udo bac - didaktik.physik.uni-due.debackhaus/lectures/relavorl.pdf · l infeld die evolution der...

Universit�at Koblenz� Wintersemester ��

Theoretische Physik�

Einf�uhrung in die spezielle Relativit�atstheorie

Vorlesungsskript und Aufgaben �ohne L�osungen�

Udo Backhaus

Flug durch�Albert Einstein mit kleiner oben� bzw� sehr gro er v � ��c�

Geschwindigkeit nach R� Thiel� Examensarbeit�

i

INHALTSVERZEICHNIS ii

Inhaltsverzeichnis

Literatur v

Lernziele vii

� �� Oktober �� Einf�uhrung �� Warum Relativit�atstheorie� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Uberraschende Aussagen der Relativit�atstheorie � � � � � � � � � � � � � � � �� Einsteins Postulate � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � November �� Newton�sche Relativit�at �� Tr�agheit und Relativit�at � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Geometrische Darstellung von Bewegungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Galilei�Transformation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� November �� Elektromagnetismus �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Galilei�Invarianz der Newton�schen Gesetze � � � � � � � � � � � � � � � �� Elektrodynamik� Die Maxwell�Gleichungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Wellengleichung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� November �� Der Licht�ather � �� Wiederholung und Erg�anzung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Licht als elektromagnetische Welle � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Maxwell�Gleichungen und Galilei�Invarianz � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Lichtgeschwindigkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Galilei � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Methode von Ole R�omer � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� Dezember �� Der Michelson�Versuch �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Eine moderne Messung der Lichtgeschwindigkeit � � � � � � � � � � � � � � � �� Der Versuch von Michelson und Morley � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� Dezember �� Der Verlust des �Athers �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Versuche� die �Ather�Hypothese zu halten � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� noch einmal� Die Einsteinschen Postulate � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Erste Folgerungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

INHALTSVERZEICHNIS iii

� �� Dezember �� Relativit�at � qualitativ �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Qualitative Folgerungen aus den Grundpostulaten � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Relativit�at der Gleichzeitigkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die Relativit�at der L�angenmessung � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� Januar � Die Relativit�at der Zeit �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Zeitdilatation � qualitativ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Ubung� L�angenkontraktion und Zeitdilatation � quantitativ � � � � � � � � � ��

� �� Januar � Minkowski�Diagramme �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Bewegte Uhren � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Experimente zur Zeitdilatation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Das Maryland�Experiment Sexl� S� �� Das Hafele�Keating�Experiment Sexl� S� �� Myonen�Experimente Sexl� S� ��

�� Minkowski�Diagramme Sexl� S� �� Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � Januar � Anwendung von Minkowski�Diagrammen �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Folgerungen aus den Minkowski�Diagrammen � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Relativit�at der Gleichzeitigkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die L�angenkontraktion und ihre Symmetrie � � � � � � � � � � � � � �� Uberlichtschnelle Signale � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Vergangenheit und Zukunft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Koordinatentransformation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Januar � Die Lorentz�Transformation �� Ableitung der Transformationsgleichungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Anwendungen der Transformationsgleichungen � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� L�angenkontraktion � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Relativistische Geschwindigkeitsaddition � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Das Zwillings�Paradoxon � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Ubung� Weitere Folgerungen aus den Transformationsgleichungen � � � � � ��

�� Relativit�at der Synchronisation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Zeitdilatation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Lichtaberration � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Februar � Das Aussehen schnell bewegter Objekte �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Lichtaberration � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Der Dopplere�ekt � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Retardierung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

INHALTSVERZEICHNIS iv

�� Scheinbare Geschwindigkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Unsichtbarkeit der L�angenkontraktion � � � � � � � � � � � � � � � � �� Verformung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Scheinbare Geschwindigkeit eines sich entfernenden K�orpers � � � � �� Scheinbare L�angen�anderung bei Abstands�anderung � � � � � � � � � �� Hyperbelartige Verformung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Visualisierung von Laufzeite�ekten durch Raycasting � � � � � � � � � � � � �� Demonstrations�lme � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Februar � Die Masse in der Relativit�atstheorie � �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Lichtlaufzeite�ekte in der klassischen Physik � � � � � � � � � � � � � � � � � �� noch einmal� relativistische Geschwindigkeitsaddition � � � � � � � � � � � � �� Die relativistische Masse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� Februar � Relativistische Dynamik � �� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Das relativistische Kraftgesetz � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Beispiel� Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung � � � � � � � � � � � � � �� Die kinetische Energie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die ber�uhmteste Formel der Welt� Masse und Energie � � � � � � � � � � � � �� Ubung� Elektronen im transversalen Magnetfeld � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Schlussbemerkungen ��

�� Anhang �� Roemers Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit � � � � � � � � � � ��

�� Einleitung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Etwas Theorie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Etwas Literatur � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Beobachtbare Io�Ver�nsterungen ��

�� Zur Sichtbarkeit relativistischer E�ekte � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Parameter der Filme � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Parameter der Bilder � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Folien � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

LITERATUR v

Literatur

�� S� Bergia� Einstein � Das neue Weltbild der Physik� Spektrum�Biographi� VerlagSpektrum der Wissenschaft� Heidelberg ��

�� M� Born� Die Relativit�atstheorie Einsteins� Springer� Berlin usw� ��

�� I� N� Bronstein� K� A� Semendjajew� Taschenbuch der Mathematik� Teubner� Stutt�gart ��

�� A� Einstein� Grundz�uge der Relativit�atstheorie� Vieweg� Braunschweig ��

�� A� Einstein� L� Infeld� Die Evolution der Physik� Rowohlt ��

�� L� C� Epstein� Relativit�atstheorie � anschaulich dargestellt� Birkh�auser� Basel usw��

�� G� Falk� W� Ruppel� Mechanik� Relativit�at� Gravitation� Springer� Berlin usw� ��

�� A� F�olsing� Albert Einstein� Eine Biographie� suhrkamp ��

�� H� Fritzsch� E � mc� � Eine Formel ver�andert die Welt� Newton� Einstein und dieRelativit�atstheorie� Piper ��

�� H� Goenner� Einsteins Relativit�atstheorien� Beck� M�unchen ��

�� B� Ho�mann� Einsteins Ideen� Das Relativit�atsprinzip und seine historischen Wur�zeln� Spektrum Akademischer Verlag� Heidelberg usw� ��

�� R� d�Inverno� Einf�uhrung in die Relativit�atstheorie� VCH� Weinheim ��

�� G� Kahan� Einsteins Relativit�atstheorie zum leichten Verst�andnis f�ur jedermann� du�mont� K�oln ��

�� B� Kanitscheider� Das Weltbild Albert Einsteins� B�uchergilde Gutenberg� Darmstadt��

�� U� Kraus et al�� Aussehen relativistisch bewegter K�orper� Praxis der Naturwissen�schaften�Physik ��

�� U� Kraus� Tempolimit� Lichtgeschwindigkeit� Postscrip�Vorabdruck� T�ubingen ��

�� D��E� Liebscher� Relativit�atstheorie mit Zirkel und Lineal� Vieweg� Braunschweig ��

�� D��E� Liebscher� Einsteins Relativit�atstheorie und die Geometrien der Ebene� Teub�ner� Stuttgart ��

�� A� Lightman� Und immer wieder die Zeit� Einstein�s Dreams� Heyne� M�unchen ��

�� H� A� Lorentz� A� Einstein� H� Minkowski� Das Relativit�atsprinzip� WissenschaftlicheBuchgesellschaft� Darmstadt ��

�� I� Newton� Mathematische Prinzipien der Naturlehre� Unver�anderter Nachdruck derAusgabe Berlin �� Darmstadt� Wissenschaftliche Buchgesellschaft ��

LITERATUR vi

�� H� Reichenbach� Philosophie der Raum�Zeit�Lehre �Gesammelte Werke� Band �Vieweg� Braunschweig ��

�� R� Resnick� Introduction to Special Relativity� Wiley� New York usw� ��

�� Ruder� H� und M�� Die spezielle Relativit�atstheorie� vieweg� Braunschweig ��

�� R� Sexl� H� K� Schmidt� Raum � Zeit � Relativit�at� Vieweg� Braunschweig ��

�� Thiel� R�� Der Ein�uss der endlichen Lichtgeschwindigkeit auf das Aussehen schnellbewegter K�orper� Staatsexamensarbeit� Universit�at Koblenz ��

�� P� A� Tipler� Physik� Spektrum Akademischer Verlag� Heidelberg usw� ��

�� E� F� Taylor� J� A� Wheeler� Physik der Raumzeit� Spektrum Akademischer Verlag�Heidelberg usw� ��

LITERATUR vii

Lernziele

Die Teilnehmer sollen am Ende der Veranstaltung folgendes k�onnen�

� die gro en Wenden in der Geschichte der Naturwissenschaften nennen�

� die historische und heutige Bedeutung der Relativit�atstheorie beschreiben�

� typische Aussagen der Relativit�atstheorie nennen�

� die Grundpostulate der Relativit�atstheorie nennen und ihre Bedeutung erl�autern�

� die Galilei�Transformation mathematisch formulieren und auf konkrete Beispieleanwenden�

� einfache Bewegungen in Minkowski�Diagrammen darstellen�

� die Galilei�Transformation als Koorddinatentransformation im Minkowski�Diagrammdarstellen�

� die klassische Geschwindigkeitsaddition mit Hilfe der Galilei�Transformation ab�leiten und den Zusammenhang mit dem Unabh�angigkeitsprinzip der Bewegungenerl�autern�

� die Newton�schen Gesetze nennen und erl�autern und ihre Galileiinvarianz begr�unden�

� das klassische Relativit�atsprinzip erl�autern�

� die Rolle des absoluten Raumes und der absoluten Zeit in der klassischen Physikerl�autern�

� die Wellengleichung der Elektrodynamik und ihre allgemeine L�osung angeben�

� an Hand der Wellengleichung begr�unden� dass die Maxwell�schen Gleichungen nichtgalileiinvariant sein k�onnen�

� Licht als elektromagnetische Welle beschreiben und Rolle und Eigenschaften des�Athers als Ausbreitungsmedium f�ur das Licht erl�autern�

� die Methode von Ole R�omer und eine moderne Methode zur Messung der Lichtge�schwindigkeit beschreiben�

� Ziel� Messmethode� Ergebnis und historische Bedeutung des Versuchs von Michelsonund Morley erl�autern�

� den E�ekt der Lichtaberration beschreiben und seine Erkl�arung in der klassischenPhysik nennen�

� das relativistische Relativit�atsprinzip erl�autern und gegen das klassische Relati�vit�atsprinzip abgrenzen�

� die Relativit�at der Gleichzeitigkeit aus den Grundpostulaten der Relativit�atstheorieableiten und widerspruchsfrei formulieren�

LITERATUR viii

� mindestens ein Verfahren der Uhrensynchronisation beschreiben�

� die Lichtaberration als Folge der Relativit�at der Gleichzeitigkeit darstellen�

� die L�angenkontraktion als direkte Folge der Relativit�at der Gleichzeitigkeit darstel�len und auf konkrete Beispiele qualitativ anwenden�

� den Zusammenhang zwischen Relativit�at der Gleichzeitigkeit� L�angenkontraktionund Zeitdilatation qualitativ darstellen�

� die E�ekte der L�angenkontraktion und der Zeitdilatation aus den Grundpostulatender Relativit�atstheorie quantitativ ableiten�

� die De�nition des Lorentz�Faktors nennen und seine Abh�angigkeit von der Geschwin�digkeit gra�sch darstellen�

� Experimente zur Best�atigung der relativistischen Formeln f�ur L�angenkontraktionund Zeitdilatation beschreiben�

� aus den Grundpostulaten der Relativit�atstheorie die Transformation der Achseneines Minkowski�Diagrammes ableiten und die Lorentz�Transformation mit Hilfevon Minkowski�Diagrammen gra�sch darstellen�

� die L�angenkontraktion und ihre Symmetrie anhand eines Minkowski�Diagrammesbegr�unden�

� die Zeitdilation und ihre Symmetrie anhand eines Minkowski�Diagrammes begr�unden�

� erl�autern� wie in der Relativit�atstheorie durch �uberlichtschnelle Signale ein Wider�spruch zum Kausalit�atsprinzip entsteht�

� die Begri�e Vergangenheit� Zukunft� lichtartig� raumartig und Lichtkegel erkl�arenund ihre Bedeutung in der Relativit�atstheorie erl�autern�

� die Transformationsgleichungen der Lorentz�Transformation aufschreiben und diewichtigsten Schritte ihrer Ableitung aus den Grundpostulaten der Relativit�atstheo�rie beschreiben�

� die Formeln f�ur

� die L�angenkontraktion�

� die Zeitdilatation�

� die Lichtaberration f�ur den Spezialfall c�y � �� und

� die relativistische Geschwindigkeitsaddition

aus den Transformationsgleichungen ableiten�

� die Rolle der Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit und die Verletzung desUnabh�angigkeitsprinzips der Bewegungen als Folge der relativistischen Geschwin�digkeitsaddition darstellen�

LITERATUR ix

� das Zwillings��Paradoxon diskutieren�

� den Doppler�E�ekt als �Uberlagerung zweier E�ekte Zeitdilatation und endlicheLichtlaufzeit� beschreiben und die Formel f�ur den einfachsten Spezialfall ableiten�

� den Unterschied zwischen Messung und Beobachtung erl�autern�

� die wichtigsten Laufzeite�ekte bei der Beobachtung sich schnell bewegender Objektenennen und begr�unden�

� den Ein�uss der Bewegung eines K�orpers auf scheinbare Geschwindigkeit und schein�bare Orientierung bei der Beobachtung im Minkowski�Diagramm darstellen undquantitativ ableiten�

� den Unterschied zwischen den Massebegri�en der klassischen und der relativistischenPhysik erl�autern�

� die Bedeutung des Impulserhaltungssatzes f�ur die Geschwindigkeitsabh�angigkeit derrelativistischen Masse beschreiben�

� die Geschwindigkeitsabh�angigkeit der relativistischen Masse nennen und die Folge�rungen diskutieren�

� die De�nition von Impuls und kinetischer Energie und ihren Zusammenhang in derRelativit�atstheorie angeben und Unterschiede zu den entsprechenden klassischenBegri�en nennen�

� das relativistische Kraftgesetz angeben und einfache Folgerungen daraus ziehen�

� die �Aquivalenz von Masse und Energie nennen und die Konsequenzen erl�autern�

� die Erhaltungss�atze der relativistischen Mechanik nennen�

� die Grundgleichungen der relativistischen Mechanik auf die Beispiele

� Weltraum�ug mit konstanter lokaler� Beschleunigung und

� die Bewegung von Elektronen im transversalen Magnetfeld

anwenden�

� auf Photonen �ubertragen und

� Beispiele f�ur die experimentelle �Uberpr�ufung dieser Gleichungen nennen�

� �� OKTOBER �� EINF�UHRUNG �

� �� Oktober �� Einf�uhrung

�� Warum Relativit�atstheorie�

� Die Entwicklung der Naturwissenschaften ist i�a� ein gleichf�ormiger� stetiger Vor�gang� Trotzdem sind darin bestimmte Perioden unterscheidbar� die sich durch her�vorragende experimentelle Entdeckungen und darauf aufbauende theoretische Ge�danken abheben� Ein solcher Wendepunkt lag um �� ein weiterer ist mit denNamen Galilei und Newton ca� �� verbunden� H�au�g werden diese beiden Ein�schnitte auch zu einem zusammengefasst Copernicanische Wende��

Ein anderer Wendepunkt kam um das Jahr �� durch eine Flut experimentellerEntdeckungen � R�ontgenstrahlen� Radioaktivit�at� Elektron usw� � und durch zweineue grundlegende Theorien � Quantentheorie und Relativit�atstheorie RT��

� Mit der Copernicanischen Wende habe ich mich in der�Himmelsmechanik befasst�

nun folgt logischerweise ein Teil der Wende zur�modernen Physik�

� Die Relativit�atstheorie markiert insofern den Beginn eines neuen Zeitalters der Phy�sik� als sie von den klassischen Vorstellungen� insbesondere �uber Raum und Zeit�Gebrauch macht� sie aber einer scharfen Kritik unterwirft und sie schlie lich durchneue� revolution�are Begri�e ersetzt� Die Begr�undungen daf�ur er�o�neten neue Wegedes Denkens �uber die Naturerscheinungen Born�� Newtons absoluter Raum wider�spricht n�amlich dem Prinzip� dass Begri�e� die keine empirische Veri�kation zulas�sen� aus der theoretischen Physik ausgemerzt werden sollten�

� Die von der Relativit�atstheorie vorhergesagten E�ekte waren lange Zeit unmessbarklein� Solange das so war� setzte sich die RT nicht allgemein durch� da sie ein radika�les Abr�ucken von Denkgewohnheiten erforderte� Der Durchbruch kam erst �� alsdie Lichtablenkung an der Sonne in voller �Ubereinstimmung mit der EinsteinschenVorhersage best�atigt wurde� Damit war Einstein mit einem Schlage� �uber den Kreisder Physiker hinaus� ein weltber�uhmter Mann�

� Die meisten E�ekte der speziellen SRT�� erst recht die der allgemeinen Relati�vit�atstheorie ART� sind in der Lebenswelt nicht zu bemerken� Inzwischen sindsie aber aus der Messtechnik Koordination der Weltzeit�� der physikalischen Tech�nik Teilchenbeschleuniger� und aus den modernen Vorstellungen �uber das WeltallKosmologie� nicht mehr wegzudenken�

� Die gr�o te praktische Bedeutung und deshalb auch die gr�o te Ber�uhmtheit� hat die�Aquivalenz von Masse und Energie erlangt� E � mc�� Sie war zun�achst ein theo�retisches Konzept ohne jede praktische Bedeutung� Noch �� meinte Einstein� esgebe

�nicht den leisesten Anhalt daf�ur� ob und wann jemals diese Energiegewinnung

erzielt werden k�onnte Sexl� S� XIII�� Doch knapp zwei Jahrzehnte sp�ater schriebEinstein einen der entscheidenden Briefe dieses Jahrhunderts an den amerikanischenPr�asidenten Roosevelt� der mit den Worten beginnt�

Einige neuere Untersuchungen von Enrico Fermi und Leo Szilard � � � las�sen erwarten� dass das Element Uran zu einer neuen und wichtigen Ener�giequelle in der unmittelbaren Zukunft werden kann � � �


Bekanntlich bewahrheitete sich diese Vorhersage sehr schnell� In Kernreaktor undAtombombe erschloss sich die Menschheit eine Energiequelle� die in der Natur inSternen� seit Jahrmilliarden wirksam ist�

� Beispiele experimenteller Relevanz der SRT�

�� Wenn Elektronen statt mit ��MV mit ��MV beschleunigt werden� dann ver�doppelt sich ihre Geschwindigkeit nicht� wie man klassisch erwarten w�urde�sondern sie w�achst nur von v � ��c auf v � ��c�

�� Wenn man Elektronen der Energie ��MeV senkrecht zu den Feldlinien in einmagnetisches Feld schie t� so dass man klassisch einen Radius von ��cmerwartet� dann misst man stattdessen einen Radius von ��cm�

�� Uberraschende Aussagen der Relativit�atstheorie

� Bewegte K�orper werden in Bewegungsrichtung k�urzer L�angenkontraktion��

� Bewegte Uhren gehen langsamer Zeitdilatation��

� Bewegte K�orper sehen gedreht oder verformt aus� Das Titelblatt dieses Skripteszeigt ein Beispiel�

� Schie t eine Rakete� die mit einer Geschwindigkeit v �iegt� eine weitere Raketemit einer Geschwindigkeit w nach vorn ab� dann ist die Gesamtgeschwindigkeit derzweiten Rakete kleiner als v � w relativistische Geschwindigkeitsaddition��

� Kehrt ein Zwilling nach einer langen Reise zu seinem Bruder zur�uck� dann ist derDaheimgebliebene �alter als sein Bruder Zwillingsparadoxon��

� Auf dem Mount Everest gehen Uhren schneller als in Koblenz� Oder allgemeiner�Alle Uhren gehen im Schwerefeld langsamer Gravitationsdilatation��

� Lichtstrahlen werden in der N�ahe gro er Massen gekr�ummt Gravitationsablen�kung��

� Der Raum wird durch Massen gekr�ummt�

� In einem schwarzen Loch steht die Zeit still�

�� Einsteins Postulate

� Einsteins Originalformulierungen aus ��

Beispiele �ahnlicher Art� sowie die mi�lungenen Versuche� eine Bewegungder Erde relativ zum

Lichtmedium� zu konstatieren� f�uhren zu der Ver�

mutung� da� dem Begri�e der absoluten Ruhe nicht nur in der Mecha�nik sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften entsprechen�sondern da� vielmehr f�ur alle Koordinatensysteme� f�ur welche die me�chanischen Gleichungen gelten� auch die gleichen elektrodynamischen und


m��

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��HHHjHHHY��

x Beobachter A

x Beobachter B��v

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AAU

AAK

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��HHHjHHHY��

xBeobachter A

x Beobachter B

��v

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Abbildung �� Eine Lichtquelle und zwei Beobachter� von denen sich einer B� auf dieLichtquelle zubewegt oben�� Derselbe Vorgang aus der Sicht von B� d�h� beschrieben ineinem anderen Inertialsystem�

optischen Gesetze gelten� wie dies f�ur die Gr�o�en erster Ordnung be�reits erwiesen ist� Wir wollen diese Vermutung �deren Inhalt im folgen�den

Prinzip der Relativit�at� genannt werden wird zur Voraussetzung

erheben und au�erdem die mit ihm nur scheinbar unvertr�agliche Vor�aussetzung einf�uhren� da� sich das Licht im leeren Raum stets mit ei�ner bestimmten� vom Bewegungszustande des emittierenden K�orpers un�abh�angigen Geschwindigkeit V fortp�anze� Diese beiden Voraussetzun�gen gen�ugen� um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrody�namik bewegter K�orper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwell�schen Theorie f�ur ruhende K�orper� Die Einf�uhrung eines

Licht�athers�

wird sich insofern als �uber��ussig erweisen� als nach der zu entwickelndenAu�assung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter

abso�

lut ruhender Raum� eingef�uhrt� noch einem Punkte des leeren Raumes�in welchem elektromagnetische Prozesse statt�nden� ein Geschwindigkeits�vektor zugeordnet werden wird�

Zur Elektrodynamik bewegter K�orper Einstein �� in ��

� Tipler�

Erstes Postulat� Absolute gleichf�ormige Bewegung kann nicht festgestellt werden�

Zweites Postulat� Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist unabh�angig vom Bewe�gungszustand der Lichtquelle�

Diese Postulate erscheinen zun�achst fast selbstverst�andlich� Das �� Postulat war so�ahnlich f�ur die mechanischen Gesetze� seit langem akzeptiert� und das �� Postu�lat scheint eine bekannte Eigenschaft aller Wellen zu beschreiben� So ist doch dieSchallgeschwindigkeit nicht die Frequenz � in Luft unabh�angig von der Bewegungder Schallquelle�

� Die Brisanz dieser Postulate wird erst durch ihre Kombination deutlich Beispiel�Tipler� S� XXX��

Welche Lichtgeschwindigkeit wird Beobachter B messen� Klassisch ist die Antwortklar� Weil B dem Licht entgegenkommt� muss er c � v als Lichtgeschwindigkeit


messen� Nach dem �� Postulat kann aber zwischen den beiden in Abbildung � be�schriebenen Vorg�angen nicht unterschieden werden! B muss also in beiden F�allendieselbe Lichtgeschwindigkeit messen� Nach dem �� Postulat kann aber im unterenFall das Messergebnis nur c sein� Also kann B auch dann nur c als Lichtgeschwin�digkeit messen� wenn er dem Licht

�entgegenkommt�

So harmlos die beiden Postulate einzeln auf den ersten Blick erscheinen� so brisantsind die Folgerungen� die sich durch ihre Kombination ergeben� So haben wir an die�sem Beispiel gesehen� dass die Lichtgeschwindigkeit� im Widerspruch zur klassischenGeschwindigkeitsaddition� in beiden Bezugssystemen dieselbe ist�

� Wir werden deshalb die folgende Formulierung Sexl� verwenden� die das Wesentli�che der beiden Postulate etwas deutlicher macht�

Die Grundpostulate der speziellen Relativit�atstheorie

Relativit�atsprinzip Die Naturgesetze haben in allen Inertialsy�stemen dieselbe Form�

Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit DieLichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in jedem Inertialsystemdenselben Wert�

��

� �� NOVEMBER �� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT �

� �� November �� Newton�sche Relativit�at

�� Tr�agheit und Relativit�at

� Ph�anomen� Ka�etrinken im Flugzeug

� Warum wird Ka�ee nicht bei Turbulenzen ausgeschenkt� Der Grund liegt aufder Hand� Man w�urde die ganze Umgebung vollkleckern

� Warum aber geht es v�ollig in Ordnung� wenn die Stewardessen die Mahlzeitenservieren� wenn sich die Turbulenzen gelegt haben� Wiederum ist die Ursacheklar� In einem ruhig dahingleitenden Flugzeug � auch wenn es eine Geschwin�digkeit von �� Kilometer in der Stunde hat � ist Essen und Trinken so einfach�als h�atte man festen Grund unter den F�u en�

Die Ursache f�ur diese auch heute immer wieder erstaunliche Erfahrung� die abervor �� Jahren fast unglaublich war� ist die Tr�agheit aller K�orper� Die konstante�Geschwindigkeit ist allen K�orpern der Umgebung im Flugzeug gemeinsam und hatdeshalb keinen Ein�uss auf die Relativbewegung der K�orper untereinander�

Folgerung also� Solange die Bewegung gleichf�ormig ist� hat sie keinen Ein�uss aufdie Vorg�ange im Flugzeug� Diese allgemeine Aussage� das sogenannte Relativit�ats�prinzip� ist das Leitmotiv der ganzen Relativit�atstheorie� Es wurde Anfang des�� Jahrhunderts zuerst von Galilei formuliert und achtzig Jahre sp�ater von New�ton verallgemeinert�

� Grundlage des Relativit�atsprinzips ist der Galilei�Newton�sche Tr�agheitssatz�

Ein K�orper verharrt im Zustand der geradlinig gleichf�ormigen Bewegung�wenn er nicht durch �au�ere Kr�afte gezwungen wird� diesen Zustand zu�andern�

Der Wortlaut dieses Satzes ist bei Galilei und Newton zwar gleich� bei Newton ister aber weniger

�erdgebunden� vielmehr von kosmischer Bedeutung�

� Der Tr�agheitssatz ist o�ensichtlich nur sinnvoll relativ zu einem Bezugssystem� indem Orte und Zeiten gemessen werden k�onnen� Um die Gleichf�ormigkeit einer Be�wegung feststellen zu k�onnen� braucht man ein Bezugssystem und Ma st�abe undeine Uhr� mit denen man feststellen kann� dass in gleichen Zeiten gleiche Streckenzur�uckgelegt werden� Bei immer genauerem Hinsehen wird dieser Gesichtspunkt im�mer problematischer� Erscheint eine Bewegung in einem Labor geradlinig� so ist siees auf Grund der Erdrotation

�von au en betrachtet sicher nicht ganz� Auf einem

noch gr�o eren Ma stab werden scheinbare Geraden durch den Erdlauf um die Sonnezu Kreisen gebogen�

� Wie aber kann Ruhe und geradliniger Bewegung ein kosmischer Sinn gegeben wer�den� wenn die Erde nicht als ruhendes Bezugssystem betrachtet werden kann� New�ton erfand als L�osung den absoluten Raum und die absolute Zeit �


� � �x in m

�

�

t in sv � �m

s

v � �ms

v � �ms

v � �ms

Abbildung �� Weltlinien geradlinig gleichf�ormiger Bewegungen

Der absolute Raum bleibt verm�oge seiner Natur und ohne Beziehung aufeinen �au�eren Gegenstand stets gleich und unbeweglich�

Die absolute� wahre und mathematische Zeit ver�ie�t an sich und verm�ogeihrer Natur gleichf�ormig und ohne Beziehung auf einen �au�eren Gegen�stand� Sie wird so auch mit dem Namen

Dauer� belegt�

�� Geometrische Darstellung von Bewegungen

� Minkowski hat �� die Zusammenfassung des x� y� z��Ortsraumes mit der Zeitzu einem vierdimensionalen x� y� z� t��Raum als die Welt bezeichnet und damit demUmstand Rechnung getragen� dass in der Relativit�atstheorie zwischen Raum undZeit als Objekte physikalischer Messung nicht mehr scharf unterschieden werdenkann� Das Element aller Ordnung der realen Dinge ist nicht der Ort und nicht derZeitpunkt� sondern das Ereignis oder der Weltpunkt�

� Die Ver�anderung des absoluten Ortes als Funktion der absoluten Zeit wird in Formvon Weltlinien in Orts�Zeit�Diagrammen dargestellt�

� F�ur den Fall einer eindimensionalen Bewegung in x�Richtung entsprechen dieseDiagramme den bekannten xt��Diagrammen mit dem Unterschied� dass derOrt auf der Abszisse� die Zeit auf der Ordinate abgetragen wird Abb� ��

� Achtung� Die Zeitkoordinate kann niemals abnehmen

� Im Falle zweidimensionaler Bewegungen in der x� y��Ebene stellt die Projekti�on der Weltlinie auf die x� y��Ebene die Bahnkurve der Bewegung dar Abb� ��

� Im Falle dreidimensionaler Bewegungen fehlt uns die M�oglichkeit einer an�schaulichen Darstellung� Man muss sich auf eine zweidimensionale Projektionder Bewegung beschr�anken oder auf die Bahnkurve im dreidimensionalen Orts�raum d�h� man verzichtet auf die Zeitkoordinate��

� Wegen der gro en Bedeutung� die die Ausbreitung des Lichtes f�ur die Relativit�ats�theorie hat� werden wir die Zeitachse im Folgenden durch eine zus�atzliche Raum�achse darstellen Abb� ��


�

x in m��

��y in m �

t in s

��

�x in m

��

�

y in m

�

t in s

Abbildung �� Weltlinien zweidimensionaler Bewegungen� Schiefer Wurf links� und Kreis�bewegung rechts�

� � �x in m

�

�

ct in m

v � cv � ��cv � ��c

Abbildung �� Umeichung der t�Achse zur ct�Achse

t�Achse �� ct�Achse � x��Achse

Das entspricht einer sehr starken Vergr�o erung des Ma stabes der Ordinate� Allt�agli�che Bewegungen werden dadurch durch sehr steile Weltlinien repr�asentiert� die Be�wegung eines Photons durch die Winkelhalbierende allgemeiner� durch eine Gerademit der Steigung ��

x � ct �� x � x�

�� Die Galilei�Transformation

� Wenn auch die Vorg�ange z�B�� im Flugzeug durch seine Bewegung nicht beein�usstwerden� so ist doch die Beschreibung dieser Vorg�ange ganz unterschiedlich� je nach�dem ob man sie relativ zum Flugzeug oder relativ zum Boden betrachtet� Aus Ruhewird Bewegung und umgekehrt� aus einem senkrechten Fall ein horizontaler Wurf


� � �x in m

x� in m

�

�

ct in m

�

ct� in m

uPx�vt

x�

x

Abbildung �� Galilei�Transformation in der Minkowski�Darstellung

usw� Wie kann die Bewegung in dem einen Bezugssystem in die bzgl� des anderenumgerechnet werden�

� Beim �Ubergang von einem Inertialsystem zu einem anderen erwartet man Folgendes�

� Die Ausdehnung aller K�orper bleibt dieselbe L�angenerhaltung��

� Alle Vorg�ange �nden zur selben Zeit statt absolute Zeit��

� Die Geschwindigkeit des Flugzeuges addiert sich vektoriell zur Geschwindigkeitaller K�orper Addition der Geschwindigkeiten��

� Wenn man das mit dem Boden verbundene Koordinatensystem S als ct� x� y� z��das mit dem Flugzeug verbundene S � als ct�� x�� y�� z��System bezeichnet� x� und x��Achse in Richtung der Bewegung legt und die beiden Koordinatenurspr�unge zur Zeitt � t� � � �ubereinstimmen l�asst� dann stellt sich die Transformation geometrischdar wie in Abbildung � gezeigt�

Dabei wurden die y� und z�Achse fortgelassen und verwendet� dass der Nullpunktdes Flugzeugsystems S im Bodensystem S � eine gleichf�ormige Bewegung vollf�uhrt�Da alle Linien t � const auch Linien t� � const darstellen� stimmen x�Achse t � ��und x��Achse t� � �� uberein�

Die Koordinaten eines Ereignisses P � d�h� eines Punktes in diesen Diagrammen�ndet man durch Projektionen auf die Achsen parallel zu der jeweils anderen Achse�

Geometrisch werden die verschiedenen Inertialsysteme in der Minkowski�Darstellungalso durch schiefwinklige Koordinatensysteme mit gemeinsamer x�Achse dargestellt�

� Die Ableitung der Transformationsgleichungen ist nun einfach�


Galilei�Transformation

t� � t

x� � x� vxt

y� � y � vyt

z� � z � vzt

oder

t � t�

x � x� � vxt�

y � y� � vyt�

z � z� � vzt�

��

Dabei bewegt sich das System S � mit der Geschwindigkeit �v � vx� vy� vz� gegendas System S� Dreht man die Koordinatensysteme so� dass die x�Richtung mit derBewegungsrichtung �ubereinstimmt� dann vereinfachen sich die Transformationsglei�chungen entsprechend�

t� � t

x� � x� vt

y� � y

z� � z

oder

t � t�

x � x� � vt�

y � y�

z � z�

��

� Die Gleichberechtigung aller Koordinaten wird st�arker betont� wenn man stattt� x� y� z� schreibt� x�� x�� x�� x�� Die Galilei�Transformation schreibt sich dann fol�genderma en�

x�� x�

x�� x� v

cx�

x�� x�

x�� x�

oder

x� � x��

x� � x�� v

cx��

x� � x��

x� � x��

��

� Zeitintervalle sind f�ur Beobachter� die in verschiedenen Inertialsystemen ruhen � imFolgenden als Inertialbeobachter bezeichnet �� gleich lang�

t�B � t�A � tB � tA ��

Tats�achlich wurde die letze Transformationsgleichung� weil selbstverst�andlich er�scheinend� urspr�unglich gar nicht explizit formuliert�

Zeitintervalle sind Invarianten der Galilei�Transformation�

� �� NOVEMBER �� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT ��

� Die L�ange l eines Gegenstandes ist de�niert als

l �q

x�t�� x�t�� y�t�� y�t�� z�t�� z�t��

Dabei sind alle Koordinaten zum gleichen Zeitpunkt t zu messen� Wie man sichleicht klar macht� ergibt sich sonst bei einem sich bewegenden Gegenstand einefalsche L�ange

Die so de�nierte L�ange ist o�ensichtlich eine Invariante der Galilei�Transformation�d�h� jeder Gegenstand hat in jedem Inertialsystem dieselbe L�ange�

l� �q

x��t�� x��t

�� y��t�� y��t

�� z��t�� z��t

��

�q

x� � vt� x� � vt�� y� � y�� z� � z��

�q

x� � x�� y� � y�� z� � z��

�� l� � l ��

� Auch r�aumliche Abst�ande sind Invarianten der Galilei�Transformation�

� Verschiedene Inertialbeobachter messen jedoch unterschiedliche Geschwindigkeiten�Misst der eine im System S die Geschwindigkeit �u �

�dxdt� dydt� dzdt

�� dann misst der

andere im System S � die Geschwindigkeit

�u� �

�dx�

dt��dy�

dt��dz�

dt�

�

t�t��

�dx

dt� vx�

dy

dt� vy�

dz

dt� vz

�

�� u� � �u� �v klassische Geschwindigkeitsaddition� ��

� Beispiel Resnick� S� �f�� Ein Kern eines radioaktiven Materials� das sich im Laborin Ruhe be�ndet� emittiert gleichzeitig zwei Elektronen in entgegengesetzte Rich�tungen� Beide Elektronen haben f�ur einen Beobachter im Labor die Geschwindigkeitv � �

�c� Wie gro ist nach der klassischen Geschwindigkeitsaddition die Geschwin�

digkeit des einen Elektrons vom anderen aus gemessen�

W�ahlt man als Bezugssystem S das Ruhesystem des einen Elektrons� als System S �

das Laborsystem Abb� �� dann ist v � ��c und u� � ��

�c� Nach dem klassischen

Additionstheorem �� ergibt sich also�

u � u� � v ��

�c �

�

�c �

�

�c

Die L�osung mit Hilfe eines Minkowski�Diagrammes ist in Abbildung � dargestellt�Zun�achst konstruiere man die ct��Achse als Weltlinie des Kernes� der im System S

die Geschwindigkeit v hat� Die Weltlinie des �� Elektrons� das sich in S � mit der


s se� e�

a� S �

s

�v

b� S

e�

s �u�

S �

e�

Abbildung �� a� Im Laborsystem S � bewegen sich beide Elektronen mit derselben Schnel�ligkeit in entgegengesetzte Richtungen� b� Im Ruhesystem S des einen Elektrons bewegtsich das Laborsystem mit der Geschwindigkeit �v� Die Geschwindigkeit des zweiten Elek�trons im Laborsystem wird mit �u� bezeichnet�

� � �x in m

x� in m

�

�

ct in m

�

ct� in m

Weltlinie die �� Elektrons

u

uctP ct�P

x�P xP

P � �� Elektron zur Zeit t � �mc

Q� �� Elektron zur Zeit t � �

uKern zur Zeit t � �m

c

Abbildung �� Die Weltlinie des nach rechts emittierten Elektrons und seine Koordinatenim Ruhesystem S des anderen Elektrons und im Ruhesystem S � des Kernes

Geschwindigkeit u� bewegt� �ndet man� indem man� neben dem Ursprung Q� dieKoordinaten eines zweiten Punktes P berechnet� z�B��

ct�P � �m �� x�P �u

cct�P � �m

Seine Koordinaten im System S �ndet man durch Projektion parallel zu den Achsen�Dann kann seine Geschwindigkeit in S leicht abgelesen werden�

u �xP � xQ

tP � tQ�

xP

ctPc �

�m

�mc �

�

�c�


�� Aufgaben

�� Ein K�orper der Masse m� sto e mit einer Geschwindigkeit v gegen einen ruhendenK�orper der Masse m�� Der Sto sei total unelastisch� so dass sich nach dem Sto beide K�orper gemeinsam mit der Geschwindigkeit u weiterbewegen�

a� Berechnen Sie mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes die Endgeschwindigkeit u

b� Beschreiben Sie den Vorgang in dem System� in dem die beiden K�orper nachdem Sto in Ruhe sind Schwerpunktsystem�� Zeigen Sie� dass auch in diesemSystem der Gesamtimpuls erhalten bleibt

�� Zeigen Sie� dass die �Anderung der kinetischen Energie bei dem total uneleastischenSto der Aufgabe � in beiden Systemen gleich gro ist�

� �� NOVEMBER �� ELEKTROMAGNETISMUS ��

x

z

y

x�

z�

y��v

r P

� � �x in m

x� in m

�

�

ct in m

�

ct� in m

rPx�vt

x�x

Abbildung �� Geometrische Darstellung der Galilei�Transformation� Ortsdarstellunglinks� und Minkowski�Darstellung rechts�

� �� November �� Elektromagnetismus

�� Wiederholung

� Galilei�Transformation und ihre Eigenschaften

� Geometrische Darstellung der Galilei�Transformation durch Orts�Diagramme undMinkowski�Diagramme Abb� ��

� Nachtrag� F�ur die Beschleunigungen gilt�

�a� �d

dt��u� �

d

dt�u� �v� �

d

dt�u� �

�� a� � �a ��

Verschiedene Inertialbeobachter messen bei einem K�orper verschiedene Geschwin�digkeiten� Diese Geschwindigkeiten unterscheiden sich aber durch die zeitlich kon�stante Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme� Beschleunigungen� Ge�schwindigkeits�anderungen also� haben deshalb in allen Inertialsystemen denselbenWert�

Beschleunigungen sind weitere Invarianten der Galilei�Transformation�

�� Die Galilei�Invarianz der Newtonschen Gesetze

� Das gr�o te Verdienst Newtons waren seine dynamischen Prinzipien� durch die dieAristotelische Weltsicht ersetzt wurde� Als er �� sein Hauptwerk ver�o�entlichtePhilosophiae Naturalis Prinzipia Mathematica �Mathematische Prinzi�pien der Naturlehre �� hatte er sie auf drei Gesetze reduziert�

�� Newton�sches Gesetz �Tr�agheitssatz�

Jeder K�orper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder gleichf�ormigengeradlinigen Bewegung� wenn er nicht durch einwirkende Kr�afte gezwun�gen wird� seinen Zustand zu �andern�


�� Newton�sches Gesetz �Grundgesetz der Mechanik�

Die �Anderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraftproportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie�nach welcher jene Kraft wirkt�

�� Newton�sches Gesetz �Wechselwirkungsprinzip�

Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich� oder die Wirkungen zweierK�orper auf einander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung�

Das erste Gesetz war� weniger allgemein� bereits von Galilei formuliert worden�Durch die beiden anderen Gesetze etabliert Newton den Kraftbegri� als eine Wech�selwirkungsgr�o e und stellt einen Zusammenhang her zwischen Kraft und Beschleu�nigung statt zwischen Kraft und Geschwindigkeit� In seinen Gesetzen taucht deshalbdie Geschwindigkeit eines K�orpers �uberhaupt nicht auf

� In der klassischen Mechanik beschreibt die Masse eine Eigenschaft der K�orper�n�amlich ihre Tr�agheit� Deshalb ist die Masse eines K�orpers konstant� d�h� un�abh�angig von seiner Bewegung�

Daraus folgt aber� dass auch das Produkt aus Masse und Beschleunigung unabh�angigvom Inertialsystem ist� Jeder Inertialbeobachter misst also dieselben Kr�afte� Dashei t aber�

Newtons Bewegungsgesetze stimmen in allen Inertialsystemen �uberein� Siesind invariant gegen�uber Galilei�Transformationen�

� Folgerungen�

�� Da in der Mechanik die Erhaltungss�atze f�ur Energie� Impuls und Drehimpulsaus den Newton�schen Gesetzen abgeleitet werden k�onnen� stimmen alle me�chanischen Gesetze in allen Inertialsystemen �uberein�

�� Newtons Gesetze enthalten die Annahme� dass Teilchen paarweise miteinanderwechselwirken und dass die wechselseitigen Kr�afte allein vom gegenseitigen Ab�stand abh�angen und entlang der Verbindungsgerade wirken� Die Gesetze geltenalso f�ur Ph�anomene wie Gravitation� van�der�Waals�Kr�afte und Elektrostatik�In der Elektrodynamik muss man dagegen mit Schwierigkeiten rechnen

�� Betrachtet man Systeme miteinander wechselwirkender Teilchen� dann wirddeutlich� dass auch die Mechanik starrer und elastischer K�orper und die Hy�drodynamik durch die Newton�schen Gesetze beschrieben werden�

�� Obwohl verschiedene Beobachter verschiedene Geschwindigkeiten und deshalbverschiedene Werte f�ur kinetische Energie� Impuls usw� messen� stimmen siedarin �uberein� ob diese Gr�o en bei einem Vorgang erhalten bleiben oder nicht�

� Als wichtige Folgerung aus dieser Diskussion ergibt sich also die folgende Aussage�

Mit mechanischen Experimenten� die v�ollig in einem Inertialsystem aus�gef�uhrt werden� kann man nichts �uber die Bewegung des Systems relativzu irgendeinem anderen Inertialsystem heraus�nden�


� Newton empfand diese Folgerung� die er leicht aus seinen Gesetzen ableiten konnte�als sehr st�orend� Der absolute Raum� eingef�uhrt zur Beschreibung von Tr�agheitsbe�wegungen� verliert sofort einen wichtigen Teil seiner etwas unheimlichen Existenz�Denn ein Raum� in dem es keine Orte gibt� die man mit mechanischen Mitteln mar�kieren kann� um eine Bewegung relativ zu ihm zu registrieren� ist jedenfalls ein sehrsubtiles Gebilde Born� S� ��

Newton gab dieser Aussage zwar keinen Namen� aber heute spricht man in diesemZusammenhang vom Newton�schen Relativit�atsprinzip�

K�orper� welche in einem gegebenen Raum eingeschlossen sind� haben die�selbe Bewegung unter sich� dieser Raum mag ruhen oder sich geradliniggleichf�ormig� nicht aber im Kreise fortbewegen�

�� Elektrodynamik Die Maxwell�Gleichungen

� Anders als in der Newton�schen Mechanik gibt es in der Elektrodynamik Kr�afte�die quer zur Verbindungslinie wirken und deren Betrag von der Geschwindigkeitabh�angt� Lorentz�Kraft� Deshalb muss mit Schwierigkeiten bei der �Ubertragung desRelativit�atsprinzips auf elektromagnetische Erscheinungen gerechnet werden�

� Beim Grundversuch zur elektromagnetischen Induktion wird in einer Spule in derN�ahe eines Magneten ein elektrischer Strom erzeugt� wenn

� die Spule relativ zum Magneten bewegt wird oder

� umgekehrt der Magnet auf die Spule zubewegt wird�

Im Lichte der Relativit�atstheorie sind diese beiden Erscheinungen v�ollig symme�trisch� und man sollte eine Beschreibung dieses Ph�anomens erwarten� in der nur dieRelativbewegung zwischen Spule und Magnet vorkommt� Tats�achlich aber werdenf�ur die beiden Vorg�ange ganz verschiedene Begr�undungen gegeben�

� Auf die bewegten Leitungselektronen in den Spulenwicklungen wirkt die Lorentz�Kraft quer zur Bewegungsrichtung� so dass ein Strom im Kabel entsteht�

� Durch die Bewegung des Magneten �andert sich das Magnetfeld in der Spule�Durch diese Ver�anderung wird ein elektrisches Ringfeld Wirbelfeld� erzeugt�durch das die Leitungselektronen in Bewegung gesetzt werden�

� Alle elektromagnetischen Ph�anomene werden durch vier gekoppelte partielle Di�e�rentialgleichungen beschrieben�


Maxwell�Gleichungenin Materie

�r � �E ��

��

�r � �B � ��

�r� �E � � ��B ��

�r� �B � ��j � ��

��E ��

�� j� ��

Maxwell�Gleichungenim Vakuum

�r � �E � ��

�r � �B � ��

�r� �E � � ��B ��

�r� �B � ��E ��

Dabei wurden die modernen Bezeichnungen aus der Vektoranalysis verwendet�

��r� wurde fr�uher div geschrieben und bedeutet die Divergenz eines Vektor�

feldes��r � �E � div �E �

�Ex

�x��Ey

�y��Ez

�z

��r� wurde fr�uher mit rot bezeichnet und bedeutet die Rotation eines Vek�

torfeldes� Sie kann formal als Kreuzprodukt berechnet werden�

�r� �E � rot �E �

��Ez

�y� �Ey

�z��Ex

�z� �Ez

�x��Ey

�x� �Ex

�y

�

� Kurzerl�auterungen der vier Maxwell�Gleichungen�

�� Die elektrischen Feldlinien beginnen und enden auf geladenen K�orpern� Oder�Elektrische Ladungen sind die Quellen und Senken des elektrischen Feldes�

�� Die magnetischen Feldlinien sind geschlossen! sie haben weder Anfang nochEnde� Oder� Das magnetische Feld ist quellenfrei�

�� Induktionsgesetz� Um ein sich �anderndes Magnetfeld entsteht ein elektrischesWirbelfeld�

�� Amperesches Gesetz� Elektrische Str�ome und sich �andernde elektrische Fel�der� sind von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben�

�� Die Wellengleichung

� Die Maxwellschen Gleichungen sind gekoppelt � Elektrische und magnetische Felderbeein�ussen sich gegenseitig� Durch Di�erentiation ist es jedoch m�oglich� Gleichun�gen zu erhalten� die nur die elektrische� bzw� nur die magnetische Feldst�arke enthal�ten�

�� E � �r� "�B

�� r� �r� �E

�� E � �r�r � �E�

�� E � ��

��E � � ��


Bei �� wurde eine allgemeine Beziehung aus der Vektoranalysis benutzt� F�ur jedesVektorfeld �r gilt�

�r� �r� �r � ��r � �r�r � �r�Der Operator

�� ist der sogenannte Laplace�Operator �

�U � �r�rU� ��U

�x��U

�y��U

�z�

� Die oben abgeleitete Gleichung �� ist die sogenannte Wellengleichung�

��E � ��E � Wellengleichung� ��

Beschr�ankt man sich auf eine Dimension� dann nimmt sie die folgende Gestalt an�

��E

�x��

��E

�t�� eindimensionale Wellengleichung� ��

� Eine ganz entsprechende Gleichung l�asst sich f�ur die magnetische Feldst�arke �B ab�leiten Aufgabe��

� F�ur den Fall� dass die mathematischen Kenntmisse nicht ausreichen� obige sehr kurzeAussagen zu verstehen� seien hier die wichtigsten Gesichtspunkte herausgestellt�

� Die Maxwell�Gleichungen spielen in der Elektrodynamik die gleiche Rolle wiedie Newton�schen Gesetze in der Mechanik�

� Die Wellengleichung f�ur die elektrische Feldst�arke ist eine Folgerung aus denMaxwellschen Gleichungen� Das hei t umgekehrt� Wenn in einem Bezugssy�stem die Wellengleichung nicht erf�ullt ist� dann k�onnen auch die Maxwell�Gleichungen nicht gelten�

� Durch Einsetzen kann man leicht zeigen� dass der folgende Ausdruck f�ur E f�ur jedebeliebige Funktion f eine L�osung der Gleichung �� ist�

Ex� t� � fx�� fx� ct� mit c ��p��

��

Berechnung der Ableitungen ergibt n�amlich dabei f � die gew�ohnliche Ableitung derFunktion f nach ihrer Variablen x� � f � � df

dx��

�E

�x�

df

dx��x�

�x� f � �� E

�x�� f

��

�E

�t�

df

dx��x�

�t� �cf � �� E

�t�� c�f

��


��

t�s�

��

��

f

ft�� ft � t��

ct� t��

Abbildung �� Die L�osungen �� der Wellengleichung �� sind mit der Geschwindigkeitc in x�Richtung laufende Wellen beliebiger r�aumlicher Gestalt�

� Welche Eigenschaften haben die L�osungen �� der Wellengleichung ��

Kennt man den r�aumlichen Verlauf Ex� t�� der L�osung f�ur einen beliebigen Zeit�punkt t��

Ex� t�� fx� ct��

dann kennt man ihn f�ur jeden beliebigen Zeitpunkt t � t��

Ex� t� � fx� ct� � fx� ct� t�� ct�� Ex� ct� t�� t��

Zur Zeit t hat die elektrische Feldst�arke E an einem beliebigen Ort x denselbenWert wie zur Zeit t� an dem anderen Ort x� ct� t�� Abb� ��

Der Ort x� mit einem bestimmten Wert E� der elektrischen Feldst�arke l�auft alsomit der Geschwindigkeit c in Richtung der positiven x�Achse�

Die L�osung �� der Wellengleichung �� ist eine nach rechts laufendeWelle beliebiger Gestalt� daher der Name der Gleichung�

� Ebenso kann man zeigen� dass auch beliebige nach links laufende Wellen die Wel�lengleichung erf�ullen Aufgabe ��

�� Aufgaben

�� Besprechung der Aufgaben vom �� November

�� Bei einem total elastischen Sto� bleibt per de�nitionem� die kinetische Energieerhalten� Zeigen Sie� dass ein Sto in jedem Inertialsystem elastisch ist� wenn er esin einem ist


�� Resnick� Aufg� �� S� ��f� In einem mit konstanter Geschwindigkeit v fahrenden Zugwird ein K�orper der Masse m� der anf�anglich relativ zum Zug in Ruhe ist� w�ahrendeiner Zeitspanne #t durch eine konstante Kraft F in Richtung der Zugbewegungbeschleunigt� Der Vorgang wird durch zwei Beobachter beschrieben� die sich relativzum Boden S� bzw� relativ zum Zug S �� in Ruhe be�nden�

a� Berechnen Sie die Zunahme an kinetischer Energie in beiden Bezugssystemen

b� Zeigen Sie� dass in beiden Systemen der Zuwachs an kinetischer Energie mitder verrichteten Arbeit �ubereinstimmt

� �� NOVEMBER �� DER LICHT�ATHER ��

� �� November �� Der Licht�ather

�� Wiederholung und Erg�anzung

� Faraday und Maxwell beschreiben elektromagnetische Kr�afte durch den Feldbegri��Faraday entwirft ein ganz anschauliches Modell mit Feldlinien� Maxwell mathemati�siert dieses Modell in seinen Gleichungen� bleibt aber zun�achst bei mechanistischenVorstellungen� Kr�afte werden durch Spannungen im �Ather �ubertragen�

� Die Maxwell�Gleichungen entsprechen in ihrer Bedeutung f�ur die Elektrodynamikden Newton�schen Gesetzen der Mechanik�

� Als Folgerung aus den Maxwell�Gleichungen ergibt sich� Der �Ather kann schwingen�Wellengleichung� Die L�osungen der Wellengleichung sind laufende Wellen�

� Diese Wellen wurden einige Jahre nach Maxwells Tod �� durch H� Hertz experi�mentell nachgewiesen � eine �uberw�altigende Best�atigung f�ur Maxwells Theorie

�� Licht als elektromagnetische Welle

� Die Maxwell�Gleichungen werden erf�ullt von Wellen� die sich mit der Geschwindig�keit c ausbreiten� Dabei ist c gegeben durch�

c ��

p��

V akuum

� � �

� � �

�� c ��

p��

��

� Setzt man hier die bekannten Werte der Induktionskonstanten �� und der Dielek�trizit�atskonstanten des Vakuums �� ein�

�� V s

Am� ��

As

V m�

dann ergibt sich mit

c � �� m

s��

der bekannte Wert der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum� Als naheliegende Folgerungergibt sich daraus�

Licht ist eine elektromagnetische Welle�

� Newton stellte sich Licht als Teilchenstrom vor�

� Ohne Wechselwirkung mit Materie bewegen sie sich entsprechend dem Tr�agheits�satz geradlinig fort�

� Bei der Re�exion werden sie durch einen elastischen Sto zur�uckgesto en�


� Bei der Brechung werden sie durch eine Kraft in der N�ahe der Ober��ache indas Medium hinein beschleunigt�

� Seit Beginn des �� Jahrhunderts mehrten sich aber die Hinweise� dass sich Lichtwie eine Welle verh�alt� z�B��

� Beugung an scharfen Kanten�

� Ausl�oschung und Verst�arkung Interferenz�

Diese Dualit�at wird in der Optikvorlesung genau untersucht�

� In der Mechanik brauchen Wellen zur Ausbreitung ein Medium� So kann sich z�B�Schall im Vakuum nicht ausbreiten� In der mechanistischen Deutung der Max�well�schen Gleichungen entsprechen der Ausbreitung von Licht Schwingungen dessogenannten �Athers�

� Die Polarisierbarkeit des Lichtes zeigt� dass Licht transversale Schwingungen er�fordert� Transversale Wellen k�onnen sich aber nicht in Gasen oder Fl�ussigkeiten�sondern nur in elastischen Medien ausbreiten�

� Der �Ather muss deshalb folgende Eigenschaften haben�

� perfekte Transparenz wegen der fehlenden Schw�achung des Lichtes entfernterQuellen��

� keinerlei innere Reibung wegen der unged�ampften Planetenbewegung um dieSonne��

� hohe Elastizit�at wegen der hohen Lichtgeschwindigkeit��

�Uber die Dichte des �Athers gab es einander total widersprechende Vorstellungen�

�� Maxwell�Gleichungen und Galilei�Invarianz

� Aus einer in einem Inertialsystem S mit der Geschwindigkeit c nach rechts laufendenWelle wird unter der Galilei�Transformation in einem dagegen mit der Geschwin�digkeit v nach rechts bewegten Bezugssystem S � eine mit der Geschwindigkeit c� v

laufende Welle�

fx� ct�� fx� � vt� � ct�� fx� � c� v�t��

Die L�osung der Wellengleichung ist aber eine mit der Geschwindigkeit c laufendeWelle In S � kann also die Wellengleichung nicht in unver�anderter Form gelten�Die Wellengleichung �� ist also nicht galileiinvariant Damit k�onnen es auch dieMaxwell�Gleichungen� aus denen sie abgeleitet wurde� nicht sein�

Die Maxwell�Gleichungen sind nicht galilei�invariant�

� In dieser Situation hat man die Auswahl zwischen drei Alternativen�


�� Das Relativit�atsprinzip gilt f�ur die Mechanik� aber nicht f�ur die Elektrodyna�mik� In der Elektrodynamik gibt es also ein bevorzugtes Bezugssystem� in demdas Licht die Geschwindigkeit c hat� das sogenannte �Athersystem� In diesemFall k�onnte das �Athersystem experimentell gefunden werden�

�� Das Relativit�atsprinzip und die Galilei�Transformation gelten sowohl in derMechanik� als auch in der Elektrodynamik� aber die Maxwell�Gleichungen sindnicht allgemein richtig� In diesem Falle m�ussten experimentell Abweichungenvon den Maxwell�Gleichungen gefunden werden�

�� Das Relativit�atsprinzip gilt sowohl in der Mechanik� als auch in der Elektrody�namik� aber die Newton�schen Gesetze sind nicht allgemein g�ultig� In diesemFalle sollten sich experimentell Abweichungen von den Newton�schen Gesetzenergeben� Die Transformationsgleichungen w�aren nicht die von Galilei ange�gebenen die ja nicht mit den Maxwell�schen Gleichungen vertr�aglich sind��sondern andere� die mit den Maxwell�schen Gleichungen� nicht aber mit denNewton�schen Gesetzen vertr�aglich sind�

� Es stellte sich also das Problem� eine Bewegung durch den �Ather nachzuweisen�

� Zun�achst ho�te man� sie durch messbare elektrische oder magnetische E�ekte nach�weisen zu k�onnen� So erwartete man� dass sich die Platten eines drehbar gelagertengeladenen Kondensators stets senkrecht zur Bewegungsrichtung durch den �Atherausrichten sollten� Auch der Brechungsindex von Gl�asern sollte richtungsabh�angigsein� Solche E�ekte �� Ordnung � wurden jedoch vergeblich gesucht�

� Erfolgversprechender erschien dann die Methode� die Ausbreitungsgeschwindigkeitder �Atherwellen zu messen Veranschaulichen an einem Schi� im Nebel s� Ho�mann�� S� ��

� Damit wurde die sehr genaue Messung der Lichtgeschwindigkeit ein zentrales Pro�blem�

�� Die Lichtgeschwindigkeit

�� Galilei

� Zun�achst gab es keinerlei Hinweise auf eine Lichtausbreitung� d�h� auf eine endlicheAusbreitungsgeschwindigkeit� Licht ist einfach nur da �oder nicht�

� Galilei war anscheinend der Erste� dem die Ausbreitung als Problem bewusst wurdeund der sich bem�uhte� sie experimentell nachzuweisen� Der Versuch misslang jedoch�Entweder gab es keine Ausbreitung� oder die Geschwindigkeit war so gro � dass alle

�Gemeint sind Versuche� in denen Abweichungen des Ausdruckes

��v

c

von � noch nachgewiesen werden k�onnen� Die gr�o�te erzielbare Geschwindigkeit v war die Bahnbewegungder Erde um die Sonne�

v � ��km

s�

v

c ��


ppppp

pppppppppppppp p p p p p p p p p p p pp pp pp�

Sonnex

Jupiter

rIo

uErde t��

��d�

uErde t��

��

d�

Abbildung �� Zur Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Ole R�omer

Laufzeiten vernachl�assigbar klein gegen�uber den Reaktionszeiten der Versuchsper�sonen sind s� Ho�mann �� S� ��

�� Die Methode von Ole R�omer

Misst man um die Zeit der Jupiteropposition die Umlaufzeit des Jupitermondes Io� dannkann man feststellen� dass sich die folgenden Austritte dieses Mondes aus dem Jupiter�schatten w�ahrend des n�achsten halben Jahres bis zur Konjunktion von Jupiter immermehr versp�aten� Nach der Konjunktion treten die Ver�nsterungen dagegen immer fr�uherein� R�omer erkannte in dieser Erscheinung einen Lichtlaufzeite�ekt� der auf dem sich�andernden Abstand zwischen Erde und Jupiter beruht� Er wies damit als Erster nach�dass Licht eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzt und bestimmte einen erstenWert f�ur die Lichtgeschwindigkeit�

Wenn auch Messung und Auswertung im Detail ziemlich schwierig sind s� Hausauf�gabe �� so ist die zugrunde liegende Idee doch recht einfach zu verstehen s� Abbildung��

Der Jupitermond Io hat eine synodische� Umlaufzeit von TIo� Wenn zwischen t� undt� n Io�Uml�aufe stattgefunden haben� dann m�usste Ios Ver�nsterung zur Zeit t� � nTIostatt�nden� Sie wird aber zum fr�uheren Zeitpunkt t� beobachtet� Die Zeitdi�erenz ist einMa f�ur die in der Zwischenzeit eingetretene Ver�anderung des Abstandes zwischen Erdeund Jupiter� genauer� f�ur die entsprechende Laufzeit des Lichtes�

d� � d� � ct� � nTIo � t��

Bei bekanntem Bahnradius von Jupiter als Vielfaches des Erdbahnradius rE� d�h�in Astronomischen Einheiten AE� und bekannten Winkeln �� und �� kann d� � d� inVielfachen einer AE berechnet werden�

d� � d� � AE �� c �rE

t� � nTIo � t�

Die Winkeln �� und �� kann man unter der Annahme eines gleichf�ormigen Umlaufesder Erde um die Sonne leicht berechnen� wenn der Zeitpunkt tOpp der vorangegangenenoder der kommenden Jupiteropposition bekannt ist��

�Dabei muss beachtet werden� dass das Bezugssystem der Abbildung �� in dem Jupiter ruht� in ��


R�omer �� gab sein Messergebnis zun�achst in der folgenden Form an�

Das Licht braucht zum Durchlaufen der Erdbahn Minuten�

Zu fast derselben Zeit war aber der Abstand zwischen Erde und Sonne� die sogenann�te Astronomische Einheit zum ersten Mal mit zufriedenstellender Genauigkeit gemessenworden �� von Cassini und Picard durch Parallaxenmessung an Mars von Paris undCayenne aus�� Deshalb konnte das Ergebnis auch absolut angegeben werden�

Die Lichtgeschwindigkeit betr�agt etwa

c � ��km

s�

�� Aufgaben

� Weisen Sie nach� dass auch nach links in Richtung der negativen x�Achse� laufendeWellen die Wellengleichung �� l�osen

� Wie lautet die Gleichung� die eine nach rechts laufende harmonische Welle mit derFrequenz beschreibt�

� Leiten Sie f�ur eine harmonische Welle den Zusammenhang zwischen Wellenl�ange �und Frequenz her

� Hausaufgabe�� Bestimmen Sie aus den in der Praktikumsaufgabe�Die Lichtge�

schwindigkeit nach Ole R�omer angegebenen Zeitpunkten der Ver�nsterungen desJupitermondes Io die Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe des bekannten Radius der Erd�bahn um die Sonne rE � ��km��

Jahren einmal um �� rotiert� In diesem Bezugssystem hat die Erde eine synodische� Umlaufzeit von�� Tagen�

�� DEZEMBER �� DER MICHELSON�VERSUCH ��

�� Dezember �� Der Michelson�Versuch

�� Wiederholung

� anharmonische und harmonische Wellen

� Alle Funktionen der Gestalt fx� t� � fx�ct� sind L�osungen der eindimensio�nalen Wellengleichung �� Die Funktion f kann also eine beliebige Funktioneiner Variablen x� sein z�B� sin x�� cos x�� ex

��

� Man kann die Funktion als zweidimensionalen Grafen darstellen� So zeigt Ab�bildung �� oben einen einmaligen Impuls� unten dagegen eine harmonischeWelle�

� Macht man durch einen solchen zweidimensionalen Grafen Schnitte parallelzur ct�Achse bei x � const�� dann sieht man� wie sich die Auslenkung an derStelle x mit der Zeit ver�andert�

� Macht man dagegen Schnitte parallel zur x�Achse bei t � const�� dann siehtman

�Momentaufnahmen der Auslenkungen entlang der ganzen x�Achse�

� Auf diese Weise sieht man� dass alle Orte dasselbe�tun� allerdings phasen�

verschoben� d�h� zu verschiedenen Zeiten�

� Der Versuch von R�omer

�� Eine moderne Messung der Lichtgeschwindigkeit

Heute braucht man f�ur die Messung der Lichtgeschwindigkeit keine gro en Laufstreckenmehr! die Messung kann in einem Labor� ja sogar auf einem Labortisch durchgef�uhrtwerden�

� Prinzip�

� Um die Geschwindigkeit einer Welle zu bestimmen� misst man die Zeit #t� dieverstreicht� bis an einem um #x verschobenen Ort derselbe Wert der Funktionf auftritt s� Abb� �� Kurze Zeiten k�onnen mit einem Oszilloskop gemessenwerden�

� Die Frequenz der Schwingungen des elektrischen Feldes beim Licht ist jedochviel zu hoch f�ur eine direkte Au��osung mit dem Oszilloskop�

� Deshalb verwendet man den folgenden Trick� Die Amplitude des Lichtes wirdmit einer Schwingung niedrigerer Frequenz moduliert s� Abb� �� Diese Modu�lationswelle breitet sich mit derselben Geschwindigkeit aus wie die Tr�agerwelles� �Ubungen ��

� Demonstration und Messung

� Das von einer Leuchtdiode ausgestrahlte modulierte Licht wird mit einer Linseparallel gemacht und durch zwei Spiegel um �� Grad umgelenkt� Mit einerweiteren Linse wird es auf die registrierende Fotodiode fokussiert Abb� ��


x

ct

fx� t�

t � t�

t � t�

t � t�

x

ctfx� t�

Abbildung �� Spezielle L�osungen der Wellengleichung �� Dargestellt ist die Funktionfx� t�� ihr r�aumlicher Verlauf f�ur vier verschiedene Werte von ct und zus�atzlich ihr zeit�licher Verlauf bei x � �� oben� Ein einmaliger Impuls l�auft entlang der x�Achse� unten�Eine harmonische Welle fx� t� coskx� �t� l�auft entlang der x�Achse�


x

F x�� fx��gx��

Abbildung �� Modulation einer harmonischen Welle f � cos kx � ct� mit einer Welleg � cos kMx� ct� mit kM � ��k

#x�

��m

Spiegel

Spiegel

Leuchtdiode

Fotodiode

Abbildung �� Prinzip der Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Modulationsmethode

�� tT

fx�t� fx�� t�

fx� � #x� t�

Abbildung �� Sende� und Empfangssignal auf dem Schirm des Oszilloskops� Sender undEmpf�anger sind #x von einander entfernt�


� Die Frequenz der Modulation betr�agt � ��MHz�

� Gemessen wird der Unterschied #t als Vielfaches der Periodendauer T � zwi�schen Zeiten gleicher Phase der Modulationswelle s� Abb� �� zwischen Sende�und Empfangssignal in Abh�angigkeit der Schienenl�ange #x��

fmod cos�kx� ct��

�� kx� ct� � k�x � #x� ct � #t��

�� c �#x

#t

Die gesamte Wegl�ange ergibt sich nach Abbildung �� durch

#x � �#x� � ��m

� Abbildung �� zeigt als typisches Messergebnis ein Oszilloskop�Bild�

Messergebnisse und Auswertung�

#x� #x �tT

� t c � �x�t

��m ��m �� ms

��m ��m �� ms

�� Der Versuch von Michelson und Morley

� Wenn es einen Licht�ather gibt� liegt es nahe anzunehmen� dass sich die Erde auf�grund ihrer Bewegung um die Sonne relativ zu ihm bewegt� die Lichtgeschwindigkeitrelativ zur Erde also von der Richtung abh�angt� Michelsons Idee war es� die Lichtge�schwindigkeit in Richtung der Bewegung der Erde um die Sonne mit der senkrechtdazu zu vergleichen�

� Prinzip s� Abb� �� Ein Lichtstrahl wird durch einen Strahlteiler b� in zwei Teil�strahlen zerlegt� die unterschiedliche Wege durchlaufen� von den Spiegeln c� bzw�d� in sich zur�uckre�ektiert werden und wieder auf den Strahlteiler b� fallen� EinTeil dieser Strahlen f�allt durch die Linse e� auf den Schirm f� und interferiert dort�

� �Uberlagern sich zwei nicht ganz parallele ebene Wellen� dann entsteht auf einemSchirm senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ein Muster paralleler Hell�Dunkel�Streifen�Entstehung und Eigenschaften dieses Streifenmusters kann mit Moir$e�Folien veran�schaulicht werden s� Abb� ��

� Bei der Demonstration zeigt sich� dass das Streifenmuster extrem emp�ndlich vonder Justierung und von Ersch�utterungen abh�angt�

� Ableitung des erwarteten E�ektes� Sei die Apparatur so ausgerichtet� dass der Licht�weg bc mit der L�ange l� in Abbildung �� parallel zur Bewegungsrichtung der Erdedurch den �Ather ist� Dann ist nach dem klassischen Additiontheorem Gleichung�� S� �� f�ur Geschwindigkeiten die Geschwindigkeit vk auf Hin� und R�uckweg


Abbildung �� Prinzip des Versuchsaufbaus von Michelson und Morley

Abbildung �� Durch �Uberlagerung zweier ebener Wellen ergibt sich auf dem Schirmein System paralleler Streifen� Mit zunehmender Phasendi�erenz wandern die Streifenseitlich durch das Bild� Mit zunehmendem Winkel zwischen den beiden Wellen wird dasStreifenmuster enger�


Abbildung �� Aufbau und Ergebnis des Experimentes von Michelson und Morley


vk � c � v bzw� vk � c � v� Dabei ist v die Geschwindigkeit der Erde relativ zum�Ather� Die gesamte Laufzeit t� ist also

t� �l�

c � v�

l�

c� v�

�l�c� � v�

�� t� ��l�c

�

�� v�

c�

��

Auch f�ur die Geschwindigkeit v� senkrecht dazu gilt� nun allerdings in vektoriellerForm� das klassische Additionstheorem ��

��

� �v

�c�v�

�v� � �c � �v

F�ur die entsprechende Laufzeit t� gilt also�

t� ��l�v�

��l�pc� � v�

t� ��l�c

�q�� v�

c�

��

Der Laufzeitunterschied #t� betr�agt also

#t� � t� � t� ��

c

�� l�

�� v�

c�

� l�q�� v�

c�

�A ��

Ganz entsprechend kann man den Laufzeitunterschied #t� f�ur den Fall berechnen�dass die gesamte Apparatur um �� gedreht wurde s� �Ubungen ��

�� Ubung

� Besprechung der Praktikumsaufgabe zur Messung der Lichtgeschwindigkeit nachR�omer s� Anlage�


� Aufgabe� Eine modulierte Lichtwelle kann folgenderma en dargestellt werden�

F x� t� cosk�x� ��t� cosk�x� ��t� � fx� t�gx� t�

Weisen Sie nach� dass auch diese Funktion die Wellengleichung �� erf�ullt

� Aufgabe� Zum Michelson�Morley�Experiment

� Leiten Sie den Gleichung �� entsprechenden Ausdruck f�ur den Laufzeitunter�schied #t� nach Drehung der ganzen Apparatur um �� ab Welche Ver�ande�rung #t des Gangunterschiedes gibt es demnach w�ahrend der Drehung�

� Wie gro ist demnach die Verschiebung des Interferenzmusters bei Verwen�dung von rotem Licht � � ��nm� und einer Arml�ange von l� � l� � ��mPotsdam �� bzw� ��m Cleveland ��

Hilfe� Die Verschiebung� gemessen als Anzahl der Streifen� ist gleich dem Verh�alt�nis aus Laufzeitunterschied und Periodendauer�

�� DEZEMBER �� DER VERLUST DES �ATHERS ��

�� Dezember �� Der Verlust des �Athers

�� Wiederholung

� Ziel und Prinzip des Experimentes von Michelson und Morley

� Aufbau und Ergebnis s� Abb� ��

�� Versuche die �Ather�Hypothese zu halten

� Das Experiment von Michelson und Morley ergab� Es l�asst sich keine Bewegungder Erde relativ zum �Ather nachweisen� Dieses Ergebnis wurde in den folgendenJahrzehnten mit immer h�oherer Genauigkeit best�atigt� Tats�achlich stellten die ent�sprechenden Versuche lange Zeit eine gro e Herausforderung f�ur experimentelle undtheoretische Untersuchungen dar�� Inzwischen ist die Genauigkeit so weit getriebenworden� dass man heute sogar eine Geschwindigkeit der Erde von nur � cm

snachwei�

sen k�onnte Resnick� S� �� Sexl� S� ��

� Da dieses Ergebnis im Widerspruch zum klassischen Relativit�atsprinzip und zurGalilei�Transformation steht� wurden zahlreiche Versuche unternommen� trotzdemdie �Atherhypothese aufrechtzuerhalten Resnick� S� ��

� Die Kontraktionshypothese Fitzgerald �� und Lorentz��

Alle K�orper werden in Richtung ihrer Bewegung durch den �Ather um

den Faktorq

�� v�

c�verk�urzt� die Ausdehnung senkrecht dazu bleibt

unver�andert�

lk � l�q

�� l� � l� ��

Dabei bedeuten die mit k indizierten Gr�o en die Ausdehnung in Bewegungs�richtung� die mit � indizierten Gr�o en die Ausdehnungen senkrecht dazu�

Die Abk�urzung

� �v

c��

wird im Folgenden h�au�g verwendet werden�

Tats�achlich l�asst sich dadurch der Nulle�ekt des Michelson�Morley�Experimentessofort erkl�aren� Die Gr�o e des erwarteten Laufzeitunterschiedes l�asst sich fol�genderma en schreiben s� �Ubung ��

#t ��

c

�l�k � l�k

�� l�� l��p

��

�

Zusammen mit �� folgt daraus sofort

#t � ��ahnlich wie die Suche nach der Fixsternparallaxe in den drei Jahrhunderten zwischen �� und ��


Abbildung �� Die Position aller Sterne scheint durch die Erdbewegung etwas inBewegungsrichtung verschoben�

� Die �Athermitnahme�Hypothese�

Bewegte K�orper f�uhren �Ather mit sich� sind also �teilweise gef�ullt mit�Ather�

Aufgrund dieser Hypothese�schwimmt die Erde gewisserma en in einer �Ather�

�blase� ist also relativ zum umgebenden �Ather in Ruhe� Diese Hypothese hat

den Vorteil� dass weder Mechanik noch Elektrodynamik abge�andert werdenm�ussen� Trotzdem ist der Nullausgang sofort klar�

Es ergeben sich jedoch sofort Gegenargumente�

� Die sogenannte Lichtaberration� von Bradley �� bei der Suche nach derFixsternparallaxe entdeckt� l�asst sich zwanglos mit einer widerstandslosenBewegung durch den �Ather erkl�aren�

� Beschreibung des E�ektes� Im Laufe eines Jahres ver�andern sich diePositionen der Fixsterne am Himmel etwas� Sterne in der Bahnebeneder Erde der sogenannten Ekliptik� schwingen etwas um eine mitt�lere Position� Sterne� die von der Erde aus gesehen senkrecht �uberder Ekliptik stehen� vollziehen eine Kreisbewegung um eine mittlerePosition und die anderen Sterne durchlaufen mehr oder weniger ex�zentrische Ellipsen� Dabei ist ihre Position immer etwas in Richtungder Bahnbewegung der Erde verschoben s� Abb� ��

� Veranschaulichung als E�ekt des�

�Atherwindes� Das Sternenlicht wirddurch den vor�uberstr�omenden �Ather wie Regen durch den Fahrtwindabgelenkt s� Abb� ��

� quantitative klassische Erkl�arung� Die beobachtete Lichtgeschwindig�keit �c� im bewegten Bezugssystem ergibt sich nach der klassischen Ge�schwindigkeitsaddition �� S� ��

�Die parallaktische Bewegung m�usste dagegen immer bez�uglich der Bewegungsrichtung nach linksverschoben sein�


Abbildung �� Durch die eigene Bewegung scheint der senkrecht fallende Regenvon vorn zu kommen�

�� vErde

�c�c� �vErde � �c�

tan � �v

c� ��

Tats�achlich bildete die Lichtaberration die erste �uberzeugende Best�ati�gung des R�omerschen Wertes f�ur die Lichtgeschwindigkeit�

� Lichtausbreitung in bewegten Medien Ausbreitung im durchstr�omenden�Ather und im str�omenden Medium! beobachtete Geschwindigkeit ist Mit�telwert� Oder� Teilweise eingeschlossener �Ather Fresnel�� Resnick� S� ��Gegenargument� Lichtaberration in wassergef�ulltem Teleskop ist ebensogro wie im Vakkum�Teleskop

� Emissionstheorien�

Die Lichtgeschwindigkeit ist c nicht relativ zum Medium� sondern re�lativ zur Lichtquelle konstant�

Das Nullergebnis des Michelson�Morley�Experimentes w�are dann verst�andlich�da sich Lichtquelle� Spiegel und Schirm nicht gegeneinander bewegen�

Gegenargumente�

� Bei Doppelsternen� die einander umkreisen� m�usste die Lichtgeschwindig�keit jeweils der Komponente kleiner sein� die sich gerade von der Erdefortbewegt� Die Beobachtung der beiden Komponenten w�urde also durchunterschiedliche Lichtlaufzeiten verschieden beein�usst� und die Bewegungs�ahe� von der Erde aus beobachtet� unregelm�a ig aus� Im Gegensatz dazu


folgt die beobachtete Bewegung von Doppelsternen perfekt den Kepler�schen Gesetzen � und best�atigt damit die Unabh�angigkeit der Lichtge�schwindigkeit von der Bewegung der Lichtquelle�

� Das Michelson�Morley�Experiment wurde auch mit extraterrestrischen Licht�quellen Sonne bzw� Stern� durchgef�uhrt� relativ zu denen sich die Ap�paratur sicher bewegt� Ein E�ekt konnte jedoch wieder nicht beobachtetwerden

�� noch einmal Die Einsteinschen Postulate

� Es zeigte sich also immer deutlicher� dass die �Ather�Hypothese nicht haltbar ist�Die Experimente zeigen dar�uberhinaus eindeutig� dass die Gesetze der Elektrody�namik keinerlei Modi�kationen ben�otigen� Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen In�ertialsystemen gleich gro � d�h� unabh�angig von der relativen Bewegung zwischenLichtquelle und Beobachter�

Es gilt also ein Relativit�atsprinzip sowohl f�ur die Mechanik� als auch f�ur die Elek�trodynamik� O�ensichtlich kann aber die Galilei�Transformation nicht richtig sein�Es m�ussen also neue Transformationsgleichungen gefunden werden� Anschlie endergibt sich zus�atzlich die Notwendigkeit� die klassischen Gesetze der Mechanik� diesich ja als galileiinvariant erwiesen hatten� so zu modi�zieren� dass sie invariantgegen�uber der neuen Transformation sind�

� Ein junger unbekannter Physiker in untergeordneter Stellung am Schweizer Patent�amt� Albert Einstein� erkl�arte �� diese Erfahrungen zu grundlegenden Prin�zipien und wischte damit die Notwendigkeit eines �Athers kurzerhand vom Tisch�Da diese Postulate die Grundlage der Relativit�atstheorie bilden� seien sie hier nocheinmal wiederholt�

Die Grundpostulate der speziellen Relativit�atstheorie

Relativit�atsprinzip Die Naturgesetze haben in allen Inertialsy�stemen dieselbe Form�

Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit DieLichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in jedem Inertialsystemdenselben Wert�

Es wird sich zeigen� und Einstein zeigte es bereits in seiner Arbeit von �� dass sichauf diesen Postulaten eine widerspruchlose Theorie aufbauen l�asst� in der sich dieneuen Transformationsgleichungen f�ur den �Ubergang von einem Inertialsystem zueinem anderen und auch die notwendigen Ab�anderungen der Newtonschen Gesetzeals logische Konsequenz aus den Postulaten ergeben�

Allerdings muss man bei den streng logischen Ableitungen manche lieb gewordeneDenkgewohnheit �uberwinden�


Abbildung �� Eine Raum�otte unterwegs� Das Leitschi� be�ndet sich genau inder Mitte�

Abbildung �� Befehl�ubermittlung vom Leitschi� nach vorn und hinten� Die Filmesind von unten nach oben zu lesen�links� Beschreibung aus der Sicht des Kommandantenrechts� Sicht

�von au en

Abbildung �� Durch die nicht simultane Ankunft des Befehls zum Beschleunigenhat sich nach dem Man�over aus der Sicht des ruhenden Beobachtersder Abstand der Raumschi�e untereinander verkleinert�


�� Erste Folgerungen

Wir beobachten eine Raum�otte mit drei identischen Raumschi�en� die mit konstanterGeschwindigkeit durch den Weltraum �iegt s� Abb� �� Das

�Mutterschi� mit dem

Kommandanten be�nde sich genau in der Mitte Epstein� S� ��Der Kommandant gibt per Funksignal den Befehl� den Antrieb zu z�unden� worauf

die drei Schi�e beschleunigen� wobei der Kommantant darauf achtet� seine Mittelpositiongenau einzuhalten� Nach einer gewissen Zeit erfolgt auf dieselbe Weise der Befehl� denSchub einzustellen�

Nach diesem Vorgang stimmen wir mit dem Kommandanten darin �uberein� dass sichder Bewegungszustand der Flotte ge�andert hat wir haben es gesehen� Kommandant undMannschaft haben es w�ahrend der Beschleunigungsphase gesp�urt� In mancher Hinsichtaber unterscheidet sich die Beschreibung des Kommandanten von der unsrigen�

Kommandant �

� Die Funksignale haben in beide Richtungen dieselbe Geschwindigkeit rela�tiv zum Mutterschi� �� erreichen deshalb Flaggschi� und Nachhut gleichzeitig Beide Schi�e beginnen deshalb gleichzeitig zu beschleunigen Abb� �� links��

� Da sie aus demselben Grund den Schub gleichzeitig abstellen� �andert sich ihrAbstand voneinander nicht�

wir �

� Die Funksignale haben in beide Richtungen dieselbe Geschwindigkeit relativzu uns �� Da das Flaggschi� jedoch vor diesem Signal �ieht� die Nachhut ihmaber entgegen�iegt� erreichen die Signale die beiden Schi�e nicht gleichzeitigAbb� �� rechts��

� Das hintere Schi� beginnt zuerst zu beschleunigen� Dadurch verringert sich derAbstand zum Flaggschi� Abb� �� Zwar stellt das hintere Schi� den Schubauch zuerst aus� Da das vordere Schi� jedoch erst beim Abschalten dieselbeGeschwindigkeit erreicht wie das hintere� verringert sich der Abstand in derZwischenzeit weiter�

Dieses Beispiel veranschaulicht zwei wichtige Aussagen der Relativit�atstheorie�

� Der Begri� der Gleichzeitigkeit ist relativ� Ereignisse� die an verschiedenen Ortenund f�ur einen Beobachter gleichzeitig statt�nden� sind f�ur einen relativ zum erstenbewegten Beobachter nicht gleichzeitig�

� Die L�ange eines K�orpers ist relativ! sie h�angt von seinem Bewegungszustand ab� Einbewegter Ma stab ist f�ur einen mitbewegten Beobachter l�anger als f�ur sich einendagegen bewegenden�

�� Ubung

� L�osung der Aufgaben vom �� Dezember

� Diskussion des Beispieles des vorangehenden Abschnittes

�Vielleicht ist es auch so� dass wir an einer ruhenden Raum�otte vorbei�iegen�

� �� DEZEMBER �� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��

Abbildung �� Die Raumschi�e des Beispiels auf Seite �� sto en durch die Ab�standskontraktion nicht zusammen wie oben f�alschlicherweise dar�gestellt�� da alle Abst�ande� also auch die L�ange der Raumschi�e� ingleichem Ma e schrumpfen unten��

� �� Dezember �� Relativit�at � qualitativ

�� Wiederholung

� Die Aufstellung der Grundpostulate der Relativit�atstheorie durch Albert Einstein

� Beispiel Raum�otte s� S� ��

� F�ur den Beobachter auf der Erde kommt der Befehl zum Beschleunigen zuerstbeim hinteren Schi� an� weil es dem Funkspruch entgegenkommt� Klassischw�are es f�ur den Kommandanten ebenso� weil das Signal nach hinten die Ge�schwindigkeit c � v� nach vorn dagegen die Geschwindigkeit c� v h�atte� Nachdem Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist jedoch auch f�ur denKommandanten die Lichtgeschwindigkeit nach vorn und hinten gleich gro �F�ur ihn kommt der Befehl bei beiden Raumschi�en gleichzeitig an�

Gleichzeitigkeit ist relativ�

� Als Folgerung daraus ergibt sich eine L�angenkontraktion der Raum�otte�

� M�usste der ruhende Beobachter oder der Kommandant � seinen�Irrtum nicht

sp�atestens bemerken� wenn die Raumschi�e die die Abstandsverringerung zu�sammensto en s� Abb� �� oben��

Nein Mit exakt denselben Argumenten folgt� dass sich der Abstand aller Atomeder Raumschi�e in Bewegungsrichtung entsprechend verringern muss Epstein�S� ��

�� Qualitative Folgerungen aus den Grundpostulaten

�� Die Relativit�at der Gleichzeitigkeit

� Die Zeit� zu der ein Ereignis statt�ndet� wird von einer Uhr angezeigt� die sich am


selben Ort be�ndet� Von zwei Ereignissen� die am selben Ort statt�nden� kann alsoleicht festgestellt werden� ob sie gleichzeitig sind oder welches von beiden sich fr�uherereignet�

� Wie aber k�onnen Ereignisse an verschiedenen Orten miteinander verglichen werden�Dazu muss es an den beiden Orten Uhren geben� deren Gang �ubereinstimmt� diealso synchronisiert sind�

� Damit ergibt sich das Problem der Uhrensynchronisation baugleicher Uhrenin einem Inertialsystem�

Methode � Die Uhren werden so eingestellt� dass ein Beobachter an einer be�stimmten Stelle gleichen Gang aller Uhren beobachtet�

Problem� Bei der Beobachtung beein�usst die endliche Ausbreitungsgeschwin�digkeit des Lichtes das Ergebnis� Sieht der Gang der Uhren von einem Ort aussynchron aus� dann scheinen die Uhren von einer anderen Stelle aus gesehenasynchron zu laufen

Aufgabe Ein Beobachter am Ort A synchronisiert seine Uhr nach Beobach�tung mit einer zweiten Uhr bei B� Der Abstand der beiden Orte sei l� Wie gro ist der Gangunterschied der beiden Uhren� wenn sie von B aus beobachtetwerden�

Methode � Die Uhren werden an einem Ort synchronisiert und anschlie end anihre Bestimmungsorte transportiert�

Problem� Es ist a priori nicht klar� ob der Gang der Uhren nicht durch denTransport beein�usst wird�

Methode � Die Uhren werden zun�achst an ihren Bestimmungsort gebracht� An�schlie end werden sie mit Hilfe von Signalen synchronisiert� Zur �Ubermittlungder Signale werden elektromagnetische Wellen benutzt� weil

� sie kein Medium zur Ausbreitung ben�otigen�

� ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum weder von der Wellenl�angebzw� Frequenz�� noch von der Amplitude oder der Ausbreitungsrichtungabh�angt�

� ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit die h�ochste bekannte Geschwindigkeit�uberhaupt ist und

� am wichtigsten f�ur eine allgemein anwendbare Methode zur Uhrensyn�chronisation � alle Experimente ergeben haben� dass ihre Ausbreitungsge�schwindigkeit f�ur alle inertialen Beobachter dieselbe ist�

Bei der Synchronisation muss jedoch die Lichtlaufzeit ber�ucksichtigt werden

Methode a� Von Ort A wird ein Lichtsignal ausgesendet� wenn die Uhr in A

die Zeit tA anzeigt� Wenn das Signal in B ankommt� wird die dortige Uhr�entsprechend der Entfernung l zwischen den beiden Orten� auf tB � tA � l

c

eingestellt�

�Im Zusammenhang mit dem Problem der L�angenbestimmung auf See war es lange Zeit ein gro�espraktisches Problem� Uhren zu bauen� die trotz Seefahrt synchron mit der Uhr im Heimathafen blieben�


Methode b� Die Uhren in A und B werden durch ein Lichtsignal synchroni�siert� das von einem Ort C ausgesendet wird� der genau dieselbe Entfernungvon den beiden Orten hat� Bei Ankunft des Signals werden beide Uhrenauf dieselbe Zeit gestellt�

Methode c� Ein Lichtsignal wird zur Zeit tA von A ausgesendet� Bei Ankunftin B wird es nach A zur�uckre�ektiert� wo es zur Zeit tA � #t registriertwird� Dann muss die Uhr in B so eingestellt werden� dass sie bei Ankunftdes Signales die Zeit tB � tA � �t

�anzeigte�

Die Methoden �a��c erweisen sich als �aquivalent zueinander� Allerdings muss bei derMethode �c� anders als bei den beiden anderen� die Entfernung zwischen den beidenPunkten nicht vorher bestimmt werden� Bei dem Experiment ergibt sich n�amlichdie Entfernung zus�atzlich�

l � c#t

�

Tats�achlich werden auf diese Art Entfernungen durch Radarmessungen bestimmt�

� Aufgaben

� An welchen Stellen der Methoden �a��c wird welches Grundpostulat der Rela�tivit�atstheorie verwendet�

� Beschreiben Sie die praktische Durchf�uhrung der Uhrensynchronisation nachden Methoden �a bis �c so genau wie n�otig

� Auf diese Weise ist es gelungen� eine eindeutige Zeitordnung innerhalb eines Iner�tialsystems herzustellen� d�h�� Alle ruhenden Beobachter in diesem System kommenzu denselben Aussagen �uber die zeitliche Reihenfolge von Ereignissen� die an ver�schiedenen Orten statt�nden�

� Das Beispiel der letzten Woche s� S� �� hat jedoch bereits gezeigt� dass sich Beob�achter� die sich relativ zueinander bewegen� nicht auf eine solche Zeitordnung einigenk�onnen�

Der Deutlichkeit halber soll das Beispiel in etwas anderer Darstellung Resnick�S� �� noch einmal wiederholt werden�

� Zwei Inertialsysteme S und S � bewegen sich relativ zueinander� Beide habenihre eigenen Ma st�abe und synchronisierten Uhren� Zwei Beobachter O und O�

registrieren Blitzeinschl�age an Orten� die gleich weit von ihnen entfernt sind

s� Abb� ��

� Abbildung �� zeigt links den Vorgang aus der Sicht des Beobachters O� dersich in S in Ruhe be�ndet� Dabei ist angenommen� dass ihn die Lichtsignalegleichzeitig erreichen� Er schlie t daraus� dass die Blitzeinschl�age gleichzeitigstattfanden� Die Signale erreichen jedoch den relativ dazu bewegten BeobachterO� nicht gleichzeitig� Dieser kommt deshalb zu dem Schluss� dass der Blitz beiB� fr�uher eingeschlagen hat als bei A��

�Das stellen sie anschlie�end anhand der�Einschlagssch�aden� fest�


Abbildung �� Zur Relativit�at der Gleichzeitigkeit s� Text�

� Kommt dagegen O� zu dem Schluss� dass die Einschl�age gleichzeitig stattfandens� Abb� �� rechts�� dann �ndet f�ur O der Einschlag in B sp�ater als in A statt�

� Folgerungen

�� Uhren� die f�ur einen Beobachter synchronisiert sind� sind es f�ur einen anderen�der sich gegen�uber dem ersten bewegt� nicht� Oder kurz�

Synchronisation ist relativ�

�� Zwei Bezugssysteme S und S � bewegen sich gegeneinander� Zwei Ereignisse�nden an den Ort V in Bewegungsrichtung von S � vorn� und H hinten�statt� Zwei Beobachter O und O� messen f�ur diese Ereignisse die Zeitpunkte tVund tH bzw� t�V und t�H � Dann gilt�

t�H � t�V �� tH � tV ��

tH � tV �� t�V � t�H ��

�� Beispiel landendes Flugzeug Abbildung ��

� Wenn der Pilot die Landekufen gleichzeitig ausf�ahrt� sehen wir die hinterenzuerst�

� Wenn der Pilot waagerecht aufsetzt� d�h� mit allen Kufen gleichzeitig� setzter f�ur uns hinten zuerst auf

� Wenn wir das Flugzeug horizontal landen sehen� setzt der Pilot vorn zuerstauf� F�ur ihn gibt es also einen Winkel zwischen Flugzeug und Landebahn


Abbildung �� Das relativistisch landende Flugzeug Das Bild bitte nicht zu w�ort�lich nehmen �

Abbildung �� Das Licht eines sehr weit entfernten Sternes im Zenit tri�t als ebeneWelle senkrecht auf den Boden links�� Wie wird der Pilot einer sehrschnell landenden Raumf�ahre das einfallende Sternlicht registrierenrechts��


Abbildung �� Zur relativistischen Erkl�arung der Lichtaberration� F�ur den ruhen�den Beobachter tri�t das Licht Bug und Heck der Raumf�ahre gleich�zeitig� F�ur den Piloten wird deshalb der Bug zuerst getro�en� DerStern erschient nach vorn verschoben�

�� Lichtaberration

� Aufgabe Wie wird der Pilot das Licht eines Sternes registrieren� der f�uruns im Zenit steht� dessen Licht also senkrecht von oben einf�allt Abb� ��

� Diesen E�ekt kennen wir bereits als Lichtaberration s� S� �� Die Desyn�chronisation f�uhrt hier dazu� dass Sterne in Vorw�artsrichtung verschobengesehen werden s� Abb� �� Das ist die korrekte relativistische Deutungder Lichtaberration�

� Dieser E�ekt f�uhrt dazu� dass im Weltraum die Sterne� die uns norma�lerweise nahezu gleichf�ormig verteilt umgeben� in Bewegungsrichtung kon�zentriert erscheinen s� Abb� ��

� Aufgabe Begr�unden Sie� dass die Synchronisation senkrecht zur Bewegungsrich�tung unabh�angig von der Bewegung ist

�� Die Relativit�at der L�angenmessung

� Das Ergebnis des Raum�ottenbeispieles war� Abst�ande werden unterschiedlich be�urteilt � und zwar von dem mitbewegten Beobachter gr�o er als von dem ruhenden�

Dieses Ergebnis soll besser verst�andlich gemacht werden� indem der Vorgang derL�angenmessung genauer analysiert wird�

� Beispiel Die L�ange eines Zuges�


Abbildung �� F�ur einen ruhenden Beobachter sind die Fixsterne nahezu gleichf�ormig amHimmel verteilt links�� Der Pilot eines schnellen Raumschi�es beobachtet dagegen einestarke Konzentration der Stern in Fahrtrichtung�

� Wenn der Zug steht� Abschreiten und Z�ahlen der Schritte� d�h� Vergleich miteinem Ma stab�

� Dieses Verfahren kann vereinfacht werden durch Ablesen der Koordinaten vonZugspitze und �ende� Dabei sind die Koordinatenangaben durch wiederholtesAnlegen des Ma stabes entstanden�

� Das erste Verfahren versagt� wenn der Zug f�ahrt� Bei dem zweiten ist einezus�atzliche Bedingung zu beachten� Die Koordinaten m�ussen gleichzeitig be�stimmt werden� sonst ergibt sich die L�ange des Zuges zu gro oder zu klein�

Da jedoch Gleichzeitigkeit ein relativer Begri� ist� ist es nicht erstaunlich� dasssich auch der Abstand als relativ erweist�

� Wenn uns jedoch der Zugf�uhrer bei unserer gleichzeitigen Positionsbestimmungbeobachtet� dann ist er �uberzeugt� dass wir die hintere Position zu sp�at messen

und deshalb ein zu kleines Ergebnis erhalten�

� Der Kommandant misst den Abstand der Schi�e seiner Flotte� indem er ih�re Positionen gleichzeitig bestimmt� F�ur uns misst er aber die Position deshinteren Schi�es fr�uher als die des vorderen s� Gleichung �� In der Zwi�schenzeit bewegt sich aber die Flotte weiter� Wir sind deshalb �uberzeugt� dassder Kommandant einen zu gro en Abstand misst�

� Folgerung

Die L�ange eines K�orpers in Bewegungsrichtung h�angt vom Bezugssystemab� in dem sie gemessen wird�

�Machen Sie sich das auch mit Hilfe von Gleichung �� gr�undlich klar� F�ur den Lokf�uhrer bewegtsich ja der Bahnsteig nach hinten� Deshalb ist f�ur ihn die Stelle� an der wir die Position des Zugendesmessen� in Bewegungsrichtung vorn�


Abbildung �� Zu Aufgabe � auf Seite �� Wie wird der Abdruck auf dem Papierf�ur verschiedene Beobachter aussehen�

Die L�ange ist relativ�

Sie ist am gr�o�ten in dem Bezugssystem� in dem der K�orper in Ruheist� in seinem Ruhesystem also� Diese L�ange hei�t die Ruhel�ange desK�orpers�

Senkrecht zur Bewegungsrichtung messen alle Beobachter dieselbe Ausdeh�nung des K�orpers�

�� Ubung

Aufgaben

�� Begr�unden Sie� dass die Ausdehnung von K�orpern senkrecht zur Bewegungsrichtungvon allen inertialen Beobachtern gleich gemessen wird

�� Wie wird der Abdruck des Stempels auf dem Zeitungspapier aussehen� wenn wirsp�ater die Zeitung lesen s� Abb� �� Oder einfacher� Wie sieht der Abdruck f�ureinen Beobachter aus� der sich mit dem Papier mitbewegt�

�� Ein Quadrat f�allt� von au en betrachtet� kantenparallel und senkrecht auf ein Flie �band� das sich ebenso schnell bewegt� wie das Quadrat f�allt Abbildung �� Wiesieht das Quadrat f�ur einen Beobachter aus� der sich relativ zum Flie band in Ruhebe�ndet�

Anregung �Lorentz�Kontraktion quantitativ�Ein Beobachter misst den Abstand l� zweier relativ zu ihm ruhenden Punkte A und

B� indem er ein Lichtsignal von A nach B sendet� es dort re�ektieren l�asst und die Zeit#t misst� die vergeht� bis er das re�ektierte Signal empf�angt�

l� �c

�#t�


Abbildung �� Wie wird das fallende Quadrat f�ur einen auf dem Flie band sitzen�den Beobachter aussehen�

Beschreiben Sie diesen Vorgang aus der Sicht eines sich dagegen bewegenden Beob�achters� und vergleichen Sie sein Ergebnis l f�ur die L�ange des K�orpers mit dem Ergebnisl�� das der mitbewegte Beobachter misst

� � JANUAR �� DIE RELATIVIT�AT DER ZEIT ��

� � Januar �� Die Relativit�at der Zeit

�� Wiederholung

� Hinweis� In der Reihe Spektrum�Biogra�en ist ein lesenswertes Heft �uber AlbertEinstein erschienen ��

� Relativit�at der Uhrensynchronisation

� Nachtrag� Weltzeit und Uhrensynchronisation Sexl� S� ��

� Die Notwendigkeit einer �uberregionalen Uhrzeit kam erst mit dem modernenVerkehrswesen� erstmals mit dem Bau von Eisenbahnlinien� auf� Damit ent�stand auch das Problem �uberregionaler bzw� weltweiter Uhrensynchronisation�

� Die internationale Zeit wird heute durch Atomuhren in sieben Laboratoriende�niert TAI� temps atomique international�� Diese werden durch Funksi�gnale synchronisiert� die die ganze Erde umspannen� also die verschiedenstenAusbreitungsrichtungen haben� G�abe es eine Richtungsabh�angigkeit der Licht�geschwindigkeit� g�abe es bei der Synchronisation die gr�o ten Schwierigkeiten�

Die Synchronisation des Uhrennetzes der Welt best�atigt das Prinzipder Konstanz der Lichtgeschwindigkeit� Nach der �Athertheorie w�arenst�andig wechselnde Laufzeiten der Zeitsignale zu erwarten� die experi�mentell nicht beobachtet werden�

� Die heute �uber Langwellensender verbreitete Zeit �Funkuhren� ist jedoch

nicht die TAI� sondern die Universal Time Coordinated UTC�� Sie ist anastronomische Ph�anomene die nicht exakt gleichf�ormige Erdrotation� gekop�pelt� Dieser Unregelm�a igkeit wird dadurch Rechnung getragen� dass j�ahrlichnachtr�aglich �� die Di�erenz gegen�uber der TAI festgelegt und evtl� Schaltse�kunden eingef�ugt werden� �� betrug die Di�erenz �� Sekunden�

� Das heute� bereits in Autos� Hobbyschi�en und sogar Handger�aten f�ur Wande�rer� global zur genauen Positionmessung benutzte Global Positioning SystemGPS� erm�oglicht eine Messgenauigkeit von einigen Metern milit�arisch sogarnoch darunter �� Diese Genauigkeit ist nur m�oglich� indem alle E�ekte der spe�ziellen und allgemeinen � Relativit�atstheorie ber�ucksichtigt werden�

� L�angenkontraktion als Folge der Relativit�at der Gleichzeitigkeit

�� Zeitdilatation � qualitativ

Das Ph�anomen des unterschiedlichen Uhrenganges soll zun�achst als logische Konsequenzder Grundpostulate der Relativit�atstheorie herausgearbeitet werden� indem die Argumen�tation sich so dicht wie m�oglich an die bisherigen �Uberlegungen anschlie t�

Dazu wird das folgende Problem untersucht Epstein� S� �� Zwei Raumschi�e derRuhe�� L�ange l �iegen mit der Geschwindigkeit v aneinander vorbei� Was bedeutet dieseAussage� bzw� wie kann diese Geschwindigkeit gemessen werden�

� Messung von�au en� d�h� von einem Beobachter� f�ur den die Raumschi�e die Ge�

schwindigkeiten �v�

bzw� v�

haben s� Abb� ��


t�

t�

Abbildung �� Messung der Relativgeschwindigkeit zweier Raumschri�e durch einen Be�obachter� f�ur den beide gleich schnell sind�

t�a t�b

Abbildung �� Die zwei Methoden� mit denen die Besatzung von Raumschi� � unten� dieGeschwindigkeit des Vorbei�uges bestimmen kann� f�uhren zu unterschiedlichen Ergebnis�sen s� Text��

� Wenn die Raumschi�e mit ihren Spitzen aneinander vorbei�iegen� wird dieStoppuhr gestartet� t� Abb� �� oben��

� F�ur die Messung der Zeit t� Abb� �� unten� gibt es zwei �aquivalente Metho�den�

�� Das Heck des Schi�es � �iegt an der Spitze von � vorbei�

�� Die Spitze von Schi� � erreicht das Heck von ��

Beide Methoden sind gleichwertig� weil die beiden Ereignisse f�ur den �au�erenBeobachter gleichzeitig sind�

Da aber diese Aussage in dagegen bewegten Bezugssystemen nicht gilt� mussmit Widerspruch der Besatzungen der beiden Schi�e gerechnet werden�

� Messung von Raumschi� � unten� aus�


� Der Pilot an der Spitze� startet seine Uhr� wenn er den Vorbei�ug der Spitzevon Raumschi� � registriert Abb� �� unten�� t��

� Der t� entsprechende Zeitpunkt kann auf zwei � diesmal verschiedene � Weisengemessen werden�

�� Der Pilot registriert den Vorbei�ug des Heckes von � Abb� �� links oben��t�a�

�� Der Copilot im Heck� registriert die Ankunft der Spitze von � mit einersynchronisierten Uhr Abb� �� rechts oben�� t�b�

Wegen der L�angenkontraktion des Raumschi�es � sind die Messungen nicht�aquivalent� Es gilt o�ensichtlich�

t�b � t�a

Die beiden Ereignisse sind eben nur f�ur den �au eren Beobachter gleichzeitig�

� Die beiden Zeitspannen verhalten sich wie die Ruhel�ange l� der Raumschi�ezur lorentzverk�urzten L�ange l der bewegten Raumschi�e�

t�b � t�

t�a � t��l�

l��

� Messung von Raumschi� � oben� aus�

� Der Pilot an der Spitze� startet seine Uhr� wenn er den Vorbei�ug der Spit�ze von Raumschi� � registriert� Das Startereignis ist also f�ur beide Pilotenidentisch� t��

� Die Situation in Abbildung �� rechts oben entspricht f�ur den Piloten � geradeder Situation in Abbildung �� links oben f�ur den Piloten �� Beide registrierenden Vorbei�ug des Heckes des anderen Raumschi�es� t��aWegen der �Aquivalenz der beiden Inertialsysteme muss die Uhr des Piloten� rechts dasselbe anzeigen wie links d�h� zu einem f�ur Pilot � fr�uheren Zeit�punkt � die von Pilot ��

t�a � t� � t��a � t��

Die Uhr von Pilot � muss also langsamer gehen als die von Pilot �� Zeitdila�tation

� Wenn das Ereignis�Spitze von Raumschi� � �iegt an Heck von Raumschi� � vorbei�

eintritt� ist f�ur die Besatzung von Raumschi� � die Zeitspanne

#t � t�b � t�

verstrichen� F�ur den Piloten von Raumschi� � ist jedoch erst die Zeitspanne

#t� � t��a � t�� t�a � t�


verstrichen�

Mit Hilfe von Gleichung �� kann deshalb ein Zusammenhang zwischen Lorentz�Kontraktion und Zeitdilatation hergestellt werden�

#t�

#t�t�a � t�

t�b � t�

��

l

l��

L�angenkontraktion und Zeitdilatation sind gleich gro��

�t�

�t�

l

l��

�� Ubung L�angenkontraktion und Zeitdilatation � quantitativ

Die E�ekte der L�angenkontraktion und der Zeitdilatation k�onnen quantitativ abgeleitetwerden� wenn man den Vorgang der L�angenmessung in zwei gegeneinander bewegtenBezugssystemen beschreibt siehe die Anregung vom Ende der letzten Sitzung S� ��

� Der mitbewegte Beobachter misst die L�ange l�� indem er Licht vom Anfang zumEnde und zur�uck laufen l�asst und die daf�ur ben�otigte Zeit #t� misst�

#t� ��l�

c�� l� �

c

�#t� ��

� F�ur den ruhenden Beobachter� der diesen Vorgang beobachtet� dauern Hin� undR�ucklauf verschieden lang�

#t �l

c� v�

l

c � v� l

�c

c� � v��

�l

c

�

��

�� l �c

�#t��

c#t

��mit � �

�p��

��

� Die beiden Messergebnisse verhalten sich also wie

l�

l�

#t�

#t

�

��

#t�

#t��

� Wegen der im letzten Abschnitt abgeleiteten Zeitdilatation Gleichung �� sinddie von den beiden Beobachtern gemessenen Zeitintervalle nicht gleich gro � Es giltvielmehr�

l�

l

��

#t�

#t

��

l

l�

�� l�

l� � ��


Damit hat sich gezeigt� dass Ma st�abe in Bewegung um den Faktor ��

k�urzer gemes�sen werden als in Ruhe�

l ��

�l� mit � �

�p��

�L�angenkontraktion� ��

� Damit ergibt sich aus Gleichung �� auch die Zeitdilatation quantitativ�

Bewegte Uhren gehen um den Faktor ��langsamer als ruhende�

�t� ��

��t mit � �

�p��

�Zeitdilatation� ��

Hier scheint sich ein Widerspruch zu ergeben� M�ussen nicht auch f�ur Pilot � diebewegten Uhren des Raumschi�es � langsamer gehen als die eigenen�

Wenn jedoch die Spitze von Raumschi� � am Heck von Raumschi� � vorbeikommt�kann nicht nur Copilot � die Uhr von Pilot � ablesen� sondern umgekehrt auch Pilot� die von Copilot �� Und die Uhr von Copilot � zeigt� wie gerade abgeleitet wurde�eine gr�o�ere Zeit an als die von Pilot �

Diese scheinbare Paradoxie ergibt sich aus der scheinbaren Symmetrie der Argu�mentation� Tats�achlich ist jedoch die Situation nicht so symmetrisch� wie sie aufden ersten Blick wirkt�

� Die Mannschaft von Raumschi� � kommt zu der �Uberzeugung� dass die Uhrenim bewegten Raumschi� � langsamer gehen� indem sie die Uhr von Pilot � mitzwei ruhenden Uhren an verschiedenen Orten vergleicht�

� Pilot � dagegen vergleicht eine ruhende Uhr n�amlich seine eigene� mit zwei Uh�ren im bewegten Raumschi�� Diese Uhren sind jedoch� da sie f�ur die Besatzung� synchronisiert sind� f�ur Pilot � nicht synchronisiert�

Aus dem Umstand� dass die Uhr im Heck von Raumschi� � im Moment des Vor�bei�uges eine gr�o ere Zeit anzeigt als seine eigene� kann Pilot � also nicht folgern�dass die Uhren in Raumschi� � schneller gehen Er schlie t aus seiner Beobachtungvielmehr auf eine Desynchronisation der beiden Uhren in Raumschi� ��

� Das Ph�anomen der Zeitdilatation sollte deshalb genauer formuliert werden Sexl�S� ��

Bewegt sich eine Uhr an einem Satz zueinander ruhender Uhren vorbei�dann geht sie im Vergleich mit diesen um den Faktor �

�langsamer�

� Keine Kontraktion senkrecht zur Bewegungsrichtung s� S� ��

� Hausaufgabe� Sch�atzen Sie die Relativgeschwindigkeit von Rakete � gegen�uberRakete � in Abbildung �� ab

� Hausaufgabe� Zeichnen Sie den Lorentz�Faktor � als Funktion der Geschwindigkeit

� �� JANUAR �� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��

��

�

�

�

�

��

��

��

�

Abbildung �� Der Lortentz�Faktor als Funktion der Geschwindigkeit

� �� Januar �� Minkowski�Diagramme

�� Wiederholung

� Ph�anomen der Zeitdilatation und Verdeutlichung ihrer paradoxiefreien � Symmetrie

� Quantitatives Ergebnis der letzten �Ubung Gleichungen �� und �� Seite ��

l ��

�l� mit � �

�p��

L�angenkontraktion�

#t� ��

�#t mit � �

�p��

Zeitdilatation�

� Abbildung �� zeigt den Lorentz�Faktor � als Funktion der Geschwindigkeit Haus�aufgabe ��

�� Bewegte Uhren

� Die bisherigen �Uberlegungen zur Zeitdilatation waren unabh�angig von der Art derbenutzten Uhren� Damit ist klar� dass der E�ekt nicht auf der Wirkungsweise spe�zieller Uhren beruht� sondern ein Charakteristikum der Zeit selbst ist�

� Der E�ekt ist jedoch mit besonders einfachen Uhren � so genannten Lichtuhren �viel direkter ableitbar s� Abb� ��


Abbildung �� Eine bewegte Lichtuhr

� Eine Lichtuhr besteht im Prinzip aus zwei parallelen Planspiegeln� zwischendenen als

�Unruhe� ein Lichtstrahl hin�

�tick� und herl�auft

�tack�� W�ahlt

man z�B� den Abstand d der beiden Spiegel zu d � ��m� dann wird diePeriodenl�ange T � im Ruhesystem der Uhr zu

T � ��d

c� �ns�

� F�ur einen Beobachter� relativ zu dem sich die Uhr bewegt� muss der Lichtstrahlin der Uhr einen gr�o eren Weg zur�ucklegen s� Abb� �� S� �� nebeneinander��Er misst also eine l�angere Periodendauer T �

cT�

�

�v T�

AAAAAAAAAAAAU

cT�

c�T � � c�T �� v�T � �� T � T �p��

Der Zusammenhang zwischen T und T � kann unmittelbar abgelesen werden�

T � � Tq

��

� Diskussion

� Wie interpretiert der mit der Uhr C in Abb� �� mitbewegte Beobachter dieBeobachtung� dass die Uhr A ��ns anzeigt� seine eigene aber ��ns�


Er schlie t daraus nicht� dass die Uhren A und B doppelt so schnell gehen wieseine� Er kann vielmehr� mit einem anderen Experiment� heraus�nden� dasssie halb so schnell wie seine gehen� W�aren f�ur ihn also die Uhren A und B

synchron� dann m�usste B ��ns anzeigen� F�ur ihn geht also B gegen�uber A um��ns vor�

� Wie oben bereits betont� ist das Ph�anomen der Zeitdilatation unabh�angig vonder Art der benutzten Uhren� Tats�achlich w�urde das Gegenteil zu einem Wi�derspruch zum Relativit�atsprinzip f�uhren� G�abe es n�amlich einen vom Bezugs�system abh�angigen Gangunterschied zwischen dem Gang verschiedener Uhren�dann k�onnte dieser benutzt werden� ein bestimmtes Bezugssystem vor allenanderen auszuzeichnen�

�� Experimente zur Zeitdilatation

� Die Vorhersage der Zeitdilatation war das wohl spektakul�arste Ergebnis der speziel�len Relativit�atstheorie� Es war deshalb von fundamentaler Bedeutung� die radikale�Anderung des Zeitbegri�s� welche die Zeitdilatation mit sich brachte� auch experi�mentell zu best�atigen�

� Besonders wichtige Uhren f�ur die experimentelle Pr�ufung sind

� das Emissionslicht angeregter Atome oder Kerne�

� instabile Atomkerne radioaktiver Zerfall��

� instabile Elementarteilchen und

� Pulsare�

Im Prinzip sind auch Lebewesen� wenn auch nicht genaue��biologische Uhren�

Man sieht ihnen ihr Alter an� Auch bei Lebewesen muss es deshalb �im PrinzipZeitdilatation geben�

� Beim Vergleich einer ruhenden Uhr A mit einer auf einer Kreisbahn umlaufendenUhr C Abb� �� sind nur zwei Uhren erforderlich� Beim wiederholten Zusammen�tre�en der Uhren zeigt sich� dass Uhr C langsamer geht als A� Diese Feststellungsteht nicht im Widerspruch zum Relativit�atsprinzip� weil die beiden Uhren nichtgleichberechtigt sind� Uhr C bewegt sich� im Gegensatz zu A� beschleunigt� Einmitbewegter Beobachter kann diese Beschleunigung absolut � messen�

� Beim Vergleich mit Uhren in �iegenden Flugzeugen muss zus�atzlich ein gravitativerEin�uss auf den Uhrengang ber�ucksichtigt werden� der dieselbe Gr�o enordnung wieder Geschwindigkeitse�ekt hat�

Eine Uhr� die sich im Schwerefeld der Erde um die H�ohe H weiter obenbe�ndet als eine Vergleichsuhr� geht nach der Zeit t um die Zeitspanne

#tgrav �gH

c�t ��

vor� wenn die Uhren anf�anglich auf denselben Stand gebracht wurden� Da�bei ist g die Erdbeschleunigung am Ort der Vergleichsuhr�


Abbildung �� Vergleich einer Uhr auf einer Kreisbahn mit ruhenden Uhren

� Der erste experimentelle Nachweis der durch Geschwindigfkeit hervorgerufenen Zeit�dilatation gelang �� also �� Jahre nach ihrer Postulierung� durch Untersuchungder Emissionslinien schneller Atome�

�� Das Maryland�Experiment �Sexl� S� ��

� Dieses Pr�azisionsexperiment wurde �� mit jeweils drei Atomuhren am Bodenund in einem langsamen � Flugzeug durchgef�uhrt�

� Zur eigentlichen Messung wurden f�unf Fl�uge von jeweils etwa �� Stunden Dauerdurchgef�uhrt� Die Uhren wurden vor und nach den Fl�ugen durch direkten Vergleichund w�ahrend der Fl�uge durch Laserimpulse miteinander verglichen s� Abb� ��links��

� Der erwartete E�ekt betrug

#t � #tgrav � #tGeschw � ��ns� �ns � ��ns�

Die �Ubereinstimmung zwischen Theorie und Experiment s� Abb� �� rechts� erwiessich als �au erst befriedigend�

#texp

#ttheor� ��


Abbildung �� Ergebnisse des Maryland�Experimentes

�� Das Hafele�Keating�Experiment �Sexl� S� ��

� Das Experiment wurde bereits �� quasi als�Freihand�Experiment mit kommer�

ziellen Atomuhren und in Linien�ugzeugen durchgef�uhrt und galt damals als�wis�

senschaftliches Lausbubenst�uck�

� Hafele und Keating erkannten� dass das Problem der gegenseitigen Kompensationvon Gravitations� und Geschwindigkeitsein�uss bei Fl�ugen um die Erde vermiedenwerden kann�

Beobachtet n�amlich ein �ktiver inertialer Beobachter aus dem Weltall die Umrun�dung der rotierenden Erde� dann bewegen sich sowohl das Flugzeug� als auch dieBodenstation�

� Bei einer Ost�West�Umrundung bewegt sich das Flugzeug langsamer als dieBodenstation� seine Uhr geht durch den Geschwindigkeitse�ekt also schneller�Geschwindigkeitse�ekt und Gravitationse�ekt verst�arken sich also gegenseitig�

� Bei einer West�Ost�Umrundung kompensieren sich dagegen die beiden E�ekteteilweise� weil sich das Flugzeug schneller bewegt als die Bodenstation� Es wirdsich zeigen� dass der Geschwindigkeitse�ekt dem Betrage nach etwas gr�o er ist�

� Vergleich der genauen Berechnungen f�ur die konkreten Fl�uge mit den experimentel�len Daten ergab

� f�ur die Westumrundung�

#ttheor � �� ns� #texp � �� ns� # � ��%�

� f�ur die Ostumrundung�

#ttheor � �� ns� #texp � �� ns� # � ��%�


Abbildung �� Zerfallskurven langsamer und schneller Myonen� Theoretische Kurven undexperimentelle Ergebnisse

�� Myonen�Experimente �Sexl� S� ��

� Myonen sind instabile Elementarteilchen� die dieselbe Ladung wie Elektronen� aberdie ��fache Masse haben�

q� � qe� m� � ��me�

� Langsame Myonen �in Ruhe� haben eine Halbwertszeit von �� s�

� In einem Speicherring�Experiment CERN �� wurden Myonen so beschleunigt�dass sich ihre Geschwindigkeit nur noch um ��% von der Lichtgeschwindigkeitunterschied�

� ��

� Bei dieser Geschwindigkeit hat der Lorentz�Faktor � den Wert �� Man erwartetdeshalb einer Halbwertszeit von

�v � �� s�

� Die experimentell gefundene Abklingkurve Abb� �� stimmt damit sehr gut �uberein�

� Aufgabe Berechnen Sie� ausgehend von N� � �� die Zerfallskurve oder zu�mindest die Anzahl der Myonen w�ahrend der ersten ��s f�ur langsame und schnelleTeilchen

� Frage Wie alt w�aren Sie heute� wenn Sie in Ihrem heutigen Alter vor �� Jahrenin den Speicherring eingeschossen worden w�aren� ca� ��a�


q

qWLU�� WLU��

� ��

� � �

WL WeltlinieLS Weltlinie eines Lichtsignals

�� x�m�

��

��

��

ct�m�

t t t

WLU ��

ct��m�

� arctan q

q

q

q

q��

A

B

C

LS von E

LS von A

WLU �� WLU �

��

qD

qE

x��m�ct� � ��

qF

qG

q��

Abbildung �� Zur Konstruktion von Minkowski�Diagrammen s� Text�

�� Minkowski�Diagramme �Sexl S� ��

Die Konstruktion von Minkowski�Diagrammen soll an folgendem Beispiel erarbeitet wer�den Abbildung ��

Eine Rakete� die im unbewegten Bezugssystem K die L�ange l l � ��m� hat� �iegtmit der Geschwindigkeit v � c � �

��

�� entlang der x� und x��Achse� In

K be�nden sich zwei Uhren U� bei x � � und U� bei x � l�� In der Rakete� dh� ruhend

im mitbewegten Bezugssystem K �� be�nden sich drei Uhren� U �� am Heck� U �

� in der Mitteund U �

� an der Spitze�ct�Achse und x�Achse des Systems K stehen senkrecht aufeinander und haben den�

selben Ma stab�

� Zur Zeit t � � � t� stimmen die Anf�ange von x� und x��Achse und das Heck derRakete �uberein� A

� Um die ct��Achse x� � �� zu �nden� konstruieren wir die Weltlinie von Raketenheckund Uhr U �

�� Wenn das Heck mit der Uhr U �� an der Uhr U� vorbeikommt B�� zeigt

U� die Zeit tB an�


ctB ��

l

�� m� ��

Wegen der Zeitdilatation zeigt U �� dann die Zeit t�B an�

ct�B ��

�ctB �

�

��m � ��m ��

� Zu einem leicht zu konstruierenden� um den Lorentz�Faktor � � �� sp�ateren� Zeit�

punkt zeigt deshalb U �� die Zeit ct�B � ��m an� C�

Damit ist die ct��Achse mit ihrem Ma stab konstruiert�

� Um die x��Achse ct� � �� zu �nden� senden wir zun�achst ein Lichtsignal vom Hecknach vorn� Seine Weltlinie

ct � x

ist die Winkelhalbierende� Sein Eintre�en D� �ndet man als Schnittpunkt zwischenden Weltlinien dieses Lichtsignales und der Uhr U �

��

� Ein f�ur die Mannschaft der Rakete mitA gleichzeitiges Ereignis �nden wir� indem wirvon der Raketenspitze so ein Lichtsignal nach hinten senden E�� dass es gleichzeitigin der Raketenmitte ankommt� Die Steigung der Weltlinie dieses Signales hat dieSteigung �� E ergibt sich als Schnittpunkt mit der Weltlinie von U �

��

Damit haben wir die x��Achse gefunden�

� Das nach hinten gesendete Signal kommt schlie lich am Heck an� F� Die zwischenE und D verstrichene Zeit in K � ist nat�urlich ebenso gro wie die zwischen D undF verstreichende� F�ur die Uhr U �

� vergeht deshalb zwischen A und G ebenso vielZeit wie zwischen G und F � die entsprechenden Strecken im Diagramm sind alsogleich lang�

Deshalb Strahlensatz f�ur die sich in F schneidenden Weltlinien� sind auch dieStrecken DE und DF gleichlang�

� Die Weltlinie des nach vorn laufenden Signals wird in K � durch

ct� � x�

beschrieben� Da sie� wie eben bewiesen� die Winkelhalbierende des ct��x��Systemsist� m�ussen die Ma st�abe auf beiden Achsen gleich gro sein�

An dieser Stelle wird deutlich� dass auch viel k�urzer argumentiert werden k�onnte�

� Wegen der bekannten Symmetrie von L�angenkontraktion und Zeitdilatation sind die Ma�st�abe auchauf den ct�� und x��Achsen gleich gro��

� Wegen


Damit ist die folgende Konstruktionsvorschrift gefunden und bewiesen worden�

Zu einem rechtwinkligen ct�x�Koordinatensystem mit gleichem Ma�stab aufbeiden Achsen �ndet man das Koordinatensystem des sich mit einer Geschwin�digkeit v � c dagegen bewegenden Systems folgenderma�en�

�� Beide Achsen des bewegten Systems schlie�en mit den Achsen des Ruhe�systems denselben Winkel ein�

� arctan

� Der Ma�stab auf beiden Achsen ist um den Faktor

�

cos� � �

q� � tan� �

s� � �

��

gr�o�er als der im Ruhesystem�

�� Ubung

�� Aufgabe Quantitative Absch�atzung der E�ekte beim Hafele�Keating�Experiment

Die Fluggeschwindigkeit betrage v � ��kmh

� die Flugh�ohe H � ��m� Die Erd�

umrundung verlaufe entlang des �Aquators�

a� Berechnen Sie die Flugzeit und daraus den durch den Gravitationse�ekt her�vorgerufenen Gangunterschied zwischen Boden� und Borduhr nach der Erdum�rundung�

b� Berechnen Sie die Geschwindigkeiten von Bodenstation und Flugzeug bei Ost�West� und bei West�Ost�Umrundung relativ zu einem inertialen au erirdi�schen� Beobachter und daraus die Zeitverschiebungen der bewegten Uhren re�lativ zur Uhr des inertialen Beobachters�

c� Berechnen Sie daraus den Gangunterschied zwischen Bord� und Bodenuhr f�urdie beiden Fl�uge� Wegen � � entwickeln Sie dazu

p��

d� Aufgabe Myonen aus kosmischer Strahlung Sexl� S� ��

In einer H�ohe von H � ��m �uber dem Meeresspiegel werden N� � ��h��

Myonen gemessen� auf Meeresniveau NH � ��h��

i� Wie gro w�are NH bei � � ohne Zeitdilatation�

ii� Wie gro ist die Geschwindigkeit der Myonen ungef�ahr�

ct x �� ct� x�

muss diese Weltlinie Winkelhalbierende beider Koordinatensysteme sein�

�� JANUAR �� ANWENDUNG VON MINKOWSKI�DIAGRAMMEN ��

�� Januar �� Anwendung vonMinkowski�Diagrammen

�� Wiederholung

� Die Zeitdilatation und ihre experimentelle Best�atigung

� Konstruktion von Minkowski�Diagrammen

� Korrektur der Ma stabs�anderung

�

�

��

�

�

f ��

x

x�

ct ct�

� � tan� � �� f � �� f �q

��

��

�� Folgerungen aus den Minkowski�Diagrammen

� �� Die Relativit�at der Gleichzeitigkeit

Der Umstand� dass die Raumachsen gegeneinander bewegter Inertialsysteme im Minkowski�Diagramm nicht parallel zueinander sind� stellt die Relativit�at der Gleichzeitigkeit dar�Ereignisse� die im einen System gleichzeitig sind � und deshalb auf einer Parallelen zurRaumachse liegen �� sind es in dem anderen System nicht� da ihre Verbindungslinie nichtparallel zur entsprechenden Raumachse ist�

� �� Die L�angenkontraktion und ihre Symmetrie

� Ein mit der Geschwindigkeit v bewegter Ma stab habe in seinem Ruhesystem K �

die L�ange l� � ��m� im ruhenden System K die L�ange l�

x�m�

ct�m�

��

��

��

��

x��m�

ct��m�

Weltlinie des Ma stabendes


x��m�

ct��m�

��

��

��

��

x�m�

ct�m�

x��m�

ct��m�

A

B

C

Abbildung �� Zur Veranschaulichung der Symmetrie der L�angenkontraktion durchMinkowski�Diagramme

Die L�ange l wird in K gemesen� indem die Koordinaten von Anfang und Ende desMa stabes gleichzeitig� z�B� bei ct � �� bestimmt werden� In das Diagramm sinddie Weltlinien des Anfanges ct��Achse� und des Endes eingezeichnet� Es zeigt dieL�angenkontraktion unmittelbar�

� Dieses Diagramm und die zugeh�orige Argumentation sind zwar richtig� aber leichtirref�uhrend� weil eine Unsymmetrie zwischen den beiden Systemen suggeriert wird�

Wenn man in das Diagramm die Weltlinien eines in K ruhenden Ma stabes mitder L�ange l einzeichnen� hat man � wenn man nicht auf den ver�anderten Ma stabachtet � den Eindruck� als w�urde dieser in K � l�anger gemessen�

� Besser ist es deshalb� das Diagramm so zu zeichnen� dass beide Systeme denselbenMa stab haben Dazu f�uhrt man ein Hilfssystem K �� ein� relativ zu dem sich diebeiden anderen mit den Geschwindigkeiten v

�bzw� �v

�bewegen s� Abb� ��

Zeichnet man die Weltlinie des Endes eines in K � ruhenden Ma stabes der L�angel� � �A�� so schneidet diese die x�Achse bei l � l� � �B�� Zeichnet man nundie Weltlinie eines in K ruhenden Ma stabes der L�ange l� so schneidet diese diex��Achse bei C l�� l��

� �� Uberlichtschnelle Signale Sexl� S� ��

Wenn man Botschaften mit einer Geschwindigkeit c� � c �ubertragen k�onnte� dann k�onnteich die Ergebnisse der Ziehung der Lottozahlen zur Zeit t � � bei x � �� an einenPartner verschicken� der sich mit v � c bewegt s� Abb� �� Dieser Partner w�urdeim Moment des Erhaltens A� der f�ur ihn bei ct� � � liegt� die Ergebnisse mit derselben�Uberlichtgeschwindigkeit zur�ucksenden� Das Ereignis A liegt f�ur den Partner so weit in derVergangenheit� dass diese Nachricht mich noch vor der Ziehung der Lottozahlen erreichenw�urde� � � �


x�m�

ct�m�

��

��

��

��

x��m�

ct��m�

p A

B

Abbildung �� Verletzung des Kausalit�atsprinzips durch �uberlichtschnelle v � ��c� Si�gnale Erl�auterungen im Text�

Ein solcher Vorgang w�urde das Kausalit�atsprinzip der Physik verletzen� nach demdie Ursache eines Ereignisse immer dem Ereignis selbst zeitlich vorangehen muss�

Durch �Ubertragung von Information mit �Uberlichtgeschwindigkeit w�urde dasKausalit�atsprinzip verletzt werden� Man ist deshalb heute sehr sicher� dasseine solche �uberlichtschnelle Signal�ubertragung nicht m�oglich ist�

� �� Vergangenheit und Zukunft Sexl� S� ��

Die beiden f�ur uns gleichzeitigen Ereignisse A und B in Abbildung �� geschehen f�ur relativzu uns bewegten Beobachter nacheinander� F�ur einen Autofahrer� der in K � ruht� ist Bsp�ater als A� B k�onnte also die Radiodurchsage eines Unfalles sein� an dem er beteiligtwar� Wenn er nun aber so beschleunigt� dass er in K �� ruht� dann geschieht B fr�uher alsA� Der Autofahrer h�ort also die Nachricht von seinem Unfall� bevor der sich ereignet hat� � �

Hier ist nicht explizit� von �uberlichtschnellen Signalen Gebrauch gemacht worden�aber trotzdem ist ein Widerspruch zum Kausalit�atsprinzip entstanden� Wo lag der Denk�fehler�

B kann nicht die Nachricht vom Unfall A sein� weil kein Signal� dessen Ausbreitungs�geschwindigkeit h�ochstens gleich der Lichtgeschwindigkeit ist� den Ort �rB von �rA auserreichen kann� bevor sich B ereignet B kann also nicht von A verursacht worden sein�

Tats�achlich k�onnen nur solche Ereignisse B von A beein�usst werden� f�ur die gilt

ctB � xB � xA � ctA� ��

Diese Ereignisse liegen alle in dem Gebiet� das oberhalb der Weltlinien der beidenLichtsignale liegt� die von A in beiden Raumrichtungen ausgesendet werden� Da diesesGebiet im Falle zweier Raumdimensionen zu einem Kegel wird� hei t seine Berandung derLichtkegel des Ereignisses A�


x�m�

ct�m�

��

��

��

��

��

x��m�

ct��m�

x��m�

ct��m�

r rAB

Abbildung �� Dieselben Ereignisse A und B sind in K gleichzeitig� in K � geht A Bvoraus ct�A � ct�B�� in K �� geht umgekehrt B A voraus ct��B � ct��A��

Von einem Ereignis A k�onnen nur diejenigen Ereignisse beein�usst werden�die innerhalb des �Vorw�arts� Lichtkegels von A liegen� Umgekehrt kann A nurvon den Ereignissen beein�usst werden� die sich innerhalb des �R�uckw�arts�Lichtkegels von A ereignen� Von diesen Ereignissen sagt man� sie haben einenzeitartigen Abstand von A�

Ereignisse au�erhalb des Lichtkegels von A haben einen raumartigen� Ereig�nisse auf dem Lichtkegel einen lichtartigen Abstand von A�

Wie man sich anhand von Abbildung �� leicht klar macht� scheidet der Lichtkegeleines Ereignisses seine Zukunft eindeutig von seiner Vergangenheit� Alle Ereignisse B

im oberen Teil des Lichtkegels die von A beein�usst werden k�onnen � liegen eindeutig inseiner Zukunft� Es gibt kein Bezugssystem� in dem diese Ereignisse A vorangehen� Ebensomacht man sich klar� dass alle Ereignisse C im unteren Teil des Lichtkegel eindeutig inder Vergangenheit von A liegen� Nur f�ur die Ereignisse D au erhalb des Lichtkegels istdie zeitliche Reihenfolge mit A nicht eindeutig� Diese Ereignisse k�onnen jedoch in keinekausale Beziehung zu A treten

� �� Koordinatentransformation

Da wir nun in der Lage sind� zu jeder Geschwindigkeit v das Minkowski�Diagramm zuzeichnen� k�onnen wir auch zu jedem Ereignis E� dessen Koordinaten x� y� z� ct� in K

wir kennen� die zugeh�origen Koordinaten x�� y�� z�� ct�� in K � konstruieren und umgekehrts� Abb� ��

Wir kennen damit die Lorentz�Transformation in geometrischer Darstellung und k�onn�ten aus dieser Darstellung auch die algebraische Form der Transformation ableiten siehez�B� ��

Stattdessen soll die algebraische Form der Lorentz�Transformation aus den Grundpo�stulaten der Relativit�atstheorie direkt abgeleitet werden�


x�m�

ct�m�

��

��

��

r A

Lichtkegel von A

rB

mit v bewegt

rC

rDZukunft von A

Vergangenheit von A

Abbildung �� Der Lichtkegel des Ereignisses A teilt�die Welt eindeutig in die Vergan�

genheit und Zukunft dieses Ereignisse � und in den Teil� der in keine kausale Beziehungzu A treten kann�

x�m�

ct�m�

��

��

��

x��m�

ct��m�

r

xA

ctA

x�A

ct�A

A

Abbildung �� Zur �Ubertragung der Koordinaten eines Ereignisses A von einem Inertial�system K in ein Inertialsystem K �


�� Ubung

� Besprechung der Hausaufgaben�

� Quantitative Absch�atzung der E�ekte beim Hafele�Keating�Experiment s� S� ��

Ergebnisse� Der Gravitationse�ekt betr�agt

#tgrav � ��ns�

Die Abweichungen zwischen Boden� und Borduhr betragen f�ur die Fl�uge nachOsten bzw� nach Westen

#tWO � ��ns �� #t � ��ns� ��ns � ��ns�

#tOW � ��ns �� #t � ��ns � ��ns � ��ns�

� Myonen aus kosmischer Strahlung s� S� ��

Das Ergebnis ergibt sich aus dem Umstand� dass der Quotient aus Flugzeitund Lebensdauer in beiden Bezugssystemen gleich gro sein muss�

� �� s

� Hausaufgabe Stellen Sie die Zeitdilatation und ihre Symmetrie anhand einesMinkowski�Diagrammes dar

�� JANUAR �� DIE LORENTZ�TRANSFORMATION ��

�� Januar �� Die Lorentz�Transformation

�� Ableitung der Transformationsgleichungen

Gegeben ist ein Ereignis mit den Koordinaten x� y� z� ct� im Inertialsystem K� Gesuchtsind seine Koordinaten x�� y�� z�� ct�� im dagegen mit der Geschwindigkeit v � c be�wegten Bezugssystem K �� Gesucht sind also Funktionen� die die Berechnung der neuenKoordinaten aus den alten erm�oglichen�

x� � fxx� y� z� ct�

y� � fyx� y� z� ct�

z� � fzx� y� z� ct�

ct� � fctx� y� z� ct�

� Aus der Homogenit�at von Raum und Zeit�� folgt� dass die Funktionen linearsein m�ussen ��

x� � axxx � axyy � axzz � axctct � ax� ��

y� � ayxx � ayyy � ayzz � ayctct � ay� ��

z� � azxx � azyy � azzz � azctct � az� ��

ct� � actxx � actyy � actzz � actctct � act� ��

W�are n�amlich z�B�

x� � ax� � bx � a

�x� �

b

ax

�� a

�x �

b

�a

��

� b�

�a�

dann w�are die Stelle x� � � b�a

im Raum dadurch ausgezeichnet� dass L�angenmes�sungen besonders kleine Werte erg�aben�

� Werden die Koordinatensysteme so gew�ahlt� dass zur Zeit ct � � die Urspr�ungebeider Systeme zusammenfallen und die Uhr im Ursprung von K � ebenfalls � anzeigtct� � �� dann wird das Gleichungssystem homogen�

ax� � ay� � az� � act� � � ��

� Aus der Forderung nach der Isotropie des Raumes�� folgt� dass man die Achsenso orientieren kann� dass x� und x��Achse in Richtung der Relativgeschwindigkeitzeigen und dass z� und z�� Achse und y� und y��Achse zueinander parallel verlaufen�

�Dieses Postulat verlangt� dass das Resultat einer L�angenmessung nicht vom Ort der Messung abh�angtund dass die Messung eines Zeitintervalles unabh�angig davon ist� wann diese Messung durchgef�uhrt wird also unabh�angig davon ist� wann die Uhr gestartet wurde��

��Alle Koe�zienten aij sind allein von der Geschwindigkeit v abh�angig��Nach dieser Forderung ist im Raum keine Richtung ausgezeichnet�


Damit vereinfacht sich das Gleichungssystem ganz erheblich�

z � � �� z� � �� z� � azzz� also azx � azy � azct � � ��

y � � �� y� � �� y� � ayyz� also ayx � ayz � ayct � � ��

� Da das Ergebnis der L�angenmessung eines in K � ruhenden Ma stabes in K dasselbeErgebnis haben muss� als wenn derselbe Ma stab in K zur Ruhe gebracht wird undseine L�ange von K � aus gemessen wird� folgt

#y� � ayy#y

#y � �ayy

#y�

�� ayy �

�

ayy�� ayy � � ��

Ebenso folgt bei einer L�angenmessung in z�Richtung

azz � ��

� F�ur einen K�orper� der im Ursprung von K � ruht x� � �� gilt in K�

x� � � �� x � vt� �� x� x� vt �� x� � kx� ct� ��

Ebenso folgt f�ur einen K�orper� der im Ursprung von K ruht x � ��

x � � �� x� � �vt�� x x� � vt� �� x � k�x� � ct��

Aus dem Relativit�atsprinzip folgt� dass auch die L�angenmessung in x�Richtung sym�metrisch in beiden Bezugssystemen sein muss� Daraus ergibt sich mit derselbenSchlussweise wie bei ��

k � k� � axx ��

� Fasst man die Gleichungen �� und �� zusammen� dann sieht man� dass ct� nurvon x und ct abh�angt�

ct� �x

k � x�

�

��

k � k

�x � kct ��

Es muss also gelten�

acty � actz � �� actx ��

k � k

� actct � k ��


� Damit hat sich das Gleichungssystem �� folgenderma en vereinfacht�

x� � kx� k ct ��

y� � y ��

z� � z ��

ct� �

��

k � k

�x � kct ��

In diesem Gleichungssystem ist nur noch der von der Geschwindigkeit v abh�angigeParameter kv� unbekannt� Er kann mit Hilfe des Postulates von der Konstanz derLichtgeschwindigkeit bestimmt werden� das bisher noch nicht benutzt wurde�

� Ein Lichtsignal� das zur Zeit t � � � t� vom Koordinatenursprung in positivex�Richtung ausgesendet wird� wird in den beiden Koordinatensystemen folgender�ma en beschrieben�

x � ct

x� � ct�

��

�� ct� � kc� v�tct � kc � v�t�

�

�� c� � k�c� � v�� k ��p

��

Damit sind die Transformationsgleichungen vollst�andig bestimmt� Wegen

��

k � k

��

�

k �� k��

�

k

��

�� k

k�onnen sie in v�ollig symmetrischer Form folgenderma en geschrieben werden��

Die Lorentz�Transformation

x� � ��x� �ct� ��y� � y ��z� � z ��ct� � ��ct� �x� ��

oder

x � ��x� � �ct�� y � y� ��z � z� ��ct � ��ct� � �x��

��

��Meist werden die Transformationsgleichungen in der folgenden Form geschrieben�

x� x�vtp�� v�

c�

y� y

z� z

t� t� v

c�xp

�� v�

c�

oder

x x��vt�p�� v�

c�

y y�

z z�

t t�� v

c�x�p

�� v�

c�


�� Anwendungen der Transformationsgleichungen

�� L�angenkontraktion

Ein Ma stab ruhe in K � und habe dort die Ruhel�ange l� � x��x�� Seine L�ange l � x��x�wird in K gemessen� indem die Positionen von Anfang und Ende gleichzeitig #t � ��bestimmt werden� Aus Gleichung �� der Lorentz�Transformation ergibt sich damit

l� � x�� x�� x� � x� � c#t��t�� l �

l�

��

in �Ubereinstimmung mit unserem fr�uher gewonnenen Ergebnis �� auf Seite ��

�� Relativistische Geschwindigkeitsaddition

� Nach der klassischen Geschwindigkeitsaddition Gleichung �� S� �� h�atte dasScheinwerferlicht eines mit der Geschwindigkeit v fahrenden Autos f�ur einen Fu �g�anger am Stra enrand die Geschwindigkeit c � v � im Widerspruch zum Prinzipder Konstanz der Lichtgeschwindigkeit�

� Mit Hilfe der Lorentz�Transformation ist es einfach� eine neue Vorschrift zur Addi�tion von Geschwindigkeiten abzuleiten�

Das Bezugssystem K � bewege sich wie �ublich mit der Geschwindigkeit v gegen dasBezugssystem K� Beschreiben Sie die Weltlinie eines K�orpers� der sich relativ zu K �

mit der Geschwindigkeit u� bewegt� zun�achst in K �� Berechnen Sie daraus mit Hilfeder Lorentz�Transformation die Gleichung der Weltlinie in K Wie berechnet sichdemnach die Geschwindigkeit u des K�orpers relativ zu K�

Misst ein Beobachter B�� der sich mit der Geschwindigkeit v gegen�ubereinem anderen Beobachter B bewegt� in Bewegungsrichtung�� eine Ge�schwindigkeit u�� dann misst B eine Geschwindigkeit u� die sich folgen�derma�en aus u und v zusammensetzt�

u �u� � v

� � u�v

c�

relativistische Geschwindigkeitsaddition� ��

� Folgerungen�

� Wenn B� Lichtgeschwindigkeit misst u� � c�� dann misst auch B Lichtge�schwindigkeit � in �Ubereinstimmung mit dem Prinzip der Konstanz der Licht�geschwindigkeit�

u� � c �� u �c � v

� � vc

� c

� Aufgabe

Die zusammengesetzte Geschwindigkeit ist immer kleiner oder gleich c�

��Der Fall einer dazu senkrechten Bewegungsrichtung wird erst sp�ater Gleichung �� S� �� behandelt�


�� Das Zwillings�Paradoxon

Aus den Postulaten der Relativit�atstheorie folgt zwingend� dass eine Uhr genauer� jedeUhr � und damit auch ein Mensch � nach einer langen und sehr schnellen Reise gegen�ubereiner zur�uckgebliebenen Uhr nachgeht� Dieser E�ekt wird in der Literatur als Uhren�Paradoxon oder Zwillings�Paradoxon bezeichnet und hat zu den heftigsten Angri�en aufdie Relativit�atstheorie gef�uhrt�

Wir haben diesen E�ekt bereits fr�uher S� �� behandelt und begr�undet� dass diesesErgebnis zwar unserem Zeitverst�andnis massiv widerspricht� dass es aber nicht paradoxist� da die beschriebene Situation nicht symmetrisch ist� Nur eine der beiden Uhren wirdbei diesem Vorgang beschleunigt

Zu einem tieferen Verst�andnis soll dieses Ph�anomen an einem konkreten Beispiel n�aheruntersucht werden Sexl� S� �� Resnick� S� �� Dabei wird es einen ersten Hinweisauf den so genannten Dopplere�ekt geben�

� Von zwei Zwillingen A und B unternehme der eine B� eine weite und sehr schnellev � �

�c� Weltreise� die ihn� mit seiner eigenen Uhr gemessen� zun�achst drei Jahre

lang von seinem Bruder entfernt� um ihn dann in der gleichen Zeit nach Hausezur�uckzubringen�

Um wieviel sind die beiden Br�uder bei ihrem Wiedersehen gealtert�

Da die Uhr von B nach der Reise sechs Jahre anzeigt� ist er um die selbe Zeitgealtert�

F�ur A jedoch geht die Uhr von B langsamer� bzw� seine eigene schneller� Wegen

��

��

�

�

ist A um den Faktor ��

mehr gealtert� Er ist also beim Wiedersehen zehn Jahre �altergeworden � und damit vier Jahre �alter als sein Zwillingsbruder

� Veranschaulichen Sie den Vorgang in einem Minkowski�Diagramm�

Da die Reisegeschwindigkeit bekannt ist� ist das Minkowski�Diagramm aus der Sichtvon A Inertialsystem � leicht zu konstruieren Abbildung �� Da f�ur A w�ahrend derHinreise � Jahre vergehen� legt B in dieser Zeit wegen � �

�� Lichtjahre zur�uck�

Dabei vergehen f�ur ihn drei Jahre� Der Ereignisse der jeweiligen�Jahreswechsel

sind durch dicke Punkte markiert�

� Die Br�uder halten auch w�ahrend der Reise Kontakt� indem jeder von ihnen immernach Ablauf eines Jahres einen Funkspruch an seinen Bruder sendet�

Wie viele Funksignale erh�alt jeder der beiden Br�uder und in welchem zeitlichenAbstand�

Die Weltlinien der Funkspr�uche haben in dem Minkowski�Diagramm die Steigungen �� Das Diagramm macht folgendes deutlich�

�� B erh�alt w�ahrend seiner Reise tats�achlich �� Funkspr�uche� A dagegen nur �


� �x�Lj�

�

�

�

�

��

ct�Lj�

r

r

r

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r

r

r

r

r

r Weltlinie der Hinfahrt

r Umkehrpunkt

r Weltlinie der R�uckfahrt

r� � �

��

�

Abbildung �� Dopplere�ekt und Zwillingsparadoxon Resnick� S� ��

�� A erh�alt die Funkspr�uche w�ahrend der Hinreise im Abstand von � Jahren�w�ahrend der R�uckreise im Abstand von �

�Jahren� Nach diesen Informationen

hat A also den Eindruck� dass B w�ahrend der neunj�ahrigen Hinreise mit umden Faktor � niedrigerer Frequenz sendet� w�ahrend der einj�ahrigen R�uckreisedagegen mit einer um den Faktor � h�oheren Frequenz

�� B empf�angt erst am Ende der Hinreise� also nach drei Jahren� das erste Signal�w�ahrend der R�uckreise dagegen neun Signale im Abstand von jeweils �

�Jah�

ren� Auch f�ur ihn sind die Empfangsfrequenzen also um jeweils den Faktor �verringert bzw� vergr�o ert

� Die sich dabei ergebende Frequenzver�anderung ist Ausdruck des relativistischenDopplere�ektes� die in der n�achsten Sitzung behandelt wird�

� Es wurde argumentiert� dass der E�ekt allein durch die Beschleunigungsphasen her�vorgerufen werde� die au erhalb der speziellen Relativit�atstheorie st�unden� DieserEinwand ist insofern unzutre�end� als beschleunigte Bewegungen nat�urlich relativis�tisch beschrieben werden k�onnen! lediglich die Bezugssysteme m�ussen Inertialsyste�me sein� Der Einwand kann auch entkr�aftet werden� indem man beide Uhren diesel�ben Beschleunigungsphasen durchlaufen l�asst s� Ruder �� S� ��

� Ein wirkliches Paradoxon scheint sich zu ergeben� wenn beide Uhren auf spiegel�bildliche Reisen geschickt werden� F�ur jeden der beiden Reisenden geht die Uhr desjeweils anderen w�ahrend der ganzen Reise langsamer� muss also beim Wiedersehennachgehen� Wegen der Symmetrie dieser Situation w�are aber dieses Zur�uckbleibentats�achlich paradox


Frage Wo liegt der Denkfehler�

Achtung� Die Antwort ist nicht ganz einfach �

�� Ubung Weitere Folgerungen aus den Transformationsglei�chungen

�� Relativit�at der Synchronisation

Aufgabe Zeigen Sie mit Hilfe der Transformationsgleichungen �� dass Gleichzeitigkeitin der Relativit�atstheorie ein relativer Begri� ist

�� Zeitdilatation

Aufgabe Begr�unden Sie mit Hilfe der Transformationsgleichungen �� den E�ekt derZeitdilatation und leiten Sie die fr�uher Gleichung �� S� �� gewonnene Formel daf�urab


Senkrecht von oben einfallendes Licht kommt f�ur einen bewegten Beobachter schr�ag vonvorn� Diese so genannte Lichtaberration ergab sich klassisch durch Vektoraddition vonLichtgeschwindigkeit und Bewegungsgeschwindigkeit s� Seite �� In der Relativit�ats�theorie ergibt er sich als Folge der Lorentz�Transformation�

Aufgabe Leiten Sie an einem einfachen Spezialfall den Aberrationse�ekt aus denTransformationsgleichungen �� ab Transformieren Sie dazu Weltlinie eines in K � senk�recht nach unten� d�h� in �y��Richtung�

�fallenden Lichtsignals in das Ruhesystem K

�� FEBRUAR �� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��

�� Februar �� Das Aussehen schnell bewegter Objekte

�� Wiederholung


� F�ur den Ablenkungswinkel bei der Lichtaberration ergab sich klassisch s� S� ��

tan �v

c� � ��

In der letzten �Ubung wurde abgeleitet� dass das korrekte relativistische Ergebnisum den Faktor � gr�o er ist als das klassisch gewonnene�

tan� � �� relativistische Lichtaberration ��

Im Falle der Bahnbewegung der Erde ist dieser Unterschied jedoch unmessbar klein�

� Bei der Behandlung des Zwillings�paradoxons hatten wir erkannt� dass die Emp�

fangsfrequenz bei Entfernung kleiner� bei Ann�aherung dagegen gr�o er als die Sen�defrequenz ist� Dieses Ph�anomen ist Ausdruck des relativistischen Dopplere�ektes�der � z�B� in der Astronomie � eine �uberragende Rolle spielt�

�� Der Dopplere�ekt

� Ein Sender sende im Abstand T� Lichtsignale aus� In welchem zeitlichen Abstand T

kommen diese Signale bei einem Beobachter B an� auf den sich der Sender mit derGeschwindigkeit v zubewegt��

� F�ur B ist die Zeit im Ruhesystem des Senders um den Faktor �p��

gedehnt�

F�ur ihn sendet der Sender im gr�o eren Abstand

T � �T�

Jedes Signal muss wegen der Ann�aherung des Senders an den Empf�anger eineum vT kleinere Distanz durchlaufen� Es kommt deshalb um #T � T fr�uheran�

Zwischen dem Empfang zweier Signale vergeht also f�ur B die Zeit

TE � T �#T � �� T �� p��

T�

�� TE � T�

s��

� � ��

��Das war Hausaufgabe�


� Die Frequenz f des ankommenden Signals ist also gr�o er als die des Senders f��

f � f�

vuut� � �

�� relativistischer Dopplere�ekt ��

� Wie man sich leicht �uberlegen kann� ist diese Formel auch richtig� wenn sich derSender entfernt � ��

� Wegen des Relativit�atsprinzips mu bei Licht� anders als bei Schall� der sich imMedium Luft ausbreitet� nicht zwischen bewegter Quelle und bewegtem Empf�angerunterschieden werden�

Aufgabe Leiten Sie die Formeln f�ur den akustischen Doppler�E�ekt f�ur den Falldes bewegten Senders und den des bewegten Empf�angers her

� Bei sich entfernender Lichtquelle wird also die Frequenz zu niedrigeren Werten�die Wellenl�ange also zu gr�o eren Werten verschoben� Diese so genannte Rotver�schiebung wird in der Astronomie zur Geschwindigkeitsmessung � und damit zurEntfernungsbestimmung� � benutzt�

f �

f ��

��

� � ��

f �� f �

f �� f ��

f��

f��

f��

f��

��

� F�ur � � vereinfacht sich die Formel f�ur den Dopplere�ekt zu

f � f��

��

�� f�

also

� � � �� f � f�

f��

� Bei der Analyse des Zwillings�Paradoxons mit Hilfe von Funksignalen Abb� ��S� �� ergab sich� dass die Empfangsfrequenz bei Ann�aherung um den Faktor �gr�o er� bei Entfernung um denselben Faktor kleiner als die Sendefrequenz war� Die�ses Ergebnis kann nach Gleichung �� als Dopplere�ekt interpretiert werden�

��

��

s� �

��

s��

� � �

�

�

��mit Hilfe des Hubble�Gesetzes� das bei kosmischen Entfernungen eine Proportionalit�at zwischenFluchtgeschwindigkeit und Entfernung postuliert


Bei der Behandlung des Dopplere�ektes hat sich gezeigt� dass der E�ekt der Zeitdila�tation bei Relativbewegung im Allgemeinen �uberlagert wird durch die endliche und sich�andernde � Laufzeit der Signale zwischen Sender und Empf�anger� Bei der Rotverschiebungf�uhrt dieser E�ekt dazu� dass die registrierte Frequenzver�anderung �� gr�o er ist als nachGleichung �� Seite �� f�ur die Zeitdilatation erwartet� Bei Ann�aherung zwischen Senderund Empf�anger wird der E�ekt sogar in sein Gegenteil verkehrt�

Trotz Zeitdilatation wird eine erh�ohte Frequenz registriert�

In den folgenden Kapiteln wird der Ein�uss der Lichtlaufzeit auf den E�ekt derL�angenkontraktion untersucht� Allgemeiner werden wir die durch die Lichtlaufzeit hervor�gerufene scheinbare Form� und Geschwindigkeits�anderung untersuchen� Dabei wird sichzeigen� dass die meisten E�ekte bereits in der klassischen� nichtrelativistischen Physikh�atten erwartet werden k�onnen�

�� Retardierung

Bei der Vermessung eines Gegenstandes werden die Koordinaten seiner Begrenzung gleich�zeitig bestimmt� Bei der Beobachtung oder Fotogra�e eines bewegten Gegenstandes wirddagegen Licht registriert� das gleichzeitig ins Auge oder in die Kamera einf�allt� Wegen derunterschiedlichen Laufzeit des Lichtes von verschieden weit entfernten Teilen des beobach�teten Gegenstandes ist dieses Licht jedoch nicht gleichzeitig vom Gegenstand ausgesendetworden�

Bei einem sich bewegenden Gegenstand f�uhrt dieser Umstand dazu� dass die Teile desGegenstandes nicht nur zu verschiedenen Zeiten� sondern auch an verschiedenen Positio�nen des Gegenstandes abgebildet werden�

Die verschiedenen Teile eines sich bewegenden Gegenstandes werden bei derBeobachtung zu unterschiedlichen Zeiten in der Vergangenheit abgebildet �Retardierung�

�� Scheinbare Geschwindigkeit

Wenn sich ein Gegenstand direkt auf die Kamera zubewegt� verk�urzt sich die Laufzeit desvon ihm ausgesendeten Lichtes zur Kamera zunehmend� � Die an zwei unterschiedlichenOrten x� und x� im zeitlichen Abstand tS� � tS� ausgesendeten Lichtsignale kommendadurch mit einem geringeren Zeitunterschied tE�

� tE�beim Beobachter an� F�ur ihn

scheint deshalb die Geschwindigkeit vS des K�orpers gr�o er zu sein als die tats�achlicheGeschwindigkeit v�

vS �x� � x�

tE�� tE�

�x� � x�

tS� � tS�� v bei Abstandsverringerung�

Entsprechend ergibt sich eine verkleinerte scheinbare Geschwindigkeit� wenn sich derGegenstand vom Beobachter entfernt�

In Abbildung �� sind die Weltlinie eines sich schnell bewegenden Gegenstandes unddrei seiner Positionen eingetragen� Zwischen den Ereignissen � und � vergeht die Zeit #t�zwischen dem Empfang der beiden entsprechenden Signale jedoch nur die Zeit

��Genau dieser E�ekt beein�usste bereits den Dopplere�ekt�


x�m�

ct�m�

��

��

��

��

��

r

� r

�

r�

�c�t

�v�t

c�t

v�t

Abbildung �� Weltlinie eines Gegenstandes� der sich direkt am Beobachter bei x � �vorbeibewegt� Eingezeichnet sind zwei Lichtsignale� die der Gegenstand von � bzw� � auszum Beobachter sendet�

#t� �c#t� v#t

c� �� #t�

Entsprechend gilt f�ur den Empfang der Signale von � und ��

#t� �c#t � v#t

c� � � �#t�

Bei der Beobachtung eines sich n�ahernden�entfernenden K�orpers ergibt sichdie folgende scheinbare Geschwindigkeit�

vS ��

�� v ��

Dabei gilt das negative Vorzeichen f�ur Ann�aherung� das positive f�ur Entfernungdes Gegenstandes vom Beobachter�

Bei Ann�aherung mit halber Lichtgeschwindigkeit scheint der Gegenstand bereits mitvoller Lichtgeschwindigkeit heranzukommen s� Abb� �� N�ahert sich seine Geschwindig�keit der Lichtgeschwindigkeit� dann strebt seine scheinbare Geschwindigkeit gegen unend�lich� Der Gegenstand ist pl�otzlich da� ohne vorher beobachtet worden zu sein

Entfernt sich der Gegenstand� ist seine scheinbare Geschwindigkeit gr�o er als die H�alfteder tats�achlichen Geschwindigkeit�


Abbildung �� Ein W�urfel bewegt sich mit � �� auf die Kamera zu� Zwischen denbeiden Bildern hat er tats�achlich ��m zur�uckgelegt� Da die Gr�o e der Kacheln ��m��mbetr�agt� scheint er ��m zur�uckgelegt zu haben�

�� Unsichtbarkeit der L�angenkontraktion

Bei der Beobachtung ausgedehnter K�orper treten im Wesentlichen drei E�ekte auf�

�� L�angen�anderung bei Abstands�anderung

Wenn sich ein Stab in L�angsrichtung auf einen Beobachter zubewegt� ist das Lichtvom Stabende l�anger zum Beobachter unterwegs als Licht vom Stabanfang� DasStabende wird also an einer fr�uheren Position abgebildet als der Stabanfang� DerStab erscheint also l�anger� als er gemessen w�urde� Aus demselben Grund erscheintein sich entfernender Stab verk�urzt�

Es wird hier nur das Ergebnis mitgeteilt� Seine Ableitung ist Gegenstand der heu�tigen �Ubung�

Ein sich n�ahernder bzw� entfernender Stab erscheint bei Beobachtung durchdie endliche Laufzeit des Lichtes gegen�uber der gemessenen L�ange l verl�an�gert bzw� verk�urzt�

lS ��

�� l ��

Im Falle der Ann�aherung erscheint dadurch der Stab trotz der Lorentz�Kontraktion l�anger als in Ruhe� Bei Entfernung wird er durch diesen Ef�fekt zus�atzlich verk�urzt�

lS � l�

vuut��

��

l� �bei Ann�aherung l l� �bei Entfernung

��

Dabei gelten die oberen Vorzeichen f�ur Ann�aherung� die unteren f�ur Ent�fernung�


Abbildung �� Die scheinbare Verl�angerung bei der Beobachtung eines herankommendenK�orpers rechts� � �� wird nur sichtbar bei direktem Vergleich mit ruhenden Ver�gleichsgegenst�anden Bodenkacheln� W�urfel links�� Ohne einen solchen Vergleich erscheintder K�orper eher verzerrt�

Eine genauere Analyse zeigt� dass die eben abgeleitete scheinbare Verl�angerung beider Beobachtung eines herankommenden K�orpers durch perspektivische Verk�urzungund andere Verzerrungen nahezu unbeobachtbar wird s� Abb� ��

�� Drehung bei Vorbei�ug

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden� dass die L�angenkontraktion auch bei einemVorbei�ug� bei dem Bewegungsrichtung und Blickrichtung senkrecht zu einandersind� unbeobachtbar bleibt�

Ein K�orper� der sich in y�Richtung bewege� werde in x�Richtung beobachtet� Erhabe in seinem Ruhesystem die Breite #y� � b�� die H�ohe #z� � h� und die Tiefe#x� � t�� In der Zeit #t� in der sich das Licht von der f�ur den Beobachter� hinterenFl�ache zur vorderen fortp�anzt #t � h

c� h�

c�� bewegt sich der K�orper um #y �

v#t � h� weiter� Die in Bewegungsrichtung hintere Seiten��ache ist also mit einerBreite h� zu sehen s� Abb� ��

Ist der K�orper gen�ugend weit entfernt� sind alle Teile der Vorder��ache gleich weitvom Beobachter entfernt� spielen Laufzeite�ekte f�ur ihre Beobachtung also keineRolle� Die Vorder��ache wird jedoch durch die Lorentz�Kontraktion in Bewegungs�richtung um den Faktor � verk�urzt� Sie wird also mit einer Breite b�

p�� gesehen�

Verk�urzung der Vorderseite und Sichtbarkeit der geometrisch unsichtbaren Seiten��ache lassen den Gegenstand nicht verk�urzt� sondern verdreht erscheinen

Bei der Beobachtung eines in gro�er Entfernung senkrecht zur Blickrich�tung vorbeikommenden K�orpers erscheint dieser nicht in Bewegungsrich�tung verk�urzt� sondern gedreht� Der Drehwinkel ist dabei gegeben durch

�� FEBRUAR �� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��Aufsicht im Ruhesystem Ansicht

bp��

h

t�b cos�

b

t sin��

t �

�ktive Aufsicht

b

t

Abbildung �� An� und Aufsicht eines Quaders� der sich in gro er Entfernung senkrechtzur Blickrichtung am Beobachter vorbeibewegt� Der Quader scheint um � arcsin gedreht zu sein�

� � arcsin� ��

�� Sichtbarkeit von geometrisch verdeckten Seiten��achen

Jeder Punkt der ideal matten Fl�achen eines K�orpers strahlt in seinem Ruhesystemisotrop nach allen Seiten Licht ab Abb� �� links�� In einem Bezugssystem� in demsich der K�orper bewegt� wird die Isotropie jedoch durch die relativistische Lichtab�erration gest�ort Abb� �� rechts��

Dabei ist der �O�nungswinkel � des Lichtkegels durch Gleichung �� gegeben� Nuraus Blickwinkeln � die gr�o er als dieser Grenzwinkel sind� kann die Vorderseite �in der Abbildung ist das die linke � gesehen werden�

tan � � � p

�� sin � ��

Daf�ur ist aber f�ur Blickwinkel� die gr�o er als dieser Grenzwinkel sind� die in Bewe�gungsrichtung hintere Seite� in der Abbildung also die rechte� zu sehen siehe auchAbb� ��

Dieses Ergebnis kann leicht auch klassisch verstanden werden� Da der K�orper demnach vorn ausgesendeten Licht nachl�auft� kann sich dieses nur dann von der Vor�derseite l�osen� wenn die Komponente der Lichtgeschwindigkeit in Richtung der Be�wegung des Gegenstandes gr�o er als dessen Geschwindigkeit ist� d�h� wenn es untereinem Winkel abgestrahlt wird� f�ur den gilt�

��Bei der Berechnung der transformierten Strahlrichtungen wurde die Verallgemeinerung von Gleichung �� benutzt� die auf dieselbe Weise und ebenso einfach abzuleiten ist siehe z�B� Resnick �� S� ��

tan� �sin��

cos� ��


Abbildung �� Seitlicher Vorbei�ug einer Kamera an einem W�urfel mit yKamera� ��

Der W�urfel be�ndet sich ��m vor und ��m links von der Kamera��

Ruhesystem des W�urfels Ruhesystem des Beobachters

�v

�

Abbildung �� Abstrahlung von Punkten der Ober��ache eines Quaders in seinem Ruhe�system links� und in einem Bezugssystem� in der er sich mit der Geschwindigkeit � ��nach links bewegt�


Abbildung �� Nach dem Vorbei�ug wird die R�uckseite des W�urfels sichtbar� obwohl dieKamera nach vorn gerichtet ist� Der rote Punkt zeigt den Fu punkt der Kamera�

sin �v

c�

Die R�uckseite wird sichtbar� wenn der K�orper dem sich ausbreitenden Licht schnellgenug Platz macht� Das ist aber gerade f�ur alle Winkel der Fall� die gr�o er als dieserGrenzwinkel sind

�� Verformung

Kommt ein Stab quer zur L�ange auf einen Beobachter zu� dann ist die Lichtlaufzeit vonden verschiedenen Teilen des Stabes zum Beobachter unterschiedlich� Sie werden deshalbzu verschiedenen Zeiten in der Vergangenheit abgebildet� Dadurch entsteht eine scheinbareKr�ummung� von der gezeigt werden kann� dass es sich um eine Hyperbel handelt s� �Ubung�S� �� Die hyperbelartige Verformung ist in Abbildung �� deutlich an den Kanten desW�urfels zu erkennen�

�� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes

In den vorangehenden Abschnitten wurde die Farbe des bewegten Objektes gegen�uberder des ruhenden Objektes unver�andert gelassen� d�h� es wurde der Doppler�E�ekt nichtber�ucksichtigt� Tats�achlich jedoch �andert sich die Frequenz des empfangenen Lichtes � unddamit die wahrgenommene Farbe des beobachteten Gegenstandes � bei den betrachtetenhohen Geschwindigkeiten drastisch

Um den Ein�uss des Doppler�E�ektes ber�ucksichtigen zu k�onnen� muss das Ergebnis�� verallgemeinert werden� Das Ergebnis siehe z�B� Resnick �� S� �� soll hier nurmitgeteilt werden�


Abbildung �� Hyperbelf�ormige Verformung der Kanten eines vorbei�iegenden W�urfels � ��

Bei relativer Bewegung zwischen Lichtquelle und Empf�anger �andert sich dieWellenl�ange �� der Quelle gem�a�

allgemeiner relativistischer Doppler�E�ekt

� � �� er � �evp

��

�� cos�p��

� ��

Dabei sind �er und �ev die Richtungsvektoren des einfallenden Lichtes und derGeschwindigkeit der Quelle relativ zum Empf�anger und der von ihnen ein�geschlossene Winkel�

Wenn Quelle und Empf�anger sich direkt aufeinander zubewegen oder voneinanderentfernen� ist �er � �ev � �� und �� geht in das fr�uher gewonnene Ergebnis �� uber�

Die wahrgenommene Farbe h�angt also von der Beobachtungsrichtung ab� Bei hohenGeschwindigkeiten kann das dazu f�uhren� dass der Gegenstand �uberhaupt nur in einembeschr�ankten Winkelbereich wahrgenommen werden kann� F�ur kleinere Winkel d�h� mehrin Vorw�artsrichtung� ist das ankommende Licht zu kurzwellig� f�ur gr�o ere Winkel zulangwellig� um mit den Augen wahrgenommen zu werden� Dieser Winkelbereich de�nierteinen Kegel� der auf Netzhaut oder Film einen Ring erzeugt� der � �ahnlich wie beimHaupt�� Regenbogen � innen blau und au en rot gef�arbt ist s� Abb� �� und ��

�� Ubung

�� Scheinbare Geschwindigkeit eines sich entfernenden K�orpers

Aufgabe Leiten Sie aus dem Minkowski�Diagramm in Abb� �� die scheinbare Geschwin�digkeit eines sich entfernenden Gegenstandes ab


Abbildung ��Albert Einstein � durch relativistische Retardierung verformt aus der

Examensarbeit von R� Thiel�


Abbildung ��Einstein � ohne oben� und mit unten� Doppler�E�ekt relativistisch

retardiert � �� Die Originalbilder in Farbe sind wesentlich eindrucksvoller�


Lochkamera

�c

�v

�c�

retardierter K�orper K�orper zum Aufnahmezeitpunkt

Abbildung �� Raycasting unter Ber�ucksichtigung der Lichtlaufzeit� Statt den einfallendenLichtstrahl �c bis zum Schnittpunkt mit dem retardierten K�orper zur�uckzuverfolgen �dessen Position nicht bekannt ist �� wird der Schnittpunkt des durch �c� � �c��v de�nierten

�Lichtstrahles mit dem K�orper zum Zeitpunkt der Aufnahme berechnet�

�� Scheinbare L�angen�anderung bei Abstands�anderung

Aufgabe Leiten Sie mit Hilfe des Minkowski�Diagrammes die scheinbare Verk�urzungeines Stabes ab� der in L�angsrichtung auf einen Beobachter bei x � � zukommt Aufgabe �Andern Sie die Argumentation so ab� dass Sie die scheinbare Verk�urzung einesStabes erhalten� der sich von Ihnen entfernt

�� Hyperbelartige Verformung

Aufgabe Zeigen Sie� dass die scheinbaren Punkte x� y�� z�� bei einem fotogra�ertenherankommenden senkrechten Stab x � x�� l

�� z � l

�� auf einer Hyperbel liegen� und

diskutieren Sie die Eigenschaften dieser Hyperbel

�� Visualisierung von Laufzeite�ekten durch Raycasting

Bei der Erzeugung von Bildern oder Filmen� die die Ansicht schnell bewegter K�orper unterBer�ucksichtigung der Lichtlaufzeit darstellen� wird das so genannte Raycasting�Verfahrenangewendet� Ein in eine Kamera einfallender Lichtstrahl wird zur�uckverfolgt� bis er miteinem sich bewegenden� K�orper

�kollidiert s� Abb� �� Der Punkt des Filmes� der von

der Verl�angerung dieses Lichtstrahles getro�en wird� erh�alt die Farbe des K�orpers an derStelle des Schnittpunktes� Dabei wird das Auge des Beobachters der Einfachheit halberdurch eine Lochkamera ersetzt� die den Vorteil hat� keine Abbildungsfehler zu erzeugen��

Im Einzelnen besteht die Herstellung eines Filmes aus vielen Schritten�

�� Abtasten aller Punkte des Filmes� genauer� aller Bildschirmpixel in der Regel��&�� die den Film darstellen� F�ur jeden dieser Punkte sind die folgenden Schrit�te durchzuf�uhren�

�Hier m�ussen Kenntnisse aus der linearen Algebra aufgefrischt werden� Berechnung des Schnittpunkteszwischen Ebene genauer� Rechteck� im Raum und Gerade�

�Hier sind Kenntnisse aus der projektiven Geometrie von Vorteil� Zentralprojektion�


a� Berechnung der Richtung des Vektors �c des einfallenden Lichtes�

b� Berechnung des zugeh�origen�avancierten Vektors �c� � �c� �v s� Abb� ��

c� Berechnung der Schnittpunkte zwischen �c� und allen Fl�achen des K�orpers zumZeitpunkt der Aufnahme�

d� Auswahl des der Kamera am n�achsten liegenden Schnittpunktes und

e� F�arbung des Filmpunktes mit der Farbe der entsprechenden Fl�ache�

�� Berechnung solcher Bilder f�ur langsam sich �andernde Werte des Abstandes zwischenKamera und Gegenstand zwischen �� und �� Bilder��

�� Erzeugung eines MPEG�Filmes aus den im GIF�Format abgespeicherten Bildern�

�� Demonstrations�lme

Es wurden die folgenden Filme gezeigt�

FilmTW��mpg Herannahender und vorbei�iegender W�urfel mit � �� R� Thiel�

FilmTW��mpg Herannahender und vorbei�iegender W�urfel mit � �� R� Thiel�

FilmTW��mpg Quer vorbei�iegender W�urfel mit � �� R� Thiel�

FilmTE��mpg Fahrt durch�ALBERT EINSTEIN mit � �� R� Thiel�

FilmTE��mpg Fahrt durch�ALBERT EINSTEIN mit � �� R� Thiel�

FilmTE��mpg Vorbeifahrt an�ALBERT EINSTEIN mit � �� R� Thiel�

FilmTE��mpg Flug diagonal durch�ALBERT EINSTEIN mit � �� R� Thiel�

doppler�mpg Fahrt durch�EINSTEIN mit � �� unter Ber�ucksichtigung des Doppler�

E�ektes U� Backhaus�

�� FEBRUAR �� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��

�� Februar �� Die Masse in der Relativit�atstheorie

�� Wiederholung

Lichtlaufzeite�ekte in der Relativit�atstheorie�

� Messung und Beobachtung sind grunds�atzlich verschieden�

� Lichtlaufzeit bewirkt Blick in die Vergangenheit � und zwar unterschiedlich tief f�urverschieden weit entfernte Teile eines sich schnell bewegenden K�orpers�

� Dadurch hervorgerufene E�ekte sind insbesondere

� Geschwindigkeits�anderung�

� L�angen�anderung bei sich n�ahernden bzw� sich entfernenden Objekten�

� Drehung bei vorbei��iegenden Objekten�

� dadurch evtl� sichtbare R�uckseite der Objekte�

� hyperbelartige Verformung geradliniger Kanten�

� Ver�anderung der Farbe � und eventuelles Unsichtbarwerden � durch den Doppler�E�ekt�

�� Lichtlaufzeite�ekte in der klassischen Physik

Es k�onnte der Eindruck entstanden sein� die in den vorangehenden Abschnitten behandel�ten E�ekte seien Ergebnisse der Relativit�atstheorie und tr�aten in der klassischen Physiknicht auf� Das Gegenteil ist richtig� Alle besprochenen E�ekte gibt es auch in der klas�sischen Physik� sofern nur die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes ber�uck�sichtigt wird� Es sind lediglich zwei Unterschiede zu beachten�

�� In der klassischen Physik muss zwischen den F�allen

� bewegter Gegenstand bzw�

� bewegter Beobachter

unterschieden werden�

Im Falle des gegen den �Ather� bewegten Beobachters ist die Lichtgeschwindigkeitdurch klassische Geschwindigkeitsaddition zu modi�zieren�

�� Im Falle der klassischen Physik gibt es� anders als in der Relativit�atstheorie� keineLorentz�Kontraktion�

Es sollen hier nur die wichtigsten Ergebnisse der Untersuchung von Lichtlaufzeite�ek�ten in der klassischen Physik aufgez�ahlt werden� Fast alle davon lassen sich durch einfacheModi�kation der in den entsprechenden Abschnitten dargestellten Argumentation gewin�nen�

� Die scheinbare Geschwindigkeit bei Verringerung bzw� Vergr�o erung des Abstandeszwischen Gegenstand und Beobachter


Abbildung �� Vergleich der scheinbaren Verl�angerung eines herannahenden W�urfels nachklassischer links� und relativistischer Rechnung� Das Bild verdeutlicht auch die �uberein�stimmende Verformung der W�urfelkanten�

� ist bei sich bewegendem Gegenstand ebenfalls durch die Gleichung �� gege�ben�

� bei bewegtem Beobachter statt dessen durch

vS � � �v� ��

Beim Herannahen w�are die scheinbare Geschwindigkeit also kleiner� beim Ent�fernen gr�o er� als sich aus der Relativit�atstheorie ergibt�

� Die scheinbare Verl�angerung beim Herannahen eines Gegenstandes ist wegen der feh�lenden L�angenkontraktion deutlicher sichtbar als in der Relativit�atstheorie s� Abb� ��

� Die scheinbare Drehung eines senkrecht zur Blickrichtung vorbei�iegenden Gegen�standes wird zu einer Scherung� da die L�angenkontraktion in Bewegungsrichtungentf�allt Abb� ��

� Die hyperbelartige Verformung von Kanten kam ohne die L�angenkontraktion zu�stande� Sie tritt in der klassischen Physik ebenso auf� wenn auch bei bewegterKamera durch die ver�anderte Lichtgeschwindigkeit in etwas abge�anderter Gestalts� Abb� ��

� Die Dopplerverschiebung der Wellenl�ange f�uhrt zu ganz �ahnlichen Erscheinungenwie in der Relativit�atstheorie� wenn auch quantitativ bei anderen Geschwindigkeitenund Winkeln�

Die E�ekte werden in den Abbildungen �� und �� zusammengefasst und mit denentsprechenden relativistischen E�ekten verglichen�


Abbildung �� Bei klassischer Retardierung erscheint der W�urfel beim Vorbei�ug senk�recht zur Blickrichtung verzerrt� weil keine Lorentz�Kontraktion die Vorder��ache ver�schm�alert�

�� noch einmal relativistische Geschwindigkeitsaddition

Leider haben wir fr�uher die relativistische Geschwindigkeitsaddition nur f�ur den Fall abge�leitet� dass sich der K�orper parallel zur Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssystemebewegt Gleichung �� S� �� F�ur die folgenden �Uberlegungen wird jedoch auch der Falleiner dazu senkrechten Geschwindigkeit ben�otigt� Er sei nun nachgeholt�

Setzt man in die y��Komponente der Bewegungsgleichungen

x� � u�xt�

y� � u�yt�

eines K�orpers� der sich im Bezugssystem S � mit konstanter Geschwindigkeit bewegt� mitHilfe der Lorentz�Transformation seine Koordinaten im Bezugssystem S ein� dann ergibtsich�

y��

u�y

c�

�ct� v

cx

�x�uxt� u�y�

�t� uxv

c�t

�

�� u�y�

�� v

c�u�x � v

� � u�xv

c�

�A t

� u�y�

�� u�x � v

c�

v� u�x

�t


Abbildung ��Albert Einstein � bei � �� durch die endliche Lichtlaufzeit verformt

aus der Examensarbeit von R� Thiel�� oben� relativistische Retardierung bei bewegterKamera f � ��m� Mitte� klassische Retardierung bei bewegter Kamera f � ��m�unten� klassische Retardierung bei bewegtem Schriftzug f � ��m�


Abbildung �� Die Bilder aus Abbildung �� diesmal unter Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes berechnet


� u�y�c�

v� v

c�

v� u�x

t

� u�y�� v�

c�

� � u�xv

c�

t

�u�y

�� u�xv

c�

�tDamit haben wir f�ur die Geschwindigkeit in y�Richtung im Bezugssystem S erhalten�

uy �u�y

�� u�

xv

c�

� relativistische Geschwindigkeitsaddition� ��

Obwohl die Koordinaten senkrecht zur Richtung der Relativbewegung durch die Lorentz�Transformation unver�andert bleiben� gilt das f�ur die Geschwindigkeiten nicht Der Grundwird deutlich� wenn sich der K�orper in S � in y��Richtung bewegt�

uyu�x�� u�y

q��

Alle Vorg�ange in S � laufen� von S aus gemessen� langsamer ab� Deshalb sind auch dieGeschwindigkeiten kleiner

�� Die relativistische Masse

Das Ziel ist die relativistische Verallgemeinerung des klassischen Impulserhaltungssatzes�Dazu wird das spezielle Beispiel eines total inelastischen Sto es zwischen K�orpern gleicherMasse betrachtet� von denen einer vor dem Sto in Ruhe ist�

Im Laborsystem S sieht der Vorgang folgenderma en aus�

��

u� � u

�u� � �

��uG � U

�

� Klassisch nimmt der Impulserhaltungssatz in diesem Fall die folgende Gestalt an�

mu� � mu� � MuG �� mu � m� � �mU �� U �u

��

� Dieses Ergebnis ist jedoch nicht relativistisch invariant� Betrachtet man n�amlichdenselben Vorgang in einem Bezugssystem S �� das sich gegen S mit der Geschwin�digkeit v � u nach rechts bewegt� dann sieht er folgenderma en aus�

� ��

u�� u�

u��

��u�G

�


F�ur die Geschwindigkeit u�G des vereinigten K�orpers ergibt sich nach der relativisti�schen Geschwindigkeitsaddition

u�G �U � v

�� Uvc�

v�u�

U � u

�� Uuc�

� ��

Damit ist aber

�mu�G � �mU � u� � �mu � mu��

Wenn also der Impuls weiterhin wie in der klassischen Mechanik de�niert wird� danngilt der Impulserhaltungssatz also in S� in S � dagegen nicht

� Tats�achlich muss aus Symmetriegr�unden die Geschwindigkeit des vereinigten K�orpersin S � dem Betrage nach eben so gro sein wie in S�

u�G � �U

Damit kann ein Zusammenhang zwischen der Anfangsgeschwindigkeit u und derEndgeschwindigkeit U abgeleitet werden�

�U ��

U � u

�� Uuc�

�� U �U�

c�u � U � u

�� u ��U

� � U�

c�

�� U�

c��

�U

u��

Mit Gleichung �� sind wir in der Lage� die relativistisch die EndgeschwindigkeitU aus der Anfangsgeschwindigkeit u zu berechnen� Wie es sein muss� geht diesesrelativistische Ergebnis f�ur u � c �� U � c in das klassische Ergebnis ��uber�

� Der Impulserhaltungssatz kann also relativistisch nicht invariant formuliert werden�wenn die Masse als konstant vorausgesetzt wird� Wir machen deshalb den folgendenAnsatz�

mu��u � MU��U� ��

nehmen also eine m�ogliche Ver�anderung der Masse mit der Geschwindigkeit in Kauf�


� Zun�achst wollen wir zeigen� dass bei dem Sto � trotz der Ver�anderung der Einzel�massen� die Gesamtmasse erhalten bleibt�

mu� � m��

� MU�

Dazu betrachten wir den Vorgang von einem neuen Bezugssystem S � aus� das sichmit einer Geschwindigkeit v� senkrecht zur Sto richtung� nach unten bewegt� Indiesem Bezugssystem sieht der Sto vorgang folgenderma en aus�

��

��

u

q�� v�

c�

v u�� u�

�

�

u�� v

��

U

q�� v�

c�

��

U �v

Dabei wurde f�ur die Geschwindigkeiten senkrecht zur Relativbewegung der beidenBezugssysteme� hier also f�ur die Geschwindigkeiten in y��Richtung� das Ergebnis�� benutzt� Hier wird eine Konsequenz dieses Ergebnisses besonders deutlich� DieBewegungen in x� und in y�Richtung beein�ussen sich� Oder�

In der Relativit�atstheorie gilt das Unabh�angigkeitsprinzip der Bewegungennicht�

Die y��Komponente der Impulserhaltung nimmt nun die folgende Gestalt an�

mu��v � mv�v � MU ��v

und nach Division durch v�

m�u�� m�v� � M�U �� relativistische Massenerhaltung� ��

Dieses Ergebnis� das wir hier nur f�ur den Fall eines total unelastischen Sto es abge�leitet haben� gilt in Wirklichkeit ganz allgemein�

Bei allen Vorg�angen bleibt die Summe der �relativistischen Massen derbeteiligten K�orper konstant�

F�ur v � � ergibt sich die Behauptung�

mu� � m�� MU� ��


� Einsetzen dieses Ergebnisses in den Ansatz �� ergibt�

mu�u � mu� � m��U

�� mu�u� U� � m��U

�� m��

mu��

u� U

U

�� U

u�Uu

��

�� U�

c�

�� U�

c�

�

vuuuut�� U�

c�

�� U�

c�

��

�

vuuuut�� U�

c�

�� U�

c�� U�

c�

��

vuut�� U�

c�

�U�

u�

�

s�� u�

c�

Damit hat sich ergeben�

m�u� �m�q�� u�

c�

��

Dabei wurde mit m�� durch m� ersetzt� m� ist die so genannte Ruhemasse einesK�orpers� die Masse also� die der K�orper in seinem Ruhesystem besitzt� Nach ��ist die Masse des K�orpers in allen anderen Bezugssystemen gr�o er

� Erg�anzungen�

� Wir haben gezeigt� dass bei dem total unelastischen Sto der Gesamtimpulsin allen Inertialsystemen erhalten bleibt� wenn wir die folgende relativistischeVerallgemeinerung der Impulsde�nition verwenden�

�p � m�v �m��vq�� v�

c�

relativistischer Impuls ��

px �m�vxq�� v�

c�

py �m�vyq�� v�

c�

pz �m�vzq�� v�

c�

��


� Wir haben dieses Ergebnis hier nur f�ur einen ganz speziellen Fall abgelei�tet� Tats�achlich aber gilt es ganz allgemein� Man kann n�amlich mit Hilfe derLorentz�Transformation und der De�nition �� leicht zeigen� dass der Impul�serhaltungssatz in allen Inertialsystemen gelten muss� wenn er in einem gilt�

� Um dieses Ergebnis zu erhalten� musste jedoch der Massenbegri� der klassi�schen Mechanik entscheidend eingeschr�ankt werden� War er dort in gewisserWeise ein Ma f�ur die Quantit�at der Materie� so beschreibt er in der Rela�tivit�atstheorie ausschlie lich das Tr�agheitsverhalten der K�orper � und dieses�andert sich mit der Geschwindigkeit� obwohl die Quantit�at der Materie dieselbebleibt

� Der relativistische Impuls ist zwar ein Vektor� aber seine Komponenten sindnicht von einander unabh�angig in dem Sinne� dass die Gesamtgeschwindigkeitv� � v�x � v�y � v�z in allen drei Komponenten auftritt�

� Wir haben fr�uher gesehen� dass �Uberlichtgeschwindigkeit von Signalen oderK�orpern zum Widerspruch mit dem Kausalit�atsprinzip f�uhrt� Jetzt wird deut�lich� wie in der Relativit�atstheorie das Erreichen der Lichtgeschwindigkeit beimateriellen K�orpern verhindert wird� Mit zunehmender Geschwindigkeit wirddie Tr�agheit des K�orpers immer gr�o er� die Beschleunigung deshalb bei kon�stanter Kraft� immer kleiner� bis sie schlie lich� wenn die Geschwindigkeit gegendie Lichtgeschwindigkeit strebt� gegen Null geht�

� Die Abh�angigkeit der relativistischen Masse von der Geschwindigkeit ist in�zwischen mit sehr hoher Genauigkeit experimentell best�atigt worden � zuerstdurch Ablenkung von Elektronen in magnetischen und elektrischen Feldern��

�� Ubung

� Ableitung und Diskussion der hyperbelartigen Verformung von bewegten St�abendurch die Lichtlaufzeit s� S� ��

� Berechnung der zeitlichen Ableitung der relativistischen Masse��

"m �d

dt

m�q�� v�

c�

�m��

�� v�

c�

��

�

��

�

��v�a

c�

�

�� "m �m�

c��v�ar�

�� v�

c�

��

��siehe auch das Skript zur Vorlesung�Einf�uhrung in die Atomphysik�

��Dabei wird folgende Ableitung benutzt�

d

dtv�

d

dt v�x � v�y � v�z� � vx �vx � vy �vy � vz �vz� �v � �a

�� FEBRUAR �� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ��

�� Februar �� Relativistische Dynamik

�� Wiederholung

� Die relativistische Geschwindigkeitsaddition hat zur Folge� dass das Unabh�angig�keitsprinzip der Bewegungen nicht mehr gilt� obwohl es in der klassischen Mechanikals scheinbar denknotwendig abgeleitet wird� Die Bewegung senkrecht zur Relativ�bewegung der Bezugssysteme h�angt auch von der Geschwindigkeit parallel dazu ab�

� Der Massenbegri� in der Relativit�atstheorie

� Der relativistische Impuls wurde folgenderma en de�niert�

�p � m�v �m��vq�� v�

c�

Diese De�nition wurde so getro�en� dass beim total uneleastischen Sto der Gesamt�impuls in allen Inertialsystemen erhalten bleibt� Tats�achlich gilt dieses Ergebnis ganzallgemein�

�� Das relativistische Kraftgesetz

Die relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Grundgleichung der Mechanik lau�tet�

�F � ��p ��

Erl�auterungen

� Wenn das Gesetz in dieser Form geschrieben wird� erkennt man unmittelbar denrelativistischen Impulserhaltungssatz� Wenn die Kraft Null ist� ist der Impuls kon�stant� Oder� Bei Abwesenheit �au erer Kr�afte ist der Gesamtimpuls konstant�

� Dar�uberhinaus l�asst sich leicht zeigen� dass die �Anderung #�p des Gesamtimpulseseines Systems miteinander wechselwirkender Teilchen gerade gleich dem von den�au eren Kr�aften hervorgerufenen Kraftsto

R �Fdt ist�

Der durch �� eingef�uhrte relativistische Kraftbegri� hat also alle Eigen�schaften� die man von der Kraft erwartet�

� Wegen der nun nicht mehr konstanten Masse ist also nicht mehr �F � m�a� sondern

�F � "m�v � m�a ��


� Das Kraftgesetz �� wird auch durch Experimente best�atigt� Zum Beispiel zeigtsich bei der Beobachtung schneller geladener Teilchen� dass ihre Bewegung durchdie Gleichung

q �E � �v � �B� �d

dt

�� m��vq

�� v�

c�

�A

in der die Konstanten q die elektrische Ladung und m� die Ruhemasse der Teil�chen bezeichnen� korrekt beschrieben wird s� S� �� Tats�achlich erweist sich derAusdruck

�FLorentz � q �E � �v � �B� ��

f�ur die Lorentz�Kraft auf ein geladenes Teilchen als unabh�angig vom Bezugssy�stem��

Wie in der �Ubung gezeigt wurde� gilt f�ur die zeitliche Ver�anderung der relativistischenMasse Gleichung �� S� ��

"m �m�

c��v � �ar�� v�

c�

��Wenn die Kraft senkrecht auf der momentanen Geschwindigkeit steht� ist das Skalar�

produkt �v � �a gleich Null und damit "m � �� Damit wird aus ��

�F�F��v� m�a �

m��aq�� v�

c�

��

Wirkt dagegen die Kraft in Bewegungsrichtung �v � �a � va�� dann ist "m � � und ��wird zu

�F � m�"�v

��

v�

c�� v�

c�

��

�

��

�� v�

c�

� �

�

��

Daraus ergibt sich schlie lich�

�F�Fk�v�

m��ar�� v�

c�

��

Vergleich der Gleichungen �� und �� zeigt� dass dieselbe Kraft unterschiedlicheBeschleunigungen hervorruft� je nachdem ob sie parallel oder senkrecht zur momentanenGeschwindigkeit wirkt� Dieser Umstand wurde in der Fr�uhzeit der Relativit�atstheoriedadurch beschrieben� dass man K�orpern eine transversale Masse und eine longitudinaleMasse zuschrieb�

��Das gilt allerdings nicht f�ur die elektrischen und magnetischen Summanden einzeln�


�� Beispiel Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung

Bei einem Raumschi� wird der Schub so eingestellt� dass die Besatzung in ihrem momen�tanen Ruhesystem � eine konstante Beschleunigung in Bewegungsrichtung von a � g ��m

s�erf�ahrt und sich dadurch im Raumschi� wie im Schwerefeld der Erde bewegen kann�

� In der klassischen Mechanik f�uhrt ergibt sich daraus eine gleichm�a ig beschleunigteBewegung� die dazu f�uhrt� dass die Geschwindigkeit des Raumschi�es nach der Zeit

t� �c

g�

� � ��ms

��ms�

� � � �� s � �a

Lichtgeschwindigkeit erreichen� Raumschi� also von diesem Zeitpunkt an mit �Uber�lichtgeschwindigkeit �iegen w�urde�

� Da der Schub parallel zur Geschwindigkeit nach vorn wirkt� ergibt sich die Bewegungdurch Integration von ��

Z t

�

F

m�dt �

Z t

�

"vdt�� v�

c�

��

�

Fm�

�g

�� gt �Z v�t�

�

dv�� v�

c�

� �

�

�v�

�� v�

c�

� �

�

��

Das dabei auftretende Integral kann in einer Formelsammlung z�B� Bronstein ��nachgesehen� aber auch selbst gel�ost�� oder zumindest durch Di�erentiation von�� uberpr�uft werden�

�� Z v

dv�� v�

c�

� ��

c

Z arcsin vc

dx

cos� x Substitution�

v

c sinx � dv c cosxdx�

c

Zsin� x� cos� x

cos� xdx

c

Z � � tan� x�dx

c

Zdx� c

Zsinx

cos� xsinxdx

c

Zdx� c

��

cosxsinx

�� c

Zdx partielle Integration�

jc tanxjarcsin v

c

�� c sinxp�� sin� x

��arcsin v

c

vq

�� v�

c�


L�ost man die Beziehung �� zwischen der Zeit und der Geschwindigkeit nach derGeschwindigkeit auf� dann ergibt sich�

gt�� v�

�� v�

c�

�� v��

� �gt��

c�

�� gt��

�� v �gtq

� � �gt��

c�

��

Abbildung �� zeigt oben die zeitliche Zunahme der Geschwindigkeit�

� Mit dem Ergebnis �� ist es nun auch m�oglich� den Reiseweg zu berechnen��

x �Z t

�vdt

�Z t

�

gtdtr� �

�gt

c

��

�c�

g

��s

� ��gt

c

��

�A

Abbildung �� zeigt unten den zeitlichen Verlauf dieser Funktion�

� Diskussion

� Die Geschwindigkeit �� ist immer kleiner� als man nach klassischer Rechnungerwarten w�urde� v � gt�

� Strebt die Zeit gegen unendlich� dann strebt die Geschwindigkeit gegen c�

� Nach einem Jahr betr�agt die Geschwindigkeit erst

vgt� � c� �cp

� � �� c

Zu diesem Zeitpunkt betr�agt die kinetische Energie des Raumschi�es nach dersp�ater abgeleiteten Gleichung �� bereits ��% der Ruhemasse

��Auch dieses Integral kann man in einer Formelsammlung nachschlagen oder selbst berechnen�Z t

gtdtq� �

�gt

c

��

g

Z gt

xdxq� � x�

c�

Substitution� x gt � dx gdt�

c�

g

Z sinh�� gt

c

sinhudu Substitution� x c sinhu � dx c coshudu�

c�

gcoshu

��sinh

�� gt

c

c�

g

��s� �

�gt

c

��

� �

�A wegen coshu

p� � sinh� u�


� �

t�a�

�

�

vc

klassische Rechnung

relativistische Rechnung

� �

x�Lj�

�

�

ct�Lj�

klassische Rechnung


Abbildung �� Weltraum�ug mit konstanter lokaler� Beschleunigung a � g� Zunahmeder Geschwindigkeit oben� und zur�uckgelegter Weg unten� nach klassischer und relati�vistischer Rechnung


�� Die kinetische Energie

� Die kinetische Energie wird in der Relativit�atstheorie wie in der klassischen Mecha�nik de�niert durch

Ekin �Z �s

�

�F � d�s �Z �s

�

"�p � d�s� ��

� In der klassischen Mechanik folgt daraus�

Ekinklass� � m

Z t

�

"�v � �vdt �m

�

Z t

�

dv�

dtdt �

m

�

Z v�

�dv��

m

�v�

� In der Relativit�atstheorie ergibt sich stattdessen�

Ekin �Z �s

� "m�v � m "�v�d�s

�Z t

� "mv� � m�v � "�v�dt ��

Um dieses Integral l�osen zu k�onnen� formen wir den Zusammenhang �� zwischender relativistischen Masse und der Geschwindigkeit um�

m �m�q

�� v�

c�

�� m�c� �m�v� � m��c

�

�� m "mc� � �m "mv� � �m��v � "�v � �

�� "mc� � "mv� �m�v � "�v � �

�� "mv� � m�v � "�v � "mc� ��

Mit �� kann nun aber das Integral in �� leicht ausgewertet werden�

Ekin � c�Z t

�"mdt �

Z m

m�

dm

Damit hat sich f�ur die relativistische kinetische Energie der folgende Ausdruck er�geben�

Ekin � mc� �m�c� ��

� Diskussion


� Wie es sein muss� geht dieser Ausdruck f�ur v � c in den klassischen Ausdruck�uber�

Ekin � mc� �m�c� � m�c

�

�� q

�� v�

c�

� �

�� v�c� m�c

�

��

�

�

v�

c��

��m�

�v�

� Wenn die Geschwindigkeit gegen c geht� wird die kinetische Energie unendlichgro �

v � c �� Ekin �� In relativistischen Problemen ben�otigt man h�au�g den Zusammenhang zwi�

schen Energie und Impuls� Er kann folgenderma en abgeleitet und veranschau�licht werden�

�Ekin � m�c

��

� m�c�

�m�

�c�

��

� m��c

�

��

�

��

�

�� mc�� Ekin � m�c

��

� m�c�� pc��

Diese Relation l�asst sich an Hand eines rechtwinkligen Dreieckes veranschauli�chen�

m�c�

pcmc�

m�c�

Ekin

Je gr�o�er der Impuls eines K�orpers� desto kleiner ist der Anteil derRuheenergie m�c

� an seiner Gesamtenergie E�

� F�ur kleine Geschwindigkeiten geht diese Beziehung in die klassische Beziehungzwischen kinetischer Energie und Impuls �uber�

� � �� Ekin � mc� �m�c�


� � � �Ekin

m�c�

�

�


klassische Rechnung

Abbildung �� Der Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Geschwindigkeit

� m�c�

��

�

��

�

�m�

�v� � m�c

�

�� Ekin �p�

�m�

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist also die kinetische Energie sehr viel kleinerals die Ruheenergie m�c

��

� Zwischen der kinetischen Energie und der Geschwindigkeit eines Teilchens bestehtnach �� der folgende Zusammenhang�

Ekin � mc� �m�c�

��

s�� m�c�

m�c� � Ekin

��

Dieser Zusammenhang ist in Abbildung �� dargestellt� Er kann experimentell un�tersucht werden� indem f�ur verschiedene Beschleunigungsspannungen

�� kinetische

Energien� die Geschwindigkeit der Teilchen mit direkten Laufzeitmessungen be�stimmt werden� Solche Experimente wurden in Linearbeschleunigern wiederholtdurchgef�uhrt siehe z�B� Sexl� S� �� Resnick� S� �� Die Ergebnisse standen immerin voller �Ubereinstimmung mit der Vorhersagen der Relativit�atstheorie�

� Der Zusammenhang zwischen der zum Beschleunigen notwendigen Energie einer�seits und der erreichten Geschwindigkeit andererseits verdeutlicht noch einmal dieUnm�oglichkeit� einen materiellen K�orper auf Lichtgeschwindigkeit zu bringen�


�� Die ber�uhmteste Formel der Welt Masse und Energie

� Der Zusammenhang zwischen der relativistischen Masse und der Energie hat sichbereits mehrfach angedeutet siehe z�B� �� und �� Er soll jetzt explizit ge�macht werden�

Dazu wird noch einmal der total unelastische Sto aus Abschnitt �� S� ��betrachtet� der im Laborsystem folgenderma en aussieht�

��

u� � u

�u� � �

��uG � U

�

F�ur die Geschwindigkeit U des vereinigten K�orpers hatten wir dort gefunden�

�U �U � u

�� Uuc�

� ��

� Nun betrachten wir denselben Vorgang aus einem weiteren Bezugssystem S �� in demder vereinigte K�orper nach dem Sto ruht�

��

u��

��

u��

��u�G � �

S � muss sich o�ensichtlich mit der Geschwindigkeit v � U nach rechts gegen S be�wegen� Wegen der Impulserhaltung in S � muss der Gesamtimpuls auch vor dem Sto Null sein� Die beiden Geschwindigkeiten vor dem Sto m�ussen also entgegengesetztgleich sein�

u�� u��

Beide Geschwindigkeiten in S � lassen sich mit Hilfe der relativistischen Geschwin�digkeitsaddition �� S� �� tats�achlich leicht berechnen�

u�� u� U

�� uUc�

�� U� u��

�� U

�� U�

Sie stimmen erwartungsgem�a dem Betrage nach mit der Geschwindigkeit des ver�einigten K�orpers in S �uberein�


� Wir hatten bereits abgeleitet� dass die relativistische Masse bei dem Sto erhaltenbleibt Gleichung �� S� �� In S � muss also gelten�

M � M� � �mU� � �m��

Die Ruhemasse des vereinigten K�orpers ist also gr�o er als die Summe der Ruhemas�sen der beiden Sto partner Daf�ur aber ist kinetische Energie verloren gegangen�der Gesamtk�orper also w�armer als die Sto partner�

Tats�achlich besteht zwischen der Abnahme der mechanischen Energie und der Zu�nahme der Masse ein enger Zusammenhang�

Ekin � ��mU�c� � �m�c

��

� c��mU�� m��

� c� M � �m��

� #Mc��

Man kann diesen Zusammenhang so formulieren� Die Zunahme der Masse entsprichtbis auf einen Faktor c�� der Abnahme an kinetischer Energie� Oder� F�ur die me�chanische Energie gilt einzeln kein Erhaltungssatz� sondern nur dann� wenn dieRuhemasse mit ber�ucksichtigt wird�

vorher� nachher�

Ekin� � �m�c� � Ekin� �M�c

� �� mc� � Mc� ��

� �m � M ��

� Der Satz �uber die Erhaltung der relativistischen� Masse beinhaltet also den Ener�gieerhaltungssatz

Einstein� der zu diesem Ergebnis an einem anderen� aber auch speziellen Beispielgekommen war� verallgemeinerte es zu seinem ber�uhmten Postulat�

Energie und Masse sind zueinander �aquivalent

E � mc� ��

� Schlussfolgerungen

� Weil der Energie� und der Massenerhaltungssatz zusammenfallen� gibt es inder Relativit�atstheorie� statt wie in der klassischen Physik drei� nur zwei Er�haltungss�atze�


Die Erhaltungss�atze der relativistischen Physik

�pA � �pB � �pC � �pD Impulserhaltung ��

EA � EB � EC � ED Energieerhaltung ��

Dabei ist der Impuls �p eines Teilchens durch

�p � m�v �m��vq�� v�

c�

��

gegeben� und seine Gesamtenergie E

E � mc� � m�c� � Ekin ��

ist gleich der Summe aus Ruheenergie m�c� und kinetischer Energie

Ekin � m�c�

�� q

�� v�

c�

� �

�A � ��

� Da Energie und Masse �aquivalent sind� hat die mit Energie in den verschiede�nen Erscheinungsformen verbundene Masse alle Eigenschaften� die ihr bereitsvorher zugeschrieben wurden� Sie ist tr�age� sie ist schwer und sie leistet einenBeitrag zum Massenschwerpunkt eines Systems�

� �Ubertr�agt man die Beziehungen auf Photonen� dann ergeben sich unmittelbarAusdr�ucke f�ur ihre Masse und ihren Impuls�

� Da sich Photonen mit v � c ausbreiten� muss ihre Ruhemasse verschwin�den! denn sonst w�are nach �� ihre relativistische Masse unendlich gro �

m�Photon � � ��

� F�ur die Masse von Photonen ergibt sich mit E � h��

mPhoton �E

c��h

c��

h

c��

Dabei ist h � �� Js die so genannte Plancksche Konstante�

� F�ur den Impuls von Photonen ergibt sich entsprechend�

pPhoton � mv � mc �h

��E

c��

� Energie und Masse k�onnen ineinander umgewandelt werden� wenn dabei dieErhaltungss�atze erf�ullt sind�


� Wenn die Energie eines Photons gr�o er als die doppelte Ruheenergie vonElektronen ist� dann kann es sich in ein Elektron�Positron�Paar umwan�deln Paarbildung�� Man kann aber leicht einsehen� dass bei diesem Vor�gang nur dann Energie� und Impulserhaltungssatz gleichzeitig erf�ullt seink�onnen� wenn an dem Prozess ein weiterer K�orper� in der Regel ein Atom�kern� beteiligt ist� der den �ubersch�ussigen Impuls aufnehmen kann�

� Umgekehrt k�onnen Teilchen und Antiteilchen sich gegenseitig unter Ab�strahlung eines ��Quants vernichten� wenn ein schwerer Kern in der N�aheist Zerstrahlung��

� Bei der Kernspaltung ist die Summe der Ruhemassen der Reaktionspro�dukte kleiner als die der Eingangssto�e� Z�B��

�� U ��

� n � �� Ba ��

� Kr � ��n

Die dabei auftretende Massendi�erenz ist etwa ��mal die Ruhemasse desElektrons� Die Di�erenz wird als kinetische Energie der Reaktionsproduktefrei und f�uhrt bei deren Abbremsung zur Erw�armung der Umgebung�Ein Vergleich zwischen Kernspaltung und Kohleverbrennung verdeutlichtdie Gr�o e des E�ektes�

Bei der Spaltung von �g ��U wird ebenso viel Energie frei wie beider Verbrennung von � Tonnen Kohle�

� Bei der Kernfusion ist umgekehrt die Summe der Ruhemassen der vierWassersto��Kerne gr�o er als die Ruhemasse des entstehenden Helium�Kernes�

��H � ��He � �e� � �

Die fehlende Masse tritt wiederum als �ubersch�ussige kinetische Energiezutage�

�� Ubung Elektronen im transversalen Magnetfeld

� Im magnetischen Feld stehen nach �� Geschwindigkeit und Kraft senkrecht aufeinander� Die Beschleunigung ist deshalb durch �� gegeben und steht senkrechtauf den Feldlinien�

�a ��F

m

� Treten Elektronen so in ein magnetisches Feld mit der Feldst�arke �B ein� dass ihreGeschwindigkeit senkrecht auf den Feldlinien steht� dann liegen Geschwindigkeitund Beschleunigung in einer Ebene� Die Bewegung der Elektronen bleibt also indieser Ebene�

� Da die Beschleunigung senkrecht auf der Geschwindigkeit steht� �andert sich derBetrag der Geschwindigkeit nicht� Damit bleibt auch der Betrag der Beschleunigungkonstant� und die Bewegung ist eine gleichf�ormige Kreisbewegung�


� Die Zentripetalkraft dieser Kreisbewegung ist gerade die Lorentz�Kraft� Es gilt also�

evB �mv�

r

�� r �mv

eB�

p

eB��

Das ist dasselbe Ergebnis� das sich auch in der klassischen Physik ergibt � allerdingsenth�alt die Beziehung nun die relativistische Masse und nicht die klassische Ruhe��Masse�

� Die Elektronen seien durch eine Spannung von U � ��MV beschleunigt worden�ihre kinetische Energie betrage also Ekin � ��MeV � Die Feldst�arke betrage B ��Tesla � � V s

m� �

� Klassisch ergibt sich daraus mit p �p

�m�Ekin�

r �

p�m�Ekin

eB�

�� kgms

eB� �� m

� Relativistisch ergibt sich jedoch�

p�c� ��E�kin � m�c

�� m�c

��

�� p ��

c

qE�kin � �m�c�Ekin

� �� kgm

s�

Dabei ist m�c� � ��MeV die Ruheenergie des Elektrons�

� Damit ergibt sich schlie lich

r �p

eB� �� m�

� Tats�achlich sind die experimentellen Ergebnisse in �Ubereinstimmung mit dem re�lativistischen Ergebnis So untersuchte z�B� bereits �� Bucherer die Ablenkungschneller Elektronen aus dem �Zerfall radioaktiver Kerne� Seine Ergebnisse zeigtdie folgende Tabelle Resnick� S� ��

em

� urB

� in �� Ckg

em�

�� u

rB

q�� v�

c�

�A in �� C

kg

gemessen� gemessen� berechnet��


Die Ergebnisse demonstrieren �uberzeugend� dass nicht der Quotient em

konstant ist�sondern vielmehr der Ausdruck

e

mq

�� v�

c�

�e

m�� const�

� Nun k�onnte die Variation des Quotienten em

ganz oder teilweise auf eine Ver�anderungder Ladung e mit der Geschwindigkeit geschoben werden� Tats�achlich zeigt sichjedoch in der relativistischen Elektrodynamik�

Die Ladung eines K�orpers ist relativistisch invariant� d�h� sie ist in allenInertialsystemen gleich gro��

Dieses Ergebnis ist unmittelbar einleuchtend� Andernfalls k�onnten Atome� in denensich Elektronen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen� nicht elektrischneutral sein� Insbesondere w�are ihre elektrische Neutralit�at nicht unabh�angig vomBewegungszustand

� SCHLUSSBEMERKUNGEN ��

� Schlussbemerkungen

� Wie die letzten Seiten gezeigt haben� ergeben sich aus der relativistischen Dynamik�au erst wichtige Konsequenzen� Leider fehlt die Zeit f�ur deren Behandlung� Ichempfehle daf�ur die in der Literaturliste angegebenen weiterf�uhrenden Werke�

� Hauptziel dieser Veranstaltung war es� ein Verst�andnis der Grundideen der Rela�tivit�atstheorie zu erzeugen und die Teilnehmer in die Lage zu versetzen� weitereStudien auf eigene Faust zu unternehmen� Ich ho�e� dazu Anregungen gegeben zuhaben�

� Bei der Vorbereitung der Vorlesung habe ich besonders viel Gebrauch gemacht vonden B�uchern von Ho�mann� Born� Epstein� Resnick und Sexl� Diese B�ucher ent�halten viele weitere Aspekte� die leider nicht oder zu wenig angesprochen werdenkonnten� insbesondere

� die geometrische Struktur der Raum�Zeit�

� die vierdimensionale Darstellung der relativistischen Dynamik�

� Kern� und Elementarteilchenphysik�

� relativistische Elektrodynamik und

� Grundz�uge der allgemeinen Relativit�atstheorie�

Es lohnt sich� in diesen B�uchern weiterzulesen

� Ursprung und Bedeutung der�ber�uhmtesten Formel der Welt werden in dem Buch

von H� Fritsch �� anschaulich und allgemein verst�andlich dargestellt�

� Der Abschnitt �uber Lichtlaufzeite�ekte in der relativistischen und der klassischenPhysik ist das Ergebnis aktueller �Uberlegungen und Forschungen im Institut sie�he insbesondere die Examensarbeit von R� Thiel �� aber auch die Homepageunter http��www�uni�koblenz�de�backhaus�� Die amerikanische und deutschedidaktische Literatur enth�alt zahlreiche� auch aktuelle� Beitr�age dazu� Die Arbeitenvon U� Kraus �� erm�oglichen einen guten Einstieg in die Diskussion�

Ich suche Studenten und Studentinnen� die Interesse daran haben� im Rah�men ihrer Examensarbeit weitere Aspekte dieser Ph�anomene zu untersu�chen�

Ich w�unsche sch�one Semesterferien�

� ANHANG ��

� Anhang

�� Roemers Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit

�� Einleitung

Mi t man um die Zeit der Jupiteropposition die Umlaufzeit des Jupitermondes Io� dannkann man feststellen� da sich die folgenden Austritte dieses Mondes aus dem Jupiter�schatten w�ahrend des n�achsten halben Jahres bis zur Konjunktion von Jupiter immermehr versp�aten� Nach der Konjunktion treten die Ver�nsterungen dagegen immer fr�uherein� R�omer erkannte in dieser Erscheinung einen Lichtlaufzeite�ekt� der auf dem sich�andernden Abstand zwischen Erde und Jupiter beruht� und bestimmte daraus den erstenWert f�ur die Lichtgeschwindigkeit siehe z�B� R�omer��

Heute� da die Lichtgeschwindigkeit bereits auf dem Labortisch gemessen werden kann�kann der E�ekt umgekehrt benutzt werden� die Astronomische Einheit zu messen Quast�Neumann�� Als

�Beobachtungsdaten werden in dieser Aufgabe die Angaben benutzt� die

man einem astronomischen Kalender Ahnert� f�ur die Zeitpunkte der SchatteneintritteVA� bzw� der Ver�nsterungsenden VE� des innersten Galileischen Mondes Io entneh�men kann�

�� Etwas Theorie

ppppp

pppppppppppppp p p p p p p p p p p p pp pp pp�

Sonnex

Jupiter

rIo

uErde t��

��d�

uErde t��

��

d�

Abbildung �� Zur Messung der Astronomischen Einheit durch Beobachtung vonIo�Ver�nsterungen

Der Jupitermond Io hat eine synodische Umlaufzeit von TIo� Zwischen t� und t� habenn Io�Uml�aufe stattgefunden� Ios Ver�nsterung m�u te also zur Zeit t� � nTIo statt�nden�Sie wird aber zum fr�uheren Zeitpunkt t� beobachtet�

Die Zeitdi�erenz ist ein Ma f�ur die Ver�anderung des Abstandes zwischen Erde undJupiter�

d� � d� � ct� � nTIo � t��

Bei bekanntem Bahnradius von Jupiter in AE� und bekannten Winkeln �� und �� diesich aus den seit der letzten Jupiteropposition vergangenen Zeiten t� und t� und derUmlaufzeit im rotierenden Bezugssystem� in dem Jupiter ruht� ist das die synodischeUmlaufzeit von Jupiter� ergeben� kann d� � d� in Vielfachen einer AE berechnet werden�

d� � d� � AE �� AE �c

t� � nTIo � t��

� ANHANG ��

R�omers Verfahren kann anhand der Angaben in einem Astronomischen Kalender Ah�nert� nachvollzogen werden� Bei einzelnen Io�Uml�aufen ist der zu untersuchende E�ektzwar kleiner als die Genauigkeit der Angaben! er summiert sich aber im Laufe von Mo�naten zu mehreren Minuten�

Um die Rechnungen zu vereinfachen� werden die um �� verringerten� juliani�schen Daten der Ver�nsterungszeitpunkte mit angegeben�

�� Etwas Literatur

� Ahnert� Kalender f�ur Sternfreunde �� Johann Ambrosius Barth� Heidelberg usw��

� H��L� Neumann� Die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit durch Ole R�omer� Praxisder Naturwissenschaften�Physik ��

� U� Quast� U� Backhaus� Die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach R�omersVerfahren mit Hilfe eines astronomischen Kalenders� Naturwissenschaften im Un�terricht Physik�Chemie� ��

� O� R�omer� Eine Demonstration der Bewegung des Lichtes� �Ubersetzung der Original�arbeit von �� in S� Sambursky Hrsg�� Der Weg der Physik� dtv �� M�unchen��

�� Aufgaben

R�omers Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit soll anhand der Ver�nsterungs�zeitpunkte nachvollzogen werden� die einem astronomischen Kalender f�ur �� Ahnert�entnommen wurden�

�� a� Warum kann man nicht alle Ver�nsterungen Ios beobachten�

b� Warum lassen sich vor der Opposition nur die Eintritte Ios in den Jupiter�schatten VA f�ur Ver�nsterungsanfang�� nach der Opposition dagegen nur dieAustritte VE� beobachten�

�� Den Werten kann man eine Sch�atzung Tappr f�ur Ios Umlaufzeit entnehmen� Wie gro ist diese�

Tappr �

�� Bestimme mit Hilfe von Tappr die Anzahl ni der Uml�aufe zwischen den beobachtba�ren Ver�nsterungen�

�� Aus den Zeitspannen dti und der Anzahl der Uml�aufe ergeben sich die jeweiligenmittleren Umlaufzeiten Ti�

�� Berechne die tats�achliche synodische� Umlaufzeit TIo von Io als gewichtetes Mittelaller Ti d�i� die insgesamt vergangene Zeit dividiert durch die Anzahl der Uml�aufe��

TIo �

��Das ist das beste� was man mit den Daten eines Jahres tun kann� Man mu� ho�en� da� sich dieLaufzeitfehler vor und nach der Opposition ungef�ahr kompensieren�

� ANHANG ��

�� Mit TIo l�a t sich berechnen� wieviel Zeit #terw zwischen den Ver�nsterungsendenam � �� und am �� vergehen m�u te�

�terw �

�� Wie gro ist aber die tats�achlich beobachtete Zeitspanne #tgem�

�tgem �

�� Der Austritt Ios aus dem Jupiterschatten am �� versp�atet sich also um

�tL � �tgem ��terw � min

�� Die �Anderung der Entfernung �d zwischen Erde und Jupiter zwischen dem ��und dem �� kann aus den bekannten Werten f�ur den Radius der als kreisf�ormigangenommenen� Jupiterbahn rJup � �� AE� und die synodische UmlaufzeitTsyn � �� Tage� Jupiters bestimmt werden�

xSonne sJupiter

Abb� � Positionen der Erde in dem Bezugssystem� in dem Sonne und Jupiterruhen�

a� Zeichne die Position der Erde zum Zeitpunkt der Jupiteropposition ein

b� Bestimme die Positionen der Erde am �� und �� und zeichne sie ein��Berechne dazu zun�achst die seit der Opposition verstrichenen Zeiten

c� Nun lassen sich die Entfernungen d� und d� berechnen oder in der Zeichnungausmessen�

d� � AE d� � AE

��In diesem Bezugssystem betr�agt die Umlaufzeit der Erde um die Sonne gerade eine synodische Um�laufzeit von Jupiter�

��Von Norden aus betrachtet bewegt sich die Erde im entgegengesetzten Umlaufsinn um die Sonneherum�

� ANHANG ��

d� Die Zunahme der Entfernung �d betr�agt also

�d � AE

e� F�ur diese zus�atzliche Entfernung ben�otigt das Licht die Zeit #tL� Seine Ge�schwindigkeit betr�agt also

c ��d

�tL�

AE

min

�� Ist die Gr�o e der Astronomischen Einheit bekannt � AE � �� km��dann kann aus diesem Ergebnis die absolute Lichtgeschwindigkeit abgeleitet werden�

c �km

s

Heute� da man die Lichtgeschwindigkeit bereits auf einem Labortisch messen kann�die Astronomische Einheit aber immer noch sehr schwierig zu bestimmen ist� liegtes n�aher� mit Hilfe der Io�Ver�nsterungen aus dem bekannten Wert f�ur die Lichtge�schwindigkeit c � � km

s� die Gr�o e der Astronomischen Einheit abzuleiten�

�AE � km

� ANHANG ��

�� Beobachtbare Io�Ver�nsterungen ��

Datum Mez Artjul� Datum��

dt�Tage� Anzahl derUml�aufe

Ti�Tage�

�� VA ��

�� VA ��

�� VA ��

�� VA ��

�� VA ��

�� VA ��

�� VA ��

�� VA ��

�� VA ��

�� Opposition ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

�� VE ��

� ANHANG ��

�� Zur Sichtbarkeit relativistischer E�ekte

Aus dem Begleitmaterial f�ur Jugendliche zu einer Ausstellung mit dem Thema�Die Zeit�

Paulas Traum

Hallo� � � � � � � � � Was soll ich geh�ort haben� � � � � � � � � Aber warum antwor�test du so sp�at� � � � � � � � � Was� ich schweige auch immer so lange� Nein� ichantworte doch sofort� Das Telefon ist wohl kaputt� Tsch�uss�� wir sehn uns inder Schule��

Schon beim Aufstehen �el Paula auf� dass sich etwas ver�andert hat� Die Nacht�tischlampe ging nicht gleich anund als sie sich im Badezimmerspiegel anschau�te� stimmte irgend etwas nicht� Sie betrachtete sich lange� Und dann merktesie es� Sie sah genau� dass ihr Spiegelgesicht geschlossene Augen hat� jeden�falls f�ur einen Moment� Beide Augen zu�� Wie kann das sein� Jede Bewegungzeigte ihr� dass das Spiegelbild langsamerals sie selbst ist�

Hier sind die Sechs�Uhr�Nachrichten�� t�onte es aus dem Radio�

Mensch�

da bin ich ja eine Stunde zu fr�uh aufgestanden�� dachte Paula� Geht denn

mein Wecker falsch�� Nein� der zeigte � Uhr � und hatte p�unktlich um � Uhrgeweckt�

Hier eine wichtige Durchsage� Seit heute Nacht breitet sich das Licht nurnoch mit einer Geschwindigkeit von �� km pro Stunde aus� Bisher betrug dieLichtgeschwindigkeit �� km pro Sekunde� Wie es zu dieser enormen Ver�langsamung kam ist noch ungekl�art� Die Folgen sind verheerend und gar nichtabzusehen� denn nicht nur das Licht ist langsamer� sondern auch die Radio�und Fernsehwellen und die Telefon�ubertragung� Alle elektromagnetischen Wel�len breiten sich zur Zeit mit �� km pro Stunde aus��

Paula hat sofort geschaltet� Nicht der Wecker geht falsch� sondern die Nach�richten haben �uber eine Stunde vom Sender bis zum Radio gebraucht� klar�denn der Sendemast steht etwa �� km entfernt� Sie ging noch mal zum Spie�gel� Augen zu� Augen auf� Die Paula im Spiegel hat die Augen zu und �o�net siewieder�

Ich sehe etwas� was gerade eben schon war�� ging ihr durch den Kopf�

Sie trat zwei Schritte zur�uck� Jetzt war ihr Spiegelbild noch mehr verz�ogert�Sie schaute noch mehr in die Vergangenheit�

Als Paula endlich auf der Stra�e war� �el ihr sofort auf� dass die Autos heu�te langsamerfuhren� langsamer noch als in einer Tempo�Drei�ig�Zone� Hattendie Fahrer vielleicht Angst vor der langsamen Lichtgeschwindigkeit� Trotzdemmachten die Autos einen Krach� als wollten sie hundert fahren� Es ging wohlnicht schneller� Da kam schon der Schulbus angekrochen� Er sah aus� als w�areer vor eine Wand gefahren� er schien viel k�urzerals gew�ohnlich� Aber als derBus dann hielt� hatte er wieder normale L�ange� Der Bus startete� und je mehrGas der Fahrer gab� desto k�urzerwurde die Stra�e vor dem Bus� Schnellerschien der Bus gar nicht zu werden� Die H�auser am Stra�enrand waren ei�gent�umlich verdreht� Paula dachte an den Spiegel� Wie wohl der Bus auss�ahe�wenn er auf einen Spiegel zufahren w�urde� Da entdeckte sie das Spiegelbild desBusses in der Heckscheibe eines Transporters vor ihnen� Der Bus war ganz

� ANHANG ��

klein und schien sehr weit weg� Wie zu hause� ging es Paula durch den Kopf�Ich sehe die Vergangenheit des Busses�

Rumms� Fast w�are Paula nach vorn gefallen� Der Fahrer machte eine Voll�bremsung�

Aber die Ampel war doch gr�un�� schimpften viele Fahrg�aste� Die

oberste Lampe der Ampel leuchtete und au�erdem war sie tats�achlich rot� alsder Bus hielt� Die Kreuzung sah jetzt ganz normal aus� Daf�ur krochen nunlauter geschrumpfteAutos �uber die Kreuzung�

V�ollig verwirrt schaute Paula nach drau�en und schlo� die Augen� weil sie einScheinwerfer blendete�

Aufwachen� aufstehen� es ist sieben Uhr�� Aus weiter Ferne h�ort Paula dieStimme ihre Schwester� die ihre Nachttischlampe eingeschaltet hat�

Was ist

los� ich bin doch schon unterwegs �� Verwirrt rappelt sich Paula hoch� Du�

ich habe vielleicht getr�aumt� Mit dem Licht stimmte irgendwas nicht� Alles warso langsam��

Nach und nach �el ihr der Traum wieder ein� und dann begri� sie auch� warumihr so etwas tr�aumte� Vor dem Einschlafen hatte sie ein Buch �uber Albert Ein�stein und seine Relativit�atstheorie gelesen� Einstein hatte erstmals �� be�hauptet� dass die Lichtgeschwindigkeit stets einen festen Wert hat� ��kmpro Sekunde� genannt c� Und dies auch� wenn sich die Lichtquelle schnellbewegt� Wenn uns das Licht von rasend schnell durch den Weltraum �iegen�den Sternen auf der Erde erreicht� hat auch dieses die Geschwindigkeit c�Schneeb�alle verhalten sich da ganz anders� wenn du vor einem geworfenenSchneeball davon l�aufst� tri�t er dich l�angst nicht so hart� als wenn du ihmnoch entgegen rennst� Licht verh�alt sich also ganz anders� Eine �Anderung kannman aber doch bemerken� wenn sich die Lichtquelle schnell bewegt� Die Farbedes Lichtes verschiebt sich zum Rot� wenn die Quelle sich schnell entfernt undverschiebt sich zum Gr�un� wenn sich die Quelle n�ahert�

Au�erdem stand in dem Buch� dass kein Gegenstand sich schneller als mitLichtgeschwindigkeit bewegen kann� c ist die gr�o�tm�ogliche Geschwindigkeit�Und wenn man ein Fahrzeug fast so schnell machen will wie die Lichtge�schwindigkeit� braucht es einen immer st�arker werdenden Motor� Je schnellerdas Fahrzeug wird� desto schwerer wird es auch�

Wenn sich ein Gegenstand fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegt� erscheint erdem ruhenden Beobachter verkleinert� Einstein sagt� Bewegte Lineale verk�urzensich� die L�ange schrumpft� Der mitreisende Beobachter bemerkt davon nichts�F�ur ihn scheint umgekehrt das zur�uckbleibende Lineal k�urzer zu werden�

Und auch die Zeit schrumpft� Bewegte Uhren gehen langsamer� Wenn ein Zwil�ling nach einer wahnsinnig schnellen Reise zu seinem Bruder zur�uckkehrt� istder Reisende etwas j�unger geblieben� denn seine Uhr ging � im Vergleich zudem zur�uckgebliebenen Zwilling � langsamer�

Und Einstein hatte recht� Zwar sind die Reisegeschwindigkeiten selbst mit Ra�keten noch viel zu langsam� als dass man eine Verj�ungung sehen w�urde� Aberwenn Atomuhren auf Reisen gehen� sind Abweichungen der Uhren schon zubeobachten� Und aus dem Weltall erreichen uns winzigste Teilchen� deren Le�bensdauer gar nicht f�ur den weiten Weg reichen w�urde� Aber weil sie fast

� ANHANG ��

Lichtgeschwindigkeit haben� gehen ihre Uhren� langsamer� sie

leben� des�

halb lang genug� um die Erde zu erreichen� Auch die Zunahme der Massek�onnen die Physiker wirklich beobachten� Elektronen und Atome kann man sostark beschleunigen� da� sie der Lichtgeschwindigkeit nahe kommen� Daf�ur istsehr viel Energie n�otig� denn deren Masse nimmt dabei immer mehr zu�

Ich habe wohl von einer Welt getr�aumt� in der die unvorstellbare Relativit�ats�theorie im t�aglichen Leben sichtbar wird� weil das Licht Tempo Drei�ig ein�halten mu�te� Ob Einstein wohl auch von seiner Relativit�atstheorie getr�aumthat�� meinte Paula noch ganz verschlafen zu ihrer Schwester� Die hat nurden Kopf gesch�uttelt�

Den ganzen Tag beobachtete sich Paula immer wieder im Spiegel� Doch esgelang ihr nie wieder� ihr Spiegelbild mit zwei geschlossenen Augen zu sehen�

Fragen und Aufgaben zum Text

�� Lokalisieren und identi�zieren Sie die relativistischen E�ekte� die in dem Text an�gesprochen werden�

�� Finden Sie Ungenauigkeiten und Fehler und korrigieren Sie diese

�� An welchen Stellen h�atten zus�atzliche E�ekte ber�ucksichtigt werden k�onnen bzw�m�ussen�

� ANHANG ��

�� Parameter der Filme

Film�Bild Programm r�k� K�W� xmin #x xmax ymin #y ymax z f vx vyFilmTE� albert r K �� FilmTE� r K �� FilmTE� r K �� FilmTE�� r K �� FilmTE�� r K �� FilmTE�� r K �� doppler retarneu r K � ��

�� Parameter der Bilder

Name Programm Abb� Seite r�k� K�W� x y z f vx vyw�� retarwn �� r K �� w� �� r K �� w� �� r K �� w�� r W ��

r W �� w�� r W ��

k W �� w�� k W ��

geschw� �� r W �� geschw �� r W �� D��D�� retarneu �� r K �� D��D� �� r K �� D��D� r K �� D��D�� r K �� Albert� albert �� r K �� Albert �� r K �� Albert �� k K �� Albert� �� k W �� Albert� r K �� Albert� r K ��

� ANHANG ��

�� Folien

�� Originalformulierung der Einsteinschen Postulate S� ��

�� Die Grundpostulate der speziellen Relativit�atstheorie S� ��

�� Weltlinien zweidimensionaler Bewegungen Abb� �� S� ��

�� Die Newton�schen Gesetze S� ��

�� Galilei�Transformation und ihre Eigenschaften S� �

�� Geometrische Veranschaulichung der Galilei�Transformation Abb� �� S� ��

�� Maxwell�Gleichungen und Wellengleichung S� ��

�� Messung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe von Jupitermondver�nsterungen Abb� ��S� ��

�� Spezielle L�osungen der Wellengleichung Abb� �� S� ��

�� Modulation Abb� �� S� ��

�� Moir$e�Folien zur Veranschaulichung der Beobachtung beim Michelson�VersuchAbb� �� S� ��

�� Aufbau und Ergebnis des Versuchs von Michelson und Morley Abb� �� S� ��

�� Zur klassischen Erkl�arung der Lichtaberration Abb� �� und �� S� ��f�

�� Die Lorentz�Kontraktion Raum�otte� Abb� �� und �� S� ��

�� Relativit�at der Gleichzeitigkeit I Abb� �� S� ��

�� Relativit�at der Gleichzeitigkeit II a Resnick� Abb� �� S� ��

�� Relativit�at der Gleichzeitigkeit II b Resnick� Abb� �� S� ��

�� Das landende relativistische Flugzeug Abb� �� S� ��

�� Wie wird der Pilot das Licht registrieren� Abb� �� S� ��

�� Zur relativistischen Deutung der Lichtaberration Abb� �� S� ��

�� Lichtaberration im Weltall Abb� �� S� ��

�� Wie wird der Abdruck auf dem Papier f�ur verschiedene Beobachter aussehen� Abb� ��S� ��

�� Wie wird das fallende Quadrat f�ur einen auf dem Flie band sitzenden Beobachteraussehen� Abb� �� S� ��

�� Fallendes Quadrat II

�� Zur Messung der Relativgeschwindigkeit � Abb� �� S� ��

� ANHANG ��

�� Zur Messung der Relativgeschwindigkeit � Abb� �� S� ��

�� Der Lorentz�Faktor als Funktion der Geschwindigkeit Abb� �� S� ��

�� Zeitdilatation mit Lichtuhren � Uhrenvergleich mit zwei Uhren Abb� �� und ��S� �� und ��

�� Maryland�Experiment � Myonen�Experiment Abb� �� S� ��

�� Zur Konstruktion von Minkowski�Diagrammen Abb� �� S� ��

�� Uberlichtgeschwindigkeit und Kausalit�at Abb� �� S� ��

�� Relativit�at von Vergangenheit und Zukunft Abb� �� S� ��

�� Der Lichtkegel Abb� �� S� ��

�� L�angenkontraktion und Zeitdialtation im Minkowski�DiagrammAbb� �� S� ��

�� Die Lorentz�Transformation S� ��

�� Dopplere�ekt und Zwillingsparadoxon Abb� �� S� ��

�� Die scheinbare Geschwindigkeit Abb� �� S� ��

�� Die Unsichtbarkeit der Laufzeitverl�angerung Abb� �� S� ��

�� Zur Unsichtbarkeit der Lorentz�Kontraktion�

� Drehung statt Kontraktion Abb� �� S� ��

� Die sichtbare R�uckseite Abb� �� S� ��

� Hyperbelf�ormige Verformung eines senkrechten Stabes durch relativistische Re�tardierung

� Hyperbelartige Verformung Abb� �� S� ��

�� Klassische Retardierung� Vergleich der scheinbaren Verl�angerungen Abb� �� S� ��

�� Klassische Retardierung� Scherung statt Drehung Abb� �� S� ��

�� Albert Einstein � durch relativistische Retardierung verformt Abb�� S� ��

�� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes � �� Abb� �� S� ��

�� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes � �� Abb� �� S� ��

�� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes in Relativit�atstheorie und klassischer PhysikAbb� �� S� ��

�� Weltraum�ug mit konstanter Beschleunigung Abb� �� S� ��

�� Die Geschwindigkeit als Funktion der Energie Abb� �� S� ��

�� Der Erhaltungss�atze der Relativit�atstheorieS� ��

�� Die spezi�sche Ladung von Elektronen im transversalen Magnetfeld Tabelle S� ��

udo bac - didaktik.physik.uni-due.debackhaus/lectures/relavorl.pdf · l infeld die evolution der...

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