Statistik Non-Parametrik Uji Kruskal-Wallis

Deskripsi:

Uji Kruskal-Wallis pertama kali diperkenalkan oleh William H. Kruskal dan W. Allen Wallis pada tahun 1952. Uji ini merupakan salah satu uji statistik nonparametrik dalam kasus k sampel independen. Uji Kruskal-Wallis juga merupakan perluasan dari uji Mann-Whitney.

Tujuan:

menguji hipotesis nol bahwa k sampel independen berasal dari populasi yang sama atau identik dalam hal harga rata-ratanya

Syarat:• Pengamatan harus bebas satu sama lain (tidak

berpasangan/independent).• Tipe data setidak-tidaknya adalah ordinal.• Variabel yang diamati merupakan variabel

yang berdistribusi kontinyu.

Prosedur Penghitungan:

1)Masing-masing nilai observasi diberi ranking secara keseluruhan dalam satu rangkaian. Pemberian ranking diurutkan dari nilai yang terkecil hingga nilai yang terbesar. Nilai yang terkecil diberi ranking 1 dan nilai yang terbesar diberi ranking N (dimana N adalah jumlah seluruh observasi). Jika ada nilai yang sama, maka ranking dari nilai-nilai tersebut adalah rata-rata ranking dari nilai-nilai observasi tersebut.

2) Menghitung jumlah ranking dari masing-masing kolom (Rj).

3) Selanjutnya, uji Kruskal-Wallis dapat didefinisikan dengan rumus:

dimana,

H: nilai Kruskal-Wallis dari hasil penghitungan

Rj: jumlah rank dari kelompok/kategori ke-j

nj : banyaknya kasus dalam sampel pada kelompok/kategori ke-j

k: banyaknya kelompok/kategori

N: jumlah seluruh observasi (N=n1+n2+n3+………..+nk)

Jika ditemukan angka sama sebanyak lebih dari 25% nilai

observasi maka perlu adanya koreksi pada rumus penghitungan uji Kruskal-Wallis, dengan faktor koreksinya adalah:

dimana,• t : banyaknya nilai observasi tertentu yang sama pada

serangkaian nilai observasi

• N : jumlah seluruh observasi (N=n1+n2+n3+………..+nk)

Sehingga rumus uji Kruskal-Wallis dengan kasus angka sama berjumlah banyak adalah:

Prosedur:1) Menentukan Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

H0 : k sampel berasal dari populasi yang samaH1 : k sampel berasal dari populasi yang berbeda

2) Memberikan ranking pada masing–masing nilai observasi dengan urutan dari ranking 1 hingga N.

3) Menentukan harga R (jumlah ranking) untuk masing–masing kelompok atau kategori.

4) Menghitung nilai HJika ditemukan angka sama sebanyak lebih dari 25% nilai observasi, maka hitunglah harga H dengan menggunakan Rumus (8.3). Jika tidak, gunakanlah Rumus (8.1).

5) Ketentuan penggunaan TabelMetode untuk menilai signifikansi harga observasi H bergantung pada besarnya k dan banyaknya sampel pada setiap kelompok/kategori tersebut.

• Jika k=3 dan nj 5 (j=1;2;3), Tabel O dapat digunakan untuk menentukan nilai yang berkaitan dengan harga di bawah H0.

• Dalam kasus lain, dapat digunakan Tabel C dengan derajat bebas (k-1).

6) Keputusan H0 akan ditolak jika nilai H (k-1) atau nilai p-value sebaliknya H0 akan gagal ditolak jika nilai H < (k-1) atau nilai p-value > .

Contoh SoalUji Kruskal-Wallis

Contoh 1Untuk membandingkan tingkat keefektifan dari 3 macam metode diet, maka sebanyak 22 orang mahasiswi yang dipilih dari suatu universitas dibagi ke dalam 3 kelompok yang mana masing-masing kelompok mengikuti program diet selama empat minggu sesuai dengan metode yang telah dibuat. Setelah program diet berakhir, maka diperoleh banyaknya berat badan yang hilang (dalam kg) dari mahasiswi-mahasiswi tersebut sebagai berikut:

Ujilah Ho yang menyatakan bahwa tingkat keefektifan dari ketiga metode diet di atas adalah sama, terhadap hipotesis alternatif yang menyatakan bahwa tingkat keefektifan ketiga metode di atas adalah tidak sama (α = 5%).

Jawaban :• Hipotesis

H0 : tingkat keefektifan dari ketiga metode diet adalah samaH1 : tingkat keefektifan dari ketiga metode diet adalah

tidak sama• Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test• Tingkat Signifikansi : α=5%, • Distribusi sampling :

H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1), sehingga wilayah kritis dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel C.

• Penghitungann1=6 ; n2=7 ; n3=9 ; N= n1 + n2 + n3 = 22

• Daerah penolakan : H (k-1) atau p-value

• Keputusan :

0,05(2) = 5,991

Karena 15,633 > 5,991 H > 0,05(2) , maka Tolak H0

• Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa tingkat keefektifan dari ketiga metode diet tersebut adalah sama.

Contoh 2Manajemen  restoran fastfood sangat ingin tahu pendapat langganannya mengenai  pelayanan, kebersihan dan kualitas makanan dari restorannya. Pihak  management ingin membandingkan hasil rating pelanggan untuk tiga shift  yang berbeda, yaitu:Shift 1: 16.00 – midnight Shift 2: midnight – 08.00 Shift 3: 08.00 – 16.00Pelanggan diberi kesempatan untuk mengisi kartu saran. Pada penelitian ini 10 kartu saran (customer card) dipilih secara random, untuk setiap shift. Rating digolongkan dalam empat kategori yaitu 4 = sempurna, 3 = baik, 2 = biasa, 1 = buruk. Diperoleh data seperti dibawah ini:

Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapatkah pihak manajemen mengatakan bahwa karyawannya memberikan pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan yang sama sepanjang hari?

Jawaban :• Hipotesis

H0 : Tidak ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.

H1 : Ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.

• Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test. Persoalan di atas merupakan persoalan k sampel independent. Karena data berada pada skala pengukuran ordinal (ranking), maka Kruskal-Wallis Test dapat digunakan.

• Tingkat Signifikansi : α = 0,05• Distribusi sampling :

H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1), sehingga wilayah kritis dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel C.

• Penghitungann1= n2= n3=10 ; N= n1 + n2 + n3 = 30

• Daerah penolakan : H (k-1) atau p-value • Keputusan :

0,05(2) = 5,991

Karena 3,01 < 5,991 H < 0,05(2) , maka gagal tolak H0

• Kesimpulan :

Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.

Penyelesaian Contoh Soal 2 tanpa menggunakan faktor koreksi

• Daerah penolakan : H (k-1) atau p-value • Keputusan :

0,05(2) = 5,991Karena 2,645 < 5,991 H < 0,05(2) , maka gagal tolak H0

Dari sini dapat dilihat bahwa H hasil perhitungan dengan menggunakan faktor koreksi lebih besar daripada hasil perhitungan tanpa faktor koreksi. Sehingga H dengan faktor koreksi lebih signifikan dalam menolak H0.

Contoh 3Sebuah perusahaan ingin mengetahui apakah terdapat perbedaan keterlambatan masuk kerja antara pekerja yang rumahnya jauh atau dekat dari lokasi perusahaan. Misalkan jarak rumah dikategorikan dekat ( kurang dari 10 km), sedang (10 – 15 km) dan jauh ( lebih dari 15 km). Keterlambatan masuk kerja dihitung dalam menit keterlambatan selama sebulan terakhir.Penelitian dilakukan pada tiga kelompok pekerja dengan sampel acak, dengan masing-masing sampel untuk yang memiliki jarak rumah dekat sebanyak 5 sampel, jarak sedang sebanyak 4 sampel dan jauh sebanyak 3 sampel. Ujilah dengan tingkat kepercayaan 95 %. Datanya sebagai berikut :

Jawaban :

• HipotesisH0 : Tidak ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga

kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya.H1 : Ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga kategori

pekerja berdasarkan jarak rumahnya

• Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test. Karena data berada pada skala pengukuran rasio (lama keterlambatan), maka kruskal-wallis dapat digunakan.

• Tingkat Signifikansi : α = 0,05• Penghitungan

n1= 5 ; n2= 4 ; n3= 3 ; N= n1 + n2 + n3 = 12

• Daerah penolakan : p-value • Keputusan :

Karena k=3 dan nj 5 (j=1;2;3), maka kita dapat menggunkan Tabel O untuk menentukan nilai yang berkaitan dengan harga di bawah H0.

Dari tabel O untuk nilai p-value untuk H = 1,004 adalah lebih besar dari 0,103 (p-value > 0,103). Karena p-value > 0,05 , maka gagal tolak H0

• Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya.