uddrag af: else møller nielsen matematik – en … · en eller anden form er altid nødvendig for...

3�Geometri

Uddrag af:

Else Møller Nielsen

MATEMATIK – EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE

Forlaget Biofolia

2007

53369_matematik_kap3net_5k.indd 1 01-12-2006 13:03:34

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori · �

Eksperiment, beviser og matematisk teori – belyst gennem eksempler fra geometrien

Formålet med dette afsnit er først og fremmest at påpege det vigtige i at eksperimentere sig til sammenhænge i faget. Da eksperimenterne imidlertid ikke kan stå alene, men bør afsluttes med en form for argumentation eller ræsonnement (lidt afhængigt af hvilket klassetrin vi taler om), vil vi også se på, hvad der forstås ved matematiske ræsonnementer eller beviser, og hvil-ken rolle de spiller i undervisningen. Afsluttende vil vi give et indtryk af, hvordan en matematisk teori kan opbygges, og her vil vi tage opbygningen af areallæren for plane figurer som eksempel. Et sådant overordnet emne, der her er på dagsordenen, belyses bedst ved at eksemplificere. Når geometrien er udvalgt for denne eksemplificering, så er det, fordi der her – mere end i nogen anden matematisk disciplin – er så rige muligheder for at eksperimentere, udvikle kompetencer til matematisk problemløsning og til at udføre ræsonnementer. Geometrien er nok det område, hvor det er lettest at nå nogle af under-visningens mere overordnede mål, bl.a. fordi vi her har så mange redskaber at arbejde med. Geometrien beskriver den fysiske verden. Der er noget, vi kan se, røre ved, tegne, måle og veje. Vi har desuden masser af konkrete materialer at arbejde med såsom plasticbrikker, der repræsenterer de geome-triske former, centicubes, sømbrætter, måleinstrumenter, klippe-, klistre- og tegnerekvisitter.

Vigtigheden af, at eleverne selv inddrages i opbygningen af matematikken, fremgår helt klart af fagets formål stk. 2. Heri hedder det bl.a., at eleverne skal erfare, at “matematikken både er et redskab til problemløsning og et kreativt fag”. Videre står der, at undervisningen skal give dem “mu-lighed for indlevelse og fremme deres fantasi og nysgerrighed”. Eleverne skal derfor have lov at bruge deres kreativitet og nysgerrighed til at løse matematiske problemer. De skal i videst mulig omfang opbygge deres egen matematik ved at eksperimentere sig frem til sammenhænge. Dette synspunkt gennemsyrer hele faghæftet. Men der står også i formålet, at “analyse og argumentation skal indgå i arbejdet”, hvorfor vi også vil se på den rolle, som argumenter, ræsonnementer og egentlige beviser spiller i undervisningen. Begrebet matematisk teori hører ikke hjemme i folkeskolens undervis-ning, men det medtages her, fordi en lærer må vide noget om sammen-


� · GEOMETRI

hængen mellem fagets elementer. Om hvordan nye begreber bygges op af tidligere lærte begreber, hvordan nye sætninger udledes af tidligere beviste sætninger i et sammenhængende system, der hedder en matematisk teori. Med areallæren for plane polygoner som eksempel på en aksiomatisk opbyg-get teori opnår vi – foruden at belyse begrebet matematisk teori – at indlede geometribeskrivelsen med en grundig indføring i arealbegrebet.

Om at eksperimentere i matematikundervisningen

Matematiske sammenhænge og sætninger opstår ikke ud af intet, men er et resultat af observationer og ofte utallige eksperimenter, der giver anledning til opstilling af en hypotese om en formodet sammenhæng, og denne hypo-tese kan så efterprøves med flere eksperimenter. Disse kan enten forkaste hypotesen eller give yderligere næring til troen på den, og evt. kan processen sluttes af med et egentlig bevis. Det er den matematiske forskers arbejdsmetode at eksperimentere, men i lærebøger fremstilles resultatet af forskningen som oftest renset for alle de forsøg og fejlslutninger, der må være gået forud for den “flotte” lovmæs-sighed, der udtrykkes i sætningen. Dette er lærebogens dilemma, for heri skal der fortælles om den viden, der er resultatet af årtusinders forskning og kulturarv på området. En mulig vej ud af dette dilemma er dels at opfordre læseren til at stoppe op og tænke med før, under og efter processen med bogens præsentation af de matematiske emner, dels at præsentere passende problemer, som inviterer læseren til selv at gå på opdagelse. Og her er der oplagte muligheder i geometrien. En sætnings indhold er ofte ikke det væsentligste, men vejen frem til den er vigtig, og der er mange veje at gå, hvoraf ingen vej har patent på at være den rigtige. Det er måske de forskellige veje, der især bør være genstand for opmærksomhed. At nå frem til sammenhænge i faget ved at eksperimentere bliver derfor det centrale. Vi skal eksperimentere, fordi det er matematikforskerens arbejdsform. Et barn, der skal lære matematik, er matematikforsker i “det små”. En ma-tematisk arbejdsmetode med at stille spørgsmål, lede efter sammenhænge, turde gætte, efterprøve gættet, ræsonnere m.m. er vigtig, for at det bliver til elevens egen matematik i modsætning til en matematik, der overtages fra læreren/lærebogen i færdig form. Al pædagogisk forskning tyder på, at en sådan overtagelse ikke umiddelbart er mulig. Elevens egen bearbejdelse i en eller anden form er altid nødvendig for tilegnelsen af nye matematiske emner.



Der er fortsat en tendens til, at matematik er meget facit- og resultato-rienteret. Når man præsenteres for det færdige resultat af den lange proces, som matematikeren helt sikkert har været igennem, så er det, at man som studerende tænker: “Det kunne jeg aldrig selv have fundet på”. Men man fik måske heller ikke chancen, fordi skolen ikke i tilstrækkelig grad har praktiseret matematikforskerens arbejdsmetode. Hvis problemstillingen ikke præsenteres fra starten af, men mere som et færdigt slutresultatet, så begynder man jo ikke at undres og stille spørgsmål.

Hvordan kan vi fremme en eksperimenterende adfærd?

Men er det at arbejde eksperimenterende noget, der kan læres? Det er be-stemt svært, fordi eleven ofte selv skal både erkende, formulere og løse pro-blemet. Det er noget sværere end blot at forstå og følge tankegangen i en lovmæssighed eller i et bevis præsenteret af andre. Vi vil derfor her se på, om der evt. kan gives anvisninger på farbare veje til at fremme en mere eksperimenterende holdning i arbejdet med faget. Adler siger i sin bog: Vad är dyskalkyli?�, at tankeprocessen i matematik især handler om de 2 ting:

1) at kunne genkende og 2) at kunne finde mønstre.

Vi skal lede efter noget, vi kan genkende, noget vi har set før. Adler siger, at genkendeprocessen især er nærværende ved læsning af tekst eller matema-tiske symboler, hovedregning m.m., hvor en automatiseret proces betyder hurtig genkendelse; men at den også er vigtig i alle typer af problemløsning, hvor vi skal vælge mellem forskellige handlingsmuligheder. Her kan visse alternativer straks udelukkes ved tænkning alene; men før vi kan komme så langt, må vi have opnået en genkendelse. Hvis de tankeprocesser, der berører selve genkendelsen, ikke er tilstræk-keligt effektive, så påvirker det muligheden for at associere på forskellige sammenhænge og mønstre og dermed udviklingen af strategisk tænkning. Det er ikke helt enkelt at svare på, hvad vi i undervisningen kan gøre for at styrke den genkendelse, som Adler mener, er så vigtig, men i hvert fald må det handle om at opbygge situationer, der giver erfaring, så der er noget at genkende, nogle mønstre at associere til. Når eleverne på egen hånd skal løse problemer eller lede efter mønstre og sammenhænge, må de blive gode til at stille spørgsmål af typen: Har jeg set noget lignende før? Er der et system? Gælder denne lovmæssighed

� Björn Adler (200�): Vad är dyskalkyli?, side 57


� · GEOMETRI

generelt eller er dette et specialtilfælde? Hvad nu hvis jeg ændrer på dette eller hint …? Ofte kan det være en stor hjælp at lave en tegning eller måske forenkle problemet ved fx at se på simplere taleksempler. Det er klart, at ikke alle har samme evner og lyst til at gå i kast med at eksperimentere. Nogle skal hjælpes, somme tider måske ligefrem skubbes i gang, men de kan alle blive dygtigere. Det er også klart, at ingen bliver god til at eksperimentere uden at prøve det. De kan blive dygtigere til:

At turde gætte på forskellige muligheder og prøve af, om de gælder.At afgrænse problemet. Eleverne kan selv være med til at bestemme, hvilke løsninger de vil tage med. Her tænkes på, at fx i symmetriforhold kan det være svært at afgøre, om 2 løsninger er ens, hvis de ved en spejling kan bringes til at dække hinanden.At systematisere. I matematik må man arbejde systematisk. Det er især vigtigt i spørgsmål, der handler om, på hvor mange måder noget kan gøres. At opbygge et system at gå efter er bydende nødvendigt.At kategorisere eller sortere efter principper, de selv er med til at sætte.At finde metoder til at afgøre, om alle løsninger er med, og på den anden side sikre sig, at ingen løsninger er talt med mere end én gang. Dette punkt har sammenhæng med at systematisere.At stille spørgsmålet: Hvad nu hvis, vi ændrer betingelserne, gælder det så mon også?

At turde eksperimentere er central i mange andre forhold, men især inden for IT. Det er som om drenge på dette område er modigere end piger. De tænker mere: Hvis noget ikke lykkes, så prøver vi blot noget andet, og det er jo netop den kreative tænkning, der bærer frugt i IT og også i matematik. Det handler om at opbygge gode tankestrategier. For læreren er det vigtigt at få viden om, hvordan eleven tænker, hvis hun skal have mulighed for at hjælpe eleven med denne opbygning af strategier til bearbejdelse og løsning af problemer. Og denne viden kan hun kun få gennem samtale med eleven eller med grupper af elever. Samtaler om, hvad problemet er, og hvor forskel-lige løsninger diskuteres, giver netop muligheden for at diskutere strategier omkring systematisering m.m. Det sker, at eleven spørger, om det overhovedet er matematik at lede efter mønstre. Skulle vi ikke hellere lære regler og systemer? Hvis man skal kunne svare på, om det er matematik, må man vide, hvad matematik er, og det er bestemt ikke noget, man meget kort kan give et svar på, for matematik er så meget. Men matematik er i hvert fald ikke bare et sæt af regler. Det er ikke bare viden om regnemetoder og beregningsprincipper. Det er ikke

••

•

••

•



bare kundskaber om fx geometriske grundbegreber som trekant, cirkel, parallelogram og den rette linjes ligning for blot at nævne noget. Det er det også. Men der er så meget mere, der måske er nok så vigtig. Det handler måske mere om hvordan? Hvordan lærer man matematik? Hvordan undervises der i faget? Hvordan tænker man matematik? Hvordan arbejder man med problemløsning? Herved bliver fagets arbejdsmetoder centrale, og som før nævnt kan dette i perioder være vigtigere end selve de matematiske emner. Man siger da, at processen er vigtigere end produktet. Eleven skal have mulighed for at udvikle egne metoder. Det kræver tillid til egne evner til at løse problemer, og netop tilliden er væsentlig. Den får man, ved at det lykkes. Men somme tider vil det jo mislykkes, og så gælder det om sammen med andre at få analyseret, hvad der gik galt. Få det vendt til en god proces, der kan medføre udvikling. At der tænkes “forkert” giver et godt afsæt for diskussion, hvorigennem mulige misforståelser kan afdækkes. Hvis vi altid kun får forelagt de “rigtige” løsninger og måske helst “lærerens løsning”, bliver der ikke så mange nuancer i diskussionen, og matematikken bliver mere ensrettet: ét rigtigt facit, én rigtig metode.

Det induktive ræsonnement

Noget af det, der karakteriserer en eksperimenterende (også kaldet induktiv) proces, er, at man ud fra observationer og enkelteksperimenter opstiller en hypotese om en generel regel. Hvis reglen gælder for de første mange til-fælde, man prøver, så plejer den at gælde generelt. I folkeskolen er man ofte tilfreds med et induktivt ræsonnement, hvor man udleder noget generelt ud fra observationer af enkelttilfælde. Men det kan gå galt, fordi man måske i de næste forsøg, som man undlader at foretage, ville erfare, at reglen ikke passer. Derfor er det nødvendigt at slutte processen af med et ræsonnement eller et bevis. I de mindre klasser er et sådant ikke muligt, og her har hverken eleverne eller læreren behov for et bevis; det induktive ræsonnement giver på dette trin fuld tilfredshed. Et klassisk eksempel på, at man skal passe på med et induktivt ræson-nement, har vi i nedenstående problemstilling, hvor man vil undersøge, om der er sammenhæng mellem antallet af punkter på cirkelperiferien og det antal områder, som cirklen bliver opdelt i, når samtlige linjestykker (korder), der forbinder punkterne, trækkes. Da der ønskes det maksimale antal områder, må man kræve, at ikke 3 linjestykker går gennem samme punkt.


� · GEOMETRI

2 punkter1 punkt1 område 2 områder

3 punkter4 områder

4 punkter8 områder

5 punkter16 områder

Tør du gætte på, hvor mange områder, der er med 6 punkter eller med 7 punkter? Tjek dit gæt.

Eksperimenterne skal efterbearbejdes

I det foregående er det vigtige i at eksperimentere fremhævet, men det bør nævnes, at eksperimenterne ikke udføres blot for legens og eksperimenternes skyld alene, men for at vigtige sammenhænge kan opdages, afdækkes og erkendes. For at det kan ske, kræves der en form for samlet bearbejdelse af, hvad der kan uddrages af eksperimentet. Sker dette ikke, kommer resulta-terne let til at stå som tilfældige “spots” uden indbyrdes sammenhæng, og over tid vil de blive glemt.

Aktiviteter omkring eksperimenter i geometri

Her præsenteres nu nogle eksempler på geometriske eksperimenter, som læserne opfordres til at gå i kast med, gerne i et samarbejde med andre. Diskussionen omkring resultaterne er måske det vigtigste. En del af dem kræver meget arbejde. Det er også sådan, at de resultater, man når frem til, varierer fra at være vigtige, matematiske sammenhænge til at være sjove, men mere tilfældige resultater. Det betyder, at der af og til fokuseres på processen, mens såvel produkt som proces i andre tilfælde er vigtige resultater.

A1. Inddeling af et kvadrat i 2 lige store flader

Undersøg forskellige måder at dele et 4 4 -sømbræt (eller evt. et større kvadrat) i 2 lige store flader (figurer) på. Det er klart, at vi her tænker på, at de 2 flader er lige store, når de har samme areal. Man løber hurtigt ind i at skulle afgrænse problemet m.m. Kan man sige noget om, hvor mange løsninger, der findes?



A2. Ligebenede trekanter

Undersøg, hvor mange ligebenede trekanter, der kan tegnes på et 4 4×-sømbræt. Her skal der nok også ske en afgrænsning af problemet.Hvordan forholder det sig med ligesidede trekanter på et sømbræt?

A3. Figurer lavet af 5 kvadrater

Lav alle de figurer, som 5 kvadrater kan danne. De skal være sammenhæn-gende, dvs. kvadraterne skal have mindst én side fælles. Figurerne kaldes pentominoer (femlinger). Man kan evt. lave figurerne med centicubes eller tegne dem, og bagefter klippe dem ud.Hvor mange forskellige kan du lave?Hvordan vil du afgøre, om du har alle løsningerne med?Når du har dem alle (her tælles symmetriske figurer for én figur), kan du samle dem, så de danner et rektangel.Det sidste spørgsmål hører til den type, der kan være drilske og tidkrævende. Det er en individuel afgørelse, om man vil bruge den fornødne tid. Det er ikke her, du finder en vigtig matematisk sammenhæng.

A4. Puslespil

Der findes en masse puslespil, hvor man har mulighed for at bruge sin fantasi og forestillingsevne. Det er mere det frie eksperiment end ræsonnementet, der skal bruges her. Alle kan være med; man skal blot prøve sig frem. I medgift får man noget sans for geometriske former, symmetriforhold og vel også indsigt i, at meget forskellige figurer kan have samme areal. Her er valgt et gammelt kinesisk puslespil (fig. �), men også de mere kendte kinesiske tangramklodser (fig. 2) giver rige muligheder for at forme geometriske figurer og arbejde med symmetri.Du kan evt. selv konstruere kvadratet i fig. � nedenfor, idet det er givet, at

ABCD er et kvadrat, ligesom den midterste figur også er et kvadrat. Des-uden gælder, at M og N er midtpunkter af kvadratsiderne.Klip derefter brikkerne i kvadratet ud og saml dem, så de danner hver af følgende figurer (alle brikker medgår til hver figur): �) et kors, 2) en tre-kant, 3) et parallelogram, 4) et rektangel eller 5) en firkant med netop én ret vinkel.


10 · GEOMETRI

fig. 1 Kinesisk puslespil . fig. 2 Tangrambrikker .

M

A

N

D

CB

A5. Det maksimale antal rette vinkler i en n-kant

I en trekant kan man højst have én ret vinkel. I en firkant kan man have hele fire. Men hvor mange rette vinkler er det muligt at få i en 5-kant, en 6-kant, en 7-kant, …? Man skal nok her tillade ikke-konvekse figurer (i ikke-konvekse figurer vil der findes sider, hvis forlængelse går ind i det område, figuren afgrænser).

A6. Fliselægning

Havefliser har i dag ofte flotte geometriske former modsat tidligere, hvor man fortrinsvis benyttede sig af kvadrater eller rektangler. Hvis vi define-rer, at en geometrisk figur kan bruges til fliselægning, når den kan dække planen uden mellemrum (“huller”), mens man ser bort fra, om randen er pæn eller ej, så er spørgsmålet:

Kan alle former for trekanter bruges som fliser?Det er klart, at man kan bruge kvadrater og rektangler som fliser, men hvad med en vilkårlig firkant?Hvad med regulære 5-kanter (i regulære figurer er alle sider og vinkler lige store)?Hvad med regulære sekskanter, syvkanter eller ottekanter?

I denne opgave er der tale om relativt vigtige sammenhænge.

�)2)

3)

4)


EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori · 11

A7. Pick’s sætning

Antal kantsøm: K Antal indre søm: I Areal

8 1 4

14 6 12

12 9 14

Man får at vide, at for figurer, der kan laves på et sømbræt, findes der en sammenhæng mellem på den ene side figurens areal og på den anden side antallet K af søm langs figurens kant (søm langs elastikken) og antallet I af indre søm (søm inden for elastikken). Med andre ord: Hvis jeg kender K og I, så kan jeg beregne figurens areal ud fra disse 2 tal, idet der findes en formel for arealet, hvori K og I indgår. Formlen kaldes Pick’s sætning. Dette er et klassisk eksempel på et eksperiment. Man skal selv finde sam-menhængen – her en formel. Dvs. man er selv forsker. Hvor mange figurer, man er nødt til at tegne, før formlen er der, er individuelt eller måske et spørgsmål om held. Men den formel, man finder frem til, kan bruges, bl.a. til arealberegning af geometriske figurer tegnet i et koordinatsystem, hvor vinkelspidserne har hele tal som koordinater.

A8. Kvadrater på sømbræt

Man ønsker på et sømbræt at indkredse et kvadrat, der har et helt tal som areal.For hvilke hele tal mellem � og �0 er dette muligt?Resultatet af denne opgave er heller ikke uvæsentlig.


12 · GEOMETRI

Om ræsonnementer og beviser

En matematisk sætning er hypotetisk opbygget af et: hvis p så q, hvor p og q er udsagn (påstande). Sætningen kan også udtrykkes ved implikationen: p q⇒ . Udsagnet p kaldes implikationens forsætning, og q er eftersætnin-

gen. I den følgende beskrivelse af opbygningen af areallæren vil vi opleve en række geometriske eksempler på egentlige beviser og også på mindre ræson-nementer, der måske mere har karakter af en argumentation (forklaring).For at illustrere den mere overordnede tankegang i et matematisk bevis er her valgt et eksempel på en sætning med et geometrisk indhold, som vi (ud fra bogens fremstilling) endnu ikke er i stand til at bevise:

Hvis en firkant kan indskrives i en cirkel, så er summen af de modstående vinkler lig med 180 .°

Et bevis for en sætning går ud på, at vi forudsætter, antager, hypotetisk forestil-ler os, at forsætningen er sand. Under den forudsætning kan vi så gennem et ræsonnement bevise, konkludere, at også eftersætningen er sand.Udsagnet i forsætningen: “firkanten kan indskrives i en cirkel” behøver ikke at være sand, men hvis den er, så er ræsonnementet en garanti for, at der også må gælde: “summen af de modstående vinkler er 180° ”. Det betyder heller ikke, at summen af de modstående vinkler er 180° i enhver firkant. Hvis vi har bevist sætningen, så er der alene argumenteret for, at det gælder, når firkanten er indskrevet i en cirkel. I det følgende vil vi opbygge den viden, der gør, at ræsonnementet for netop denne sætning kan gennemføres. Det kræver nemlig som oftest viden om specifikke mate-matiske forhold (her om vinkler ved cirklen) at kunne gennemføre et ma-tematisk ræsonnement. Ræsonnementet her bygger – som ræsonnementer sædvanligvis gør – på påstande (sætninger), der tidligere er bevist.

Et eksempel på en falsk påstand har vi i:

Hvis vinklerne i 2 forskellige figurer (polygoner) er parvis lige store, så er de 2 figurer ligedannede (dvs. den ene figur er en forstørrelse af den anden).

Hvis vi sammenligner et rektangel (her tænkes på et rektangel, hvor der er forskel på længde og bredde) med et kvadrat, så er vinklerne i de 2 figu-rer parvis lige store, men det er jo klart, at de ikke er ligedannede. Det er altså muligt at finde eksempler på, at forsætningen er sand, samtidig med


EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori · 1�

at eftersætningen er falsk. Vi kan således ikke slutte eftersætningen ud fra forsætningen. Her er der også gennemført et ræsonnement, men denne gang for at sætningen er falsk. Den udtrykker ikke en generel egenskab. At finde modeksempler er en udbredt metode til at påvise, at en påstand ikke holder. Ét modeksempel er nok til, at sætningen må falde. I kapitlet om tal har vi set eksempler på andre typer af beviser. Det indi-rekte bevis blev fx brugt til at bevise, at der findes uendelig mange primtal. Induktionsbeviser blev brugt i tilfælde, hvor man skulle vise, at en bestemt sammenhæng gælder for alle naturlige tal. I den følgende opbygning af areallæren vil der være en række eksempler på direkte beviser.

Ræsonnementer og bevisers rolle i undervisningen

Beviser har ikke længere en fremtrædende rolle i folkeskolens undervisning. De er nok kommet lidt i miskredit, fordi der har været en tendens til, at lærebogens bevis blev lært udenad, hvilket synes meningsløst. Men det er vanskeligt at forestille sig en matematikundervisning, hvor argumentation og ræsonnementer ikke spilder en væsentlig rolle, hvad de da heldigvis også fortsat gør. Ræsonnementet er forklaringen på sammenhængen, og den kan man dårligt undlade at give, hvis man vil bygge på, at læring skal ske gennem forståelse. Der er alt for meget, der blot skal “huskes”, hvis man ikke bygger på den indsigt og forståelse, der kommer af, at man har fået, eller allerbedst selv har tænkt sig til, en forklaring. Hvis man har erfaret en sammenhæng ved at have ræsonneret sig til den, så behøver man ikke at bruge kræfter på “at huske”, for man ved jo, at man nok igen vil kunne tænke sig frem til den. Det er uhyre vigtigt, at eleverne bringes i situationer, hvor de kan udfor-dres og evt. i dialog med læreren eller andre elever gennemføre kortere ræk-ker af ræsonnementer. Det er vigtigt, at de kan gennemskue holdbarheden af et matematisk argument. Det er vigtigt, at de kan skelne mellem intuitive eller empiriske opfattelser af fænomener og matematiske beviser for disse fænomener, fordi de ellers let opbygger en forestilling om, at det er nok, at det ser ud til at være sådan; eksempelvis kan man da se, at diagonalerne i et parallelogram halverer hinanden. Hvorfor skal det bevises? Det skal det, fordi vi først kan være sikre på, at en påstand holder, når vi har kunnet føre et ræsonnement eller bevis for den. Det kan jo være, at vi ikke har været grundige nok i vort arbejde. Måske vil vi ved fortsatte undersøgelser kunne finde netop det eksempel, der gør, at påstanden må falde. Den matematiske metode består langt hen ad vejen i at bevise. Det giver


1� · GEOMETRI

matematikken et præg af eksakthed og præcision. Her er det ikke nok at tro og mene, i matematik kræver vi og kan vi give et bevis. I skolens undervisning er det selvfølgelig nødvendigt at bløde op på det stringente og give faget et mere menneskeligt ansigt med plads til intuitio-nen og det induktive ræsonnement, men det bør gøres uden helt at sælge ud af det, der er det bærende i faget – at gennemføre matematiske ræsonne-menter.

Symmetri, regulære polygoner og det gyldne snit

Symmetriforhold og regelmæssighed er bærende begreber i geometri. De regulære polygoner, hvor alle sider og alle vinkler er lige store, er de flotteste former, fordi vi her opnår det maksimale antal symmetriakser. Det ser ud til, at der er lige så mange symmetriakser, som der er sider i polygonen.

Prøv at argumentere for dette.

De regulære polygoner kan tegnes ind i en cirkel, hvori siderne bliver kor-der. Hvis man sætter radius i cirklen til �, vil man kunne beregne længden af korderne om ikke på anden måde så ved at anvende trigonometri. Men hertil har man brug for at kende størrelsen af vinklerne. Vi vil derfor se på, hvordan man kan beregne vinkelsummen i en n-kant og specielt vinklernes størrelse i den regulære n-kant.

Vinklerne i en n-kant

Når man tegner alle diagonalerne fra én af vinkelspidserne, bliver den kon-vekse n-kant inddelt i et antal trekanter, i alt n 2− trekanter. Man kan fx argumentere med, at der fra en vinkelspids kan tegnes n 3− diagonaler (det gælder dog kun i en konveks polygon), og da disse udgør skillelinjer mellem trekanterne, må der være en trekant mere end antallet af diagonaler, dvs.


symmEtri, rEgulærE polygonEr og dEt gyldnE snit · 1�

n 2− trekanter. Vi ved, at trekantens vinkelsum er 180 .° Da hver eneste af trekantvinklerne indgår som dele af polygonvinklerne, og da de tilsammen udgør summen af n-kantens vinkler, så får vi resultatet:

Vinkelsummen af en n-kant er (n 2) 180 .− ⋅ °

A

BC

D

E

F

G

A

BC D

E

F

GH

O

Argumentet for formlen kan også føres ved at vælge et punkt O inde i n-kanten og så tegne linjer til vinkelspidserne. Man får på denne måde n trekanter. Men summen af vinklerne inde ved O hører ikke med til n-kantens vinkelspidser. Derfor får vi nu en vinkelsum i n-kanten på:

n 180 360 n 180 2 180 (n 2) 180⋅ °− ° = ⋅ °− ⋅ ° = − ⋅ °

Den viste formel for vinkelsummen gælder for såvel regulære som ikke-regulære polygoner, men hvis det er en regulær n-kant, så kan vi beregne vinklen:

I en regulær n- kant er vinklen lig med (n 2) 180

n− ⋅ °

Konstruktion af regulære n-kanter

Grækerne kendte til at konstruere regulære 3, 4, 5, og 6-kanter ved hjælp af passer og lineal. Gauss (tysk matematiker; �777-�855) opdagede, at det var muligt at konstruere en regulær �7-kant. En regulær 7-kant kan derimod ikke konstrueres. Hvis vi holder os til n ≤ 20, så er det muligt at konstruere regulære n-kanter for n lig med 3, 4, 5, 6, 8, �0, �2, �5, �6, �7 og 20. Hvis vi tænker de regulære polygoner lagt ind i en cirkel, kan problematikken i nogle tilfælde omformes til, om det er muligt at konstruere centervinklen på 360 nο .


1� · GEOMETRI

Her vil vi se på et par af konstruktionerne. Det vil være en god øvelse at udføre konstruktionerne på computeren, fx med programmet GeoMeter eller lignende programmer.

Ligesidet trekant, kvadrat, regulær 8-kant og regulær 16-kant

En ligesidet trekant og et kvadrat giver næsten sig selv. Den regulære 8-kant fås ved halvering af centervinklerne, når kvadratet er tegnet ind i en cirkel, og ved fortsat halvering fås den regulære �6-kant.

Regulær femkant

Denne konstruktion hører ikke til de mest oplagte. Først tegnes en cirkel (se fig. �). Midtpunktet M af radius OB konstrueres. Med M som centrum og MC som radius er tegnet en cirkelbue, der skærer diameteren AB i punktet D. Med C som centrum og CD som radius er tegnet en ny cirkelbue, der skærer den oprindelige cirkel i punktet E. Med korden CE i passeren afsæt-tes nu punkter hele vejen rundt langs periferien. Det lader sig gøre netop 5 gange, så det ser ud til, at korden CE har den længde, der skal til for at indtegne en regulær femkant i cirklen. Det er lidt vanskeligt at bevise, at det forholder sig sådan. Hvis du har lyst, så er der skitseret en metode i teksten til tegningerne. Ideen er, at man i fig. � beregner sidelængden CE ud fra viden om den konstruktion, man har udført, hvorimod man i fig. 2 har som forudsætning, at det er en regulær 5-kant . Når det er givet, bliver O Q R en gylden trekant med vinklerne 72 , 72° ° og °36 (se afsnittet om det gyldne snit), og herudfra kan man så beregne femkantens længde. Da man får den samme længde ved de 2 beregninger, er konstruktionen i orden.

B

r=1

5-1

2

1

2

52

fig. 2 OQR er en gylden trekant, og

derfor er QR =5-12 . OS kan beregnes.

Da der gælder: QT 1 = OS QR ,kan QT beregnes, og femkantenssidelængde er det dobbelte af denne.

fig. 1 Konstruktion af den regulærefemkant. M er midtpunkt af OB.Bue CD har centrum i M og radiusMC. Bue ED har centrum i C ogradius CD. CD kan beregnes afden retvinklede CDO.

S

RT

QE

D

C

MA O

O



Regulær 10-kant, 6-kant, 12-kant, 15-kant og 17-kant

Den regulære �0-kant kan fås ved halvering af centervinklen for den regu-lære femkant.Den regulære sekskant får vi ved – med radius i passeren – at afsætte punk-ter på cirkelperiferien, hvorved vi, som nævnt tidligere, kan nå rundt netop 6 gange. Korden, hvis længde er lig radius, vil være side i den regulære 6-kant. Denne sekskant er meget brugt i praksis, fordi man, hvis man har flere af dem, kan bruge den til overdækning af en flade, hvilket bierne også har fundet ud af. Ved halvering af centervinklen i 6-kanten kan man få en regulær �2-kant.Den regulære �5-kant er noget mere indviklet, men centervinklen må være: 360 15 24° = ° og 24 15 9° = °+ ° . Her kan 15° fås ved fortsat halvering af 60 .° 9° kan fås ved fortsat halvering af de 36 ,° som er centervinklen ved �0-kanten. �5-kanten kan altså konstrueres. Den regulære �7-kant er det bedst, at vi afstår fra at beskrive; men der er nok ingen grund til at betvivle, at Gauss har ret i, at den kan konstrueres (selv om forfatteren ikke kan).

Aktiviteter omkring symmetri, klip og foldning

Symmetri er et meget vigtigt begreb i geometriundervisningen. I mange geometriske former, i arbejdstegningen, i konstruktion af mønstre er op-mærksomheden omkring symmetriforhold helt central. Vores verden er i høj grad opbygget af regelmæssighed og symmetri, med mindre man bevidst har forsøgt at undgå det symmetriske. Der arbejdes med symmetri i hele skoleforløbet, og det er nemt at finde opgaver på alle niveauer. Det er fx naturligt at arbejde med at folde og efterfølgende klippe i et stykke papir. Det kan være klipning af gækkebreve, der ved udfoldning er blevet til flotte regelmæssige figurer, hvor foldelinjerne nu er symmetriak-ser. Disse oplevelser er selvfølgelig uundværlige byggesten i forståelsen af symmetriforhold. En del af aktiviteterne her handler derfor om foldning efterfulgt af klip.

A1. A4-papiret

Det er almindelig kendt, at 2 stykker A4-papir giver et A3-format, mens der omvendt går 2 stykker A5 til et A4. A4 er den mest brugte dimension. Det største af papirformaterne hedder A0.


1� · GEOMETRI

Dette rejser nogle interessante spørgsmål:Hvor mange A4-stykker går der på A0?Prøv at beregne dimensionerne af A0 og arealet af A0.De forskellige papirformater er ligedannede rektangler. Hvad fortæller det om forholdet mellem den længste og den korteste side i arkene?Lav en tegning (bestem selv målestoksforhold), der viser, hvordan A0 kan dækkes af netop ét af hvert format: A�, A2, A3, A4 og 2 stykker af A5-format.Vi ser på det kvadrat, hvis side er lig med A4-papirets korte side. Sam-menlign længden af diagonalen i dette kvadrat med A4-formatets læng-ste side. Begrund resultatet af målingen.

A2. Fold og klip regulære figurer

Vi har i det foregående set på ofte besværlige konstruktioner af regulære polygoner, men når disse figurer har så mange symmetriakser, kan man måske komme lettere til dem ved foldning og efterfølgende klip.Undersøg, hvilke regulære polygoner, man i princippet kan frembringe ved at folde et antal gange og efterfølgende klippe (foldekant skal hver gang følge foldekant).Rent fysisk er det dog kun muligt at foretage et begrænset antal foldnin-ger.

A3. Fold og klip et kvadrat og en ligesidet trekant

Det er almindelig kendt, hvordan man af et rektangel udklipper det størst mulige kvadrat. Se tegning fig. �. Det er lidt vanskeligere at folde og klippe en ligesidet trekant. Først foldes omkring den lodrette midterfold (fig. 2), fold ud igen. A4-papirets korte side skal være trekantsiden. Punktet B er bestemt som billedet af A ved en foldning om en sådan linje CD, således at A kom-mer til at ligge på midterfolden. Fold ud igen, tegn linjerne AB og BC og klip langs disse. Fig. 3 viser konstruktionen af en lidt større ligesidet trekant CDF, hvor punktet D er fundet på samme måde som i fig. 2. Herefter er punktet F fundet som billedet af C ved foldning om den vandrette linje DE.

Gør rede for, at de 2 udklippede trekanter begge er ligesidede trekan-ter.Hvorfor mon den ligesidede trekant er så relativt vanskelig at folde, og hvorfor kan den ikke indkredses på et sømbræt?

�)2)3)

4)

5)

�)

2)



fig. 3 Som i fig. 2, men derfoldes yderligere om DE.CDF er en ligesidet trekant.

fig. 2 Fold om en sådan linieCD,at A når op til midterfolden.ABC er en ligesidet trekant.

fig. 1 Fold så AD dækkerAB. ABCD er et kvadrat.

fold

midterfoldmidterfold

foldelinie

klip her

foldelinieED

F

B

D

B = A'

A CCA

B C

DA

A4. Den regulære femkant

Når man binder en knude på en strimmel papir, får man noget, der meget ligner en regulær femkant (se fig. �). Det er også muligt ved hjælp af A4-papiret at folde en figur, der kommer tæt på at være en regulær 5-kant. Den passer dog ikke helt. Et A4-papir foldes om den foldelinje, der fremkommer ved at lade et hjørne dække det diametralt modsatte hjørne (fig. 2). Fold nu langs midtnormalen (dvs. langs linjen AD) for denne foldelinje. Du har nu en 4-kant ABCD (fig. 3). Fold ud igen. Herefter foldes så siderne BC og FE lægges ind til foldelinjen AD og flugter med denne. Papirets form er nu en næsten perfekt femkant.

B= F

D

C= EC= E

B= F

D

E

C

D

B A AA

Ffig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4

Der er ikke matematik i opgaven med at folde femkanten ud over den sym-metribetragtning, der altid er, når man folder om en linje, men fordi fem-kanten er lidt besværlig at få frem, er den måske alligevel interessant.

A5. Fold og klip

I denne opgave er der derimod meget matematik, bl.a. forståelsen af geo-metriske former, problemløsning m.m.Det centrale i opgaven er, at en foldelinje bliver til en symmetriakse i den færdige figur. Vi ser på følgende 2 tilfælde:


20 · GEOMETRI

�) Netop 2 klip er tilladt, og der foldes netop én gang om en foldelinje. Vi vil betragte det udklippede hul som den geometriske figur. Hvilke geometriske polygoner kan du klippe ud efter dette princip? Er det muligt at klippe, så hullet bliver: a) et kvadrat, b) en ligebenet tre-

kant, c) en ligesidet trekant eller d) en trekant med 3 forskellige sider.

2) Netop ét klip. Der foldes 2 gange ved foldehjørnet (fig. �).

klip

fig. 1

Foldehjørne

Vinge

fig. 2

RombeLigesidet trekantLigebenet trekant

KvadratRektangelDrage

Det er normalt at folde, så kant følger kant, når man folder 2. gang. Den begrænsning vil vi ikke have her (se fig. �).Hvilke af figurerne i fig. 2 er det muligt at frembringe ved ét klip om fol-dehjørnet?Det vil være naturligt at eksperimentere sig frem. Man opdager, at vinklerne ved foldningen og ved det efterfølgende klip ikke er uvæsentlige faktorer.

Det gyldne rektangel, den gyldne trekant og det gyldne snit

Rektangler kan have forskellige dimensioner og formater. Vi har set på A4-for-matet som eksempel på et meget anvendt format. Historisk har imidlertid det gyldne rektangel spillet en betydelig rolle, fordi det har nogle dimensioner, der åbenbart opfattes som særlig harmoniske. I antikkens bygning, ja selv i de egyptiske pyramider finder man mange eksempler på det særlige forhold mellem dette rektangels 2 dimensioner. Men lad os starte med at definere et gyldent rektangel, som et rektangel med følgende egenskab:

Hvis man fra det gyldne rektangel fjerner et kvadrat, hvis side er lig med rektanglets korte side, så bliver det tiloversblevne et rektangel, der er ligedannet med det oprindelige rektangel.


symmEtri, rEgulærE polygonEr og dEt gyldnE snit · 21

Vi går ud fra, at ABEF er et gyldent rektangel, og hermed følger det af definitionen, at ABEF og CEFD (se fig. �) er ligedannede, og vi kan opstille forholdet mellem siderne og nå til følgende udregninger:

2x 1 x ( x 1) 1 1 x x 1 01 x 1

1 5x 1,6180342

= ⇔ ⋅ − = ⋅ ⇔ − − = ⇔−

±= ≈ (6 dec. Kun den positive løsning kan bruges)

x1 x - 1

fig. 1 Det gyldne rektangel ABEFmed sidelængder 1 og x . CEFD eret gyldent rektangel medsidelængder x - 1 og 1.

1

11

D F

C E

A

B

1

1

2

fig. 2 Konstruktion af det gyldnerektangel. MC kan beregnes afPythagoras. MC = MF = radiusfor bue CF med centrum i M.

5

2 1

1

2

E

FM D

CB

A

Konstruktion af et gyldent rektangel er vist i fig. 2. Man starter med at tegne kvadratet ABCD med siden �. M er midtpunkt af AD. Med M som centrum og MC som radius tegnes en cirkelbue, der skærer forlængelsen af AD i punktet F. I trekant MCD kan siderne beregnes ved brug af Pythagoras, og man får de på tegningen angivne tal. ABEF er et gyldent rektangel, da:

1 5 1 5AM MF 1,6180342 2 2

+= + = + = =AF (6 dec.) .

Den gyldne trekant

Der findes også en gylden trekant. Det er en ligebenet trekant med vink-lerne 72 , 72° ° og °36 (se fig. 3). Der gælder nemlig det specielle, at tegnes vinkelhalveringslinjen til fx vinkel A, vil vi få 2 ligebenede trekanter CAD og BDA , og desuden er CAD ligedannet med den oprindelige trekant, idet også denne trekant har vinklerne 72 , 72° ° og .°36 Sættes grundlinjen AC til � og BC x= =AB , så kan vi slutte, at AC AD BD 1= = = (ligebenede trekanter) og DC x 1= − .

Da ABC CAD ∼ , er de ensliggende sider proportionale, og stiller vi for-holdene op, opnår vi helt samme ligning som ovenfor ved det gyldne rektangel,

hvilket betyder, at 1 5x2

+= .


22 · GEOMETRI

�

x

�

1

�

1

�

1

�

x-1

�

72°

�

36°

�

36°

�

72°

�

36°

�

fig. 3

�

ABC og

�

CAD er begge gyldne trekanter,

�

idet er AD er vinkelhalveringslinje.

�

CAD og

�

BDA

�

er begge ligebenede trekanter, og dermed har AC, AD

�

og BD samme længde på 1.

�

For de ensvinklede trekanter

�

ABC og

�

CAD kan vi

�

opstille forhold, der bliver helt som for det gyldne rektangel.

�

Derfor bliver x =

�

1+

�

5

�

2

�

.

�

Hvis vi stedet havde valgt

�

AB

�

= 1, bliver

�

AC

�

=

�

-1 +

�

5

�

2

�

.

�

D

�

B

�

A

�

C

Det tal, vi her har fået for forholdet mellem siderne i det gyldne rektangel og den gyldne trekant, kaldes det gyldne snits forhold og betegnes som regel med det græske bogstav ϕ . Vi har også mødt tallet i forbindelse med Fibonaccitallene, hvor vi beviste, at grænseværdien for forholdet mellem et tal og dets foregående tal i rækken netop var ϕ . For ϕ gælder det specielle:

1 1 11 0 ,618034- 1 1,618034

ϕ ϕϕ ϕ

= ⇔ = − ⇔ = (6 dec.)

Det gyldne snit for linjestykker

Men det gyldne snit har flere betydninger, idet det også er en måde at dele et linjestykke op på.

Punktet C deler linjestykket AB i det gyldne snits forhold ⇔

AB ACAC CB

= , hvor AC CB>

Eller udtrykt mindre formelt:Forholdet mellem hele linjestykket og det længste delestykke er lig med forholdet mellem det længste og det korteste af delestykkerne.

I fig. 4 deler punktet C linjestykket AB i det gyldne snits forhold. Sætter vi AB x AC 1= = og , så får vi ved at bruge ovenstående definition præcis

samme ligning som ved det gyldne rektangel, og vi kan konkludere, at C deler linjestykket i forholdet:



AB AC 1 5AC CB 2

+= =

.

�

x

�

1

�

x - 1

�

1

�

2

�

5

�

2

�

-

�

1

�

2

�

1

�

2

�

fig. 5 Konstruktion af punktet C, der deler

�

AB i det gyldne snits forhold. I B oprejses

�

den vinkelrette og D konstrueres, så

�

BD

�

= ½ ⋅

�

�

AB

�

. Det fremgår af tegningen,

�

hvordan buerne FB og FC er konstrueret.

�

fig. 4 C deler AB i det gyldne snits forhold.

�

Hvis vi sætter

�

AB

�

til x og

�

AC

�

til 1, får vi

�

x = 1,618034, men bytter vi om, så

�

AB

�

er 1

�

og

�

AC

�

er x, får vi x = 0,618034 (6 dec.).

�

B

�

C

�

C

�

F

�

D

�

A

�

B

�

A

Sætter vi i stedet AB 1= og AC x= , bliver BC 1 x= − , og vi får ud-regningen:

2 21 x 1 5x 1 x x x 1 0 x 0 ,618034.x 1 x 2

− ±= ⇔ = − ⇔ + − = ⇔ = =

−

(x skal være større end 0).

I fig. 5 er vist en konstruktion af det punkt C, der deler linjestykket i det gyldne snits forhold. I punktet B oprejses den vinkelrette, og linjestykket BD afsættes, så BD ½ AB= ⋅ . Punkterne A og D forbindes med en ret linje. Med D som centrum og DB som radius tegnes en bue. Denne skærer AD i punktet F. Med A som centrum og AF som radius tegnes en cirkelbue, der skærer AB i punktet C.Påstanden er, at C deler AB i det gyldne snits forhold. Vi får:

Sættes |AB| = �, så er |BD| =12

. Af Pythagoras følger: 5AD

2=

Da |DF| =|DB| = 12

, er 5 1 5 1AC AF2 2 2

−= = − = , som jo netop er

det gyldne snits forhold, når |AB| sættes til �.

Kunstnere tager ofte hensyn til det gyldne snit i deres arbejde. De 2 punkter, som billedets længde deles i ved det gyldne snit, bestemmes, og ligeledes de tilsvarende punkter for billedets højde. Der trækkes nu henholdsvis lodrette


2� · GEOMETRI

og vandrette linjer gennem punkterne. Linjernes skæringspunkter regnes for særlig vigtige punkter, hvor centrale ting anbringes. Det gyldne snit (punktet C) kan i praksis bestemmes ved, at |CB| udgør ca. 38% ( (100 61,8034)%− ) af hele linjestykket.

Femstjernen og det gyldne snit

Pentagon kendes nok bedst som navnet for USA’s forsvarsministerium. Denne bygning har form som en regulær femkant, og en sådan har netop fra gammel tid heddet en pentagon, idet penta står for 5. Hvis vi forlænger siderne i en pentagon til skæring, får vi en femstjerne, der kaldes et penta-gram. Det viser sig, at det gyldne snits forhold er at finde overalt i denne, og det har gjort, at femstjernen betragtes som særlig smuk og harmonisk. Det er vel grunden til, at flere lande (bl.a. USA) har den med i deres flag. Uendelighedsbegrebet er også repræsenteret i pentagrammet. Hvis vi træk-ker linjer mellem femstjernens spidser, får vi igen en pentagon, hvis sider kan forlænges til et nyt pentagram (fig. 2).

xx

fig. 2 Der kan tegnes femstjerner inden iog uden om i en uendelighed.

fig. 1 Pentagrammet.Når BD tegnes får man BGD AGI,og x kan beregnes til 0, 618034 ..

1 1

1

x

x

x 1

1

J

G

H

I

F

A

ED

C

B

Vi kan vise, at fx diagonalen GI i den store femkant (se fig. �) af punktet D bliver delt i det gyldne snits forhold, og at punktet B deler linjestykket GA i det samme forhold. Det handler igen om at opstille forholdene mellem ligedannede trekanter: BGD og AGI . Herudfra kan x beregnes til

1 5 0 ,6180342

− +≈ og dermed fx GA 1,618034.≈

På grund af symmetri gælder det samme for alle de andre diagonaler.


analytisk gEomEtri · 2�

Der er også flere gyldne trekanter i pentagrammet. Spidserne i femstjer-nen – fx BGC – er gyldne trekanter, og det samme gælder for de lidt større trekanter som fx JGI . Vinklerne i disse trekanter er 72 , 72° ° og °36 . Da det gyldne snit er forbundet med særlig harmoniske forhold, har designere, arkitekter m.m. – bevidst eller ubevidst – siden tidernes morgen taget hensyn til det i deres fremstilling af ting. Det kendteste eksempel er nok det berømte græske bygningsværk Parthenontemplet, der kan tegnes ind i et gyldent rektangel. Også den menneskelige krop kan opfattes som delt efter forholdet; det mest kendte vidnesbyrd herpå er at finde i Leonardi da Vinci’s meget kendte billede: “Homo ad cirkulum”. Det gyldne snits forhold er altid blevet opfattet som noget helt enestående, hvorfor det også helt indtil �900-tallet blev kaldt “det guddommelige forhold”. Læs evt. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/

Analytisk Geometri

René Descartes (fransk filosof og matematiker, �596 -�650) tilskrives æren for at have opfundet analytisk geometri, idet han opfandt koordinatsyste-met, der er grundlaget for den analytiske geometri, der i korthed går ud på, at geometriske objekter kan udtrykkes ved tal. Vi har i den beregnende geometri med areal og rumfangsbestemmelse af plane og rumlige figurer set en vis forbindelse mellem tallenes verden og geometrien. Men med koor-dinatsystemet er der skabt en forbindelse mellem algebraen og geometrien, der åbner for muligheden af at løse geometriske problemer ved algebraiske beregninger og omvendt. Fx kan 2 kurvers mulige skæringspunkt tolkes som en fælles løsning til 2 ligninger. I koordinatsystemet kan man nemlig angive et punkts belig-genhed i planen (eller rummet, men her vil vi holde os til planen) ved dets koordinater, dvs. ved et talpar. En punktmængde kan beskrives ved sam-menhængen mellem de 2 koordinater. Således beskriver ligningen y x 1= + de punkter, der alle har det sådan, at punktets 2.-koordinat y er � større end �. koordinaten x. Den pågældende punktmængde kaldes grafen for ligningen. Vi vil nu lidt overordnet beskrive koordinatsystemet, idet der bygges på en vis for-håndsviden.


2� · GEOMETRI

Koordinatsystemet

På en koordinatakse har vi et nulpunkt O og et enhedspunkt E, og herved kan der til ethvert punkt P på aksen knyttes et tal x, punktets koordinat, der, når P ligger til højre for O, angiver længden af linjestykket OP målt med enhedenO E . Et punkt P til venstre for O får en koordinat x, så O P x x= = − ,

idet x nu er negativ, og x− derfor positiv. På en koordinatakse er afstanden mellem 2 punkter P og Q med koor-dinaterne henholdsvis �x og 2x givet ved:

1 2 1 21 2

2 1 2 1

x x x xPQ x x

x x x x − ≥= − = − >

hvis hvis

x2x110

O E P Q

Det retvinklede koordinatsystem har 2 koordinatakser, der står vinkelret på hinanden med fælles nulpunkt og sædvanligvis med samme enhed.

-1-3

y-aksenordinataksen

x-aksenabscisseaksen

31

2 P(3,2)

1

2

Q(-2,-1)

R (-3,1)

O(0,0)-2

Afstandsformlen

Når 2 punkter er givet i et koordinatsystem, kan vi ud fra punkternes ko-ordinater beregne afstanden mellem dem. Hvis de 2 punkter begge ligger på en linje, der enten er parallel med x-aksen eller med y-aksen, så er afstanden mellem punkterne at betragte som afstanden mellem punkternes projektion på en af koordinatakserne. Fx er afstanden mellem punkterne A(�,2) og B(5,2) lig med 1 5 4− = , og afstanden mellem punkterne (3,2) og (3,7) er 2 7 5.− = Hvis linjen gennem de 2 punkter ikke er parallel med nogen af akserne, kan vi beregne afstanden mellem dem ved hjælp af Pythagoras’ sætning. I fig. � skal afstanden mellem punkterne A(2,3) og B(4,6) beregnes. Der tegnes



en linje gennem A parallel med x-aksen og en linje gennem B parallel med y-aksen. De skærer hinanden i punktet C, der må have koordinaterne (4,3). Desuden er C∠ ret, da det er et retvinklet koordinatsystem. Ved brug af Pythagoras’ sætning finder vi, idet AC 4 2= − og BC 6 3= − :

( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2

AB AC BC AB 4 2 6 3

AB 4 2 (6 3 ) 13

= + ⇔ = − + − ⇔

= − + − =

Generelt vil vi beregne afstanden PQ mellem 2 vilkårlige punkter 1 1P( x , y ) og 2 2Q ( x , y ). Der tegnes som i eksemplet ovenfor linjer parallelle med x- og y-aksen. Herved fremstår den retvinklede PQ R , og ved brug af Pythagoras får vi:

( )

( )

22 2 22 21 2 1 2

2 21 2 1 2

PQ PR Q R PQ x x ( y y )

PQ x x ( y y )

= + ⇔ = − + − ⇔

= − + −

6

1x-aksen

y-aksen

fig. 1 AB kan beregnes til :

AB = (2 - 4)2 + (3 - 6)2 = 13, daAC = 2 - 4 og BC = 3 - 6

2 3 4

3C(4,3)

B(4,6)

A(2,3)

O(0,0)

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

R (x2,y1)

x-aksen

y-aksen

fig. 2 PR = x1 - x2 og QR = y1 - y2

Deraf fås : PQ = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2

1x1 x2

y2

y1

AfstandsformlenAfstanden mellem punkterne 1 1P( x , y ) og 2 2Q ( x , y ) er givet ved:

( )2 21 2 1 2PQ x x ( y y )= − + − .

Vis at denne afstandsformel også kan bruges i de tilfælde, hvor linjen gen-nem de 2 punkter er parallel med en af akserne.


2� · GEOMETRI

Cirklen

Ovenstående resultat overføres let til cirklen, da denne er defineret som mængden af punkter, der har en bestemt afstand til centrum. Vi vil under-søge, hvordan de punkter, der ligger på en cirkel med radius r og centrum i C(a,b), kan beskrives ud fra deres koordinater. For et vilkårligt punkt P( x , y ) på cirkelperiferien kan afstanden til centrum C(a,b) beregnes, og denne afstand kan så sættes lig med r:

( ) ( )2 22 2

2 2 2

CP ( x a) y b r ( x a) y b

r ( x a) ( y b)

= − + − ⇔ = − + − ⇔

= − + −

1

y

x

Enhedscirklen har ligningen : x2 + y2 = 1

Cirklens ligning : (x - a)2 + (y - b)2 = r2

r

C (a,b)

P (x,y)

Cirklens ligningEn cirkel med centrum i C(a,b) og radius r har ligningen:

2 2 2( x a) ( y b) r− + − =Hvis cirklens centrum er O (0 ,0 ), får cirklen ligningen: 2 2 2x y r+ =

Vi kan regne på cirklens ligning:

( ) ( )22 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x a y b r

x a 2ax y b 2by r

x 2ax y 2by r a b

− + − = ⇔

+ − + + − = ⇔

− + − = − −



I den sidste ligning indgår der på højre side udelukkende konstanter, da centrum C(a,b) er et bestemt punkt, og radius r er givet. Ofte er cirklens ligning angivet på denne form, hvorfor vi må omforme til den sædvanlige form, der tillader en umiddelbar aflæsning af centrum og radius. Vi vil se på et eksempel:

Eksempel 1: En punktmængde er givet ved: 2 2x 2x y 6 y 26− + − =

Ud fra ovenstående slutter vi, at grafen må være en cirkel. Vi ønsker at bestemme a og b, så ligningen i stedet kan skrives på formen: ( ) ( )22 2x a y b r− + − = .I stedet for udtrykket 2x 2x− vil vi gerne opnå kvadratet på en toleddet størrelse, dvs. en størrelse på formen ( )2x a− . Her må 2x− betragtes som det dobbelte produkt, når de 2 led i den toleddede størrelse hedder henholdsvis x og -1 ( -1 er det halve af koefficienten 2− til x). Udtrykket 2x 2x− mangler leddet ( )2 21 1− = for at være kvadratet på en toleddet størrelse. Vi adderer derfor 21 på begge sider af lighedstegnet. Tilsvarende betragtninger over udtrykket 2y 6 y− fører til, at vi også må addere

23på begge sider af lighedstegnet. Vi får derfor:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

x 2x y 6 y 26

x 2x 1 y 6 y 3 26 1 3

x 1 x 3 36

x 1 x 3 6

− + − = ⇔

− + + − + = + + ⇔

− + − = ⇔

− + − =

Af sidste ligning kan vi se, at grafen for punktmængden 2 2x 2x y 6 y 26− + − = er en cirkel med centrum i punktet (1,3) og radius 6.

Eksempel 2: En punktmængde er givet ved: 2 2x 4x y 10 x 20+ + − =

Ved tilsvarende betragtninger som i eksempel 1 får vi:

( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

x 4x y 10 x 20

x 4x 2 y 10 x 5 20 2 5

x 2 x 5 49

+ + − = ⇔

+ + + − + = + + ⇔

+ + − =

Centrum for denne cirkel er (–2,5) og radius er 7

Øvelse: Tegn grafen for 2 2x y 48 8 y 12x+ = + −


30 · GEOMETRI

Funktion

Funktionsbegrebet er et af de vigtigste begreber overhovedet i matematik, fordi det anvendes i mange forskellige situationer. Mange har svært ved at give en entydig forklaring på, hvad en funktion er, fordi begrebet kan præsenteres og forklares på forskellig vis. Men hvor vi finder en sam-menhæng mellem 2 størrelser, har vi ofte at gøre med en funktion. Mere præcis: Hvis man om den ene størrelse kan sige, at den på entydig vis afhænger af den anden størrelse, dvs. hvis y afhænger af x, sådan at der til et bestemt x svarer ét og kun ét y, så er sammenhængen mellem de 2 størrelser en funktion. Her er nogle bud på forskellige præsentationer af begrebet funktion:

Sammenhængen mellem prisen y og antal købte vareenheder x er eksempel på en funktion.Hvis � kg koster 3 kr., så vil x kg koste 3 x⋅ kr. Prisen y er en funktion af an-tallet x af vareenheder, og sammenhængen kan udtrykkes ved y 3 x.= ⋅Vi kan fastslå, at der til ét bestemt kvantum hører netop én pris.

Sammenhængen mellem temperaturen målt i celsius og i fahrenheit er ek-sempel på en funktion.Hvis x er fahrenheit og y er celsius så gælder:

5y ( x 32)9

= − ⋅

Det er klart, at der til enhver fahrenheit-grad svarer netop én celsius-grad.

En funktion kan også være sammenhængen mellem 2 rækker af tal givet i en tabel, fx følgende tabel:

131 142 153 164 175 186 197 208 219 ≥ 220

500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 4500 6000 7000

Tabellen beskriver sammenhængen mellem en bils hastighed x på en mo-torvejstrækning med hastighedsbegrænsning på ��0 km/t. i øverste linje og bødens størrelse y i nederste linje ved en evt. trafikkontrol. Øverste linje skal forstås sådan, at der egentlig er underforstået et interval, fx i stedet for �3� skal der stå intervallet [ ]121;131 , �42 står for ] ]131;142 osv. Tabellen beskriver en funktion, da der til enhver hastighed over �2� km/t. kan findes én bødestørrelse.


analytisk gEomEtri · �1

Foruden ovennævnte bøde er der fastlagt et højhastigtighedstillæg for hastigheder over �40 km/t. Idet der i øverste linje igen skal tænkes i inter-valler, er denne tabel givet ved:

149 159 169 179 189 199 209 219 229 239

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Også denne tabel er i sig selv en funktion. I praksis vil det interessante dog være at sammensætte disse 2 funktioner til én funktion.

Hvordan vil du lave en tabel over denne nye funktion?

En funktion kan være en kurve. Her er x-værdierne årstal fra �98� til 2005, og y-værdierne er antal mennesker i arbejdsstyrken det pågældende år. Til hvert årstal svarer netop et tal for arbejdsstyrken. Omvendt kan man godt til forskellige tidspunkter have målt det samme tal for arbejdsstyrken.

En funktion er en maskine. Vi forestiller os en maskine, der gør noget ved det, der puttes ind i den. Når et tal puttes ind, kommer et – som oftest æn-dret – tal ud af maskinen.

Maskinen herganger med 2 y = 2 xx


32 · GEOMETRI

En maskine vil altid gøre det samme ved tallet. Derfor vil der til et bestemt input x svare netop ét output y.

Fælles for ovenstående eksempler på funktioner er, at der ikke kan findes 2 forskellige y-værdier til en og samme x-værdi. Derimod kan det omvendte godt være tilfældet, som før nævnt fx samme antal mennesker i arbejds-styrken på 2 forskellige årstal.En mere præcis definition af begrebet funktion har vi i følgende:

DefinitionEn funktion er en mængde af ordnede par, hvori der ikke findes 2 for-skellige med samme førstekomponent.

Ovenstående definition er nok præcis, men ikke særlig god, da den er for teoretisk til at beskrive den opfattelse, vi har fra situationer i hverdagen, hvor vi – ofte ubevidst – møder funktionsbegrebet i mange situationer. Et mere dynamisk funktionsbegreb har vi i opfattelsen af en funktion som en maskine, der gør noget ved det, der puttes ind i den, eller i begrebet: det afhænger af. Prisen afhænger af kvantum. Portoen afhænger af vægten (og af konvoluttens størrelse). Bøden afhænger af forseelsens størrelse. I fysikkens love er der fyldt med eksempler på denne afhængighed mellem 2 størrelser. Det gennemgående træk er, at y-værdien afhænger af x-værdien, og derfor kaldes y for den afhængige variable og x den uafhængige variable. Den uafhængige variabel x vælger man selv.En funktion kaldes ofte for en afbildning.Der bruges små bogstaver, som f, g og h som navne for funktioner. y-værdien kaldes også funktionsværdien eller f-billedet af x og betegnes f(x).

Skrivemåden: f : x 4x 3 Dm( f ) R→ + = og

står for y f ( x ) 4x 3= = + , og de reelle tal R er den mængde, hvorfra vi hen-ter x-værdierne; denne kaldes definitionsmængden og betegnes Dm( f ). Mængden af mulige y-værdier, der fremkommer, når x gennemløber defi-nitionsmængden, kaldes værdimængden og betegnes Vm(f). Værdimængden kan man regne sig til, når funktionen f – som her – er givet ved en forskrift, og vi kender definitionsmængden.


analytisk gEomEtri · ��

Definitionsmængden kan også være en endelig mængde, som i funktionen f givet ved: { }f : x 4x 5 Dm( f ) 1,2,3,4→ + = og . Værdimængden kan her be-stemmes til { }Vm( f ) 9 ,13,17 ,21= . I et koordinatsystem vil grafen for denne funktion være 4 punkter svarende til, at ( ) ( ){ }f (1,9 ), 2 ,13 ,( 3,17 ), 4 ,21= . Der bruges ofte en illustration som i fig. � og fig. 2 for sådanne endelige funktionen, fordi disse illustrationer er gode til at illustrere egenskaber, som går på, at funktioner kan være injektive og surjektive.

�

A

�

A

�

f

→

→→→

→→

→

�

g→

�

fig. 2 Funktionen g er ikke injektiv,

�

da g(2) = g(-2) = 4, og g er ikke

�

surjektiv, da 10 ikke tilhører Vm(g).

�

B

�

fig. 1 Funktionen f er injektiv, da

�

x

�

1

�

≠

�

�

x

�

2

�

⇒

�

f(

�

x

�

1

�

) ≠

�

f(

�

x

�

2

�

), og f er surjektiv,

�

da Vm(f) = B.

�

B

�

1

�

2

�

3

�

4

�

21

�

17

�

13

�

9

�

1

�

4

�

16

�

4

�

-2

�

2

�

1

�

10

Hvis der til 2 forskellige x-værdier hører tilsvarende 2 forskellige y-værdier,så er funktionen injektiv. Kurven for arbejdsstyrken i eksemplet ovenover er ikke injektiv. Til forskellige tidspunkter �x og 2x kan der være samme tal y for arbejdsstyrken, ikke at forveksle med, at der til et bestemt tidspunkt x svarer netop ét tal y, hvilket sidste er definition på en funktion. Parablen er også graf for en ikke-injektiv funktion, idet der til samme y-værdi svarer 2 forskellige x-værdier (toppunktet undtaget). Begrebet injektiv er således vigtigt nok. Derimod er det sjældent, at vi er optaget af, om funktionen er på mængden B eller – hvad der er det samme – surjektiv mht. B, der betyder, at Vm( f ) B= . En funktion fra A til B, der er både injektiv og surjektiv kaldes en bijek-tion. Ovenstående funktion f i fig. � er en bijektion fra A til B. Det kaldes også en en-til-en-korrespondance mellem A og B.


3� · GEOMETRI

2 4 6 8 10 12 14

4

3

2

1

-1

-2

-3

x

y

fig. 3

Parablen p eren ikke-injektivfunktion.Dm(p) = RVm(p) = y | y 4

Cirklen c er ikke en funktion

Liniestykket ger ikke enfunktion

f er en ikke-injektivfunktion. Dm(f) = 1;4Vm(f) = -1;3

pcg

f

I fig. 3 er grafen f en funktion, der ikke er injektiv, da der for 1 y 3≤ < svarer 2 forskellige x-værdier. Det samme gælder for parablen p. Det lodrette linje-stykke g er derimod ikke graf for en funktion, da der til x 6= svarer mange y-værdier, nemlig alle tal mellem –2 og 4 (begge tal medregnet). Cirklen c er heller ikke en funktion. For værdier af x, der opfylder 7 x 11< < , svarer der 2 forskellige y-værdier.

Sammensatte funktioner

Hvis både f og g er funktioner fra de reelle tal på de reelle tal, så kan vi definere den af f og g sammensatte funktion, der betegnes gof , ved gof ( x ) g( f ( x ))= . Hvis vi tænker på funktioner som maskiner, og f er en

maskine, der fx multiplicerer med 2, og g er en maskine, der adderer 3, så kan vi opstille maskinerne efter hinanden:

�

mas kinen g

�

mas kinen f

�

2 ⋅

�

x + 3

�

+3⋅

�

2

�

2 ⋅

�

x

�

x

Den sammensatte funktion gof kan således erstattes af en funktion, der afbilder x i 2 x 3⋅ + . Bytter vi maskinerne om, får vi


analytisk gEomEtri · ��

�

mas kinen g

�

mas kinen f

�

2 ⋅

�

(x + 3) = 2 ⋅

�

x + 6

�

+3 ⋅

�

2

�

x + 3

�

x

Dvs.: fog er en funktion, der afbilder x i 2 x 6⋅ + .Funktionssammensætning er åbenbart ikke kommutativ, idet vi her har gof fog ,≠ fordi der for disse funktioner gælder:

g( f ( x )) f ( g( x )) g( 2x ) f ( x 3) 2x 3 2 ( x 3)≠ ⇔ ≠ + ⇔ + ≠ ⋅ +

Ved definition af den af f og g sammensatte funktion skal vi sikre os, at funktionsværdierne for f ligger i definitionsmængden for g.Vi definerer:

For funktioner f og g, der opfylder Vm( f ) Dm( g )⊆ , er den af f og g sammensatte funktion gof defineret ved: gof ( x ) g( f ( x ))=

Øvelse: Bestem en forskrift for såvel gof som for fog i hvert af følgende tilfælde:

og

og , hvor x > 0

2

1) f ( x ) 4x 3 g( x ) x - 5

2) f ( x ) 2x 3 og g( x ) x

3) f ( x ) x 2 g( x ) x

= + =

= − =

= + =

Omvendt funktion

Hvis en mobiltelefon koster 75 kr . pr. kvartal i abonnement og 0 ,70 kr . i taletid pr. minut, så kan y 0 ,70 x 75= ⋅ + beskrive sammenhængen mel-lem antal talte minutter x og prisen y for et kvartals brug af telefonen. Men somme tider er man måske mere interesseret i at undersøge, hvor mange minutter man kan tale for et bestemt beløb. Det betyder, at det er den om-vendte funktion, hvor y er den variable, man vælger, og x den afhængige variable, som man er interesseret i. Hvis man fx gerne vil vide, hvor meget taletid man kan få for �80 kr., kan man foretage følgende udregninger:

0 ,70 x 75 180 0 ,70 x 105 x 1501 750 ,70 x 75 y 0 ,70 x y 75 x y

0 ,70 0 ,70

⋅ + = ⇔ ⋅ = ⇔ =

⋅ + = ⇔ ⋅ = − ⇔ = ⋅ −

eller generelt:


3� · GEOMETRI

Man kan således tale i �50 minutter for �80 kr.Idet den omvendte funktion betegnes 1f − har vi vist:

Hvis f ( x ) 0 ,70 x 75= ⋅ + , så er 1 1 75f ( y ) y0 ,70 0 ,70

− = ⋅ −

Det fremgår, at det kun er muligt at gennemføre beregningerne, når man kan bestemme netop ét x til hvert y. Det betyder, at alene injektive funk-tioner har en omvendt funktion. Når f er en injektiv funktion, så er f en mængde af ordnede par, hvor der ikke findes 2 forskellige ordnede par med samme andenkomponent, og det betyder, at den mængde af ordnede par, man får ved at ombytte første- og andenkomponenterne i f, også vil være en funktion. Vi definerer:

Hvis f er en injektiv funktion defineres den omvendte funktion 1f − ved: 1f ( x ) y f ( y ) x−= ⇔ = og 1Dm( f ) Vm( f )− =

Eksempel: Vi vil bestemme en forskrift for den omvendte funktion 1f ,− når

1f ( x ) x 32

= + . Vi får:

1 1 1f ( x ) x 3 y x 3 y 3 x x 2 y 62 2 2

= + ⇔ = + ⇔ − = ⇔ = −

Det betyder, at 1f ( y ) 2 y 6− = − .

Det er klart, at vi frit kan vælge navn for variable, så vi kan også udtrykke 1f − ved:1f ( x ) 2x 6− = − .

Hvis f er defineret for de reelle tal R, så er Vm( f ) R= og dermed er 1Dm( f ) R− = .

Øvelse: Bestemt en forskrift for 1f ,−

når f er givet ved:

og 2) 1) f ( x ) 3x 9 f ( x ) 2x 8= + = − − .


uddrag af: else møller nielsen matematik – en … · en eller anden form er altid nødvendig for...

Documents