U NIVERSI DAD AUTO NOMA M ETROPO LlTANA Casa ainerta al tiempo UNIDAD IDAPALAPA División de Ciencias Básicas e Ingeniería

DEPAFXTAMENTO DE MATEMATICAS

SOBFt IA NOCIGY DE VECINDAD EN UN ESPACIO DiSfRETO

MAURICE FRECHET (uNI' iEXSIIE BE STRASBOURG)

TTRAGUCCION DE ANDFES SESTIER

04.04 .04.III. 1 9.003.98

COMENTARIOS SOBR~E UN ARTÍCULO DE M. FRÉCHET Y SOBRE su APORTACI~N A LA

TOPOLOGÍA DE CONJUNTOS

ANDRÉS SESTIER B.

1. EL ART~CULO: “SOBRE L,A NOCIÓN DE VECINDAD EN UN ESPACIO DISCRETO”

En este artículo Réchet comeinta el “espacio discreto de Linfield”. Se trata de un conjunto en el que se ha definido una relación simétrica R entre sus elementos. Esta relac.ión corresponde en la mente del autor a la relación de contacto enttre partículas de lo que comúnmente se entiende con el nombre de espacio físico ordinario. Si dos elementos (partículas) están en la relación binaria R, tienen contacto y se dice (Linfield) que son conjugados. Podría pensarse en una gráfica: dos vértices están en la relación R si existe una arista que los conecta. El concepto actual de “topología discreta”, por demás estéril, poco tiene que ver aquí.

El propósito de F’réchet es aplicar el concepto de espacio V a esta situación. Los espacios V son uno de los enfoques creados por Fréchet para definir la topología de un coinjunto. Un espacio V es simplemente un conjunto en el que cada elemento tiene asociado un conjunto de subconjuntos llamados vecindadcs del elemento. Lo sorprendentc es que en una situación tan simple es posible rcciiperar lo esencial de los conceptos topológicos de la época desdc que Cantor estudiara estos problcrnas en los espacios curtesianos.

Cada elemento del espacio dc Linficld time scgún Fréchct una sola. vecindad constituída por los elementos conjugados del primero. En- toriccs resulta qiie la derivación de coriju,ritos (el dcrivado clc un con- jiinto cs cl coIi.jiint80 de sus piintos tic aciiIiiiila.<:ióri) es tlist,ributiva rc- spccto a. la iinión; pcro otras prol:liridndcs topológicas faIriiliarcs 110 son vtílitlas cri gcmeral, cl corij unto for.iriado por 1111 sólo cleiiierito t.ieric piiii- t,os (cileriient’os) tlc aciiIriulacibri y (’1 cori,jiirit,o clerivado no os wrrtL(Io.

El coriccipt,o dc c:oIi,jiiiit,o concxo s(: ty’lica e11 oste cspacio y rcsiilt a qiie si 1111 espacio discreto tknc 1111 coiij iirito c:c:rratlo, estd(: os t,ii.ml)i611 abierto y c1 wpacio 110 os conexo. Dc 111;~1i(:ra q i i c , o1)scrva Frklict, 1111

cspn.cio tliscroto (:oiicxo 110 t.icnc ccni1,jiiritos al )iortos. DC paco nprovcc*li;t 1

2 ANDRES SESTIER B.

para criticar la definición de Hausdorff en donde las vecindades son conjuntos abiertos. En un espacio discreto conexo no hay vecindades abiertas.

En el espacio discreto se llama “transformación equivalencia” a una correspondencia biunívoca entre elementos que preserva la conjugación. F’réchet afirma que las equivalencias son los homeomorfismos. Linfield define los conjuntos “simétricos” y F’réchet traduce esta propiedad a la de ser <‘ localmente topológicameiite homogéneo”.

Se define el nudo de n dimensiones como un conjunto de n + 1 ele- mentos que son todos conjugados entre sí. Se define un conjunto de n dimensiones como un conjunto que contiene un nudo de n dimensiones.

Ahora, en la teoria de la dimensión de Fréchet el conjunto A tiene un tipo dimensión no magor que el de B si B contiene un subconjunto homeomorfo a A. Si el tipo de A no es mayor que el de B y el tipo de B no es mayor que el de A, se dice que tienen el mismo tipo de dimensión. En las dos Últimas pBginas se comparan los conceptos de dimensión según Linfield y F’réchet haciendo referencia al concepto de Urysohn y Menger que es el concepto más vigente de la dimensión. El libro capital de Hurewicz dedica algunas páginas al concepto de Fréchet.

2. LA OBRA. DE FRÉCHET

En su tesis de 1906, Fréchet definió las clases L, las clases V y las clases E. Como ya se vió, las clases V son conjuntos en los que acada el- emento se asigna un sistema de vecindades. Las clases L son conjuntos en los que, por definición, algunas sucesiones de elementos son con- vergentes y las demás son divergéintes sujetándose esto a dos axiomas. Las clases E son conjuntos dotados de una distancia, los mismos que serían llamados espacios métricos:, ocho años rnh tarde, por el “grilii sacerdote de la topología” F. Haucdorff, como dice el historiador Carl Boyer en la página 668 de su libro [7]. Pero Hausdorff no dio credito alguno por la invención de los espacios métricos a F’réchet.

Respecto a la noción de distancia en u11 conjunto abstracto, nos dice Fréchet [1]: esta noción la introdujimos cn 1906 con cl ~ionihrc d r “desviación” (en francés ka r t ) , llamando clnscs E n l a s formnrins por elementos cuyo limite puede ser definido por’ mcctio dc In dcsii%nc:%cí.r~,. Hemos reservado estas expresiones para el caso cri que n o s c i ~ r i . p o ~ ~ , r ~ la tercera condición (es decir, la d(:sigualdatl del t;riángiilo) y cn. .su hr- gar empleamos los términos de “distanciaJ’ y dc ‘‘c:spncio ~l.r:stcr.nc.ztl,c~(~ ’l.

Hausdorff llama espacios métricos a los cr;pnr:io.~ d%.Yt(inciiLdo*s.

COMENTARIOS SOBRE UN ARTíCIJLO DE FRfiCI-IET

Lo que Frécliet procuraba en 1906 era dotar a un conjunto abstracto con algún “orden”, algún criterio de “posición relativa’) entre sus el- ementos que permitiera distinguir un conjunto de otro, precisamente por su “topología”, En su tesis, en vez de topología emplea la expresión “estudio de los conjuntos abstractos)). Por supuesto, en la tesis no se habla de L‘puntos’’ sino de elementos del conjunto y el concepto crucial es el de “elemento límite de un conjunto e n una clase abstracta”.

Hausdorff conocía perfectamen.te el trabajo de F’réchet, por dos ra- zones: la primera es que F’réchei: publicó su primer trabajo sobre la teoría de la dimensión en la famosa revista alemana Mathematische An- nalen, en 1910, la segunda es que el mismo Hausdorff dedica dos páginas en la segunda edición de su libra, a las clases L de F’réchet, sin darle el credit0 debido por los espacios métricos. Fréchet prefirió llamarlos “espacios distanciados” o “distanciables” hasta el- fin de su vida. Las clases L fueron discutidas por Urysohn, Moore y Kuratowski.

Redefinidas como clases L* se pueden estudiar en el tratado de Kura- towski [3].

La teoría de la dimensión de F’réchet no asigna un número a la di- mensión de un “espacio abstracto” sino un tipo de dimensión. Tiene la ventaja de asignar dimensiones “fraccionarias” : Hurewicz comenta esta dimensión de F’réchet en su libro Dimension Theory.

La teoría de la dimensión de fiéchet toma como modelo la teoria cantoriaria de los números cardznales. Pero los tipos de dimensión carecen de un orden total, y para los tipos de dimensión no existe un análogo del teorema de Cantor-Bernstein: A = [O, 13 es liomeoniorfo a [3,4] que está contenido en (2,~)) = B, y también se ticne que B es homeomorfo a ( O , 1) contenido en A, pero A y B no son liomeoinorfos. Sin embargo, Banach demostró e r i 1924 el sorprendente tcorema: si dim A = dim B en el sentido de I;i.éclict, critmces cxist,en A,, A2, DI, B2 tales que A = Al U A2, B = B1 IJ 132, con la, propicdad dc que Al cs homcomorfo a Bi y A2 cs lioineoinorfo a B2. Al y A2 son i~jc11os.

Conccptos fundarnentales creados por F’ríiclict son los de cornpncto, completo y separable. El gran mcrito de Frdchct consistió (:n crear, en el aiio de 1906, varias opcioiieii de una teoría de wpacios “;i,l)strac- tos” doiiclc piid icr an c nc ar iinr sc los coiiccp t.os t,op o1 Ogi c( )s t lc C m tor para los espacios cnrt.csiarios. LB:) hizo pci~isrintlo vii ( 3 1 ‘ ((~ií l(~1ilo fiiii-

cional)’ (o aridisis fiiricioiial) y 1)or t,n.iit,o siis “cspwios ai)stmct,os” (!ran

Por supuesto, cn In t,csis d c 190(3 iiit,it-,iil:i,(la Respecto a algunos puntos del cálculo funcional 110 ap;Lrccr cl voc:il)lo “(q);irio” ( 1 1 i c iiicorl)ora.i.;í. rnudio iiitís t m l c . . Estn t,osis vs 11110 ( I C los c 1 o c ~ i i i i i c t i i i . o ~ l ~ ~ i ~ ( l ; l ~ t ~ ( ~ t ~ ~ - ~ ~ l ( ~ s

del siglo.

3

c las ccs ( lc fi inc io ri c. s.

4 ANDRÉS SESTIER B.

Frases de su maestro Hadmard que parecen haberle inspirado espe- cialmente son referentes a la necesidad de (si se permite el barbarismo) “visualizar” los conjuntos de funciones o de dcscrióir el continuo de las funciones: . . . ahora podemos comprender cual es la grave dificultad en el cálculo funcional. Este se encuentra en las condiciones en que estaria la teoría de las funciones si las propiedades del continuo (recta real) nos fueran totalmente desconocidas.

El continuo funcional no ofrece ninguna imagen simple. La intuición geométrica nada nos dice a priori al respecto. Estamos obligados a re- mediar esta ignorancia y sólo pod{omos hacerlo analiticamente, creando para el continuo de las funciones un capitulo dc la teorz‘a de conjuntos, lo que hizo F’réchet [SI.

El gran ideal de F’réchet en la concepción de su teoría de espacios abstractos (clases de funciones en un principio) fue la teorz’a de grupos, uno de los grandes logros del siglo XIX. Buscaba una teoría de espacios abstractos de base tan simple y sólida y de consecuencias tan grandes como las de la teoría de grupos. Pero el mismo grupo Bourbaki, descendiente en buena medida de Fréchet se unió a la corriente general que decretó a Hausdorff, padre de la topología general o topología de conjuntos.

F’réchet gozó de una extrordinaria longevidad y en 1955 comenta el lugar que corresponde a Hausdoirff en la historia de la topología, en estos términos: “... El primer ensayo de una familia no numerable de entornos parece deberse, independientemente uno del otro a R. Root y a F. Hausdorff en 1912.” [l]

Alexandroff y Urysohn, los grandes topólogos soviéticos, siempre reconocieron ser discípulos y admiradores de la obra de Rérhct.

El 21 de Octubre de 1967, Alexandroff en una carta cnvindn tlcsdc Moscú escribía: “comprendo muy’ bien la cnioción quc exporirtienta al leer la historia de las matemáticas escrita por N . Boiirbnlri. Pcro 110

es esta historia sino la verdadera Historia tle 121. Cionci;i. t d cor110 cis (xi realidad, la que determina para ca,cla cicntífico, sil 1iiga.r y SII 1 ) i ~ I ) ~ l cn la. evolución de la ciencia. En cuanto al lugar clc Ust,txl, cs 1111 liigar cirit,rc. los inás grandes matemáticos de nucstxo t.icriipo y si1 p a p 1 vs PI t l ( i

un verdadcro MAESTRO. NO lie al~aiim,(lo los Cy!) ;iiios t l c i (:(lii(l, 1m-o tengo, 71, y ya es algo, y creo tener cl dcrcdio (lo o p i i i í u soJ)ro lo q i i ~

cs la Ciencia Materncitica coriterr:.porií,iio;L y qiiioiicis soil siis c~c~icloIc>s y rnaestros.”

El tiempo le dió la razón.

COMENTARIOS SOBRE UN ART~CULO DE FRBCIIET

Bibliografía

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1. M. Fréchet, Las rnaternktzcas y lo cariri cto, colección “Probleirias científicos y filosóficos”, UN AM (1958).

2. Johnson, The problem, of the zn‘uarzance of dzmenston.., part 11. Arch. Hist. Ex. Sc. 25(19511), 120-126.

3. IC Kuratowslti, Topologie, Varsovia, (19%). 4. P. Dernkopf, The developmepxt offunctzon spaces, Arch. Hist. Ex.

5. Arboleda, Les Débuts de L ’ é d e topologzque sovzétzque, Arch. Hist.

6. Taylor, A study of Maurzce Fréchet, Arch. Hist. Ex. Sc. (1982). 7. Boyer, A History of Mathematics, J. Wiley, 1968. 8. Hadamard, L’enseignement niathématique, 1912.

Sc. 3(1966).

Ex. Sc. (1979).

SOBRE LA NOCIÓN DE VECINDAD EN UN ESPACIO DISCRETO

MAURICE FRÉCHET (UNIVERSIDAD DE ESTRASBURGO)

Introducción. El Sr. Ben Zion Linfield recién ha presentado en la Universidad de Estrasburgo una tesis que lleva el título Espacios discre- tos paramétricos y no paramétricoal para obtener el título de Doctor.

Su trabajo-redactado en francés- se origina en una tesis en inglés sostenida en el extranjero dos aÍíos antes. Se distingue de ésta no sólo por una redacción totalmente nueva de los resultados sino también por algunos desarrollos inéditos. Además, la sucesión un tanto árida y fatigosa de los enunciados y las demostraciones que constituían los capítulos viene aquí precedida por una introducción mucho más detal- lada que arroja luz sobre el origen y el encadenaniiento de las ideas que con demasiada frecuencia tiende a dejar oculto el método axiomático.

Sin embargo, nuestro propósito no es aquí pasar revista a los resul- tados que obtuvo el Sr. Linfield. Tan sólo deseamos mostrar la forma en que el espacio discreto imaginado por el Sr. Linfield proporciona un ejemplo muy interesante de 103 espacios que he llamado espacios (V), aquellos en que los elementos de acumulación quedan definidos por medio de familias de vecindades.

Este ejemplo me parece especialmente digno de atención porque en el momento de imaginarlo, el Sr. Linfield no pensaba en absoluto en aplicar una teoría anteriormente conocida. Lo guiaba, cuando menos al principio, el deseo de formular un concepto de un espacio que fuera más próximo que el espacio euclidimo al espacio de partículas familiar para los físicos.

Él por tanto creyó alejarse enteramente de los teoremas que son el fundamento del Analysis Situs, al construir su espacio discreto. Liberándose de toda construcción anterior conocida por él, se vió sin embargo, llevado por la naturaleza misma de su objeto de estudio a formular definiciones que en generaJ encuadran con las que se obtienen al considerar su espacio discreto como un espacio (V) particular. Me

'Traducción de Andrés Sestier B. del artículo de M. F'réchet Sur la notion de

'Gauthier-Villars, París, 1925. uoisinage dans un espace discret, Fundamenta Mathematicae 151-159.

1

2 MAURICE FRÉCHET (UNIVE:RSIDAD DE ESTRASBURGO)

parece interesante señalar esta relación conceptual que da una prueba más de la flexibilidad de la noción de espacio (V).

Recordaremos brevemente algun.as nociones respecto a la topología del espacio (V) , veremos lo que vilenen a ser en el espacio (V) partic- ular que constituye el espacio discreto del Sr. Linfield y finalmente se hará la comparación con las definiciones correspondientes propuestas de manera completamente independiente por el Sr. Linfield.

Los espacios (V,. No se trata aquí del primer significado que había dado en 1906 a esta expresión en mi tesis y que abandoné después. Ahora llamo2 espacio (V) un espacio en el cual los puntos de acumu- lación se definen por medio de vecindades. Precisemos. Se consideran elementos de naturaleza arbitraria como puntos de un espacio y se aso- cia a cada elemento x una familia cualquiera V, de.conjuntos de estos elementos. Cada conjunto V, es lla,mado una vecindad de x.

Para simplificar, aunque no sea esencial hacerlo, se supone que x pertenece a cada vecindad de x.

Siendo esto así, un punto x será considerado como punto de acumu- lación de un conjunto F de puntos del espacio (V), si cada vecindad de x contiene al menos un punto de A? distinto de x. El conjunto de los puntos de acumulación de F será el conjunto derivado F' de F .

El espacio euclidiano es un espacio (V) obtenido considerando como vecindades de un punto x, las esferas de centro en x. Pero es claro que la noción de espacio V es mucho rrtás general.

En nuestra tesis, habíamos ya definido las clases (L) que comprendían como casos particulares, el espacio euclidiano, el espacio de Riemann, etc., y espacios todavía más complejos del análisis funcional. Pero la noción de clase (L) suponía la existencia de una definición del límite de una sucesión infinita de puntos del espacio considerado. Para lle- gar a englobar espacios prácticamente poco útiles pero teóricamente interesantes nos vimos llevados a generalizar aún más e introducir los espacios (V) más generales que las clases (L). El hecho de que el espacio discreto del Sr. Linfield es un espacio (V) sin ser un espacio (L) es una nueva justificación de la introducción de los espacios (V).

El espacio discreto del Sr. Linjield. La concepción intuitiva del es- pacio discreto del Sr. Linfield es la de un conjunto de partículas. En este conjunto dos elementos distintos pueden estar en contacto con- trariamente a lo que ocurre en el espacio euclidiano. La vecindad, en el sentido intuitivo, de un elemento x está constituida por el conjunto de elementos en contacto con x.

2Sur la notion de woisinage dans les tmsem.bles abstraits, Bull. Sc. Math., 42, (1918).

SOBRE LA NOCIÓN DE VECINDAD EN UN ESPACIO DISCRETO

Linfield generalizó el concepto del conjunto de partículas definiendo de esta manera el espacio discreto: es un conjunto de ele- mentos de naturaleza cualquiera donde la relación de contacto -que ya no puede conservar el mismo sent#ido- se reemplaza por una relación más general. Esta relación se deja indeterminada, es una relación que para dos elementos distintos cuale,squiera, tiene lugar o no, sin impor- tar el orden de estos dos elementos. Según tenga lugar o no, se dirá que esos elementos son conjugados o no lo son.

Después, el Sr. Linfield juzgó Útil eliminar a su vez esta noción, para reemplazarla por una relación PIQ # O , más general, aparente- mente, puesto que está definida entre dos conjuntos cualesquiera P, Q, de elementos del espacio discreto.

El resultado de ello es reemplazar argumentos de aspecto geométrico, por argumentos de aspecto analítico. Pero como lo esencial de la teoría no se ve alterado, nos atendremos a su primera concepción, más favor- able a la intuición.

Esto nos invita entonces a considerar como vecindad U, de un punto x, el conjunto Vio) de los puntos y conjugados de x y el punto x mismo. Pueden también agregarse las vecindades de orden 1,2,3- llamando Vin) a los puntos de Vin-') y los puntos conjugados de puntos de Vin-'). Nada cambiará en los resultados d.e la definición de los puntos de acu- mulación y de los conjuntos derivados si se constituye la familia de las vecindades de x Únicamente con el conjunto VJo) en vez de la familia de los conjuntos Veo), Vc') , . . . , Vin), . . . . Supondremos en lo sucesivo entonces, que la familia de las vecindades de x está reducida a la sola vecindad Vio).

Se observará que en este espacio (V) particular, la operaczón de derivación de conjuntos es dzstributiva, es decir que para cualesquiera conjuntos F y G , se tendría

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E l Sr.

(F + G)' = F' + G'.

En efecto, todo elemento z conjugado de alguno de los elementos de F o de G es conjugado de uno de los elementos de F+G y recíprocamente. Así, no solamente el espacio del Sr. Linfield es un espacio (V), sino que no es el más general.

Pero varias propiedades importantes de los conjuntos lineales pueden dejar de ser aplicables en él: un conjunto constituido por un sólo punto puede tener puntos de acumulaciiin; un conjunto derivado puede o no ser cerrado [es decir, no contener su propio conjunto derivado], un punto podría no estar determinado por la familia de todos los conjuntos de los cuales es punto de acumulación, etc.

SOBRE LA NOCIÓN DE VECINDAD E N UN ESPACIO DISCRETO

Linfield generalizó el concepto del conjunto de partículas definiendo de esta manera el espacio discreto: es un conjunto de ele- mentos de naturaleza cualquiera donde la relación de contacto -que ya no puede conservar el mismo sentido- se reemplaza por una relación más general. Esta relación se deja indeterminada, es una relación que para dos elementos distintos cualeisquiera, tiene lugar o no, sin impor- tar el orden de estos dos elementos. Según tenga lugar o no, se dirá que esos elementos son conjugados o no lo son.

Linfield juzgó Útil eliminar a su vez esta noción, para reemplazarla por una relación PIQ # O, más general, aparente- mente, puesto que está definida entre dos conjuntos cualesquiera P, &, de elementos del espacio discreto.

El resultado de ello es reemplazar argumentos de Fpecto geométrico, por argumentos de aspecto analítico. Pero como lo esencial de la teoría no se ve alterado, nos atendremos a su primera concepción, más favor- able a la intuición.

Esto nos invita entonces a considerar como vecindad U, dc un punto x, el conjunto Vio) de los puntos y conjugados de x y el punto x mismo. Pueden también agregarse las vecindades de orden 1,2,3- llamando V(") a los puntos de V("-') y los puntos conjugados de puntos de Nada cambiará en los resultados de la definición de los puntos de acu- mulación y de los conjuntos derivados si se constituye la familia de las vecindades de x únicamente con e1 conjunto Vio) en vez de la familia de los conjuntos V(O), V('), . . . , Vin), . . . . Supondremos en lo sucesivo entonces, que la familia de las vecindades de x está reducida a la sola vecindad V,(').

Se observará que en este espacio (V) particular, la operación de derivación de conjuntos es distrihtiva, es decir que para cualesquiera conjuntos F y G, se tendría

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El Sr.

Después, el Sr.

( F + G)' = F' + G'.

En efecto, todo elemento x conjugado de alguno de los elementos de F o de G es conjugado de uno de los elementos de F+G y recíprocamente. Así, no solamente el espacio del Sr. Linfield es un espacio (V), sino que no es el más general.

Pero varias propiedades importantes de los conjuntos lineales pueden dejar de ser aplicables en él: un conjunto constituido por un sólo punto puede tener puntos de acumulaciiin; un conjunto derivado puede o no ser cerrado [es decir, no contener su propio conjunto derivado], un punto podría no estar determinado por la familia de todos los conjuntos de los cuales es punto de acumulación, etc.

4 MAURICE FRÉCHET (UNIVE:RSIDAD DE ESTRASBURGO)

Conexidad. El Sr. Linfield defin’e un conjunto conexo como un con- junto S tal que si se le descompone de una manera cualquiera en dos conjuntos ajenos (es decir, sin elementos comunes), no vacíos, estos dos conjuntos siempre son conexos. (Dos conjuntos ajenos son conexos si existen dos puntos conjugados que pertenecen respectivamente a estos conjuntos.)

En la teoría de los espacios (V), se define conjunto conexo como un conjunto S, tal que si se le descompone en dos conjuntos cualesquiera R y T , se tiene

R’.T + RT’ # O.

en el caso particular de los espacios discretos ello quiere decir que existe al menos un elemento de R conjugado de un elemento de T , de nueva cuenta, la definición del Sr. Linfield.

Continuos. Según el Sr. Linfield, un conjunto conexo R sacado de un espacio discreto S es entero, si, según su notación, SIR = O ; es decir, si no existe elemento de S que sea conjugado de un punto de R sin pertenecer a R.

Por otra parte, hemos definido, en los espacios (V), un conjunto cerrado como un conjunto al que pertenecen todos sus puntos de acu- mulación y un continuo corno un conjunto conexo, cerrado y que tiene más de un punto.

Linfield, un conjunto conexo R es por tanto cerrado si todo elemento conjugado de uno de los elementos de R, pertenece al mismo R. Entonces es entero en el sentido del Sr. Linfield y recíprocamente. Así, un conjunto de puntos de un espacio discreto, que es entero en el sentido del Sr. Linfield, no es otra cosa que un continuo, cuando este espacio discreto se considera como un espacio (V) particular.

En un espacio (V), un punto x es interior a un conjunto F de puntos de este espacio si x pertenece a F y no pertenece al conjunto derivado del complementario de F . Un conjunto E es abierto si todos sus puntos son interiores respecto a él.

Evidentemente, esta definición equivale a la siguiente: un conjunto abierto es el complementario de un conjunto cerrado (o vacío).

En el caso particular del espacio discreto del Sr. Linfield, resulta que todo conjunto abierto es cerraddo y recíprocamente. Pues si F es un conjunto cerrado e 1 es el complementario, este conjunto también es cerrado, es decir que todo puntto x conjugado de un punto y de I pertenece necesariamente a I. De lo contrario, y sería conjugado de un punto x de F ; o sea que y sería punto de acumulación de F sin pertenecer a F ; F no sería cerrado.

En el caso particular de un espacio discreto del Sr.

Conjuntos abiertos.

SOBRE LA NOCIÓN DE VECINDAD EN UN ESPACIO DISCRETO 5

Parece que esta observación hace desparecer, en el caso del espacio del Sr. Linfield, todo significado intuitivo de las expresiones conjunto abierto, conjunto cerrado, al desaparecer la contradicción verbal. Sin embargo, hay que observar que sj en un espacio discreto S, existe un conjunto, sea cerrado o abierto, que no es identic0 al espacio S total, este espacio será un conjunto cerrado que se descompone en dos con- juntos cerrados ajenos no vacíos y en consecuencia el espacio S no será un continuo.

Por lo tanto, la aparente paradoja señalada antes desaparece, cuando se limita uno a los espacios discretos que son continuos. En un espacio tal no existe ningún conjunto cerrado, ni conjunto abierto alguno a parte del conjunto constituido por la totalidad del espacio. Es verdad que este espacio es a la vez abiertoty cerrado, pero comparte esta propiedad con los espacios más simples, como el euclidiano.

Lo anterior justifica una vez más y en forma muy decidida, una observación que ya tuve ocasión de hacer al respecto del espacio del Sr. Hausdorff .3

Si se quiere definir las vecindades en el espacio discreto de tal suerte que el conjunto derivado de un conjunto F esté constituido por los pun- tos conjugados de al menos uno de los puntos de F , ya no será cuestión de preferencia personal decidir si hay que limitarse en la selección de las vecindades a las que sean conjuntos abiertos. Si el espacio discreto se toma entre los más interesante:;, es decir, es un continuo, y dejando de lado el caso extremo en el cual los puntos fueran de dos en dos, todos conjugados entre sí, ninguna vecindad podrá ser un abierto.

Homeomorfias. En el trabajo 'del Sr. Linfield todo descansa sobre la noción de transformación equivalencia. Así llama él una correspon- dencia biunivoca que conserva la relación de conjugación. Considera equivalentes dos conjuntos S, SI si existe al menos una "transformación equivalencia" de S en SI. Un conjunto es en sí mismo simétrico, si para cada par de elementos A , B de S', el conjunto de los elementos de S, conjugados de A, es equivalente al conjunto de los elementos conjuga- dos de R.

Por otra parte, hemos definido en forma más general las transforma- ciones continuas totales o parciales de espacio (V) en espacio (V). Una transformación puntual biunívoca de u11 conjunto F , de un espacio (V), en un conjunto Fi de un espacio (V),-espacio distinto o indistinto del primero- será intuitivamente considerada como continua, si un punto

3Este autor considera como vecindades solamente conjuntos abiertos. Esta lim- itación me ha parecido inútil y ajena a la noción intuitiva de vecindad. A nadie se le ocurriría que un círculo realice mejor la idea de vecindad de su centro cuando se le quita su circunferencia.

6 MAURICE FRÉCHET (UNIVERSIDAD DE ESTRASBURGO)

y1 de F1-correspondiente a un punto y de F- puede tomarse tan cer- cano como se quiera de un punto x1 de Fl,-el cual corresponde a un punto x de F- al tomar y suficientemente cercano a x. Para precisar, se supondrá que para toda vecindad V,, de x1, hay una vecindad V, de x tal que, si y se desplaza sobre V,, y1 se desplaza sobre V,,.

La transformación será bicontinua si ello tiene también lugar al per- mutar F, y F1 y entonces podrá llamarsele una homeomorfía entre F Y Fl.

Apliquemos esto al espacio discreto del Sr. Linfield. Una trans- formación puntual biunívoca del conjunto S en el conjunto S1 será continua si para toda pareja de piintos correspondientes x de S, x1 de S1 la vecindad V, de x se trarisfoi-ma en un conjunto que pertenece a la vecindad V,, de x1. Es decir, dos puntos conjugados pertenecientes a S son transformados en dos pun.tos de S I , que son conjugados.

Entonces la transfomnación equivalencza del Sr. Linjield es una homeomorfiá y reczprocamente.

Dos conjuntos equivalentes en é l sentido del Sr. Linjield no son más que dos conjuntos homeomorfos 11s decir, dos conjuntos equivalentes (salvo homeornorfía) en el sentido del Analysis Situs clásico.

homogéneo, si para cualesquiera puntos A, B de F, existe una transfor- mación biunívoca y bicontinua de F en sí mismo que transforma A en B. Se puede decir que un conjunto G es localment topológicamente ho- mogéneo, si para cualesquiera puntos A y B de G, existen dos conjuntos H y K de los cuales A y B son respectivamente interiores relativamente a G, y tales que existe una homeomorfía entre H y K que transforma A en B y la parte G . H común de G y H en G . K, la parte común de G y K.

Apliquemos esta última definición al espacio discreto del Sr. Lin- field. Entonces si uno de esos conjuntos es “simétrico” en el sentido de Linfield, es evidente que es localmente topológicamente homogéneo en el sentido definido. Basta tomar como H y IC las vecindades de A y de B. El recíproco es también evidente.

Número de dimenszones. El Si-. Linfield llama SA un conjunto de n + 1 elementos conjugados por pares. (Se podría aliviar la memoria llamando a tal conjunto un nudo de n dimensiones.) Un conjunto es de n dimensiones si contiene un SA pero no contiene un Sk+l. El Sr. Linfield, para explicar el origen de esta definición, recuerda que el máximo número de puntos que se encuentran a la misma distancia uno de otro es de 3 para el plano euclidiano y de n + 1 para el espacio euclidiano de n dimensiones. Por (otra parte, anteriormente había dado

Se dice que un conjunto F de puntos de un espacio (V) es topológicamente

SOBRE LA NOCIÓN DE VECINDAD EN UN ESPACIO DISCRETO

como ejemplo de relación de conjugación, la que consiste en que dos puntos están en la relación si los separa una distancia dada.

No nos parece muy convincente esta comparación. Tiene por demás el inconveniente de recurrir, cuando menos aparentemente, a nociones métricas, cuando en el espacio euclidiano la dimensión es un concepto puramente topológico en el que solamente se involucran las considera- ciones de continuidad.

Pero la definición del Sr. Linfield se esclarecería mejor comparándola con una propiedad de los espacios euclidianos de n dimensiones recién demostrada por el Sr. Lebesgue (lknd. Math. t. 11, 1921, pag. 257).

También hemos proporcionado en 1909 una definición del número de dimensiones de un conjunto abstracto. Decimos que el tipo de di- mensión de un conjunto E es por lo menos igual al de un conjunto F (escribimos dE 2 d F ) si existe una homeomorfía entre F y un subcon- junto de E (este subconjunto puede ser idéntico al mismo E ) . Si al mismo tiempo se tiene dE 5 dF, se tiene dE = dF. Si al contrario, se tiene dE 2 dF sin que exista un subconjunto de F que sea homeomorfo a E , se tendrá dE > dF.

Apliquemos al espacio discreto del Sr. Linfield; y sea SA+, y Sl,, dos conjuntos de n + 1 puntos conjugados de dos en dos. Existe por lo menos una correspondencia puntual biunívoca entre dos conjuntos; tal correspondencia es aquí una homeomorfía.

Por tanto, los tipos de dimen,siones de SA,, y S:+, son iguales: dSA+, = dS:+,.

Por otra parte, sea 5’; el conjunto formado por cualesquiera n de los puntos de SA,,; (estos puntos son conjugados de dos en dos), se tiene evidentemente dS; 5 dSA+, y corno no puede existir correspondencia biunívoca alguna entre Si,+, y un subconjunto de SA, se tiene incluso dSA < dS:+,.

De esta manera, desde el punto de vista topológico, todos los SA con el mismo índice son equivalentes y su tipo de dimensión crece con el índice: dSí < dS2 < dSi . . < .

Ahora llamemos N ( F ) el valor más grande N de enteros n tales que existen n + 1 elementos del conjunto F conjugados de dos en dos.

Entonces existe un SA que pertenece a F y no existe algún Sh,l que pertenece a F . Por un lado se tiene

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dSN 5 dF, y por otra parte los tipos de dimensiones de Sh+, y de F tal vez no son comparables- es decir, que tal vez no hay ningún subconjunto de uno que sea homeomorfo al otro,- pero si lo son, ciertamente no se tiene

8 MAURICE FRÉCHET (UNIVERSIDAD DE ESTRASBURGO)

pues en ese caso F contendría un SN+l. O bien los tipos de dimensiones de F y de Sh+l no son comparables o bien se tiene dF < dS&+,. (En este último caso, por otro lado, F no contendría más que N + 1 puntos y estos N + 1 puntos serían conjugados, es decir, que F sería un Sh.) O bien los tipos de dimensiones de S' y de S&+, no son comparables, o bien se tiene tlF < d S ~ + l . (En este último caso, además, F no contendría más que N + 1 puntos y estos N + 1 puntos serían conjugados, es decir que F sería un Sh.) Así se ve la relación entre el número de dimensiones del Sr. Linfield y el tipo de dimensiones definido anteriormente.

Si conjuntos F contienen cada uno N + 1 puntos conjugados de dos en dos, sin contener N + 2 de ellos, el Sr. Linfield se abstiene de establecer una comparación entre las dimensio.nes de los diversos conjuntos F así obtenidos y les asigna a todos la misma dimensión que Sh+l Para nosotros los tipos de dimensiones de estos conjuntos F son todos 2 dSh y no pueden ser 2 dSh+l. Pero podemos distinguir entre ellos tipos de dimensiones diferentes. Se podría considerar la relación entre nuestro tipo de dimensión d17 y el número de dimensiones N ( F ) del Sr. Linfield, como análoga a la relación que existe entre un número real y su parte entera. Por ejemplo

dF 5 dG implica N ( F ) 5 N ( G )

y si N ( F ) < N ( G ) no puede ser d F 2 dG. Desde este punto de vista la definición del Sr. Linfield podría aprox-

imarse a las definiciones que los Sres. Brower, Urysohn y Menger de- dujeron de las ideas dadas por el Sr. Poincaré sobre la noción de dimensión. Sin embargo, parece clue estas definiciones no son aplica- bles sin serias modificaciones a los espacios (V) más generales, como se verá al intentar aplicarlas al espacio del Sr. Linfield.

Conclusión. Las precedentes observaciones bastarán para establecer que sería conveniente modificar 1 ~ t terminología del Sr. Linfield (que ya ha sido muy mejorada) a fin de evidenciar mejor sus relaciones con la teoría de conjuntos abstractos de la que depende más de lo que parece. Además, habrán mostrado que la concepción de los espacios (V) permite dar cierta unidad al estudio de espacios que parecieran radicalmente diferentes, como el espacio euclidiano y el espacio discreto.

Biblilograffa Las definiciones que atarien a los conjuntos de los espacios (V) citados

Sur une terminologie de la théorie des ensembles abstraits, C. R. antes se encontrarán en los siguientes trabajos:

Congrks des Soc. Sav. 1924.

SOBRE LA NOCIÓN DE VECINIIAD EN UN ESPACIO DISCRETO 9

L 'Analyse générale et les ensembles abstraits, Revue de Métaphysique et de morale, 1925.

16 Agosto 1925.