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Über eine Abrundungsmethodebei Berechnung vonPensionsratenÅke Kjellström aa StockholmPublished online: 22 Dec 2011.

To cite this article: Åke Kjellström (1945) Über eine Abrundungsmethode beiBerechnung von Pensionsraten, Scandinavian Actuarial Journal, 1945:1-2, 56-67, DOI:10.1080/03461238.1945.10404919

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fiber eine Abrundungsmethode bei Berechnungvon Pensionsraten.

Von Ake Iijellstrom (Stockholm).

Zufolge des Gesetzes tiber Volksrentenversicberung vom28. Juni 1935 - das das Gesetz tiber allgemeine Rentenver­sicherung vom 30. Juni 1913 ersetzte - erbiilt jeder schwe­dische StaatsangehOrige im Alter von 67 J abren oder bei vor­heriger dauernder Arbeitsunfiihigkeit Anspruch teils auf eineGrundrente, deren Robe nm von den von einem jeden ent­richteten Rentenpriimien abhangig ist, teils auf eine Zusatz­rente, die u. a von dem auf besondere Weise abgeschatztenJ ahreseinkommen eines jeden abhangig ist.

Die Zusatzrenten sind nach Teuerungsorten klassiert undihre Maximalbetrage belaufen sich auf 250 Kr. per J ahr in derOrtsklasse 1, auf 350 Kr. in der Ortsklasse 2 und auf 450Kr. in der Ortsklasse 3. Ftir gewisse altere Rentenempfiingersind gemass besonderen Ubergangsbestimmungen die maxi­malen Renten 300, 400 und 500 Kr. in den verschiedenenOrtsklassen.

Am 1. Jan. 1943 traten gewisse Gesetzesanderungen in Kraft,die Beziehung auf die Rohe der Renten hatten. Die Grund­satze der Berechnung blieben jedoch unverandert, und zwarfolgende:

Die maximale Zusatzrente wird jedem bewilligt, dessenJ ahreseinkommen einen gewissen Betrag io nicht i.ibersteigt.Wird dieser Betrag von dem Jahreseinkommen tiberstiegen,nimmt die Zusatzrente linear laut der Formel

Zusatzrente = M - c (i - io) (1)

ab, wo .LvI die maximale Zusatzrente und c einen Reduktions­faktor < 1 bezeichnet. Die Zusatzrente wird zur Grundrente

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addiert und die Summe Volksrente genannt. Diese wird abge­rundet, um monatsweise in einem runden Betrag' ausgezahlt wer­den zu konnen. Da die Kosten fur die beiden Arten von Ren­ten auf verschiedene Weise bestritten werden, mussen sie in del'Buchfiibrung auseinander gehalten werden. Die fiir die Ab­rundung notige Korrigierung wird dabei auf die Zusatzrentevorgenommen. Auf besonderen Statistikkarten uber zuerkannteRenten werden - ausser notigen Identifizierungsaufgaben ­die Grundrente, die kOI'I'£gierte Zusatzrente und die Summediesel' angegeben.

VOl' dem 1. 1. 1943 machten die Werte von c und 10 0,7resp. 100 aus. Die auf Grund diesel' \Verte berechnete Zu­satzrente bezeichnen wir mit P, und sie betrug also

P = JYI - 0,7 (i - 100) i> 100 (2)

Wenn wir die Grundrente mit G bezeichnen, belief sich dieVolksrente auf P + G + 0, wobei die Abrundungskorrig'ierungodie folgenden Bedingungen erfiiUte

P + G + 0 = 1.2 h heine ganze Zabl

0::;; 0 < 1.2 (3)

Die auf den Statistikkarten notierten Betrage waren also G,- -

P + 0 = P und P + (J.

Am 1. 1. 1943 wurde del' Wert von c in 0,5 und del' Wertvon i o in 200 geandert. Die auf Grund diesel' Werte berech­nete Zusatzrente bezeichnen wir mit T, und sie betriigt mitbin

T=]}[ - 0,5 (i - 200) i> 200 (4)

Die Volksrente beHiuft sich auf T + G + 8, wo die Abrundungs­korrigierung 8 jetzt die folgenden Bedingungen erfiillen soU

T+G+8=6k k eine ganze Zahl

(5)

Samtliche Rentenempfiinger, die infolge del' neuen Bestim­mungen zu einer grosseren Rente berechtigt waren, soUtendiese ohne besonderen Antrag erhalten. Die neue ZusatzrentesaUte dabei gemiiss demselben Jahreseinkommen, das del' am

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J ahreswechsel 1942/1943 geltenden Rente zu Grunde gelegenhatte, ausgezahlt werden.

Die zu diesem Zeitpunkt geltenden Zusatzrenten konntenin Hinsicht auf das Jahreseinkommen i in drei Gruppen ge­teilt werden.

A.0:::;;i:::;;100.

Fiir diese Rentenempfanger bedeuteten die Gesetzesande­rungen keine Anderung, weil sie sowohl gemass den alten alsden neuen Bestimmungen die maximale Zusatzrente empfingen.

B. 100 < i :::;; 200.

Diese Rentenempfanger empfingen laut Formel (2) einereduzierte Zusatzrente, soUten abel' gemass den neuen Bestim­mungen eine zum Maximalbetrag erhohte Zusatzrente erhalten.

C. i > 200.

Diese Rentenempfanger empfingen laut Formel (2) einereduzierte Zusatzrente und sollten fortwahrend eine reduzierteZusatzrente erhalten, jetzt abel' laut Formel (4) berechnet.Wie aus den Formeln hervorgeht, ist indessen fur denselbenWert von i immer die neue Zusatzrente T grosser als die alteZusatzrente P.

AIle Rentenempfanger in den Gruppen B und C soUtenfolglich ihre Renten umgerechnet erhalten.

Diese Umrechnung bezog sich auf zusammen 175486 Ren­tenempfanger, wovon 54,7 % del' Gruppe B und 45,3 % del'Gruppe C angehorten.

Hinsichtlich del' Gruppe B war die Umrechnung aussersteinfach. AIle diese Rentenempfanger erhielten ja die grosst­mogliche Zusatzrente, wofur die einzige rechenmassige Mass­regel darin bestand, die betreffende Grundrente zu del' maxi­malen Zusatzrente zu addieren und die so erhaltene Volks­rente nach den neuen Abrundungsvorschriften abzurunden.

Hinsichtlich del' Gruppe C waren die Umstande etwaskomplizierter. Angaben des Jahreseinkommens waren in del'Regel nur in den Antragen vorhanden, und es war ans tech­nischen Grunden unmoglich, dieselben fur aIle fraglichenPersonen hervorzunehmen.

Ratte man von del' exakten Zusatzrente P Kenntnis gehabt,

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so hiitte man die neue Zusatzrente l' durch Elimination von izwischen (2) und (4) erbalten konnen, namlich

l' =~ P + 50 + l M (6)

fiir i > 200 geltend.Auf den obengenannten Statistikkarten war abel' nur eine

Approximation von P, und zwar P angegeben. Da P > P, solltejedoch kein Rentenempfanger bei dem Umstand zu Imrz kom­men, dass diesel' grossere Wert del' alten Zusatzrente del' Be­rechnung' del' neuen Zusatzl'ente zu Grunde gelegt wurde, ge­mass dem mit (6) analogen Ausdruck

l' =~ P + 50 + l j}I (7)

Es wurde deshalb festgesteUt, daSH die Umrechnung auf

den Statistikkarten basiert und dass l' gemass dem Ausdruck(7) berechnet werden soUte.

Die Umrechnung ging so zu, dass die Statistikkarten fiirdie Rentenempfanger, die einer del' Gruppen B oder C ange­horten, hervorgenommen wurden. Auf del' Kal'te sollte dieneue, in Bezug auf die neuen Abrundungsvorschriften korri­gierte Zusatzrente notiert werden sowie die Summe diesel' unddel' Grundrente, die im voraus auf del' Karte notiel't war.Ausserdem wnrde auch del' Monatsbetrag del' so erhaltenenneuen Volksrente notiert.

Bei Karten, zur Gruppe C gehorig, wurde man dann VOl'

die Aufgabe gestellt, T mit Hilfe des Ausdruckes (7) zu be­rechnen und dasselbe nach den neuen Abrundungsvorschriftenabzurunden. Wie man aus (5) findet, geben diese darauf aus,dass die Summe del' Zusatzrente und del' Grundrente zumnachsten Multipel von (j abgerundet werden soIl (soIl erbobtwerden, wenn die Summe in del' Mitte zwischen zwei Multiplenliegen sollte). Beim ersten Anblick schien es, als ob man

genotigt wiirde, fiir jeden besonderen Fall l' exakt laut del'Formel (7) zu IJerechnen. Dies h~itte man dann entwedel' mitRechenmaschine machen miissen oder mit Hilfe von Tabellen,die, urn nicht zu weitHiufig zu werden, zeitraubende Interpola­tionen el'fordert hatten.

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Es erwies sich aber als moglich, von dieser Rechenarbeitlos zu kommen, und zwar durch eine Methode, die hier untennaher entwickelt wird und die im Kurzen auf Folgendes aus­lauft.

Wir betrachten die grosste in P enthaltene ganze Zahl

Po = [P] und den entsprechenden Wert von 1', die wir mitTo bezeichnen

Es existiert dann einewn (} unabhangige Funktion d, so be­schaffen, class To + G + dimmer nach vorschriftsmassiger .Ab­

rundung denselben Wert annimmt als T -r G- nach der .Ab­rundung.

Die TabeIlen brauchten deshalb nur laut des ganzzahligen.Argumentes Po gemacht zu werden . .Ausserdem konnte d soangepasst werden, dass der Tabellenwert To + d in rundenZehnern von Oren angegeben wurde, was die Handhabung derTabellen noch mehr erleichterte.

Wir fiihren ferner folgende Bezeicbnungen em- -

U= 1'+ G-

Uo = To + (}

und balten im folgenden an einem bestimmten Wert von Pofest.

-Damit ist aucb P innerhalb gewisser Grenzen gegeben, denn

wesbalb WIrP= Po + r

setzen konnen.

Betreffend (} gilt ja laut (3) dass-

G = 1,2h - Pist, also

G=1,2h-Po-r

0:::;; l' < 1 (9)

(10)

Wir ersehen hieraus, dass G nicht aIle Werte fur einen be­stimmten Wert von Po annebmen kann. Denn wenn h sichurn eine Einheit vermebrt, wachst G mit 1,2 und kann nach-

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u /32,

/ Pa=160

/ M=300

//

321

//-- ---- G:71 n

Fig. 1.

her nur mit 1 abnehmen, wenn r variiert. Dieser seheinbarparadoxale Umstand wird leichterzu verstehen, wenn mandie umgekehrte Behauptung betrachtet: Fur einen bestimmtenWert von G kann nicht Po alle ganzen Werte annehmen.

Denn Po ist ja der ganze Wert von P = 1,2 h - G. Wenn 11

eine Reihe von konsekutiven Werten durehHiuft, waehst Pmit Multiplen von 1,2. Es ist dann klar, dass die Reihe vonganzen Werten von Po gewisse Lucken aufweisen muss.

Fiir einen bestimmten Wert von Po wird Uo Funktion vonGallein

Uo= To + 0 = ~ Po + 50 + ¥]J;I + G (11)

welche Formel selbstverstandlich nur fli.r Werte von 0, die(to) befriedigen, gilt. Der Umstand ist in Fig'. 1 graphischveranschaulicht. Wenn Uo zum nachsten Multipel von 6 (nachoben oder naeh unten) abgerundet wird, werden offenbar aileWerte von Uo zwischen 6 k - 3 und 6 k + 3, wo k eine ganzeZahl ist, zu demselben Wert 6 k abgerundet. In Fig. 1 sindzwei solehe »Grenzlinien» von Uo eingezeiehnet, und zwar6 k - 3 = 321 und 6 k + 3 = 327. Die erstere entsprieht G=71und die letztere G = 77.

Da die reehten Endpunkte (entsprechend )' = 0 in der For­mel (10l) in den verschiedenen lntervallen von G sieh von

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einander mit 1,2 trennen und diese Zahl in 6 aufgeht, ist esoffenbar, dass die den Grenzlinien entsprechenden Werte vonG aIle auf demselben Abstand von einem Intervallendpllnktliegen. Den einem solchen Wert von G entsprechenden Wertvon l' laut Formel (10) bezeichnen wir mit 1'0' der gleich demAbstand zum rechten IntervaIlendpunkt ist. 1'0 ist sodann vonG unabhangig, was auch offenbar wird, wenn der Allsdruckvon 1'0 berechnet wird. Deshalb setzen wir

oderUo = 6k + 3

1Po + 60 + ~. M + G = 6 k + 3

Setzen wir hier in den Ausdruck von G laut (10) l' = 1'0 ein,erhalten wir

1,2 h - 1'0 = 6 k - 47 - ~ (M - Po)

Bezeichnen wir der Kurze wegen

47 + t UtI - Po) = E1,2

erhalten WIr

-h+~=-5k+E1,2

Da heine ganze Zahl ist und 0::;: 1'0 < 1 haben WIr

- h = [- 5 k + R] = - 5 k + [R]

und gleichzeitig

~il.~ = --5 k + R + h = R - [R]1 '),~

mithin1'0 = 1,2 (R - [E])

(12)

(13)

(14)

(16)

Da R unabhangig von Gist und ubrigens nur von ivI=Poabhangig ist, gilt dass81be fur 1'0'

Der Ausdruck R - [R] kann nur positive Werte < 1 an­nehmen, woraus folgt, dass 1'0 laut (15) zweischen 0 und 1,2liegen kann. Wenn solche Werte von JJI - Po existieren, dass1'0 zwischen 1 und 1,2 zu liegen kommt, entspricht dies offen-

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u327 ---------------,.'----

-;7-;7

-;7-;7

Po=160

M =300

321 ------:,{--------t--

-;7-;7

7'----77-[.,

Fig. 2.

bar der Tatsache, dass die Grenzlinien im Zwischenraumzwischen zwei Intervallen von (J eintreffen.

Was U betrifft, gilt, dass

tJ - Uo= T - To = HP - Po)

Wenn der Ausdruck von Plaut (9) eingesetzt wird, ist folglich

u = Uo +~r Osr<l (16)

Fur r = 0 ist demnach fj = Uo' Das Aussehen von fj gehtaus der Fig. 2 hervor, wo zum Vergleich auch die Kurve vonUo eingezeichnet ist. Es ist nun offenbar, dass fj und Uo ingewissen Umstiinden nach verschiedenen Seiten abgerundetwerden konnen. Denn in dem Intervalle, das von einer Grenz­linie beruhrt wird, wird es immer (abgesehen von den Fallen,wo die Grenzlinie durch den einen oder anderen Endpullktgeht oder i.iberhaupt nicht die Kurve schneidet) Werte von Ggeben, wo die entsprechenden Werte von fj und U0 auf ver­schiedenen Seiten von dieser Grenzlinie liegen und sodannabgerundet werden, die eine nach oben und die andere nachunten. Zwei Falle, die getrennt behandelt werden mussen,kOllnen dabei eintreffen, namlich dass die Grellzlinie inFrage die Kurve von a schneidet oder nicht schneidet, wie

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Po=160U

oM = 300

321 ---"""'1'..£---,f------

dJ.

7°·6 71

Fig. 3.

aus den Fig. 3 und -! hervorgeht. Uo nach derselben Seiteals (J abgerundet zu erhalten, ist offenbar auf die Weise mog­lich, dass To mit einem geeigneten Betrag vermehrt wird,wodurch auch Uo mit demselben Betrag wfichst. Dieser kannso bestimmt werden, dass der neue erhohte Wert von Uo (diegestrichelten Linien auf Fig. 3 und 4) immer auf derselbenSeite von einer Grenzlinie als (J zu liegen kommt. Die Er­hohung ist weiter von G unabhangig, da sie nur von der Lagedes Schnittpunktes zwischen der Grenzlinie und den Kurvenvon U bedingt ist und diese Lage, was oben gezeigt wordenist, nicht von G abhangig ist.

Es handelt sich nun darum, die Grosse dieser Erhohungzu berechneu.

'Venn man in dem .A nsdruck

Uo= ~ Po + 50 +¥]}f -1- 1,2 h - Po - I"

0= 1'0 - 1'0 zur rechten Seite addiert, erhfilt man, wenn manIII Betracht zieht, dass

1Po + 50 +~]}f + 1,2 h - Po - ro= 6 k + 3ist, dass

F o = Gk + 3 + 1'0 - I"

wird. Da(J = Uo + '~'r

Os1'<1 (17)

ist, erhfilt man weiter

(J = Gk + 3 + 1"0 - ~ l' Osr<1 (18)

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327 -----:--:::::>'J'1f":...-7f----

70

Fig. 4.

Po = 170M =300

Betrachten wir erstens den Fall, del' in Fig. 3 dargestelltwird und del' mit 1'0 > ~. stimmt, sehen wir, dass die Erhohung,wenn sie mit d bezeichnet wird, gleich

d = 1 - 1'0

gesetzt werden kann.Dann erhalten wir

Fo + d = 6 k + 3 +1'0 - r + 1 - 1'0 = 6 k + 3 + 1 - l'

Da l' < 1 ist, ist immer

(19)

Uo + cl> 0 k + 3wie U.

In dem Fall dagegen, del' in Fig. 4 dargestellt wiI'd unddel' mit 1'0 < .~ stimmt, miissen WIr

setzen.Dann erhalten WIr

Co + d = 6 k + 3 + 1'0 - r + ~ 1'0 = Gk + 3 + t 1'0 - r

Fiir

(20)

ist dann sowohl

als auchrIo + d = 6k + 3

U= 6k + 3

was aus (18) hervorgeht.5-45203 Skandinavisk Aktuarietidskrift 194.5

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Po == 175M =300

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Uo "//

//

//327 -...L/~ _

6'\

Fig. 5.

Es eriibrigt noch, d als Funktion von JYl - Po zu berechnell.Laut (12) und (15) haben wir

1'0 = 1,2 (R - [R])wo

47 + .~. (lYI - P )R=. I . 0

1,2

Wir der letztgenannte Bruch mit 35 verHingert, erhlilt man

R = !t3~5-+ 10 (JYl - Po)42

(21)

R- [R] ist der Rest, der entsteht, nachdem die grosste ganzeZahl, die in R enthalten ist, davon subtrahiert wird. Offenbarist 42 (R - [R]) gleich dem Rest, der entsteht, wenn 1645 + 10(1J!I - Po) mit 42 dividiert wird. Wird dieser Rest mit u be­zeichnet, hat man also dass

U 111'0=1,2

4",=--

"' 35ist. Mit

,. _2'0 - 7

stimmt

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tt = 10und folglich ist

ud = 1- 35

d=~14

fur tt > 10

fur u < 10

(22)

Wie man leicht sieht, kann u nur ungerade ganze Wertezwischen 0 und 42 annehmen.

Riel' ist vorHiufig von dem Umstand abgesehen worden,dass j'o, laut Formel (15) berechnet, > 1 sein kann, was mitu> 35 stimmt, woraus folgt, dass d negativ wird. Dies be­deutet, dass die Grenzlinie zwischen zwei Intervallen von Uofallt (siehe Fig. 5). Weil d so berechnet ist, dass Uo + d amlinken Endpunkt des Intervalles = 6 k + 3 ist, ist es offenbarkeine Gefahr, die obengenannte Formel (22) anzuwenden, wennauch d negativ werden sollte. Es kann gewiss unnotig scbeinen,eine Korrigierung von Uo zu machen, da Uo und (J jeden­falls sicb auf derselben Seite der Grenzlinie befinden. Mangewinnt abel' den Vorteil, dass To + d mit runden Zebnernvon Oren scbliesst im Gegensatz zum Werte To, del', lautFormel (8) berechnet, Siebentel von Kronen ausmacht, wasnicht ohne jede Bedeutung bei der Handhabung der Tabellen ist.

Denn fiir d = 1 - ro hat man

To + d =¥ Po + 50 +~]lI + 1 - roDa

ro= 1.2 (R - [R]) = 47 + ~ (1J:I - Po) - 1,2 [R]

ist, erhalt manTo + d = Po + 4 + 1,2 [R]

woraus hervorgeht, da ja Po und [R] ganze Zahlen sind, dassTo + d auf runde Zwanzigzahlen endigt.

Fiir d = .~ ro erhalt man dagegen

To + d = ¥. Po + 50 + ~ 111 + ~ ro==¥ Po + 50 + HM - Po) + 3 R - 3 [R] == 50 + M + ~ .47 - 3 [R]

III welcbem FaIle To + dimmer auf 50 are endigt.(Ein,qe,qangen JannaI' 1945.)

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