Monatsh. Math. 149, 1–29 (2006)

DOI 10.1007/s00605-006-0423-7

Uber formal unentscheidbare Satze derPrincipia Mathematica und verwandter Systeme I

von

Kurt GodelMonatshefte f ur Mathematik und Physik 38, 173–198.

In den Monatsheften f ur Mathematik und Physik erschien 1931 eine sehr wichtigeArbeit von Kurt Godel. Die Herausgeberschaft der Monatshefte f ur Mathematikfreut sich auf das Wiedererscheinen dieser Arbeit, die als der spannendste und amoftesten zitierte Artikel der Mathematischen Logik des 20. Jahrhunderts gilt, zuGodels 100. Geburtstag. In diesem Kommentar werden der Hintergrund und dieBedeutung dieser besonderen Arbeit zusammengefasst.

Hintergrund: Das Hilbert’sche ProgrammUm aus der Krise in den Grundlagen der Mathematik, die sich aus den Para-

doxien der Mengenlehre ergab, zu fuhren, schlug der beruhmte MathematikerDavid Hilbert folgende zwei Wege vor:

Erstens: Die Mathematik sollte formalisiert, d.h. in ein formales System ein-gebettet werden. Zu diesem System gehoren eine Liste von primitiven Symbolen,eine Menge von endlichen Folgen solcher Symbole (von Formeln) und eine Mengevon endlichen Folgen von Formeln (von formalen Beweisen). Eine Formel istgenau dann formal beweisbar, wenn sie die letzte Formel eines formalen Beweisesist. Die Ableitung der Formeln sollte rein mechanisch sein, ohne ihre Bedeutungzu berucksichtigen. Die Bedeutung der Formeln ergibt sich allein aus der Wahl derAxiome und der Schlussregeln des Systems; so vermeiden wir die Benutzung vonBegriffen, die ihre klare und eindeutige Bedeutung uberschreiten und deshalb dasRisiko besitzen, zu Paradoxien zu fuhren.

Zweitens: Wir sollten die Konsistenz (Widerspruchsfreiheit) und Vollstandigkeitdes obigen Systems S beweisen; d.h., wir sollten beweisen, dass es fur jeden Satz Aentweder einen Beweis aus S von A oder einen Beweis aus S der Negation � Avon A gibt (und nicht beides). Obwohl die Begriffe der Mathematik sehr abstraktsein konnen, besteht das System S nur aus endlichen Objekten, und S verwendetnur finitistische Methoden. Daher kann S als eine elementare Theorie uber dienaturlichen Zahlen betrachtet werden, und ein Konsistenzbeweis aus S ist einesichere Garantie fur die Konsistenz der ganzen Mathematik.

Godels ArbeitDurch Nachdenken uber das Lugner-Paradox (,,Dieser Satz ist falsch.‘‘)

entdeckte Godel, dass die Wahrheit in der Zahlentheorie undefinierbar ist: Wenn

wir die Formeln der Zahlentheorie mit der Variablen x als ’0ðxÞ; ’1ðxÞ; . . . auflisten,dann gibt es keine Formel’ðx; yÞ der Zahlentheorie, so dass’ðm; nÞ genau dann gilt,wenn ’mðnÞ wahr ist. Sonst ware die Formel � ’ðx; xÞ gleich ’nðxÞ fur ein n, waszum Widerspruch ’nðnÞ$� ’ðn; nÞ$� ’nðnÞ fuhrt!

Eine riesige Leistung Godels ist der Beweis, dass, obwohl die Wahrheit in derZahlentheorie undefinierbar ist, die Beweisbarkeit eines formalen Systems S furdie Zahlentheorie trotzdem definierbar ist. Um dieses Resultat zu erreichen, wieser den Formeln und den Beweisen aus S Kodenummern (Godelnummern) aus dennaturlichen Zahlen zu und zeigte, dass die Relation ,,m ist die Kodenummer einesBeweises der Formel mit Kodenummer n‘‘ durch eine zahlentheoretische Formeldefinierbar ist. So wandelte er den Widerspruch des letzten Abschnitts auf fol-gende eindrucksvolle €AAquivalenz um:

’nðnÞ $ ’ðn; nÞ unbeweisbar $ ’nðnÞ unbeweisbar;

was zum wahren, aber unbeweisbaren Satz � ¼ ’nðnÞ fuhrt. So bewies er dieUnvollstandigkeit von S, und sogar jedes formalen Systems fur die Zahlentheorie,den ersten Unvollstandigkeitssatz. Dies war eine schockierende Niederlage fur dasHilbert’sche Programm.

Eine weitere Niederlage fur Hilberts Programm stammt aus Godels zweitemUnvollstandigkeitssatz. Godel sah, dass der unbeweisbare Satz � des letztenAbschnitts aus der Konsistenz des Systems S folgt. Aus der Godelnummernmethodefolgt, dass die Konsistenz von S als ein zahlentheoretischer Satz Kon S formuliertwerden kann. Somit erhielt Godel die beweisbare Implikation

Kon S ! �:

Da � nicht aus S beweisbar ist, muss auch Kon S unbeweisbar sein! Godelsdramatische Schlussfolgerung heißt: Kein formales System fur die elementareZahlentheorie kann seine eigene Konsistenz beweisen.

Godels Artikel beginnt mit einer informellen Beschreibung des Beweises desersten Unvollstandigkeitssatzes. Im zweiten Teil prasentiert er die Details dafur:Formale Systeme, Godelnummern, arithmetische Darstellbarkeit der Beweisbar-keit, Beweis des Satzes. Im dritten Teil zeigt er die Unentscheidbarkeit derGultigkeit in der Logik erster Stufe. Der letzte Teil beschaftigt sich mit demzweiten Unvollstandigkeitssatz und dessen Konsequenzen fur das Hilbert’scheProgramm.

Godels Arbeit interessierte viele Kollegen, und seine Resultate wurden vombreiten mathematischen Publikum schnell akzeptiert. Sein Artikel beeinflusst fastalle Bereiche der Mathematischen Logik. Einige wichtige Entwicklungen in derMathematischen Logik folgten wenige Jahre spater und gehen unmittelbar aufGodels Arbeit zuruck:

1. Die Entwicklung des allgemeinen Begriffs eines formalen Systems undeiner rekursiven Funktion (Turing).

2. Eine allgemeine Theorie der Unentscheidbarkeit logischer Theorien (Church,Tarski).

3. Eine €AAnderung des Hilbert’schen Programms, die unendliche, aber trotzdemfinitistische Methoden erlaubt (Gentzen).

2 Kurt Godel

Es ist eine Ehre fur die Herausgeberschaft der Monatshefte f ur Mathematik, diesebahnbrechende Arbeit in der Mathematischen Logik anlasslich Godels 100.Geburtsjahres wieder zu veroffentlichen.

Sy-David FriedmanKurt Godel Research Center

Universitat Wien

Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I 3