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Einfuhrung in die Physik der Atmosphare

Manuskript zur Vorlesung

Grundlagen Luft: Umweltmeteorologie

von

Prof. Dr. Eberhard Schaller

erstellt von

Sygun Schoen Klaus Keuler

Lehrstuhl fur Umweltmeteorologie

Brandenburgische Technische Universitat Cottbus

Cottbus, September 20023. uberarbeitete Au age

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Einfuhrung

Das vorliegende Manuskript ist im Rahmen der Einfuhrungsvorlesung \Grundla-gen Luft: Umweltmeteorologie" des Studienganges Umweltingenieurwesen an derBrandenburgischen Technischen Universitat Cottbus entstanden. Diese Lehrveran-staltung wird von den Studierenden des 6. Semesters gehort. Sie ist fur diejenigenStudierenden, die im nachfolgenden Fachstudiem nicht die Richtung `Luftreinhal-tung' als erste oder zweite Vertiefung wahlen, die einzige Beruhrung mit dem Wis-sensgebiet `Meteorologie'.

Vorlesung und Skript vermitteln einen ersten Einblick in einige wesentlicheGrundlagen der Meteorologie, geben jedoch keine vollstandige Einfuhrung in dasFachgebiet. Das Skript ist fur die Nachbereitung, nicht als Ersatz der Vorlesunggedacht. Auch kann die Vorlesung nicht auf alle Fragestellungen eingehen und samt-liche Problemlosungen ausfuhrlich besprechen. Hier ist die Eigeninitiative der Stu-dierenden gefragt, uber das Selbststudium mit zusatzlicher Fachliteratur, durch dieLosung von Ubungsaufgaben und durch die aktive Mitarbeit in der Vorlesung undden Ubungen den angebotenen Sto zu erganzen und zu vertiefen. Dies ist eineunabdingbare Notwendigkeit, um das Studium an einer Universitat erfolgreich ab-schlieen zu konnen. Die Ausarbeitung und Vertiefung des dargebotenen Stoesbleibt dem Studierenden und seiner Eigenverantwortung fur das Studium uberlas-sen. In diesem Sinne kann und soll der Studierende zusatzliche Aspekte oder eigeneFragestellungen in die Vorlesung mit einbringen. Die Vorlesung wird auf solche Zu-arbeiten gerne eingehen, da sie den Ablauf beleben, die eigenstandigen Initativenverstarken und das problemlosende und analytische Denken fordern.

Die Meteorologie beschaftigt sich ganz allgemein mit den physikalischen undchemischen Vorgangen in der Atmosphare. Sie ist damit ein naturwissenschaftlichesFachgebiet, das sich auf Kenntnisse aus Bereichen der Mathematik (Dierential-und Integralrechnung, Vektorrechnung, Lineare Algebra, numerische Mathematik),der reinen Physik (klassische Mechanik, Hydrodynamik, Thermodynamik, Elektro-dynamik) und der Chemie stutzt. Die Umweltmeteorologie umfat bzw. streift ver-schiedene Teilgebiete der Meteorologie. Die Vorlesung und damit auch dieses Skriptgehen nicht gezielt auf angewandte Fragestellungen im Bereich der Umweltmeteo-rologie ein. Sie liefern vielmehr die wesentlichen naturwissenschaftlichen Grundla-gen, die zum Verstandnis umweltrelevanter Vorgange in der Atmosphare notwendigsind. Ausgewahlte Forschungsschwerpunkte der Umweltmeteorologie sind Gegen-stand nachfolgender Vertiefungsvorlesungen.

Aktuelle umweltrelevante Problemstellungen ndet man in verschiedenen Teil-gebieten der Meteorologie. Nachfolgend sind einige Beispiele als Ausblick auf wei-terfuhrende Vorlesungen aufgezeigt.

Klimaforschung

Emissionen von Spurengasen und Aerosolen greifen in den Stohaushalt der At-mosphare ein. Hier konnen sie zu chemischen Umsetzungen fuhren und verandernso die chemische Zusammensetzung der Atmosphare. Dies hat verschiedene Folgen

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fur unseren Lebensraum. So wirken die emittierten und zum Teil umgewandeltenSubstanzen direkt auf Menschen, Tiere, P anzen und Gebaude ein. Sie beein us-sen aber auch den Strahlungshaushalt des Systems Erde-Atmosphare und nehmendamit Ein u auf unser Klima. Hieraus erwachsen zahlreiche Fragestellungen, diesowohl das Verstandnis der chemischen und klimatologischen Prozesse, als auch dieweiteren Folgen der eintretenden Veranderungen betreen. Ziel der angewandtenForschung auf diesem Gebiet ist es nicht, Grenzwerte zu nden, die angeben, wie-viel Emissionen das Klimasystem noch vertragen kann. Vielmehr geht es darum,die Produktion von Stoen, die in den Strahlungshaushalt der Erde eingreifen, sozu reduzieren, da die durch diese Stoe hervorgerufenen Veranderungen so geringwie moglich ausfallen und die Folgen dieser Veranderungen kontrollierbar bleiben.

Wettervorhersage

Die Wettervorhersage hat in den vergangenen Jahren vor allem fur Wirtschafts-prozesse zunehmend an Bedeutung gewonnen. Zuverlassige Vorhersagen bestimmtermeteorologischer Ereignisse uber einen Zeitraum von einem bis zu mehreren Tagenhelfen, wirtschaftliche Schaden zu reduzieren und praventive Manahmen zu ergrei-fen, so z. B. fur den Sektor Transport und Verkehr. Hierzu zahlt die rechtzeitigeWarnung vor Straenglatte mit ihren Auswirkungen fur den Personen- und Guter-transport. Die Prognose bzgl. zugefrorener Kanale im Winter kann den Schiahrts-und Fahrbetrieben zu Gute kommen. Es ist vielfach jedoch noch sehr schwierig,gezielte Punktvorhersagen fur kleine Gebiete mit einer ausreichend hohen Genauig-keit zu erstellen. In der Verbesserung solcher Vorhersagen liegt noch ein erheblichesForschungspotential.

Meteorologische Metechnik

Neben den klassischen Megeraten wie Thermometer, Barometer, Anemometer(Gerat zur Messung der Windgeschwindigkeit) , Hygrometer etc. gewinnen neuereMethoden im Bereich der Fernerkundung (Remote Sensing) zunehmend an Bedeu-tung. Beobachtung des Wettergeschehens aus dem Weltraum uber Satelliten oderdie Erkundung von Windprolen im unteren Bereich der Atmosphare vom Bodenaus mittels Schallausbreitung (Sodar) kommen in der Praxis vermehrt zum Ein-satz. Auch Laser und Radargerate nden in der Fernerkundung fur unterschied-lichste Aufgabenstellungen ihre Anwendung. So werden diese Metechniken nichtnur fur meteorologische Studien, sondern auch fur die Storfalluberwachung heran-gezogen, wie z. B. zur Uberwachung von Kernkraftwerken oder chemischen Produk-tionsstatten. Um bei einem Storfall die Ausbreitung der freigesetzten Substanzenabschatzen zu konnen, mu das Windfeld im Bereich der Anlage standig registriertwerden. Dies kann uber einen Memast geschehen, dessen Hohe durchaus 100 Meteroder mehr betragen kann oder aber durch ein am Boden positioniertes Sodar.

Ausbreitungsrechnungen

Bei Ausbreitungsrechnungen wird die Verteilung freigesetzter Spurenstoe mit mehroder weniger komplexen Computermodellen simuliert. Der vermehrte Praxisbe-zug solcher Berechnungen ergibt sich hierbei aus Umweltvertraglichkeitsprufungen(UVP) im Zuge von Planfeststellungsverfahren zur Errichtung neuer Anlagen. MitHilfe von Ausbreitungsrechnungen lassen sich mogliche Belastungen der Umweltdurch die neue Anlage abschatzen. Rechtzeitig in die Planungsphase einbezogen,konnen daher Modellsimulationen helfen, die Anlage bzgl. ihrer Umweltvertraglich-keit zu verbessern. Die zulassige Belastung der Umwelt durch den Bau neuer An-lagen regelt die Technische Anleitung Luft, kurz TA-Luft genannt. Sie mu jedoch

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in vielen Punkten als wissenschaftlich veraltet angesehen werden, besonders wasdie Vorschriften zur Berechnung der Schadstobelastung in der Umgebung einesEmittenten betrit. Daher ist es das Ziel zukunftiger Bestrebungen, modernereErkenntnisse und Verfahren in dieses Regelwerk aufzunehmen und in der Praxisanzuwenden.

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 131.1 Teilgebiete der Meteorologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Ordnungsprinzip fur meteorologische Phanomene: Skalen . . . . . . . 141.3 Vertikaler Aufbau der Atmosphare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Die meteorologischen Elemente 212.1 Luft als Gemisch idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Avogadrosches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 Ideale Gasgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Daltonsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Der Luftdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Barometrische Hohenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Die Lufttemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Die Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.1 Der Sattigungsdampfdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.2 Die Clausius-Clapeyron-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.3 Feuchtemae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.4 Vertikale Anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5 Bewegung in der Atmosphare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5.1 Grundlegende Denitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5.2 Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.3 Die atmospharischen Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.4 Die Navier-Stokes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.5 Die Wirkung der Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.6 Der geostrophische Wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.6 Der Massenhaushalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.6.1 Die Kontinuitatsgleichung fur Luft . . . . . . . . . . . . . . . 702.6.2 Haushaltsgleichungen fur Partialmassen . . . . . . . . . . . . 71

2.7 Zusammenfassung: Die \primitiven" Gleichungen . . . . . . . . . . . 73

3 Die Atmospharische Strahlung 793.1 Strahlungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.1 Das Planck' sche Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.2 Das Stefan-Boltzmann Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.3 Das Kirchho'sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2 Absorptionsspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3 Der Nettostrahlungs u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4 Der Energiehaushalt des Systems Erde Atmosphare . . . . . . . . . 92

A Tabellen des Sattigungsdampfdrucks 99

B Herleitung der Navier-Stokes-Gleichung 103

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8 INHALTSVERZEICHNIS

C Strahlungsgroen 105

Literaturverzeichnis 106

Abbildungsverzeichnis

1.1 Skalendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Tiefdrucksystem uber Nordamerika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Wolkenkomplex aus Cumulonimben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Cumulus-Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Vertikalaufbau der Atmosphare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1 Vertikale Druckdierenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Vertikales Temperaturprol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Zustandsanderungen im p-V-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Wegintegrale im p-V-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Stabilitatsdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6 Entstehung des Sattigungsgleichgewichtes . . . . . . . . . . . . . . . 422.7 Phasendiagramm fur Wasser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.8 Dampfspannung bei konkaver Wasserober ache . . . . . . . . . . . . 442.9 Dampfspannung bei konvexer Wasserober ache . . . . . . . . . . . . 442.10 Prinzip des Taupunktspiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.11 Kondensationsniveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.12 Vektorielle Darstellung des Horizontalwindes . . . . . . . . . . . . . 562.13 Vektorielle Addition von Windgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . 572.14 Orientierung von Druckgradient (~rp) und Druckkraft ( ~FD) . . . . . 602.15 Projektion der Winkelgeschwindigkeit der Erde . . . . . . . . . . . . 622.16 Wirkrichtung der Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.17 Passatwinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.18 Winddrehung durch die Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.19 Der geostrophische Wind ~vg im Kraftegleichgewicht . . . . . . . . . . 672.20 Storung des geostrophischen Kraftegleichgewichtes . . . . . . . . . . 682.21 Masseanderungen in einem durchstromten Volumen . . . . . . . . . . 70

3.1 Geometrische Reduktion der solaren Strahldichte auf die Erdbahn. . 803.2 Plancksche Strahlungskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3 Normierte Planck-Kurven fur solare und terrestrische Strahlung . . . 823.4 Solares Strahlungsspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5 Absorptionsvermogen atmospharischer Gase . . . . . . . . . . . . . . 873.6 Totale Strahlungsbilanz an einer Flache . . . . . . . . . . . . . . . . 903.7 Strahlungsdivergenz fur ein Volumen mit resultierender diabatischer

Heizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.8 Verteilung der solaren Einstrahlung auf die Erdkugel . . . . . . . . . 923.9 Schematische Darstellung der Strahlungs usse . . . . . . . . . . . . . 93

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10 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis

2.1 Hauptbestandteile der trockenen Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.1 Sattigungsdampfdruck uber ussigem Wasser . . . . . . . . . . . . . . . 99A.2 Sattigungsdampfdruck uber Eis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

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12 TABELLENVERZEICHNIS

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Teilgebiete der Meteorologie

Das Fachgebiet der Meteorologie lat sich nach verschiedenen Gesichtspunkten ein-teilen.

Thematische Einteilung

Die allgemeine Meteorologie/Phanomenologie behandelt die physikalischen Grund-gesetze und Phanomene in der Atmosphare. Sie beschaftigt sich z. B. mit dem ver-tikalen Aufbau der Atmosphare, der Bildung unterschiedlicher Windsysteme, derEntstehung von Wolken oder der Entwicklung von Tiefdruckgebieten.Die experimentelle Meteorologie befat sich mit der Erhebung von Medaten aberauch mit der Entwicklung von Metechniken und Megeraten. Die meteorologischenExperimente und Messungen werden dabei sowohl in der Atmosphare als auch imLabor durchgefuhrt.Die theoretische Meteorologie liefert die theoretischen Grundlagen der Atmospharen-physik. Sie erfat Gesetzmaigkeiten aus Bereichen wie z. B. Hydrodynamik, Ther-modynamik, Turbulenz- und Strahlungsphysik. Unter Zuhilfenahme grundlegenderErhaltungssatze werden die Vorgange in der Atmosphare abstrakt beschrieben. Mitden abgeleiteten Formalismen lassen sich dann z. B. die raumlichen und zeitlichenVeranderungen von Wind-, Temperatur- und Druckfeldern erklaren.Die angewandte Meteorologie ist auf die praktische Anwendung des meteorologi-schen Wissens ausgerichtet. Dabei werden sowohl Erkenntnisse der experimentellenals auch der theoretischen Meteorologie genutzt. Aber auch die angewandte Ma-thematik spielt hier eine wichtige Rolle, denn zur Berechnung und Vorhersage at-mospharischer Bedingungen werden heute immer aufwendigere Computermodellebenotigt.

Einteilung nach Teilsystemen bzw. Regionen

Die Grenzschichtmeteorologie befat sich mit dem Teil der Atmosphare, der demunmittelbaren Ein u des Bodens unterliegt. Die Hohe dieses Bereiches ist nichtstatisch, sondern variiert und wird im wesentlichen durch die Auswirkungen derbetrachteten Prozesse begrenzt.Die Aeorologie beschaftigt sich mit der Meteorologie der hoheren Luftschichten, dienicht mehr direkt dem Ein u des Bodens unterliegen. Dazu zahlen physikalischeVorgange wie z. B. Stromungen in der mittleren und oberen Troposphare (uber5 km).

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14 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Die Maritime Meteorologie kann als Teilgebiet der Grenzschichtmeteorologie auf-gefat werden. Sie behandelt meteorologische Prozessese uber den Meeresgebietenund untersucht die Wechselwirkungen zwischen Atmosphare und Ozean. Die Tat-sache, da Meeresober achen eigenstandige Stromungen, eine variable Rauhigkeitdurch Wellenbildung und andere Verdunstungs- und Temperatureigenschaften imVergleich zu Landober achen haben, beein ut die Vorgange in der Atmosphareund rechtfertigt die gesonderte Betrachtung dieses Bereiches.Die Polare Meteorologie untersucht atmospharische Vorgange in polaren Regionen,so z. B. spezielle Stromungen/Windsysteme (sog. katabatische Winde) in einer starkstabil geschichteten Atmosphare. Die Besonderheit liegt hier in den tiefen Tempe-raturen des Bodens, die spezielle Auswirkungen auf die atmospharischen Gegeben-heiten haben.Die Meteorologie der Tropen behandelt meteorologische Phanomene in einem Be-reich von ca. 300 um den Aquator. Ein besonderes Phanomen ist hier die inner-tropische Konvergenzzone (ITC), die es mit ihren speziellen Eigenschaften nur dortgibt. Diese hat aber Auswirkungen auf die allgemeine Zirkulation der Atmosphareund beein ut somit auch das Wettergeschehen in unseren Breiten.Die Umweltmeteorologie ist ein noch recht neues Teilgebiet der Meteorologie. Siebeschaftigt sich insbesondere mit der Emission, dem Transport, der Umwandlungund der Auswirkung von Spurengasen. Fragestellungen der Luftreinhaltung fallenebenso in dieses Teilgebiet, wie die Untersuchung des Klimas und seiner moglichenBeein ussung durch den Menschen.

Wir wollen hier nicht alle Bereiche der Meteorologie aufzahlen. Die Aufstellungvermittelt aber einen ersten Einblick in die vielfaltigen Arbeitsgebiete des Faches.

Einteilung nach Skalen

Neben der Einteilung in verschiedene Fachgebiete ist in der Meteorologie seit ca.20 Jahren verstarkt eine Unterteilung in Skalen ublich. Hierunter versteht man eineKlassizierung der behandelten Phanomene entsprechend ihrer Groenordnung inRaum und Zeit. Wegen der besonderen Bedeutung dieser Klassizierung wollen wirihr ein eigenes Kapitel widmen.

1.2 Ordnungsprinzip fur meteorologische Phano-

mene: Skalen

Wir fuhren den Begri der Skala ein und meinen damit die raumliche oder diezeitliche Wirksamkeit der betrachteten Prozesse. Skalen konnen somit zur Klassi-zierung der meteorologischen Phanomene herangezogen werden. So ordnet man denverschiedenen Phanomenen charakteristische Zeiten (z. B. ihre Lebensdauer) undLangen (z. B. ihre horizontale Ausdehnung) zu. In Abbildung 1.1 sind die Zusam-menhange der charakteristischen zeitlichen und raumlichen Skalen verschiedenerPhanomene aufgetragen.

Man kann aus diesem Diagramm entnehmen, da Zyklonen (Tiefdruckgebiete)eine raumliche (horizontale) Skala von einigen hundert bis einigen tausend km undeine Lebensdauer von ein bis funf Tagen haben. In Abbildung 1.2 ist als Beispieleine Wetterkarte fur Nordamerika mit einem typischen Tiefdruckgebiet und derdazugehorigen Kalt- und Warmfront zu sehen.

In den Tropen uberwiegt die Cumulonimbus-Konvektion mit einer Groenord-nung von ca. 5-50 km. Ein typischer tropischer Cumulonimbus ist in Abbildung 1.3dargestellt. Dagegen haben die Cumulus-Konvektionen (Schonwetter-Cumuli) immitteleuropaischen Raum nur eine Ausdehnung von ca. 1 km. Ein Beispiel dazuzeigt Abbildung 1.4.

1.2. ORDNUNGSPRINZIP FURMETEOROLOGISCHEPHANOMENE: SKALEN15

Abbildung 1.1: Skalendiagramm: Einordnung meteorologischer Phano-mene nach raumlichen und zeitlichen Skalen.

Abbildung 1.2: Tiefdrucksystem uber Nordamerika. Dargestellt sind dieIsobaren (Linien gleichen Druckes), das Windfeld sowie Warm- und Kalt-front mit ihren Niederschlagsgebieten. Aus [1].


Die raumliche und zeitliche Skala eines Prozesses oder Phanomens, sowie dieProzesse in unterschiedlichen Skalenbereichen sind jedoch nicht unabhangig vonein-ander. Aus Abbildung 1.1 ist ersichtlich, da die Ubergange zwischen den verschiede-nen Skalenbereichen ieend sind. Die Kopplung der Prozesse ist skalenubergreifend,d. h. Prozesse einer bestimmten Skala wechselwirken mit den Prozessen benachbar-ter Skalen. So wird z. B. die Ausbildung konvektiver Prozesse durch groraumigesynoptische Vorgange beein ut. Andererseits wirken sich die konvektiven Prozesseauch wieder auf groraumige atmospharische Prozesse wie z. B. die Entwicklungeines Tiefdrucksystems aus. Daher ist die Trennung von Prozessen oder Phano-menen in verschiedene Skalen eine rein kunstliche Einteilung, die die Verbindungdieser Prozesse untereinander miachtet. Auerdem besteht bei der Zuordnung deratmospharischen Phanomene zu bestimmten Skalen eine gewisse Unscharfe, die zueinem ieenden Ubergang der Phanomene zwischen den Skalen fuhrt. Als Skalaeines Phanomens wird daher die dominierende (uberwiegende) Groenordnung desPhanomens herangezogen.

Nach Orlanski unterteilt man die charakteristischen Langen (raumlichen Skalen)in drei Bereiche:

Makroskala (groer als 1000 km)

Mesoskala (zwischen 1000 km und 1 km)

Mikroskala (kleiner als 1 km)

In der Wettervorhersage befat man sich mit Vorgangen der Makroskala. In den70-er Jahren war der Bereich der Mikro- und Makroskala schon wesentlich weitererforscht als der mesoskalige Bereich. In diesem Skalenbereich hat sich das Wissen inden vergangenen zwei Jahrzehnten stark weiterentwickelt, so da man eine weitereUntergliederung in

Mesoskala ( 1000 - 100 km )



vorgenommen hat. Zu jeder Raumskala gehort eine Zeitskala, die die individuelleLebensdauer des Phanomens oder Prozesses angibt. Aus der Raumskala (l) undder Zeitskala (t) ergibt sich die charakteristische Geschwindigkeit (v = l=t) einesPhanomens oder Prozesses.

Neben der obigen Einteilung in Makro, Meso und Mikroskala ist eine weite-re Begrisbildung gebrauchlich, die die raumliche Skala ebenfalls in drei Bereicheunterteilt:

synoptische (groraumige) Skala (groer als 100 km)

konvektive Skala (zwischen 100 km und 100 m)

turbulente (kleinraumige) Skala (kleiner als 100 m)

Besonders erwahnt sei an dieser Stelle, da das Klima nicht in dieses Ordnungsprin-zip pat. Bei den oben aufgefuhrten Phanomenen handelt es sich um Einzelprozes-se, wogegen Klima das langzeitliche Mittel meteorologischer Groen (typischerweise

uber einen Zeitraum von 30 Jahren) reprasentiert. Beim Klima geht es somit nichtum ein meteorologisches Phanomen, sondern um die Realisierung und statistischeErfassung vieler Ereignisse.

1.2. ORDNUNGSPRINZIP FURMETEOROLOGISCHEPHANOMENE: SKALEN17

Abbildung 1.3: Wolkenkomplex aus Cumulonimben. Die horizontale Ausdeh-nung betragt etwa 100 km. Aus [2]

Abbildung 1.4: Cumulus-Konvektion: Entwicklung einer Quellwolke (aufgenom-men im Abstand von 10 min). Aus [2]


1.3 Vertikaler Aufbau der Atmosphare

Die Atmosphare hat keine festgelegte Obergrenze. Sie geht mit stetig abnehmenderDichte kontinuierlich in den luftleeren Weltraum uber. Charakteristisch fur denvertikalen Aufbau der Atmosphare ist der Verlauf der Temperatur mit zunehmenderHohe. Entsprechend diesem Verlauf unterteilt man die Atmosphare von unten nachoben in 4 Schichten, die

Troposphare,

Stratosphare,

Mesosphare und

Thermosphare.

Die Schichten werden durch Ubergangsbereiche getrennt, die man entsprechendals Tropopause, Stratopause und Mesopause bezeichnet. In Abbildung 1.5 ist derprinzipielle Aufbau der Atmosphare schematisch dargestellt. Neben dem vertika-len Temperaturverlauf enthalt das Diagramm auch Angaben zum Luftdruck undzur Luftdichte und weist auf einige charakteristische Phanomenen in den jeweiligenSchichten hin. Die angegebenen Hohen fur die Ubergangsbereiche sind als mittlere(typische) Werte zu verstehen. So liegt die Tropopause in den mittleren Breiten beirund 10 km. In den Tropen hingegen ist sie zwischen 17 und 18 km hoch.

Abbildung 1.5: Der vertikale Aufbau der Erdatmosphare. Schematische Untertei-lung der Atmosphare in Schichten und prinzipieller Verlauf der Temperatur mit derHohe. Aus [6]

Die Troposphare ist durch eine starke Abnahme der Temperatur mit der Hohegepragt. Sie enthalt 80 bis 90 Prozent der gesamten Masse der Erdatmosphare. Inder Stratosphare bleibt die Temperatur zunachst konstant und nimmt dann wiedermit der Hohe zu. Im Bereich der Stratopause ist die Dichte der Luft bereits aufein Tausendstel des Wertes am Erdboden abgefallen. In der Mesosphare nimmt dieTemperatur erneut ab, bevor sie in der Thermosphare wieder stark ansteigt.

1.3. VERTIKALER AUFBAU DER ATMOSPHARE 19

Die Meteorologie beschaftigt sich mit allen Bereichen der Atmosphare. Die Haupt-aufmerksamkeit gilt jedoch der Troposphare. Hier spielt sich das eigentliche Wetter-geschehen ab. Hier wandern die Tiefdruckgebiete um die Hemispharen, hier bildensich Wolken und Niederschlag und breiten sich die am Boden emittierten Stoe aus.Fur die Umweltmeteorologie ist auch die Stratosphare von Bedeutung. Insbesonde-re ndet sich hier die uns vor zu hoher UV-Einstrahlung schutzende Ozonschicht.Auch konnen einmal in die Stratosphare gelangte Spurengase oder Aerosole hieruber lange Zeitraume gespeichert und uber weite Entfernungen transportiert wer-den.

Kapitel 2

Die meteorologischen

Elemente

Unter dem Begri \meteorologische Elemente" fat man jene physikalischen Grund-groen zusammen, die der physikalischen Beschreibung des Systems Atmospharedienen. Dabei ist zu beruckscichtigen, da es sich bei der Atmosphare um

ein Mehrphasensystem,

ein Mulit-Komponentensystme

und ein diabatisches System

handelt. Zu den physikalischen Grundgroen zahlen der Luftdruck, die Luftdichte,die Temperatur, die Luftfeuchte, die Windgeschwindigkeit und die Strahlung.

Die Luftfeuchte nimmt dabei eine besondere Stellung ein, da ihr Anteil bei derZusammensetzung der Atmosphare i. d. R. nicht konstant ist. Der Wasserdampfge-halt der Atmosphare ist eine Groe, die raumlich und zeitlich sehr stark variiert. Beider trockenen Luft dagegen sind die Volumenanteile der einzelnen Komponenten sta-bil. Im wesentlichen sind das Sauersto, Sticksto, Kohlendioxid und Argon (vergl.Tabelle 2.1). Unter atmospharischen Bedingungen liegen diese Substanzen immerin der Gasphase vor, da sie alle sehr geringe Siedepunkte ( 00C) haben. Dagegenkann Wasser in der Atmosphare drei Aggregatzustande (gasformig, ussig, fest) ein-nehmen. Wie wir noch sehen werden (siehe Kapitel 2.4), ist der maximale Gehalt anWasserdampf in der Luft temperaturabhangig. Auerdem verandern die Phasenum-wandlungen (Kondensation, Verdampfung, Sublimation) den Wasserdampfanteil, soda dieser in der feuchten Luft in hohem Mae zeit- und raumabhangig ist.

Wir haben bereits erwahnt, da die grundlegenden Prinzipien der Atmospharen-physik auf den Erhaltungssatzen fur Impuls, Masse und Energie beruhen. Die Wind-geschwindigkeit ist in diesem Zusammenhang eine physikalische Eigenschaft, die denmassespezischen Impuls der Luft beschreibt. Wir werden ferner sehen, da sichuber den Luftdruck die Masse der Atmosphare erfassen lat, und da die Tempera-tur ein Ma fur die innere Energie eines Luftvolumens ist.

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22 KAPITEL 2. DIE METEOROLOGISCHEN ELEMENTE

2.1 Luft als Gemisch idealer Gase

Trockene Luft, also Luft ohne den Wasserdampf, ist ein Gemisch verschiedeneridealer Gase. Die Hauptbestandteile mit ihren relativen Volumenanteilen sind inTabelle 2.1 aufgefuhrt. Im folgenden sind die grundlegenden Gesetzmaigkeiten zu-sammengestellt, die fur alle idealen Gase (und somit in guter Naherung auch furLuft) gelten.

Tabelle 2.1: Hauptbestandteile der trockenen Luft

Gas Volumenanteil Molmasse Siedepunkt= Druckanteil bei 1013 hPaVi=V = pi=p 103kg=mol 0C

Sticksto N2 0,7809 28,016 -196Sauersto O2 0,2095 32,000 -183Argon Ar 0.0093 39,944 -186Kohlendioxid CO2 0.0003 44,010 -78trockene Luft nachHauptbestandteilen 1.0000 28,966

2.1.1 Avogadrosches Gesetz

Das Avogadrosche Gesetz fur ideale Gase besagt:Bei gleichem Druck (p), gleicher Temperatur (T) und gleichem Volumen (V) ent-halten alle idealen Gase auch gleich viele Teilchen (Molekule).Es folgen noch einige in diesem Zusammenhang wichtige Denitionen.1mol ist die Stomenge, die ebensoviele Teilchen enthalt, wie Atome in 12 g desKohlenstonuklids 12C enthalten sind. Deren Anzahl wird Loschmidtsche Zahl NA

(auch Avogadro-Konstante) genannt und betragt

NA = 6; 0228 1023 Teilchen=mol

Nach dem Avogadrosches Gesetz ist das Molvolumen Vm bei konstanten Wertenvon Druck (p) und Temperatur (T) konstant. Unter Standardbedingungen (STP)gilt:

Vm = 2; 2414 102 m3=mol

Standardbedingungen: p0 = 1013; 25 hPa(STP) T0 = 273; 15K

Die Molmasse M ist die Masse der Stomenge von einem Mol.

z. B.: M(C) 12 g=mol (ergibt sich aus der Denition von 1mol )M(O) 16 g=molM(O2) 32 g=molM(Luft) 28,966 g=mol (trockene Luft bei STP, siehe Tabelle 2.1)

Berechnen lat sich die Molmasse (M) durch Division der Gesamtmasse (m) desStoes durch die Stomenge (n) in mol. Die Stomenge ergibt sich (unter Stan-dardbedingungen) wiederum aus dem Verhaltnis des Gesamtvolumens (V), das derSto einnimmt, zum Molvolumen (Vm).

M =m

n=m

VVm (2.1.1)

2.1. LUFT ALS GEMISCH IDEALER GASE 23

M : Molmasse des Stoesm: Gesamtmasse des Stoesn: Stomenge in molVm: Molvolumen des StoesV : Gesamtvolumen des Stoes (hier bei STP)

Wir betrachten nun ein beliebiges Volumen (V ) mit einem Gasgemisch aus verschie-denen Substanzen, die wir mit dem Index (i) kennzeichnen wollen. Die einzelnenSubstanzen liegen in unterschiedlichen Mengen vor. Das Gasgemisch habe insgesamtden Druck (p) und die Temperatur (T). Wir stellen uns nun vor, da wir die Sub-stanzen in Teilvolumina (Vi) separieren konnen. Diese Teilvolumina sollen jeweilsso klein gemacht werden, da der Druck der darin enthaltenen Gaskomponente demGesamtdruck (p) entspricht. Wir nennen das resultierende Volumen Partialvolumender Komponente (i). Die Molmasse (M) dieses Gasgemisches ergibt sich aus der Ge-samtmasse (m) dividiert durch die Summe der Molzahlen (ni) aller Teilsubstanzen.Aus Gleichung 2.1.1 und dem Avogadroschen Gesetz folgt:

M =mPi ni

=

PimiPi ni

=

PiMi nin

=Xi

Minin

=Xi

MiViV

(2.1.2)

Mi: Molmasse der Konmponente imi: Partialmasse der Komponent ini: Stomenge der Komponente i in molVi: Partialvolumen der Komponente iV : Gesamtvolumen des Gasgemisches

2.1.2 Ideale Gasgleichung

Die allgemeine Gasgleichung besagt, da sich fur ein ideales Gas das Produkt ausDruck (p) und Volumen (V ), welches eine bestimmte Menge (n) dieses Gases ein-nimmt, proportional (linear) mit der Temperatur (T ) andert.

p V = nRT (2.1.3)

R: allgemeine Gaskonstante fur ideale Gase (R = 8; 3144 J=molK)p: Druck des idealen GasesT : Temperatur des idealen Gases

Diese Gleichung kann fur jede Komponente eines Gemisches idealer Gase formuliertwerden. Geht man davon aus, da alle Komponenten in einem Gesamtvolumen(V ) unter gleichen Druck (p) und gleicher Temperatur (T ) stehen und somit ihrentsprechendes Partialvolumen (Vi) einnehmen, und summiert man Gleichung 2.1.3uber alle Komponenten (i) auf, so erhalt man die Gasgleichung fur ein Gemischidealer Gase: X

i

pVi =Xi

niRT (2.1.4)

Da die Stomenge (ni) aus der Division der Masse (mi) durch die Molare Masse (Mi)entsprechend Gleichung 2.1.1 dargestellt werden kann, erhalt man nachstehendeGleichung fur Gasgemische durch Umformung von Gleichung 2.1.4.

Xi

pVi =Xi

mi

MiRT (2.1.5)


Weil R und Mi konstante Werte sind, konnen diese zu einer neuen Konstante Ri

(Gaskonstante der Substanz i) zusammengefat werden.

Ri :=R

Mi(2.1.6)

Damit erhalt man aus Gleichung 2.1.5:

p V = pX

Vi = TX

miRi (2.1.7)

Die Summe der einzelnen Volumina (P

Vi) ist das Gesamtvolumen (V ). Bezieht mandie Masse (mi) der jeweiligen Komponente auf das Gesamtvolumen (V ), so erhaltman die Dichte (i) der jeweiligen Komponente. Setzen wir diese Beziehungen inGleichung 2.1.7 ein, so erhalten wir nachstehende Gleichung.

p = TX

iRi (2.1.8)

i = mi=V : Dichte der Komponente i

Wir wollen uns nun konkret dem Gasgemisch \trockene Luft" mit der in Tabelle2.1 angegebenen Zusammensetzung zuwenden. Entsprechend der Formulierung vonGleichung 2.1.8 denieren wir die Gaskonstante (RL) fur das Luftgemisch

RL :=

PiRi

L(2.1.9)

und erhalten die ideale Gasgleichung fur trockene Luft.

Ideale Gasgleichung pL = L RL T (2.1.10)

pL: Gesamtdruck der trockenen LuftL: Gesamtdichte der trockenen LuftRL: Gaskonstante der trockenen Luft

Es sei hier hervorgehoben, da der Wert fur RL | im Gegensatz zur allgemei-nen Gaskonstante (R) | keine universelle Konstante ist. Er gilt so nur fur diein Tabelle 2.1 angegebene Zusammensetzung der trockenen Luft. Eine Anderungder Volumenanteile des Gasgemisches hatte unmittelbar auch eine Veranderung derGaskonstante (RL) zur Folge. Die Gaskonstante fur das Gemisch errechnet sich ausden Volumen- bzw. Molanteilen der jeweiligen Komponenten unter Verwendung derGleichungen 2.1.1 und 2.1.6 wie folgt:

RL =

Pi Ri

L=

Pmi RiPmi

=

Pni RPMi ni

= RnPMi ni

=RXMi

nin

Mit der Beziehung fur die Molmasse eines Gasgemisches aus Gleichung 2.1.2 ergibtsich dann eine Formulierung fur die Gaskonstante des Gemisches, die mit der fureine Einzelkomponente (Gleichung 2.1.6 ) konform ist.

RL =R

ML(2.1.11)

2.1. LUFT ALS GEMISCH IDEALER GASE 25

ML = 28; 966 103 kg=mol Molmasse der trockenen LuftRL = 287; 04 J=kgK Gaskonstante der trockenen Luft

Aus der idealen Gasgleichung 2.1.10 ergibt sich eine Formel fur die Berechnung derLuftdichte (L), wenn die Temperatur (T ) und der Druck (pL) bekannt sind.

L =pLRLT

(2.1.12)

Alle Gleichungen gelten in dieser Form zunachst fur trockene Luft. Die Dichte (L)der Luft ist eine Groe, die nur sehr schwer direkt zu messen ist. Uber Gleichung2.1.12 ist jedoch eine Methode fur die indirekte Bestimmung der Luftdichte gegeben.Da sich die Temperatur (T ) und der Druck (pL) wesentlich einfacher und genauermessen lassen als die Dichte, erhalt man letztere in der Praxis immer uber dieGasgleichung.

2.1.3 Daltonsches Gesetz

Zuvor haben wir angenommen, da jede Komponente (i) bei gleichem Druck (p)ein spezisches Teilvolumen (Vi) | das sog. Partialvolumen | einnimmt. Nunbetrachten wir das Ganze umgekehrt und gehen davon aus, da alle Komponentendas gesamte Volumen (V ) gleichmaig (gleichverteilt) ausfullen, wie es in der Naturauch tatsachlich der Fall ist. Dann mu aber jede Gaskomponente fur sich betrachteteinen anderen Druck in dem Gesamtvolumen erzeugen. Wir bezeichnen diesen Druckeiner einzelnen Komponente als Partialdruck (pi).

Das Gesetz von Dalton besagt nun, da in einem Gasgemisch jede Komponen-te den Druck (pi) erzeugt, den sie erzeugen wurde, wenn sie das Volumen alleineausfullen wurde. Oder anders ausgedruckt: Der Partialdruck jeder einzelnen Kom-ponente ist unabhangig von der Anwesenheit der anderen Gase. Somit ergibt sich ineiner Gasmischung der Gesamtdruck (pges) aus der Summe der von den einzelnenKomponenten ausgeubten Teildrucke (Partialdrucke pi).

p = pges =Xi

pi (2.1.13)

pges : Gesamtdruck des Gasgemischespi : Partialdruck der Komponente i

Haben alle Komponenten in einem Gasgemisch die gleiche Temperatur, so folgtaus der Gultigkeit des Avogadroschen und Daltonschen Gesetzes zusammen mitder idealen Gasgleichung folgende Beziehung fur die Verhaltnisse von Partialvolu-men, Partialdruck und Stomenge einer Komponente zur entsprechenden Groe desgesamten Gemisches:

ViVges

=ninges

=pipges

(2.1.14)

Aber es gilt nicht die Gleichheit zum entsprechenden Massenverhaltnis, sondernvielmehr

iges

=Rges

Ri

ViVges

=Mi

Mges

ViVges

(2.1.15)

Eine wichtige Konsequenz des Daltonschen Gesetzes soll an dieser Stelle noch er-wahnt werden. Im Rahmen der erforderlichen Genauigkeit konnen wir Wasserdampfebenfalls als ideales Gas ansehen. Der von ihm in einem Gemisch feuchter Luft aus-geubte Partialdruck| wir bezeichnen ihn im folgenden mit (e) | genugt daher auch


dem Daltonschen Gesetz. Folglich lassen sich in feuchter Luft der Anteil trockeneLuft und der Wasserdampf separat betrachten. Fur ihren Gesamtdruck gilt:

p = pf = pL + e (2.1.16)

pf : Gesamtdruck der feuchten LuftpL: Partialdruck der trockenen Lufte: Partialdruck des Wasserdampfes

Fur das Gemisch feuchter Luft lat sich somit die Gasgleichung analog zur Gleichung2.1.10 formulieren.

ideale Gasgleichung pf = p = Rf T (2.1.17)

Rf ist in diesem Zusammenhang die Gaskonstante fur das Gemisch \feuchte" Luft.Wie wir bereits erwahnt haben, ist der Wasserdampfanteil in der Atmosphare ei-ne variable Groe. Die Gaskonstante Rf kann im Gegensatz zu der der trockenenLuft folglich nicht als konstant angesehen werden. Wie wir diesen Umstand beruck-sichtigen, und wie sich die variable Gaskonstante fur feuchte Luft behandeln lat,werden wir im Kapitel 2.4.3 noch naher betrachten. Die nicht-indizierten Variablenfur Druck und Dichte reprasentieren in obiger Gleichung sowie im nachfolgendenTeil des Skriptes immer die entsprechenden Groen des feuchten Luftgemisches.

2.2. DER LUFTDRUCK 27

2.2 Der Luftdruck

Unter dem Luftdruck versteht man die Kraft, die die Luft auf Grund ihrer Masse aufeine zum Erdboden parallele Bezugs ache ausubt. Wir wollen nun untersuchen, wiesich in der Atmosphare der Luftdruck (p) mit der Hohe (z) verandert. Den gesuchtenZusammenhang liefert die sog. statische (hydrostatische) Grundgleichung bzw. diedaraus resultierende barometrische Hohenformel.

2.2.1 Barometrische Hohenformel

Um die grundlegenden Zusammenhange zwischen Druck, Dichte und Hohe zu ver-stehen, betrachten wir zunachst eine Luftschicht zwischen den Hohen z1 und z2.Den jeweiligen Hohen ordnen wir die Drucke p1 und p2 zu (siehe Abbildung 2.1).Da auf der unteren Flache in der Hohe z1 mehr Luft lastet, ist der Druck p1 andieser Stelle hoher, als der Druck p2 in der Hohe z2, d. h. es gilt p1 > p2 fur z1 < z2.Wir nehmen nun weiter an, da die Luft zwischen den beiden Schichten eine kon-stante Dichte () habe. Da wir spater bei der Grenzwertbetrachtung den Abstandzwischen den beiden Flachen, also die Schichtdicke, gegen Null gehen lassen werden,ist diese Annahme akzeptabel. Der Druck (p) als Kraft pro Flache errechnet sich

z

z

p

p

2

1 1

2

ρ= const

Abbildung 2.1: Vertikale Druckdierenz.

aus der Masse (m), der Beschleunigung (in diesem Fall der Erdbeschleunigung) (g)und der Flache (A) auf der die Masse lastet. Der Druck in den beiden Niveaus z1und z2 lat sich also schreiben als

p1 =m(uber z1)g

Ap2 =

m(uber z2)g

A

A: beliebige Bezugs acheg: Erdbeschleunigung

g = 9.81 m=s2

Damit erhalt man fur die Druckdierenz zwischen den beiden Hohen z1 und z2

p = p1 p2 =m(zwischen z1 und z2) g

A(2.2.1)

Da wir konstante Dichte () in der betrachteten Luftschicht angenommen haben,kann man in Gleichung 2.2.1 die Masse (m) pro Flache (A) durch die Dichte ()multipliziert mit der Schichtdicke (z2 z1) ersetzen.

p = g (z2 z1) = g (z1 z2) = g z (2.2.2)

z: Hohendierenz zwischen z1 und z2z = z1 z2


Zieht man z schlielich noch auf die linke Seite, so erhalt man:

p

z=p1 p2z1 z2

= g (2.2.3)

Nun fuhren wir eine Grenzwertbetrachtung durch, indem wir die Schichtdicke zgegen Null gehen lassen. Der Dierenzenquotient p=z in Gleichung 2.2.3 gehtdann in die partielle Ableitung uber.

limz!0

p

z=

@p

@z

statische Grundgleichung@p

@z= g (2.2.4)

Ein Blick auf die Einheiten erlaubt eine physikalische Interpretation der Terme.

@p

@z=Pa

m=

N

m3

@p=@z ist also eine volumenspezische Kraft, die wir als (vertikalen) Druckgradien-ten bezeichnen. Das ist die Kraft, die das Volumen aufgrund des hoheren Druckesim Niveau z1 im Vergleich zum Niveau z2 nach oben befordern will.

g =kg

m3

m

s2=

N

m3

g ist ebenfalls eine volumenspezische Kraft, hervorgerufen durch die Erdanzie-hung, die auf das Luftvolumen wirkt. Sie will das Volumen nach unten befordernund wirkt daher dem Druckgradienten entgegen. Gleichung 2.2.4 stellt somit einKraftegleichgewicht zwischen Druckgradient und Schwerkraft dar. Man bezeichnetdiese Kraftegleichung als statische (oder auch hydrostatische) Grundgleichung. Siebeschreibt den Zusammenhang zwischen dem vertikalen Druckgradienten und derLuftdichte. Diese Grundgleichung ist fur die Atmosphare von besonderer Bedeu-tung. Sie bestimmt die vertikale Massenverteilung in der Atmosphare, oder andersausgedruckt, die Masse verteilt sich vertikal gerade so, da sie in guter Naherungdem hydrostatischen Kraftegleichgewicht entspricht.

Die Dichte in Gleichung 2.2.4 konnen wir uber die allgemeine Gasgleichung furideale Gase (2.1.17) ersetzen und erhalten die statischen Grundgleichung in derForm

@p

@z= g

p

RfT(2.2.5)

Um das vertikale Druckprol, also den vertikalen Verlauf des Druckes in der At-mosphare, der diesem hydrostatischen Kraftegleichgewicht entspricht, zu erhalten,dividieren wir Gleichung 2.2.5 durch p und integrieren uber die Hohe z.Z z2

z1

1

p

@p

@zdz =

Z z2

z1

g

RfTdz (2.2.6)

Zur Umformung des linken Integrals fuhren wir folgende Nebenbetrachtung durch.Das Druckfeld (p) in der Atmosphare ist i. d. R. eine Funktion der unabhangigenVariablen x, y, z und t, also

p = p(x; y; z; t)

Fur das totale Dierential der Funktion gilt daher allgemein

dp =@p

@xdx+

@p

@ydy +

@p

@zdz +

@p

@tdt (2.2.7)

2.2. DER LUFTDRUCK 29

Betrachtet man die Integration des vertikalen Druckgradienten in Gleichung 2.2.6jedoch instantan (dt = 0) oder in einem quasi stationaren Zustand (@p=@t = 0) derAtmosphare und zusatzlich als rein vertikale Zustandsanderung (dx = 0; dy = 0)oder in einer horizontal homogenen Atmosphare (@p=@x = 0; @p=@y = 0), so latsich das Integral der linken Seite in Gleichung 2.2.6 in ein Druckintegral umformen.

Z z2

z1

1

p

@p

@zdz =

Z p2

p1

1

pdp =

Z z2

z1

g

RfTdz

p1 = p(z1); p2 = p(z2)

Die Integralgleichung ist in der allgemeinen Form nicht analytisch losbar. Die Erd-beschleunigung (g) kann man als nahezu konstant ansehen. Es gibt zwar schwa-che Abhanigkeiten von der geographischen Breite und der Hohe, die hier aber ver-nachlassigt werden konnen. Da sich der Wasserdampfanteil in der Atmosphare mitder Hohe verandert, ist auch die Gaskonstante fur feuchte Luft (Rf ) nicht ganz-lich von z unabhangig. Die vertikale Variation von Rf ist jedoch schwach, und ihreAbweichung von der Gaskonstanten der trockenen Luft relativ gering (< 1%). Da-her konnen wir zur Losung des Integrals in guter Naherung Rf durch RL ersetzen.Auerdem werden wir im Kapitel 2.4.3 noch sehen, wie man die Abweichungender Gaskonstante fur feuchte Luft von der fur trockene Luft uber einen virtuellenZuschlag zur Temperatur berucksichtigen kann.

Die Varation der Temperatur (T ) mit der Hohe (z) darf i. d. R. jedoch nichtvernachlassigt werden (vergl. Abbildung 2.2). Die obige Integralgleichung kann mandaher nur nutzen, wenn man das Verhalten der Temperatur mit der Hohe kennt.Analytisch losbar ist sie nur fur Spezialfalle, z. B. fur eine isothermen Atmosphare(T = const.) oder fur einen linearen Verlauf der Temperatur (T ) mit der Hohe (z).Ihre allgemeine Losung lautet unter den diskutierten Annahmen:

ln

p2p1

=

g

RL

Z z2

z1

1

Td z (2.2.8)

Kennen wir in einer Hohe (z1) den Druck (p1), so konnen wir entsprechend Glei-chung 2.2.8 den Druck (p) fur jede beliebige Hohe (z) im Prinzip ausrechnen, wennwir den Verlauf der Temperatur mit der Hohe kennen. Ist die Temperatur zwischenden betrachteten Hohen konstant, so ist das Integral in Gleichung 2.2.8 direkt losbar.Verandert sich die Temperatur zwischen den betrachteten Hohen, so kann man dieLosung des Integrals annahern, indem man die Temperatur (T (z)) durch die Mit-teltemperatur ( T ) der Schicht, uber die integriert wird, ersetzt. Fur diesen Fallerhalten wir aus Gleichung 2.2.8 die sog. barometrische Hohenformel in der Form:

barometrische Hohenformel p(z) = p1 exp

g (z z1)

RLT

(2.2.9)

mit T =1

2(T (z) + T (z1))

Kennt man die Temperatur in verschiedenen Hohen (z1; :::zn), so lat sich mit dieserGleichung der vertikale Druckverlauf schrittweise berechnen, indem man von Schichtzu Schicht die jeweilige Mitteltemperatur berechnet und fur T einsetzt.

In der Praxis erhalt man ein solches Temperaturprol der Atmosphare (sieheAbbildung 2.2) beispielsweise durch den Einsatz von Radiosonden. Diese sind angasgefullten aufsteigenden Ballons befestigt und messen in festgelegten Intervallen(in Sekundenabstanden) die Temperatur (T ) und den Druck (p). Mit Hilfe derbarometrischen Hohenformel kann anschlieend den Wertepaaren (p; T ) die Hohe(z) zugeordnet werden, in der sie gemessen wurden. Eine andere Moglichkeit besteht


Abbildung 2.2: Vertikales Temperaturprol (rechte dicke Linie) am 9.7.99der Radiosonde Dresden. Die Hohenabhangigkeit (Abszisse) ist hier be-reits als Druck in hPa angegeben)

darin, die Messung in jeweils denierten Hohen durchzufuhren. Dann reicht es aus,den Druck (p) oder die Temperatur (T ) zu messen, und man erhalt mit Hilfe derbarometrischen Hohenformel die Werte der jeweils fehlenden Groe (T ) oder (p).Uber die ideale Gasgleichung (2.1.10) kann man dann zusatzlich noch die Dichte() ableiten.

2.3. DIE LUFTTEMPERATUR 31

2.3 Die Lufttemperatur

Die Temperatur (T ) ist eine Zustandsgroe (s. u.), die den Warmeinhalt (Warme-energie) eines physikalischen Systems beschreibt (nicht seine Gesamtenergie). DieTemperaturmessung basiert auf dem \nullten" Hauptsatz der Thermodynamik. Die-ser besagt, da zwei Systeme den gleichen Warmeinhalt haben, wenn sie die gleicheTemperatur besitzen. Gemessen wird die Temperatur uber einen direkten Vergleich,d. h. man bringt das zu messende System mit einem Thermometer in ein thermi-sches Gleichgewicht. Die am Thermometer abzulesende Temperatur entspricht dannder Temperatur des Systems. Um die Temperatur messen zu konnen, benotigt manim Thermometer einen Sto, der seine Eigenschaften mit der Temperatur andert.Das kann beispielsweise die Dichte () einer Flussigkeit (Quecksilber/Alkohol) sein.Bei dieser klassischen Memethode benotigt man ein Vorratsgefa mit einer Kapil-lare fur die Me ussigkeit. Das Verfahren reagiert jedoch relativ trage, da der ganzeKorper des Thermometers mit erwarmt werden mu. Bis das Megerat mit der Um-gebung vollstandig im thermischen Gleichgewicht ist, konnen mehrere Minuten ver-gehen. Kurzfristige Temperaturanderungen | z. B. im Sekundenbereich | lassensich so nicht erfassen. Zur Messung schneller Temperaturanderungen nutzt man dieTemperaturabhangigkeit von Widerstanden, z. B. von dunnen Platindrahten (heutebereits ein Standardmeverfahren). Der Platindraht andert uber einen weiten Tem-peraturbereich seinen Widerstand linear mit 4h pro Kelvin. Uber die elektrischeMessung des Wiederstandes kann dann die Temperatur ausgerechnet werden, wennman den Widerstand bei einer Referenztemperatur kennt. Gebrauchlich sind heutePlatindrahte mit einem Widerstand von 100 bei 0 0C.

p

1 2

3

4

5

V

T(V,p)

Abbildung 2.3: Zustandsdiagramm furdie Temperatur in Abhangigkeit vonDruck und Volumen (p-V-Diagramm).

p

1

2

s

2 s

V

1

T

T

Abbildung 2.4: Zustandsanderung derTemperatur von T1 nach T2 auf ver-schiedenen Wegen (s1 und s2) im Zu-standsraum.

Die Temperatur (T ) hat die Eigenschaft einer Zustandsgroe bzw. Zustandsfunk-tion. Das bedeutet, da die Temperatur eines Gasvolumens unabhangig von der Art,der Zahl und der Reihenfolge durchgefuhrter Zustandsanderungen nach Erreichender Ausgangsbedingungen wieder denselben Wert annimmt. Demnach ergibt dasRingintegral

HdT entlang der Zustandsanderungen Null (siehe Gleichung 2.3.1).

Aus der Gasgleichung (2.1.3) ist zu entnehmen, da die Temperatur einer Luftmen-ge nur eine Funktion von Druck und Volumen ist (T = T (p; V )). Eine Abfolge vonZustandsanderungen in einem pVDiagramm ist in Abbildung 2.3 skizziert. An je-dem Punkt der skizzierten Zustandsanderungen (n = 1; 2; 3; :::) hat die Luftmengeeine andere Temperatur. Kehrt sie in diesem durch Druck und Volumen aufgespann-


ten Zustandsraum jedoch wieder an den Ausgangspunkt zuruck, so nimmt sie auchwieder die gleiche Temperatur wie zu Beginn ein.

Fur eine Funktion, die von zwei Variablen abhangt, lat sich das totale Die-rential schreiben als

dT (x; y) =@T

@xdx+

@T

@ydy = ~rT d~s

Fur den in Abbildung 2.3 dargestellten Zustandsraum der Temperatur sind alsunabhangige Variablen x = V und y = p einzusetzen. d~s = (dV; dp) versteht sich alsWegelement in diesem Zustandsraum. Damit gilt fur die Zustandsgroe T (p; V )dieallgemeine Beziehung:

0 =

IdT =

I@T

@VdV +

@T

@pdp =

I~rT d~s (2.3.1)

~r: Nabla-Operatord~s: Wegelement

Aus dieser Beziehung folgt, da das Integral uber eine Zustandsanderung (RdT )

von einem Zustand (T1) zu einem Zustand (T2) unabhangig vom gewahlten Wegim Zustandsraum ist. Denn entsprechend den Bezeichnungen in Abbildung 2.4 latsich das Ringintegral umformen

0 =

IdT| z

s1+s2

=

Z 2

1

dT| z s1

+

Z 1

2

dT| z s2

=)

Z 2

1

dT| z s1

=

Z 1

2

dT| z s2

=

Z 2

1

dT| z s2

Es mag ungewohnlich erscheinen, da wir an dieser Stelle den Gradienten und dasWegelement in einem Zustandsraum (Phasenraum), der von den Variablen p undV aufgespannt wird, formulieren. Vertrauter durfte die Formulierung dieser beidenGroen im dreidimensionalen Ortsraum sein. Hier setzt sich das Wegelement d~sfolgendermaen zusammen:

d~s =~i dx+~j dy + ~k dz (2.3.2)

Es sind ~i, ~j und ~k die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem, ent-sprechend (1,0,0) fur~i, (0,1,0) fur ~j und (0,0,1) fur ~k. Im weiteren werden wir, wennwir uns im Ortsraum benden, immer von kartesischen Koordinaten ausgehen. DerGradient oder Nabla-Operator stellt sich dann dar als

~r: =~i@:

@x+~j

@:

@y+ ~k

@:

@z(2.3.3)

so da sich im Ortsraum fur den Temperaturgradienten ergibt:

~rT =~i@T

@x+~j

@T

@y+ ~k

@T

@z(2.3.4)

Fur eine Zustandsanderung im Ortsraum lat sich dann schreiben:

dT (x; y; z) = ~rT d~s =@T

@xdx+

@T

@ydy +

@T

@zdz (2.3.5)

Nach diesen Nebenbetrachtungen im Ortsraum kehren wir zu unseren Zustands-groen zuruck. Eine weitere Zustandsgroe im Sinne von Gleichung 2.3.1 ist nebender Temperatur die innere Energie (u). Sie ist ein Ma fur den Energieinhalt bzw.den Warmeinhalt eines physikalischen Systems. Dieser kann sich andern durch


Energieaustausch mit der Umgebung,

von oder am System geleistete mechanische Arbeit und

chemische oder physikalische Stoumwandlungen.

Mathematisch ausgedruckt ergibt sich der erste Hauptsatz der Thermodynamik.

du = Æq Æw +X

i dni (2.3.6)

du: Anderung der massenspezischen inneren EnergieÆq: Energie, die dem System zu- oder abgefuhrt wirdÆw: die vom/am System geleistete mechanische Arbeiti: chemisches Potential der Substanz idni: Anderung der Teilchenzahl der Substanz i

Der Buchstabe Æ soll im Gegensatz zu d verdeutlichen, da es sich bei Anderungenvon q und w nicht um Zustandsanderungen, sondern um Prozesse handelt, q und walso keine Zustandsgroen im obigen Sinne sind.

Die Auswirkungen chemischer Umwandlung sollen nicht Gegenstand dieser Vor-lesung sein. Phasenumwandlungen betreen ausschlielich das Wasser, welches inder Atmosphare in allen drei Aggregatzustanden (fest, ussig, gasformig) vorlie-gen kann. Lat man die Phasenumwandlungen und die chemischen Umwandlungenunberucksichtigt, entfallt der letzte Term der Gleichung 2.3.6 und es folgt:

Æq = du+ Æw (2.3.7)

Um einen praktischen Nutzen aus Gleichung 2.3.7 ziehen zu konnen, drucken wirdie geleistete mechanische Arbeit als Volumenanderungsarbeit aus.

Æw = p dv = p d(1

) (2.3.8)

v: massespezisches Volumen v =1

In Gleichung 2.3.7 eingesetzt, erhalt man:

Æq = du+ Æw = du+ p dv

Mit

d(pv) = p dv + v dp

folgt weiter:

Æq = du+ p dv = du+ d(pv) v dp = d(u+ pv) v dp

Nun denieren wir eine neue Zustandsgroe, die Enthalpie (h):

h := u+ pv (2.3.9)

h: massenspezische Enthalpie

Man kann zeigen, da die Enthalpie (h) tatsachlich eine Zustandsgroe ist. Auf denBeweis wird hier jedoch verzichtet. Mit der Denition der Enthalpie folgt schlielich.

Æq = dh v dp = dh1

dp (2.3.10)


Wir stellen uns nun vor, da wir einem System bei konstantem Druck (dp = 0) Ener-gie zufuhren. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik in der Form von Gleichung2.3.10 vereinfacht sich dann zu:

Æq = dh

Mit der Zufuhr von Energie bei konstantem Druck (dp = 0) steigt die Temperatur(T ) an. Die dabei auftretende Proportionalitatskonstante ist die spezische Warme-kapazitat (cp). Sie ist bei konstantem Druck deniert als:

cp := Æq=dT fur dp = 0 (2.3.11)

cp: spezische Warmekapazitat trockener Luft bei konstantem Druckcp = 1004 J=kgK

Zusammenfassend ergibt sich fur konstanten Druck:

Æq = dh = cp dT (2.3.12)

Fur den allgemeinen Fall des ersten Hauptsatzes gilt dann:

Æq = dh1

dp = cp dT

1

dp (2.3.13)

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik liefert eine weitere Zustandsgroe, dieEntropie (s), uber die Beziehung

ds :=1

TÆq (2.3.14)

s: massenspezische Entropie

Mit Hilfe der massenspezischen Entropie (s) gelingt es nun, die Energiezufuhr (Æq)in oder aus dem System mit Zustandsgroen zu beschreiben.

Æq = T ds (2.3.15)

Setzt man Gleichung 2.3.15 in Gleichung 2.3.13 ein, so erhalt man eine Form desersten Hauptsatzes der Thermodynamik, in der nur noch Zustandsgroen und ihreDierentiale enthalten sind.

1: Hauptsatz T ds = cp dT 1

dp (2.3.16)

Als nachstes fuhren wir eine neue Groe ein, die potentielle Temperatur ().

:= T

1000 hPa

p

RLcp

= T

p0p

= f(T; p) (2.3.17)

=RL

cp= 0; 286

: potentielle Temperaturp0 : Referenzdruck

p0 = 1000 hPa

Ihre Bedeutung mag zunachst noch sehr abstrakt erscheinen, wird aber in den nach-folgenden Umformungen des 1. Hauptsatzes deutlich. Die potentielle Temperatur ist


gema ihrer Denition eine Funktion von T und p. Fur das totale Dierential dieserGroe ergibt sich somit:

d =@

@TdT +

@

@pdp

=

p0p

dT

RL

cp

T

p

p0p

dp

=

dT

TRL

cp

dp

p

cpd

= cp

dT

TRL

dp

p(2.3.18)

Wir losen nun den 1. Hauptsatz (Gleichung 2.3.16) nach ds auf und ersetzen dieDichte () uber die ideale Gasgleichung (2.1.12).

ds = cpdT

TRL

dp

p

Aus dem Vergleich mit Gleichung 2.3.18 ergibt sich dann die wichtige Beziehung:

ds = cpd

(2.3.19)

Wir haben somit die Anderung der Entropie (s) durch die Anderung der potentiellenTemperatur () ausgedruckt.

Aus der Denition der Entropie (zweiter Hauptsatz der Thermodynamik, Glei-chung 2.3.14) geht hervor, da sich die Entropie eines Systems unmittelbar mit derZufuhrung bzw. Abgabe von Energie (Æq) andert und damit auch seine potentielleTemperatur ().

Æq = T ds = cpT

d

Eine solche Energiezufuhr oder -abgabe kann in der Atmosphare z.B. durch Strah-lung oder Phasenumwandlung von Wasserdampf hervorgerufen werden. Wir werdenauf beide Prozesse in den folgenden Kapiteln noch naher eingehen. Im Vorgri dar-auf sollen hier aber bereits die mathematischen Formulierungen fur beide Arten derEnergieumsetzung (Energiequellen / -senken) angegeben werden.

Diabatische Energieanderung durch Strahlung (siehe Kapitel 3.3):

Æqrad =1

~r ~Q dt (2.3.20)

~r ~Q :Divergenz des Netto-Strahlungs usses inW

m2

dt: Zeitdierential (Zeitinkrement)

Diabatische Energieanderung durch Kondensation (siehe Kapitel 2.4.2):

Æqcond = 1

L dW (2.3.21)

dW : Anderung der Wasserdampfdichte

L: massenspezische Verdampfungswarme von Wasser inJ

kg


Unter Berucksichtigung dieser beiden Prozesse ergibt sich eine Haushaltsgleichungfur die Entropie bzw. potentielle Temperatur.

cp d =

T[ Æqrad + Æqcond ]

d

dt=

1

cp

T

~r ~Q L

dWdt

(2.3.22)

Nun wollen wir uns dem adiabatischen Spezialfall (ds = 0) zuwenden, bei demdas betrachtete Luftvolumen keine Energie mit der Umgebung austauscht (also we-der Strahlung noch Kondensation das Luftvolumen erwarmt). Entsprechend derBeziehung 2.3.19 ist somit auch d = 0. Der 1. Hauptsatz (2.3.16) lat sich dannumformen in

cp dT =1

dp

bzw. cpdT

T= RL

dp

pfalls ds = 0 (2.3.23)

Wir betrachten ein energetisch abgeschlossenes Luftvolumen der Temperatur (T )und des Druckes (p). Uns interessiert, welche Temperatur (T0) das Luftvolumen an-nimmt, wenn wir den Druck von p auf p0 verandern. Dazu integrieren wir Gleichung2.3.23 Z T0

T

dT

T=RL

cp

Z p0

p

dp

p

lnT0T

=RL

cpln

p0p

und erhalten

T0T

=

p0p

RLcp

(2.3.24)

Diese Gleichung liefert den gesuchten Zusammenhang zwischen dem Ausgangszu-stand (p; T ) und dem Endzustand (p0; T0) eines Luftvolumens bei adiabatischerZustandsanderung. Wir nennen diese Gleichung

Poisson Gleichung T0 = T

p0p

RLcp

= T

p0p

(2.3.25)

Aus dem Vergleich mit der Denition der potentiellen Temperatur (2.3.17) ist zuersehen, da die hier berechnete Temperatur T0 der potentiellen Temperatur ent-spricht, wenn der Referenzdruck p0 1000 hPa betragt. Damit haben wir eine weitereBedeutung der potentiellen Temperatur abgeleitet:Die potentielle Temperatur () gibt an, welche Temperatur ein Luftvolumen mitdem Druck (p) und der Temperatur (T ) annimmt, wenn man es adiabatisch |also ohne Energieaustausch mit seiner Umgebung | auf einen Referenzdruck von1000 hPa bringt.Die potentielle Temperatur ist wieder eine Zustandsgroe. Entsprechend Gleichung2.3.19 ist sie unter adiabatischen Bedingungen auch eine Erhaltungsgroe,

ds = 0 () d = 0 (2.3.26)


was nichts anderes besagt, als da bei adiabatischen Zustandsanderungen kon-stant bleibt. Dieseer Sachverhalt soll an einem Beispiel erlautert werden. Betrachtenwir dazu wieder ein Luftvolumen, das sich in der Atmosphare in einer bestimm-ten Hohe (z) mit dem Druck (p) und der Temperatur (T ) bendet. EntsprechendGleichung 2.3.17 ordnen wir dem Luftvolumen eine potentielle Temperatur () zu.Nun lassen wir dieses Luftpaket adiabatisch absteigen, d. h. zum Erdboden sin-ken. Dabei nimmt der Druck zu und das Volumen ab. Durch diese adiabatischeKompression steigt auch die Temperatur im Luftvolumen entsprechend der Pois-son Gleichung 2.3.25 an. Anders ausgedruckt: Die Volumenanderungsarbeit, die dersteigende Druck an dem Luftvolumen leistet, wird in innere Energie umgewandelt.Da dieser Energiezuwachs nicht an die Umgebung abgefuhrt werden kann (adiaba-tisch), fuhrt er zu einem Anstieg der Temperatur. Erreicht das Luftvolumen eineHohe, in der der Druck 1000 hPa betragt, so ist seine Temperatur schlielich gleichder potentiellen Temperatur. Die reale Temperatur steigt bei diesem Proze alsoan, wahrend die potentielle Temperatur konstant bleibt (Erhaltungsgroe). Druckund Temperatur erhohen sich bei diesem adiabatischen Abstieg des Luftvolumensgerade so, da sie zu jedem Zeitpunkt die gleiche potentielle Temperatur bilden.

Wie gro ist nun die Temperaturanderung mit der Hohe? Die Antwort liefert wie-der der 1. Hauptsatz fur adiabatische Verhaltnisse (Gleichung 2.3.23). Nehmen wirhydrostatische Verhaltnisse in der Atmosphare an, also eine hydrostatische Druck-zunahme des Luftvolumens beim Abstieg, so gilt entsprechend Gleichung 2.2.4:

dp = g dz

Somit folgt aus Gleichung 2.3.23 fur die Temperaturanderung des Luftvolumens mitder Hohe:

cp dT = 1

g dz

dT

dz=

g

cp=: (2.3.27)

: trockenadiabatischer Temperaturgradient

Mit den Werten fur die Erdbeschleunigung (g) und die spezische Warmekapa-zitat der Luft (cp) ergibt sich, da sich die Temperatur eines vertikal bewegendentrockenen Luftvolumens unter adiabatischen Bedingungen um ca. 1K pro 100m

andert. Genauer gesagt:

=d T

dz=

9; 81ms2

1004 JkgK

= 0; 98K

100m

Bis jetzt haben wir ein einzelnes Luftvolumen und seine Zustandsanderungen be-trachtet. Wir wollen uns nun der Atmosphare als kontinuierliche Zusammensetzungindividueller Luftvolumina zuwenden, bzw. die Atmosphare als kontinuierliche Um-gebung einzelner Luftvolumina betrachten. Wie wir bereits wissen, verandern sichin der Atmosphare Druck und Temperatur mit der Hohe. Jeder Luftschicht lat sichsomit entsprechend ihrem Druck und ihrer Temperatur eine potentielle Temperaturgema Gleichung 2.3.17 zuordnen. Fur den vertikalen Gradienten dieser potentiellenTemperatur gilt:

@

@z=@T

@z

p0p

+ T

@

@z

p0p

@

@z=@T

@z

p0p

TRL

p cp

@p

@z

p0p


Unter Verwendung der hydrostatischen Grundgleichung fur trockene Luft (entspre-chend Gleichung 2.2.5) ergibt sich schlielich:

@

@z=

@T

@z

p0p

+

g

cp

p0p

=

@T

@z+

g

cp

p0p

(2.3.28)

Entspricht der vertikale Temperaturgradient der Atmosphare der trockenadiabati-schen Temperaturanderung gema Gleichung 2.3.27, ist der vertikale Gradient derpotentiellen Temperatur Null.

@

@z= 0 falls

@T

@z=

g

cp(= ) (2.3.29)

Wir sprechen in diesem Fall von einer adiabatisch (neutral) geschichteten Atmo-sphare. Die Atmosphare mu nicht in dieser Weise geschichtet sein. Ihr vertikalerTemperaturgradient kann in beliebigen Hohen von diesem adiabatischen Gradientenabweichen. Wie stark und mit welchem Vorzeichen er dies tut, ist von entscheidenderBedeutung fur die Dynamik der Atmosphare, insbesondere fur die Vertikalbewegungeines Luftvolumens. Damit kommen wir als nachstes zum Begri der Stabilitat derAtmosphare.

Wir betrachten dazu ein Luftvolumen, da sich in einer beliebigen Hohe (z1)bendet. Die Atmosphare um dieses Luftvolumen herum (seine Umgebung) sollruhen wahrend das Luftvolumen selbst aus seiner ursprunglichen Lage nach obenbzw. unten ausgelenkt wird (vergl. Abbildung 2.5). Die Zustandsanderung des Luft-volumens erfolge dabei adiabatisch, d. h. es erfolgt kein Warmeaustausch mit derUmgebung. Gema Gleichung 2.3.26 bleibt somit bei der Vertikalbewegung die po-tentielle Temperatur (p) des Luftvolumens (Luftpartikels) konstant. Relativ zurpotentiellen Temperatur seiner Umgebung (u) sind nun drei verschiedene Falledenkbar.

uθ

θp θp

uθ

z

z

z 2

1

0z

θ

z

z

z 2

1

0z

θ

uθ

θp

z

z

z 2

1

0z

θneutral stabil labil

Abbildung 2.5: Abweichungen zwischen der potentiellen Temperatur eines Luftpar-tikels (p) und der seiner Umgebung (u) bei adiabatischer Vertikalbewegung desPartikels in einer neutral, stabil bzw. labil geschichteten Atmosphare

1. Fall: Die potentielle Temperatur der Atmosphare (u) um das Niveau z1 her-um ist hohenkonstant (adiabatische Temperaturschichtung). Das Partikel hat so-mit in jeder Hohe die gleiche potentielle Temperatur wie seine Umgebung. Da dasLufpartikel an jedem Ort den gleichen Druck wie seine Umgebung hat (instanta-ner Druckausgleich), sind auch die realen Temperaturen (T) des sich bewegendenLuftvolumens und seiner Umgebung stets gleich. Bei gleichem Druck und gleicherTemperatur sind aber auch die Luftdichten im bewegten Volumen und in der je-weiligen Umgebung identisch. Das Luftpartikel wiegt demnach genausoviel wie die


Umgebungsluft, die es verdrangt, so da keinerlei Auftriebskrafte auf das Parti-kel einwirken. Es bleibt folglich in jeder Position ruhen, in die es versetzt wird. Wirsprechen in diesem Fall von einer neutral oder indierent geschichteten Atmosphare.2. Fall: Die potentielle Temperatur der Atmosphare (u) nimmt um das Niveau z1herum mit der Hohe zu. Wird das Luftpartikel bis in die Hohe z2 verfrachtet, soist seine Temperatur geringer als die der Umgebung in dieser Hohe. Die Luft desPartikels weist nun eine groere Dichte als die Umgebungsluft auf. Die damit ver-bundene Abtriebskraft befordert das Luftpartikel wieder in seine Ausgangspositionz1 zuruck. Ein analoger Eekt tritt auf, wenn das Partikel nach unten ausgelenktwird. Im Niveau z0 ist es warmer als seine Umgebung und hat damit eine geringereDichte. Somit zwingt hier eine Auftriebskraft das Partikel dazu, wieder aufzustei-gen. Unabhangig davon in welche Richtung das Luftpartikel also relativ zu seinerUmgebung vertikal ausgelengt wird, ist die Auftriebskraft immer so orientiert, dadas Luftpartikel wieder in seine Ausgangsposition zuruckkehrt. Wir sprechen in die-sem Fall von einer stabil geschichteten Atmosphare.3. Fall: Die potentielle Temperatur der Atmosphare (u) nimmt um das Niveau z1herum mit der Hohe ab. Bei einer Auslenkung nach oben bleibt das Partikel stetswarmer als seine Umgebung. Es ist nun leichter als die Luft in seiner Umgebung,und die resultierende Auftriebskraft lat das Partikel weiter aufsteigen. Wird dasPartikel nach unten ausgelenkt, bleibt es kalter und damit schwerer als seine Um-gebung. Der Abstieg wird somit weiter forciert. Bei einer Abnahme der potentiellenTemperatur mit der Hohe wirkt die Auftriebskraft also gerade so, da sich ein ein-mal ausgelenktes Luftpartikel immer weiter von seiner Ausgangsposition entfernt.Wir sprechen in diesem Fall von einer labil geschichteten Atmosphare.

Wie diese Betrachtungen zeigen, eignet sich der vertikale Gradienten der potenti-ellen Temperatur () in einer Schicht der Atmosphare hervorragend dazu, die Stabi-litat dieser Schicht zu beschreiben. In einer stabilen Atmosphare werden Vertikalbe-wegungen einzelner Luftpartikel relativ zu ihrer Umgebung unterdruckt, wahrendsie in einer labilen Atmosphare verstarkt werden. Dieser Sachverhalt hat direkteAuswirkungen auf die Ausbildung von Turbulenz und die vertikale Durchmischung(z. B. von Spurengasen) in der Atmosphare. In einer labilen Atmosphare ist dieseDurchmischung hoch, wahrend sie in einer stabilen Atmosphare stark reduziert seinkann.

Naturlich lat sich die Betrachtung hinsichtlich des vertikalen Gradienten derpotentiellen Temperatur auch auf den vertikalen Gradienten der realen Temperaturubertragen. Mit Hilfe von Gleichung 2.3.28 konnen die Stabilitatskriterien dann wiefolgt formuliert werden:

@

@zu

8<:

< 0 : labil : >= 0 : neutral : => 0 : stabil : <

9=; @T

@zu (2.3.30)

Abschlieende BemerkungIn diesem Kapitel haben wir uns eingehend mit der Lufttemperatur und ihren Zu-standsanderungen beschaftigt. Alle durchgefuhrten Betrachtungen und Ableitungenbasieren dabei nur auf drei einfachen Grundgleichungen| der idealen Gasgleichung,der statischen Grundgleichung und dem 1. Hauptsatz | und auf der Denition ei-ner neuen Groe, der potentiellen Temperatur. Mag die Denition dieser Groezunachst noch etwas abstrakt erschienen sein, so haben wir inzwischen drei ver-schiedene Bedeutungen kennengelernt.

1. Die potentielle Temperatur ermoglicht eine metechnische Erfassung der En-tropie (Gleichung 2.3.19).


2. Sie ist bei adiabatischen Zustandsanderungen eines Luftvolumens eine Erhal-tungsgroe (Gleichung 2.3.26).

3. Ihr vertikaler Gradient kann als Stabilitatsma fur die Atmosphare verwendetwerden (Gleichung 2.3.30).

Wir sind hier stets von trockener Luft ausgegangen. Im nachsten Kapitel werdenwir unsere Betrachtungen erweitern, indem wir den Feuchtegehalt der Luft erfassenund in den Ableitungen berucksichtigen.

2.4. DIE LUFTFEUCHTIGKEIT 41

2.4 Die Luftfeuchtigkeit

Bei der Behandlung des Daltonschen Gesetzes in Kapitel 2.1.3 hatten wir bereitserwahnt, da der Wasserdampf in der Atmosphare separat betrachtet werden kann.Wasserdampf hat drei wesentliche Eigenschaften, die ihn von den ubrigen Kompo-nenten der Atmosphare unterscheiden, und die eine gesonderte Behandlung recht-fertigen:

1. Wasser kommt in der Atmosphare in allen drei Phasen vor. Unter 0 0C beginntes zu gefrieren und nimmt den festen Aggregatzustand ein. Zwischen 0 0Cund 100 0C ist es ussig und bei hoheren Temperaturen liegt es ausschlielichgasformig vor. Temperaturen um die 100 0C kommen im unteren Teil derAtmosphare nicht vor, doch auch bei geringeren Temperaturen verdunstetWasser in der Atmosphare und liegt teilweise gasformig vor.

2. Wasser ist besonders in Form von Wasserdampf (gasformiger Aggregatzu-stand) sehr stark strahlungsaktiv.Wasserdampf absorbiert und emittiert uber-wiegend im infraroten Teil des Spektrums (siehe Kapitel 3.2 und reguliertdamit den Strahlungshaushalt des Systems Erde-Atmosphare (siehe auch Ka-pitel 3.4. Wasserdampf ist also ein primares Treibhausgas, das wesentlich zum\angenehmen" Klima unseres Planeten beitragt. Ohne seine Strahlungsei-genschaft lage die globale Mitteltemperatur auf der Erdober ache ca. 30Kniedriger als sie es heute mit rund 15 0C ist. Wir sprechen in diesem Zusam-menhang vom \naturlichen" Treibhauseekt. Der derzeit diskutierte zusatz-liche Treibhauseekt durch anthropogen emittierte oder produzierte Gase(CO2, FCKW , O3,CH4) verandert/erhoht die durchschnittliche Temperaturin der Nahe der Erdober ache um schatzungsweise 13 K. Im Vergleich zum\naturlichen" Treibhauseekt (z. B. durch den Wasserdampf) ist die Wirkungdes \anhtropogenen" Treibhauseektes also deutlich geringer. Dennoch muman die anthropogen verursachten Veranderungen ernst nehmen, da betracht-liche Auswirkungen fur uns und unsere Umwelt nicht ausgeschlossen werdenkonnen.

3. Wasser spielt bei der Umverteilung der Energie in der Atmosphare eine wesent-liche Rolle. Dies hangt mit der hohen Verdampfungsenergie von 2; 5106 J/kgin Verbindung mit konvektiven Transportprozessen (z. B. bei der Wolkenbil-dung) zusammen. Ca. 53 % der von der Erdober ache absorbierten Sonnen-energie wird zur Verdunstung von Wasser verwendet (vergl. auch Abbildung3.9). Steigt die mit Wasserdampf angereicherte Luft auf | z. B. durch Kon-vektion, turbulenten Transport oder groraumige Hebung | kuhlt sie sichab. Kondensiert dabei der Wasserdampf, wird die zuvor bei der Verdunstungaufgebrauchte Energie wieder als Warme freigesetzt. Uber den Transport vonWasserdampf gelangt also ein Teil der Sonnenenergie, die ursprunglich amErdboden absorbiert und zur Verdunstung aufgebraucht wurde, in groereHohen der Atmosphare. Das kondensierte Wasser fallt z. T. wieder als Regenzu Boden, wo es erneut fur die Verdunstung und damit die Energieaufnahmezur Verfugung steht.

2.4.1 Der Sattigungsdampfdruck

Wir wollen zunachst auf die verschiedenen Phasen des Wassers in der Atmosphareeingehen. Auf Grund der Gultigkeit des Gesetzes von Dalton (Kapitel 2.1.3) ergibtsich der Gesamtdruck der Atmosphare aus dem Partialdruck der trockenen Luftund dem Partialdruck des Wasserdampfes, der in der Meteorologie oft auch nur


Dampfdruck genannt wird.

p = pges =Xi

pi = pL + e (vergl. 2.1.16)

Wie mussen wir uns nun das Zustandekommen des Dampfdruckes vorstellen?Dazu betrachten wir eine Wasserober ache. Die Wassermolekule haben entspre-chend ihrer Temperatur eine kinetische Energie. Diese ermoglicht es ihnen, gegendie Ober achenspannung aus dem Verband der Wassermolekule in die daruberlie-gend Luft zu entweichen und diese mit Wasserdampf anzureichern (vergl. Abbildung2.6).

Verdunstungsphase Sättigungsgleichgewicht

Wasser

Dampf

Abbildung 2.6: Entstehung des Sattigungsgleichgewichtes uber einerWasserober ache.

Umgekehrt treten Wasserdampfmolekule bei ihrer Bewegung im Gasvolumenauch wieder in das ussige Wasser uber. Dieser Proze geschieht um so hauger, jemehr Wasserdampfmolekule sich im Volumen uber der Wasserober ache benden.Schlielich wird ein Gleichgewichtszustand erreicht, bei dem genau soviele Wasser-molekule aus der ussigen Phase in das Gasvolumen ubertreten wie Wassermolekuleaus der Gasphase (Dampf) zuruck in das ussige Wasser. Den Druck, den der Was-serdampf in diesem Gleichgewichtszustand ausubt, nennt man Sattigungsdampf-druck. Sein Wert ist lediglich von der Temperatur des Wassers abhangig. Je hoherdie Temperatur ist, um so leichter konnen Wassermolekule die Wasserober achedurchdringen und das Gasvolumen anfullen. Foglich wachst der Sattigungsdampf-druck mit steigender Temperatur.

Der Sattigungsdampfdruck gibt an, wieviel Wasserdampf ein Luftvolumen ma-ximal aufnehmen kann. Die Konzentration von Wasserdampf in der Atmosphareist also durch den Sattigungsdampfdruck begrenzt. Gelangt mehr Wasserdampf indie Luft, so mu der uberschussige Wasserdampfanteil kondensieren, also wieder in ussiges Wasser ubergehen. In der Atmosphare bilden sich daher in ubersattigterLuft kleine Wassertropfchen. Wir konnen diesen Eekt z.B. bei der Entstehung vonNebel beobachten. Letztendlich formen sich alle Wolken aus einer Ubersattigung derLuft mit Wasserdampf. Der maximale Anteil von Wasserdampf in der Atmosphareliegt bei ca. 4 % (in den Tropen). Damit ist Wasser nach Sticksto und Sauersto,auf Volumenanteile bezogen, die dritthaugste Komponente in der Atmosphare.

Das Phasendiagramm in Abbildung 2.7 verdeutlicht, bei welchen Druck- undTemperaturverhaltnissen Wasser in welcher Phase vorliegt. Die Kurven im Dia-gramm markieren die Ubergange zwischen den einzelnen Phasen. Die Sattigungs-dampfdrucklinie trennt den ussigen vom gasformigen Bereich. Den Dampfdruckentlang dieser Kurve bezeichnen wir mit (e). Beim Durchschreiten dieser Linie von


Eis

flüssiges Wasser

ab

Wasserdampf

Sättigungsd

ampfdruck

linie

Ver

dam

pfun

g

Kon

dens

atio

n

0°C T

e

100°C

6,11 hPa

1013,15 hPa

Abbildung 2.7: Phasendiagramm fur Wasser.

oben nach unten fangt Wasser an zu verdampfen, bzw. kommt man von unten, sobeginnt an dieser Stelle die Kondensation von Wasser. Zu beachten ist, da derdargestellte Druck nur der Partialdruck (e) fur Wasserdampf ist, nicht aber derGesamtdruck (Luftdruck)! Beim Ubergang zwischen fester- und gasformiger Phase(T < 0 0C) sind zwei Kurven zu erkennen. Die durchgezogene untere Linie (a) cha-rakterisiert den Ubergang vom gasformigen in den festen Zustand (Eis), die gestri-chelte obere Linie (b) zeigt den Ubergang vom gasformigen zum ussigen Zustandfur den Fall unterkuhlten Wassers (Gefrierverzug). Die Bindung von Wassermo-lekulen im Eis ist starker als im unterkuhlten Wasser. Daher verlangt der Ubergangder Molekule von Eis zu Wasserdampf mehr Energie als von unterkuhltem Wasseraus, was zu einem geringeren Sattigungsdampfdruck uber Eis als uber Wasser fuhrt.

Die Zahlenwerte, die im Diagramm angegeben sind, gelten nur fur ebene Ober- achen. Beim Verdunsten/Verdampfen mu ein Wassermolekul die Ober ache des ussigen Wassers durchqueren, um als Dampf entweichen zu konnen. Bei diesemVorgang wird Energie verbraucht. Die Hohe der benotigten Energie ist von derOber achenspannung abhangig. Bei der Kondensation verhalt es sich ahnlich, nurda die Energie beim Ubergang eines Wassermolekuls in den ussigen Verbandals Kondensationswarme freigesetzt wird. Ist nun die Wasserober ache konkav ^gekrummt, so ist an ihr die Bindung einzelner Molekule an die umliegenden Was-sermolekule starker als bei einer ebenen Ober ache, da sie von vergleichsweise mehrbindenden Molekulen im Wasser umgeben werden (siehe Abbildung 2.8). Damit istmehr Energie erforderlich, um von der ussigen Phase in die Dampfphase uberzu-treten, was den Molekuldurchgang erschwert. Das hat zur Folge da der Sattigungs-dampfdruck uber der konkaven Wasserober ache geringer ist, als uber einer ebenenFlache. Ist die Wasserober ache konvex_ gekrummt, so verhalt es sich genau um-gekehrt. Ein Molekul an der Ober ache wird in einem bestimmten Radius von we-niger Wassermolekulen zuruckgehalten und der Molekuldurchgang wird erleichtert(siehe Abbildung 2.9). Die zur Verdampfung benotigte Energie ist somit geringer.Damit liegt der Sattigungsdampfdruck uber einer konvex gekrummten Ober achehoher als uber einer ebenen Flache. Diesen Sachverhalt fat Ungleichungung 2.4.1zusammen.

e^ < e< e_ (2.4.1)

Damit erklart sich auch eine Abhangigkeit des Sattigungsdampfdruckes vomKrummungsradius. So haben groe Tropfen auf Grund ihrer geringeren Krummung


flüssige Phase

Gasphase

Abbildung 2.8: Kohasiv wirkendeMolekule bei einer konkav gekrumm-ten Ober ache.

flüssige Phase

Gasphase

Abbildung 2.9: Kohasiv wirkendeMolekule bei einer konvex gekrumm-ten Ober ache.

(groerer Krummungsradius) einen niedrigeren Sattigungsdampfdruck, als kleineTropfen. Diese Tatsache fuhrt zu einem \unsozialen" Wachstum groerer Tropfenauf Kosten kleinerer Tropfen. Bei kleineren Tropfen mit einer starkeren Krummungist weniger Energie notwendig, um die Ober achenmolekule aus dem Flussigkeits-verband zu losen. Sie haben weniger benachbarte Wassermolekule die sie binden,als in groeren Tropfen mit einer geringeren Krummung ( acheren Ober ache). Da-mit umgibt den kleineren Tropfen im Sattigungsgleichgewicht ein hoherer Dampf-druck als den groeren Tropfen. In einem Gemisch aus groen und kleinen Tropfenkondensiert daher Wasserdampf an den groeren Tropfen, fur die die Luft in derUmgebung kleinerer Tropfen ubersattigt ist. Die kleineren Tropfen versuchen im Ge-genzug den Sattigungsdampfdruck in ihrer Umgebung zu erhalten und verdunstenWassermolekule. Folglich schrumpfen die kleineren Tropfen, wahrend die groerenweiter wachsen.

Der Sattigungsdampfdruck hangt auch davon ab, ob reines Wasser vorliegt oderob andere Stoe im Wasser gelost sind. Der Sattigungsdampfdruck einer wassrigenLosung ist kleiner als der von reinem Wasser, da sich die Bindungsenergie der Was-sermolekule durch die zusatzliche Anwesenheit geloster Stoe erhoht. Damit mu inder Losung mehr Energie aufgebracht werden um Wassermolekule aus dem Verbandzu losen. Also gilt:

eLsg < eW (2.4.2)

Ahnliches gilt fur Eis im Vergleich zu ussigem Wasser. Der Sattigungsdampfdruck

uber Eis ist geringer als uber ussigemWasser. Dieser Unterschied liegt wieder darinbegrundet, da die Molekule im Eis starker gebunden sind als in ussigem Wasser.Damit ergibt sich die dritte Ungleichung:

eEis < eW (2.4.3)

Dieser Sachverhalt hat Auswirkungen auf den Anteil von Wassertropfchen und Eis-kristallen in Wolken. Der dabei wirkende Mechanismus verlauft ahnlich der be-schriebenen Wechselwirkung zwischen groen und kleinen Wassertropfen. Bei einerTemperatur uber 0 0C bestehen Wolken nur aus Wassertropfchen. Dagegen sind beiTemperaturen unter 35 0C die Wolken i. d. R. reine Eiswolken, d. h. die Wol-ken bestehen nur aus Eisteilchen. Im Temperaturbereich dazwischen, der in derAtmosphare uberwiegt, bestehen die Wolken sowohl aus unterkuhlten Wassertropf-chen als auch aus Eiskristallen umgeben von Wasserdampf. Es kondensieren standigWassertropfchen, wahrend an anderer Stelle welche verdunsten, bzw. sublimierenEiskristalle, wahrend sie an anderer Stelle entstehen. Da aber bei der Entstehungvon Eiskristallen mehr Energie frei wird als bei der Verdunstung von Wasser ver-braucht wird | die Eisbildung also energetisch gunstiger ist |, verschiebt sich das


Gleichgewicht zwischen Eiskristallen und Wassertropfchen zu Gunsten der Eiskri-stalle.

Man kann diesen Prozess auch uber den Sattigungsdampfdruck erklaren. Ist dieLuft bezuglich des Wassers gesattigt, ist sie in Bezug auf das Eis ubersattigt, da derSattigungdsdampfdruck von Eis niedriger ist, als der von Wasser (siehe Ungleichung2.4.3). Daher sublimiert in einem Gemisch aus Eisteilchen und Wassertropfen derWasserdampf an den Eiskristallen, und der Dampfdruck in der Umgebung der Wol-kentropfchen nimmt ab. Folglich verdunsten die Wassertropfchen wieder verstarkt,um ihren Sattigungsdampfdruck aufrecht zu erhalten. Die Konsequenz ist, da inMischwolken Eiskristalle auf Kosten von Wassertropfchen wachsen. Diesen Mecha-nismus nennt man Bergeron-Findeisen-Proze, bezeichnet nach seinen Entdeckern.Der Bergeron-Findeisen-Proze ist ein wichtiger Proze beim Wachstum von Eis-teilchen und damit der Niederschlagsbildung in hochreichenden Gewitterwolken.

2.4.2 Die Clausius-Clapeyron-Gleichung

Wir hatten bereits erwahnt, da der Sattigungsdampfdruck temperaturabhangigist. Die Anderung des Sattigungsdampfdruckes (e) mit der Temperatur (T ) liefertdie Clausius-Clapeyron-Gleichung. Sie kann folgendermaen hergeleitet werden:Wir gehen wieder vom ersten Hauptsatz der Thermodynamik aus (2.3.16)

T ds = cp dT 1

dp

und formen diesen um zu:

d(Ts) s dT = cp dT 1

dp (2.4.4)

(Ts) und (cpT ) sind wieder Zustandsgroen. Das bedingt, da der Rest der Glei-chung 2.4.4 ( 1dpsdT ) ebenfalls eine Zustandsgroe sein mu. Im nachsten Schrittfuhren wir diese neue Zustandsgroe ein und nennen sie die freie Enthalpie g. De-niert ist sie durch die Gleichnug:

dg := sdT +1

dp (2.4.5)

g: massenspezische freie Enthalpie

Diese Zustandsgroe ist ideal geeignet fur unser Mehrphasendiagramm in Abbildung2.7, da sie nur von Anderungen der Zustandsgroen Druck (p) und Temperatur(T ) abhangt (Achsen des Phasendiagramms). Wir nehmen nun an, da wir unsim Phasendiagramm auf der Linie des Sattigungsdampfdruckes benden, also imGeichgewichtszustand zwischen Wasser und Dampf, und da dg ein innitesimalkleines Segment auf dieser Sattigungsdampfdrucklinie sei. Gas- und ussige Phasesollen zunachst gesondert betrachtet werden. Beide Substanzen haben die gleicheTemperatur (T ). Fur die Gasphase gilt:

dgW =1

Wdp sW dT (2.4.6)

dgW : Anderung der massenspezischen freien Enthalpie von WasserdampfW : Dichte von WasserdampfsW : massenspezische Entropie von Wasserdampf

Fur die ussige Phase gilt die selbe Beziehung, nur da die Entropie und die Dichtenun die Werte des ussigen Wassers haben.

dgfl =1

fldp sfldT (2.4.7)


dgfl: Anderung der massenspezischen freien Enthalpie von ussigem Wasserfl: Dichte von ussigem Wassersfl: massenspezische Entropie von ussigem Wasser

Da es sich bei der freien Enthalpie (g) um eine Zustandsgroe handelt, mussen beideLinienelemente (dgfl) und (dgW ) entlang der Phasengleichgewichtskurve identischsein. Also gilt:

dgW = dgfl (2.4.8)

Mit Gleichung 2.4.6 und 2.4.7 folgt:

1

Wdp sW dT =

1

fldp sfldT

Zieht man die Terme mit der Dichte () und die Terme mit der Entropie (s) jeweilsauf eine Seite, so erhalt man:

1

W

1

fl

dp = (sW sfl)dT

Schreibt man die Dierenzen auf eine Seite, so kommt man zu Gleichung

dp

dT= (sW sfl)

1

W

1

fl

Der Kehrwert der Dichte () ist das spezische Volumen, so da die Gleichungfolgendermaen umgeformt werden kann:

dp

dT=sW sflvW vfl

=s

v(2.4.9)

vW : massenspezisches Volumen von Wasserdampfvfl: massenspezisches Volumen von ussigem Wasser

Der Druck im Phasengleichgewicht ist der Sattigungsdampfdruck (p = e). Diemassenspezische Entropiedierenz ds ist ein Ma fur die zugefuhrte Energiemenge(zweiter Hauptsatz der Thermodynamik, Gleichung 2.3.15, Tds = Æq). Die beimPhasenubergang freiwerdende Energie wird durch die sogenannte Verdampfungs-warme (L) erfat. Folglich gilt:

Ts = L =) s =L

T

L: massenspezische Verdampfungswarme von WasserL = 2; 5 106 J/kg

Danach gelangt man uber Gleichung 2.4.9 zur ClausiusClapeyronGleichung :

de

dT=

L

Tv(2.4.10)

e: Sattigungsdampfdruck von Wasser

Diese Gleichung soll unter zwei Annahmen/Vereinfachungen angewendet werden.1. Annahme: Das spezische Volumen vonWasserdampf sei wesentlich groer als dasvon ussigem Wasser. Damit weicht die Dierenz der spezischen Volumina beiderPhasen (v) vom spezische Volumen von Wasserdampf (Kehrwert der Dichte vonWasserdampf) kaum ab.

v = vW vfl 1

W(2.4.11)


Aus Gleichung 2.4.10 folgt dann:

de

dT=

L

T 1W

= WL

T(2.4.12)

Da die Dichte von ussigemWasser tatsachlich wesentlich groer ist als die vonWas-serdampf (und demnach der Kehrwert der Dichte von ussigem Wasser wesentlichkleiner), liegt der relative Fehler der Vernachlassigung des spezischen Volumensvon ussigem Wasser in Gleichung 2.4.11 im Bereich von 105.Formuliert man nun noch analog zu Gleichung 2.1.10 die Gasgleichung fur dengesattigten Wasserdampf, erhalt man:

e = WRWT =) W =e

RWT(2.4.13)

RW : spezische Gaskonstante fur WasserdampfRW = R=MW = 462 J/kgK, MW = 18; 0 103 kg/mol

Setzt man Gleichung 2.4.13 in Gleichung 2.4.12 ein, folgt schlielich eine andere,etwas praktikablere Form der Clausius-Clapeyron-Gleichung.

de

dT=L

TW =

L

T

e

RWT=)

de

e=

L

RW

1

T 2dT (2.4.14)

Um nun den Verlauf des Sattigungsdampfdruckes mit der Temperatur explizit an-geben zu konnen, benotigen wir noch eine2. Annahme: Die Verdampfungswarme (L) sei konstant, d. h. der latente Warmein-halt des Wasserdampfes sei nicht von der Temperatur (T ) oder dem Druck (p)abhangig.

L = const:

Integriert man die Dierentialgleichung 2.4.14 uber die Temperatur zwischen ei-nem Zustand T0 und einer beliebigen Temperatur T , so erhalt man die sogenannteMagnusformel.

Z e(T )

e(T0)

1

ede =

L

RW

Z T

T0

1

T 2dT

lne(T )

e(T0)=

L

RW

1

T

+

1

T0

e(T ) = e(T0) exp

L

RWT0

T T0T

(2.4.15)

Fur T0 = 273,15 Kist e(T0) = 6,11 hPa (vergl. Abbildung 2.7).

Die Magnusformel liefert den gesuchten Zusammenhang zwischen Sattigungsdampf-druck und Temperatur. Ihr Name ruhrt von einem Wissenschaftler her, der Mittedes 19. Jhd., ohne diese theoretische Ableitung zu kennen, eine sehr ahnliche Losungfur die Temperturabhangigkeit des Sattigungsdampfdruckes experimentell heraus-gefunden hat. Fur uberschlagige Abschatzungen kann man annehmen, da sich derSattigungsdampfdruck bei einer Erhohung der Temperatur um 10 K ungefahr ver-doppelt.


Auf Grund der bei der Herleitung gemachten Annahmen | insbesondere Annah-me 2: L = const | ist Gleichung 2.4.15 nur eine Naherung fur den tatsachlichenVerlauf des Dampfdruckes e(T ). Exaktere Formeln ndet man in der Literatur.Tabelle A.1 in Anhang A zeigt eine Zusammenstellung genauerer Werte fur denSattigungsdampfdruck uber Wasser. Wie wir bereits wissen, herrscht uber Eis einanderer Sattigungsdampfdruck als uber ussigem Wasser. Tabelle A.2 gibt einenAuszug entsprechender Werte fur den Temperaturbereich von 0 0C bis 30 0C wie-der.

2.4.3 Feuchtemae

Es gibt verschiedene Mae, um die Feuchtigkeit in der Atmosphare zu beschreiben.Dabei sind alle auf den Sattigungsdampfdruck von Wasser zuruckzufuhren.

absolute Feuchte

Die absolute Feuchte gibt den tatsachlichen Wassergehalt in der Atmosphare an.Sie ist identisch mit der Wasserdampfdichte.

a := W (2.4.16)

a: absolute Feuchte

spezische Feuchte

Die spezische Feuchte gibt das Verhaltnis zwischen der Masse an Wasserdampfund der Gesamtmasse, also der Masse der feuchten Luft eines Luftvolumens an. Inder Theorie hat sie eine groe konzeptionelle Bedeutung, da sie eine Erhaltungs-groe darstellt. D. h. in einem abgeschlossenen Luftvolumen bleibt das Verhalt-nis von Wasserdampf zur Gesamtmasse immer gleich, also die spezische Feuchteimmer konstant, solange keine Phasenumwandlungsprozesse stattnden. Die Was-serdampfdichte alleine hat diese Eigenschaft nicht, da sich das Referenzvolumendurchaus andern kann (z. B. bei der adiabatischen Expansion).

q :=Wf

=W

L + W(2.4.17)

q: spezische Feuchtef : Dichte der feuchten Luft, im fogenden mit der Gesamtdichte identisch

Die Dichte der feuchten Luft setzt sich zusammen aus der Dichte der trockenen Luftund der Wasserdampfdichte.

f = L + W (2.4.18)

Betrachtet man den Wasserdampf und damit auch das Gemisch der feuchten Luftals ideales Gas, so folgen analog zur Gasgleichungen fur trockene Luft (pL = LRLT ,Gleichung 2.1.10) die Gasgleichungen fur Wasserdampf und feuchte Luft:

e = W RW T (2.4.19)

pf = f Rf T (2.4.20)

Rf : Gaskonstante der feuchten Luft


Fur die Gaskonstante der feuchten Luft (Rf ) lat sich mit Hilfe der Gleichung 2.1.16fur den Gesamtdruck folgender Zusammenhang ableiten:

p = pf = pL + e

f Rf T = LR LT + W RWT

Rf =Lf

RL +Wf

RW

Rf =f W

fRL +

Wf

RW

Rf = (1 q)RL + q RW (2.4.21)

Dies entspricht der bereits in Kapitel 2.1.2 abgeleiteten Beziehung fur die Gaskon-stante eines Luftgemisches (Gleichung 2.1.9). Aus Gleichung 2.4.17 ergibt sich dannfur die spezische Feuchte:

q =Wf

=

e

RW Tp

Rf T

q =Rf

RW

e

p(2.4.22)

q =(1 q)RL + q RW

RW

e

p

q =RL

RW

e

p+

RW RL

RW

e

pq

q =RL

RW

e

p

1

1

1

RL

RW

e

p

(2.4.23)

RL=RW ist konstant und hat den Wert 0,622. Damit ergibt sich folgender Zusam-menhang zwischen der spezischen Feuchte q und dem Dampfdruck (e):

q = 0; 622e

p

1

1 0; 378e

p

(2.4.24)

Da der Gesamtdruck (p) wesentlich groer ist als der Dampfdruck von Wasser (e),gilt in guter Naherung:

1RL

RW

e

p 1

q RL

RW

e

p= 0; 622

e

p(2.4.25)

Virtuelle Temperatur

Gleichung 2.4.21 verdeutlicht, da die 'Gaskonstante' fur feuchte Luft vom spezi-schen Wasserdampfgehalt der betrachteten Luftmenge abhangt und damit raumlichund zeitlich variabel ist, also im Gegensatz zu den Gaskonstanten fur trockene Luftund Wasserdampf eigentlich keine Konstante ist. Folglich sind in der Gasgleichung2.4.20 fur feuchte Luft alle drei Terme auf der rechten Seite Variablen. Um dieseszu vermeiden, fuhrt man eine ktive Temperatur ein, indem man fordert

pf = f Rf T =: f RL TV (2.4.26)


TV : virtuelle Temperatur

und nennt diese Temperatur (TV ) die virtuelle Temperatur.Die virtuelle Temperatur ist folglich die Temperatur, die trockene Luft haben mute,damit sie bei gleicher Dichte wie die feuchte Luft den gleichen Druck erzeugenwurde.Fur die virtuelle Temperatur gilt:

TV =Rf

RLT =

(1 q)RL + q RW

RLT

TV = T

1 +

RW RL

RLq

= T (1 + 0; 608 q) (2.4.27)

Der Unterschied zwischen realer und virtueller Temperatur beruht auf den unter-schiedlichen Gaskonstanten fur trockene Luft (RL)und Wasserdampf (RW ). Die vir-tuelle Temperatur (TV ) ist somit abhangig von der aktuellen Temperatur (T ) unddem spezischen Wasserdampfgehalt (q) der feuchten Luft. Damit kann die Abwei-chung der virtuellen Temperatur von der realen Temperatur auch als ein Ma furden Feuchtegehalt der Luft verwendet werden. Allerdings ist die virtuelle Tempera-tur nicht direkt mebar. Die virtuelle Temperatur der feuchten Luft ist stets hoherals die reale Temperatur. Fur die Dierenz zwischen beiden Temperaturen ergibtsich:

TV T = 0; 608 q T

Ein typischer Wert fur q liegt in einer Groenordnung von ca. 102 kg=kg, ist alsozunachst recht klein. Durch die Multiplikation mit T (in Kelvin) kann fur die virtu-elle Temperatur dennoch ein Aufschlag von einigen Kelvin auf die reale Temperaturresultieren.

q = 2; 5 102 und T = 300 K =) TV T 4; 6 K

relative Feuchte

Unter der relativen Feuchte versteht man den Quotienten aus dem Dampfdruck (e),der in einem Luftvolumen der Temperatur (T ) vorliegt, und dem der Temperaturentsprechenden Sattigungsdampfdruck (e).

f :=e(T )

e(T )(2.4.28)

f : relative Feuchte

Bei dieser Denition ist immer der Sattigungsdampfdruck uber ussigem Wasserund nicht uber Eis gemeint.Die relative Feuchte ist eine praktischeMegroe zur Bestimmung des Wasserdampf-gehaltes der Luft. Mit man gleichzeitig mit der relativen Feuchte (f)die Tempera-tur (T ), welche den Sattigungsdampfdruck (e) festlegt, lat sich der tatsachlicheDampfdruck berechnen. Ist zusatzlich noch der Druck (p) bekannt, folgt aus Glei-chung 2.4.24 die spezische Feuchte (q) und damit aus Gleichung 2.4.27 auch dievirtuelle Temperatur (TV ).

Fruher nutzte man die Quellfahigkeit von naturlichen Haaren als Memoglichkeitaus. Mit zunehmender Feuchte dehnt sich das Haar. Uber die Langenanderung kanndann die relative Feuchte bestimmt werden.

Moderne Methoden verwenden zwei Kondensatorplatten, deren Zwischenraummit einer Substanz gefullt ist, die in Abhangigkeit von der Feuchte ihre Kapazitat


Lichtstrahl

Spiegel

Stromversorgung

Temperaturregelung

Taupunkttemperatur

Steuerelektronik

Lampe Photozelle

Kühlkörper

Abbildung 2.10: Prinzip des Taupunktspiegels

andert. Folglich kann man aus der Messung der Kapazitat Ruckschlusse auf dierelative Feuchte ziehen. Auf Grund des einfachen und kostengunstigen Meprinzipsist dieses Meverfahren weit verbreitet.

Es sei an dieser Stelle hervorgehoben, da die relative Feuchte kein absolutes Mafur den Wasserdampfgehalt ist. Trotz gleicher relativer Feuchte haben Luftvoluminaunterschiedlicher Temperatur auch einen unterschiedlichen Gehalt an Wasserdampf(absolute Feuchte). Daher werden zur Interpretation der relativen Feuchte meistnoch zusatzliche Angaben (wie z. B. die Temperatur) benotigt. Die relative Feuchtezeigt lediglich an, wieweit ein mit Wasserdampf angereichertes Luftvolumen von derSattigung entfernt ist.

Taupunkt

Der Taupunkt ist die Temperatur Td, bei der der zugehorige Sattigungsdampfdruckdem aktuellen Dampfdruck entspricht. Man erhalt ihn, indem man nicht gesattigteLuft der Temperatur T so lange abkuhlt, bis die Sattigung erreicht ist.

e(Td) := e(T ) (2.4.29)

Td: Taupunkttemperatur

Mit Gleichung 2.4.28 ergibt sich damit fur die relative Feuchte:

f =e(Td)

e(T )(2.4.30)

In der Praxis geschieht die Messung dieser Taupunkttemperatur mit einem soge-nannten Taupunktspiegel (siehe Abbildung 2.10). Von einem Spiegel, der von untendeniert gekuhlt werden kann, wird ein Lichtstrahl re ektiert und durch eine Pho-tozelle erfat. Der Spiegel wird nun soweit abgekuhlt, bis die unmittelbar anliegendeLuft in die Sattigung ubergeht und sich in der Folge Tropfchen am Spiegel bilden.Diese andern die Re exion des Lichtes, was wiederum vom Photometer registriertwird. Uber eine elektronische Steuerung wird nun die Spiegeltemperatur genau sogeregelt, da diese gerade auf dem Grenzwert zur Kondensation verbleibt.

Damit hat man ein Megerat, mit dem man den Taupunkt sehr prazise undschnell messen kann. Der zum Taupunkt zugehorige Sattigungsdampfdruck und da-mit der aktuelle Dampfdruck der ursprunglich ungekuhlten Luft kann dann am


Phasendiagramm (entspr. Abbildung 2.7) bzw. aus entsprechenden Tabellen ent-nommen werden (siehe Tabelle A.1 und A.2).

2.4.4 Vertikale Anderungen

Wir haben gesehen, da der Sattigungsdampfdruck eine Groe ist, die nur von derLufttemperatur abhangt. Im Kapitel 2.3 ist gezeigt worden, wie sich in der Atmo-sphare die Lufttemperatur mit der Hohe verandert. Damit verandert sich aber auchder Sattigungsdampfdruck. In diesem Kapitel wollen wir nun untersuchen, wie grodiese vertikale Anderung von e(T ) ist, und was mit dem aktuellen Wasserdampf-gehalt in einem aufsteigenden Luftvolumen passiert.

Aus der ClausiusClapeyronGleichung 2.4.14 lat sich unmittelbar die vertikaleAnderung des Sattigungsdampfdruckes ableiten.

de

dz=

de

dT

dT

dz=

L e

RW T 2

dT

dz

1

ede

dz=

L

RW T 2

dT

dz(2.4.31)

Nehmen wir fur die Hohenanderung einen adiabatischen Temperaturverlauf nachGleichung 2.3.27 an, so ergibt sich fur die vertikale Anderung des Sattigungsdampf-druckes:

1

ede

dz=

Lg

RW cp T 2 7 104 (fur den unteren Bereich der Atmosphare)

Das bedeutet, da der Sattigungsdampfdruck bei Temperaturen im Bereich von273K um rund 7 % pro 100m abnimmt.

Nun betrachten wir ein Luftvolumen, dessen Wasserdampfgehalt unter demSattigungswert liegt, der seiner Lufttemperatur entspricht also ein untersattigtesLuftvolumen. Wie andert sich der Dampfdruck in diesem Luftvolumen, wenn es sichvertikal bewegt? Den Wasserdampfgehalt des Luftvolumens erfassen wir uber diespezische Feuchte (q). Da die spezische Feuchte, solange keine Phasenumwand-lungen auftreten, eine Erhaltungsgroe ist (sieh Kapitel 2.4.3), gilt mit Gleichung2.4.25:

0!=dq

dz=

RL

RW

1

p

de

dz

e

p2dp

dz

1

e

de

dz=

1

p

dp

dz(2.4.32)

Die relative Anderung des Dampfdruckes mit der Hohe ist in dem betrachteten Luft-volumen also gleich der relativen Anderung des Gesamtdruckes! Fur hydrostatischeBedingungen in der Atmosphare (Gleichung 2.2.5) folgt:

1

e

de

dz=

g

p=

g

Rf T

Nehmen wir weiter an, da die Zustandsanderung des sich vertikal bewegenden Luft-volumens adiabatisch erfolgt, gilt fur seine Temperaturanderung Gleichung 2.3.27,und die Beziehung lat sich umformen in

1

e

de

dz=

cpRf T

dT

dz(2.4.33)

Die Abnnahme des Dampfdruckes (e) mit der Hohe (z) erfolgt also proportional zu1=T im Unterschied zum Sattigungsdampfdruck (e), welcher mit 1=T 2 abnimmt.


0z

z1LCL

(-1,2 %/100m) (-7 %/100m)

e(z) e (z)

1*

*

e(z ) = e (z )1

0 0*e(z ) < e (z )

Dampfdruck ln(e)

Höh

e

z

Abbildung 2.11: Vertikaler Verlauf der Logarithmen des Sattigungsdampf-druckes e in einer neutral gschichteten Atmosphare und des Dampfdruckese eines unter adiabatischen Bedingungen aufsteigenden Luftvolumens von ei-nem Ausgangsniveau z0 aus bis zum Kondensationsniveau z1 (LCL).

Fur T 273K und q 3 103 betragt die relative Abnahme des Dampfdruckesim aufsteigenden Luftvolumen rund 1,2 % pro 100 m.

1

e

de

dz=

g

Rf T 1; 2 104 (fur den unteren Bereich der Atmosphare)

Der Dampfdruck im aufsteigenden Luftvolumen nimmt also deutlich langsamer ab,als der entsprechende Sattigungsdampfdruck. Folglich nahert sich der tatsachlicheDampfdruck im Luftvolumen mit zunehmender Hohe immer mehr dem Sattigungs-wert. Die Hohe, in der der Sattigungswert schlielich erreicht wird, nennt mandas Kondensationsniveau, genauer gesagt, das Hebungskondensationsniveau LCL(lifting condensation level), denn hier beginnt der Wasserdampf zu kondensieren.Gema den beiden Gleichungen 2.4.31 und 2.4.33 ist die relative vertikale Ande-rungsrate von e und e nicht konstant, sondern hangt noch von der Temperaturab. Fur das grundlegende Verstandnis dieses Prozesses genugt jedoch die lineari-sierte Betrachtungsweise der relativen (logarithmischen) Dampfdruckanderung, diein Abbildung 2.11 noch einmal schematisch dargestellt ist.

Zur genaueren Berechnung des Kondensationsniveaus mussen Gleichung 2.4.31und Gleichung 2.4.33 vertikal integriert werden. Mit der Nebenbedingung e(z1) =e(z1) im Kondensationsniveau (z1) erhalt man eine implizite Beziehung fur dieTemperatur in diesem Niveau. Sind sowohl der Sattigungsdampfdruck | hierzureicht die Kenntnis der Lufttemperatur | als auch der aktuelle Dampfdruck derLuft im Ausgangsniveau bekannt, lat sich die Gleichung iterativ losen. Da dererzwungene Aufstieg des betrachteten Luftvolumens adiabatisch erfolgen soll, kanndie Temperaturdierenz zwischen Ausgangsniveau und Kondensationsniveau mitdem trockenadiabatischen Temperaturgradienten (Gleichung 2.3.27) direkt in eineHohendierenz umgerechnet werden.

Was passiert, wenn das Luftvolumen weiter uber das Kondensationsniveau hin-aus aufsteigt? Der Sattigungsdampfdruck nimmt weiter ab, und der uberschussi-ge Wasserdampf im Luftvolumen kondensiert kontinuierlich. Es entstehen klein-


ste Wassertropfchen, die schlielich zur Bildung einer Wolke fuhren konnen. Beidiesem Prozess wird Kondensationswarme freigesetzt und dem Luftvolumen zu-gefuhrt. Diese zusatzlich Warmezufuhr reduziert die ursprunglich trockenadiabati-sche Abkuhlungsrate wahrend des Aufstiegs. Das Luftvolumen kuhlt sich nun alsolangsamer ab. Wie gro ist dieser Eekt?

Die Antwort liefert wieder der 1. Hauptsatz (Gleichung 2.3.16). Durch die frei-gesetzte Kondensationswarme wird jetzt allerdings der Luft Warme hinzugefugt |Æq = T ds ist also nun nicht mehr gleich 0 |. Ihr massenspezischer Anteil istgegeben durch

Æq = T ds = Ldq (dq < 0 bei Kondensation) (2.4.34)

Damit folgt aus dem 1. Hauptsatz:

Ldq = cp dT 1

dp

0 = cpdT

dz

1

dp

dz+ L

dq

dz

(mit statischer Grundgleichung folgt)

0 = cpdT

dz+ g + L

dq

dzdT

dz=

g

cp

L

cp

dq

dz=

L

cp

dq

dz(2.4.35)

Die vertikale Temperaturanderung bei kondensierendem Wasserdampf ist damitgleich der trockenadiabatischen Temperaturanderung reduziert um einen Term, derdie vertikale Anderung der spezischen Feuchte erfat. Wir bezeichnen diese verti-kale !anderung der Temperatur nun als feuchtadiabtischen Temperaturgradienten.

Da wahrend der Kondensationsphase die spezische Feuchte im aufsteigendenLuftvolumen immer auf dem Sattigungswert bleibt, also q = q ist, gilt:

dq

dz=dq

dz=

RL

RW

1

p

de

dze

p2dp

dz

=RL

RW

1

p

de

dz+

eg

RfT

=RL

RW

e

p| z q (Gl: 2:4:25)

L

RW T 2

dT

dz+

g

RfT

In Gleichung 2.4.35 eingesetzt, folgt schlielich fur den feuchtadiabatischen Tempe-raturgradienten:

1 +L

cp

RL

RW

e

p

L

RW T 2

dT

dz=

g

cp

1 +

RL

RW

e

p

L

RfT

dT

dz=

g

cp

1 +A

1 +B=: f (2.4.36)

A =e

p

RL

RW

L

Rf T

L q

Rf T

B =e

p

RL

RW

L

cp

L

RW T 2

L

cp T

L q

RW T

wobei zu berucksichtigenist, da auch Rf von q bzw. in diesem Fall von q abhangigist (Gleichung 2.4.21). Je nach Temperatur und damit verbundenem Wasserdampf-gehalt variiert der Korrekturfaktor am trockenadiabatischen Temperaturgradienten


(g=cp) in Gleichung 2.4.36 im Bereich zwischen 0.65 und 0.4. In Bodennahe resul-tiert daraus eine vertikale Temperaturabnahme von 0,64K=100m. Ein aufsteigendesLuftvolumen kuhlt sich hier also nur um rund 0,6 K pro 100 Meter ab, wenn derin ihm enthaltene Wasserdampf dabei kondensiert, wahrend im kondensationsfreienFall die Temperatur um rund 1 K pro 100 m abnimmt.


2.5 Bewegung in der Atmosphare

2.5.1 Grundlegende Denitionen

Bisher haben wir uns immer mit ruhenden Luftvolumina beschaftigt. In diesem Ka-pitel soll nun die Bewegung der Luft, also der Wind betrachtet werden. Wind isteine vektorielle Groe und wird daher durch zwei Eigenschaften charakterisiert:- die Windstarke (Betrag des Windvektors) und- die Windrichtung.Bei der Windrichtung gibt man stets die Richtung an, aus der der Wind weht. Da-bei hat ein Nordwind in Winkelgeraden angegeben die Richtung 3600. Denierenwir uns in einem beliebigen Punkt auf der Erdober ache ein kartesisches Koordina-tensystem, so zeigt die x-Koordinate von Westen nach Osten, die y-Koordinate vonSuden nach Norden und die z-Koordinate vom Boden senkrecht in die Hohe. In Ab-bildung 2.12 ist ein Beispiel fur einen reinen Horizontalwind angegeben. Der Windkommt aus sud-westlicher Richtung (x- und y- Koordinaten des Windvektors sindpositiv). Mathematisch wird die Windgeschwindigkeit folgendermaen dargestellt:

~v = u~i+ v~j + w~k () ~v = (u; v; w) (2.5.1)

~v: Windvektoru: West-Ost-Komponente des Windesv: Sud-Nord-Komponente des Windesw: Vertikalkomponente des Windes (von der Erdober ache nach oben gerichtet)

Dabei stellen ~i, ~j und ~k die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems

O

N

W

S

y

ϕ

v

u

x

Abbildung 2.12: Vektorielle Darstellung des Horizontalwindes

dar (vergleiche Kapitel 2.3). Die Variablen u, v und w sollen im weiteren fur diejeweiligen Windkomponenten in den drei Raumrichtungen verwendet werden. Beieinem reinen Nordwind ist beispielsweise v negativ und u und w sind Null, dagegenist bei reinem Sudwind v bei gleichem u und w positiv.- Nordwind: (u=0, v<0, w=0)- Sudwind: (u=0, v>0, w=0)Der in Abbildung 2.12 dargestellte Wind hatte folglich die allgemeine Komponen-tendarstellung (u1; v1; 0). Seine Richtung betragt ' = 1800 + arctanu1v1 . Will man

2.5. BEWEGUNG IN DER ATMOSPHARE 57

die resultierende Windstarke und -richtung mehrerer Windvektoren (~vi) bestim-men, so ist zu beachten, da die gesamte Windstarke nicht durch einfache Additionder einzelnen Windstarken, sondern nur durch Addition der entsprechenden Vek-torkomponenten ermittelt werden kann (siehe Abbildung 2.13). Die resulterende

v

v

v3

1

2ϕ

Abbildung 2.13: Vektorielle Additionvon Windgeschwindigkeiten

Windgeschwindigkeit ergibt sich aus:

~v3 = ~v1 + ~v2 ) j~v3j = j~v1 + ~v2j

Die Betrage der jeweiligenWindvektoren, also die einzelnenWindgeschwindigkeiten,genugen der Ungleichung

j~v3j j~v1j+ j~v2j

Dabei gilt immer das < Zeichen, solange ~v1 und ~v2 nicht die gleiche Windrichtunghaben.

Unter dem Impuls versteht man das Produkt aus der Masse (m) und der Ge-schwindigkeit (~v), mit der sich diese Masse fortbewegt. Der Impuls ist somit ebenfallseine vektorielle Groe. Die Geschwindigkeit (~v) kann man auch als massenspezi-schen Impuls (Impuls/Masse) interpretieren. Sie ist also ein Ma fur den Impulseiner betrachteten Masse Luft.

Um die Bewegung der Luft | also die Windgeschwindigkeit (~v) und ihre zeitlicheAnderung (d~v=dt) | beschreiben zu konnen, benotigen wir klassische Hilfsmittel,die Newtonschen Axiome, die im folgenden kurz erlautert werden.

2.5.2 Newtonsche Axiome

Die Newtonschen Axiome beschreiben die Reaktion von Masseteilchen auf eineKrafteinwirkung.

1. Der Impuls eines Teilchens oder Korpers bleibt erhalten, wenn keine Krafte aufihn einwirken. Ein ruhendes Luftvolumen bleibt also solange in Ruhe, solangekeine Krafte einwirken. Ist es einmal in Bewegung, so bleibt es fur den Fall,da sich die auf das Luftvolumen wirkenden Krafte gegenseitig kompensieren,in gleichformiger Bewegung, d. h. es andert weder seine Geschwindigkeit nochseine Richtung.

m~v = const wennXi

~Fi = 0 (2.5.2)

~Fi: Krafte, die auf die Masse m einwirken

2. Wirkt auf einen Korper eine Kraft, so andert sich seine Bewegung in Richtungder Kraft. Genauer ausgedruckt, die zeitliche Anderung des Impulses einesKorpers ist gegeben durch die Summe der auf ihn wirkenden Krafte.

d

dt(m~v) = ~v

dm

dt+m

d~v

dt=Xi

~Fi


Betrachten wir als Korper ein Luftpaket mit konstanter Masse, so ist die zeitli-che Ableitung der Masse Null und es gilt fur die Anderung der Geschwindigkeitdes betrachteten Luftpaketes:

d~v

dt=

P ~Fim

(2.5.3)

3. Actio gleich reactio: Jede Kraft erzeugt eine gleich groe, aber entgegenge-richtete Kraft. Dieses Axiom ist fur die nachfolgende Betrachtung von unter-geordneter Bedeutung.

4. Krafte addieren sich vektoriell. Wirken mehrere Krafte auf einen Korper, soist die resultierende Kraft durch die vektorielle Summe der einzelnen Kraftegegeben.

Bei der Anwendung dieser Axiome mu man beachten, da sie nur fur ein Iner-tialsystem (unbeschleunigtes System) gelten. Die Erde ist kein Inertialsystem, dadurch ihre Rotation Beschleunigungen auftreten. Will man folglich Krafte und ihreWirkungen in der Atmosphare beschreiben, so mu man dieses aus der Position ei-nes \ruhenden" Beobachters auerhalb des Systems Erde, also sozusagen von einemxen Punkt im Weltraum aus tun. Im nachfolgenden werden die Krafte speziziert,die in der Atmosphare von Bedeutung sind.


2.5.3 Die atmospharischen Krafte

Erdanziehungskraft/Gravitationskraft ~FG

Auf Grund ihrer Masse ubt die Erde eine anziehende Kraft auf Teilchen aus, diesie umgeben. Die Erdanziehungskraft wirkt in Richtung des Erdmittelpunktes. Wirwollen nachfolgend alle Krafte massenspezisch betrachten. Da die massenspezi-schen Krafte mit den jeweiligen Beschleunigungen identisch sind, lat sich diemassenspezische Erdanziehungskraft darstellen durch:

~FG = 0~i+ 0~j G~k

~FG: massenspezische ErdanziehungskraftG: Erdbeschleunigung im Inertialsystem

Durch Kombination der Erdanziehungskraft (~FG) mit der Zentrifugalkraft (~FZ) derrotierenden Erde, die fur die Abplattung der Erde von der idealen Kugelgestaltverantwortlich ist, ergibt sich eine eektiv wirkende Erdbeschleunigung (g) | sieheauch Erlauterung zu Gleichung 2.5.10 |, deren Wert im wesentlichen von der geo-graphischen Breite abhangt. Im Schnitt betragt diese Erdbeschleunigung 9; 81m=s2.Da sie senkrecht zur Ober ache in Richtung Erdinneres weist, wir aber die Verti-kalkoordinate (~k) am Anfang des Kapitels von der Erdober ache nach oben de-niert haben, erhalt die Erdbeschleunigung (g) ein negatives Vorzeichen in Gleichung(2.5.4).

~Fg = ~FZ + ~FG = 0~i+ 0~j g~k (2.5.4)

~FZ : massenspezische Zentrifugalkraft~Fg : massenspezische Schwerkraft im rotierenden Systemg: Erdbeschleunigung im rotierenden Erdsystem

g = 9; 81 m=s2

Druckgradientkraft ~FD

Sind zwei Systeme mit unterschiedlichen Druckverhaltnissen miteinander verbun-den, so ist das enthaltene Medium bestrebt, diesen Druckunterschied (p) auszuglei-chen. So verhalt es sich auch in der Atmosphare. Zwischen einem Hoch- und einemTiefdruckgebiet besteht ein Druckunterschied. Der Druckgradient (~rp) weist in dieRichtung der starksten Druckzunahme. Demnach zeigt er vom Tief zum Hoch. DieKraft, die aufgrund des Druckunterschiedes auf die Luft wirkt, zeigt in die entgegen-gesetzte Richtung (siehe Abbildung 2.14). Die massenspezische Druckgradientkraft

(~FD), die auf ein Luftvolumen wirkt, ergibt sich somit aus dem negativen Produktdes Kehrwertes der Dichte mit dem Druckgradienten.

~FD = 1

~rp (2.5.5)

Die Kraft wirkt in Richtung der Druckabnahme (vom hohen Druck zum tiefenDruck). In diese Richtung wurden die Luftmassen der Atmosphare beschleunigtwerden, wenn die Erde nicht rotieren wurde (in Abbildung 2.14) als Ausgleichs-stromung dargestellt). Durch diesen Massen u wurden sich horizontale Druckun-terschiede sehr schnell abbauen, was in der Atmosphare zumindest bei groraumi-gen Systemen nicht der Fall ist. Wie die durch einen Druckgradienten angetriebeneStromung hier tatsachlich verlauft, sehen wir spater. Fur die vektorielle Darstellungdes Druckgradienten gilt:

~rp =~i@p

@x+~j

@p

@y+ ~k

@p

@z(2.5.6)


H

T

p

p

p

p

pF

p

Ausgleichsström

ung

1

2

3

4

5

D

Abbildung 2.14: Orientierung von Druckgradient (~rp) und Druckkraft ( ~FD)

Reibungskraft ~FR

Die Luft ist ein zahes Medium. Daher treten Reibungskrafte auf. Diese bewirkeneinen Impulsausgleich zwischen verschieden schnellen Luftvolumina und zwar der-art, da langsame Luftpakete in einer Stromung auf Kosten der schnelleren beschleu-nigt werden, bzw. schnellere Luftpartikel durch langsamere abgebremst werden.Zwischen den Luftpaketen kommt es also zu einem Impulsausgleich. Die Meteorolo-gen sprechen auch von einem Impuls u. Auf die mathematische Beschreibung derReibungskraft wird hier noch nicht naher eingegangen.

Scheinkrafte

Mit der Erlauterung der Newtonschen Axiome hatten wir gesagt, da diese sich aufein unbeschleunigtes Koordinatensystem beziehen, also nur in einem sogenanntenInertialsystem gelten. Ein erdgebundenes Koordinatensystem ist aber keineswegs einInertialsystem. Vielmehr handelt es sich dabei um ein rotierendes und damit be-schleunigtes Koordinatensystem. Das bedeutet, da irgendein Punkt oder Korper,der sich auf die Erde bezogen in Ruhe oder in gleichformiger (unbeschleunigter)Bewegung bendet, aus dem Intertalsystem heraus betrachtet, eine beschleunigteBewegung durchfuhrt. Umgekehrt erscheint eine im Inertialsystem gleichformig, al-so unbeschleunigt ablaufende Bewegung aus der Sicht des rotierenden Erdsystemsals beschleunigte Bewegung. Fur den Beobachter im rotierenden System scheinendaher (entsprechend den Newtonschen Axiomen) Krafte zu wirken, die diese Be-schleunigung verursachen, obwohl die Bewegung in \Wirklichkeit" | aus der Sichtdes Inertialsystems| unbeschleunigt, also kraftefrei ist. Diese Krafte nennt man da-her Scheinkrafte. Durch ihre Berucksichtigung/Einfuhrung wird die Anwendung derNewtonschen Axiome auch in einem beschleunigten Koordinatensystem moglich,bzw. ergeben sich diese Scheinkrafte, wenn man die Newtonschen Axiome im Iner-tialsystem auf ein beschleunigtes System ubertragt.

Betrachten wir nun die Geschwindigkeit eines sich auf der Erde bewegenden


Korpers aus der Sicht der beiden Systeme | dem rotierenden Erdsystem und demInertialsystem. Fur einen ruhenden Beobachter auf der Erde habe dieser Korper dierelative Geschwindigkeit ~v. Fur einen auenstehenden Beobachter im Intertialsy-stem ergibt sich die resultierende absolute Windgeschwindigkeit (~va) aus der relati-

ven Windgeschwindigkeit im System (~v) und der Rotationsgeschwindigkeit (~ ~r)der Erde.

~va = ~v + ~ ~r (2.5.7)

~va: absolute Geschwindigkeit im Inertialsystem~v: relative Geschwindigkeit im rotierenden System~r: Ortsvektor des bewegten Korpers vom Erdmittelpunkt aus~: Winkelgeschwindigkeit der Erde

Diese Beziehung kann man auch zur Relativgeschwindigkeit (~v) im rotierenden Sy-stem au osen.

~v = ~va ~ ~r (2.5.8)

Fur die Transformation der Newtonschen Axiome vom ruhenden System auf dasrotierende System sind zwei Scheinkrafte, die durch den Eekt der Erdrotationentstehen, von Bedeutung: die Corioliskraft (~FC) und die Zentrifugalkraft (~FZ). Diemathematische Herleitung dieser Scheinkraft ist im Anhang B aufgefuhrt. Darausergibt sich fur die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit ~v im rotierenden Systemfolgende Gleichung:

d~v

dt= _~va|z

I

2 ~ ~v| z II

+ ~2 ~r?| z III

(2.5.9)

Betrachtet man einen Korper der Masse m (obige Gleichung mit m multipliziert),so steht auf der linken Seite die zeitliche Anderung des Impulses und auf der rechtenSeite die Summe von Kraften der Form Masse x Beschleunigung. Ohne die Multipli-kation mit m beschreibt die linke Seite die Beschleunigung der Masse und die rechteSeite die massenspezischen Krafte, die diese Beschleunigung verursachen. Damitentspricht Gleichung 2.5.9 der allgemeinen From des zweiten Newtonschen Axioms(Gleichung 2.5.3). Dabei ist ~va die absolute Windgeschwindigkeit im ruhenden Sy-stem und _~va (I) seine Beschleunigung in diesem Inertialsystem. Die Terme II undIII reprasentieren die Scheinkrafte zur Erklarung der resultierenden Beschleunigungim rotierenden System.

I) Beschleunigung im Inertialsystem: _~vaII) Corioliskraft: ~FC = 2 ~ ~v

III) Zentrifugalkraft: ~FZ = ~2 ~r?

Term I erfat die Beschleunigung im Inertialsystem und ist entsprechend dem zwei-ten Newtonschen Axiom (2.5.3) gegeben durch die Summe der wirkenden massen-spezischen Krafte.

_~va = ~FDruck + ~FSchwerkraft + ~FReibung = ~FD + ~FG + ~FR (2.5.10)

Das Kreuzprodukt in Term II lat sich schreiben als:

~ ~v =

~i ~j ~kx y zu v w

=~i (yw zv)~j (xw zu) + ~k (xv yu)

(2.5.11)


Die Winkelgeschwindigkeit (~) kann entsprechend Abbildung 2.15 in die drei Koor-dinatenrichtungen aufgeteilt werden. Es ergibt sich fur die rotierende Erde folgenderZusammenhang:

= j~j =2

Taggenauer =

2

86164s

(Ein siderischer Tag oder Sterntag hat 86164 Sekunden)

x = 0y = cos'z = sin'': geographische Breite

jyΩ

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

kz

Äquator

y

ϕ

ϕ

j

ϕ

Ωz k

Abbildung 2.15: Projektionen der Winkelgeschwindigkeit auf derNord- und Sudhalbkugel der Erde

Ersetzt man nun die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit in Gleichung 2.5.11,so erhalt man

~ ~v =~i ( cos'w sin' v) +~j ( sin'u) ~k (u cos') (2.5.12)

Die Zentrifugalkraft ~FZ aus Term III ergibt zusammen mit der Schwerkraft ~FG ausTerm I (Gleichung 2.5.10) die eektive Schwerkraft ~Fg (siehe auch Erlauterung zu2.5.4).

~Fg = ~2 ~r? G~k = g ~k

Die Reibungskraft ~FR aus Term I (Gleichung 2.5.10) kann man ebenfalls in diejeweiligen Koordinatenrichtungen zerlegen.

~FR =~iFRx +~jFRy + ~kFRz (2.5.13)


2.5.4 Die Navier-Stokes-Gleichung

Wir wollen uns nun damit beschaftigen, welchen Gesetzmaigkeiten die Beschleu-nigung bewegter Korper im rotierenden System Erde folgt. Setzt man in Gleichung(2.5.9) | entsprechend dem zweiten Newtonschen Axiom | fur die Beschleuni-gung der absoluten Geschwindigkeit ~va im Inertialsystem die Summe der wirkendenKrafte (Gleichung 2.5.10) ein, so kommt man zur Navier-Stokes-Gleichung :

d~v

dt= ~FD + ~FG + ~FR 2 ~ ~v + ~2 ~r?

d~v

dt=

1

~rp g~k + ~FR 2~ ~v (2.5.14)

Dies ist die zentrale Grundgleichung der atmospharischen Dynamik.

Mit Gleichung 2.5.12 und 2.5.13 ergibt sich fur die Navier-Stokes-Gleichung 2.5.14folgende Form:

d

dt(~i u+~j v + ~k w) =

1

(~i@p

@x+~j

@p

@y+ ~k

@p

@z)

g ~k +~iFRx +~j FRy + ~k FRz

2(cos' w sin' v)~i

2 sin' u~j + 2 cos' u~k

Separiert man die Anteile der drei Raumrichtungen ~i, ~j und ~k, so erhalt man diedrei Bewegungsgleichungen (Komponentengleichungen)

du

dt=

1

@p

@x+ FRx + fv f 0w (2.5.15)

dv

dt=

1

@p

@y+ FRy fu (2.5.16)

dw

dt=

1

@p

@z g + FRz + f 0u (2.5.17)

wobei folgende Abkurzungen fur den Coriolis-Parameter eingefuhrt worden sind:

f = 2 sin' (2.5.18)

f 0 = 2 cos' (2.5.19)

Fur ' = 450 ergibt sich ein Wert des Coriolisparameters von f = 1; 03 104 s1.

f 1 104 s1 fur mittlere Breiten

Anmerkung:Man beachte, da sich fur den Fall einer ruhenden Atmosphare | die Windge-schwindigkeit ist Null, Reibung und Corioliskraft entfallen somit | die 3. Bewe-gungsgleichung 2.5.17 auf die statische Grundgleichung reduziert.

0 = 1

@p

@z g

2.5.5 Die Wirkung der Corioliskraft

Wir wollen uns nun mit der prinzipiellen Wirkung der Corioliskraft beschaftigen.Da sie aus dem Kreuzprodukt von ~ und ~v besteht (Term II , Gleichung 2.5.9),


cv

f = 2 Ω sin ϕCoriolisparameter

F

Ω v

Ω

ϕ

Fc

Abbildung 2.16: Wirkrichtung der Corioliskraft ~FC entlang der Erdober ache inBezug zur Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ~, zur Bewegungsrichtung ~v undzur geographischen Breite '

ist sie immer senkrecht zu der von den beiden Vektoren ~ und ~v aufgespanntenEbene gerichtet (siehe Abbildung 2.16). Demnach ist sie auch immer senkrecht zurGeschwindigkeit (Bewegungsrichtung) orientiert. Da entsprechend Abbildung 2.15die Winkelgeschwindigkeit auf der Nordhalbkugel von der Erdober ache weg ge-richtet ist (positive Vertikalkomponente z~k), auf der Sudhalbkugel jedoch in die

Erdkugel hineinzeigt (negative Windkomponente -z~k), hat die Corioliskraft auf

beiden Hemispheren eine entgegengesetzte Orientierung. Wahrend ~ ~v auf derNordhalbkugel entsprechend der "Rechte-Hand-Regel" in Stromungsrichtung nachrechts gerichtet ist, zeigt die Corioliskraft auf der Sudhalbkugel in Stromungsrich-tung nach links. Folglich werden durch die Corioliskraft Stromungen auf der Nord-halbkugel immer nach rechts und auf der Sudhalbkugel immer nach links abgelenkt.Am Aquator verlaufen bei einer reinen Sudstromung ~ und ~v parallel, d. h. dieCorioliskraft ist gleich Null. Bei einer West-Ost-Stromung entsteht am Aquator le-diglich eine Komponente der Corioliskraft senkrecht zur Erdoberfache, aber keine,die zu einer horizontalen Ablenkung fuhren wurde.

Die Wirkung der Corioliskraft macht sich u. a. in den Passatwinden bemerkbar.Lauft die Stromung beiderseits des Aquators auf den Aquator zu, also ein Nordwindauf der Nordhalbkugel und ein Sudwind auf der Sudhalbkugel, so fuhrt die Coriolis-kraft durch ihre Rechtsablenkung auf der Nordhalbkugel zu einem Nord-Ost-Passatund auf der Sudhalbkugel aufgrund der Linksablenkung zu einem Sud-Ost-Passat(siehe Abbildung 2.17-a). Liegt die Zone, in der die beiden Stromungen aufeinan-dertreen (Konvergenzzone) nicht genau am Aquator, sondern nordlich oder sudlichdavon, so andern sich die Stromungsverhaltnisse entsprechend.

In dem Augenblick, indem die Stromung den Aquator uberschreitet, erfahrt sieeine Corioliskraft, deren Richtung der zuvor wirksamen Ablenkung entgegengesetztist. Die Passatwinde kehren daher ihre Stromungsrichtung um, wie Abbildung 2.17-bverdeutlicht.

Durch die Corioliskraft sind die beiden horizontalen Komponenten der Navier-Stokes-Gleichung 2.5.15 und 2.5.16 miteinander gekoppelt. Wie diese Kopplung inden Bewegungsgleichungen zur Drehung der Windrichtung fuhrt, wollen wir aneinem einfachen Beispiel verdeutlichen.

Betrachten wir dazu eine reibungsfreie Sudstromung (u = 0; v > 0; w = 0).Wir lassen fur den Moment die Druckgradientkraft einmal auer Betracht (keine

Druckgradienten ~rp). Dann lauten die resultierenden Horizontalkomponenten der


Fc

cFSüd-Ost-Passat

Nord-Ost-Passat

Äquator

a

Fc

cF

b

Äquator

Nord-Ost-Passat

Süd-West-Passat

Süd-Ost-Passat

Abbildung 2.17: Passatwinde

Navier-Stokes-Gleichung (entsprechend der Gleichungen 2.5.15 und 2.5.16) verein-facht:

du

dt= +fv (2.5.20)

dv

dt= fu (2.5.21)

Wir fragen uns nun, wie sich die anfanglich reine Sudstromung

~v(t = 0) = (u0 = 0; v0 > 0)

mit der Zeit andert. Nach einer endlichen Zeit t1 = t0 +t gilt in guter Naherungfur die Anderung der Geschwindigkeitskomponenten:

u(t1) = u(t0) +du

dtj(t=t0)t

v(t1) = v(t0) +dv

dtj(t=t0)t

Ersetzt man in diesen Gleichungen die Beschleunigungen du=dt und dv=dt durch diereduzierte Version der Navier-Stokes-Gleichung (Gleichungen 2.5.20 und 2.5.21), soerhalt man fur die jeweiligen Komponennten:

u1 = u(t1) = u(t0) + fv0t = fv0t

v1 = v(t0) fu0t = v0

Bei der Geschwindigkeit v1 entfallt der Term mit dem Coriolisparameter, da u0 = 0war. Weil die Sudkomponente der Anfangsgeschwindigkeit v0 > 0 ist, entsteht ausdem ursprunglichen Sudwind in unserem betrachteten endlichen Zeitintervall teine positive Westkomponente u. Betrachten wir ein weiteres Zeitintervall, t2 =t1 +t, so gilt entsprechend fur ~v2 = (u2; v2)

u2 = u1 + fv1t = 2fv0t > 0

v2 = v1 fu1t = v0(1 (ft)2) < v0


Da u1 nun bereits ungleich null, genauer gesagt sogar groer null ist, wird die v-Komponente des Windfeldes leicht reduziert. Die u-Komponente hingegen wachstweiter an, da v1 = v0 > 0. Diese Kette lat sich weiter fortsetzen und man erhaltdie in Abbildung 2.18 skizzierte Abfolge eines sich drehenden Windvektors. DiesesBeispiel zeigt anschaulich wie die Corioliskraft durch die Uber-Kreuz-Wirkung inden beiden Bewegungsgleichungen | fv in der Gleichung fur u und (-fu) in derGleichung fur v | die ursprungliche Sudstromung letztendlich in einen Westwindumwandelt. (Das gilt so naturlich nur fur die Nordhalbkugel.) Die Drehung desWindes setzt sich sogar noch weiter fort | vorausgesetzt es existieren keine ho-rizontalen Druckgradienten | und es entsteht eine sogenannte Tragheitsrotation(Tragheitskreis) des ursprunglichen Windvektors.

v

v

0 t

t0

t 0 + 2 ∆ t

t+ ∆

2

v1

0

Abbildung 2.18: Ablenkung einer anfanglich rei-nen Sudstromung durch die Corioliskraft

2.5.6 Der geostrophische Wind

Nun wollen wir noch einen weiteren Spezialfall der Navier-Stokes-Gleichung be-trachten. Dafur werden drei vereinfachende Annahmen getroen. Wir betrachteneine rein horizontale Stromung, in der sich die Luft beschleunigungsfrei und rei-bungsfrei bewegen soll.

1.d~v

dt= 0 2. ~FR = 0 3. w = 0

Die beiden horizontalen Komponenten der Navier-Stokes-Gleichung (Gleichungen2.5.15 und 2.5.16) reduzieren sich unter diesen Annahmen auf die Form:

x-Komponente: 1

@p

@x+ f v = 0

y-Komponente: 1

@p

@y f u = 0 (2.5.22)

Damit beschreiben sie ein Kraftegleichgewicht zwischen der Corioliskraft (~FC) und

der Druckgradientkraft (~FD). Die diesem Gleichgewicht entsprechende Stromungnennt man den geostrophischen Wind.

~vg = ug~i+ vg~j

Fur seine Komponenten gilt dementsprechend:

vg := +1

f

@p

@x(2.5.23)

ug := 1

f

@p

@y(2.5.24)


y

x

T

H

vg

Fp

Fcpb

a

Abbildung 2.19: Der geostrophische Wind ~vg im Kraftegleichge-

wicht zwischen Coriolis- (~FC) und Druckgradientkraft (~FD). DiePfeile a und b reprasentieren die Komponenten der Druckgradi-enten in West-Ost (x) und Nord-Sud (y) Richtung.

Zum besseren Verstandnis dieser Stromung betrachten wir die Druckverteilung inAbbildung 2.19. Der Druckgradient (~rp) ist vom tiefen zum hohen Druck gerichtet.Seine beiden horizontalen Komponenten werden dementsprechend a = @p

@x > 0 und

b = @p@y < 0. Folglich ergeben sich die Komponenten des Geostrophischen Windes

zu

ug = 1

f

@p

@y> 0

vg = +1

f

@p

@x> 0

Es stellt sich also ein Sudwestwind ein. Im Kraftegleichgewicht zwischen Coriolis-kraft (~FC) und Druckgradientkraft (~FD) gilt analog zu Gleichung 2.5.22:

~FC + ~FD = 0

Dieses Kraftegleichgewicht nennt man das geostrophische Gleichgewicht.~FD ist senkrecht zu den Isobaren (Linien gleichen Druckes) vom Hoch zum Tief

gerichtet (vergl. Abbildung 2.14). Fur den Fall des geostrophischen Gleichgewichtes

ist die Corioliskraft (~FC) genau so stark wie die Druckgradientkraft aber entgegen-gesetzt gerichtet. Die Corioliskraft ist zudem immer senkrecht zur Geschwindigkeitorientiert und zwar in der Art, da sie in Richtung der Geschwindigkeit gesehennach rechts zeigt (auf der Nordhalbkugel). Somit mu entsprechend Abbildung 2.19die dem Kraftegleichgewicht entsprechende Geschwindgkeit (vg) senkrecht zur Co-

rioliskraft (~FC) bzw. zum Druckgradienten (~rp) orientiert sein. Wir konnen alsofolgern:

Eine dem geostrophischen Gleichgewicht genugende geostrophische Stromungverlauft immer parallel zu den Isobaren und zwar auf der Nordhalbkugel in derRichtung, da der tiefere Druck links der Stromung liegt. Fur die Sudhalbkugel sinddie Verhaltnisse genau entgegengesetzt, d. h. der geostrophische Wind weht so, dader tiefere Druck rechts der Stromung liegt.


Warum haben wir nun dieses Beispiel des geostrophischen Windes betrachtet,oder besser gefragt, was ist das Besondere am geostrophischen Gleichgewicht? Dieim Beispiel getroenen Annahmen beschreiben recht gut die Verhaltnisse oberhalbder atmospharischen Grenzschicht. Die Reibung ist hier in guter Naherung zu ver-nachlassigen, und der Vertikalwind (w) ist i.d.R. deutlich schacher als die horizinta-len Windkomponenten. Zwischen den wirkenden Kraften hat sich weitestgehend einGleichgewicht eingestellt, so da die resultierende Beschleunigung des Windfeldessehr klein ist (d~vdt 0). Somit ist der geostrophischeWind eine gute Naherung fur dieStromungsverhaltnisse in der mittleren Atmosphare (oberhalb der Grenzschicht).

Das geostropschische Kraftegleichgewicht ist ein stabiler Zustand. D. h. die At-mosphare ist bei Abwesenheit von Reibungskraften immer bestrebt, diesen Zustandeinzunehmen. Um das zu verstehen, wollen wir uns uberlegen was passiert, wenn dasgeostrophische Gleichgewicht gestort wird. Dazu nehmen wir an, da die Windstarkeeines geostrophischen Windes (~v = ~vg) aus irgend einem Grund reduziert (abge-bremst) wird (siehe Abbildung 2.20a). Da die Corioliskraft proportional mit der

Fp

F

T

H

v

vg

a

c

T

Fp

Fc

v

vg

b T

H

Fp

Fc

v

vg

c

H

Abbildung 2.20: Wiederherstellung des geostrophischen Windes nach Storung desKraftegleichgewichtes ~Fp = ~Fc

Windgeschwindigkeit zu bzw. abnimmt, ist das Kraftegleichgewicht zwischen ~FDund ~FC nun gestort. Die Druckgradientkraft uberwiegt und lenkt die Stromung inRichtung des tieferen Druckes um (Abbildung 2.20b). Da nun ~FD+ ~FC 6= 0 entstehtgema der Navier-Stokes-Gleichung 2.5.9 bzw. Gleichung 2.5.14 eine Beschleuni-gung d~v

dt 6= 0, die die Geschwindigkeit des gestorten Windes ~v wieder erhoht. MitZunahme der Windgeschwindigkeit wachst auch die Corioliskraft. Diese sorgt nundafur, da die Stromung starker nach rechts abgelenkt wird, bis sie ihre Ursprung-liche Position und Starke erreicht hat (Abbildung 2.20c) und das geostrophischeKraftegleichgewicht wieder hergestellt ist.

Ahnliche Uberlegungen lassen sich auch anstellen, wenn die geostrophische Stro-mung einen Zuwachs erfahrt oder bei gleichbleibender Stromung der Druckgradientzu- oder abnimmt. In allen Fallen ist die atmospharische Dynamik bestrebt, dasgeostrophische Gleichgewicht wieder herzustellen. Dies gilt jedoch nur so lange, wiedie Reibung keinen wesentlichen Ein u auf die Stromung hat.

Im Gegensatz zu den Hohenwinden um groraumige Drucksysteme herum sinddie Winde in einer Gewitterwolke nicht geostrophisch, da sie starken Beschleuni-gungen ausgesetzt sind und Windkomponenten aufweisen, die in Richtung eineserniedrigten Druckes zeigen. Das System ist hier `aus dem Gleichgewicht' geraten.Die Beschleunigungen sind zu gro und das System ist zu trage, als da sich eingeostrophisches Gleichgewicht wahrend der Lebensdauer der Wolke einstellen konn-te.

Zum Schlu dieses Kapitels soll noch eine wichtige Bemerkung angefuhrt werden.Die Navier-Stokes-Gleichung ist eine Haushaltsgleichung, die die zeitliche Anderungdes Impulses (du=dt, dv=dt und dw=dt) beschreibt. Im Kapitel 2.3 hatten wir bereitseine Haushaltsgleichung fur die potentielle Temperatur kennengelernt (Gleichung2.3.22), die die zeitliche Anderung von aufgrund von Kondensations- und Strah-


lungsprozessen erfat. Solche Eigenschaften wie Impuls und Temperatur konnenvon einem Luftvolumen gespeichert werden und sich in diesem Volumen zeitlichverandern. Darin unterscheiden sich die Haushaltsgleichungen von den Bilanzglei-chungen. Bilanzgleichungen sind achenbezogen, d. h. es ist keine Speicherung derbilanzierten Groen moglich. Bilanzgleichungen betrachten Flusse (Transporte) zueiner Flache hin oder von ihr weg. Die Summe dieser Flusse mu zusammen immerNull ergeben, da die Flache nichts speichern, sondern allerhochstens Flusse ineinan-der umwandeln kann. Ein Beispiel fur eine Bilanzgleichung werden wir im Kapitel3.3 anhand der Strahlungsbilanz kennenlernen.Alle Haushaltsgleichungen sind folgendermaen aufgebaut:

Anderung der Eigenschaft Summe der andernden Prozesse(Speicherterm, z. B. fur den Impuls) = (Summe der wirkenden Krafte)

Die Haushaltsgleichungen fur Impuls, Temperatur und Partialmassen bilden dieGrundlage fur die numerische Wetterprognose.


2.6 Der Massenhaushalt

2.6.1 Die Kontinuitatsgleichung fur Luft

Wir wollen nun noch eine weitere Eigenschaft der Stromung betrachten, namlich denMassen u und seine Kontinuitat. Dazu stellen wir uns in der Stromung einen orts-festen, imaginaren Wurfel vor, der ein endliches Raumvolumen (V ) reprasentiert(siehe Abbildung 2.21). Betrachten wir nun beispielsweise die West-Ost-Komponente(x-Komponente) des Windfeldes, das durch dieses Volumen stromt, so ist es denk-bar, da genausoviel Luft aus dem imaginarenWurfel nach Osten ausstromt, wie vonWesten nachgeliefert wird. Nun ist mit der Luftstromung immer auch ein Massen uverbunden. In unserem Beispiel bedeutet das, da der achenbezogene Massen uin das Luftvolumen (u)E dem achenbezogenen Massen u aus dem Volumen her-aus (u)A entspricht. Dabei wird die Luft in dem betrachteten Volumen permanentersetzt. Da gleich viel Masse hinein- wie wieder herausstromt, andert sich die Dich-te in dem Volumen nicht. Angedeutet ist dieser Fall durch die beiden gleichlangendurchgezogenen Vektoren in Abbildung (2.21a), die parallel zur x-Achse verlaufenund den Massen u (u) reprasentieren sollen.

x

z

y

(∆V)

(ρu)E (ρu)A

a

x

zy

∆(

(

(ρ A(ρu)E (ρu)A

v)

w)

w)

ρA

(ρ E(ρv)E

V)

b

Abbildung 2.21: Stromung durch einen ortsfesten, imaginaren Wurfel. Die mit (E)indizierten Stromungskomponenten reprasentieren die einstromenden Massen usse,die mit (A) indizierten Komponenten die ausstromenden Flusse. Im linken Bildsind ein und ausstromende Massen usse gleich gro. Die Dichte des stromendenMediums im Wurfel andert sich nicht. Im rechten Bild sind die ausstromendenFlusse groer als die einstromenden Komponenten. Hier mu die Dichte im Wurfelabnehmen.

Es ist aber auch denkbar, da weniger Luft in den imaginaren Wurfel hineintrans-portiert wird, als wieder rausstromt. Dieser Fall ist in Abbildung (2.21b) durch diegestrichelten Vektoren fur alle Richtungen (x-, y- und z-) dargestellt. Die Folge derraumlichen Anderung des Stromungsfeldes ist eine Veranderung (hier eine Abnah-me) der Dichte (Masse) im betrachteten Volumen. Die Tatsache der Dichteanderungin einem Volumen auf Grund von Massen ussen durch seine Begrenzungs achenerfassen wir in einer weiteren Haushaltsgleichung, dem Massenhaushalt. Er wirddurch die sogenannte Kontinuitatsgleichung (2.6.1) dargestellt. Sie erfat die obenangefuhrten Uberlegungen fur ein innitesimal kleines Volumen (limV!0).

@

@t= ~r~v (2.6.1)

@

@t: Lokalzeitliche Dichteanderung im Raumvolumen

~r~v: Divergenz (raumliche Anderung) des Massen usses (der Massen udichte)

2.6. DER MASSENHAUSHALT 71

Da die Divergenz des Massen usses entgegengesetzt proportional zur Dichteande-rung ist | ist die Divergenz positiv, nimmt die Dichte ab (@dt < 0) | mu dieDivergenz auf der rechten Seite der Gleichung 2.6.1 mit einem negativen Vorzeichenversehen werden. Der Nablaopperator mit negativem Vorzeichen (~r) wird dannals Konvergenz der Massen usse interpretiert.Zu beachten ist, da die Massen usse (~v) selbst recht groe Werte annehmenkonnen. Fur den Massenhaushalt sind jedoch nur ihre raumlichen Anderungen vonBedeutung, die dann zu zeitlichen Anderungen der Massendichte in einem Volumenfuhren.

Spaltet man die Divergenz in Gleichung 2.6.1 auf und berucksichtigt den Zusam-menhang zwischen lokalzeitlicher und totalzeitlicher Ableitung (siehe auch Bedeu-tung des totalen Dierentials z. B. in Gleichung 2.2.7), so kann die Kontinuitats-gleichung auch in folgender Form dargestellt werden.

@

@t= ~r~v = ~v ~r ~r~v

d

dt=

@

@t+ ~v ~r = ~r~v (2.6.2)

d

dt: totale zeitliche Anderung der Dichte

~v~r: advektive zeitliche Anderung der (anderung durch Transport) Dichte~r~v: Divergenz des Stromungsfeldes

Die Bedeutung der beiden unterschiedlichen Formen der Kontinuitatsgleichung kannman sich wie folgt veranschaulichen. An einem festen Ort in einem ruhenden Vo-lumen (lokal) andert sich die Dichte in einer Stromung zeitlich (partielle zeitlicheAbleitung) durch eine raumliche Divergenz der Massen udichten (Gleichung 2.6.1).Betrachtet man hingegen die (individuelle) zeitliche Veranderung der Dichte in ei-nem sich mit der Stromung bewegenden Volumen (totale zeitliche Ableitung), sokann sich die Dichte nur noch durch eine Divergenz im Geschwindigkeitsfeld nichtaber mehr durch raumliche Dichteunterschiede verandern (Gleichung 2.6.2).

2.6.2 Haushaltsgleichungen fur Partialmassen

Fur jede Luftbeimengung (Partialmasse) in der Atmosphare lat sich analog zurKontinuitatsgleichung 2.6.2 ebenfalls eine Haushaltsgleichung aufstellen. Jedoch istzu berucksichtigen, da sich bestimmte Partialmassenanteile chemisch oder physi-kalisch in ander Anteile umwandeln konnen. So kann z. B. Wasserdampf kondensie-ren, verschwindet damit aus dem Massehaushalt fur den Wasserdampf und erscheintdafur als Beitrag im Partialmassenhaushalt fur das ussige Wasser (Wolkenwasser).Die Gesamtmasse aller Luftbeimengungen bleibt bei diesen Umwandlungen erhal-ten. Folglich mussen wir in den Haushaltsgleichungen fur die Partialmassendichteeinen zusatzlichen Quellterm einbauen.

didt

= i~r~v + Ji (2.6.3)

i: Dichte des Partialmassenanteils iJi: Summe aller Umwandlungsraten fur die i-te Partialmasse

Zur Beschreibung des Partialmassenanteils einer Komponente (i) in einem Luftge-misch | also seiner massenspezischen Konzentration | verwenden wir das spezi-sche Massenverhaltnis qi (vergl. auch spezische Feuchte in Kapitel 2.4.3).

qi :=i

(2.6.4)


qi: spezischer Massenanteil der i-ten Komponente in kgkg

: Gesamtdichte in kgm3

Fur den spezischen Massenanteil (qi) ergibt sich dann folgende Form der Haus-haltsgleichung:

dqidt

=1

didt

i2

d

dt

Gl:2:6:2=

1

didt

+i~r~v

Gl:2:6:3=

i~r~v + Ji +

i~r~v

dqidt

= Ji (2.6.5)

Die Haushaltsgleichung fur den Partialmassen-Anteil (qi) an der Gesamtmasse hatalso eine noch einfachere Form als die fur die Dichte (i) selbst. Sie besagt, da derspezische Massenanteil einer Komponente eine Erhaltungsgroe ist, solange keineUmwandlungen in andere Komponenten stattnden. Fur die Dichte der Partialmas-se gilt diese Aussage nicht (vergl. Gleichung 2.6.3). Sie andert sich zusatzlich nochmit der Divergenz des Stromungsfeldes.

2.7. ZUSAMMENFASSUNG: DIE \PRIMITIVEN" GLEICHUNGEN 73

2.7 Zusammenfassung: Die \primitiven" Gleichungen

In diesem Kapitel sollen noch einmal die in den vorangegangenen Kapiteln bespro-chenen grundlegenden Gleichungen der Meteorologie zusammengefat werden.

I. Allgemeine Gasgleichung fur ideale Gase

Diese Gleichung liefert den Zusammenhang zwischen Druck, Dichte und Tempera-tur. Fur trockene Luft lautet sie:

p = pL = LRLT (entspricht Gleichung 2.1.10)

Fur feuchte Luft ist die absolute Temperatur (T ) durch die virtuelle Temperatur(TV ) zu ersetzen:

p = pf = fRLTV (entspricht Gleichung 2.4.26)

Die Dichte (f ) in Gleichung (2.4.26 ) ist die Gesamtdichte und setzt sich zusammenaus der Dichte der trockenen Luft und der Dichte von Wasserdampf.

= f = L + W (entspricht Gleichung 2.4.18)

Die Virtuelle Temperatur (TV ) kann folgendermaen aus der aktuellen Temperatur(T ) berechnet werden:

TV = T (1 + 0; 61 q) (entspricht Gleichung 2.4.27)

II. Kontinuitatsgleichung

Die Kontinuitatsgleichung erlaubt die Berechnung der lokalen zeitlichen Anderungder Luftdichte an einem festen Ort,

@

@t= ~r~v (entspricht Gleichung 2.6.1)

bzw. die Berechnung der totalen zeitlichen Anderung der Luftdichte eines individu-ellen Luftpaketes.

d

dt= ~r~v (entspricht Gleichung 2.6.2)

Der formale mathematische Zusammenhang zwischen der totalen und der lokalenzeitlichen Ableitung einer von Raum und Zeit abhangigen Funktion ist gegebendurch:

d f(x; y; z; t)

d t=

@f

@t

dt

dt+@f

@x

dx

dt+@f

@y

dy

dt+@f

@z

dz

dt

=@ f(x; y; z; t)

@ t+ ~v(x; y; z; t) ~rf(x; y; z; t) (2.7.1)

Wir wollen an dieser Stelle noch einmal deutlich machen, da zwischen der totalen(individuellen) Ableitung und der partiellen (lokalen) Ableitung ein fundamentalerUnterschied besteht. Die totale zeitliche Anderung ( ddt) beschreibt die

Anderung

einer Groe aus Sicht des bewegten Teilchens. Die partielle zeitliche Ableitung ( @@t )

hingegen erfat die Anderung einer Groe an einem festen Ort durch die sich andiesem Ort vorbeibewegende Luft oder Teilchen mit ihren unterschiedlichen Eigen-schaften.Betrachtet man die lokale zeitliche Anderung der Dichte an einem festen Ort (@@t ),so gibt es zwei Moglichkeiten, da sich die Dichte in einem Volumen andert:


Die Stromung variiert raumlich bei konstanter Dichte (~r~v)

Die Dichte der herantransportierten Luft variiert raumlich in einer homogenen(konstanten) Stromung (~v~r)

Naturlich konnen beide Eekte ihren Ein u auf lokale Dichteanderungen gleich-zeitig ausuben. Wird das betrachtete Volumen mit der Luft mitbewegt (totalzeit-liche Anderung d

dt ), so kann sich die Dichte im Volumen nur dadurch andern, dadie Stromung auseinander lauft (divergiert) oder zusammenlauft (konvergiert), die

Divergenz der Stromung (~r~v) also von Null verschieden ist. Eine anfanglich be-

trachtete Luftmasse wird dann auf ihrem Weg auseinanderlaufen ~r~v > 0 (also ihr

Volumen vergroern) bzw. zusammenstromen ~r~v < 0 (also ihr Volumen verringern)und damit ihre Dichte andern.

Fur die Messung in der Atmosphare spielt das erste Konzept (Anderung aneinem festen Ort) eine groe Rolle, da bei der Messung meteorologischer Groenfast ausschlielich lokalzeitliche Anderungen registriert werden. Die direkte Messungder totalzeitlichen Anderung einer Groe ist hingegen auerst schwierig, da hierbeieine Mitbewegung des Megerates mit der Stromung erforderlich ist.

III Partialmassenhaushaltsgleichung

Sie beschreibt die Anderung des spezischen Massenanteils einer Partialmasse in ei-nem Luftvolumen auf Grund von Massen ussen (analog zur Kontinuitatsgleichung)und Umwandlungen in andere Substanzen. Formuliert man die Kontinuitatsglei-chung (Gleichung 2.6.1) fur eine Partialmasse, berucksichtigt dabei, da sich diejeweilige Komponente (i) chemisch oder physikalisch in andere Komponenten um-wandeln kann und dividiert die Gleichung dann durch die Gesamtmasse, so ergibtsich:

@qi@t

= ~v ~rqi + Ji ,d qidt

= Ji (entspricht Gleichung 2.6.5)

Die Groe qi steht dabei fur den spezischen Massenanteil einer Luftbeimengung i,

qi =i

also z. B. fur den spezischen Wasserdampfgehalt, aber auch fur jede andere Spu-rengaskomponente. Ji erfat die moglichen Quellen und Senken der Komponente(i) und damit ihre Umwandlung in andere Komponenten. Gleichung 2.6.5 zeigt, dader spezische Massenanteil q fur jede Spurengaskomponente eines Luftvolumenseine Erhaltungsgroe ist, solange keine chemischen Umwandlungen oder Phasenum-wandlungen stattnden.

IV. Bewegungsgleichung (Navier-Stokes-Gleichung)

Diese Gleichung beschreibt die zeitliche Anderung der Windgeschwindigkeit.

d~v

dt=@~v

@t+ ~v ~r~v =

1

~rp 2 ~ ~v g~k + ~FR (entspricht Gleichung 2.5.14)

d~v

dt: totale zeitliche Anderung der Windgeschwindigkeit

@~v

@t: lokale zeitliche Anderung der Windgeschwindigkeit

~v ~r~v: advektive Anderung (Anderung des Impulses durch Transport)


Die Bedeutung der Windgeschwindigkeit kann auf mehrere Arten interpretiert wer-den:

Sie ist - der spezische Impuls eines Luftvolumens- immer mit dem Transport von Masse verbunden und beein ut somitmageblich die Massenhaushalte in der Atmosphare.

- Trager (Transporteur) fur die Ausbreitung von Schadstoen

V. Hauptsatz der Thermodynamik

Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (siehe Gleichung 2.3.16) lat sicheine Haushaltsgleichung ableiten, die die zeitliche Anderung der Temperatur be-schreibt.

T ds

dt= cp

dT

dt

1

dp

dt(2.7.2)

Dabei ist T ds die der betrachteten Masse von auen zugefuhrte Energie. Uber dieEinfuhrung der potentiellen Temperatur (Gleichung 2.3.17)

= T (p0=p)RLcp ; p0 = 1000 hPa

und die aus dem totalen Dierential von abgeleitete Beziehung

d ln = d lnT RL

cpd ln p

lat sich der 1. Hauptsatz schlielich entsprechend Gleichung 2.3.19 in eine Haus-haltsgleichung fur umformen.

T ds

dt= cp

T

d

dt(2.7.3)

Die zeitliche Anderung der potentiellen Temperatur ergibt sich folglich direkt ausder diabatischen Heizrate (dsdt ). In Bodennahe nahert sich der Term (p0p ) der eins.

Betrachtet man zusatzlich den Exponenten (RLcp ), der kleiner ist als eins, so ist

die Abweichung der potentiellen Temperatur von der absoluten Temperatur in Bo-dennahe gering, nimmt aber mit der Hohe zu.

Bisher haben wir drei verschieden denierte Temperaturen verwendet. Wir unter-scheiden zwischen

der absoluten Temperatur T ,

der potentiellen Temperatur und

der virtuellen Temperatur TV .

Die virtuelle Temperatur hat man deniert, um in der idealen Gasgleichung denvariablen Gehalt an Wasserdampf in der Luft elegant handhaben zu konnen, ohnestandig die Gaskonstante variieren zu mussen.Die potentielle Temperatur erweist sich als ideale Haushaltsgroe fur den erstenHauptsatz und damit fur die Erfassung der thermischen Energie in der Atmosphare.Gema dem 1. Hauptsatz (Gleichung 2.7.2) kann die Energiezufuhr (T ds) in einSystem fur zwei Prozesse verwendet werden:- die Erhohung der Enthalpie (cp dT ), oder die- Volumenanderung bzw. Druckreduktion (dp).Die Einfuhrung der potentiellen Temperatur erfat beide Eekte in einer Variablen.


Potentielle und virtuelle Temperatur sind rein konzeptionelle (theoretische) Groen.Direkt gemessen werden kann hingegen nur die absolute Temperatur (T ).

Wir wollen uns nun dem diabatischen Heizterm (T ds) zuwenden. In der Atmo-sphare kann einem Luftvolumen auf verschiedene Arten Energie zu- oder abgefuhrtwerden.

EnergiedissipationReibung in einem zahen Medium fuhrt zu einer Temperaturerhohung. KinetischeEnergie wird in kalorische Energie umgewandelt. Fur die Thermodynamik der Luftspielt diese Form der Energiezufuhr jedoch keine Rolle, da ihr Beitrag vernachlassig-bar gering ist.

Molekulare WarmeleitungMolekule ubertragen Energie durch Stoe auf andere Molekule. Dabei kommt es ins-gesammt gesehen zu einem Temperaturausgleich zwischen unterschiedlich warmenBereichen. Auch diese Form der Warmeubertragung liefert nur einen Beitrag zurTemperaturerhohung des Luftvolumens, der im promille Bereich liegt, und damitbei atmospharischen Vorgangen ebenfalls vernachlassigt werden kann.

Chemische ReaktionenBei exothermen Reaktionen wird Energie freigesetzt, bei endogenen Reaktionenwird der Umgebung Energie entzogen. Die Reaktionsprozesse in der Atmospharesind aber nur mit einer geringen Warmetonung verbunden. Es kommt hinzu, dadie meisten reaktiven Stoe der Atmosphare als Spurengase vorliegen, d. h. in sehrgeringen Konzentrationen. Damit wird auch in diesem Fall nur eine geringe Ener-gieanderung bewirkt, und man kann diesen Ein u ebenso vernachlassigen.

PhasenumwandlungDie groe Verdampfungswarme von Wasser (siehe Kapitel 3) erzeugt bei Phasen-umwandlungen in der Atmosphare einen betrachtlichen Energieumsatz. Daher be-ein ussen Kondensation und Verdampfung den Warmehaushalt eines Luftvolumenserheblich. Erfat wird diesr Beitrag zum diabatischen Heizterm in der Haushalts-gleichung 2.7.3 durch

T ds Æqcond = L dq (entspricht Gleichung 2.3.21 bzw. 2.4.34)

StrahlungDie Absorption und Emission von Strahlung in einem Luftvolumen ist der zentra-le Proze, der samtliche Bewegungsvorgange in der Atmosphare beein ut. Ohnedie solare Einstrahlung und ihre energetische Umsetzung kamen samtliche Bewe-gungsvorgange in der Atmosphare zum Erliegen. Die Wirkung der Strahlung aufden 1. Hauptsatz lat sich wie folgt darstellen:

T ds Æqrad =1

~r~Q dt (entspricht Gleichung 2.3.20 bzw. 3.3.2)

~Q: Netto-Strahlungs u (Strahlungsbilanz), mehr dazu im Kapitel 3~r~Q: Divergenz der Strahlungsbilanz

Bercksichtigt man den Energieumsatz (diabatische Heizrate) sowohl durch Strah-lung als auch durch Kondensation bzw. Verdampfung, so hat die Haushaltsgleichungfur die potentielle Temperatur die Gestalt

d

dt=@

@t+ ~v ~r =

1

cp

T

~r~Q L

dq

dt

(entspricht Gleichung 2.3.22)


Damit sind die grundlegenden Gleichungen der Meteorologie beschrieben. Sie bil-den die Basis fur alle atmospharischen Stromungs- und Prognosemodelle (Wetter-vorhersage, Klimamodelle). Auerdem kann mit diesen Gleichungen eine Viehlzahlatmospharischer Prozesse analysiert und erklart werden.

Kapitel 3

Die Atmospharische

Strahlung

Unter der atmospharische Strahlung verstehen wir den Anteil des elektromagneti-schen Spektrums, der fur die atmospharischen Prozesse von besonderer Relevanz ist.Er liefert den wesentlichen Antrieb fur die atmospharische Zirkulation und ist da-mit letztendlich Ursprung fur jede Form der atmospharischen Dynamik. Gleichzeitigfuhrt diese Strahlung bei einigen in der Atmosphare enthaltenen Gasen zu photo-chemischen Reaktionen, die wiederum die chemische Zusammensetzung der Atmo-sphare mitbestimmen. Auserdem beruht ein groer Teil der Fernerkundung (z. B.von Satelliten aus) auf der Kenntnis der Wechselwirkungen zwischen Atmosphareund Strahlung. Ein wesentlicher Teil der atmospharischen Strahlung stammt von derSonne. Aber auch jeder andere Korper, insbesondere die Atmosphare selbst, sendetentsprechend seiner Temperatur Strahlung in unterschiedlichen Wellenlangenberei-chen aus. Daher ist es ublich, die fur die Atmosphare relevante Strahlung anhandihrer Herkunft in zwei Arten zu unterteilen.

solare (extraterrestrische) Strahlung : Sie wird von der Sonne bei Temperaturenum 6000K emittiert. Ihr Hauptanteil liegt im Wellenlangenbereich zwischen0; 2 und 4m und uberdeckt damit den sichtbaren Teil des elektromagneti-schen Spektrums. Da die Wellenlangen deutlich kurzer als die der terrestri-schen Strahlung sind, wird die solare Strahlung auch als kurzwellige Strahlungbezeichnet.

terrestrische Strahlung : Sie basiert auf der Warmestrahlung aller Korper imSystem Erde-Atmosphare insbesondere der Erdober ache sowie der atmo-spharischen Gase und Wolken. Ihre mittlere Emissionstemperatur betragtrund 255K. Der Hauptanteil der terrestrischen Strahlung liegt im Bereichzwischen 4 und 100 m. Damit deckt sie den infraroten Bereich des elektroma-gnetischen Spektrums ab und wird daher im Vergleich zur solaren Strahlungauch als langwellige Strahlung bezeichnet.

Die Unterscheidung der Strahlung erfolgt demnach uber die Temperatur, bei derdiese emittiert wird, und der damit gekoppelten Wellenlange maximaler Strahlungs-intensitat. Die Intensitat der solaren Strahlung ist uber den gesamten energetischrelevanten Spektralbereich hoher, als die der terrestrischen Strahlung (siehe Abbil-dung 3.2). Fur den Energiehaushalt der Erde ist aber nur die Strahlungsintensitatvon Interesse, die die obere Schicht der Atmosphare erreicht und somit den Ener-giehaushalt der Erde beein ussen kann. Da sich die von jedem Punkt der Sonneemittierte Strahlung kegelformig ausbreitet, verteilt sich die ursprunglich ausge-sandte Leistung auf eine immer groer werdende Flache (vergl. Abbildung 3.1).

79

80 KAPITEL 3. DIE ATMOSPHARISCHE STRAHLUNG

Erde

R

r

S

S-E

Sonne Ωd

Abbildung 3.1: Geometrische Reduktion der solarenStrahldichte auf die Erdbahn.

Folglich nimmt die in ein Raumwinkelelement abgestrahlte Leistung pro Flache,also die Strahldichte, mit zunehmender Entfernung von der Sonne ab. Sei B dievon der Sonnenober ache emittierte spektrale Strahldichte der Wellenlange undsei I die reduzierte spektrale Strahldichte im Bereich der Erdbahn, so gilt:

I = R2

S

r2SEB

=(6; 953 108m)2

(1495 108m)2B

= 2; 163 105B (3.0.1)

B: spektrale Strahldichte an der Sonnenober acheI: reduzierte Strahldichte der Sonne im Bereich der Erdbahn(rSE): Radius der ErdbahnRS : Radius der Sonne

Die Strahldichte nimmt also mit dem Quadrat der Entfernung Erde Sonne ab.Die ursprungliche von der Sonne emittierte Intensitat wird so um gut 5 Groenord-nungen geschwacht, bevor die Strahlung die Erdbahn und damit den Oberrand derErdatmosphare erreicht.

Die Strahlungsleistung, die eine Ober ache entsprechend ihrer Temperatur ma-ximal abstrahlen kann, heit Schwarzkorperstrahlung. Die Abhangigkeit dieser Strah-lungsleistung von der Wellenlange (spektrale Abhangigkeit) bei verschiedenen Tem-peraturen gibt Abbildung 3.2 in Form der spektralen Strahldichte, also als spek-tralen Strahlungs u pro Raumwinkelelement d (in Steradiant, sr) wieder (eineGegenuberstellung der verschiedenen Strahlungsgroen ndet sich in Anhang C).

spektrale Strahldichte =Strahlungsleistung

F lache Raumwinkel Wellenlange=

W

m2 sr m

Die dargestellten Kurven bezeichnet man auch als Planck-Kurven. Es sei daraufhingewiesen, da es sich in diesem Diagramm um eine doppelt logarithmische Dar-stellung handelt. Die Strahlungsleistung variiert in Abhangigkeit von der Tem-peratur und der Wellenlange um mehrere Groenordnungen. Reprasentativ fur

81

Abbildung 3.2: Spektrale Verteilung der Strahldichte (B) eines schwarzenKorpers bei verschiedenen Temperaturen (Planck-Kurven). Aus [3]

die solare Strahlung wollen wir aus Abbildung 3.2 die Planck-Kurve fur 6000Ketwas genauer betrachten. Das Strahlungsmaximum liegt bei einer Wellenlangevon ca. 0; 5m. Hier betragt die abgestrahlte Leistung pro RaumwinkelelementB = 3; 18 107 W=m2 sr m. Gema Gleichung 3.0.1 erreichen davon aber imMittel nur I = 6; 88 102 W=m2 sr m den oberen Rand der Erdatmosphare.Bei einer Wellenlange von 4m betragt die solare Strahlungsintensitat nur nochB = 1; 42 105 W=m2 sr m. Demnach erhalt die Erdatmosphare von der Sonnein diesem Wellenlangenbereich nur noch eine Leistung von I = 3; 07W=m2 sr m,also fast 3 Groenordnungen weniger, als im Spektralbereich maximaler Emission.

Wir wollen dem nun die Werte fur die terrestrische Strahlung gegenuberstellen.Die Schwarzkorperstrahlung erreicht bei einer Temperatur von 255K ihre maximaleIntensitat bei einer Wellenlange von ca. 11m. Entsprechend Abbildung 3.2 betragthier die Strahldichte B = 4; 42W=m2 sr m. Fur eine Wellenlange von 4m ergibtsich bei 255K eine Leistung von B = 0; 088 W=m2 sr m, also deutlich wenigerals der in diesem Spektralbereich die Erde erreichende solare Anteil.

Abbildung 3.3 zeigt die auf die Erdbahn reduzierte mittlere solare Strahlungund die terrestrische Strahlung fur die beiden angenommenen Temperaturen von6000 K und 255 K. Um die auf unterschiedliche Wellenlangen bezogenen Strah-lungsleistungen vergleichbar zu machen, sind die spektralen Strahldichten B mit


der Wellenlange multipliziert worden. Zusatzlich wurde der solare Anteil, wie zu-vor beschrieben, auf die Erdbahn reduziert. Die Abbildung verdeutlicht, da dieenergetisch relevanten Bereiche der beiden Strahlungsanteile separat voneinanderbetrachtet werden konnen, da sie sich so gut wie nicht uberlappen.

Abbildung 3.3: Normierte Schwarzkorperstrahlung (B) in Abhangigkleit vonder Wellenlange (logarithmische Abszisse) fur den im Mittel die Erde erreichendensolaren Anteil bei einer Strahlungstemperatur von 6000K und fur den terrestri-schen Anteil bei einer Strahlungstemperatur von 255K. Aus [4]

3.1. STRAHLUNGSGESETZE 83

3.1 Strahlungsgesetze

3.1.1 Das Planck' sche Strahlungsgesetz

Das Planck'sche Strahlungsgesetz (Gleichung 3.1.1) beschreibt die maximale Ener-gie, die ein Korper bei einer gegebenen Wellenlange pro Zeiteinheit und pro Flachesenkrecht zu dieser Flache in ein Raumwinkelelement d abstrahlen kann, oder kurzdie spektrale Strahldichte eines schwarzen Korpers. Um die Strahlungsleistung einesschwarzene Korpers im folgenden von der eines nicht schwarzen Korpers (grauenKorpers) zu unterscheiden, bezeichnen wir seine spektrale Strahldichte ab jetzt mitdem zusatzlichen Index B fur `Black-body' (BB).

BB =2 c2 h

exp

c h

k T

1

5 (3.1.1)

c: Lichtgeschwindigkeitc = 2; 9979 108m=s

h: Plancksches Wirkungsquantumh = 6; 626 1034 Js

k: Boltzmannkonstantek = 1; 381 1023 J=K

BB : spektrale Strahldichte bei Wellenlange (in Richtung Flachennormale)(Schwarzkorperstrahlung, black-body radiation)

Die spektrale Strahldichte BB gibt den Strahlungs u von einer Ober ache inein Raumwinkelelement d wieder. Um den Strahlungs u in den gesamten uberder emittierenden Flche liegenden Halbraum zu erfassen, mu die Strahldichte uberden Raumwinkel integriert werden. Wir nenne diese Groe dann die spektrale Strah-lungs udichte (EB) oder den spektralen Strahlungs u.

EB =

ZHalbraum

BB cos# d

=

Z 2

0

Z =2

0

BB cos# sin# d# d'

= 2BB

Z =2

0

cos# sin# d# = 2BB

Z 1

0

1

2dsin2 #

EB = BB (3.1.2)

BB cos#: Projektion der spektralen Strahldichte BB in Richtung #d: innitesimales Raumwinkelelement

= sin# d# d'#: Zenitwinkel = Winkel relativ zur Flachennormalen [0 =2]: Azimutwinkel = Kreiswinkel um Flachennormale herum [0 2]EB : spektrale Strahlungs udichte eines schwarzen Korpers

=Strahlungsleistung

F lache Wellenlange=

W

m2 m

Der in den gesamten Halbraum emittierte Strahlungs u ergibt sich also aus der inNormalenrichtung und pro Steradiant emittierten Strahldichte durch Multiplikationmit .Fassen wir die Konstanten in Gleichung 3.1.1 zusammen, so lautet das Planck'scheStrahlungsgesetz fur den spektralen Strahlungs u:


EB =c1

exp c2T

1

5 (3.1.3)

c1 = 2 c2h = 3; 742 1016 W m2

c2 =c h

k= 1; 438 102 Km

Die maximale spektral Strahlungsleistung eines Korpers hangt folglich nur von zweiGroen ab, namlich seiner Temperatur und der Wellenlange, bei der die Strahlungemittiert wird. Diesen Zusammenhang haben wir schon zu Beginn dieses Kapitelskennengelernt. Berechnet man die spektrale Strahldichte bei gegebener Temperaturin Abhangigkeit von der Wellenlange gema Gleichung 3.1.1, so erhalt man die inAbbildung 3.2 dargestellten Planck-Kurven.

3.1.2 Das Stefan-Boltzmann Gesetz

Um den gesamten Strahlungs u eines schwarzen Korpers zu erhalten, ist EB ausGleichung 3.1.3 uber alle Wellenlangen zu integrieren.

EB =

Z1

0

EB d (3.1.4)

EB : Strahlungs udichte eines schwarzen KorpersStrahlungsleistung

F lache=

W

m2

Die Integration des Planck' schen Strahlungsgesetzes ist analytisch durchfuhrbar.Als Ergebnis erhalt man das Strahlungsgesetz von Stefan-Boltzmann. Stefan undBoltzmann kannten die theoretischen Grundlagen des Planck' schen Strahlungsge-setzes nicht, haben aber den Zusammenhang zwischen der gesamten Strahldichteund der Temperatur eines schwarzen Korpers experimentell abgeleitet. Er lautet:

EB = T 4 (3.1.5)

: Stefan-Boltzmann-Konstante

=25 k4

15 c2 h3= 5; 67 108

W

m2K4

Dieses fundamentale Strahlungsgesetz besagt also, da die von einem Korper ins-gesamt abgestrahlte Leistung mit der vierten Potenz seiner Temperatur zunimmt.

3.1.3 Das Kirchho'sche Gesetz

Nicht jeder Korper verhalt sich bei jeder Wellenlange wie ein schwarzer Korper. Sei-ne tatsachliche Strahlungsleistung wird durch sein Emissionsvermogen oder seineEmissivitat charakterisiert. Diese gibt an, welcher Anteil der maximal moglichenEmission eines schwarzen Korpers tatsachlich emittert wird. Dieser Anteil kannselbst wieder von der betrachteten Wellenlange abhangen. Daher gilt folgender Zu-sammenhang:

E = "() EB (3.1.6)

E: tatsachliche spektrale Strahlungs udichte eines Korpers"(): spektrales Emissionsvermogen des `realen' Korpers

3.1. STRAHLUNGSGESETZE 85

Eine ahnliche Beziehung kann auch fur den gesamten Strahlungs u formuliert wer-den. Dabei denieren wir das Emissionsvermgen (") eines strahlenden Korpers uberdas Verhaltnis des tatsachlichen Strahlungs usses zum Strahlungs u eines schwar-zen Korpers.

" :=E

EB=

R1

0 E dR1

0EB d

=

R1

0 "()EB dR1

0EB d

(3.1.7)

E: gesamte Strahlungs udichte eines Korpers": integrales Emissionsvermogen des `realen' Korpers

Abbildung 3.4: Spektrale Verteilung der solaren Einstrahlung am Oberrand derAtmosphare (obere durchgezogene Kurve) und am Erdboden (untere durchgezo-gene Kurve). Der Vergleich der beiden Kurven reprasentiert die Absorption durchatmospharische Gase. Zum Vergleich ist die Strahlungsintensitat eines schwarzenKorpers der Temperatur 5800 K reduziert auf den Abstand Sonne Erde einge-zeichnet (gestrichelte Kurve). Aus [5]

Fur einen \schwarzen Korper" nehmen " und "() den Wert eins an. Weichen "oder "() von eins ab, so sprechen wir von einem \grauen Korper". Ein strahlenderKorper kann auch nur in einem bestimmten Spektralbereich \schwarz" sein undsich bei anderen Weelenlangen \grau" verhalten. Die Sonne ist in ihrem Spektral-bereich nahezu ein schwarzer Korper. Wie Abbildung 3.4 verdeutlicht, stimmt dasextraterrestrische solare Spektrum (durchgezogene Linie) sehr gut mit dem einesschwarzen Korpers der Temperatur 5800K (gestrichelte Linie) uberein. Folglich


konnen wir die Strahlungstemperatur (Schwarzkorpertemperatur) der Sonne mitrund 5800K ansetzen. Die Erdober ache nimmt im terrestrischen (langwelligen)Teil des Spektrums in guter Naherung ebenfalls fur "() den Wert eins an, kann indiesem Spektralbereich also auch als schwarzer Korper betrachtet werden. Andersverhalt es sich mit den atmospharischen Gasen. Hier ist "() oft nicht nur deutlichkleiner als eins, sondern auch stark von der Wellenlange abhangig.

Jeder Korper | hierzu zahlen naturlich auch die Gase |, der Strahlung aussen-det, absorbiert auch Strahlung. Eine wesentliche Erkenntnis beschreibt in diesemZusammenhang das sogenannte Kirchho'sche Gesetz. Es besagt, da ein Korperden gleichen Prozentsatz verglichen zur maximal moglichen Schwarzkorperstrah-lung absorbiert, wie er emittiert. D. h., da das Emissionsvermogen eines Korpersgleich seinem Absorptionsvermogen ist.

"() = () (3.1.8)

(): Absorptionsvermogen bei der Wellenlange

Trit also ein Strahlungs u der Groe I auf einen Korper, so wird von ihm I " I absorbiert und im Gegenzug entsprechend seiner Temperatur T Strahlungder Starke " T 4 emittiert.

Zum Schlu dieses Kapitels sei darauf hingewiesen, da die hier verwendeten Strah-lungsgroen mit ihren Denitionen und Einheiten im Anhang C noch einmal tabel-larisch zusammengefat sind.

3.2. ABSORPTIONSSPEKTREN 87

3.2 Absorptionsspektren

Wir wollen nun betrachten, welchen Ein u die Atmosphare auf die einfallende so-lare Strahlung hat. Dabei gehen wir zunachst von einer wolkenfreien Atmosphareaus. Die ussige und feste Phase (Wolkentropfen oder Eiskristalle in Wolken) lassenwir damit vorerst auer acht. Abbildung 3.5 zeigt das Absorptionsvermogen von

Abbildung 3.5: Absorptionsvermogen atmospharischer Gase in Abhangigkeit vonder Wellenlange. Nach [5]

dimolekularem Sauersto und Ozon (a), Wasserdampf (b) und das Absorptions-vermogen fur die Gesamtheit der in der Atmosphare vorkommenden Gase (c). Istdas Absorptionsvermogen (absorptivity) bei null, so kann die Strahlung in diesemWellenlangenbereich praktisch ungehindert die Atmosphare durchdringen. Liegt dasAbsorptionsvermogen hingegen bei eins, wird die Strahlung vollstandig von der At-mosphare absorbiert. Das bedeutet, da einfallende solare Strahlung in den ent-sprechenden Spektralbereichen die Erdober ache praktisch nicht erreicht, bzw. vonder Erdober ache ausgehende Warmestrahlung nicht in den Weltraum entweichenkann, sondern zuvor von der Atmosphare aufgefangen wird.

Wie Abbildung 3.5.b zeigt, ist Wasserdampf bis zu einem Wellenlangenbereichvon 0; 8 m in der Atmosphare wirkungslos. Das Absorptionsvermogen geht gegennull. Der grote Teil der solaren Strahlung (insbesondere im sichtbaren Teil desSpektrums) wird somit vom Wasserdampf ungehindert durchgelassen. Bei groerenWellenlangen zeigt der Wasserdampf jedoch selektiv ein sehr starkes Absorptions-vermogen (Wasserdampfbanden). Er beein ut die Strahlung hauptsachlich im ter-restrischen (langwelligen) Strahlungsbereich zwischen 2; 2 und 3; 5 m und zwischen


4; 5 und 7 m. Auch bei Wellenlangen groer als 20 m absorbiert Wasserdampfvollstandig, wie in Abbildung 3.5.c noch zu sehen ist. Innerhalb dieser drei Wel-lenlangenbereiche kann man also uber den Wasserdampfgehalt die Stahlungs ussesehr eÆzient verandern und damit den Energiehaushalt der Atmosphare beein us-sen..

Diese Strahlungseigenschaft des Wasserdampfes sorgt dafur, da die von derErdober ache abgestrahlte Energie (Warmestrahlung) von der Atmosphare | ge-nauer gesagt vom Wasserdampf der Atmosphare | absorbiert und entsprechenddem Kirchho' schen Gesetz auch wieder emittiert wird, so da ein Teil zur Erd-ober ache zuruckgestrahlt wird. Dadurch reduziert sich die Auskuhlung des SystemsErde Atmosphare durch thermische Strahlung. Dieser Eekt bewirkt den in Ka-pitel 2.4 angesprochenen naturlichen Treibhauseekt, zu dem der Wasserdampf aufGrund seiner spektralen Absorptionseigenschaften einen wesentlichen Beitrag lie-fert.

Betrachtet man das Absorptionsvermogen aller Gase, die in der Atmospharevorhanden sind, in Abhangigkeit von der Wellenlange (siehe Abbildung 3.1.c), soerkennt man, da im solaren Spektralbereich von ca. 0; 1 bis ca. 0; 3 m die Strah-lung fast vollstandig absorbiert wird. Gleiches gilt fur Wellenlangen zwischen 9 und10 m. Man nennt diese Bereiche des Spektrums Ozonbanden, da Ozon bei diesenWellenlangen fur die Absorption der Strahlung in der Atmosphare verantwortlichist (vergl. auch Abbildung 3.1.a).

Die Absorption kurzwelliger Sonnenstrahlung (< 0; 3m) ndet bereits in deroberen Atmosphare zwischen 20 und 40 km statt und verhindert, da energiereicheund fur Organismen zum groten Teil todliche UV-Strahlung bis in die bodennahenSchichten der Atmosphare vordringen kann. Eine weitere Abnahme der Ozonschicht,wie sie derzeit bereits uber den polaren Regionen zu beobachten ist, hatte daherfatale Konsequenzen fur das Leben auf der Erde.

Der langwellige Teil der Ozonbanden absorbiert terrestrische Warmestrahlungund tragt damit ahnlich dem Wasserdampf zum Treibhauseekt bei.

Zwischen 1 und 8 m wechseln sich Bereiche ab, in denen die Strahlung vonverschiedenen atmospharischen Gasen mehr oder weniger stark geschwacht wird.Ab einer Wellenlange von ca. 15 m verhindern in der Atmosphare Kohlendioxidzusammen mit Wasserdampf ab ca. 20 m, da die Erde zuviel Warme in denWeltraum abstrahlt.

Zwischen 0; 3 bis 0; 7 und 8 bis 12 m wird (mit Ausnahme der Ozonbande)die Strahlung in der Atmosphare so gut wie gar nicht absorbiert. Man nennt dieseBereiche atmospharische Fenster, da hier die Strahlung fast ungehindert die At-mosphare durchdringen kann. Im kurzwelligen Bereich ist die Atmosphare fur densichtbaren Teil des elektromagnetischen Spektrums daher nahezu transparent. Imlangwelligen Fenster gibt die Erdober ache den groten Teil ihrer Warmestrahlungan den Weltraum ab.

Wegen der geringen atmospharischen Beein ussung eignen sich diese Wellenlan-genbereiche fur die Fernerkundung der Erdober ache vom Satelliten aus. So kannman z. B. die Warmestrahlung des Erdbodens im langwelligen Fenster am Satel-liten empfangen und aus ihrer Intensitatsverteilung die Bodentemperatur fur dasbetrachtete Gebiet ableiten.

Zusammenfassend lat sich sagen, da die Atmosphare auf Strahlung sehr selektivreagiert. Die Atmosphare ist zwar uberwiegend aus zweiatomigen Gasen (Stick-sto und Sauersto) aufgebaut, die Absorption und auch Emission von Strahlungund damit der Energiehaushalt der Atmosphare wird jedoch uberwiegend durchdie dreiatomigen Molekule, die i. d. R. nur als Spurengase (also in sehr geringenKonzentrationen) vorliegen, bestimmt. Von besonderer Bedeutung sind dabei diedrei-atomigen Molekule Ozon (O3), Wasser (H2O), Kohlendioxid (CO2) und Di-

3.2. ABSORPTIONSSPEKTREN 89

stickstooxid (N2O). Das Absorptionsvermogen dieser Gase wird in erster Liniedurch ihre Molekulstruktur festgelegt. Hierbei spielen die unterschiedlichen Schwin-gungen und Rotationen der Atome im Molekulverband eine entscheidende Rolle.Durch die Absorptionseigenschaften der atmospharischen Spurengase erreicht nurein Teil der von der Sonne ausgesandten und am Oberrand der Atmosphare ankom-menden Strahlung tatsachlich den Erdboden. Die spektrale Verteilung der Sonnen-strahlung am Oberrand der Atmosphare zeigt die obere durchgezogene Kurve inAbbildung 3.4. Die untere durchgezogene Kurve in Abbildung 3.4 gibt den Teil dersolaren Strahlung wieder, die den Erdboden bei klarem Himmel erreicht.

Nehmen wir jetzt die Wolken hinzu, so ergibt sich fur die Atmosphare einverandertes Absorptionsverhalten. Die optischen Eigenschaften von Wasser in der ussigen oder festen Phase beein ussen die Transmission der Strahlung erheblich.Da Wolken im Infrarot-Bereich ein gutes Absorptionsvermogen haben, werden dieatmospharischen Fenster in diesem Bereich bei bewolktem Himmel geschlossen. Willman dennoch mittels Fernerkundung vom Satelliten aus die Atmosphare vollstandigdurchdringen, mu man in den Mikrowellenbereich ausweichen (Wellenlangen imcm-Bereich). Im Infraroten empfangt der Satellit dann nur noch Strahlung, die vonden Wolken selbst ausgesendet wird, nicht aber mehr die des Erdbodens. Diese wirdbereits zuvor vollstandig von den Wolken absorbiert. Folglich kann man aus derempfangenen Strahlung nur noch auf die Temperatur der oberen Wolkenschichtenschlieen, nicht mehr jedoch auf die der Erdober ache wie im wolkenfreien Fall.

Fur Strahlungsbetrachtungen ist also eine klare Unterscheidung zu treen, obWolken vorhanden sind oder nicht. SindWolken am Himmel, so sind sie die primarenModulatoren der Strahlungs usse. Ansonsten spielen der Wasserdampf und an zwei-ter Stelle das Kohlendioxid die entscheidende Rolle.


3.3 Der Nettostrahlungs u

Den gesamten Strahlungs u in der Atmosphare kann man sich in vier Teile zer-legt vorstellen. Zunachst haben wir die Unterscheidung zwischen der kurzwelligen(solaren) und der langwelligen (terrestrischen) Strahlung. Betrachtet man nun einektive horizontale Flache, so kann man weiter dierenzieren zwischen der Strahlung,die diese Flache von oben nach unten durchdringt (abwarts gerichtete Strahlungs-komponente) und der von unten nach oben (aufwarts gerichtete Strahlungskompo-nente). Fur jede solche ktive Flache lat sich eine Strahlungsbilanz aufstellen (sieheauch Seite 69), die jeweils die Dierenzen zwisch den abwarts und den aufwarts ge-richteten Komponenten bildet und diese addiert (siehe auch Abbildung 3.6). Denresultierenden Strahlungs u durch die Flache bezeichnet man auch als Nettostrah-lungs u (Q) oder Strahlungsbilanz.

Q = S # S " +L # L " (3.3.1)

S: kurzwelliger (solarer) Strahlungs u (short-wave)L: langwelliger (terrestrischer) Strahlungs u (long-wave)#: abwarts gerichtete Komponente": aufwarts gerichtete Komponente

Demnach ist die Strahlungsbilanz positiv, wenn der Nettostrahlungs u nach untenzum Erdboden gerichtet ist.

LL

S

S

Q = S - S + L - L

Abbildung 3.6: Totale Strahlungsbilanzan einer Flache

SS

LL

LL

S

S

Q

Q

1

2

∆Q = Q1 - Q 2 (Heizrate)

∆ Q

Abbildung 3.7: Strahlungsdivergenz furein Volumen mit resultierender diabati-scher Heizung

Um die Wirkung von Strahlungs ussen auf den Energiehaushalt eines Volumensoder einer Schicht mit endlicher Dicke zu bestimmen, berechnet man die Dierenzder Nettostrahlungs usse an den jeweiligen Grenz achen (vergl. Abbildung 3.7).Man bilanziert also zunachst an der oberen und unteren Begrenzungs ache die lang-(L) und kurzwelligen (S) Strahlungskomponenten unter Beachtung ihrer Richtung(ob von oben oder von unten kommend). Anschlieend bildet man die Dierenz Qder resultierenden Netto usse zwischen den beiden Schichten mit dem Abstand z.Ist der Strahlungs u in das Volumen hinein groer als der das Volumen verlassen-de Strahlungs u, so wird dem Volumen Energie zugefuhrt und dieses entsprechendaufgeheizt, bzw. im umgekehrten Fall abgekuhlt. Wir sprechen in diesem Zusam-menhang von diabatischer Heizung, um den Unterschied zu Temperaturanderun-gen deutlich zu machen, die durch adiabatische Zustandsanderungen hervorgerufenwerden. Die Groe dieser diabatischen Heizung ist also proportional zu Q=z.

3.3. DER NETTOSTRAHLUNGSFLUSS 91

Lassen wir das Volumen bzw. die Schichtdicke gegen Null gehen, so sehen wir, dadie diabatische Heizung durch Strahlung proportional zum Gradienten @Q=@z desNettostrahlungs usses ist. Bei dreidimensionaler Betrachtung des Strahlungs ussesergibt sich damit die bereits in Gleichung 2.3.20 als Heizrate angesetzte Beziehung

T ds Æqrad =1

~r ~Q dt ; (3.3.2)

die in der Haushaltsgleichung fur die potentielle Temperatur (entsprechend Glei-chung 2.3.22) die Energiezufuhr durch Strahlungsabsorption beschreibt.

d

dt=@

@t+ ~v ~r =

1

cp

T~r ~Q+ : : : (3.3.3)


3.4 Der Energiehaushalt des Systems Erde Atmosphare

Wir wollen uns nun dem Energiehaushalt der gesamten Atmosphare im globalenund langjahrigen Mittel zuwenden und untersuchen, wie dieser Haushalt durchStrahlungs- und andere Energie usse beein ut wird. Zunachst haben wir den aufdie Erde treenden Strahlungs u von der Sonne. Er wird durch die sogenannteSolarkonstante (IK) beschrieben. Das ist die Strahlungs udichte, die den aue-ren \Rand" der Erdatmosphare erreicht. Sie wird derzeit mit rund 1368W=m2 imJahresmittel angegeben und ist auf ca 4W=m2 genau bekannt. Der Strahlungs-

RIK

solare Einstrahlung

Erde

Oberfläche 4π R2

Querschnittsfläche im Strahlungsflußπ R2

Abbildung 3.8: Verteilung der solaren Einstrahlung auf die Erdkugel

u, der der Erde damit insgesamt zur Verfugung steht, betragt R2IK , wobei R2

der Querschnitts ache der Erdkugel im Strahlungs u der Sonne entspricht (vergl.Abbidlung 3.8). Da sich die Erde einmal am Tag unter diesem Strahlungs u hin-durchdreht, verteilt sich die Strahlungsenergie auf die gesamte Erdober ache von4R2. Folglich betragt die auf die gesamte Erdober ache bezogene extraterrestri-sche Strahlungs udichte (I0) im globalen Mittel nur ein viertel der Solarkonstante(IK).

I0 =R2

4R2IK =

IK4 340

W

m2(3.4.1)

I0: global gemittelte Strahlungs udichte am Oberrand der ErdatmosphareIK : Solarkonstante

Wir wollen uns nun uberlegen, wie diese solare Einstrahlung in der Atmosphareund am Erdboden umverteilt wird. Dazu betrachten wir Abbildung 3.9, die dierelevanten Strahlungs usse schematisch darstellt.

Die jeweiligen Angaben der Energie usse erfolgen in Prozent, relativ zu dersolaren kurzwelligen Einstrahlung von IK=4 (d. h. ein Strahlungs u von 100 %entspricht gerade 342 W=m2). Betrachtet man zunachst die solare Strahlung iso-liert, so verbleiben rund 20 % der Sonnenstrahlung durch Absorption in Wolken, anGasmolekulen und Aerosolen in der Atmosphare. 22 % der Sonnenstrahlung wirdvon der Atmosphare direkt in den Weltraum re ektiert. 58 % der solaren Einstrah-lung erreichen schlielich die Erdober ache. Diese absorbiert 49 % (ca. 168W=m2).Die verbleibenden 9 % werden von der Erdober ache wieder in die Atmospharere ektiert.

Nur ein Teil der solaren Strahlung erreicht den Erdboden auf direktem Wegdurch die Atmosphare. Der andere Teil wird zuvor an Gasmolekulen, Wassertropf-chen und Aerosolen z. T. mehrfach gestreut, gelangt also erst uber \Umwege" zum

3.4. DER ENERGIEHAUSHALT DES SYSTEMS ERDE ATMOSPHARE 93

Ref

lexi

on d

urch

Erd

ober

fläch

e9

%

12 %

Tra

nsm

issi

on

114 %

Erdoberfläche

Wärmestrahlung der

Abs

trah

lung

dur

ch

Gas

e un

d W

olke

n

57 %

Ausstrahlungterrestrische

69 %

23 %

late

nter

Wär

mef

luß

7 %

Wär

mef

luß

sens

ible

r

Wärmestrahlungsverlust -19 %

Ref

lexi

on d

urch

Gas

e,

Aer

osol

e un

d W

olke

n

22 %

20 % 102 %

95 %

Gegenstrahlung

atmosphärische

kurzwellige (solare) Strahlung langwellige (terrestrische) Strahlung turbulenter Transport

58 %

Transmission

solare

Ref

lexi

on

sola

re

31 %

+30 %-50 %+20 %

solare Absorption 49 % turbulente Flüsse -30 %

Absorption durch Gase,Aerosole und Wolken

Absorption durch Gase,Aerosole und Wolken

100 %

solare Einstrahlung

Gewinne und Verlusteatmosphärische

Abbildung 3.9: Schematische Darstellung der atmospharischen Strahlungs- usse. Alle prozentualen Angaben beziehen sich auf den im globalen Mittel aufdie Erdatmosphare treenden solaren Strahlungs u von 342W=m2( 100%).Zahlenangaben nach [8]

Erdboden. Wir bezeichnen diese Strahlungskomponente als diuse Sonneneinstrah-lung. Sie macht rund die Hlfte der gesamten kurzwelligen Strahlung aus, die dieErdober ache erreicht.

Insgesamt verbleiben 69 % der eingestrahlten Sonnenenergie im System ErdeAtmosphare. Nur 31 % werden wieder in den Weltraum re ektiert. Fur sich be-trachtet, wurde die absorbierte solare Strahlung die Erde standig aufheizen. Da dieTemperatur aber weitestgehend konstant bleibt, mussen weitere Komponenten amEnergiehaushalt beteiligt sein, die fur eine entsprechende Abkuhlung (Ausstrah-lung) sorgen.

Auch Erdober ache und Atmosphare emittieren entsprechend dem Stefan- Boltz-man Gesetz in Abhngigkeit von ihrer Temperatur Energie in Form von Strahlung(Warmestrahlung). Abbildung 3.9 zeigt, da von der Erdober ache ein Strahlungs- u von 114 % bezogen auf die solare Einstrahlung an die Atmosphare ab-gestrahlt, und dort zu einem groen Teil (102%) zunachst absorbiert wird. DieAusstrahlung des Erdbodens entspricht also im globalen Mittel einer Strahlungs- udichte von 390 W=m2 und ist damit deutlich hoher, als die im Mittel auf dieErde einfallende solare Strahlung. Dieser Sachverhalt mag zunachst widerspruchlicherscheinen. Die Strahlung eines schwarzen Korpers mit einer Temperatur von 15 0Cliegt nach Gleichung 3.1.5 bei 390W=m2, und damit in der Tat bei rund 114 % dersolaren Strahlungs udichte von 342 W=m2. Allerdings mu man berucksichtigen,da ein groer Teil dieser Energie (namlich 95 %) von der Atmosphare wieder zumBoden zuruckgestrahlt wird. Die Ruckstrahlung der Atmosphare auf die Erdober- ache ist insgesamt geringer als die Ausstrahlung des Bodens, da ihre Temperaturniedriger liegt und Gase ein geringeres Emissionsvermogen (" < 1) als feste Stoe(Erde) haben. Von der Warmestrahlung der Erdober ache gelangen nur 12 % direkt


in den Weltraum, 57 % strahlt die Atmosphare (Gase, Aerosole und Wolken) ab.Damit gibt das System Erde-Atmosphare insgesamt wieder 69 % der solar einge-strahlten Energie als langwellige Warmestrahlung an den Weltraum ab. Zusammenmit dem Anteil von 31 % der von Atmosphare und Erboden re ektierten solarenStrahlung ergibt sich wieder eine Energieabgabe des Systems von 100 %.

31 %(kurzwellige) +69 %(langwellige) = 100 %(Abstrahlung)

Das mu im Regelfall auch so sein! Betrachten wir den Energiehaushalt desSystems ErdeAtmosphare im langjahrigen globalen Mittel, so sollte dieser ausge-glichen sein. D. h. die eingestrahlte Energie und die abgestrahlte Energie mussenam Oberrand die gleiche Groe haben. Ansonsten wurde das System standig Ener-gie gewinnen bzw. verlieren und sich damit kontinuierlich aufheizen oder abkuhlen.Mittels der solaren und der terrestrischen Strahlung steht die Erde also mit demWeltraum in einem Strahlungsgleichgewicht. Wir sagen auch: Die extraterrestrischeStrahlungsbilanz der Erde ist ausgeglichen oder geschlossen.

Am Erdboden hingegen ist die Strahlungsbilanz nicht ausgeglichen. 49 % Gewinnan solarer Strahlung stehen 19 % Verlust uber terrestrische Strahlung gegenuber.D. h. der Erdboden gewinnt Energie in der Groenordnung von 30 % der solarenEinstrahlung. Genau entgegengesetzt sieht die Bilanz fur die Atmosphare aus. Hierwerden 20 % solarer Gewinn von 50 % Verlust im terrestrischen Bereich uberkom-pensiert, was zu einer netto Energieabgabe von 30 % fuhrt.

Auf Grund dieser Ungleichgewichte wurde der Erdboden standig Energie gewin-nen, sich folglich erwarmen, die Atmosphare jedoch immer weiter abkuhlen. Dadieses so nicht passiert, wird durch zwei Ausgleichsmechanismen bewirkt, namlichden Transport durch fuhlbare (H) und latente (E) Warme. Beide Prozesse trans-portieren Energie von der Erdober ache in die Atmosphare. Es handelt sich dabeiaber nicht mehr um Strahlungstransport.

Der latente Warmetransport (E) erfolgt uber den Wasserdampf. Am Boden ver-dunstet standig Wasser und nimmt dabei die dafur benotigte Verdampfungsenergieauf. Dem Boden wird diese Energie entsprechend entzogen. Die Absorption vonStrahlung am Boden ersetzt diesen Energieverlust schlielich wieder. Beim Kon-densationsproze (Wolkenbildung) wird die im Wasserdampf gespeicherte Verdamp-fungswarme wieder als Kondensationswarme an die Atmosphare abgegeben. Dieserlatente Warmeaustausch zwischen Boden und Atmosphare ist also unmittelbar mitdem Transport von Wasserdampf und anschlieender Wolkenbildung verknupft.

Der Transport von fuhlbarer Warme (H) erfolgt uber den vertikalen Austauschvon erwarmten bzw. abgekuhlten Luftmassen. Auf Grund des Energiegewinns ausder Strahlungsabsorption des Bodens erwarmt sich die Luft in unmittelbarer Naheder Erdober ache. Es baut sich ein Temperaturgradient auf, der einen turbulen-ten Transport der erwarmten Luft vom Erdboden weg bewirkt. Als Ausgleich furdie aufsteigenden Luftpakete sinkt etwas kuhlere Luft zum Boden und nimmt hierwieder Warme auf.

Beide Prozesse sind sehr wirkungsvolle Transportmechanismen, da sie auf derturbulenten Bewegung einer Vielzahl verschieden groer Luftpakete beruhen. Die-se ungeordneten Luftbewegungen sorgen dafur, da Wasserdampf und Warme ausRegionen mit hoheren Wasserdampf und Temperaturwerten in Regionen mit ge-ringeren Werten transportiert werden. Wir wollen an dieser Stelle die turbulentenTransportmechanismen nicht weiter vertiefen, sondern nur festhalten, da durch siesowohl Wasserdampf als auch am Boden erwarmte Luft bis in groere Hohen derTroposphare gelangten, die Luftschichten dort erwarmen und so die Gewinne undVerluste aus den unterschiedlichen Strahlungs ussen (30 %) ausgleichen kann.


Neben dem globalen Energiehaushalt kann man die Analyse der Strahlungs- usse auch fur einen bestimmten Ort zu einem speziellen Zeitpunkt durchfuhren.Die Prozentanteile der einzelnen Komponenten werden sich dabei aber i. d. R. starkvon denen der mittleren globalen Analyse unterscheiden. Bei einer lokalen, kurzzei-tigen Betrachtung mussen weder das System Atmosphare Weltraum, noch dieinternen Verhaltnisse in der Atmosphare energetisch ausgeglichen sein. Es bestehtdann temporar oder auch regional ein Ungleichgewicht. So uberwiegt beispielsweisein den Tropen der NettoStrahlungsgewinn, wahrend in den polaren Breiten derStrahlungsverlust dominiert. Diese regionalen Unterschiede im Energiehaushalt bil-den den Hauptantrieb fur die atmospharische Dynamik, bestimmen also letztendlichunser tagliches Wettergeschehen und damit langfristig auch die Auspragung regio-naler und globaler Klimastrukturen.

Wir wollen nun in einem einfachen Modell versuchen, die Heizraten, die sichaus den vertikalen Unterschieden der global gemittelten Strahlungs usse fur dieAtmosphare ergeben, abzuschatzen. Dazu betrachten wir den ersten Hauptsatz derThermodynamik entsprechend Gleichung 3.3.3 (also ohne Energiezufuhr durch Kon-densation).

d

dt=

1

cp

T~r ~Q =

1

cp

T

@Q

@z(3.4.2)

Das zweite Gleichheitszeichen gilt, da wir die Strahlungsdivergenz im globalen Mit-tel betrachten wollen und somit keine Abhangigkeit von x oder y vorliegt. Mit derstatischen Grundgleichung 2.2.4 folgt:

@Q

@z=@Q

@p

@p

@z= g

@Q

@p

und damit

d

dt=

g

cp

T

@Q

@p(3.4.3)

Verwenden wir nun den Zusammenhang aus Gleichung 2.3.18 zwischen potentiellerTemperatur und tatsachlicher Temperatur,

cpd

= cp

dT

TRL

dp

p

und berucksichtigen, da im globalen Mittel der Druck konstant bleibt (dp = 0), sofolgt schlielich

d

dt=

T

dT

dt=

g

cp

T

@Q

@p

dT

dt=

g

cp

@Q

@p(3.4.4)

Bei einer Absorption im kurzwelligen Bereich von 20 % der solaren Einstrahlung(entsprechend Abbildung 3.9) gewinnt die Atmosphare im globalen Mittel rund67 W=m2. Verteilen wir diesen Energiegewinn gleichmaig auf die gesamte At-mosphare vom Erdboden (p = 1000 hPa) bis zum Oberrand (p = 0 hPa),so ergibt sich ein Strahlungsgewinn von Q = 67 W=m2 auf eine Schichtdickevon p = 100:000 Pa. Gema Gleichung 3.4.4 folgt daraus eine ErwarmungsrateT=t 0; 56 K=Tag.

Der Energieverlust von 50 % im langwelligen Bereich (vergl. Abbildung 3.9)fuhrt analog zu einer Temperaturabnahme um ca. 1; 4 K=Tag. Damit ergibt sich


aus dem globalen Strahlungsdezit der Atmosphare (-30 %) eine Abkuhlungsratevon 0; 84K=Tag. Dieser Warmeverlust wird durch die turbulenten Flusse sensibler(H) und latenter (E) Warme vom Erdboden her ausgeglichen. Beachtenswert ist,da dieser turbulente Transportteil mehr zur Erwarmung der Atmosphare beitragt(0; 84K=Tag) als die Absorption solarer Strahlung (0; 56 K=Tag).

Mit unseren bisherigen Kenntnisssen ist es nun moglich, ein einfaches Klimamodellzu konstruieren. Dieses umfat die wesentlichen Strahlungsprozesse und liefert eineerste grobe Abschatzung fur die globale Mitteltemperatur. Wir wollen mit diesemModell versuchen, die prinzipielle Auswirkung auf das Klima abzuschatzen, die beieiner fortgesetzten Abholzung des Regenwaldes zu erwarten ware.

Wir beginnen mit der mathematischen Beschreibung des extraterrestrischenStrahlungsgleichgewichtes. Von der solaren Einstrahlung im globalen langzeitigenMittel (IK=4) werde r% wieder in den Weltraum re ektiert. Der kurzwellige Strah-lungsgewinn betragt also (1 r) IK=4. Sei T die mittlere Temperatur, mit der dasSystem Erde Atmosphare langwellig abstrahlt und " sein Emissionsvermogen, soverliert das System Energie in der Groenordnung "T 4, entsprechend den Glei-chungen 3.1.5 und 3.1.7. Im Strahlungsgleichgewicht gilt also:

(1 r)IK4

= "T 4 (3.4.5)

": Emissionsvermogen des Systems Erde Atmosphare" = 0; 61

r : Re exionsvermogen des Systems Erde-Atmospharer = 30%

Nun wollen wir uns uber die Anderung des Re exionsvermogens der Erdober acheGedanken machen. Bei der Abholzung entsteht aus einer dunklen Wald ache einehellere gerohdete Flache. Dadurch reduziert sich das Absorptionsvermogen der Erd-ober ache, bzw. erhoht sich ihr Re exionsvermogen (Albedo). Wir nehmen einmalan, da sich durch die Umwandlung groer tropischer Regenwald achen die Albedoim globalen Mittel um 1% erhoht, die Re exion solarer Einstrahlung also von 31%auf 32% anwachst. Um die Auswirkung dieser Veranderung auf die Temperatur desSystems abschatzen zu konnen, bilden wir das totale Dierential der Gleichung 3.4.5

d

(1 r)

IK4

= d

"T 4

(3.4.6)

Auf der linken Seite ist nur das Re exionsvermogen (r) variabel; die Solarkonstante(IK) ist, wie der Name schon sagt, eine feste Groe. Auf der rechten Seite mu mannach dem EmissionskoeÆzienten (") und der Temperatur (T ) dierenzieren. Manerhalt:

IK4

@(1 r)

@rdr =

@("T 4)

@"d"+

@("T 4)

@TdT

IK4

dr = T 4 d"+ 4"T 3 dT (3.4.7)

Die Vernichtung des Regenwaldes wurde zu einer Reduzierung des Kohlendioxid-(CO2)-Verbrauchs aus der Atmosphare und zu einer Erhohung der CO2-Emissionendurch die Verbrennung bzw. Verrottung des Waldbestandes fuhren. Damit kame esauch zu einem Anwachsen der Treibhausgaskonzentration, wodurch sich das Emissi-onsvermogen der Atmosphare verandern wurde. Wir wollen diesen Eekt hier nichtbetrachten und nehmen fur unsere Abschatzung an, da der EmissionskoeÆzient


der Atmosphare konstant bleibt (d" = 0). Wohl aber andert sich das Re exions-vermogen (dr) um 1%. IK , " und sind konstante Groen, so da man sich dieTemperaturanderung mit Geichung 3.4.7 in Abhangigkeit von der Ausgangstempe-ratur (T0) ausrechnen kann.

dT = IK

16"T 30

dr (3.4.8)

Dem Strahlungsgleichgewicht aus Gleichung 3.4.5 entspricht eine globale Mitteltem-peraur von T0 = 288 K. Bei Erhohung der globalen Albedo um 1 %, von 31 % auf32 %, (dr = 0; 01) ergibt sich somit eine Temperaturabnahme von rund 1 K. Diesist sicherlich nur eine sehr grobe Abschatzung des tatsachlichen Eektes, da vielesekundare Ein usse der Regenwaldvernichtung hierbei nicht berucksichtigt werden.Die Gleichung 3.4.7 liefert aber zumindest eine erste Vorstellung der zu erwartendenAuswirkungen moglicher Eingrie in das Klimasystem der Erde. Sie kann daher alserstes, sehr vereinfachtes Klimamodell angesehen werden.

Anhang A

Tabellen des

Sattigungsdampfdrucks

Tabelle A.1: Sattigungsdampfdruck uber ussigem Wasser in hPa

Temperatur T in 0,1 0C Schritten

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,939 69,933 70,310 70,688 71,068 71,449 71,833 72,218 72,605 72,994 73,38538 66,264 66,623 66,984 67,347 67,711 68,077 68,445 68,814 69,186 69,55937 62,762 63,105 63,449 63,795 64,143 64,492 64,843 65,196 65,550 65,90636 59,421 59,748 60,077 60,407 60,739 61,072 61,407 61,743 62,081 62,42135 56,236 56,548 56,861 57,176 57,492 57,810 58,129 58,450 58,772 59,09634 53,200 53,497 53,795 54,095 54,397 54,700 55,004 55,310 55,617 55,92633 50,306 50,589 50,874 51,160 51,447 51,735 52,025 52,317 52,610 52,90432 47,551 47,820 48,091 48,363 48,637 48,912 49,188 49,465 49,744 50,02531 44,927 45,183 45,441 45,700 45,961 46,223 46,486 46,750 47,015 47,28230 42,430 42,674 42,919 43,166 43,414 43,663 43,913 44,165 44,418 44,62729 40,054 40,287 40,520 40,755 40,990 41,227 41,465 41,705 41,945 42,18728 37,795 38,016 38,238 38,461 38,685 38,911 39,137 39,365 39,593 39,82327 35,648 35,858 36,069 36,281 36,494 36,708 36,923 37,140 37,357 37,57626 33,608 33,807 34,008 34,209 34,411 34,615 34,819 35,025 35,232 35,43925 31,670 31,860 32,050 32,241 32,433 32,627 32,821 33,016 33,212 33,41024 29,831 30,011 30,191 30,373 30,555 30,739 30,923 31,108 31,295 31,48223 28,085 28,256 28,427 28,599 28,773 28,947 29,122 29,298 29,474 29,65222 26,430 26,591 26,754 26,917 27,081 27,247 27,413 27,579 27,747 27,91621 24,860 25,013 25,167 25,322 25,478 25,634 25,792 25,950 26,109 26,26920 23,372 23,518 23,664 23,810 23,958 24,106 24,255 24,405 24,556 24,70819 21,963 22,101 22,239 22,378 22,518 22,658 22,800 22,942 23,084 23,22818 20,629 20,759 20,890 21,022 21,154 21,287 21,421 21,555 21,691 21,82717 19,367 19,490 19,614 19,738 19,863 19,989 20,116 20,243 20,371 20,50016 18,172 18,289 18,406 18,524 18,642 18,761 18,881 19,001 19,123 19,24415 17,043 17,153 17,264 17,375 17,487 17,600 17,713 17,827 17,942 18,05714 15,976 16,080 16,185 16,290 16,396 16,502 16,609 16,717 16,825 16,93413 14,968 15,066 15,165 15,265 15,365 15,465 15,566 15,668 15,770 15,87312 14,017 14,109 14,203 14,296 14,391 14,486 14,581 14,677 14,774 14,87111 13,199 13,206 13,294 13,383 13,472 13,561 13,651 13,742 13,833 13,92510 12,272 12,354 12,437 12,521 12,605 12,689 12,774 12,859 12,945 13,032

Fortsetzung auf nachfolgender Seite

99

100 ANHANG A. TABELLEN DES SATTIGUNGSDAMPFDRUCKS

Fortsetzung von vorheriger Seite

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,99 11,473 11,551 11,629 11,708 11,787 11,867 11,947 12,027 12,108 12,1908 10,721 10,794 10,868 10,942 11,017 11,092 11,167 11,243 11,319 11,3967 10,013 10,082 10,151 10,221 10,291 10,362 10,433 10,504 10,576 10,6486 9,346 9,411 9,476 9,542 9,608 9,675 9,742 9,809 9,877 9,9455 8,719 8,708 8,842 8,903 8,966 9,029 9,091 9,154 9,218 9,2824 8,129 8,187 8,244 8,302 8,361 8,420 8,479 8,538 8,598 8,6583 7,575 7,629 7,683 7,738 7,793 7,848 7,904 7,960 8,016 8,0722 7,055 7,105 7,156 7,207 7,259 7,311 7,363 7,416 7,468 7,5221 6,566 6,614 6,661 6,709 6,758 6,806 6,856 6,905 6,954 7,004

+0 6,108 6,152 6,197 6,242 6,288 6,333 6,379 6,426 6,472 6,519-0 6,108 6,064 6,019 5,976 5,932 5,889 5,847 5,804 5,762 5,720-1 5,678 5,636 5,595 5,554 5,514 5,473 5,433 5,393 5,354 5,314-2 5,275 5,236 5,198 5,160 5,121 5,084 5,046 5,009 4,972 4,935-3 4,898 4,862 4,826 4,790 4,754 4,719 4,683 4,648 4,614 4,579-4 4,545 4,511 4,477 4,444 4,410 4,377 4,344 4,312 4,279 4,247-5 4,215 4,183 4,151 4,120 4,089 4,058 4,027 3,996 3,967 3,936-6 3,906 3,876 3,847 3,818 3,788 3,759 3,731 3,702 3,674 3,646-7 3,618 3,590 3,562 3,535 3,508 3,481 3,454 3,427 3,401 3,374-8 3,348 3,322 3,297 3,271 3,246 3,220 3,195 3,171 3,146 3,121-9 3,097 3,073 3,049 3,025 3,001 2,978 2,954 2,931 2,908 2,885-10 2,863 2,840 2,818 2,796 2,773 2,752 2,729 2,708 2,687 2,665-11 2,644 2,623 2,602 2,582 2,561 2,541 2,520 2,500 2,480 2,460-12 2,441 2,421 2,402 2,383 2,364 2,345 2,326 2,307 2,288 2,270-13 2,252 2,233 2,215 2,197 2,180 2,162 2,144 2,127 2,110 2,092-14 2,075 2,058 2,042 2,025 2,008 1,992 1,976 1,960 1,944 1,928-15 1,912 1,896 1,880 1,865 1,850 1,834 1,819 1,804 1,789 1,774-16 1,760 1,745 1,731 1,716 1,702 1,688 1,674 1,660 1,646 1,632-17 1,619 1,605 1,592 1,578 1,565 1,552 1,539 1,526 1,513 1,500-18 1,488 1,475 1,463 1,450 1,438 1,426 1,414 1,402 1,390 1,378-19 1,366 1,355 1,343 1,332 1,320 1,309 1,298 1,287 1,276 1,265-20 1,254 1,243 1,232 1,222 1,211 1,201 1,191 1,180 1,170 1,160-21 1,150 1,140 1,130 1,120 1,110 1,101 1,091 1,082 1,072 1,063-22 1,054 1,044 1,035 1,026 1,017 1,088 0,9996 0,9908 0,9821 0,9734-23 0,9649 0,9564 0,9479 0,9395 0,9312 0,9230 0,9148 0,9067 0,8986 0,8907-24 0,8827 0,8749 0,8671 0,8594 0,8517 0,8441 0,8365 0,8291 0,8216 0,8143-25 0,8070 0,7997 0,7925 0,7854 0,7783 0,7713 0,7644 0,7574 0,7506 0,7438-26 0,7371 0,7304 0,7238 0,7172 0,7107 0,7042 0,6978 0,6915 0,6852 0,8789-27 0,6727 0,6666 0,6604 0,6544 0,6484 0,6424 0,6366 0,6307 0,6249 0,6191-28 0,6134 0,6078 0,6022 0,5966 0,5911 0,5856 0,5802 0,5748 0,5695 0,5642-29 0,5589 0,5537 0,5485 0,5434 0,5384 0,5333 0,5283 0,5234 0,5185 0,5136

101

Tabelle A.2: Sattigungsdampfdruck uber Eis in hPa

Temperatur T in 0,1 0C Schritten

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9-0 6,107 6,057 6,007 6,958 5,909 5,860 5,812 5,764 5,717 5,669-1 5,623 5,576 5,530 5,484 5,439 5,394 5,349 5,305 5,260 5,217-2 5,173 5,130 5,088 5,045 5,003 4,961 4,920 4,879 4,838 4,797-3 4,757 4,717 4,678 4,638 4,599 4,561 4,522 4,484 4,446 4,409-4 4,372 4,334 4,298 4,262 4,225 4,190 4,154 4,119 4,084 4,049-5 4,015 3,980 3,946 3,913 3,880 3,846 3,814 3,781 3,748 3,716-6 3,684 3,653 3,622 3,590 3,560 3,529 3,498 3,468 3,438 3,409-7 3,379 3,350 3,321 3,292 3,264 3,236 3,208 3,180 3,152 3,125-8 3,097 3,071 3,044 3,017 2,991 2,965 2,939 2,913 2,888 2,862-9 2,837 2,812 2,788 2,763 2,739 2,715 2,691 2,667 2,644 2,620-10 2,597 2,574 2,551 2,529 2,506 2,484 2,462 2,440 2,418 2,397-11 2,376 2,354 2,333 2,313 2,292 2,271 2,251 2,231 2,211 2,191-12 2,172 2,152 2,133 2,114 2,094 2,076 2,057 2,038 2,020 2,002-13 1,984 1,966 1,948 1,930 1,913 1,895 1,878 1,861 1,844 1,827-14 1,811 1,794 1,778 1,762 1,745 1,729 1,714 1,698 1,682 1,667-15 1,652 1,636 1,621 1,606 1,592 1,577 1,563 1,548 1,534 1,520-16 1,506 1,492 1,478 1,464 1,450 1,437 1,424 1,410 1,397 1,384-17 1,371 1,358 1,346 1,333 1,321 1,308 1,296 1,284 1,272 1,260-18 1,248 1,236 1,225 1,213 1,202 1,190 1,179 1,168 1,157 1,146-19 1,135 1,124 1,114 1,103 1,093 1,082 1,072 1,062 1,052 1,042-20 1,032 1,022 1,012 1,002 0,9928 0,9833 0,9739 0,9645 0,9553 0,9461-21 0,9370 0,9280 0,9190 0,9101 0,9013 0,8926 0,8840 0,8754 0,8670 0,8586-22 0,8502 0,8420 0,8339 0,8257 0,8176 0,8097 0,8018 0,7940 0,7862 0,7786-23 0,7709 0,7634 0,7559 0,7485 0,7412 0,7339 0,7267 0,7195 0,7124 0,7054-24 0,6985 0,6916 0,6848 0,6780 0,6713 0,6646 0,6581 0,6515 0,6451 0,6387-25 0,6323 0,6260 0,6198 0,6136 0,6075 0,6015 0,5955 0,5895 0,5836 0,5778-26 0,5720 0,5662 0,5606 0,5549 0,5494 0,5438 0,5384 0,5329 0,5276 0,5223-27 0,5170 0,5118 0,5066 0,5014 0,4964 0,4913 0,4864 0,4814 0,4765 0,4717-28 0,4669 0,4621 0,4574 0,4527 0,4481 0,4435 0,4390 0,4345 0,4301 0,4256-29 0,4213 0,4169 0,4127 0,4084 0,4042 0,4000 0,3959 0,3918 0,3878 0,3838

102 ANHANG A. TABELLEN DES SATTIGUNGSDAMPFDRUCKS

Anhang B

Herleitung der

Navier-Stokes-Gleichung

Wir wollen ausgehen von Gleichung 2.5.7 und denieren die Geschwindigkeiten imInertialsystem (B.0.2) und im rotierenden System (B.0.3) uber zwei unterschiedlichetotale zeitliche Ableitungen des Ortsvektors.

~va(Gl. 2.5.7)

= ~v + ~ ~r (B.0.1)

~va(def)= _~r (B.0.2)

~v(def)=

d~r

dt(B.0.3)

Zunachst benotigen wir den Zusammenhang zwischen der Ableitung der Geschwin-digkeit nach der Zeit im Inertialsystem (_) und im rotierenden System ( ddt). Da dieReihenfolge der totalen Ableitungen vertauschbar ist, ergibt sich folgende Bezie-hung:

d

dt~va

(Gl. B.0.2)=

d

dt_~r =

_d~r

dt

(Gl. B.0.3)

= _~v (B.0.4)

Nun bilden wir die zeitliche Ableitung von Gleichung B.0.1 im beschleunigten (ro-tierenden) System,

d

dt~va =

d~v

dt+ ~

d~r

dt+d~

dt ~r

d

dt~va

(Gl.B.0.3)=

d~v

dt+ ~ ~v +

d~

dt ~r

_~v(Gl. B.0.4)

=d~v

dt+ ~ ~v +

d~

dt ~r (B.0.5)

wobei die zeitliche Anderung (d/dt) der Winkelgeschwindigkeit ~ im rotierendenSystem gleich Null ist.

103

104 ANHANG B. HERLEITUNG DER NAVIER-STOKES-GLEICHUNG

Es folgt die zeitliche Ableitung von Gleichung B.0.1 im Inertialsystem.

_~va = _~v +_~ ~r + ~ _~r

_~va(Gl. B.0.2)

= _~v +_~ ~r + ~ ~va

_~va(Gl. B.0.1)

= _~v +_~ ~r + ~ (~v + ~ ~r)

_~va(ausmultiplizieren)

= _~v +_~ ~r + ~ ~v + ~ (~ ~r)

_~va(Kreuzprodukt au osen)

= _~v +_~ ~r + ~ ~v ~2 ~r? (B.0.6)

~r?: Ortsvektor senkrecht zur Rotationsachse (~) der Erde

Zuletzt fugen wir ( _~v) aus Gleichung B.0.5 in Gleichung B.0.6 ein und ersetzen ~2

durch das Quadrat des Betrages (2). Als Ergebnis erhalten wir fur die Beschleu-nigung im Inertialsystem die Beziehung:

_~va =dv

dt+ 2 ~ ~v 2 ~r? +

_~ ~r| z 0

(2.5.9)

Der letzte Term beschreibt dabei die Kraft, die durch eine zeitliche Anderung derRotationsgeschwindigkeit entstehen wurde. Sie ist fur unsere Betrachtungen zu ver-nachlassigen.

Anhang C

Strahlungsgroen

Zusammenstellung der in Kapitel 3 benutzten Strahlungsgroen mit ihren physika-lischen Einheiten.

Groe Bezeichnung Denition Einheit

BB spektrale StrahldichteEnergie

Zeit F lache Raumwinkel Wellenlange

W

m2 sr mshwarzer Korper

B spektrale StrahldichteEnergie

Zeit F lache Raumwinkel Wellenlange

W

m2 sr m

EB spektrale Strahlungs udichteEnergie

Zeit F lache Wellenlange

W

m2 mshwarzer Korper

EB = BB

E spektrale Strahlungs udichteEnergie

Zeit F lache Wellenlange

W

m2 m

E = B

E = "() EB

EB Strahlungs udichteEnergie

Zeit F lache

W

m2

shwarzer KorperEB =

R1

0EB d

E Strahlungs udichteEnergie

Zeit F lache

W

m2

E = " EB

105

106 ANHANG C. STRAHLUNGSGR OSSEN

Literaturverzeichnis

[1] Lutgens, F.K. and Tarbruck, E.J.: The Atmosphere. Prentice Hall, NewJersey, 1995.

[2] Deutscher Wetterdienst: Internationaler Wolkenatlas. Selbstverlag desDeutschen Wetterdienst, Oenbach, 1990.

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and Climatology. Elsevier Scientic Publishing Company, Amsterdam, Oxford,New York, 1976.

[4] Peixoto, J.P. and Oort, A.H.: Physics of climate. American Institut ofPhysics, New York, 1993

[5] Graedel, T.E. and Crutzen, P.J.: Atmospheric Change: an Earth system

perspective. W.H.Freeman and Company, New York, 1993.

[6] Liljequist, G.H. und Cehak, K.: Allgemeine Meteorologie. Vieweg & Sohn,Braunschweig, 1984.

[7] Deutscher Bundestag, Referat Oentlichkeitsarbeit: Protecting the

Earth. A Status Report with Recommendations for a New Energy Policy. Vo-

lume 1. Deutscher Bundestag, Bonn, 1991.

[8] Kiehl, J.T. and Trenberth, K.E.: Earth's annual global mean energy bud-

get. Bulletin of the American Meteorological Society, 1997, Volume 78, No. 2,197-208.

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