Uber die Rewegung yon kunstliehen Satelliten im nicht-zentralen Schwerefeld der Erde unter Berucksichtigung des Luftwiderstandes l)

Von G . P. TARATYNOVA

Die Bewegung eines kunstlichen Erdsatelliten ist sehr verwickelt, und die Untersuchung der Rewegung unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes und des nicht-zentralen Schwerefeldes der Erde macht groBe Schwierigkeiten. Bis jetzt hat man sich in den meisten Arbeiten auf Spezialfalle beschrankt, wie z. B. die Bewegung des Satelliten auf einer Kreisbahn, die analytische Untersuchung der durch den Luftwiderstand allein hervorgerufenen Bahnstorungen ohne Be- rucksichtigung der Abplattung der Erde usw. Die Losung des Problems ist im allgemeinen Fall ohne Benutzung elektronischer Rechenmaschinen auBerst schwierig. Es erscheint daher zweckmaBig, eine Methode anzugeben, mit der man auf einer elektronischen Rechenmaschine die Bahn eines kiinstlichen Erd- satelliten unter gleichzeitiger Beriicksichtigung der wichtigsten auf ihn wirken- den Storungen berechnen kann.

Im vorliegenden Artilcel wird eine Methode dargelegt, die es ermoglicht, auf' einer schnellarbeitenden Maschine die Bewegung eines kunstlichen Erdsatelliten zu bestimmen, wenn gleichzeitig der Widerstand der mit der Erde sich bewegen- dcn Luft und die Abweichung des Schwerefeldes von einem Zentralfeld beruck- sichtigt werden. Da Einflusse der Sonne und des Mondes auf die Bewegung des Satelliten um die Erde sehr klein sind, werden wir diese Storungen vernach- lassigen.

9 1. Gleichungen fur die gestorte Bewegung des kunstlichen Erdsatelliten. Integrationsmethode

Wir betrachten die Bewegung eines kiinstlichen Erdsatelliten im nicht-zen- tralen Schwerefeld der Erde unter Berucksichtigung des Luftwiderstandes. Zur Beschreibung der Bewegung verwenden wir die Differentia,lgleichungen in den oskulierenden Elementen [ I ] :

a t

r - d e = S s i n G + c o s 8 + e - ~ , d t P

l) Uepechi fiz. Nauk 63, 51 -58 (1957).

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d t e e P d o 1 - _ _ _ _

@, 32. =-- r sin u d t p sin i

d i r cos u . _ - _ -

d t P

(1

Hierbei bedeuten (Bild 1)

f ist die Gravitationskonstante, M die Masse der Erde, 6 die wahre Anomalie, p der Bahnparameter, e die Exzentrizitat, co der Winkelabstand des Perigaums

vom aufsteigenden Knoten, Q die Lange des aufsteigenden Knotens, i die Neigung der Bahnebene. Die Buchstaben S , T und W bezeichnen die Projektionen der storen- den Beschleunigung auf den Ortsvektor, die zu ihm Senkrechte in der Bahnebene und die zu ihm Senkrechte normal zur Bahn- ebene.

Damit das die Bewegung des Satelliten ’‘ bcschreibende System (1) vollstandig ist,

fuhren wir eine zusatzliche Differential- gleichung ein, die die Abhangigkeit der wahren Anomalie 6 von der Zeit bestimmt

- i d t d t . d t dAl d 8 d w r2 - + __ + cos 2 - = p . f M , ( 2 )

d w d6b d t d t

Bild 1. wobei die Ableitungen und c_ durch

die ent,spreehenden Gleichungen von (1) [a] definiert sind.

Anomalie 6 unabhangige Variable wird. Wir transformieren das Differentialgleichungssystem (l), so da13 die wahre

Aus (2) erhalten wir

a t 1

uber die Bewegung von kiinstlichen Satelliten im nicht-zentralen Schwerefeld der Erde 57

Damit folgt

P

1 Wsinu , d 6 P

di r - - = F a - w c o s u d 6 P

Das Gleichungssystem (3), (4) beschreibt die Bewegung des Satelliten voll-

Wir stellen die Projektionen der storenden Beschlepnigung in folgender Form standig.

dar

(5) 1 s = 8, + s,, T = TI f T,, W = W, + w,;

hierbei sind S,, T I , W, die Projektionen der storenden BeschIeunigung, ver- ursacht durch die Abweichung des Schwerefeldes der Erde von einem Zentral- feld und S,, T,, W , die Projektionen der durch den Luftwiderstand hervor- gerufenen storenden Beschleunigung (unter Beriicksichtigung der Rotation der Atmosphiire mit der Erde).

Fur das Gravitationspotential erhalt man bis zu Gliedern erster Ordnung in der Abplattung der Erde [3]

wobei

bedeutet. Dabei ist y die geozentrische Breite des Satelliten, a der Erdradius a - b

am Aquator, a die Abplattung, OL = , SZ die Winkelgeschwindigkeit der a

Erdumdrehung, ga die Erdbeschleunigung am Aquator. Differenziert man den Ausdruck (6) fur das Potential einmal langs des Radius

und einmal langs des Meridians in Nordrichtung, so erhalt man fur die Projek-

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tionen der Erdbeschleunigung auf' den Ortsvektor bzw. auf die Tangente an den Meridian :

I f M 8

T 2 r 4

- sin 2 y . r4 Om = -

g - - 2 - + - (3 sin2 y - l ) , r -

8 (7 )

Daraus bekommen wir fur die Projektionen S,, T, und W , der durch die Ab- weichung des Erdfeldes vom Zentralfeld hervorgerufenen storenden Reschleuni - gung, wenn wir nur Glieder bis zur ersten Ordnung in a beriicksichtigen

I i

F S, = - (3 sin2 i sin2 u - I ) , 1.4

& T , = - - sin* i sin 2 u ,

r4

P W, = - a sin 2 i sin u . r J

Wir leiten jetzt Formeln fur die Projektionen S,, T , und W, ah. Fur die Be- schleunigung infolge des Luftwiderstands nehmen wir

Iiierbei bedeuten m die Masse des Satelliten, urel die Gesuhwindigkeit des Satel- liten in bezug auf die Luft, c, den Koeffizienten des aerodynamischen Wider- standes, F die Flache, auf die sich der aerodynamische Koeffizient bezieht, und p die Dichte der Luft.

Fur den Vektor brel der Relativgeschwindigkeit erhalten wir

brel = U - b, > (10) 'niobei

v1 = Q r cos y

ist und b, von Westen nach Osten gerichtet ist (Bild 2 ) . Der Vektor t, bedeutet die Geschwin- digkeit des Satelliten in bezug auf den ruhen-

Projiziert man brel auf die Achsen von S, T

. . -. . den Raum. --w

und W , so erhalt man

--dT ~

Rild 2.

(11) &el s = v r ,

vrel

urel

= vn - Q r cos y sin a,

= Q r cos y cos a ;

hierbei ist a der Winkel zwjschen Meridianebene und absoluter Geschwindigkeit

Ober die Bewegung vori kiinstlichen Satelliten im nicht-zentralen Schwerefeld der Erde 50

D und v r bzw. v,, bedeuten die Radial- bzw. Normalliomponcnte der absoluten Geschwindigkeit :

Wegen dcr Formeln (9) und (11) erhhlt man unter Verwcndung der Beziehun- gen (s. Bild 1)

cos y sin a = cos i, cos y cos a = sin i cos u

die Ausdriicke

I c, F 2 m J

= __ cvreI f2r sin i cos u ,

fur die Projektioneri der durch den Luftwiderstand hervorgcrufenen stijrenden Beschleunigung. Dabei ist

Die Komponenten vr und v, werden durch die Formel (12) bestimmt.

wenden wir die in [ 2 ] angegebenen Werte. Fur die Dichteverteilung der Atmosphare in Abhangigkeit von der Hohe ver-

Wir approximiereri diesen Zusammenhang durch die Pormeln

c? = = @ , A ,

Dabei ist po die Dichte der Luft fur eino bestimmte Hohe, und die Konstanteri x , 6, yo und k nehmen die folgenden Wertc an:

fur 100 km 5 y 5 150 km x = 1, 6 = 55, yo = 100, k = 8,

fur 150 km _I y 5 250 km x = 0,005667, 6 = 100, yo = 150, k = 7,

fur 250 km 5 y

Die Gleichungen (3), (4) stellen ein System nicht-linearer Differentialgleichun- gen in den oskulierenden Bahnelementen p , e , u), Q, i und der Zeit t dar. Ein geschlossener Ausdruck laDt sich fur die Losung des Systems nicht angeben.

x = 0,00004428 5 = 215, yo = 250, k = 6.

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Wollte man dieses System durch numerische Methoden direkt integrieren, so wiirde man bei der Bestimmung der gesuchten Bahnelemente immer groBere Fehler machen, da der kiinstliche Satellit Tausende von Umlaufen um die Erde vollfiihren kann. AuBerdem ist die Zeit, die die Maschine zur Losung des Systems (3), (4) braucht, recht lang.

Um diese Unzuliinglichkeiten zu vermeiden, transformieren wir das Gleichungssystem (3), (4) in folgender Weise. Wir fiihren neue Funktionen ai, (i = I , . . . , 6) durch die folgenden Formeln ein :

4 4

Die Integranden wcrden durch die Gleichungen (3), (4) bestimmt. Offensichtlich sind fur 6 = 8, + 2 n die Funktionen al, a?, . . ., a5 gleich den hderungen der gestorten oskulierenden Elemente p , e , . . . , i bei einem Umlauf, und a, liefert die Umlaufszeit .

Wenn wir die wahre Anomalic von der Richtung des Perigaums aus ziihlen und die Richtung des Perigaums selbst sich andert, dann fiihrt der Satellit bei riner dnderung des Winkels 6 von 8, in 8, + 2n nicht genau einen ganzen Umlauf urn die Erde aus. Die oben abgclciteten Ausdrdcke (15) sind daher nicht ganz streng. Zur Vereinfachung werden wir sie jedoch weiterhin verwenden, da sie nur eine nebensachliche Rolle spielcn. (Die Lebensdauer des kdnstlichen Satel- liten wird vollig exakt mit Eilfe der cntsprechcnden Differentialgleichung be- stimmt.)

Die Stiirungen der oskulierenden Bahnelemente der Satellitenbahn fur eineri Umlauf in einer solchen HDhe, wo drr EinfluB des Luftwiderstandes kleiner odey gleich dem EinfluB der Nicht-Zentralitkt des Erdfeldes ist, sind sehr gering. Man kann daher annehmen, daB fur die gesamte Bewegung (auBer vielleicht der etwn zchn letzten Umlaufe) die geiiannten Storungen mit groBer Genauigkeit gleicli den Ableitungen der Bahneleinentc nach der Zahl N der Umlaufe sind. Danri erhalten wir wegen (15) die Re1 a t ' 10IIc11

wobei

ist. Das so erhaltene Differentialgleichungsqmtem (16) beschreibt die Anderung

der Bahn des Satelliten im Laufc dcr Zrit. Die rechtcn Spiten dieser Gleichungen

OTik [ail 0=8, + z n ( i = 1, 2, ... , 6)

uber die Bewegung von kiinstlichen Satelliten im nicht-zentralen Schwerefeld der Erde 61

werden durch die Integrale (15) ausgedruckt, wobei 6 = 6, + 2 n ist. Wir stellen fest, da13 man die Losung des Gleichungssystems (16) als Folge diskreter Werte der oskulierenden Bahnelemente fur ganzzahliges N oder fur die Werte 6 = 6, + 2 n k ( k = 1, 2, . . .) der wahren Anomalie erhalt.

Der Obergang von der Losung des Differentialgleichungssystems (3), (4) zur Losung des Differentialgleichungssystems (16) ist geometrisch in Bild 3 dar- gestellt. Die ausgezogene Linie auf Bild 3 gibt die durch die erste Gleichung des

Systems (4) beschriebene periodische dnderung des Parameters p fur die ersten vier Umlaufe wieder. Die punktierte Linie entspricht dem Verhalten von p nach der ersten Gleichung (16).

Die auf den rechten Seiten der Gleichungen (16) stehenden Integrale mussen durch Integration der Differentialgleichungen (3), (4) uber 6 im Interval1 8, . . . 6, + 2 n berechnet werden.

Die Losung des Differentialgleichungssystems (16) fuhrt dann zu einer doppel- ten Integration: die auDere uber das Argument N , die innere uber 6; dabei mu13 letztere in jedem Punkt durchgefuhrt werden, der fur die Bu13ere Integration be- notigt wird.

Zur Integration des Gleichungssystems (16) uber die Umlaufszahl N kann man irgendeine numerische Methode zur Integration gewohnlicher Differential- gleichungen mit variablen Integrationsschritten verwenden. Fur grol3e Hohen kann dieser Schritt groB sein (gro13enordnungsmBBig zehn oder hundert Um- laufe bei Integration nach der Methode von RUNGE-KUTTA), da die Storung der Elemente bei einem Umlauf sehr klein ist und sie sich daher von Umlauf zu Um- lauf nur wenig andern. Fur kleine Hohen mu13 man die Schritte verkleinern.

Da man bei der Integration des Gleichungssystems (15) nach der Methode von

RUNGE-KUTTA die rechten Seiten an den Punkten N = N o + - fur ganz-

zahliges N zu berechnen hat, so mu13 der Integra!tionsschritt A N eine gerade Zahl sein. Es ist zweckmafiig znr Losung des Gleichungssystems (16) auf einer elektronischen Rechenmaschine den Anfangsschritt A N gleich 2" zu wahlen. Man kann dann systematisch die SchrittgroOe bequem iindern (Verkleinerung oder Vergroflerung um den Faktor 2).

A N 2

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111 den Bewegungsgleichurigen fur den kunstlichen Satelliten kann man das Argument der Rreite u als unabhangige Variable benutzeri und kann dann dieses System von uo bis u, + 2n integrieren. Da der Parameter u von der im Raum absolut ruhenden Bquatorebene aus gezahlt wird und die Neigung der Rahn sich im Laufe der Zeit nur sehr unbedeutend andert, so wird sich der Satellit bei dnderung von u urn 2 n k (lc ganzzahlig) etwa wieder auf derselben Breite IL

befinden. Die Breite u eignet sich daher besser als unabhangige Variable als die wahre

Anomalie 8.

5 2. Bercchnung der Hahn des kiinstlichen Erdsatclliten

Nach der eben beschriebenen Methode wurden auf der elektronischen Rechen- maschine der Akademie der Wissenscheftcn der UdS SR einige Bahnen kunst- licher Satelliten berechnet. So wurde die Bahn fur einen kugelformigen Satel- liten von 10 kg Gewicht und 0,5 m Durchniesser untersucht. Der Koeffizient des aerodynamischen Widerstandes c, wurde gleich 2 angenommen. Die An - fangswerte fur die Bahnelemente waren

h, = 1285 km h," = 320 km i, = 45", wo = 90", S;l, = 129"

(h, und hno sind die Anfangswerte der Hoheri von Apogaum bzw. Perigiium). Die Ergebnisse der Rechnung sind auf Bild 4 wiedergegeben. Ks sind die

Kurven fur den Parameter p (in km), dic Exzentrizitat e , den Winkelabstand w tles Perigaums Toni Knoten (in Graden) und die Lange 62 des aufsteigenden Knotens als Funktionen der Zeit fur einen Zeitraum von 700 Tagen aufgetragen.

Cha,rakteristisch fiir die ICurven fiir den Parameter p und die Exzentrizitat e ist ihr oszillatorischer Verlauf. Die Periode der Schwingungen betragt etwa 36 Tage und fallt mit der Zeit zusammen, in der sich die Grolje o, die die Lage des Perigaums der oskulierenden Ellipse beziiglich des aufsteigenden Knotens fest'legt, um n andert. Zum Unt,erschied von den durch dnderung der wahren Anomalie 6 von 6, + 2 n ( k - 1) bis 6, + 2 n ( k - 1) + n hervorgerufenen kurzperiodischen Schwingungen der oskulierenden Elemente p und e , nennen wir die oben beschriebenen Schwingungen langperiodisch.

Die langperiodischen Schwingungen erkliiren sich daraus, daB sich bci dnde- rung der wahren Anomalie 6 um 2 n auch die oskulierende Ellipse der Bahn sowie ihre Lage im Raum andert,. Dabei andert sich der Winkel GO, der die Lage des Perigiiums der oskulierenden Ellipse beziiglich der Bquatorebene festlegt. Daher wird der Satellit bei einer Anderung von 6 um 2 n k ( k = 1, 2, . . .) verschiedene Lagen bezuglich der Bquatorebene einnehmen, und der von der Breite u ab- hangige EinfluS der Abweichung des Erdfeldes von einem Zentralfdd wird ver- schieden sein.

Wenn man nur die Abweichung des Schwerefeldes der Erde von einem Zen- tralfeld berucksichtigt, werden die enhprechenden Kurven fur die Anderungen tier oskulierenden Elemente p und e in den Punkten 6 = 8, + 2 n k die Form von Schwingungen mit einem konstanten Mittelwert haben. Das folgt daraus, (la6 die Kraft bei alleiniger Berucksichtigung des nicht-zentralen Schwerefeldes der Erde konservativ ist. Der storendc EinfluR des Luftwiderstandes fuhrt zu

aber die Bewegurig von kunstlichen Satelliten im nicht-zentralen Schwerefeld der Erde 63

Energieverlusten des Satelliten und zu einer monotonen Bnderung der osku- lierenden Elemente in den Punkten 6 = 6o + 2 n k . Die gemeinsame Wirkung der beiden wichtigsten genannten Storungen fuhrt dazu, daB die Kurven fur die oskulierenden Bahnelemente des kunstlichen Satelliten in den Punkten, die gleichen Abstand vom Periglium der oskulierenden Ellipse haben, die in Bild 4 gezeigte Form besitzen.

Die in Bild4 aufgetragenen Kurven geben die Moglichkeit, die s"k a u 1 aren Storungen der oskulierenden Bahnelemente des kunstlichen Satelliten fiir einen

ta O0

-7uuuo

-2uuuo

- 3UUO0

- 40u0°

tW 4 U D P

300U0

70UU0

U0

f- Bild 4.

bestimnitcn Zeitraum zu ermitteln. In der Tat sieht man sofort, daB fur einen Zeitraum von 700 Tagen die sakularen Storungen der Bahnelemente die folgen- den Werte annehmen :

d p = - 414 km, de = - 0,0564, d w = - 3860", = - 3529".

Es ist zu bemerken, daB das Perigiium der oskulierenden Ellipse bei der Br- wegung des kunstlichen Satelliten im nicht-zentralen Schwerefeld der Erde fur die betrachtete Bahn seine Lage beziiglich der Bquatorebene im Laufe der Zeit

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andert. Wahrend einer Zeit von 700 Tagen vollfuhrt das Perigiium der oskulieren- den EUipse etwa 11 Umlaufe urn die Erde.

Fur die betrachtete Bahn bewegt sich der aufsteigende Knoten entgegenge- setzt zur Erdbewegung,mit einer Geschwindigkeit von etwa 5" pro Tag.

AbschlieDend bemerken wir, daD zur Berechnung der angegebenen Satelliten- bahn fur eine Zeit von 700 Tagen, d. h. etwa zwei Jahren, nach der oben dar- gelegten Methode etwa vier Stunden Maschinenarbeit notig waren.

LITERATUR

[I] G. N. DUBOSIN, Einfiihrung in die Himmelsmechanik, Moskau-Leningrad ONTI,

[2] S. K. MITRA, Die obere Atmosphiire, M., IL, 1955. [3] N. I. IDEL'SON, Potentialtheorie mit Anwendungen auf die Theorie der Erdgestalt und

[4] D. E. OCHOCIMSKIJ, T. M. RNEEV, G. P. TARATYNOVA, Uspechi fiz. Nauk 63, 5

1938.

die Geophysik, M., ONTI 1936.

(1957); deutsohe nbersetzung in diescm Band, 8. 34.