U. PORTOFEUP FACULDADE DE ENGENHARIA

UNIVERSIDADE DO PORTODEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E GESTAO INDUSTRIAL

Mestrado Integrado em Engenharia MecanicaMestrado Integrado em Engenharia Eletrotecnica e de Computadores

Investigacao Operacional2013.01.09

Prova com consultaDuracao: 2h30min

1Virada Cultural e a festa de rua da cidade de Sao Paulo. Um evento gratuito que atrai anualmenteum publico circulante de milhoes de pessoas durante 24 horas de programacao cultural ininterrupta.

Organizado pela Secretaria Municipal de Cultura, este encontro cultural reune as diferentes classessociais, todas as faixas etarias, inumeras tribos, numerosas plateias, todos os horarios.

A cidade e tomada por uma imensa variedade de ritmos e estilos, por artistas consagrados eemergentes, por apresentacoes de danca e teatro, sessoes de cinema, discotecagens, performances;bandas, orquestras, exposicoes, intervencoes e diversos tipos de artes circenses e de rua.

1www.viradacultural.org/

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1. (8/20)

Um evento da envergadura da Virada Cultural em Sao Paulo tem de ser pensado com todo o detalhe tanto naagenda cultural proposta como em todos os servicos de apoio. O planeamento dos servicos de emergencia efulcral para que os participantes se sintam confiantes.

Da experiencia de anos anteriores constatou-se que 5 minutos e o tempo maximo que pode decorrer entreuma chamada de emergencia e a chegada de uma ambulancia ao local. Para garantir esse nıvel de servico eportanto necessario fixar os locais da baixa de Sao Paulo onde as ambulancias ficarao estacionadas a espera daschamadas. Pretende-se que qualquer zona da baixa seja acessıvel por pelo menos uma ambulancia dentro dostais 5 minutos. O numero de locais de estacionamento das ambulancias devera, no entanto, ser minimizado parareduzir os custos fixos.

A figura e a tabela seguintes representam as Zonas (A a I) em que foi dividida a baixa de Sao Paulo e ospossıveis Locais (1 a 7), para estacionamento das ambulancias. Na tabela representou-se, para cada Local, asZonas acessıveis em menos de 5 minutos. Assim, por exemplo na tabela, o 1 no cruzamento L2 e Zona E significaque uma ambulancia demora menos de 5 minutos a chegar de L2 a qualquer ponto da Zona E.

A  B  

C   H  

E  

F  

G  

D  

I  

1  

2  

3  

4  

5  

6  7  

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7Zona A 0 1 0 1 0 0 1Zona B 1 0 0 0 0 1 1Zona C 0 1 0 0 0 0 1Zona D 0 0 1 0 1 0 0Zona E 0 1 1 0 1 0 0Zona F 1 0 0 1 0 1 0Zona G 0 0 0 0 0 1 1Zona H 1 0 1 1 1 0 0Zona I 0 0 0 0 1 0 0

(a) i) Decisoes

A. Descreva por palavras os diferentes tipos de variaveis de decisao para este problema.

B. Calcule o numero de variaveis de decisao de cada tipo.

C. Represente matematicamente as variaveis de decisao do problema, e indique se sao reais, binarias,etc. . . .

ii) Restricoes

A. Descreva por palavras os diferentes tipos de restricoes para este problema.

B. Calcule o numero de restricoes de cada tipo.

C. Represente matematicamente as restricoes para este problema na forma linear.

iii) Objetivo

A. Descreva por palavras a funcao objetivo para este problema.

B. Represente matematicamente a funcao objetivo na forma linear.

(b) Depois de analisarem as solucoes para o problema descrito acima, os responsaveis pelos servicos deemergencia consideraram que seria necessario acrescentar as duas restricoes seguintes: (represente ma-tematicamente as restricoes na forma linear)

i) No conjunto das Zonas F, H e I nao podem existir mais do que 2 Locais de estacionamento deambulancias (ver figura).

ii) Se for previsto um local de estacionamento de ambulancias para o Local 6 entao o Local 2 tambemdevera ter um local de estacionamento de ambulancias.

(c) Com a ajuda do modelo que construiu na alınea (a) foi possıvel encontrar uma solucao otima com apenastres locais de estacionamento de ambulancias.

Os responsaveis pelo planeamento de servicos de emergencia pensam, no entanto, que existem solucoesotimas alternativas em que, com esse mesmo numero de locais de estacionamento de ambulancias, existammais Zonas acessıveis em menos de 5 minutos pelas ambulancias.

Construa o modelo de programacao linear completo para esta nova situacao.

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2. (6/20)

A Virada Cultural é a maior festa de rua da cidade de São Paulo. Durante 24 horas, o centro da cidade fica repleto de eventos lúdicos. Os visitantes podem assistir a inúmeros espetáculos de música, peças de teatro, sessões de cinema, exposições de arte, entre outros eventos. A Virada Cultural de 2013 está já a ser planeada cuidadosamente pela Secretaria Municipal da Cultura (SMC) de São Paulo para que a festa de 2013 supere as anteriores. Embora Virada Cultural de 2013 ainda não tenha uma data definitiva, a festa ocorre habitualmente num fim de semana de sol e de lua cheia, entre o final de tarde de sábado e o de domingo.

A Virada Cultural de 2013 vai ter algumas no-vidades face as festas anteriores. A SecretariaMunicipal de Cultura (SMC) vai disponibilizargratuitamente comboios turısticos para ajudar osvisitantes a circularem mais comodamente entreos eventos mais atrativos. Os comboios turısticospartem da Praca Sao Joao e tem como destino fi-nal o palco principal, dedicado a ritmos de sambae localizado no Parque Dom Pedro II.

Pelo caminho, os comboios passam pelos eventos tradicionalmente preferidos dos visitantes, localizadosem pontos estrategicos do centro da cidade.

A SMC precisa de saber qual e o numero maximo de comboios turısticos que pode colocar em circulacao,uma vez que esse servico vai ser disponibilizado pela primeira vez no neste ano. A tabela apresenta oslocais onde ocorrerao as principais atracoes, o local de partida (Praca Sao Joao), o local de chegada(Parque Dom Pedro II), bem como o numero de comboios turısticos que, consideradas as caracterısticasda malha urbana, podem circular, por hora, entre esses locais.

De: Para: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)(1) Praca Sao Joao — 10 10 9 — — —(2) Praca da Republica — — 5 — — 8 —(3) Largo do Arouche — 5 — 8 8 — —(4) Estacao Julio Prestes — — — — 5 2 2(5) Largo do Cafe — — — — — 5 6(6) Parque Dom Pedro II — — — — — — —(7) Largo do Paicandu — — — — 6 10 —

— percurso inviavel

(a) Construa a rede com os percursos realizados pelos comboios turısticos e indique a capacidade decada percurso.

(b) Determine o numero maximo de comboios turısticos que podem chegar ao palco principal, porhora, recorrendo ao algoritmo de fluxo maximo. Prove que a solucao a que chegou e otima,indicando o respetivo corte mınimo.

(c) A Virada Cultural de 2013 vai ter ainda outra surpresa: uma zona dedicada aos mais pequenoscom inumeros espetaculos de circo, magia, marionetas, entre outros.

A SMC ja definiu o local da zona infantil e verificou que o transporte ate essa zona tem de serassegurado por comboios que partam do Largo do Cafe (5) e/ou do Largo do Paicandu (7). Dadasas limitacoes da envolvente urbana da zona infantil, so podem chegar a esta zona 3 comboios porhora.

A SMC esta convicta que esta ideia vai ser um sucesso pois os comboios turısticos, que saemda Praca Sao Joao, podem levar os visitantes adultos para o palco principal e os visitantes maisnovos para a zona infantil.

Construa a rede que lhe permitiria determinar o numero total maximo de comboios que poderiachegar por hora a estes dois destinos.

Nao se esqueca de indicar a capacidade de cada percurso. Nao resolva.

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3. (6/20)

Um dos eventos previstos para a proxima Virada Cultural de Sao Paulo e uma oficina de pintura quedecorrera numa das pracas da cidade. A oficina de pintura sera organizada da seguinte forma:

Registo na Oficina Quando uma pessoa chega entra numa tenda e dirige-se a uma assistente quefaz o seu registo de participacao na oficina. A chegada de pessoas a tenda segue uma distribuicao dePoisson com media de 54 pessoas por hora. O tempo gasto pela assistente para registar uma pessoasegue uma distribuicao exponencial negativa com media de 1 minuto.

Dado o reduzido espaco da tenda, um assistente no seu exterior desviara para outros eventos da ViradaCultural as pessoas que chegam, sempre que dentro da tenda ja se encontrem 6 pessoas a espera parase registarem.

Atividades da Oficina Apos o seu registo, as pessoas dirigem-se a area onde terao lugar as ati-vidades da oficina. Aı serao colocadas numa fila de espera unica (sem limite de capacidade, poisesta fila forma-se numa area exterior), aguardando a sua vez para levarem a cabo a atividade progra-mada com o auxılio de um dos varios artistas plasticos disponıveis no local. Cada artista acompanhauma unica pessoa de cada vez na execucao da sua atividade. O tempo despendido por um artistano acompanhamento de cada pessoa segue uma distribuicao exponencial negativa com media de 5minutos.

Todas as pessoas que se registam so abandonam a oficina apos terem executado a atividade programadacom o auxılio do artista.

O responsavel pela organizacao da oficina esta preocupado com o seu exito e pediu-lhe ajuda paraencontrar as respostas as seguintes questoes: (justifique devidamente cada uma das suas respostas)

(a) Sabendo que a Virada Cultural tera uma duracao de 24 horas, qual sera o numero esperado depessoas que nesse perıodo participara nesta oficina? (Considera-se que uma pessoa participa naoficina se executar a atividade programada para a mesma).

(b) Nesse mesmo perıodo de 24 horas, qual sera o numero esperado de pessoas que gostaria departicipar na oficina mas que, devido a capacidade limitada da tenda, nao o fara?

(c) Qual devera ser o numero mınimo de artistas a convidar para a oficina, para que o numero mediode pessoas ja registadas que aguardam por um artista disponıvel seja inferior a 3.

(d) Como calcularia o valor do tempo medio que decorrera desde que uma pessoa entra na oficinaate que comeca a executar a atividade programada?

Nota: nao se pretende que calcule o valor numerico desse tempo medio, mas que indique como opoderia calcular.

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Resolucao

1. (a) i) Decisoes

A. As variaveis de decisao para este problema sao os locais a escolher para os postos desocorro.

B. Ha apenas um tipo de variavel de decisao e desse tipo ha 7 variaveis, numero igual aonumero de locais onde podem ser instalados postos de emergencia.

C.

xi =

{1 se posto de socorro for aberto no local i0 se nao

ii) Restricoes

A. As restricoes deste problema sao de um tipo apenas. E necessario garantir que cada umadas zonas da cidade esta acessıvel em menos de 5 minutos de pelo menos 1 local ondetenha sido montado um posto de socorro.

B. Ha apenas um tipo de restricao e desse tipo ha 9, uma por cada zona da cidade.

C. Considerando que a tabela apresentada no enunciado pode ser representada por aij onde:

aij =

{1 se posto de socorro no local i permite chegar a zona j em menos de 5 minutos0 se nao

∀j∑

i aijxi ≥ 1

iii) Objetivo

A. O objetivo deste problema e abrir o menor numero possıvel de postos de socorro.

B.

min∑

i xi

(b) Depois de analisarem as solucoes para o problema descrito acima, os responsaveis pelos servicos deemergencia consideraram que seria necessario acrescentar as duas restricoes seguintes: (representematematicamente as restricoes na forma linear)

i) x1, x4 e x5 sao as variaveis de decisao correspondentes aos postos de socorro localizados naszonas F, H e I. Para impor a restricao que nesses setores nao podem estar localizados maisdo que 2 postos de socorro e necessario acrescentar ao modelo a seguinte restricao:

x1 + x4 + x5 ≤ 2

ii) A afirmacao de que se for previsto um posto de emergencia para o Local 6 entao o Local 2tambem devera ter um posto de emergencia e garantida pela seguinte restricao:

x2 ≥ x6

(c) Com a ajuda do modelo que construiu na alınea (a) foi possıvel encontrar uma solucao otimacom apenas tres locais de estacionamento de ambulancias.

Os responsaveis pelo planeamento de servicos de emergencia pensam, no entanto, que existemsolucoes otimas alternativas em que, com esse mesmo numero de locais de estacionamento deambulancias, existam mais Zonas acessıveis em menos de 5 minutos pelas ambulancias.

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Construa o modelo de programacao linear completo para esta nova situacao.

Indices :

i locais para postos de socorro

j zonas da cidade

Dados :

aij =

{1 se zona j acessıvel de local i em menos de 5 minutos.0 se nao

3 numero maximo de locais para ambulancias

Variaveis de Decisao :

xi =

{1 se posto de socorro for aberto no local i0 se nao

Objetivo :

max∑

i,j aijxi

Sujeito a :

∀j∑

i aijxi ≥ 1∑i xi ≤ 3

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2. (a) A rede que traduz o problema pode ser representada atraves do esquema seguinte:

(b) Para determinar o numero maximo de comboios turısticos que a SMC devera colocar a circular,deve-se proceder a maximizacao do fluxo entre o no 1 e o no 6 aplicando o algoritmo de fluxomaximo. As iteracoes correspondentes ao algoritmo estao representadas em seguida.

O primeiro caminho nao saturado escolhido foi: 1-2-6. Fluxo= min{10,8}=8

O segundo caminho nao saturado escolhido foi: 1-3-5-6. Fluxo= min{10,8,5}=5

7

O terceiro caminho nao saturado escolhido foi: 1-4-6. Fluxo= min{9,2}=2

O quarto caminho nao saturado escolhido foi: 1-4-7-6. Fluxo= min{7,2,10}=2

O quinto caminho nao saturado escolhido foi: 1-4-5-7-6. Fluxo= min{5,5,6,8}=5

O ultimo caminho nao saturado escolhido foi: 1-2-3-5-7-6. Fluxo= min{2,5,3,1,3}=1

Esta solucao e a solucao otima do problema (o valor do fluxo maximo e igual a capacidade docorte mınimo). O corte assinalado e o corte mınimo porque separa a entrada (no 1) da saıda (no6) da rede e atravessa ramos saturados, orientados da entrada para a saıda, e ramos com fluxonulo (i.e. ramo 7-5), orientados da saıda para a entrada. De acordo com solucao obtida, a SMCpode colocar a circular, no maximo, 23 comboios turısticos.

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(c) Para ter em conta a condicao adicional, deve-se colocar um no artificial (no A) antes da zonainfantil, ligado a este por um arco com capacidade maxima 3. (Como os 3 comboios que chegama zona infantial podem vir do no 5 ou do no 7, o no articifial deve ligar-se a estes por intermediode arcos com capacidade pelo menos igual a 3).

A nova rede apresenta agora um no de origem (no 1) e dois nos de destino (no 6 e no Infantil).Assim, para resolver o problema deve considerar-se um no de saıda artificial (no F) para agregaros comboios que chegam ao no 6 e ao no infantil. A capacidade dos arcos que ligam o no F podeser considerada infinita (M), por forma a nao limitar o fluxo de comboios que passa na rede.Posteriormente, resolve-se o problema maximizando o fluxo entre o no 1 e no F, recorrendo aoalgoritmo de fluxo maximo.

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3. O funcionamento da oficina de pintura pode ser representado atraves de dois sistemas de espera,conforme se pode ver na seguinte figura:

Registo das pessoas: Sistema de espera M/M/1/7 (K=7)

A fila de espera tem capacidade limitada a 6 pessoas e ha somente uma assistente (servidor) a registaras pessoas, logo a capacidade maxima do sistema e de 7 pessoas, K=7 (6 pessoas na fila de esperamais 1 pessoa a ser atendida).

Realizacao da atividade: Sistema de espera M/M/S

A fila de espera tem capacidade ilimitada, com numero de artistas (servidores) S a determinar.

E dito no enunciado que todas as pessoas que se registam so abandonam a oficina apos terem executadoa atividade. Isso significa que o sistema de espera relativo a realizacao da atividade dispora donumero de artistas (servidores) necessarios para que este sistema esteja em equilıbrio. Assim, o quevai condicionar o numero de pessoas que participara na oficina sera a capacidade limitada do sistemade registo das pessoas.

Por esse motivo as alıneas a) e b) dizem respeito ao sistema de registo de pessoas (sistema RP),enquanto as alıneas c) e d) dizem respeito ao sistema da realizacao da atividade (sistema AF).

(a) λr = 54 pessoas por hora

1/µr = 1 minuto = 1/60 horas, logo µr = 60 pessoas/hora

ρr = λr/µr = 54/60 = 0, 9

K = 7

Para responder a pergunta e necessario determinar a taxa de entrada de pessoas no sistema deespera de registo de pessoas, λr = λr(1− PK).

Das tabelas para sistemas M/M/1/K (slides das aulas teoricas) para λr/µr = 0, 9 e K = 7obtem-se P0 = 0, 1756.

Para este tipo de sistema: Pn = ρnrP0 logo P7 = ρ7rP0 = 0, 084

λr = λr(1− PK) = 54× (1− 0, 084) = 49, 46 pessoas/hora.

Logo, em 24 horas, o numero esperado de pessoas que participarao nesta oficina sera 24×49, 46 =1187, 04 pessoas.

(b) O numero esperado de pessoas que gostaria de participar na oficina, mas que devido a capacidadelimitada da tenda nao o fara, e dado por: 24× (λr − λr) = 24× (54− 49, 46) = 108, 96 pessoas

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(c) Sistema de espera M/M/S

A chegada de pessoas ao sistema de espera onde se realiza a atividade da oficina (AF) faz-sesegundo uma distribuicao de Poisson com media λa igual a taxa de entrada de pessoas no sistemade espera de registo de pessoas (RP), λr.

Com efeito, para que o sistema RP esteja em equilıbrio, e necessario que a taxa de entrada depessoas seja igual a taxa de saıdas. Assim, a taxa de saıda de pessoas, apos o seu registo, dosistema RP e λr. Ora a taxa de chegada de pessoas ao sistema AF e igual a taxa de saıda depessoas do sistema RP, pois e dito que nenhuma pessoa abandona a oficina sem ter executado aatividade programada.

Teremos entao para o sistema AF:

λa = λr = 49, 46 pessoas por hora

µa = 60/5 = 12 pessoas/hora

ρa = λa/(Sµa) tem de ser < 1 para que o sistema esteja em equilıbrio.49, 46× (S × 12) < 1⇒ S > 49, 46/12 = 4, 12Por isso , o numero mınimo de artistas sera 5.

S = 5

A partir das tabelas para sistemas M/M/S, para λa/µa = 4, 12 e S = 5 podemos obter (porinterpolacao linear) o valor para P0 = 0, 0107.

ρa = λa/(Sµa) = 49, 46/(5× 12) = 0, 8243

Lq =P0

(λaµa

)Sρa

S!(1−ρa)2 = 2, 83 pessoas ≤ 3 pessoas. Assim, o numero mınimo de artistas a convidar

sera 5 (S = 5).

(d) O tempo pedido e dado pela soma do tempo gasto no sistema RP (M/M/1/7), com o tempo deespera no sistema AF (M/M/5). Wr, Tempo medio gasto no sistema RP (M/M/1/7) pode serdeterminado atraves das seguintes expressoes:

Wr = Wqr + 1µr

= Lrλr

onde Lr = ρr1−ρr −

(K+1)ρK+1r

1−ρK+1r

Wqa, o tempo medio de espera no sistema para o sistema AF (M/M/5)

Wqa =Lqaλa

onde Lqa =P0

(λaµa

)Sρa

S!(1−ρa)2

O tempo pedido seria entao o resultado da soma de Wr do sistema RP (M/M/1/7) com Wqa dosistema AF (M/M/5).

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