uhn.ac.id matematika teknik ii - miduk... · satuan acara perkuliahan mata kuliah : matematika...

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

MATA KULIAH : MATEMATIKA TEKNIK IIFAKULTAS : TEKNIKPROGRAM STUDI : TEKNIK MESINBOBOT SKS : 3 (TIGA)KODE : CM 220334DOSEN PENGASUH : MIDUK TAMPUBOLON, S.Si , M.Si

MINGGU POKOK BAHASAN SUB POKOK BAHASAN METODE MEDIA SUMBERKE DAN TIU DAN SASARAN BELAJAR PENGAJARAN

1.1 Notasi, konjugate bilangan kompleks 1.2 Operasi bilangan kompleks

Aljabar Bilangan Kompleks 1.3 Modulus bilangan kompleks1.4 Bentuk polar

TIU: kuliah mimbar, Papan tulis,1 Memberi penjelasan tentang tanya jawab dan LCD atau 1, 2

notasi, konjugate , operasi dan diskusi. proyektorModulus bilangan kompleks, bilangan kompleksserta menjelaskan bentuk polar.

polar dari bilangan kompleks.

*Mahasiswa dapat memahami operasi

*Mahasiswa dapat memahami bentuk

1.5 Bentuk eksponensial1.6 Perpangkatan bilangan kompleks

Aljabar Bilangan Kompleks 1.7 Akar bilangan kompleks

2 TIU: * Mahasiswa dapat memahami bentul kuliah mimbar, Papan tulis,Memberi penjelasan tentang eksponensial bilangan kompleks tanya jawab dan LCD atau 1, 2notasi, konjugate , operasi dan * Mahasiswa dapat memahami diskusi. proyektorModulus bilangan kompleks, perpangkatan bilangan kompleksserta menjelaskan bentuk polar. * Mahasiswa dapat menentukan

akar bilangan kompleks

2.1 Turunan fungsi kompleksTurunan Fungsi Kompleks 2.2 Perumusan Cauchy Riemann

kuliah mimbar, Papan tulis,3 TIU: * Mahasiswa dapat memahami rumus tanya jawab dan LCD atau 1, 2

Memberi penjelasan tentang turunan fungsi kompleks diskusi. proyektorrumus turunan turunan fungsi * Mahasiswa dapat memahami kompleks persamaan Cauchy Riemann

Fungsi Analitik 3.1 Fungsi analitik3.2 Integral lintasan kuliah mimbar, Papan tulis,

4 TIU: tanya jawab dan LCD atau 1, 2Memberi penjelasan * Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat diskusi. proyektorfungsi analitik, integral kompleks fungsi analitikdan turunan fungsi analitik * Mahasiswa dapat memahami

integral lintasan

Fungsi Analitik 3.3 Integral Cauchy3.4 Turunan fungsi analitik kuliah mimbar, Papan tulis,

5 TIU: tanya jawab dan LCD atau 1, 2Memberi penjelasan tentang * Mahasiswa dapat memahami diskusi. proyektorfungsi analitik, integral kompleks integral Cauchydan turunan fungsi analitik * Mahasiswa dapat menentukan

turunan fungsi analitik.

Kekonvergenan Barisan dan 4.1 Barisan dan deret aritmatikaderet. 4.2 Barisan dan deret geometri

4.3 Deret tak hingga kuliah mimbar, Papan tulis,6 TIU: tanya jawab dan LCD atau 1, 2

Memberi penjelasan tentang * Mahasiswa dapat memahami barisan diskusi. proyektorbarisan aritmatika dan geometri, dan deret aritmatika deret tak hingga, dan kaidah uji * Mahasiswa dapat memahami barisan kekonvergenan. dan deret geometri, deret tak hingga

Kisi Kisi Ujian Tengah Semester Soal soal terkait topik bahasan pertemuan 7 pertama sampai pertemuan keenam.

TIU: Papan tulis,Memberi gambaran tentang soal * Mahasiswa dapat memahami dan diskusi dan quiz LCD atau 1, 2Ujian Tengah Semester mengingat kembali topik yang sudah proyektor

dipelajari dari pertemuan pertama sampai pertemuan keenam

Kekonvergenan Barisan dan 4.4 Kaidah uji kekonvergenanderet. 4.5 Kekonvergenan mutlak

TIU: * Mahasiswa dapat memahami kaidah kuliah mimbar, Papan tulis,8 Memberi penjelasan tentang uji kekonvergenan tanya jawab dan LCD atau 1, 2

barisan aritmatika dan geometri, * Mahasiswa dapat memahami diskusi. proyektorderet tak hingga, dan kaidah uji kekonvergenan mutlakkekonvergenan.

Deret Pangkat 5.1 Deret Taylor5.2 Deret Maclaurin

9 TIU: 5.3 Deret Binomial kuliah mimbar, Papan tulis,Memberi penjelasan tentang tanya jawab dan LCD atau 1, 2deret Taylor dan deret * Mahasiswa dapat memahami diskusi. proyektorMaclaurin. deret Taylor , deret Maclaurin dan

deret binomial.

Transformasi Laplace 6.1 Transformasi laplace6.2 Invers transformasi Laplace

TIU:10 Memberi penjelasan tentang kuliah mimbar, Papan tulis,

Transformasi Laplace, invers * Mahasiswa dapat memahami tanya jawab dan LCD atau 1, 2transformasi Laplace, masalah transformasi Laplace diskusi. proyektornilai awal, pergeseran sumbu. * Mahasiswa dapat memahami

invers transformasi Laplace

Transformasi Laplace 6.3 Masalah nilai awal

11 TIU: * Mahasiswa dapat memahami kuliah mimbar, Papan tulis,Memberi penjelasan tentang Masalah nilai awal tanya jawab dan LCD atau 1, 2Transformasi Laplace, invers diskusi. proyektortransformasi Laplace, masalah nilai awal, pergeseran sumbu.

Transformasi Laplace 6.4 Pergeseran terhadap sumbu s6.5 Pergeseran terhadap sumbu t

12 TIU:Memberi penjelasan tentang * Mahasiswa dapat memahami kuliah mimbar, Papan tulis,Transformasi Laplace, invers transformasi Laplace dengan pergeseran tanya jawab dan LCD atau 1, 2transformasi Laplace, masalah terhadap sumbu s dan sumbu t diskusi. proyektornilai awal, pergeseran sumbu.

Konvolusi. Persamaan integral 7.1 Teorema konvolusi7.2 Persamaan integral

TIU: kuliah mimbar, Papan tulis,13 Memberi penjelasan * Mahasiswa dapat memahami tanya jawab dan LCD atau 1, 2

teorema konvolusi dan teorema konvolusi diskusi. proyektorpersamaan integral * Mahasiswa dapat memahami

persamaan integral

Kisi Kisi Ujian Semester Soal soal terkait topik bahasan pertemuan kedelapan sampai pertemuan terakhir.

TIU: Papan tulis,14 Memberi gambaran tentang soal * Mahasiswa dapat memahami dan diskusi dan quiz LCD atau 1, 2

Ujian Semester mengingat kembali topik yang sudah proyektor dipelajari dari pertemuan kedelapan sampai pertemuan terakhir

Daftar Referensi[1] K.A. Stroud, Engineering Mathematics, 3rd Edition, The Macmillan Press Ltd, 1987[2] Kreyzig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, Edisi ke-7, John Wiley, 1993

M I D U K T A M P U B O L O N

A. NOTASI Z = (x , y) artinya Z= x + y i

dimana :

x = bagian riel dari Z

y = bagian imaginer dari Z

i = bilangan imaginer = −1

Catatan :

i = −1i2 =−1i3 =−ii4 = 1i5 = i

B. KONJUGATE (SEKAWAN) BILANGAN KOMPLEKS Jika diketahui bilangan kompleks Z = x + y i maka konjugate (sekawan) bilangan tersebut adalah Z = x− y i

Contoh :

Z = 8 – 2 i konjugatenya Z = 82i

Z = 4 i – 5 konjugatenya Z =−4 i−5

dimana :Z . Z = x y i . x− y i Z . Z = x2− xy ixy i− y2 i2

Z . Z = x2 y2

Jadi perkalian bilangan kompleks dengan konjugatenya atau kelipatan konjugatenya menghasilkan bilangan riel.

Contoh :

8−2i . 82i = 8222 = 684i−5 .−4i−5 = 42−52 = 41

C. OPERASI BILANGAN KOMPLEKS Misalkan diketahui bilangan kompleks Z1 = x1 y1i dan Z 2 = x2 y2 i maka :

1. Z1Z 2 = x1 y1 i x2 y2i Z1Z 2 = x1 x2 y1 y2i

2. Z1−Z 2 = x1 y1 i− x2 y2i Z1−Z 2 = x1− x2 y1− y2i

3. k.Z 1 = k x1 y1 i k.Z 1 = k.x1k.y1i

4. Z 1 .Z 2 = x1y 1i . x2 y2 i Z 1 .Z 2 = x1 . x 2 x1. y2 i y1 . x 2 iy 1 . y2 i

2

5.

Z1

Z2=x1 y1i x2 y 2i

kalikan dengan konjugate

Contoh 01 :


D. MODULUS (NILAI ABSOLUT) Modulus bilangan kompleks Z = x + yi merupakan panjang vektor posisi dari Z. Perhatikan diagram Argand di bawah ini !

Modulus dari Z adalah :

∣Z∣= x2 y2

Sifat-sifat Modulus :

1. ∣Z 1Z2 ∣= x1 x22 y1 y2

2

2. ∣Z 1−Z 2∣= x1− x22 y1− y2

2

3. ∣c.Z1∣=∣c∣.∣Z 1∣4. ∣Z 1. Z 2∣=∣Z 1∣.∣Z 2∣

5. ∣Z 1

Z 2∣= ∣Z1∣

∣Z 2∣

Contoh 01 :

x

y

x

y

Z = x yi

∣Z∣

x

y

sumbu imaginer i

sumbu riel


E. BENTUK POLAR (KUTUB) DARI BILANGAN KOMPLEKS

Perhatikan diagram Argand di bawah ini !

Misalkan panjang vektor OZ = r maka :

∗ sin = yr

y = r sin

∗ cos = xr

x = r cos

∗ tg = yx

= arc tg yx

disebut argumen dari Z. Untuk menentukan nilai , tanda di kuadran harus diperhatikan.

Jadi bentuk polar dari Z = x + y i adalah :Z = r cosr sin i Z = r cosi sin

Contoh 01 :

R

i

x

y

Z = x yi

r

O

00 ,3600

900

1800

2700

KW IKW II

KW III KW IV

x =y =

x =−y =

x =−y = −

x =y = −


F. BENTUK EKSPONENSIAL DARI BILANGAN KOMPLEKS.Telah dipelajari bahwa bentuk Z = x + y i dapat diubah menjadi Z = r cosi sin ,

dengan menggunakan deret pangkat

e x= 1 xx2

2 !x

3

3!x

4

4 !...

cos x = 1− x2

2 !x 4

4 !−x6

6 !...

sin x = x− x3

3 ! x

5

5!−x

7

7!...

maka :

Z = r1−2

2!4

4 !−6

6!...

i−i 3

3!i

5

5!−...

Z = r1i−2

2 !−i

3

3 !4

4 !...

Z = r1ii22

2 !i

33

3 !i

44

4 !...

Z = r1ii 2

2 !i 3

3 !i 4

4 !...

sehingga :Z = r . ei

Bentuk ini disebut bentuk eksponensial dari bilangan kompleks.

Contoh :


G. PANGKAT BILANGAN KOMPLEKS Dengan menggunakan pengertian pangkat an = a x a xa ... xa

n akan ditentukan

rumus untuk perpangkatan dari bilangan kompleks. Misalkan diketahui : Z1 = r1cos 1i sin1Z2 = r 2cos2i sin2

maka :

I. Z 1 .Z 2 =r 1cos1i sin1 .r 2 cos 2i sin 2

Z1 . Z 2 = r1 . r 2 cos1 .cos2cos1 . isin2

i sin1 .cos2i2 sin1 . sin2

Z1 . Z 2 = r1 . r 2 cos1 .cos2i cos 1 .sin2

i sin1 .cos2−sin1 . sin2Z1 . Z 2 = r1 . r 2{ cos 12i sin12 }

jika Z1 = Z2 = r cosi sin didapat :

Z1 . Z 2 = r . r { cos isin }Z2 = r2 { cos2i sin2 }

jika Z1 = Z2 = Z3 = r cosi sindidapat :

Z1 . Z 2 . Z 3 = r . r . r { cos i sin }

Z3 = r 3{ cos 3i sin3 }

sehingga :

Z n = rncos ni sin n

Rumus di atas dinamakan sebagai rumus “De Moivre”

II. Z1

Z 2=r1cos1i sin 1r2cos2isin 2

Z1

Z 2=r1cos 1i sin1r2 cos2i sin2

xcos 2−isin 2cos 2−isin 2

Z1

Z 2=r1cos 1i sin1 x cos2−isin2

r2 cos22−i2 sin22

Z1

Z 2=r1cos 1i sin1 x cos2−isin2r2

Z1

Z 2=r1

r2cos1 .cos 2−i cos1. sin2

i sin1.cos 2−i2sin 1. sin2

Z1

Z 2=r1

r2{cos 1−2i sin 1−2}

Contoh 01 :


H. AKAR BILANGAN KOMPLEKS Dari rumus perpangkatan bilangan kompleks Zn = rncos nisin n dan mengingat periode fungsi sinus dan cosinus adalah 2 maka :

nZ = nr cos2kn

i sin 2 kn

Dalam penentuan akar bilangan kompleks dikenal akar utama yaitu akar yang paling dekat dengan sumbu x positif.

Contoh 01 :


A. DEFENISI Turunan fungsi kompleks f(Z) di Z0

dinyatakan dengan :

f ' Z 0 = limZ0

f Z 0 Z − f Z 0 Z

fungsi f(Z) disebut differensiabel (dapat diturunkan) di Z0 bila nilai limit di atas ada.

Contoh 01:

B. RUMUS DASAR TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS.Misal fungsi kompleks f(Z) differensiabel maka rumus turunannya sama dengan rumus turunan fungsi riel yaitu :

1. Jika f Z = C maka f ' Z = 0

2. Jika f Z = CZ nmaka f ' Z =CnZ n−1

3. Jika f Z = g Z ±hZ makaf ' Z = g ' Z ±h ' Z

4. Jika f Z = g Z . hZ makaf ' Z = g ' Z . hZ g Z . h' Z

5. Jika f Z = g Z

h Z maka

f ' Z = g ' Z . hZ −g Z . h' Z h2Z

Contoh 01:


C. PERUMUSAN CAUCHY RIEMANN Misalkan f(Z) = U(x , y) + i V(x , y) dan f'(Z) ada pada Z0 = x0 + i y0. Dengan menggunakan defenisi turunan dapat diuraikan menjadi :

1. Z = x ,0 = x maka :

f ' Z = lim Z0

f ZZ − f Z Z

f ' Z = limx 0

{U x0 x , y0 i V x0x , y 0}−{U x 0 , y 0i V x0 , y 0} x

f ' Z = limx 0

{U x0 x , y0 −U x 0 , y0 } x

i {V x 0x , y0−V x 0 , y 0} x

f ' Z =U ' x0 , y0iV ' x0 , y0

f ' Z =U x x0 , y0iV x x0 , y0 (1)

2. Z = 0 , y = i y maka :

f ' Z = lim Z0

f ZZ − f Z Z

f ' Z = lim y 0

{U x 0 , y0 y iV x0 , y0 y }−{U x 0 , y0 i V x 0 , y0 }i y

dikalikandengan ii

f ' Z = lim y 0

{iU x0 , y0 y i2V x0 , y 0 y0 −i U x0 , y0−i2V x0 , y 0}

i2 y

f ' Z = lim y 0

{i U x0 , y0 y −V x0 , y0 y0−i U x0 , y 0V x0 , y 0}− y

f ' Z = lim y 0

{V x 0 , y0 y−V x0 , y 0−i U x0 , y0 yi U x0 , y0} y

f ' Z = lim y 0

{V x 0 , y0 y−V x0 , y 0} y

−i {U x0 , y 0 y−U x0 , y 0 } y

f ' Z = V ' x0 , y0−i U ' x0 , y0

f ' Z = V y x0 , y0−iU y x0 , y0 (2)

Dari (1) dan (2) didapat Persamaan Cauchy Riemann (PCR) yaitu :∗U x x0 , y0 = V y x0 , y0∗U y x0 , y0 =−V x x0 , y0

Jadi fungsi f(Z) = U(x , y) + i V(x , y) akan differensiabel di Z0 = x0 + i y0 jika bagian riel dan bagian imaginer dari f(Z) memenuhi Persamaan Cauchy Riemann.

Nilai turunan fungsi tersebut di Z0 = x0 + i yo

dinyatakan dengan : f ' Z =U x x0 , y0iV x x0 , y0

atau :f ' Z = V y x0 , y0−iU y x0 , y0

Contoh 01 :


A. FUNGSI ANALITIK Misalkan D himpunan (daerah buka), maka :

1. Fungsi f(Z) disebut analitik pada D jika f ' Z ada ∀Z∈D atau Persamaan

Cauchy Riemann berlaku ∀Z∈D .

2. Fungsi f(Z) disebut analitik di Z = Z0 jika f(Z) analitik pada lingkungan dari Z0. Lingkungan Z0 adalah lingkaran buka yang berpusat di Z0 dan berjari-jari r.

3. Fungsi f(Z) disebut entire jika f(Z) analitik ∀Z

4. Bila f(Z) gagal analitik di Z = Z0 maka Z0

disebut titik singular dari f(Z).

Dalam bentuk implikasi dapat dituliskan :

Kontraposisi yang terakhir dapat digunakan untuk mencari titik singular dari fungsi f(Z). Fungsi rasional f(Z) akan diskontiniu pada pembuat nol dari penyebutnya.

Contoh 01 :

rZ0

ENTIRE ANALITIK

KONTINIU DIFFERENSIABEL


A. INTEGRAL LINTASAN Bentuk lintasan dibedakan menjadi 2 bagian yaitu lintasan tutup dan lintasan buka. Lintasan C yang dinyatakan dengan z t = x t i y t , a≤t≤b disebut

lintasan tutup jika ujungnya berimpit, yang berarti z a = z b , dan disebut lintasan buka jika ujungnya tidak berimpit, yang berarti z a≠z b .

Contoh :

a)

b)

c)

d)

Perhatikan gambar!

Asumsikan a≠b dan P menyatakan partisi dari lintasan C yaitu :

P = {z0 , z1 , z 2 , ... , z n} dengan a = z0 dan b = z n , maka jumlah Riemann yang bersesuaian dengan partisi P adalah :

S P = ∑k = 1

n

f zk∗ zk

dengan z k∗ merupakan nilai yang terletak

antara z k−1 dan z k .

Nilai integral lintasannya / garis / contour adalah :

L = limn∞

S P =∫C

f z dz

B. INTEGRAL CAUCHY Misalkan fungsi f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tutup C arah positif dan z0

titik interior dari C. Jika z = z0r ei t ,

0≤t≤2 maka :

∮C

f zz−z0

dz = limr0

∫0

2 f z 0r ei t

z0r ei t−z 0

d z0r ei t

∮C

f z z−z0

dz = limr0

∫0

2 f z0r ei t

r ei ti r e i t d t

∮C

f z z−z0

dz = limr0

∫0

2

f z0r ei ti d t

∮C

f z z−z0

dz = ∫0

2

f z00 i d t

∮C

f z z−z0

dz = i f z0∫0

2

d t

∮C

f z z−z0

dz = i f z0 . t∣20

∮C

f z z−z0

dz = i f z0 .2−0

∮C

f z z−z0

dz = 2 i f z0

lintasanbuka

lintasanbuka

lintasan tutup sederhana

lintasan tutuptidak sederhana

a = z0

z1

z2

z n−1

b = z ny

x


Jadi rumus integral Cauchy dituliskan dengan :

∫C

f z z−z0

dz = 2 i f z0

atau

f z0 =12 i∫C

f z z− z0

dz

Contoh 01 :


A. TURUNAN FUNGSI ANALITIK.

Misalkan fungsi f(z) analitik di z0 , maka turunan pertama fungsi f(z) di z0

dinyatakan dengan :

f ' z0 = lim z 0

f z 0 z − f z0 z

dengan menggunakan integral Cauchy f z0 =

12 i ∫C

f zz−z0

dz didapat :

f ' z0= lim z0

1 z { 1

2i∫Cf z

z− z 0 z dz

− 12 i∫C

f z z− z0

dz}= lim

z 0

12 i z {∫C f z

z− z0 z dz

−∫C

f z z−z 0

dz}= lim

z0

12 i z {∫C f z z−z 0− f z z− z0 z

z− z0 z z−z 0dz}

= lim z 0

12 i z {∫C f z {z−z0−zz0 z}

z− z0 z z−z0dz}

= lim z0

12 i z {∫C f z { z }

z−z 0 zz−z0dz}

= lim z 0

12 i {∫C f z

z− z0 z z−z0dz}

= 12 i {∫C f z

z− z 00 z−z0dz}

=1

2 i {∫C f z z− z0 z−z 0

dz}= 1

2 i {∫C f z z− z0

2 dz}Jadi turunan pertama fungsi f(z) di z0

adalah :

f ' z0 =1

2i {∫C f z z−z 0

2 d z}

Dengan cara yang sama diperoleh turunan ke-n dari fungsi f(z) di titik z0 yaitu :

f n z 0 =n !

2 i {∫C f z z−z0

n1 d z}Rumus turunan di atas dapat digunakan untuk menentukan hasil pengintegralan yaitu:

∫C

f z z− z0

n1 d z =2 in!

. f n z0

Contoh 01 :


A. KAIDAH UJI KEKONVERGENAN. Deret konvergen adalah deret yang memiliki limit jumlah, sedangkan deret yang tidak memiliki limit jumlah disebut deret divergen. Di bawah ini terdapat beberapa Kaidah uji kekonvergenan suatu deret, yaitu :

I. Kaidah 1.

“Jika suatu deret konvergen maka suku-sukunya menuju nol”

dinotasikan dengan limn∞

U n= 0

Contoh :

* Deret : 1121

41

8 1

16 1

32...

merupakan deret konvergen, terlihat bahwa suku-sukunya menuju nol.

* Deret : 12481632...merupakan deret divergen.

Akan tetapi kaidah 1 ini tidak berlaku sebaliknya,

Contoh :

Kesimpulan :Dari kaidah 1 yang dapat disimpulkan adalah :

1. Jika suatu deret memiliki limn∞

U n≠ 0

maka deret tersebut divergen.

2. Jika suatu deret memiliki limn∞

U n= 0

maka deret tersebut mungkin konvergen atau divergen jadi harus diuji lagi.

II. Kaidah 2.

Kaidah ini sering disebut dengan uji perbandingan, yaitu :

“Suatu deret dengan suku-suku positif akan konvergen jika suku-sukunya lebih kecil dari suku-suku deret konvergen positif lain”.

Dalam Kaidah 2 kesulitan yang dihadapi adalah menentukan deret pembanding. Salah satu deret pembanding yang berguna dalam kaidah in adalah :

1

1p 1

2 p 1

3p 1

4 p 1

5p...

1. Jika p ≤ 1 maka deret divergen.

2. Jika p 1 maka deret konvergen.


Contoh 01 :

III. Kaidah 3.

Kaidah ini sering disebut dengan Uji Pembagian D'Alembert yang digunakan untuk deret dengan suku-suku positif.

Misalkan u1u2u3...unun1

merupakan deret dengan suku-suku positif, kaidah Uji Pembagian D'Alembert adalah :

1. Jika limn∞

un1

un 1 maka deretnya

konvergen.

2. Jika limn∞

un1

un 1 maka deretnya

divergen.

3. Jika limn∞

un1

un= 1 maka deretnya

mungkin konvergen atau divergen.

Contoh 01 :


B. KEKONVERGENAN M UTLAK. Kita telah mempelajari kekonvergenan deret dengan suku-suku positif, sekarang akan ditinjau deret dengan tanda suku-sukunya bergantian menggunakan kekonvergenan mutlak, yaitu :

1. Jika ∣∑ un∣ konvergen maka ∑ un disebut konvergen mutlak.

2. Jika ∣∑ un∣ divergen tetapi ∑ unkonvergen maka disebut konvergen bersyarat.

Contoh 01 :


A. DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN.Misalkan diketahui sebuah fungsi y = f(x) dan fungsi tersebut differensiabel pada x = a maka fungsi tersebut dapat direpresentasikan dalam deret pangkat :

f x =c0c1 x−a c2x−a2c3x−a

3...

dengan c0 , c1 , c2 , ... merupakan konstanta.

Konstanta cn dapat ditentukan dengan langkah berikut :

f x =c0c1 x−a c2x−a2c3x−a

3...f ' x =1! c12c2 x−a 3c3x−a

2...f ' ' x=2! c23! c3x−a4.3c4x−a

2...f ' ' ' x =3 !c34 ! c4x−a5.4 .3c2x−a

2...dan seterusnya.

Jika x = a disubstitusikan ke dalam fungsi dan turunan fungsi di atas diperoleh :c0 = f ac1 = f ' a

c2 =f ' ' a

2 !

c3 =f ' ' ' a

3 !dan seterusnya

Jadi representasi sebuah fungsi dalam deret pangkat (x – a) adalah :

f x = f a f ' a 1 !

x−a f ' ' a2 !

x−a2

f ' ' ' a

3 ! x−a 3 ...

Deret pangkat di atas disebut deret Taylor yang diambil dari nama ahli matematika Inggris Brook Taylor (1685 – 1731).

Jika nilai a = 0 maka deret pangkat di atas disebut deret Maclaurin yang diambil dari nama ahli matematika Skotlandia Colin Maclaurin (1698 – 1746), sehingga deret

Maclaurin dapat dinyatakan dengan :

f x = f 0 f ' 01 !

x f ' ' 02 !

x 2

f ' ' ' 0

3 !x 3 ...

Contoh 01 :


B. DERET BINOMIAL. Misalkan diketahui fungsi binomial f x = 1x n maka sesuai dengan deret

Maclaurin didapat :

f x = 1x n

f 0 = 1f ' x = n 1x n−1

f ' 0 = nf ' x = n n−11x n−2

f ' ' 0 = nn−1f ' ' ' x = n n−1n−2

f ' ' ' 0 = n n−1n−2maka deret pangkatnya adalah :

f x = f 0 f ' 01!

x f ' ' 02 !

x2

f ' ' ' 0

3!x3 ...

f x =1n1!

x nn−12!

x 2

nn−1n−23!

x3 ...

Dengan menggunakan rumus kombinasi C rn = n!

r ! n−r ! maka untuk sebarang n

dan −1x1 deret binomial dinyatakan oleh :

1x n=1n1 !

xnn−12 !

x 2

n n−1n−2

3 !x 3 ...

atau :

1x n= 1C1nx C2

n x2C 3nx3...

Contoh 01 :


A. DEFENISI TRANSFORMASI LAPLACE

Misalkan fungsi f(t) terdefenisi untuk t ≥ 0 maka transformasi laplace dari f(t)

didefenisikan sebagai :

L f t =∫0

∞

e− s t f t dt

Karena bentuk integral di atas merupakan fungsi dalam parameter s, maka notasi lain yang biasa digunakan adalah F s=L f t , sedangkan fungsi asal

f(t) diperoleh menggunakan transformasi invers yaitu :

f t = L−1 F s Transformasi laplace dari f(t) untuk t ≥ 0ada jika fungsi tersebut kontinu bagian demi bagian dan terbatas eksponensial.

Berikut ini adalah contoh penentuan rumus transformasi laplace :

I. f t = ea t

L f t =∫0

∞

e− s t f t dt

L ea t =∫0

∞

e− s t . ea tdt

F s =∫0

∞

e− s ta t dt

F s =∫0

∞

e − sa t dt

F s = 1−sa

. e− sa t ] 0∞ , untuk sa

F s = 1−sa

. e−∞ − 1−sa

.e0

F s = 1−sa

.0 − 1−sa

.1

F s = 1s−a

Jadi transformasi laplacenya adalah :

L ea t = 1s−a

sedangkan transformasi inversnya adalah :

L−1 1s−a = ea t .

Contoh 01 :


II. f t = t n untuk n = 0,1,2,...

untuk n = 0 maka f t = 1

L f t =∫0

∞

e−s t . f tdt

L f t =∫0

∞

e−s t .1dt

L f t =−1s. e−s t ] 0

∞ untuk s0

L f t =−1s. e−∞1

s.e0

L f t = 01s

L f t = F s = 1s

untuk n = 1 maka f t = t

L f t =∫0

∞

e−s t . f t dt

L f t =∫0

∞

e−s t . t dt

t e−s t

1 −1s. e−s t

01s2 .e

−s t

L f t =−ts. e−s t−1

s2 . e−s t ] 0

∞

L f t = −∞se−∞−1

s2e−∞−0

se0−1

s2 e0

L f t = 0−0−0−1s2

L f t = F s = 1s2

Dengan cara yang sama didapat :

Lt n = n!sn1

Transformasi inversnya adalah :

L−11sn = t n−1

n−1!

B. TRANSFORMASI LAPLACE DARI TURUNAN FUNGSI.Misalkan f(t) dan turunannya f '(t) kontinu dan terbatas eksponensial maka f(t) dan f '(t) mempunyai transformasi laplace. Dengan menggunakan rumus integral parsial didapat:


L f ' t =∫0

∞

e−s t . f ' t dt

Misalkan :u = e−s t maka du =−se−s t dtdv = f ' t dt maka v =∫ f ' t dt

v = f t

∫u dv = u v −∫v du= e−s t . f t ] 0

∞ −∫0

∞

f t .−se−s t dt

= e−s f t −e0 f 0∫0

∞

f t . s e−s t dt

= 0 − f 0s∫0

∞

f t .e−s t dt

=− f 0s .F smaka :L f ' t = s F s− f 0

Dengan cara yang sama didapatkan transformasi Laplace dari :

* turunan orde 2 :

L f ' ' t = s2F s−s f 0− f ' 0

*turunan orde n :

L f nt = snF s−sn−1 f 0−sn−2 f ' 0− ... − f n−10

Berikut ini contoh penurunan rumus transformasi Laplace dari f(t) = sin at,f t = sin a t maka f 0 = 0f ' t = acos a t maka f ' 0 = af ' ' t =−a2sin a t maka f ' ' 0 = 0

L f ' ' t = s2 F s −s f 0− f ' 0L −a2sin a t = s2 L f t −s .0−aL −a2sin a t = s2 L f t −aa = s2 L sin a t L a2sin a t

a = Lsin a t . s2a2a

s2a2 = L sin a t

Jadi transformasi Laplace dari f(t) = sin at adalah :

L sin a t = as2a2

Sedangkan transformasi inversnya adalah :

L−1 as2a2 = sina t

atau

L−1 1s2a2 = sin a t

a

Di bawah ini adalah tabel transformasi Laplace dari beberapa fungsi :

TABEL TRANSFORMASI LAPLACE

f(t) F(s)=L( f(t) ) Domain F(s)

c cs s0

t nn !sn1 s0

ea t1s−a sa

sina ta

s2a2 s0

cos a ts

s2a2 s0

sinh a ta

s2−a2 s∣a∣

cosh a ts

s2−a2 s∣a∣


Contoh 01 :


C. MASALAH NILAI AWAL . Kita telah mempelajari transformasi laplace metode turunan fungsi. Metode tersebut dapat digunakan menentukan solusi khusus dari persamaan differensial dengan koefisien konstanta yang nilai aawalnya ditentukan. Bentuk persamaan differensial orde dua dengan koefisien konstanta sering disebut masalah nilai awal, bentuknya dinotasikan dengan :

a y ' 'b y 'c y = r t dengan y(0) = m dan y ' (0) = n.

Untuk menentukan solusinya, misalkan fungsi y(t) = f(t). Dengan menggunakan rumus transformasi laplace :

L f ' t = s . F s− f 0 danL f ' ' t = s2 . F s−s . f 0− f ' 0

ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan

differensialnya ditransformasikan. Invers dari transformasi Laplacenya merupakan solusi dari masalah nilai awal tersebut.

Contoh 01 :Tentukanlah solusi dari masalah nilai awal di bawah ini.y ' '2 y '−8 = 0 jika diketahuiy 0 = 0 dan y ' 0 = 6


D. PERGESERAN SUMBU I. Pergeseran Terhadap Sumbu S

Andaikan transformasi Laplace fungsi f(t) ada maka pergeseran hasil transformasinya sebesar a satuan merupakan grafik hasil transformasi fungsi g t = ea t f t . Jika a > 0 maka grafik f(t) bergeser sebesar a satuan ke kanan sedangkan jika a < 0 bergeser sebesar a satuan ke kiri. Dari rumus transformasi Laplace didapat:

L ea t f t=∫0

∞

e−s t ea t f t dt

L ea t f t=∫0

∞

e−s ta t . f t dt

L ea t f t=∫0

∞

e−s−at f t dt

L ea t f t= F s−adan transformasi inversnya adalah :

L−1 F s−a= ea t f t Tabel Pergeseran Terhadap Sumbu S Transformasi Laplace.

f t F s Domain

C ea t Cs−a

sa

t n ea t n!s−a n1

sa

ea t sinbt bs−a 2b2

sa

ea t cosbt s−as−a 2b2

sa

ea t sinhbt bs−a 2−b2

sa∣b∣

ea t coshbt s−as−a 2−b2

sa∣b∣


Contoh 01:

II. Pergeseran Terhadap Sumbu tMisalkan g(t) adalah fungsi tangga yang didefenisikan dengan :

g t = {0 ; taf t−a ; ta

dengan a≥0

Untuk menentukan transformasi Laplace fungsi tangga, perhatikan fungsi tangga satuan di bawah ini :

u t = {0 ; t≤a1 ; ta

dengan a≥0


sehingga fungsi tangga g(t) dapat dinyatakan dengan g(t) = f(t – a) . u(t – a) dan transformasi Laplacenya adalah :

L g t = L f t−a . ut−aL g t =∫

0

∞

e−s t . f t−a . u t−a dt

L g t =∫0

a


∫a

∞


L g t =∫0

a

e−s t . f t−a .0dt

∫a

∞

e−s t . f t−a .1dt

L g t =∫a

∞

e−s t . f t−a dt

L g t =∫0

∞

e−s ta . f t dt

L g t =∫0

∞

e−s t . e−s a . f t dt

L g t = e−as . F s Jadi transformasi Laplace dari fungsi tangga g(t) = f(t – a) . u(t – a) adalah :

L g t = L f t−a . u t−a L g t = e−as F s

dan invers transformasi Laplacenya adalah :

L−1 e−as F s= f t−a . u t−a = g t

Tabel Transformasi Laplace Untuk Fungsi Tangga Satuan.

f t F s

C.u t−a Cs. e−as

C t .u t−a Cs2 C as . e−as

C t 2.ut−a 2Cs3 2C

s2 C a2

s .e−a s

C eb t . u t−a C e−ab

sb. e−as

C cosb t . ut−a Cs cos abs2b2 −Cbsin ab

s2b2 . e−as

C sin b t . u t−a Cb cos abs2b2 Cssin ab

s2b2 . e−as

Ce−k t .cos bt .u t−a C sk cos absk 2b2 −

Cb sinabsk 2b2 . e−a sk

Ce−k t .sin bt .u t−a Cb cosabsk 2b2

C sk sin ab sk 2b2 . e−a sk


Contoh 01:

uhn.ac.id matematika teknik ii - miduk... · satuan acara perkuliahan mata kuliah : matematika...

Documents