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Far die Einfnhruug non. , uneigentliohen Riemann . Integrate

"

benotigen win :

Def . : Sei Ae R"

. ( An E R"

)u⇐µheipt ansschopfeude Folge fur A,

weun gilt :

l i ) then : An istbeschrankt und 2Ar. nom Lebesgue

- Map Null in R"

.

( ii ) V. Re ( o ,N ) : vol ( ( Alan ) n Irlo ) ) existivt for alle KEN and

ftp.uol ( ( Alan ) n Irlo) ) : 0.

Bsp . : ° Fir A . R

"

Sind sowohl kugeln ( Are Iulo ) ) als anch Warfel ( Are EKK ]"

)

anssohopfende Folgeu .

• A =L xe R"

/ 11×11,

c- ( an ] } wird durch Au=t×eR"

/ 11×11,

e I Fi ? ] }ansgeschcipft .

Def . : Seif : A → R mit A ER"

.

o Weuu f ' . 0 ist und eine ansschopfeude Folge ( An )new

fir A existrert,

so dass V. K flan beschroinkt and R.

- integtierbar ist

,dann heipt

ftp./a.flHdx = : a) flxsdx e Ruta }

das uneigentliche Riemann - Integral von f auf A.

° Weun f=f+ - f. unit f+, f. so

,dann ist das uueig .

R.

- Int

. definivt

als /fcxsdx:-. I f+ ( × ) de - I f. (e) dx e Ruttoo } sofern beide

Integrate als uneig . R

.

- Int. existieren and uicht bride a sind

.

o 1st )a/flx ) / dx endlich,

heipt f auf A absolut Riemann . integrierbw .

�9�

Bsp . : o At [ 0, • )

'

,flx ) : e

- ×'

' ×'

,An :[ 0 ,k]2

kisnalami"

"dxj;Katie 's :L'

. only

Fubini= him ( n - e-

k)

"

= 1k - soo

° A : ( on )2. f ( x ) = ¥

,An : ( 0,7 ) × ( 1k

,1)

In ÷ . :*..nl#iEax.:k:...IlIinaalxndaFubini

= ftp.o.fllosk) x. dxn :} hug

.logk : •

→ fist auf A wicht abs. R .

- iwlegrierbor .

Satz : Sei ]n : :{ A c. R"

/ A beschrciukt und 2A von Lebesgue - Map Null ] . Die Abbildnng

vol : ]n→ IR,

At > Idx besitzt folgende Eigeuschaften : t A. Beth Vxe IR"

:

l i ) not (A) >. 0 Nichtnegakritat

( ii ) A 213 ⇒ rol ( A) >. vol LB ) Monotonic

( iii ) A°nB°= ¢ ⇒ roll At B) : vol (A) + vol ( B ) Additivitat

( iv ) roll At × ) : vol ( A) Translations invariant

( ✓ ) vol ( [ 0,7 ]" ) = 1 Normierung

( vi ) vol ( UA ) = roll A) V. U : OC n ) :=f UEIR" "

/ utu : I } Rotations invariant

( vii. ) 1st { e ; }I,

ONB und A : R"

→ IR"

linear unit Skalieruug

Ac ; :S :c ; ,s

;' - 0

, dann gilt vollra ) :(IT,f)volt )

.

Bem .: ° ( i ) - ( v ) legeu die Volnmenfkt . auf ]u eindinkg fest .

° A + × := T ye R"

/ Fze A : y: ztx }

. UA i : f yer"

1 Fzea : y= Ut }

@wir imporkeren ein uitzhiohes Werkzeug aus do tin

. Algebra :

Satz : ( Singularwertzerlegung )

For jede Matrix Me IR" " "

gibt es orthogonal Transformation en UEOCN ),

VEOCM )minln ,m }

und s E R,o ,

so dass M = U^V wobei An:= Ski six.

Ben.

: ° Fairposikv semi - definite M ist dies die Eigeuwertzvleguug ( wobei U=VT ).

o Die Menge der, , Singnloirwerte

"

{ su } ist eindenkg fir jedes M.

{ si } sind

Eigeuwwte von MTM.

korollar : Sci M : IR"

→ IR"

linear und A ER"

beschroiukt unit 2A rom Lebesgue - Map Null.

Dann gilt :

vol ( MA ) = ldetl 14 ) / uol.LA )

Beweisi Sei M= UAV Singular wertzvlegung unit An : Su Su .

vo( MA ) : rol ( UNA ) . - vol ( AVA ) = vol ( VA ) ftp..sk = vol ( A) 1¥,

sn .

( vi ) ( vii ) ( vi )

Zudem gilt ldetlm )/= / detlu ) detlr ) detlv ) / = ldetlr ) / = FsuA

k= ,

I

UEOCN ) ⇒ detlu )et±n },

da 1= det ( Utu ) :

: detln }

:Ben .

: Der Einheitsquader Q :[ on ]" EIR

"

wird von M anf ein, ,

Pwallelotop"

mit

Volumen vol ( MQ ) = ldet 171 abgebildet .

/

1

l /

i 17,

'

; - . -

.,.

--

- i,

:

y

,-

:- - - - →

-

.

@

Erinnerung : ° Sind U.ve R"

offeu,

dannhiptgc C'

( U ,v ) C'

' Diffeomorphismusweun

g bijekkv and g'

:V→U diffbwist .

In okm Fall giltautomatism g-

'

E C "( V. U ) .

Lemma : ( Charaktuisieruugvon C'

'

Diffeomorphismen )

1st UEIR"

often und GECYU ,R

"

) injektiv .Dann ist

g :U→gLu )

genandann ein C

''

Diffeomorphismns ,wenu det ( ]gk ) ) TO the U

.

in

Jacobi - Matrix vongbei ×

.

Beweis : Folgt unmiltelbw aus Satz 15.4.

( Analysis 2).

D

Bsp . : ( Polarkoordinaten )

U :-. { ( r, f) e 1122 / r > 0

, fc . ( 0.2T ) )^

gcr ,9) ÷ ( IMF ) = : ( f )

y- . - . . - .

-

;]g( r ,f ) =cost - rsinf r ,

(sinf rcosf

)H !

1 >

det ( 3glr,e ) ) = r ( coif + siiif ) = r×

g. U→gCh ) : R

'

\ tlxiy ) 1×70 , Y :O } ist bijekkv und dem Lemma naoh

ein C ? Diffeomorphismus .

@Satz : ( Transformation ssatz )

Sci UER"

often, g

: U → glu ) c- R"

ein C'

. Dilfeomorphismus und A e R"

kompakt mit 2A nom Lebesgue- Map Null in R

"

. Dann gilt fir jede

Riemann . int.

Fkt. f : GCA) → R :

fga,

fltldy: /flask ' ) /det3gW/d×,

wobei (}glx ) )u,

÷ 2, gu

( x ).

Ben .:

o GLA ) ist Wieder kompakt und 2glA ) :

g ( JA ) nom Lebesgue - Map Nuh.

° Es geuigt , weuu ge C'

fast iibwall Diffeomorphismns ist.

° det 3gl× ) neunt man, ,

Funktional determinant e"

.

Bewlisidle : Angeuommeu A e R"

ist ein Quader unit Zerlegung A : Upn Qi ,

Q ; = Qotxi.

×;

£ Q ;

gl Q;)

#*t" "

+ y¥f#)Far inner feiner werdende Zvleguuyn gilt wegen

R - iutegrivbwkeit non f :

|g|a,

fly ) dy - .§,

flglxii ) vol ( g( a ;) ) / → o.

Weyn D :# bwkeit von

g gilt zudem :

g( Q ;) .

- glx ;+ Qo ) a glx ;) + Dglx :) Qo

vol ( gla ;) ) = vol ( glx ;) + Dglx;) Qo ) = vol ( Dglx ;) Qo )

Transl.

invarahz%

www.na.n.SI/dlt3gtxil/roL( a ;)

Parallel otops

Also : ¥,

f 'Hdy = §,

flgix ;) ) / out }lei/roL( Qi ) = ! flgcei ) /det3gks/ dx.

a