u.gasparini, fisica i1 centro di massa g di un sistema di punti materiali p i : g x y z r cm y cm...
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U.Gasparini, Fisica I 1
“Centro di massa” G di un sistema di punti materiali Pi :
G
x
y
z
rCM
yCM
massa totale del sistema
O
P1
OG rm OP
m
m r
MCM
i ii
ii
i ii
r1
xM
m x
yM
m y
zM
m z
CM i ii
CM i ii
CM i ii
1
1
1
Esempio: CM di un sistema di 3 punti materiali di egual massa mposti ai vertici di un triangolo equilatero di lato l :
y
x
xm
mx mx mxm
m
ym
my my mym
m
CM
CM
1
3
1 1 2
3 2
1
3
3 2
33 6
1 2 3
1 2 3
( )( / )
( )/
/
0
0 h 2 2 4 3 2/ /
hG
“Centro di massa”
P2
P3
zCM
xCM
2/
P1 P2
P3
U.Gasparini, Fisica I 2
v tdr t
dt
d
dt Mm r t
Mm
dr t
dtCMCM
i ii ii
i( )
( )( )
( )
1 1
v t
dr t
dt Mm vCM
CMi ii
( )( )
1
v1
v2
vCM
Accelerazione del CM :
a tdv t
dt
d
dt Mm v t
Mm
dv t
dtCMCM
i ii ii
i( )
( )( )
( )
1 1
a t
dv t
dt Mm aCM
CMi ii
( )( )
1
La quantità di moto totale di un sistema di punti materiali può essere espressa da:
P p m v Mvi
ii i CM
i
Velocità e accelerazione del CM
U.Gasparini, Fisica I 3
Per ogni punto materiale Pi di massa m i :
m a F F F F Fi i itot
iE
iI
iE
ijj i
risultante delle forze esterne al sistema agenti su Pi
risultante delle forze interneagenti su Pi forza interna che
il punto Pj
esercita su Pi
P1
P2
F12
F21 = - F12
F1E
(es.: m1g )
Ma m a F F F
F F F F F
CM i ii
itot
iiE
ijii
iE
i
12 13 14 21....... ...
F F F F12 21 12 12 0 RE
legge diNewton
legge di azione e reazioneMa RCM
E
risultante delle forze esterneche agiscono sul sistema
accelerazione del CMin un sistema di riferimento inerziale
Teorema del moto del centro di massa
CM
U.Gasparini, Fisica I 4
Considerando la quantità di moto totale del sistema : P MvCM dP
dtM
dv
dtMaCM
CM
dP
dtR E
Esempio:il CM di un sistema di punti materiali in moto sotto l’azione della forza pesocompie il moto parabolico di un punto materiale soggetto all’accelerazione g :
Ma R m g m gCME
ii
ii
a gCM
In particolare, per un sistema isolato o per il quale la forzarisultante di tutte le forze esterne sia nulla :
dP
dt
0 P = costante
la quantità di moto totale si conserva.
Quantità di moto totale del sistema
U.Gasparini, Fisica I 5
- il momento risultante delle forze peso agenti sul sistema di punti materiali rispetto ad un polo O é uguale al momento della forza peso totale applicata nel centro di massa del sistema
O
G
mi g
M g
ri
M M OP m g
m OP g M OG g OG Mg
Otot
ii
ii
i
i ii
Pi
M OG MgO
tot
- l’energia potenziale della forza peso per un sistema di punti materiali è uguale all’energia potenziale di un punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema e coincidente col centro di massa :
E E m gz g m zp ip
i iii
i ii
E Mgzp CM
MzCM
Proprietà del centro di massa
mi
U.Gasparini, Fisica I 6
Dato un insieme di forze paralleleapplicate nei punti Pi , esiste un punto C, detto
“centro delle forze parallele”:
F F ui i
tale che il momento risultante delle forze Fi rispetto ad un
generico polo O sia uguale al momento rispetto ad O della risultanteapplicata in C. Infatti:
OC rF r
FC
i ii
ii
R Fii
Fi
ri
C
Pi
O
R
M M OP F
OP F u F OP u
F OP
FF u OC R
Otot
ii
ii
i
ii i i ii
i ii
ii
ii
( )
Se il sistema delle forze parallele è costituito dalle forze peso:
F m g m gui i i z il centro delle forze peso, o “baricentro”, è:
rm gr
m g
m r
mG
i ii
ii
i ii
ii
e coincide col centro di massa.
Proprietà dei sistemi di forze parallele
U.Gasparini, Fisica I 7
Un sistema di forze Fi applicate in n punti Pi ha un momento risultante che in generale dipende dal polo considerato:
M OP F M O P FO ii
i O ii
i
' '
OO’
Pi FiOPi
O’Pi
M O P F O O F OP FO i
ii
ii i
i' ' '
O’O
= O’O + OPi= M O
Si ha:
O O F Mii
O'
M O O R MO O' '
risultante del sistema di forze
In particolare un sistema di forze a risultante nulla ha un momento che non dipende dal polo considerato
Momento risultante di un sistema di forze
U.Gasparini, Fisica I 8
Sistema di due forze di egual modulo e direzione e di verso opposto ( R 0 ) .Il momento di una coppia di forze è indipendente dal polorispetto al quale viene calcolato; prendendo come polo il punto A:
A B- F
F
“braccio”: b= ABsin(= distanza tra le due rette d’azione)
M = AB F
M AB F Fb sin
Per la legge di azione e reazione, le forze interne di un sistemacostituiscono un insieme di coppie di braccio nullo .
Coppia di forze :
U.Gasparini, Fisica I 9
Momento angolare di un sistema di punti materiali
L L r m vO ii ii i i
L r m v r r m v v
r m v r m v r m v v
O ii i i G i i G ii
G i Gi G i ii i i G ii
( ' ) ( ' )
' ' ( ' )
MvG
MvG
' 0
r Mv r m v r m v
r Mv r m v m r v
G G i i ii i i Gi
G G i i ii i ii
G
' ' '
' ' '
L G’ MrG
' 0
L r Mv r m v
r Mv L
O G G i i ii
G G G
' '
'O
Pi
G
ri = ri’
rGvG
vi = vi’ + vG
ri’ +rG
Teorema di Koenig del momento angolare:
U.Gasparini, Fisica I 10
Moto traslatorio:
vG = v1 = v2
v1
v2
v1’ = v2’ = 0
nel sistema di riferimento del CM:
L r m vG i i i
i
' ' ' 0
L r Mv r m vO G G 1 1 1' '
G
Or2
r1
Moto roto-traslatorio:
Quantità di moto totale: P MvG
G
v2
v1
v2’
v1’
vG
rG
rG
r2’
r1’
O
Quantità di moto totale:
P MvG
r m v2 2 2' '
L r MvO G G
Teorema di Koenig del mom.angolare: esempi:
U.Gasparini, Fisica I 11
Teorema del momento angolare per un sistema di punti materiali( “ 2a equazione cardinale” della dinamica):
dL
dtM v MvO
OE
O G
( )
momento totale delle forze esterne rispetto al polo O
velocità del polo Onel sistema di riferimentoinerziale nel quale i puntimateriale hanno le velocità vi
che entrano nella definizionedi LO :
L r m vO i i i
C
O
sistema inerziale
v GG
v i
vO
r i
dL
dt
d
dtr m v
dr
dtm v r m
dv
dt
Oi i i
ii i i i
i
v vi O
m a F
F F
i i i
iI
iE
( ) ( )
v m v v m v r F Fi i i O i i i i
Ii
E( )( ) ( )
= 0
MvG
massa totale del sistema
Teorema del momento angolare
Infatti:
U.Gasparini, Fisica I 12
dL
dtv Mv r F r FO
O G i iE
i iI
( ) ( )
M MOiE
OE( ) ( ) = 0
r F r F r F r F
r F r F r r F
i iI
i ijj ii
( ) ...
... .... ( ) ....
1 12 1 13
2 21 2 23 1 2 12
F12 = 0
poichè le forze interne costituiscono coppie di forze a braccio nullo :
O
m1
m2
r1
r2
F12
F21 = - F12
r r r F1 2 21 12 / /
r12
( ) r r F1 2 12 0
Pertanto: dL
dtv Mv MO
O G OE
( )
Infatti, il momento risultante delle forze interne è nullo:
Teorema del momento angolare (II)
U.Gasparini, Fisica I 13
Se il polo O è fisso nel sistema inerziale nel quale sono misurate le velocità vi dei punti materiali:
dL
dtMO
OE
( )vO 0
Se il sistema é isolato o il momento risultante delle forze esterneagenti sul sistema è nullo : dL
dtO
0
LO = costante
Il momento angolare totale di un sistema isolato si conserva
Momento angolare (III)
Una galassia è conottima approssimazione un esempio di sistemacon momento angolarecostante
U.Gasparini, Fisica I 14
Il collasso gravitazionale (e la successiva esplosione) di una “supernova” avviene conservando il momento angolare della stella originaria.Al centro dei resti della Supernova della nebulosa del Granchio (esplosione osservata da astronomi cinesi nel 1054) vi è una “pulsar” (oggetto compatto che emette un fascio di radiazione e.m. ruotando con un periodo Tpulsar= 33 ms )
I Istella stella pulsar pulsar L = costante
MRstella2 MRpulsar
2
R R RT
Tpulsar stellastella
pulsarstella
pulsar
stella
Assumendo, come
ordine di grandezza: R R kmstella Sole 106
25 Solestella TT R R kmpulsar Sole 10 105
La pulsar è una “stella di neutroni”(distanze internucleari 1 fm)
“pulsar”
La Supernova della nebulosa del Granchio
Dalla conservazione del momento angolare [per un oggetto sferico rotante, come la stella iniziale prima dell’esplosione o la“pulsar” finale: L= I, dove I=5MR2/2(vedi più avanti, lezioni sul corpo rigido),dove M=massa dell’oggetto e R è il suo raggio ]si ha allora:
giorni
U.Gasparini, Fisica I 15
Se viene scelto come polo il centro di massa del sistema:
O G , v MvG G 0
v vO G dL
dtMG
GE
( )
dove: L r m vG ii i i
vettori posizionerispetto al polo G
velocità dei punti materialinel sistema inerziale: v vi i '
velocitàrispetto a GApplicando il teorema di Koenig del momento angolare:
L r Mv LO G G G '
r m vii i i' '
r m vii i i vettore posizionedi G rispetto ad O
al caso in cui O=G :rG 0
L LG G '
e quindi: dL
dtMG
GE
' ( )
L r m vG ii i i' ' '
ossia calcolato utilizzando sia le posizioni ri’ che le velocità vi’ rispetto al centro di massa G.
i
Momento angolare rispetto al centro di massa
dove è il momento angolare relativo al sistema del CM,
U.Gasparini, Fisica I 16
E E m vk ik
i i ii 1
22
Energia cinetica di un sistema di punti materiali:
O
G
ri = ri’
rG
vi = vi’ + vG
Pi
ri’ +rG
E m v v
m v m v m v v
Mv m v v m v
k i G ii
i Gi i ii i G ii
G i ii G i ii
1
21
2
1
21
2
1
2
2
2 2
2 2
( ' )
' '
' '
MvG
' 0energia cineticaassociata al moto del CM energia cinetica EK’
associata al motorelativo al CM
E Mv m vk G i ii 1
2
1
22 2
'
1
22Mv EG k
'
Teorema di Koenig per l’energia cinetica:
vG
U.Gasparini, Fisica I
Teorema dell’energia cinetica per un sistema di punti materiali :
E E E W Wk kf
ki
i fI
i fE
( ) ( )
lavoro delle forze internetra gli istanti iniziale e finale
lavoro delleforze esterneal sistema
dsj
Il lavoro infinitesimo dW di tutte le forzeagenti sul sistema quando ciascun puntomateriale si sposta del vettore infinitesimo dsj è:
Fj
dW F ds m a ds m a dsjj j j j jj j Tj jj
mdv
dtds m dv v d mv
d E d E dE
jj
j j j j jj jj
jk
j jk
j k
1
22
Integrando su spostamenti finiti:W dW F ds
dE E E
i f
i
f
j j
i
f
j
jk
i
f
j jk
kj
F Fj
Ij
E( ) ( )
posizione finale di ciascun punto Pj
posizione iniz.
Teorema dell’energia cinetica
U.Gasparini, Fisica I 18
Nel calcolo del lavoro, si deve tener conto sia delle forze interne che di quelle interne;il lavoro delle forze interne non è, in generale, nullo :
dW F dr F dr
F dr F dr F dr
Ij
Ijj jkk jj j
( ) ( )
... ....
12 1 13 1 21 2
F dr dr F dr dr12 1 2 13 1 3( ) ( ) ....
F12
F dr dr F dr dr
F d r r F d r r F drjk jkk j
j
12 1 2 13 1 3
12 1 2 13 1 3 0
( ) ( ) ....
( ) ( ) ....
O tempo ttempo t +dt
dr dr dr 12 1 2
r t
r t r t12
1 2
( )
( ) ( )
r t dt12 ( )
r t2 ( )
r t1( )
r12
F12
F12
0 F dr12 12 0
dr1
dr2
12
1
2
Lavoro delle forze interne ed esterne