u1. probabilidad
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probabilidad unidad 1 de la materia estadistica ciencias económicas.TRANSCRIPT
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ESTADISTICA. FCE. UBA
Prof. LAURA POLOLA
1
Registro y estudio
Fenmeno Econmico
Causas reconocidas
Causas desconocidas: factores aleatorios
Experiencia
UNIDAD 1. PROBABILIDAD
Concepto de aleatoriedad
Cuando se trabaja sobre fenmenos econmicos como objeto de estudio, como ser la
demanda de cierto producto, la inflacin, la balanza comercial, la evolucin de precios,
vale decir que sus posibles causas o factores que influyen en su comportamiento son
puntos de inters relevantes para su explicacin y comprensin efectiva.
Entre las causas desconocidas o no registrables se consideran las llamadas
componentes aleatorias o no predecibles del fenmeno. Cunto ms alta sea la
presencia de stas ms lejos se estar de lograr una explicacin del fenmeno. De ah
la necesidad de estudiar desde todas las dimensiones posibles estas situaciones con el
fin de determinar patrones o modelo de comportamiento que dejen lo ms acotado
posible el margen para los factores aleatorios que inciden en el fenmeno.
A fin de disponernos al estudio de situaciones que se desarrollan en escenarios
aleatorios o no determinsticos, tambin llamados escenarios de incertidumbre a
continuacin mencionamos algunos conceptos y definiciones importantes.
Concepto Definicin Ejemplos
Experimento o
fenmeno aleatorio
Hecho o situacin del que
no es posible predecir su
resultado.
Se lanza un dado y se observa la
cara superior.
Explicacin del fenmeno:
Patrn de
comportamiento
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Espacio muestral
asociado a un
experimento aleatorio
(E; )
Conjunto de todos los
resultados u observaciones
posibles del experimento
aleatorio asociado.
Al lanzar el dado resulta
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento
suceso aleatorio
(A,B )
Hecho cuya ocurrencia
depende del resultado de
un fenmeno aleatorio.
Se llama as tambin a todo
subconjunto del espacio
muestral.
Se lanza un dado y sale un dos.
A = sale par= {2,4,6};
B = sale mayor que 4 = {5,6}
C = sale as = {1}
Ocurrencia de un suceso Un suceso ocurre cuando al
realizar un experimento
aleatorio se obtiene un
resultado que pertenece a
dicho suceso.
Si sale un 2 ocurre A pero no B ni
C.
Si sale un 6 ocurren A y B pero no
C.
Si sale un 3 no ocurre ni A ni B ni
C
Sucesos especiales
Suceso cierto
Suceso imposible
Suceso elemental {x}
Se caracterizan porque:
siempre ocurre
nunca ocurre
{x} tiene un nico
elemento
Al lanzar un dado:
Sale un valor de 1 a 6 inclusive
Sale 9
Sale un 3
Los sucesos especiales se definen de esa manera ya que como todo conjunto es
subconjunto de s mismo, el espacio muestral es un suceso y tiene la particularidad
de que siempre ocurre, ya que cualquiera sea el resultado obtenido en el experimento,
pertenece a .
El conjunto vaco o sin elementos tiene la propiedad de estar contenido en todo
conjunto (A A conjunto) ya que para demostrar que esto no es cierto, debera
poder encontrarse un elemento en el conjunto vaco que no pertenezca al conjunto A
dado y esto no es posible. De esta forma, tambin es un suceso y al no tener
elementos nunca podr ocurrir.
Por ltimo, los sucesos elementales son aquellos que tienen un nico elemento. stos
tienen la propiedad de ser disjuntos dos a dos (nunca comparten elementos) y la unin
de todos ellos cubre todo el espacio muestral.
A partir de esto pueden definirse los sucesos simples como aquellos que dependen de
un nico resultado de un fenmeno aleatorio, y sucesos complejos o compuestos a los
que surgen de la combinacin de dos o ms sucesos simples.
Para obtener sucesos compuestos pueden realizarse, entre dos o ms sucesos, las
operaciones bsicas definidas entre conjuntos, dado que las dems combinaciones
que pueden considerarse, pueden expresarse en funcin de stas.
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Operaciones entre sucesos
Operacin Definicin Observaciones
Unin Suma de sucesos:
AUB = { x : x A x B}
La unin entre dos sucesos
A y B ocurre cuando ocurre
A ocurre B o ambos,
salvo se especifique que se
trata de una unin disjunta
o excluyente.
En general, para que ocurra
una unin basta que ocurra al
menos uno de los sucesos
que participan de ella.
Interseccin Producto de
sucesos:
AB = { x : x A y x B}
La interseccin entre dos
sucesos A y B ocurre
cuando ocurren A y B
simultneamente.
En general, para que ocurra
una interseccin deben
ocurrir ambos al mismo
tiempo.
Complemento Negacin de
un suceso:
= { x : x A }
El complemento de un
suceso A ocurre cuando no
ocurre A.
Como todo elemento de
pertenece a un suceso A a
su complemento, vale que
=AU y tambin que
A=
Diferencia entre sucesos:
A-B = { x : x A y x B }
La diferencia entre dos
sucesos A y B ocurre
cuando ocurre A pero no
ocurre B.
Puede identificarse al suceso
diferencia A-B como la
interseccin del suceso A con
el complemento de B, es
decir A-B = AB .
Concepto de Probabilidad
Puede decirse que el concepto de probabilidad goza de bastante popularidad dado que
se difunden masivamente datos de diferentes reas que involucran cifras que expresan
probabilidades.
En escenarios de incertidumbre es donde esta nocin cobra un rol destacado ya que
aunque no es posible predecir con certeza la ocurrencia de hechos aleatorios, puede
llegarse a cuantificar la posibilidad de ocurrencia de sucesos de estas caractersticas.
Existe una nocin intuitiva o cultural que permite obtener probabilidades
identificndolas con proporciones aunque para que esto sea correcto deben cumplirse
algunas condiciones.
A
A-B B
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Se dice que un espacio muestral es equiprobable si todos los resultados del fenmeno
asociado tienen la misma posibilidad de ocurrir.
Definicin clsica de probabilidad de Laplace: Dado un espacio muestral finito y
equiprobable, para un suceso A se define la probabilidad de A como:
Nde elementos de AP(A)=
Nde elementos de
Los espacios muestrales que gozan de esta propiedad por excelencia son los
correspondientes a los juegos de azar (legales) donde el sistema por el que se generan
los resultados garantiza la equiprobabilidad.
Ejemplo: Siguiendo con el lanzamiento del dado y los sucesos ya mencionados:
A = sale par= { 2, 4, 6}; B = sale mayor que 4 = {5, 6} C = sale as = {1} Resultan sus probabilidades, aplicando la definicin clsica:
P(A)= 3/6 = 0,5 P(B)= 2/6 = 0,33 P(C)= 1/6 = 0,167
Dada la limitacin de esta definicin a espacios muestrales finitos y equiprobables, es
necesario definir la probabilidad para todo hecho aleatorio cualesquiera sean las
circunstancias en que ste se produzca.
Definicin frecuencista de probabilidad: Dado un fenmeno que puede observarse en
repetidas ocasiones en igualdad de condiciones, para un suceso A asociado a uno o
mas resultados del fenmeno se define la probabilidad de dicho suceso como:
Nde veces que ocurre AP(A) =
n
donde n representa la cantidad de observaciones o repeticiones realizadas. El nmero
de veces que ocurre el suceso A se denomina frecuencia absoluta de A y el cociente
indicado se define como frecuencia relativa del suceso A.
Este resultado tiene una esencia emprica y slo es aplicable a la situacin particular
que da origen al clculo (fenmeno y suceso a estudiar definidos en el momento). Ms
all de esto, los empiristas asentaron una interpretacin formal ms general de la
probabilidad en este clculo definiendo:
a
n n
f (A)P(A)= lim lim f (A)
nr
donde fa(A) y fr(A) representan las frecuencias absoluta y relativa del suceso A
respectivamente.
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Definicin subjetiva de probabilidad: Esta regla se aplica habitualmente en funcin de
la experiencia o percepcin de algn hecho aleatorio de quien conoce o posee algn
grado de creencia. Es comn que este tipo de asignacin de probabilidad se utilice
respondiendo al conocimiento de las circunstancias del hecho sin seguir ninguna ley o
regla cientfica que la avale, por ejemplo, la probabilidad asociada al deporte (sobre
quin ganar un partido de tenis por ejemplo) o, en general, a confrontaciones diversas
(electorales por ejemplo).
Dado que, segn las condiciones en que se estudia un fenmeno o sus caractersticas
propias, es posible trabajar con diferentes definiciones e interpretaciones de
probabilidad, es preciso establecer pautas que integren todas las concepciones sin
caer en contradicciones, formalizando el concepto y sus propiedades.
La teora matemtica de probabilidades se sustenta en un conjunto mnimo de axiomas
(leyes primarias y fundantes de la teora) que permiten demostrar teoremas y
propiedades que conforman las herramientas de validacin de afirmaciones y
relaciones entre los conceptos involucrados.
Definicin axiomtica de probabilidad: Dados un experimento aleatorio y un espacio
muestral asociado , una funcin P que se aplica sobre los sucesos de se denomina
probabilidad si verifica:
Ax. I) P(A) 0 A
Ax. II) P()=1 Ax. III) P(AUB)=P(A)+P(B) si AB =
Obs.: El axioma III, llamado de aditividad es vlido nicamente si AB = , (en este
caso A y B se dice que son mutuamente excluyentes o incompatibles). En los
corolarios y teoremas siguientes se establecen propiedades que se demuestran a partir
de los axiomas.
Corolario 1: P(A)= 1 - P(A)
Dem: Como A A= y A A= por el Ax. III puede decirse que
P(A A)=P(A)+P(A)=P( ) y adems por el Ax. II es P() = 1 entonces P(A)+P(A)=1
de lo que se deduce que P(A)=1- P(A) .
Corolario 2: P() = 0
Dem: Se prueba inmediatamente a partir del Corolario 1 y del Ax. II ya que = .
Propiedad: Si A B entonces P(A) P(B)
Dem: Como A y B verifican que A B vale que B = (B-A)UA y adems(B-A)A=
entonces por el Ax. III vale que P(B) = P(B-A)+P(A).
B
B -A A
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AUB
Dado que por el Ax. I es P(B-A) 0 entonces P(B) = P(B-A)+P(A) 0 + P(A) = P(A) que
es lo que se quera probar.
Observacin importante: La inclusin es una relacin que se define entre conjuntos en
general, que cumple con todas las propiedades de una relacin de orden. De esta
manera pueden considerarse conjuntos mas grandes ms chicos que otros.
Ntese que la probabilidad de conjuntos ms chicos es un nmero menor que la de
los conjuntos ms grandes. La importancia de la transferencia de la relacin de orden
a las probabilidades es que permite interpretarla como una medida de los conjuntos.
La probabilidad formalmente es un concepto que se desarrolla dentro de la teora de la
medida, rea muy fecunda de la matemtica pura.
Coralario 1 de la propiedad: 0 P(A) 1 A
Coralario 2 de la propiedad: Si A B entonces P(B-A) =P(B)-P(A)
Dem: Como vimos en la propiedad, P(B)=P(B-A)+P(A) de lo que se deduce
inmediatamente lo que se quiere probar.
Teorema de la suma o de probabilidad total: P(AUB) = P(A)+P(B)-P(AB)
Dem: Dado que es posible expresar al suceso
A B A B A
por se tratarse de una unin de sucesos mutuamente
excluyentes, aplicando el Ax. III resulta
P(AUB) =P (A)+P(B-A) y adems
por ser (AB)A y tambin ABB es aplicable el Corolario 2 y remplazando
convenientemente resulta
P(AUB) =P (A)+P(B)-P(AB)
y se obtiene la identidad que se deseaba probar.
Probabilidad Condicional: Dados dos sucesos A, B E, se define la probabilidad de
que ocurra A dado que ya ocurri B como:
( )( )
P A BAPB P B
(siempre que P(B) 0)
Obs.: La probabilidad condicional puede interpretarse como la proporcin de veces que
ocurrir el suceso A de todas las veces que ocurre B.
Para pensar:
cunto valen P(A/B) y P(B/A) si AB = ?
B-A A
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cunto vale P(B/A) si AB?
Puede darse el caso que para dos sucesos A, B E, la ocurrencia de uno de ellos no
altere la probabilidad de que ocurra el otro, en este caso sera P(A/B) = P(A) por
ejemplo, o tambin a la inversa P(B/A) = P(B). En este caso se trata de una relacin
particular entre sucesos, la independencia estocstica.
Independencia de sucesos: Se dice que dos sucesos A y B son independientes si sus
probabilidades no se alteran cuando se sabe o supone que uno de ellos ya ha ocurrido.
Es decir: P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B). En este caso no tiene sentido considerar la
probabilidad condicional entre ellos.
Probabilidad compuesta o conjunta: A partir de la definicin de probabilidad condicional
se deduce la probabilidad del producto de dos sucesos cualesquiera, conocida como
probabilidad compuesta o conjunta:
P(AB) = P(A/B).P(B) P(AB) = P(B/A).P(A)
o sea que se deduce que tambin se verifica: P(A/B).P(B)= P(B/A).P(A)
Esta frmula, se modifica cuando se trata de sucesos independientes obtenindose la
siguiente igualdad:
P(AB) = P(A).P(B)
Obs.: Es comn que este clculo se utilice para verificar la independencia de dos
sucesos (como prueba).
Ejemplos de todos los resultados tericos vistos
En el lanzamiento de un dado se verifica que:
P(salga par) = 1- P(salga impar) ya que ambos sucesos tiene probabilidad igual a
0,5.
P(salga mltiplo de 8) = 0 ya que no hay resultados mltiplos de 8, por lo tanto es
imposible que eso ocurra.
P(salga un mltiplo de 6) = P(6) = 1/6 dado que slo el 6 es resultado favorable y
este suceso {6} est incluido en el suceso sale par, donde P(salga par) = P(2; 4; 6)
= 0,5 que es un valor mayor que 1/6
Con los mismos sucesos del ejemplo anterior haciendo {2; 4; 6} {6} = {2; 4} las
probablidades P( {2; 4; 6} ) P( {6} ) =1/2 -1/6 = 1/3 = P( {2; 4} ) verifican la
propiedad de la diferencia.
Dados los sucesos A = sale par y B = sale mayor que 3 haciendo AUB = {2; 4; 5;
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6} resulta P(AUB) = 2/3 y P(A) + P(B) P(AB) = + -P({4; 6}) = 1- 1/3 = 2/3
verificndose el teorema de la suma.
Para los mismos sucesos del caso anterior, P(A/B) = P(AB)/P(B) =(1/3)/(1/2) = 2/3
y P(B/A) = P(AB)/P(A) = (1/3)/(1/2) = 2/3. En ambos casos la probabilidad
condicional no coincide con la del suceso sin condicionar, por lo tanto A y B no son
independientes.
Dados los sucesos A = sale mayor que 4 y B = Sale impar se tiene que
P(A) = 1/3 y P(B) = 1/2 y al calcular
P(A/B) = P(AB)/P(B) = P({5})/(1/2) = (1/6)/(1/2) = 1/3 y
P(B/A) = P(AB)/P(A) = P({5})/(1/3) = (1/6)/(1/3) = 1/2
En este caso P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B), por lo tanto A y B resultan ser sucesos
independientes
Importante: Sucesos mutuamente excluyentes Sucesos independientes
Si dos sucesos son mutuamente excluyentes entonces P(AB)=0 por lo tanto si P(A)>0
y P(B)>0 (o sea que no son imposibles) entonces:
P(A/B)=P(B/A)=0 asi que P(A/B)P(A) y P(B/A)P(B)
es decir que A y B no son independientes. Por lo tanto hemos probado que:
Si dos sucesos son mutuamente excluyentes entonces son dependientes.
Vale decir tambin que no todo par de sucesos dependientes son mutuamente
excluyentes, por ejemplo si P(A)=1/2, P(B)=1/4 y P(AB)=1/6 se verifica que A y B son
dependientes ya que P(A).P(B)P(AB) y no son mutuamente excluyentes.
Por lo tanto puede decirse que los sucesos mutuamente excluyentes son un caso
particular de los sucesos dependientes, pero no son todos ya que hay sucesos
dependientes con interseccin no vaca.
Cubrimiento o particin de un conjunto: Dado un espacio muestral E asociado a un
experimento aleatorio, se dice que una familia de sucesos {A1 ; A2 ; ; Ak} es un
particin finita de E si se verifica que:
E
Mutuamente excluyentes
Dependientes
Independientes
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a) Ai Ai 1 i k
b) = 1 y
c) Ai Aj = i j
Obs: Dado que E = 1 y Ai Aj =
i j
resulta 1 = 1. (Por el Ax. III de la definicin axiomtica de probabilidad)
Esta nocin se refiere a un cubrimiento exhaustivo del espacio, es decir que cada
elemento del espacio pertenece a algn conjunto de la particin y slo a uno de ellos.
De esta manera, para todo suceso B , ste tambin puede partirse mediante la
particin que se tenga de , en subconjuntos mutuamente excluyentes de la forma
(B Ai) tales que:
B = ( )1 y
(B Ai) (B Aj) = si i j
A partir de estas propiedades aplicadas al espacio muestral y los sucesos incluidos en
l es posible demostrar el siguiente teorema.
Ley de la Probabilidad Total: Dado un espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio, B un suceso cualquiera y {A1 ; A2 ; ; Ak} una particin finita de , se
verifica que:
P(B) = )k
1P(A P(B/A )i i
Dem: Como B se verifica que B = B y adems entonces
B = B 1
i
i k
A
Por la propiedad distributiva de la interseccin respecto de la unin se obtiene que
B = ii k
B A
1
( )
Donde (B Ai) (B Aj) = por estar cada uno contenido en un conjunto de la
particin, es decir (B Ai) Ai y (B Aj) Aj resultando mutuamente excluyentes.
Entonces puede obtenerse P(B) aplicando el Ax. III de la definicin axiomtica de
probabilidad haciendo:
P(B) = iP B Ak
1( ) = )
k
1P(A P(B/A )i i
A1 A2
A3
Ak
Ai
B
1
i
i k
A
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Como por definicin de probabilidad conjunta se verifica que P(B Ai) = P(Ai).P(B/Ai)
se arriba finalmente al resultado del teorema:
P(B) = )k
1P(A P(B/A )i i
Conclusin: Es posible obtener la probabilidad total de un suceso a partir de sus
probabilidades condicionales respecto a una serie de conjuntos de una particin del
espacio muestral siempre y cuando se sepan las probabilidades marginales de los
elementos de la particin que intersecan al suceso estudiado.
Ejemplo: Se sabe que la probabilidad de aprobar lgebra I siendo recursante es de
0,62 mientras que los alumnos que la cursan por primera vez tienen una probabilidad
de 0,35 de aprobarla. Si en un curso hay un 25% de recursantes, cul es la
probabilidad de que al elegir un alumno al azar, una vez finalizada la cursada, ste
haya aprobado?
Datos:
Experimento aleatorio: se elige al azar un alumno del curso de lgebra I
Denominando R al suceso el alumno es recursante, R el suceso complementario de
R, o sea el alumno no es recursante y A al suceso el alumno aprueba se tiene:
P(R) = 0,25 entonces P(R) = 0,75 por ser sucesos complementarios.
P(A/R) = 0,62 y P(A/R) = 0,35
Se quiere calcular P(A) sabiendo que hay dos nicas posibilidades (exhaustivas) ya
que cualquier alumno puede ser recursante o no, con probabilidad conocida y se saben
las probabilidades del suceso el alumno aprueba segn a que categora pertenezca -
ser recursante o no- entonces puede aplicarse la ley de la probabilidad total:
P(A) = P(R). P(A/R) + P(R).P(A/R)
P(A) = 0,25 . 0,62 + 0,75 . 0,35
P(A) = 0,4175
Rta.: La probabilidad de que un alumno elegido al azar apruebe lgebra I es 0,4175.
Teorema de Bayes o de las causas
Dadas las mismas condiciones en que se aplica la Ley de Probabilidad Total, es posible
obtener la probabilidad condicional de cualquier suceso A i perteneciente a la particin,
al que se lo identifica como causa, sabiendo de la ocurrencia del suceso B,
reconocido como efecto.
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Moneda
Cara=U1 Roja
Blanca
Ceca=U2 Roja
Blanca
Dado un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, B un suceso
cualquiera y {A1 ; A2 ; ; Ak} una particin finita de , se verifica que:
)
)
ik
1
P(A P(B/A )AP i, 1 i k
B P(A P(B/A )
i i
i i
Dem: Como iiP(A B)A
PB P(B)
por definicin de probabilidad condicional, y al poder
expresar la probabilidad conjunta como i ii
BP A B P P(A )A
resulta
)i
P(A P(B/A )AP
B P(B)i i
donde el denominador, que es el suceso efecto puede
descomponerse mediante la Ley de Probabilidad Total, obtenindose as:
)
)
ik
1
P(A P(B/A )AP i, 1 i k
B P(A P(B/A )
i i
i i
que para todo valor de i tal que 1 i k coincide con el resultado del Teorema de Bayes
o de las causa.
Ejemplo integrador: Se tienen dos urnas, una con dos bolillas rojas y una blanca y otra
con dos bolillas rojas y dos blancas. Se lanza moneda cargada y si sale cara se saca
una bolilla al azar de la primera urna, sino se saca una de la segunda urna. Se sabe
que la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda es 1/3.
a) Calcular la probabilidad de que la bolilla extrada sea roja.
Dado que el experimento consta de dos etapas y que la segunda depende del
resultado de la primera, es til ordenar la informacin mediante un diagrama de rbol.
Se puede obtener una bolilla roja tanto de
una urna como de la otra, aunque las
probabilidades P(R/U1) y P(R/U2) no sean
iguales. stas pueden ubicarse en el rbol
segn de que urna se haya tomado al bolilla.
En el rbol se acomodan las probabilidades
individuales o marginales y las
condicionales.
B
Ai
U1 U2
cara ceca
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Moneda
Cara=U1
1/3
Roja
2/3
Blanca
1/3
Ceca=U2
2/3
Roja
1/2
Blanca
1/2
Para calcular las probabilidades
condicionales, se utiliza la definicin clsica
ya que las bolillas se seleccionan al azar
con equiprobabilidad.
De esta forma P(R/U1) = 2/3 y P(R/U2)
=2/4=1/2.
A partir de estos datos es posible calcular P(U1R) = P(U1). P(R/U1)=1/3.2/3=2/9
y tambin P(U2R) = P(U2). P(R/U2)=2/3.1/2=1/3.
En base a estos resultados ya puede obtenerse la probabilidad buscada P(R) ya que
por la Ley de Probabilidad Total:
P(R)= P(U1). P(R/U1) + P(U2). P(R/U2) = 2/9 + 1/3 = 5/9.
b) Calcular la probabilidad de que la bolilla extrada sea de la primera urna si era roja.
En este caso se trata de la probabilidad de un suceso causa saco de U1 dependiendo
del suceso efecto sale R, por lo tanto se aplica el Teorema de Bayes:
RP P(U1) 2/3 1/3U1U1P 2/5
R P(R) 5/9
donde el denominador no se calcula con la frmula desarrollada, ya que fue obtenido a
travs de la Ley de Probabilidad Total con anterioridad.