1

BAB II

ANALISIS KAI KUADRAT

Tujuan perkuliahan

1. Mahasiswa melakukan uji homogenitas data menggunakan analisis kai

kuadrat

2. Mahasiswa melakukan uji normalitas data menggunakan analisis kai kuadrat

A. Uji normalitas data menggunakan

Jika sebuah sampel acak berukuran n telah diambil dengan rata-rata x dan

simpangan baku S, maka kurva normal yang cocok atau sesuai dengan data

tersebut yaitu

Untuk keperluan ini data harus disusun dalam daftar distribusi frekwensi yang

terdiri dari atas k buah kelas interval.

Untuk pengujian hipotesis, harus dihitung frekwensi teoritik Ei dan

mengetahui frekwensi nyata atau hasil observasi Oi yang diperoleh dari

sampel pada tiap kelas interval. Ei diperoleh dari hasil kali antara n dengan

peluang atau luas di bawah kurva normal pada interval yang bersangkutan.

Selanjutnya dihitung X2 menggunakan rumus

E = Frekwensi diharapkan

O = Frekwensi pengamatan

dk = (k – g – 1),

k = banyaknya kelas interval

g = banyaknya parameter yang ditaksir (µ dan ). Karena parameter yang

ditaksir hanya µ dan tentu dk = k – 3. Statistik yang diperlukan menguji

normalitas suatu populasi berdasarkan sampel acak dengan menggunakan

rumus di atas adalah rata-rata data, simpangan baku, batas bawah dan batas

2

atas interval, dan skor z. Rata-rata dan simpangan baku ditentukan setelah

data dari sampel dibuat interval yang diingini peneliti.

Untuk pengujian hipotesis, harus dihitung frekwensi teoritik Ei dan

mengetahui frekwensi nyata atau hasil pengamatan O i yang diperoleh dari

sampel pada tiap kelas interval. Ei diperoleh dari hasil kali antara n dengan

peluang atau luas di bawah kurva normal pada interval yang bersangkutan.

Selanjutnya dihitung X2 menggunakan rumus

E = Frekwensi diharapkan

O = Frekwensi pengamatan

dk = (k – g – 1), k = banyaknya kelas interval dan g = banyaknya parameter

yang ditaksir (µ dan ). Statistik yang diperlukan menguji normalitas suatu

populasi berdasarkan sampel acak dengan menggunakan rumus di atas

adalah rata-rata data, simpangan baku, batas bawah dan batas atas interval,

dan skor z. Rata-rata dan simpangan baku ditentukan setelah data dari

sampel dibuat interval yang diingini peneliti. Misalnya data tentang tinggi

dalam cm yang diperoleh dari suatu sampel yang berukuran 100 seperti pada

tabel di bawah ini.

Tinggi (cm) F

140 – 144 7

145 – 149 10

150 – 154 16

155 – 159 23

160 – 164 21

165 – 169 17

170 – 174 6

Jumlah 100

Langkah-langkah menghitung normalitas data tersebut adalah sebagai

berikut.

3

Menghitung rata-ratanya rumus rata-rata x = dan menggunakan

tabel penolong dibawah ini.

Tinggi (cm) Titik tengah d F d.f

140 – 144 142 7 994

145 – 149 147 10 1470

150 – 154 152 16 2432

155 – 159 157 23 3611

160 – 164 162 21 3403

165 – 169 167 17 2839

170 – 174 172 6 1032

Jumlah 100 15780

Rata-rata = x = = 157.80

Mengjitung standar deviasi dengan menggunakan tabel penolong dan rumus

Tinggi (cm) .fi .d=xi .xi2 .fixi .fixi

2

140 – 144 7 142 20164 994 141148

145 – 149 10 147 21609 1470 216090

150 – 154 16 152 23104 2432 369664

155 – 159 23 157 24649 3611 566927

160 – 164 21 162 26244 3403 551124

165 – 169 17 167 27889 2839 474113

170 – 174 6 172 29584 1032 177504

Jumlah 100 15780 2496510

,

.xi = tanda kelas ke-i

.fi = frekwensi yang sesuai dengan kalas xi

4

.n =

= 65,52 atau S = 8,09

Selanjutnya,

Batas bawah kelas interval ke 1 adalah 139,5 dan batas atasnya adalah 144,5

Batas bawah kelas interval ke 2 adalah 144,5 dan batas atasnya adalah 149,5

Dan seterusnya.

Selanjutnya;

Skor standar dari 139,5 adalah z = . (Pada tabel z

dilihat skor 2.2 dibawah 6 diperoleh 0.4881).

Skor stantar dari 144,5 adalah z = . (Pada tabel z dilihat

skor 1.6 di bawah 4 diperoleh 0.4495). Luas di bawah kurva untuk interval 1

adalah 0.4881 – 0.4495 = 0.0386, sehingga frekwensi teoritik kelas interval

pertama adalah 100 x 0.0386 = 3,86 = 3,9 (dibulatkan)

Batas KlsSkor z

batas klsSkor real

Luas interval kls

Frek diharapkan (Eij)

Frek pengamatan (Oij)

139,5 - 2,26 - 0,48810,0386 3,86 7

144,5 - 1,64 - 0,44950,1010 10,10 10

149,5 - 1,03 - 0,34850,1894 18,94 16

154,5 - 0,41 - 0,15910,2423* 24,23 23

159,5 0,21 0,08320,2135 21,35 21

164,5 0,83 0, 29670,1298 12,98 17

169,5 1,45 0,42650,0543 5,43 6

174,5 2,06 0,4808

Catatan : -0,1591 – 0,0832 = -0,2423, Karena luas, maka -0,2423 menjadi

0,2423

5

Gunakan rumus:

= = 4,27

.dk = 7 – 3 = 4

.α = 0,05

9,49

Kriteria pengujian:

H0 : X2hit < X2 tab sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

H1 : X2hit > X2 tab sampel berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal.

Karena (X2hit = 4.27) < (X2 tab = 9.49) pada taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 4

tentu sampel tersebut berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

Latihan

1. Data berikut ini merupakan data hasil ujian kalkulus mahasiswa semester

1 tahun kuliah 2007/2008 (data iktif ). Anda diminta untuk menyelidiki

normalitas populasi yang memuat sampel tersebut.

60 49 48 74 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 81 74 73 68 72 85 51 65 93 83 86 90 35 83 73 74 43 86 88 92 93 76 71 90 70 65 74 82 90 61 72 97 92 88 81 70 74 99 95 80 59 71 77 63 60 83 82 60 67 89 63 76 63 88 70 66 88 75 45

2. Data yang disajikan pada tabel distribusi frekrensi di bawah ini merupakan

data fiktif hasil belajar mahasiswa semester I pada mata kuliah k

3. alkulus. Anda diminta untuk menyelidiki normalitas populasi yang memuat

sampel tersebut.

Nilai (f) Frekwensi nilai

31 – 40 2

41 – 50 5

51 – 60 7

61 – 70 15

71 – 80 24

81 – 90 19

6

91 – 100 10

B. Uji homogenitas varian populasi menggunakan

Uji homogenitas varians menggunakan rumus Χ2 = ln 10 {B – ∑ (ni – 1) log

si2} disebut Uji Batlett.

Catatan:

varian , Si adalah varian ke-i pada sampel ke-i

.ln 10 = 2,3026

.s2 = adalah varians gabungan

B = log s2 ∑(ni – 1)

Misalkan ada sampel berukuran n1, n2, n3, . . . , nk dan Yij, i = 1, 2, 3, . . . , k

dan j = 1, 2, 3, 4, . . . , nk. Hasil pengamatan disusun seperti tabel dibawah ini.

Sampel ke

1 2 3 K

Data hasil

pengamatan

Y11 Y21 ... .Yk1

Y12 Y22 ... Yk2

... ... ... ...

Y1n Y2n ... Ykn

Varians masing-masing sampel tersebut adalah . . . . .

Selanjutnya, untuk memudahkan perhitungan, statistik yang dibutuhkan

untuk uji Bartlett disajikan dalam tabel di bawah ini.

Samp Dk .si2 .log si

2 (dk) log si2

7

ke

1 .n1 – 1 .s12 .log si

2 (n1 - 1) log s12

2 .n2 – 1 .s22 .log s2

2 (n2 - 1) log s22

.k .nk – 1 .sk2 .log sk

2 (nk - 1) log sk2

Jumlah ∑( ni – 1) - - ∑( ni - 1) log sk2

Hipotesis yang diperhatikan.

H0 : Semua varians sama H1 : Ada varians yang berbeda

Jabaran hipotesis statistik pengujian varians adalah sebagai berikut.

H0 : = = = . . . =

H1 : Sekurang-kurangnya ≠

Kriteria pengujian

Tolak H0 jika χh2 ≥ χt

2 . Sebaliknya terima H0

Contoh.

Di bawah ini diberikan 4 buah sampel yang diambil secara acak.

C1 C2 C3 C4

12 14 6 9

20 15 16 14

23 10 16 18

10 19 20 19

17 22

Hipotesis:

H0 : Tidak ada varians yang berbeda H1 : Ada varians yang berbeda

Atau

H0 : σ12 = σ2

2 = σ32 = σ4

2 H1 : Sekurang-kurangnya σ12 ≠ σ2

2

a. Dicari varians semua sampel dengan rumus

8

C1 C2 C3 C4

Xi Xi2 Xi Xi

2 Xi Xi2 Xi Xi

2

12 144 14 196 6 36 9 81

20 400 15 225 16 256 14 196

23 529 10 100 16 256 18 324

10 100 19 361 20 400 19 361

17 289 22 484  

Rumus :

Sampel 1: n = 5 = 82, = 1462. ( = 82)2 = 6724

= 29.3

Sampel 2: n = 5, = 80, = 1366 ( = 80)2 = 6400

= 21.2

Sampel 3: n = 4, =58, = 948 ( =58)2 = 3364

= 35.7

Sampel 4: n = 4, =60 = 948 ( =60)2 = 3600

= 20.7

Buat tabel penolong seperti di bawah ini.

Samp ke .dk .si2 .log si

2 (dk) log si2

1 5 – 1 29,3 1,4669 5,8675

2 5 – 1 21,6 1,3344 5,3378

3 4 – 1 35,7 1,5527 4,6580

9

4 4 – 1 20,7 1,3197 3,9479

Jumlah 14 19,8112

Gunakan rumus:

Χ2 = ln 10 {B – ∑ (ni – 1) log si2}

Catatan:

.ln 10 = 2,3026

.s2 =

= 26,6286

B = log s2 ∑(ni – 1) = (log 26,6286)x14 = 19,9549

χ2 = ln 10 {B – ∑ (ni – 1) log si2}

= 2,3026{19,9549 – 19,8112}

= 0,3308

χtab2 = 7,81, dk = 4 – 1 = 3, α = 0,05

Karena ( = 7,81) > ( = 0,3308), maka data tersebut memiliki varians

yang sama atau sampel tersebut bersumber dari populasi yang homogen.

Latihan

Ambil data fiktif yang terdiri dari 4 buah sampel. Sampel 1 terdiri dari 15 data,

sampel 2 terdiri dari 18 data, sampel 3 terdiri dari 18 data dan sampel 4

terdiri dari 20 data. Kemudian uji nomogenitas data tersebut!

C. UJI INDEPENSI ANTARA DUA FAKTOR