1

Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel

13. mai 2005

Reeno ReederTTÜ Elektroonikainstituudi üliõpilane

2

Sissejuhatus Kvantmehaanika

1920. aastatel tekkinud teadusharu Pooljuhtelektroonika alus Tulevikutehnoloogiate alus

(kvantkeemia, nanotehnoloogia) Orbitaalidest arusaamise tähtsus

kasvab Numbrilised lahendusmeetodid

arengujärgus

3

Mida me otsime?

tixtx exp)(,

Ajast mittesõltuv lainefunktsioon (otsime)

xExVx

x

m

2

2

2

Ajast sõltuv lainefunktsioon

Ajast mittesõltuv Schrödingeri võrrand

kompleksne kompleksnereaalne

4

Schrödingeri võrrand

Seob elektroni energia ja lainefunktsiooni vastavalt etteantud potentsiaalijaotusele

Energia on diskreetne, igale energia omaväärtusele vastab omalainefunktsioon

Lainefunktsiooni ruut on elektroni jaotustihedus

xExVx

x

m

2

2

2

5

Schrödingeri võrrandi lahendusmeetodid Analüütilised

Suur täpsus, kuid ideaalsete olukordade jaoks

Suur ülevaatlikkus Numbrilised

Reaalsete olukordade jaoks Probleemid täpsusega (täpsus vs

lahendusaeg)

6

nn Tulistamismeetod (shooting method) Lahendite katseline otsimine, mis

rahuldaksid piiritingimusi Itereerides energia E väärtusi, otsitakse

lahendeid, mille korral

Saadakse hulk E väärtusi, mis on võrrandi omaväärtused, kirjeldavad kvantsüsteemi diskreetseid energiaolekuid.

0, xE

7

Tulistamismeetodi plussid Lihtsalt realiseeritav ja mõistetav Seega õppeotstarbel hea kasutada Saab lihtviisil kogu

energiavahemiku läbi “kammida”. Mugav rakendada 1D või quasi-3D

süsteemide korral

8

Tulistamismeetodi miinused Kriitiline vigade suhtes

Tulemuste numbriline ja tsükliline töötlemine põhjustab vigade kuhjumist

Nõrgalt seotud ülesande osad põhjustavad vigade suurenemist

Raskused mittesümmeetriliste potentsiaalide korral

Arvutusressursi ebaotstarbekas kasutamine

9

Rakenduste realiseering Kasutatakse programmeerimisvahendeid C

ja shell scripting Tulemuste graafiliseks väljastamiseks

kasutatakse Gnuploti graafikujoonistustarkvara (www.gnuplot.info)

Rakendatud Paul Harrison ideid raamatust Computational Methods in Physics, Chemistry and Biology

10

Vigade tekke näide

Isegi küllalt väikeste energia ebatäpsuste korral hakkab ψ barjääri sees taas kasvama või kahanema - varjatud komponendi mõju, kus

karLxA exp

EVmeLkar

02

11

Kaksik-kvantaugu ülesanne

Lbarj = 10 Å E1 = 0,298 eV E2 = 0,298 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

12

Kaksik-kvantaugu ülesanne

Lbarj = 2 Å E1 = 0,295 eV E2 = 0,301 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

13

Kaksik-kvantaugu ülesanne

Lbarj = 1 Å E1 = 0,282 eV E2 = 0,309 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

14

Kaksik-kvantaugu ülesanne

Lbarj = 0,5 Å E1 = 0,254 eV E2 = 0,319 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

15

Kaksik-kvantaugu ülesanne

Lbarj = 0 Å E1 = 0,084 eV E2 = 0,334 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

16

Kaksik-kvantaugu ülesanne

0

0,050,1

0,15

0,2

0,250,3

0,35

0,4

10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0

Barjääri laius, Å

En

erg

ia,

eV

E1 E2

0,2980,334

0,084

17

Kolmik-kvantaugu ülesanne

E1 = 0,298 eV E2 = 0,298 eV E3 = 0,298 eVLbarj = 5 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

18

Kolmik-kvantaugu ülesanne

E1 = 0,294 eV E2 = 0,298 eV E3 = 0,302 eVLbarj = 2 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

19

Kolmik-kvantaugu ülesanne

E1 = 0,276 eV E2 = 0,296 eV E3 = 0,314 eVLbarj = 1 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

20

Kolmik-kvantaugu ülesanne

E1 = 0,237 eV E2 = 0,284 eV E3 = 0,328 eVLbarj = 0,5 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

21

Kolmik-kvantaugu ülesanne

E1 = 0,165 eV E2 = 0,249 eV E3 = 0,339 eVLbarj = 0,2 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

22

Kolmik-kvantaugu ülesanne

E1 = 0,038 eV E2 = 0,154 eV E3 = 0,347 eVLbarj = 0 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV

Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:

23

Kolmik-kvantaugu ülesanne

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0

Barjääri laius, Å

En

erg

ia,

eV

E1 E2 E3

0,298

0,347

0,154

0,039

24

Kolmik-kvantaugu mudel (1)

25

Kolmik-kvantaugu mudel (2)

26

Kokkuvõte Vaadeldud kaksik- ja kolmik-

kvantaugu ülesanded näitavad ilmekalt, kuidas lainefunktsioonid kombineeruvad ja energianivood lahknevad aatomite teineteisele lähenedes

Numbrilised meetodid sobivad hästi keeruka potentsiaalijaotusega ülesannete lahendamiseks

27

Aitäh!

Küsimusi?

http://home.cyber.ee/reeno reeno@cyber.ee