u.gasparini, fisica i1 la forza con cui un corpo sferico omogeneo di massa m attrae unaltra massa è...
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U.Gasparini, Fisica I 1
La forza con cui un corpo sferico omogeneo di massa M attrae un’altra massa è la stessa che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro della sfera :
m
F
FMT
m
FmM
RT
2
distanza dalcentro dellasfera omogenea
Forza gravitazionale di un corpo sferico omogeneo
MT
U.Gasparini, Fisica I 2
Forza esercitata sulla massa mP da un “guscio sferico” di massa M:
dm
mP
df = mPdm / x2
C
R
r
x R rcos cos
x
F dFforza esercitata dall’ “anello” di massa dM
P
“anello” di raggio Ra=r sin e massa dM = drdrdrrdrdrrdRdV a sin2sin22 2
dmx
m
x
dmmdfdF P
anello
P coscoscos22
dF
drdrx
mdM
x
m PP sin2coscos 222
R r
x
cosxdx
Rr
“Guscio sferico”
Ra
distanza da mP a dm forza esercitata da dm su mP
dM
dr
d
dV
(vediseguito)
dM
U.Gasparini, Fisica I 3
dF R rm
xrdx
RdrP ( cos )
22
rx
R
x R r r2 2 2 2 ( cos ) sin
rx R r
Rcos
2 2 2
2
2 2xdx Rr d sin
sin d xdx
Rr
R Rr r2 22 cos
dFR r
x
m
RrdxdrP
2 2
2 21
F dFm
Rrdr
R r
xdx
guscio
P
R r
R r
2
2 2
2 1
4rFm
Rr dr
m
RMP P 2
224
M
Forza esercitata dall’intero ‘guscio’ di massa M :
Differenziando:
massa del guscio sferico
Quindi:
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F ( r ) = - M m uR
r2
M
r
FuR
m
G( r ) F( r ) = - M uR
mG ( r )P
“linee di forza” del campo:tangenti in ogni punto alladirezione del campo
Forza gravitazionale esecitata da una massa M su una massa m:
“Campo gravitazionale” generato dalla massa M:
Campo della forza gravitazionale
r2
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P1
G
Le linee di forza “visualizzano” l’andamento del campo; la loro densità è proporzionale all’intensità del campo.
Campo gravitazionale generato da due masse uguali:
P2
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“Flusso” del campo vettoriale G attraverso unasuperficie orientata infinitesima :
dS= dS uN
superficie di area dS
Gd G dS
Flusso attraverso una superficie finita S:
S
S S
d G dS
GdS
“Flusso” di un campo vettoriale
U.Gasparini, Fisica I 7
Il flusso del campo gravitazionale attraverso una qualsiasi superficie chiusa è proporzionale alla somma delle masse all’interno della superficie:
S
S
ii
G dS m 4
G
miMj
In particolare:
m
S
S
G=-G(r )u R
r S
S
G dS G r r m
( )4 42
G rm
r( )
2
teorema di Gauss
Teorema di Gauss :
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Forza gravitazionale all’interno di una sfera omogenea di massa M :
G= - G( r) uRrm(r) S
S
G dS G r r m r
( ) ( )4 42
G rm r
r
r
r( )
( )
2
3
2
4
3 G r r( ) 4
3
R
r
)(
)(
rmG
rF
Forza gravitazionale su una massa m a distanza r dal centro di una distribuzionesferica di raggio R e massa :
R
4
3rm
mMr 2
M R4
33
r > Rr < R
Applicazione del teorema di Gauss :
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U U r U r W F r ds12 2 1 1 2
1
2
( ) ( ) ( )
1
2F
dsr1
r2
M
m mM
ruR2
U mMu ds
rmM
dr
rR
r
r
12 21
2
2
1
2
ds
uR
u ds u ds drR R cos
U r U r mMr
mMr rr
r
( ) ( )2 11 2
1 1 1
1
2
Posto : r1 U r( )1 0 r r2
U rmM
r( )
Energia potenziale della forza gravitazionale
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r
U(r)
mMr
R
mMR
E’ la minima velocità iniziale v0 (nel punto a distanza r = R) necessaria per sfuggire all’attrazione gravitazionale ( per arrivare ad r = con velocità nulla)
U R E U r Eki
kf( ) ( )
mMR
mv1
200
2
vM
R02
Per la Terra:R R mT 6 4 106. M kgT 6 1024.
v km s0 11 /
Per il Sole: kmRRR TS62 107.010
M M kgS T 10 106 30 v km s0 620 /
“Velocità di fuga”
Dalla conservazione dell’ energia meccanica:
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Terra (Sett.1977)Giove (Feb.1979)
Saturno (Ott.1980)
Urano (Gen.1986), Nettuno (Ago.1989)
Il viaggio del “Voyager”
Ha inviato i suoi ultimi segnali qualche hanno fa, dopo aver superato l’ orbita di Plutone; attualmente vaga nello spazio interstellare, a circa 10 miliardi di km da noi; è l’oggetto più lontanomai lanciato dall’ Uomo. Potrebbe raggiungere Proxima Centauri, la stella più vicina al Sole (4,2 anni-luce), tra circa 40000 anni.
Nella sua traiettoria, ha utilizzato i pianeti giganti come“fionde gravitazionali”, per raggiungerei pianeti esterni del sistema solare
U.Gasparini, Fisica I 12
“Curva di rotazione”(o cuva“kepleriana”) del sistema solare:dalla legge di gravitazione universale, per un pianeta in orbita circolare di raggio R:
ma mv
R
mM
R
2
2
vM
R
v(km/s)
R km( )1090.5 1. 1.5 2. 2.5 3.
40.
30.
20.
10.
Terra
Marte
GioveSaturno
Urano
Venere
La curva di rotazione della nostra galassia (“Via Lattea”) non segue la stessa legge:
200.
100.
v(km/s)
)10( 3R150.100.
1.
50. 200.
SoleAmmassi globulari
Grandi nubi di Magellano
Piccole nubi di Magellano
“Curva di rotazione”
anni-luce
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La “curva di rotazione” delle galassie non segue la legge kepleriana :
per spiegare l’andamento di v(r) delle stelle nelle galassie, misurato dall’osservazionedel ‘redshift’ (= spostamento verso il rosso) degli spettri di emissione della luce, è necessario ammettere l’esistenza di materia oscura nell’Universo(es.: stelle di neutroni, buchi-neri, neutrini, nuove particelle di natura sub-nucleare…)che contribuisca alla massa totale della galassia stessa, sorgente della forza gravitazionale
Curva di rotazione delle galassie