UKURAN PEMUSATAN DATA (MEASURES OF CENTRAL TENDENCY)

suatu ukuran untuk meringkas/menyimpulkan sekelompok data dalam satu nilai tunggal yang spesifik yang letaknya di tengah dari nilai-nilai pengamatan yang terhimpun dalam sekelompok data

UKURAN PEMUSATAN

• UKURAN GEJALA PUSAT

- Rata-rata hitung - Rata-rata ukur - Rata-rata harmonik - Modus

• UKURAN LETAK

- Median- Kuartil - Desil - Persentil

MEAN (RATA-RATA HITUNG)

• Dihitung dengan membagi jumlah nilai oleh banyak data

atau

• Atau secara sederhana

• Dimana ∑xi = jumlah semua harga x dan n = banyak data

x̄=∑i=1

n

x i

nx̄= x 1+x 2+. ..+x n

n

x̄=∑ x i

n

• Sifat ModusKurang peka terhadap perubahan nilai maupun jumlah pengamatan Tidak reliabel (tidak dapat dipercaya)

MEDIANHarga yang ditengah apabila angka-angka itu disusun menurut besarnya. Jika sekumpulan angka itu genap banyaknya, maka median ini adalah rata-rata dua bilangan yang ditengah. Untuk data berjumlah genap maka median terletak pada data ke (n + 1)/2

• Contoh:• Data: 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10• Disusun berurut: 4, 5, 7, 8. 10, 10, 12

• Me = 8• Data berukuran genap : 12, 7, 8, 14, 16, 19, 10, 8• Disusun berurut: 7, 8, 8, 10, 12, 14, 16, 19• Me = ½ (10 + 12) = 11

• Median

Kurang peka terhadap perubahan nilai pengamatan tetapi peka jumlah pengamatan

Kurang reliabel (kurang dapat dipercaya)

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS

Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :

1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri.

2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka kurva miring ke kanan.

3) Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka kurva miring ke kiri.

Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan :

Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)

KUARTIL

• Jika sekumpulan data dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada tiga buah kuartil: K1, K2, K3. Untuk menentukan nilai kuatil:

• Susun data menurut urutan nilainya

• Tentukan letak kuartilnya

• Tentukan nilai kuartilnya

Kuartil adalah nilai yang membagi sekelompok data menjadi empat bagian yang sama sesudah disusun menurut urutan nilainya.

X - Mod = 3 ( X− Med )

I II III IV

K1 K2 K3 K4

MEDIAN

DESIL

• Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil (D1, D2, ….,D9). Desil ditentukan dengan jalan:a. Susun data menurut urutan nilainya

b. Tentukan letak desil

c. Tentukan nilai desil

Letak desil = Di = data ke

dengan i = 1, 2, ….., 9

PERSENTIL

Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka didapat 99 pembagi dan tiap pembagi dinamakan persentil (P1, P2, ….,p99). Persentil ditentukan dengan jalan:

a. Susun data menurut urutan nilainya b. Tentukan letak persentil c. Tentukan nilai persentil

Letak persentil = Pi = data ke

dengan i = 1, 2, ….., 99

i( n+1)10

i( n+1)100

Contoh

Terdapat 10 karyawan suatu perusahaan ‘X’ akan dilihat rata-rata hari tidak masuk selama satu bulan. Hasil pengamatan sebagai berikut :

0 0 0 0 0 1 1 2 2 26

UKURAN PENYIMPANGAN

DEFINISI

Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.

JENIS UKURAN PENYIMPANGAN

Terdiri dari:

a. Rentang b. Rentang antar kuartil c. Simpangan (deviasi) kuartil d. Rata-rata simpangan e. Simpangan baku (deviasi standart)f. Varians g. Koefisien variasi h. Kemencengan

Rentang, rentang antar kuartil dan simpangan kuartil

• Rentang = data terbesar – data terkecil

• Rentang antar kuartil = K3 – K1, dimana

• K3 = kuaril ketiga dan K1 = kuartil pertama

• Simpangan kuartil/deviasi kuartil/rentang semi antar kuartil harganya setengah dari rentang antar kuartil

• SK = ½ (K3 – K1)

Simpangan baku/Deviasi Standar dan variansi

• Variansi (s2) adalah harga penyimpangan/deviasi yang juga memperhitungkan deviasi tiap data terhadap meannya (rata-ratanya)

• Deviasi standar (s) adalah akar positif variansi

Rumus:

s=√( xi− x̄ )2

n−1s

2

=∑ f i( xi− x̄ )

2

n−1

Kemencengan

Harga yang menunjukkan seberapa jauhkah distribusi itu menyimpang dari simetrik. Apabila suatu distribusi itu simetrik, dan bermodus satu, maka harga rata-rata (mean), median dan modus berimpit (sama besar). Untuk distribusi yang tidak simetrik, harga-harga tengah itu tidak sama. Semakin menceng distribusinya, maka semakin besar jarak antara mean dan modus.

Rumus:

Km = rata-rata – modus/deviasi standar

Untuk distribusi yang tidak terlalu menceng, rumus diatas dapat diganti dengan:

Km = (3Xrata-rata – modus/deviasi standar)

Dari rumus diatas terlihat jelas bahwa untuk distribusi yang simetrik harga kemencenganya = 0. Untuk distribusi yang mempunyai mean lebih besar dari modus, harga kemencengannya positif, dan distribusinya dinamakan menceng positif (kekanan). Sebaliknya jika mean lebih kecil dari modus, harga kemencengannya negatif dan distribusinya dinamakan menceng negatif (kekiri)

• Km = 0 distribusi simetrik

• Km < 0 distribusi menceng kekiri

• Km > 0 distribusi menceng ke kanan

Ukuran Penyebaran Relatif

• Mengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatif

• Penggunaan ukuran relatif memberikan manfaat :

– Data mempunyai satuan pengukuran yang berbeda

– Data mempunyai satuan ukuran yang sama

Ukuran Penyebaran Relatif

• Koefisien range

• Koefisien deviasi rata-rata

• Koefisien deviasi standar

Koefisien Range

Pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatif

• Rumusan :

KR = ( (La – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %

La : Batas atas data atau kelas tertinggi

Lb : Batas bawah data atau kelas terendah

Koefisien Deviasi Rata – Rata

Ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya

Rumus :

KMD = [ MD / x ] x 100%

MD = Deviasi rata - rata

X = Nilai rata – rata data

Koefisien Standar Deviasi

Ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase

• Rumus

KSD = [ s / x ] x 100 %

S = Standar deviasi

X = Nilai rata – rata data