ud. mc. t5. teoría de grafos y optimización de redes
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Presentación del Tema 5 (Teoría de grafos y optimización de redes) para la asignatura Métodos cuantitativos de 2º de Grado en Ingeniería en Organización Industrial, curso 2011/2012, de la Universidad de Deusto.TRANSCRIPT
Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
TEMA 5
TEORÍA DE GRAFOS Y OPTIMIZACIÓN DE
REDES
Ing. Alex Rayón Jerezhttp://www.alexrayon.es
http://paginaspersonales.deusto.es/alrayon
2 de Diciembre del 2011
Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Índice de contenidos
Introducción Definiciones Árbol de extensión o de extensión de mínimo peso Problemas de camino mínimo Recorridos en grafos
3Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
IntroducciónPrimeras etapas
Surge en el siglo XVIII con Euler (1707-1803)
El problema de los puentes de Konigsberg
Resolución de problemas que pueden ser modelados mediante un grafo y resueltos mediante algoritmos específicamente desarrollados para un grafo
4Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
IntroducciónEl metro de Londres
La historia del metro de Londres tiene mucha relación con la Teoría de Grafos
Más concretamente, con la Inmersión de Grafos (Graph Drawing)
Permite explicar de forma sencilla la representación (inmersión) de un grafo
Para un mismo conjunto de vértices y una misma lista de conexiones entre ellos, puede haber trazados con o sin cruces entre las líneas.
Depende del dibujo que se haga del grafo, de la inmersión que se elija, se pueden destacar, y por lo tanto aprovechar, una característica u otra del grafo
5Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
IntroducciónEl metro de Londres (II)
Los primeros mapas del metro de Londres eran geográficos
Dibujar sobre un plano de la ciudad los recorridos de las distintas líneas
Harry Beck, ingeniero electrónico empleado en el metro de Londres, se percató en 1931 de que al usuario no le interesaba conocer el recorrido del metro bajo tierra
Simplemente le interesaba conocer la posición relativa de las líneas y estaciones para realizar los trasbordos que necesitase
6Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
IntroducciónEl metro de Londres (III)
Más que un diseño geográfico, resultaría más útil un diseño topológico
Menos curvas y direcciones en las líneas
De broma, hizo su primer diseño basado en los utilizados en circuitos eléctricos
En 1936, entre otros cambios, eliminó curvas y sólo permitió ángulos de 45º y 90º
En 1940, se incorporaron ángulos de 60º también, idea que se desechó por enturbiar la claridad del plano
7Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
IntroducciónEl metro de Londres (IV)
8Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
IntroducciónEl metro de NYC
“1972, Massimo Vignelli designed a diagrammatic map for the New York City subway”
“...the map was created in B.C. (before computer) for the A.C. (after computer) era.”
Nueva versión en la M.T.A.’s The Weekender Web site
Contenido semántico en tiempo real (obras, fines de semana, mapa del barrio sobre el que se pasa, etc.)
9Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Definiciones
Un grafo, desde el punto de vista geométrico intuitivo, no es más que un conjunto de puntos en el espacio o vértices, que están conectados mediante un conjunto de líneas o aristas
Un grafo se define mediante dos conjuntos (G), el conjunto de los vértices del grafo (V) y el conjunto de las relaciones existentes entre los vértices (A)
Tamaño del grafo: nº de aristas
Orden del grafo: nº de vértices
{ }{ })3,4(),2,4(),4,3(),2,2(),3,2(),3,1(),2,1(
4,3,2,1
),(
==
=
A
V
donde
AVG
10Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Definiciones (II)
Un grafo dirigido o red es un conjunto de nodos, nudos o vértices unidos por arcos (así cada arco es un par ordenado de vértices)
Un bucle es un arco de la forma (a,a) como por ejemplo el arco (2,2)
Una arista es un arco sin orientación es decir, no ordenado y que puede ser utilizado en el sentido que se desee
Un grafo no dirigido es un conjunto de vértices y un conjunto de aristas
Un multigrafo es un grafo en el que existen un par de vértices unidos por más de una arista
Una cadena es una secuencia de aristas o de arcos sin considerar su orientación, que une un par de nodos. En el ejemplo, la secuencia de arcos que unen el nodo 4 con el 1 sería: (4,2) (2,1).
Un camino es una cadena en la que todos los arcos tienen la misma orientación
11Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Definiciones (III)
Un grafo es conexo si cualquier par de vértices está unido por al menos una cadena (se dice fuertemente conexo si cualquier par de vértices está unido por al menos un camino)
Un ciclo es todo circuito que no contiene vértices repetidos excepto el vértice extremo
Un árbol es un grafo conexo y sin ciclos
Un grafo se puede almacenar a través de la matriz de incidencia y/o la matriz de adyacencia:
La matriz de incidencia de un grafo no dirigido es una matriz con tantas filas como nodos n y tantas columnas como aristas m tiene el grafo definiéndose sus elementos como:
= caso otro 0
arista la a pertenece nodo el si 1 jibij
12Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Definiciones (IV)
La matriz de incidencia de un grafo dirigido es igual pero se marca con -1 el nodo inicial y con +1 el nodo final del arco
Esta matriz tendrá únicamente dos elementos distintos de cero en cada columna (si hubiera un bucle sólo habría uno)
La matriz de adyacencia de un grafo es una matriz cuadrada de tantas filas y columnas como número de nodos y cuyos elementos se definen como:
En el caso de un grafo no dirigido esta matriz es simétrica
= caso otro 0
al nodo del (arista) arcoun existe si 1 jiaij
13Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Definiciones (V)
Cálculo de las matrices correspondientes de adyacencia e incidencia de los siguientes grafos:
14Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Árbol de extensión
Partiendo de un grafo no dirigido G=(V,E), un árbol de extensión es un árbol que incluye todos los vértices de G y sus aristas están incluidas en E
Dado un grafo no dirigido G=(V,E), con “pesos” en sus aristas, el problema de optimización que se plantea sobre él, asociado al árbol de extensión es el problema del árbol de extensión de mínimo peso
Consiste en obtener a partir del grafo original un árbol que conecte todos los vértices y cuya suma de los pesos de sus aristas sea mínima
Diseño de una red con el objetivo de que tenga la menor longitud o coste global posible
15Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Árbol de extensión (II)
Solución a este problema
Algoritmo de Kruskal
Algoritmo de Prim
16Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Problema de camino mínimoIntroducción
El problema de los caminos más cortos es el problema que consiste en encontrar un camino entre dos vértices (o nodos) de tal manera que la suma de los pesos de las aristas que lo constituyen es mínima
17Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Problema de camino mínimoIntroducción (II)
“GPS Data on Beijing Cabs Reveals the Cause of Traffic Jams”
Investigadores de la Microsoft Research Asia han dividido la ciudad en regiones (figura contigua), analizando cómo los taxis se mueven a través de ellas
Si se puede tomar un camino directo entrea A y B, y un taxista toma un camino alternativa... ¿qué pasa?
Algoritmo aplicable a ciudades con mucha densidad de taxis (Mexico City, Bangkok, Tokyo, New York, Buenos Aires y Moscow)
18Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Problema de camino mínimoEnunciado
Se trata de buscar el camino más corto de un vértice a todos los demás
Se denominan en plural “Problemas de camino mínimo” porque existen varios planteamientos posibles dentro de esta definición:
Camino mínimo de un origen a un destino.
Caminos mínimos de un vértice a todos los demás.
Caminos mínimos de todos a todos los vértices.
Etc.
Nosotros nos centraremos en el segundo de ellos
19Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Problema de camino mínimoEnunciado (II)
El primer paso consiste en comprobar que no existan circuitos de longitud negativa
Solución a través del algoritmo de Dijkstra
Si hubiera longitudes negativas se debiera resolver por el algoritmo de Bellman-Ford
20Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Problema de camino mínimoSolución
Algoritmo de Dijkstra
Ir obteniendo el camino mínimo en cada iteración al vértice transitorio con longitud menor desde el origen, ya que al no existir arcos con longitud negativa , nunca será posible disminuir ese valor pasando por ningún nodo cuya distancia sea mayor
Una vez asegurada que la distancia obtenida hasta ese vértice es la menor posible, se actualizan las demás etiquetas transitorias, viendo si existe un camino más corto a estos nodos a través del nodo recién etiquetado
21Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Recorrido en grafosRecorridos
Son formas de recorrer un grafo (sus nodos y/o sus aristas) cumpliendo determinadas condiciones
Su forma clásica responde a problemas en los que no se incluye ningún tipo de optimización
El objetivo es encontrar una solución factible al problema planteado, sin embargo a partir de ellos se han formulado nuevos problemas con la optimización ya integrada
22Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Recorrido en grafosProblemas
El ciclo euleriano y su problema:
El cartero chino
El ciclo hamiltoniano y su problema
El viajante
Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
References
Libros y Publicaciones
Robinson, R. (1999) “Welcome to OR Territory” OR/MS Today pp. 40-43, August.
Sitios webMind the map [online]. URL: http://seispalabras-clara.blogspot.com/2011/09/mind-map.htmlAhead of Its Time | An Icon Goes Digital [Online]. URL: http://tmagazine.blogs.nytimes.com/2011/09/16/ahead-of-its-time-an-icon-goes-digital/GPS Data on Beijing Cabs Reveals the Cause of Traffic Jams [Online]. URL:
http://www.stumbleupon.com/su/2ttEz5/www.technologyreview.com/communications/38679/Problema del camino más corto [Online]. URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_del_camino_m%C3%A1s_corto
Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Copyright (c) 2011 Alex Rayón JerezThis work (but the quoted images, whose rights are reserved to their owners*) is licensed
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* Referencias de la transparencia anterior.
Métodos cuantitativos – 2011/2012 – 2º Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Profesor: Ing. Alex Rayón JerezBilbao, Septiembre 2011
2º de Grado en Ingeniería en Organización IndustrialFacultad de IngenieríaUniversidad de Deusto
Departamento de Tecnologías Industriales, Facultad de Ingeniería, Universidad de DeustoAvda. de las Universidades, 24, 48007 Bilbao, País Vasco, España
Alex Rayón Jerez
[email protected] contactar conmigo, muchas formas :-)
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