2 5 12 ( 1)( 2)
x x x xx x x x x x
( 1)( 2) ( 2) ( 1)
( ) ( 1) ( 2) ( 1)( 2)A B C x x A x x B x x Cx x x x x x
CxxBxxAxxxx )1()2()2)(1(152 2 1) Si x = 1 B = 2 2) Si x = -2 C = -1/2 3) Si x = 0 A = Reemplazando en C:
22
1
122/1
2152
23
2
xxxxxxxx
xxxx
I2
121
1121
21
Cxxx )2ln(211ln2ln
21
CxxxI 2ln)1ln(ln 2
2) dxx
xxI
1
2233
2
)1)(1(223
1223
2
2
3
2
xxxxx
xxx
)1)1( 2
xx
CBxx
A
1))(1()1(
3
2
x
CBxxAxx
).....(*))(1()1(223 22 CBxxAxxxx 1) Si x = 1 A = 1 2) Si x = 0 C = 3 3) Si x = -1 B = 2
)1(32
)1(1
1223
23
2
xxx
xxxx
dxxx
dxxx
xdxx
I)1
12)1(
12)1(
122
dx
x
xxxI 222
23
21
121ln1
22
3
23
21ln
t
dtxI
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[Escriba texto] Pgina 13
CtarctgxI
2/32/31.21ln 3
Cx
arctgxI
)12(33
3341ln 3
3) 7 6 5 4 3 2
8 4
5 4 3 2 132 256
x x x x x x xI dxx x
7 6 5 4 3 2
8 4
5 4 3 2 132 256
x x x x x x xx x
=7 6 5 4 3 2
4 2
5 4 3 2 1( 16)
x x x x x x xx
=
7 6 5 4 3 2
2 2 2
5 4 3 2 1(( 4)( 4))
x x x x x x xx x
=7 6 5 4 3 2
2 2 2 2
5 4 3 2 1( 2) ( 2) ( 4)
x x x x x x xx x x
22222 )4(4)2(2)2(2 x
HExx
FExx
Dx
Cx
Bx
A
IMPORTANTE
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
( )( );( )( ); 2 1;
n n n n n n
n n n n n n
x y x y x x y x y y nx y x y x x y x y y n k k
Ejercicios:
1) 4 3 2
2 2
2 2( 1)( 2)
x x x x dxx x
2) xedx
1
Resolver las siguientes integrales indefinidas:
dxx
xxiiidxxx
xxiidxxx
xi .2
12).23
53).5
32)4
2
34
2
2
9)675).12)
22
3
xdxvi
xxdxvdx
xxiv
dxxxxixdxxxxviii
xxdxvii .
2
3).)2()1(
))3(2
)23422
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[Escriba texto] Pgina 14
dx
xxxxiidx
xxxxidx
xxxx .
)1(1).
)1()2(15).
965)
23
2
2223
222 32)52)74) xdxxv
xxdxxiv
xxdxxiii
dxxxx
xxI
2
15223
2
dxx
xxI
1
2233
2
4 3 2
2 2
2 2( 1)( 2)
x x x x dxx x
7 6 5 4 3 2
8 4
5 4 3 2 132 256
x x x x x x xI dxx x
V) INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS RACIONALES Para hallar la integral indefinida de la forma
dxCosxSenxR ),( Hacemos:
CosxCosxxtgt
11
2
Como 2
2
1 1cos1 1
Cosx tt xCosx t
212
ttSenx
Diferenciando:
2
2 2
2(1 )(1 )
tCosxdx dtt
2 2
2 2 2
1 2(1 )1 (1 )
t tdx dtt t
dt
tdx 21
2
Ejemplo:
753 CosxSenxdxI
7115
123
12
2
2
2
2
tt
tt
dtt
22 775562 tttdt
6361222 22 ttdt
ttdt
1+t2
1-t2
2t x
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[Escriba texto] Pgina 15
22
215
23t
dt 2 2 2 3215 15
tarctg
Cxtgarctg
153)2/(2
152
2) 2
2
2 2
21
3 5 7 2 13 5 71 1
dtdx tISenx Cosx t t
t t
2
2 2 2
1 2 2cos , ,1 1 1
t tx senx dx dtt t t
Ejercicio
dxaSenx bCosx c
VI) INTEGRACIN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS En este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan potencias trigonomtricas, Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las identidades trigonomtricas principales 10) Para hallar la integral indefinida de la forma
+s n ( )cos ( ) ; m , n Zm ne x x dx a) Si m = 2 k + 1 ; + Zk
2 1 2
2 2
s n ( )cos ( ) s n ( ) cos ( ). s n ( ) cos ( ). ( )
(s n ( )) cos ( ). ( ) ( s ( ) 1) cos ( ). ( ( ))
m n k n k n
k n k n
e x x dx e x x dx e x x sen x dx
e x x sen x dx co x x d cos x
Haciendo la sustitucin: u = cos(x) ; obtenemos: 2 2s n ( )cos ( ) ( s ( ) 1) cos ( ). ( ( )) ( 1)m n k n k ne x x dx co x x d cos x u u du
b) Si n = 2 k + 1 ; + Zk
22 2 22
2 6 12 3 6 3 152 2
2 2 3 2 1( ) (2 3)15 15 2 15 30
2 1 (2 ( ) 3)2 15 30 2
dt dt dtIt t t t
t
arctg t c arctg t c
x xt tg I arctg tg c
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[Escriba texto] Pgina 16
2 1 2
2 2
s n ( ) cos ( ) s n ( )cos ( ). s n ( ) cos ( ).cos( )
s n ( ) cos ( ).cos( ) ( ).(1 ( )) ( ( ))
m n m k m k
m k m k
e x x dx e x x dx e x x x dx
e x x x dx sen x sen x d sen x
Haciendo la sustitucin: u = sen(x) ; obtenemos: 2 2s n ( ) cos ( ) ( ).(1 ( )) ( ( )) (1 )m n m k m k ne x x dx sen x sen x d sen x u u u du
c) Si m y n son pares positivos, se van disminuyendo los grados haciendo uso de las formulas trigonomtricas:
2
2
1 cos(2 )s n ( )2
1 cos(2 )cos ( )2
xe x
xx
Ejemplo.
1) 2 (1 2 ) 1 1(1 2 ) 22 2 2 4
Cos x xSen xdx dx Cos x dx sen x c 2) 3 2 2(1 cos ) (cos )I Sen xdx Sen xSenxdx x d x )()1( 2 CosxdxCos ;
t = cosx I = 3 3
2 cos( 1) cos3 3t xt dt t c x c
3) dxxSenxdxSen 224 )( 21 2( )
2Cos x dx 2
1 (1 2 2 Cos 2x)4
Cos x dx 1 1 cos4(1 2 2 )4 2
xCos x dx dxxCosxCos )4243(81
1 2 4[3 4 ]8 2 4
Sen x Sen xx C
1 4[3 2 2 ]8 4
Sen xx Sen x C
4) 3 5 2 5 2 5 . (cos )I Sen Cos xdx Sen xCos xSenxdx Sen xCos x d x
2 5( 1)( ) ( ) ; t = cosxCos x Cos x d Cosx I
8 62 5( 1)
8 6t tt t dt c
8 6cos cos8 6
x xI c
5) xdxxCosSen 642 3(1 2 ) (1 2 )
4 8Cos x Cos x dx
2) 2
2
2 2
21
3 5 7 2 13 5 71 1
dtdx tISenx Cosx t t
t t
2
2 2 2
1 2 2cos , ,1 1 1
t tx senx dx dtt t t
-
NOLAN JARA J.
[Escriba texto] Pgina 17
5 3 5 2 5 2
6 8
3) cos cos cos (1 ) ( )
6 8
Sen x xdx Sen x x xdx Sen x sen x d senx
Sen x Sen x c
2 4 2 2 2
2 2
2 2
2
1 cos2 1 cos2 1 cos24) cos ( cos )cos ( . )2 2 2
1 1(1 cos 2 )(1 cos 2 ) ( 2 )(1 cos 2 )8 81 1( 2 ) 2 cos28 81 1 cos 4 1 ( 2 )( ) ( 2 )8 2 8 21 (1 cos 4 )
16
x x xsen x xdx sen x x xdx dx
x x dx sen x x dx
sen x dx sen x xdx
x d sen xdx sen x
x dx
3
21 1 4 2( 2 ) ( 2 )16 16 4 3
sen x sen xsen x d sen x x c
Resolver las siguientes integrales trigonomtricas: 3 3 3 2.) (7 ). ) cos . ) .cos .i sen x dx ii x dx iii sen x x d
4 2 2 2 3) . ) (4 ).cos (4 ). ) 5 .cos 5 .iv sen x dx v sen x x dx vi sen x x dx 20) Para hallar la integral indefinida de la forma
a) Si la potencia de la secante es par
A continuacin se hace la sustitucin u = tgx b) Si la potencia de la tangente es impar
xdxxtan nm sec
xdxxtanxtan
xdxxxtanxdxxtankm
kmkm
212
2122
sec1
secsecsec
22 2 22
2 6 12 3 6 3 152 2
2 2 3 2 1( ) (2 3)15 15 2 15 30
2 1 (2 ( ) 3)2 15 30 2
dt dt dtIt t t t
t
arctg t c arctg t c
x xt tg I arctg tg c
-
NOLAN JARA J.
[Escriba texto] Pgina 18
A continuacin se hace la sustitucin u = secx Observacin: Si n es impar y m es par, todo el integrando se expresa en trminos de secx. Es posible que las potencias de secx requieran integracin por partes.
2 3sectg x xdx Observacin. Integrales de la forma
Se pueden determinar con mtodos semejantes, a causa de la identidad 1+cot2x=csc2x VII) INTEGRACIN DEL PRODUCTO DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Para integrar:
dxSenaxCosbx ; dxSenaxSenbx ; dxCosaxCosbx Se hace uso de:
SenBCosASenACosBBASen )( SenBCosASenACosBBASen )( SenASenBCosACosBBACos )( SenASenBCosACosBBACos )(
De donde:
1s n( )cos( ) s n( ) s n( )21s n( )s n( ) cos( ) cos( )2
1cos( )cos( ) cos( ) cos( )2
e A B e A B e A B
e A e B A B A B
A B A B A B
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida de :
1) 1
dxsenx
2
2
cos1
x dxsen x
2) 3 2cos2cos
x dxsen x xsenx
1cos
senx dxsenx x
3) cos 1
senx dxsenx x
coscosx dx
senx x
4) 12 cos 5
dxsenx x
4cos cos2 cos
senx x x dxsenx x
VIII) INTEGRACIN DE FUNCIONES IRRACIONALES Se trata de resolver integrales en las que aparezcan radicales. Inicialmente estudiaremos los dos siguientes tipos: 10) Para hallar la integral indefinida de la forma
xtanxdxxx
xtanxdxxxtanxdxxtannk
nknk
secsec1sec
secsecsec12
1212
xdxx nm csccot
-
NOLAN JARA J.
[Escriba texto] Pgina 19
1 2
1 2, , . . . , n
n
m m mrr ra x b a x b a x bf d x
c x d c x d c x d
Hacemos la sustitucin:
1 2, ( , , ..., )s
na x bt dond e s m cm r r rcx d
20) A menudo es efectivo el mtodo de sustitucin trigonomtrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrandos ciertas expresiones algebraicas tales como
2 2 2 2 2 2, ,x a x a a x Para integrar expresiones que contengan:
1) 2 2 , :x a hacemos x atg
2) aSecxhacemosax :,22
3) aSenxhacemosxa :,22
1) 2 2
3 8 3( 1) 5( 1) 4 9 ( 1) 4 9
x xI dx dxx x x x x x
2 22
13 5 *( 1) 4 9( 2) 5
dx dxx x xx
I1 I2
En (I2): 11
11
t
xtx t
t
12t
dtdx
222
9141
1.tdt
tt
tt
tI2 2 2(1 2 ) 4 4 9
dtt t t t t
214 6 1dt
t t
3221
14 3 514 14
dt I
t
1 353 ......(*1)14
I I I
En tgxI 52:1 ;
-
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[Escriba texto] Pgina 20
2 2( 2) ( 5)x 5
25dx Sec d
dSec
SecdSecI
55 2
1 //ln tgSec
2
1 ln 4 9 ( 2) .....* 2I x x x
en I3: 3 5 ;
14 14t tg
22
145
143
t
143
t
14/5
2 2
2
2) 4 4
.2
1ln4 1
xI dxx x
solucionx sen
I cx
2 2 33)
(1 ) (1 )
:
xdx
x xSugerencia x tg
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida de las funciones irracionales:
5) dxx
xx
3
3 2
11
2/132 2121 xx
dx
6) dxxxx
x
1236
3
dxx
xx
3
3 2
11
7)
dx
xx
x3
2 22
22
258 xdx
8) dxx 259
1697 2xdx
x-2
-
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[Escriba texto] Pgina 21
9) 3544 2 xx
dx 542 2 xx
dx
10) 12 2 xx
dx 132 xxx
dx
11) 142 2 xxx
dx dxxx
x
21
82
12) dxxx
x
125 2
dxxx
x34
1042
13)
xxx
dx
21 2
dx
xxx
42 11
14) 211 xxx
dx
dxxxx
x211
2
METODO DE CHEVICHEV:(INTEGRACION DE FUNCIONES BINOMIALES)
( ) ; , ,m n pI x a bx dx m n p Q
1) Si p Z, hacemos: x = tr r: m.c.m de los denominadores de m y n
2) Si Zn
m
1 , hacemos sn tbxa ; s: denominador de p
3) Si hacemosZpn
m ,1
n sax b t n s nv a bx t x
Ejemplos:
1)
dxxx
x22
3
16)16(dxxx 2/323 )16(
2;23;2;3 spnm Z
nm
21
2216 tx dxxx 2/323 )16( 2 1/ 2 3 2 1/ 2((16 ) ) ( ) (16 )t t t t dt
dttdttt )161()16( 222 Ctt 16
2
22
116
xxC
tt
2)
dxxxxx
dx 2/12424
)1(1
3) dxxxxxdx 104/12/1
10 )1()1(
Utilizando el mtodo de CHEVICHEV resolver:
23( 1)dx
x x
104( 1)dx
x x
-
NOLAN JARA J.
[Escriba texto] Pgina 22
3
2 2(9 ) 9x dx
x x
4 21dx
x x
4 3 23 2x x dx 66 665dx
x x
3 1x x dx 44 1 x
xe dx
e
2
3 3 3
6 ; dividir numerador y denominador por coscos
dx xsenx x sen x
-
NOLAN JARA J.
[Escriba texto] Pgina 23
Funciones trigonomtrica
Relaciones fundamentales
Funciones de suma y diferencia de ngulos
Suma y diferencia de funciones Producto de funciones
2
( ) ( )1
( )1
b aarctg b arctg a arctgab
aarcsen a arctga
cos1 sec
sen1 cosec
cotg1 tg
cos sen tg
sen cos cotg
cos1 tg 1
1 cos sen
22
22
sen
1 cotg 1
1 .cotg tg
22
.tg tg 1 tg tg tg
.sen cos .cos sen sen2
cos - 1 2 sen
.cos 2.sen 2. sen
cotg cotg
1 .cotg cotg cotg
.sen sen .cos cos cos2
cos 1 2 cos
1 - 2.cos 2. cos
sen - cos 2. cos2
22
.cos21 .cos
21 cos . cos
.cos21 .cos
21 sen . sen
.cos21 .sen
21 cos . sen
tg tg cotg cotg .cotg cotg
cotg cotg tg tg .tg tg
2 .sen
2 2.cos sen sen
2 .cos
2 2.sen sen sen
2 .sen
2 2.sen - cos cos
2 .cos
2 2.cos cos cos
.cos cos sen tg tg
.sen sen sen cotg cotg
-
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[Escriba texto] Pgina 24
Hallar las siguientes integrales indefinidas:
2. dxx
x
8
4
1
17. dx
xx
244
18. dxxx
x
5
4 1
19. dxx
xxsen
2coscos44
20. dxx 3 1x- 1
1
Hallar las siguientes integrales indefinidas:
En los ejercicios del 1 al 6 encuentre una funcin y = f (x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 25
Hallar las integrales indefinidas siguientes:
1 1
2 2
ln ln ln1) (ln ) ; ln1 ln 1 ln 1 ln 1
( 1) 1 1( 1 ) 1 1 1 1
x x dx x tI dx d x dt t xxx x x x t
tI dt t dt t t dtt t
3 31 1
2 2 2 22 21 2 1 ln 1 2 ln 13 3
t t c x x c
2) 2
2
2 2
21
3 5 7 2 13 5 71 1
dtdx tISenx Cosx t t
t t
2
2 2 2
1 2 2cos , ,1 1 1
t tx senx dx dtt t t
5 3 5 2 5 2
6 8
3) cos cos cos (1 ) ( )
6 8
Sen x xdx Sen x x xdx Sen x sen x d senx
Sen x Sen x c
2 4 2 2 2
2 2
2 2
2
1 cos2 1 cos2 1 cos24) cos ( cos )cos ( . )2 2 2
1 1(1 cos 2 )(1 cos 2 ) ( 2 )(1 cos 2 )8 81 1( 2 ) 2 cos28 81 1 cos 4 1 ( 2 )( ) ( 2 )8 2 8 21 (1 cos 4 )
16
x x xsen x xdx sen x x xdx dx
x x dx sen x x dx
sen x dx sen x xdx
x d sen xdx sen x
x dx
3
21 1 4 2( 2 ) ( 2 )16 16 4 3
sen x sen xsen x d sen x x c
22
2 2 2 2
sec ( )5) ln( 2 )cos 2 2 2 ( )
dx xdx d tgx tgx tg x cx tg x tg x tgx
22 2 22
2 6 12 3 6 3 152 2
2 2 3 2 1( ) (2 3)15 15 2 15 30
2 1 (2 ( ) 3)2 15 30 2
dt dt dtIt t t t
t
arctg t c arctg t c
x xt tg I arctg tg c
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 26
2
2 2
22
6) ; 21
2 2 2 ( ). ( )1 1
( )
arcsen xI dx x t x t dx tdtx x
arcsent arcsentI tdt dt arcsen t d arcsen tt t t
arcsen t c arcsen x c
4
4 33
7) ;
1 13 3
xx x x
x x
x x
xeI dx t e xe dt xe dxe xe
dtI c ctt e xe
2 23 2
4 6 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 2 22 2
3
3 3
1 38) ; 3365 ( ) 65 ( ) ( ) 65 ( )
1 1 1 1 1 1 1= = ( + ) ( - ) t 3 3(65) 65 3(65) 6565
1 1 1 65 1 1 1 65 = ln ln195 t 1952 65 65 2 65 65
dx x dx x dxI t x dt x dxx x x x x x
dtI dt dtt t t tt t
t xcxt x
c
22
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 49) ;1 1 1 (1 )
1 4 1 4 2. . . . 21 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )
1 1 1 1 12 2 ln( ) ( ) ;(1 ) (1 ) 2 1 1
x x t tI dx t x dx dtx x x t tt t t tI t dt t dt dtt t t t t t
t xdt arctg t c tt t t x
INTEGRACION DE FUNCIONES DIVERSAS
1) 2 2 23 2) 2 2 1 xsen xsen xdx x x e dx
2
3 2
2 2
2
2
ln 23) 4) 1
5) 2 1 cos 2 6) xln
2 37) 8) 2 3
9) 2
x x
x x
x
x xdx arctgxdxx x
x xdx xdx
e e dx arctg xdxe e
44
2 2 2
2 2
1 10)1
11) 6 4 2 12) ;
13) 14) 2 ln coscos 2 5
x x x
dxdxx
x x dx e sene dx e senxdx
dx sen x xdxx tg x
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 27
23
2
6
4 2 343 6
cos15) ( 2)cos( 4 1) 16)
17) 18) ln1
1+19) 20)
x
x
x xx x x dx dxsen x
xe dx x x dxe
dx x dxx x x x x
22 2 2 2 2
21) 22) cos
23) 24)cos 1
ax axe senbxdx e bxdx
dx dxa x b sen x x
5 3
4 4
4
2 2 2 2 3
25) cos ln 26) sec
cos27) 28)4 cos 2
29) 30)4 4 1 (1 )
xdx xtg xdx
dx sen x xdxx x
x xdxdxx x x x
INTEGRACION DE FUNCIONES DIVERSAS 1)
=
3 =
(3 32)
= (3
(5 + ))
=
+
+
2)( + ) = 2 2 + 1 = (4 2) dv = e dx v = 2e
( + ) = 2(2 2 + 1) + 2 (4 2) De nuevo integrando por partes
2 (2 2 + 1) + 2 (4 2)2 + 8 2 (2 2 + 1) 4 (4 2) 32 +
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 28
( + ) = [ + + ] +
4) =
= =
= 12 = I = lnx2x + 12 1x dx = 2 + 12 12 + =
+
5) =
= = 1 + 1
=
= 3
= ( 3) 3 + 1
= ( 3) + 1 + 3 + 1
= ( 3) 12 ln( + 1) + 32 + I=
( + ) +
5) ( ) = 2 1 = 4; = 2 =
= (2 1)22 22 De nuevo integrando por partes
= (2 1)22 2 22 + 22
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 29
I=(2 1)
+ 2
+ I= + ( ) + 6) = = =
= = 2
= 2
= 2 2 12
=
+
+
7)
()()()() = = ( + 1) = ( + ) + +
8) = = = = 2
= 2 = =
= = 2
= 2 2 12 + 1
= 1 1 + 1 = + +
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 30
= ( + ) + 9) = 2 = =
=
= ()
+
=
+
10) =
= (1 + )
Sea 1 + = =
= () , reemplazando y simplificando: I =
1 = 1 + + 1 + + + 1 = ( + + ) + ( + ) + ( + ) + ( ) + + = 0 + = 1 + = 0 = 0 I = () () + ()
+ + + + +
11) = + = 24 ( 1) =
( ) +
+
= = 0
= =
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 31
12) = ()
= () () Sea: = =
I= = = d = = I= + = + + I=() + () + 12) =
= = 2 = = = + 2 Por partes una vez ms:
= + 2 2
= + 2 2
=
+
13) =
2 + 5 = 2 + 5 = 15 ()(2) + (5)
I=
+ + +
14) = () = ln() =
-
ARAJ ARAJ NALON
23 anigP ]otxet ribircsE[
= 2 =
) 1( )( = )( = )( )( = )(=I )( )(=I
+
) + + () + ( )51 ))1 + 4 + ((21 = )1 + 4 + ( )4 + 2(21
) + + ( =
+
= )61
= = = = aeS = =I
+
=
+ 1
=
+
)71
+ 12 + 12 = 4 + 12=I
4 + 12 =
= aeS 2 =
= = = =
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 33
= 21 + 4 + = 21 + 4[ + ( )] + = + + () () + 18) I = ( + )
[( + 1)] = + ( + 1) Haciendo = y + 1 =
+ integrandoporpartes
+ = ( 1) + ( 1) + = ( ) + ( + )(( ) ) +
19)
(1 + ) = 1 11 + = +
20) ( )
Haciendo = = 12, reemplazando y simplificando: 12 + 1
1 = 12 1 + 2 1 = 12 + 2 1 1 = 12 + 2 ln 1 + 1 + = + + +
21) ()
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 34
()
() = ()
()
+ ()
()
()
()
() = ()
()
()
+
() = ()
()
+
() = () () + +
22) ()
()
+ () = ()
+ ()
()
()
+ ()
()
() = ()
+ ()
()
+
() = ()
+ ()
+
() = () + () + +
23)
Dividiendo entre :
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 35
+ = 1 () + () = 1 1 ( ) +
+
24) =
Sea = =
= = 122 = 12(1 + 2) = 12 + 122
= 2 + 24 +
=
+ (())
+ 25) = () Sea = =
Integrandoporpartes:
+ Porpartesunavezms:
+
= + = + 2 + I= ()()
+
26)
-
ARAJ ARAJ NALON
63 anigP ]otxet ribircsE[
))()1 ( =)()1 ( = )( =)( )( =
+
)72
)2 + 2 ()2 + 2 + ( = 4 + )2 + 2 + () + ( + )2 + 2 () + ( = 1 )2 + 2( + )2 + 2 + 2 2( + ) + 2 + + 2( + ) + ( = 1 0 = + 1 = 2 + 2 0 = 2 + 2 + 2 2 0 = + 2 + + 2
41 + 81 2 + 2 41 81 2 + 2 +
2 + 2 4 2 611 2 + 2 + 4 + 2 611 1 + )1 (1 81 +2 + 2 2 2 611 1 + )1 + (1 81 + 2 + 2 + 2 + 2 611
+ + + ) ( + ) + ( + +
= =
=
=
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 37
PROBLEMAS RESUELTOS DE REPASO
1)
Hallar: dxxxI .3. 2
Reemplazamos en este caso:
xdudxdxxdu
xuxg
6.6
3)( 2
En la integral original y tendremos:
Cuduuduux
duuxI 23
23
21
.61.
61.
61
6..
luego siempre debemos regresar a la variable original:
CxxCxI 3.3913
91 2232
2)
Hallar: dxxsenxI .1. 2
Reemplazamos:
xdudxdxxdu
xu
2.2
12
En la integral original:
CuduusenxduusenxI cos.21).(212).(. Regresando a la variable original:
CxI 1cos.21 2
3)
Hallar: dxxxI .ln.1 Reemplazamos:
duxdxdxx
du
xu
..1ln
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 38
En la integral original:
CuduuduxuxI 332....1 Retornamos a la variable original:
CxxCxI ln).(ln32ln
32 3
4)
Hallar: dxxeI
x.
2
1
Reemplazamos:
duxdxdxx
du
xu
..1
1
22
En la integral original:
CedueduxxeI uu
u... 2
2
Retornamos a la variable original
CeI x 1
5) Hallar
dxxxI .ln. Hacemos integracin por partes:
vduuvudv
dxx
duxu
xvdxxdv
.1.ln
2.
2
dxxxxdxxxdx
xxxxdxxx .
21ln.
2.ln..1.
2ln.
2.ln.
222
Cxxxdxxxxxxdxxx
4ln.2.ln.2.21ln.2.ln.
2222
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 39
6) Hallar: I = dxsenxx .. Hacemos integracin por partes:
vduuvudv
dxduxuxvdxsenxdv cos.
I = Csenxxxdxxxxdxsenxx cos..coscos... CsenxxxI cos.
En este mtodo se puede dar el caso de tener que aplicarlo dos o ms veces hasta llegar a resolver definitivamente la integral, debemos tener en cuenta tal como ya lo vimos en los ejercicios anteriores que se debe llegar a resolver una sola integral y que la misma sea directa. Veremos algunos casos donde se debe aplicar ms de una vez el mtodo: 7) .cos .xe x dx
Hacemos integracin por partes:
vduuvudv
.cos . .
x xdv e dx v eu x du senx dx
.cos . cos .cos . .x x x xe x dx xe dx e x e senx dx (I) En este caso vemos que la integral que nos queda en el segundo miembro no es directa, por lo consiguiente aplicamos nuevamente el mtodo pero solo a esta integral, un aspecto que se debe tener en cuanta es los signos: Resolvemos solamente: . .x xe senx dx senxe dx
Hacemos: .
cos .
x xdv e dx v eu senx du x dx
. . . .cos .x x xe senx dx e senx e x dx (II) Reemplazamos (II) en (I)
cos . .cos . .cos .x x x xe x dx e x e senx e x dx Eliminamos el corchete:
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 40
cos . .cos . .cos .x x x xe x dx e x e senx e x dx
En este caso podemos ver que la integral a resolver en el segundo miembro es igual a la del primer miembro, lo que es viable hacer es realizar un pasaje de trminos con lo que tendramos:
.cos . cos . . cosx x xe x dx e x dx e senx x 2 .cos . . cosx xe x dx e senx x
Luego despejamos la integral original que tenamos que resolver y tendremos:
. coscos .
2
xx e senx xe x dx C
8) Hallar:
dxxsen .2 Esta integral se puede escribir tambin: dxsenxsenx . Hacemos integracin por partes:
vduuvudv
dxxdusenxuxvdxsenxdv
.coscos.
Aplicamos el mtodo de integracin por partes:
dxxxsenxdxxsen .coscos.. 22 En el caso de la integral que aparece en el segundo miembro podemos hacer uso de la relacin trigonomtrica: xsenxxxsen 2222 1cos1cos Reemplazamos esta relacin en la integral anterior y tendremos:
dxxsenxsenxdxxsen .1cos.. 22 Luego operamos de acuerdo a las propiedades ya vistas de las integrales:
dxxsendxxsenxdxxsen .cos.. 22 Luego operamos algebraicamente:
xxsenxdxxsendxxsenxdxxsendxxsen cos..2cos... 222
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 41
Cxxsenxdxxsen 2cos..2
9) I=
1 2
3 2 2 2. . . 1 cos . . .cos .I I
sen x dx senx sen x dx senx x dx senx dx senx x dx
Vemos en este caso que la integral 1I es de integracin inmediata, pero la integral 2I no lo es y podemos resolverla por otro mtodo:
11 cos. CxdxsenxI
dxxsenxI .cos. 22 En este caso podemos resolver por sustitucin:
senxdudxdxsenxdu
xu
.
cos
Reemplazando tendremos:
23
222 3
... CuduusenxduusenxI
Retornamos a la variable original:
23
2 3cos CxI
Reemplazando en (I) los resultados obtenidos de 21 IyI obtendremos como resultado final:
Cxxdxxsen 3coscos.3
3
Donde: 21 CCC 10)
dxxsenxdxxsensenxdxxsensenxdxxsen .cos1.....222245
1 2 3
2 4 2 4. 1 2cos cos . . 2 .cos . .cos .I I I
senx x x dx senx dx senx x dx senx x dx
Resolvemos cada una de estas integrales:
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 42
11 cos. CxdxsenxI
23
22 3
cos.cos. CxdxxsenxI
dxxsenxI .cos. 43 Se resuelve por sustitucin:
senxdudxdxsenxdu
xu
.
cos
35
335
443 5
cos5
... CxICuduusenxduusenxI
En la integral original tendremos:
Cxxxdxxsen 5coscos32cos.5
35
11)
dxxxdxxdxxdxx .2cos2cos.2141.
22cos1.cos.cos 2
2224
321
.2cos41.2cos
21
41.cos 24
III
dxxdxxdxdxx
11 .41
41 CxdxI
dxxI .2cos212 Por sustitucin:
2.2
2dudxdxdu
xu
2222 24141.cos412.cos21 CxsenICsenuduuduuI
dxxdxdxxdxdxxdxxI .4cos81
81.4cos
81.
24cos1
41.2cos
41 2
3
33 4321.
81 CxsenxI
Reemplazamos en la integral original:
4
4
42cos .4 4 8 32
43 2cos .8 4 32
sen xx sen x xx dx C
sen xx sen xx dx C
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 43
12) dxxx .14
Si efectuamos la divisin de estos dos polinomios obtendremos:
)1(
111)1(
111234
234
xxxxx
xxxxxxx
)1(
11)1(
234
xxxx
xx
Cxxxxxdxx
xxxdxxx
1ln234111.1
23423
4
Vemos que las integrales parciales a resolver son todas inmediatas, en el caso de
1xdx se podra plantear una sustitucin de la forma: dxduxu 1 por lo consiguiente la integral adopta la forma: CxICuudu 1lnln 13)
dx
xxxI .
9
123
Factorizamos el denominador:
dx
xxxxdx
xxxI .
33.12.
9.
122
Expresamos como fracciones simples:
dxxCdxx BdxxAdxxxx xI .)3(.)3(.33. 12 Nos independizamos de los smbolos integrales y de los diferenciales para Hallar los valores de A, B y C:
)3)(3()3.(.)3()3)(3(
33.12
)3()3(33.12
xxxxxCxBxxxA
xxxx
xC
xB
xA
xxxx
)3.(.)3()3)(3(12 xxCxBxxxAx
Si 91)30.(0.)30.(0.)30)(30(10.20 ACBAx
Si 185)33.(3.)33.(3.)33)(33(13.23 BCBAx
Si
187)33).(3.()33).(3.()33)(33(1)3.(23 CCBAx
)3(18
7)3(18
591.
9
123 x
dxxdx
xdxdx
xxxI
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 44
CxxxdxxxxI
3ln1873ln.185ln91.9
123
14)
dxxx
xI23 4
2
Al factorizar el denominador tendremos:
dxxx
xI)4(
22
Expresndolo como fracciones simples:
dxx
CdxxBdx
xAdx
xxxI
)4()4(
222
Hallamos los valores de A, B y C:
)4(
.)4()4(
)4(
2)4()4(
22
2
222
xx
xCxBxxA
xxx
xC
xB
xA
xxx
2.)4()4(2 xCxBxxAx
Si 210.)40.(0.40200 2 ACBAx
Si 2 3 4 4 2 4 4 .( 4).( 4 4) .( 4)8
x A B C C
Claramente podemos ver que al usar las races que surgen de la factorizacin, solo podemos calcular en este caso dos de las constantes. Para calcular la tercera constante debemos adoptar un valor para x que lgicamente deber ser distinta de las ya adoptadas. Por ejemplo en nuestro caso adoptaremos 1x Si CBACBAx 5511.)41.(1.41211 2 lo que debemos hacer ahora es reemplazar los valores de las constantes ya obtenidas.-
827
835
2151
CC
Tenemos ahora las tres constantes calculadas solo nos basta resolver la integral planteada originalmente:
)4(8
2783
21
)4(
222 x
dxx
dxxdxdx
xxxI
Kxxx
I 4ln827ln
83
21
Ejemplo:
15) dxxxI 22 2
1 .
En este caso tenemos dos races mltiples, solamente debemos repetir el proceso:
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 45
dxxDdx
xCdx
xBdx
xAdx
xxI
)2()2(2
12222
Sacamos
comn denominador:
)2()2()2(1
2222 xD
xC
xB
xA
xx
22
2222
22 )2(
)2.(..)2.(.)2(
)2(
1
xx
xxDxCxxBxA
xx
)2.(..)2.(.)2(1 2222 xxDxCxxBxA
Si 41)20.(0.0.)20.(0.)20(10 2222 ADCBAx
Si 2 2 2 2 12 1 ( 2 2) .( 2).( 2 2) .( 2) .( 2) .( 2 2)4
x A B C D C
Nos faltan dos constantes por lo tanto debemos adoptar dos valores. Por ejemplo: Si )21.()1.()1.()21).(1.()21(11 2222 DCBAx
Si )21.()1.()1.()21).(1.()21(11 2222 DCBAx
Una vez que resolvemos nos quedan dos ecuaciones de la forma:
DCBADCBA
13991
Reemplazamos en este sistema los valores de las constantes ya
obtenidos:
DB
DB
41
411
341.9
41.91
21
2339
DB
DB
Nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, que puede ser resuelto por cualquiera de los mtodos ya conocidos con lo que obtendremos:
41;
41
DB
Reemplazamos en la integral original a calcular:
)2(41
)2(41
41
41
2
12222 x
dxx
dxx
dxxdxdx
xxI
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 46
Kxx
xx
I
2ln.41
)2(41ln
41
16)
dxxxI
1
23
El denominador puede ser expresado de la forma: 111 23 xxxx Como podemos ver una de las races es 1x , en cuanto a la ecuacin cuadrtica tiene races complejas, lo que debemos hacer en este caso es expresar la integral como fracciones simples:
)1)(1(
)1)(()1(
1
2
1)1(1
22
2
323
xxx
xCBxxxA
xx
xxCBx
xA
xx
Luego tendremos: )1)(()1(2 2 xCBxxxAx
Si 133)11)(1.()111(211 2 AAcBAx
17)
dxx
xxxI
22
23
1
323
Esta integral se debe expresar como fracciones simples de la siguiente manera:
dx
xDCxdx
x
BAxdxx
xxxI .1
.11
32322222
23
(i)
Luego trabajamos solo con los integrandos para poder sacar un comn denominador con lo que obtenemos:
222
22222
23
)1(
)1)((
111
323
xxDCxBAx
xDCx
x
BAx
x
xxx
)1)((323 223 xDCxBAxxxx
El paso que sigue consiste en formar un sistema de ecuaciones donde la cantidad de ecuaciones debe coincidir con el nmero de constantes a determinar. Para poder determinar dicho sistema debemos primero que nada adoptar valores distintos para la variable x : Si DBDCBAx 3)10)(0.(0.30 2 (I)
Si DCBADCBAx 223)11)(1.(1.31 2 (II)
Si DCBADCBAx 22911)1()1.(91 2 (III) Si DCBADCBAx 51023)12)(2.(2.32 2 (IV) De esta forma me queda el siguiente sistema:
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 47
35102922
3223
DCBADCBA
DCBADB
Al resolver el sistema por cualquier mtodo obtenemos:
3101
DCBA
Una vez obtenidos estos valores regresamos a la integral (i) y las reemplazamos:
dx
xxdx
x
xdxx
xxxI .1
3.11
32322222
23
321
.1
3.1
.11
323222222
23
III
dxx
dxx
xdxx
xdxx
xxxI
dxxxI
221
1
Debe ser resuelta por sustitucin:
xdudxdxxdu
xu
2
2
.2
1
Reemplazando
1221 21212. Kuudu
xdu
uxI 121 )1(2
1 Kx
I
dxxxI
122 Debe ser resuelta por sustitucin:
xdudxdxxdu
xu
2
2
.2
1
Reemplazando
21 ln21212. KuuduxduuxI 222 1ln21 KxI
31
221.3
1
131
3 Kxtgdxx
dxx
I 31
3 .3 KxtgI
Lo nico que nos queda por hacer es reemplazar estas integrales en su expresin original:
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 48
Kxtgx
xdx
x
xxxI
12222
23.31ln.
21
)1(2
1
1
323
Hallar las integrales indefinidas siguientes:
1) 3 33 3
1 255
x x dxx x
2)
12
12
3 5 3x
xe x dx
e
3) 3 29 3x x dx 4) 2
2
11
x
xe dxe
52 22
3 2 2
2 23
1 1 1 15) 5 6) 2
3 ln 1 ln7) 8) 3
x xdx dxx x x x
x x xdx dxx xx
3
9) ln 10) arcx xdx x senxdx
11) 4 4 4
x dxx 12)
(2 )(2 ). xsen x e dx
13)22( ) xxsen x e dx 14)
2
3
1 x dxx
15) 23 3 3
; dividir numerador y denominador por sencos cos
dx xx x sen x
16) dxx
xx
3
3 2
11
17) 2/132 2121 xx
dx
18) dxxxx
x
1236
3
19) dxx
xx
3
3 2
11
20)
dx
xx
x3
2 22
22
21) 258 xdx
-
NOLAN JARA JARA
[Escribir texto] Pgina 49
22) dxx 259
23) 1697 2x
dx
24) 3544 2 xx
dx
25) 542 2 xx
dx
26) 12 2 xx
dx
27) 132 xxx
dx
28) 142 2 xxx
dx
29) dxxx
x
21
82
30) dxxx
x
125 2
31)
dxxx
x34
1042
32)
xxx
dx
21 2
33)
dxxx
x42 11
34) 211 xxx
dx
35)
dxxxx
x211
2