Çukurova Ünİversİtesİ fen bİlİmlerİ …ve teoremleri verdik. Üçüncü bölümünde grup...

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Melek ŞENOL

GRUP HALKALARI VE ÖNEMİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ADANA, 2011



Melek ŞENOL


MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez 18/07/2011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir. ……………….................. ………………………….. ..………………............... Prof. Dr. Naime EKİCİ Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No:

Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL Enstitü Müdürü

Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

I

ÖZ



Melek ŞENOL


MATEMATİK ANABİLİM DALI

Danışman :Prof. Dr. Naime EKİCİ Yıl: 2011, Sayfa: 89 Jüri :Prof. Dr. Naime EKİCİ :Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK :Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT

Bu çalışmada, grup halkası konusunu ele aldık. Grup halkasının sıfır bölensiz olduğu özel bir kaç durumu inceledik. [ ] grup halkasından cismine bir dönüşümü tanımlayarak, ∈ [ ] idempotent eleman olmak üzere nin cisminin asal alt cismi tarfından içerildiğini gösterdik. [ ] grup halkasının hangi şartlar altında asal olduğunu söyledik. Her grubu için kompleks sayılar cismi olmak üzere [ ] nin yarı basit olduğunu söyledik. sonlu grup olmak üzere [ ] grup halkasının homomorfizmalarına değindik. Grup halkasında ve serbest grup halkasında türev tanımını vererek Fox türevinin uygulamasında kullanacağımız bir teorem ve bu teoremin uygulaması amacı ile bir kaç örnek verdik. Sonlu üreteçli, değişmeli grubu için ( ) integral grup halkasının birim grubunu ve ( ) nin otomorfizmasını hesapladık. Ayrıca grup halkasında ortaya konan hipotezleri verdik.

Anahtar Kelimeler: Grup, Halka, Cisim, Grup Halkası , Fox Türevleri

II

ABSTRACT

MSc. THESIS

GROUP RINGS AND THE IMPORTANCE OF THE SUBJECT

Melek ŞENOL

ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

DEPARTMENT OF MATHEMATİCS

Supervisor :Prof. Dr. Naime EKİCİ Year: 2011, Pages: Jury :Prof. Dr. Naime EKİCİ :Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK :Assoc. Prof. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT

In this study, we deal with the concept of group ring. We survey some case which group ring has no zero divisors. We define a map , from the group ring [ ] into the field . Let ∈ [ ] be an idempotent and we have shown that is contained in the prime supfield of . We mention some condition which the group ring [ ] is prime. Let be field of complex numbers, we say that for all group rings , [ ] is semisimple. Let be finite group, we obtain homorphisms of the group ring [ ]. We define derivation in the group ring and in the free group ring and we establish a theorem which we use applications of Fox’s derivation and we have some examples with applications of this theorem. Let be a finitely generated abelian group, we compute the group of units of the integral group ring ( ) and the group of automorphisms of ( ). Furthermore, we mention hypothesis in the group ring.

Key Words: Group, Ring, Field, Group Ring, Fox’s Derivation

III

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın her aşamasında hiçbir zaman yardımlarını ve desteğini

esirgemeyen, bilgisi ve kişiliğiyle örnek aldığım saygıdeğer danışmanım Prof. Dr.

Naime EKİCİ’ye sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca hiçbir zaman desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan

sevgili babam Osman ŞENOL, annem Kadiriye ŞENOL, ablam Meral ERDEM,

abim Gürsel ŞENOL’a teşekkür ederim.

Son olarak Onur YAĞCI’a, Ç.Ü. Matematik bölümünün saygıdeğer

öğretim üyelerine ve araştırma görevlisi arkadaşlarıma yardım, destek ve

teşviklerinden dolayı teşekkür ederim.

IV

İÇİNDEKİLER SAYFA

ÖZ ........................................................................................................................ I

ABSTRACT ........................................................................................................ II

TEŞEKKÜR ...................................................................................................... III

İÇİNDEKİLER .............................................................................................. …..V

1. GİRİŞ .............................................................................................................. 1

2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER ................................................................. 3

2.1 Ayrışım ve Bir Kümenin Kardinalitesi....................................................... 3

2.2. Gruplar .................................................................................................... 4

2.3. Halka........................................................................................................ 9

2.4. Cisim...................................................................................................... 12

2.5. Modül .................................................................................................... 13

2.6. Vektör Uzayları ...................................................................................... 15

2.7. Lineer Dönüşümler ve Matrisler ............................................................ 17

2.8. İç Çarpım Uzayları ................................................................................ 19

2.9. Serbest Gruplar ...................................................................................... 21

2.10. Grup Etkisi .......................................................................................... 22

2.11. Jacobian Matris ve Taylor Serisi........................................................... 23

3. GRUP HALKASI NEDİR ............................................................................ 25

3.1. Giriş ................................................................................................... 25

3.2. Sıfır Bölen .............................................................................................. 28

3.3. Idempotent ............................................................................................. 37

3.4. Yarı Basitlik ........................................................................................... 45

4. GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR .................................. 55

5. GRUP HALKASINDA TÜREV ................................................................... 59

5.1. Serbest Grup Halkasında Türev ........................................................... 61

5.2. Fox Türevlerinin Uygulamaları .............................................................. 67

6. DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER .................... 77

6.1. ( ) nin Birimleri ................................................................................. 77

6.2. ( ) nin Otomorfizmaları ...................................................................... 80

V

7. GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER ........................ 83

KAYNAKLAR .................................................................................................. 87

ÖZGEÇMİŞ ...................................................................................................... 89

1.GİRİŞ Melek ŞENOL

1

1.GİRİŞ

Grup halkası konusu oldukça eskidir. Grup halkası, 1854 yılında A. Cayley’in

“ On the Theory of Groups as Depending on the Symbolic Equation = 1, Phil.

Mag., 7, 40-47” makalesinde ele alınmış ve 1897 yılında T. Molien tarafından tam

olarak tanıtılmıştır. Grup halkası konusu R. Brauer, F. G. Frobenius, E. Noether ve I.

Schur’ın çalışmalarından sonra grup temsillerindeki uygulamalarından dolayı önem

kazanmaya başlamıştır.

1960 lı yıllarda grup halkası konusu bilim adamlarının etkili bir şekilde

dikkatini çekmeye başladı. I. Kaplansky, halka teorisindeki ünlü problemlere grup

halkası sorularının dahil olmasını sağlamıştır. Böylece grup halkası, halka teorisinin

ilginç alanlarından biri oldu. Grup halkası teorisi çeşitli cebirsel teori konularında

karşımıza çıkmaktadır. Özellikle grup temsillerinin gelişmesinde merkezi bir rol

oynamaktadır. Grup halkası, matematiğin homolojik cebir, cebirsel topoloji ve

cebirsel -teorisi gibi dalları için de önemlidir. Çağdaş cebirciler S.A.Amitsur,

H.Bass, E. Formanek, N. D. Gupta , I. N. Herstein, G. Higman, A. V. Jategaonkar, I.

Kaplansky, W. May, K. W. Roggenkamp, W. Rudin e H. J. Zassenhaus yaşamları

boyunca alanın gelişmesi için çok büyük katkıda bulunmuşlardır. Ayrıca D. S.

Passman ve S. K. Sehgal da alana yaptıkları önemli katkılardan dolayı bu listeye

eklenmelidir.

Grup halkalarıyla ilgili yeterli Türkçe kaynak bulunmamaktadır. Bu tezin

temel amaçlarından birisi de bu konudaki eksikliği gidermektir. Bu nedenle grup

halkaları hakkında yazılmış temel kaynaklar ve makaleler incelenerek bir derleme

yapılmış ve konunun daha iyi anlaşılmasını sağlayacak örnekler verilmiştir.

Tezin ikinci bölümünde çalışmamızda kullanmış olduğumuz bazı temel tanım

ve teoremleri verdik.

Üçüncü bölümünde grup halkasının nasıl inşa edildiğinden, grup halkasında

toplama ve çarpmanın nasıl tanımlandığından bahsettik. Grup halkası konusunun

kafamızda canlanabilmesi için somut birkaç örnek verdik. Grup halkasında sıfır

bölensizliğin, grubun yapısına bağlı olarak özel birkaç durumda sağlandığını

gösterdik. Bir [ ] grup halkasından bir cismine dönüşümü tanımladık ve

1.GİRİŞ Melek ŞENOL

2

, [ ] nin bir idempotent elemanı olmak üzere nin nın asal alt cisminde

içerildiğini ispatladık. [ ] grup halkasının hangi şartlar altında asal olduğunu

söyledik. Bu bölümde son olarak yarı basitlik konusuna değindik ve her grubu için kompleks sayılar cismi olmak üzere [ ] nin yarı basit olduğunun ispatını verdik

(D. S. Passman, 1976).

Dördüncü bölümde grubun sonlu olması durumunda grup halkasındaki

homomorfizmalardan bahsettik.

Beşinci bölümde herhangi bir çarpımsal grubu ve rasyonel tam sayıların halkası ile ilişkilendirilmiş grup halkasını ele alarak grup halkasından grup halkasına

bir dönüşüm tanımlayarak bu dönüşüme grup halkasında bir türev dedik ve türevin

sağladığı özellikleri verdik. Serbest grup halkasını ve elemanlarını tanımladık.

serbest grubunun her bir üretecine karşılık gelen ye göre türevi tanımladık ve

bu türevin = , özelliğine sahip olduğunu ve ( ) ⟶ ( ) e bir ve yalnız bir

türev olduğunu söyleyip bu türevin formülünü verdik (R. H. Fox, 1953). Bir

serbest grubunun bir üretecinin bir kuvvetinin türevinin hesaplanabilmesi için

geliştirilmiş formülü verdik ve bu formülü anlayabilmemiz için ∈ elemanı alarak

türev hesabının nasıl yapılacağına dair örnekler verdik. Fox Türevinin

uygulamalarına değindik. bir serbest grup ve , nin normal alt grubu olmak

üzere ∕ nin üreteç kümesinin nasıl belirleneceğine dair bir teorem verdik (Wan

Lin, 2000) ve bu teoremin uygulaması olarak örnekler vererek bu bölümü bitirdik.

Altıncı bölümde sonlu üreteçli, değişmeli grubu için ( ) integral grup

halkasının birim grubu ( ( )) yi hesapladık ve sonlu üreteçli değişmeli

olduğunda ( ) nin grup otomorfizmalarını inceledik.

Yedinci bölümde grup halkaları alanında karşılaşılan önemli problemlerden

bahsettik ve grup halkalarında hipotez olarak ortaya konulan problemleri verdik.

2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Melek ŞENOL

3

2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER

2.1.Ayrışım ve Bir Kümenin Kardinalitesi

Tanım 2.1.1 boş olmayan bir küme ve ∀ ∈ için kümeleri, nın bir takım alt

kümeleri olsun.

(i) ∀ ∈ için ≠ ∅

(ii) ∀ , ∈ için ∩ = ∅ ve

(iii) = ⋃ ∈ ise { } ∈ ailesine kümesinin bir ayrışımı denir.

Tanım 2.1.2 ≥ 2 olmak üzere , ,⋯ , kümeleri verilsin. O zaman

× × ⋯× = {( , ,⋯ , )| ∈ , 1 ≤ ≤ }

kümesine , ,⋯ , nin kartezyen çarpımı denir.

Tanım 2.1.3 ≥ 2 olmak üzere , ,⋯ , kümeleri verilsin. O zaman × × ⋯× kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesine , ,⋯ ,

üzerinde bir bağıntı denir.

Tanım 2.1.4 kümesi üzerinde bir bağıntısı verilsin.

(i) Eğer her ∈ için ise ye bir yansıyan bağıntı denir.

(ii) Eğer her , ∈ için iken ise ye bir simetrik bağıntı denir.

(iii) Eğer her , , ∈ için ve iken ise ye bir geçişken

bağıntı denir.

Eğer bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişken ise ye üzerinde bir denklik

bağıntısı denir.

Tanım 2.1.5 , üzerinde bir denklik bağıntısı ve ∈ olsun. = { ∈ | }

kümesine nın ye göre denklik sınıfı denir.


4

Tanım 2.1.6 : → fonksiyonu verilsin. Eğer her , ∈ için ( ) = ( )

iken = ise ye birebir fonksiyon denir. Eğer her ∈ içn ( ) = olacak

biçimde bir ∈ varsa ye örten fonksiyon denir. Eğer hem örten hem de birebir

ise ye birebir eşleme denir.

Tanım 2.1.7 bir küme olsun. Eğer = ∅ ise ya da bir pozitif tamsayı olmak

üzere {1,2,⋯ , } arasında birebir bir eşleme varsa ya bir sonlu küme denir. Sonlu

olmayan bir kümeye de sonsuz küme denir. Eğer sonlu ise ve ile {1,2,⋯ , } arasında birebir bir eşleme varsa sayısına nın kardinalitesi denir ve | | ile

gösterilir.

Sonlu kümelerde olduğu gibi bir sonsuz kümenin büyüklüğü de tanımlanır.

Bunun için bütün kümelerin sınıfı ve , ∈ için eğer dan ye birebir bir

eşleme tanımlıysa o zaman ~ olsun. “~” üzerinde bir denklik bağıntısıdır. yı

içeren denklik sınıfına nın kardinalitesi denir ve | | ile gösterilir. Eğer ,

elemanlı sonlu küme ise ~{0, 1, 2,⋯ , − 1} olacağından |{0, 1, 2,⋯ , − 1}| =

olur.

2.2.Gruplar

Tanım 2.2.1 boş olmayan bir küme olmak üzere × den ye tanımlı bir

∗ : × → , ( , ) → ∗

fonksiyona üzerinde bir ikili işlem denir.

Tanım 2.2.2 boş olmayan bir küme ve üzerinde bir ∗ ikili işlemi tanımlı olsun.

Eğer

(i) ∗ işlemi birleşme özelliğini sağlarsa; yani, her , , ∈ için

( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ ) ise


5

(ii) Her ∈ için

∗ = ∗ =

olacak şekilde bir ∈ varsa ( ye nin birim elemanı denir)

(iii) Her ∈ için

∗ = ∗ =

olacak şekilde bir ∈ varsa ( ne nın ters elemanı denir) o zaman ( ,∗) sıralı

ikilisine bir grup denir.

Eğer ( ,∗) grubunda fazladan her , ∈ için ∗ = ∗ ise bu gruba

değişmeli denir.

Tanım 2.2.3 bir grup olsun. Eğer ∀ ∈ için = olacak şekilde bir ∈

varsa ye nin bir sol birim elemanı ve eğer ∀ ∈ için = olacak şekilde bir ∈ varsa ye nin bir sağ birim elemanı denir.

Tanım 2.2.4 bir grup ve ∈ olsun. Eğer ∀ ∈ için = oluyorsa ye

nin bir sol sıfır elemanı ve eğer ∀ ∈ için = oluyorsa ye nin bir sağ sıfır

elemanı denir.

Tanım 2.2.5 ve iki grup ve : → fonksiyonu verilsin. Eğer her , ∈

için

( ) = ( ) ( )

ise ye den ye bir grup homomorfizması denir. Eğer ek olarak birebir ise

ye bir grup monomorfizması; örten ise ye bir grup epimorfizması ve hem


6

birebir ve hem de örten ise ye bir grup izomorfizması denir. Ayrıca , den ye

bir izomorfizma ise ye nin bir otomorfizması denir.

Tanım 2.2.6 : → bir grup homomorfizması olsun.

( ) = { ∈ | ( ) = }

kümesine nin çekirdeği denir.

Tanım 2.2.7 bir grup ve , nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer , nin

işlemine göre kapalı ve bu işleme göre bir grup ise o zaman ya nin bir alt grubu

denir ve ≤ ile gösterilir.

Tanım 2.2.8 bir grup ve ∈ olsun. Eğer = olacak şekilde bir pozitif

tamsayısı varsa bu pozitif tamsayılarının en küçüğüne nın mertebesi denir. Bu

durumda nın mertebesi sonludur denir. Eğer nın mertebesi sonlu değilse nın

mertebesi sonsuzdur denir.

Tanım 2.2.9 bir değişmeli grup ve ∈ olsun. Eğer bir ≥ 1 için = ise

ya torsiyon eleman denir. Her ∈ için elemanı torsiyon eleman ise ye

torsiyon grup denir. Eğer nin birimden başka torsiyon elemanı yoksa ye

torsiyonsuz grup denir.

Tanım 2.2.10 bir grup ve , nin verilmiş bir elemanı olsun. elemanının

merkezleyeni ( ) ile gösterilir ve

( ) = { ∈ | = }

olarak tanımlanır.

Tanım 2.2.11 bir grup, ≤ olsun. Bu takdirde


7

( ) = { ∈ | = }

kümesine nın içindeki normalleyeni denir.

Tanım 2.2.12 bir grup ve ⊆ olsun. nin i içeren bütün alt gruplarının

kesişimine tarafından üretilen alt grup denir ve ⟨ ⟩ ile gösterilir. e ⟨ ⟩ in bir

üreteç kümesi ve in elemanlarına da ⟨ ⟩ grubunun üreteçleri denir.

Tanım 2.2.13 bir grup olsun. Eğer = ⟨ ⟩ olacak şekilde bir ∈ varsa ye

tarafından üretilen devirli grup denir.

Tanım 2.2.14 bir grup, ∈ ve ≤ olsun.

= { ℎ|ℎ ∈ } ve = {ℎ |ℎ ∈ }

kümelerine sırasıyla ın deki sol koseti ve sağ koseti denir.

Tanım 2.2.15 bir grup ve ≤ olsun. ın deki farklı sol (sağ) kosetlerinin

sayısına ın deki indeksi denir ve [ : ] ile gösterilir.

Tanım 2.2.16 bir grup olsun. nin bir alt grubu ve bir elemanı olsun. Her ∈ için elemanına nin ya göre eşleniği denir.

= { ℎ |ℎ ∈ }

kümesine nın ya göre eşleniği denir.

Tanım 2.2.17 bir grup ve , nin bir alt grubu olsun. Eğer her ∈ için

=


8

ise ye nin bir normal alt grubu denir.

Tanım 2.2.18 bir grup ve , nin bir normal alt grubu olsun. / üzerinde bir

çarpma işlemi şöyle tanımlansın. Her , ∈ / için

( )( ) =

olsun. Bu işleme göre / bir gruptur ve bu gruba nin ile bölüm grubu denir.

Tanım 2.2.19 bir grup ve ⊲ olmak üzere

: → ⁄

∀ ∈ için

( ) =

şeklinde tanımlanan dönüşüm örten bir homomorfizmadır. Bu homomorfizmaya

doğal homomorfizma denir.

Tanım 2.2.20 , grubunun bir alt grubu olsun. Her : → otomorfizması için ( ) ≤ ise alt grubuna nin karakteristik alt grubu denir.

Tanım 2.2.21 bir grup ve , ,⋯ , nin elemanları olsun.

[ , ] =

elemanına ile nin komütatörü denir. ve , grubunun boştan farklı alt kümeleri olsun.

[ , ] = ⟨[ , ]: ∈ , ∈ ⟩


9

olarak tanımlanır. Burada = = ise [ , ] komütatör grubuna nin

komütatör alt grubu denir ve ile gösterilir.

Tanım 2.2.22 boştan farklı bir küme olsun. üzerinde tanımlı bire bir ve örten bir

fonksiyona üzerinde bir permütasyon denir. Bir kümesi üzerinde tanımlı bütün

permütasyonların kümesi ( ) ile gösterilir ve ( ) kümesi fonksiyonların

bileşke işlemine göre bir gruptur. ( ) grubuna kümesi üzerindeki simetrik

grup denir.

Tanım 2.2.23 bir grup ve bir küme olsun. Eğer bir : → ( )

homomorfizması varsa homomorfizmasına nin permütasyon temsili denir.

2.3.Halka

Tanım 2.3.1 boş olmayan bir küme olsun. üzerinde " + " ve " ⋅ " ikili işlemleri

verilsin. Eğer

(i) ( , +) bir değişmeli grup ise

(ii) çarpma işlemine göre birleşme özelliğine sahipse; yani her , , ∈

için

( ∙ ) ∙ = ∙ ( ∙ )

ise,

(iii) üzerinde dağılma özellikleri sağlanırsa; yani her , , ∈ için

∙ ( + ) = ∙ + ∙ ( + ) ∙ = ∙ + ∙

ise ( , +,∙) sıralı üçlüsüne bir halka denir.


10

Eğer her , ∈ için ∙ = ∙ ise halkaya değişmeli halka denir. nin

toplamsal birimi 0 ile gösterilir ve buna nin sıfırı denir. Eğer her ∈ için ∙ 1 = 1 ∙ = olacak şekilde 1 ∈ varsa 1 elemanına halkanın birim

elemanı ve halkaya da birimli halka denir.

Tanım 2.3.2 bir halka ve , ∈ olsun. Eğer , ≠ 0 iken = 0 ise ya sol

sıfır bölen ve ye sağ sıfır bölen denir. nin değişmeli olması durumunda sıfır

bölen ifadesi kullanılır.

Tanım 2.3.3 birim elemanlı ve değişmeli bir halka olsun. sıfır bölensiz ise ye

tamlık bölgesi denir.

Tanım 2.3.4 Eğer halkasında her ∈ için = 0 olacak biçimde bir pozitif

tamsayısı varsa bu sayılarının en küçüğüne nin karakteristiği denir. Eğer böyle

bir pozitif tamsayı yoksa nin karakteristiği 0 olarak tanımlanır. nin

karakteristiği ( ) ile gösterilir.

Tanım 2.3.5 bir halka ve ∈ olsun. = ise ∈ elemanına idempotent

eleman denir.

Tanım 2.3.6 bir halka ve ∈ olsun. Eğer bazı pozitif tam sayıları için = 0

oluyorsa elemanına nilpotent eleman denir.

Tanım 2.3.7 birimli bir halka ve 0 ≠ ∈ olsun. Eğer = 1 olacak şekilde ∈ varsa ye nın sağ tersi ve = 1 olacak şekilde ∈ varsa ye nın sol

tersi denir. Eğer ∈ olmak üzere = = 1 ise ye nın tersi ve ya da

tersinir (birimsel) eleman denir.

Tanım 2.3.8 bir halka ve , nin bir toplamsal alt grubu olsun. Eğer her ∈ ve ∈ için ∈ ise ya nin bir sol ideali ve her ∈ ve ∈ için ∈ ise ya nin bir sağ ideali denir. Eğer hem sol ideal ve hem de sağ ideal ise ya nin


11

bir ideali denir. ve {0 }, nin idealleridir. {0 } ye nin aşikar ideali denir. nin den farklı her idealine nin öz ideali denir.

Tanım 2.3.9 bir halka ve ⊆ olsun. nin i içeren bütün ideallerinin

kesişimine tarafından üretilen ideal denir ve ⟨ ⟩ ile gösterilir. Eğer ={ , ,⋯ , } ise ⟨{ , ,⋯ , }⟩=⟨ , ,⋯ , ⟩ ile gösterilir ve buna , ,⋯ , tarafından üretilen ideal denir. = 1 için ⟨ ⟩ idealine tarafından

üretilen temel ideal denir.

Tanım 2.3.10 , halkasının bir ideali olsun. nın her elemanı nilpotent eleman ise ya nil ideal; eğer bazı tamsayıları için = 0 ise ya nilpotent ideal denir.

Tanım 2.3.11 ve iki halka ve : ⟶ fonksiyonu verilsin. Eğer her , ∈

için

( + ) = ( ) + ( ) ve

( ) = ( ) ( )

ise ye den ye bir halka homomorfizması denir. Eğer ek olarak bire bir ise

ye bir halka monomorfizması, örten ise bir halka epimorfizması ve bire bir eşleme

ise bir halka izomorfizması denir. den ye tanımlı bir izomorfizmaya

otomorfizma denir.

Tanım 2.3.12 herhangi bir halka olsun. : ⟶ tanımlı bir fonksiyon olsun.

toplamsal grup otomorfizması olmak üzere her ∈ için ( ) = ( ) ( )

ise ya anti-otomorfizma denir.

Tanım 2.3.13 ve iki halka ve : ⟶ bir halka homomorfizması olsun.

( ) = { ∈ | ( ) = 0 }


12

kümesine nin çekirdeği denir.

Tanım 2.3.14 bir halka ve , nin bir ideali olsun. ≠ olmak üzere ⊂ ⊂ koşulunu gerçekleyecek şekilde nin bir ideali mevcut değilse ye nin bir

maksimal ideali denir.

Tanım 2.3.15 halkasının , idealleri için ⊆ ⇒ ⊆ veya ⊆

koşullarını gerçekleyen nin idealine asal ideal denir.

Tanım 2.3.16 bir halka = 0,1,⋯ olmak üzere tüm ( , ,⋯ ) sonsuz dizilerinin

kümesi [ ] ile gösterilsin. Burada > 0 tam sayısı ∀ ≥ için = 0 olacak

şekilde vardır. [ ] in elemanlarına üzerinde polinomlar denir. [ ] üzerinde " + "

ve " ∙ " işlemleri ∀( , ,⋯ ), ( , ,⋯ ) ∈ [ ] için

( , ,⋯ ) + ( , ,⋯ ) = ( + , + ,⋯ )

ve

( , ,⋯ ) ∙ ( , ,⋯ ) = ( , ,⋯ ), = 0,1,2,⋯ için =

şeklinde tanımlansın. Bu işlemler ile birlikte [ ] bir halkadır ve bu halkaya

üzerinde belirsizli polinom halkası denir.

2.4.Cisim

Tanım 2.4.1 birimli bir halka ve 0 ≠ 1 olsun. Eğer nin sıfırdan farklı her

elemanı tersinir ise ye bir bölüm halkası denir. Değişmeli bir bölüm halkasına

cisim denir.


13

Tanım 2.4.2 bir halka ve , nin boştan farklı bir alt kümesi olsun. Eğer , nin

işlemlerine göre kapalı ve bu işlemlere göre bir halka ise ya nin bir alt halkası

denir. bir cisim ve , nin bir alt halkası olsun. Eğer aynı zamanda bir cisim ise ye nin bir alt cismi denir. nin kendisinden farklı her alt cismine nin bir öz alt

cismi denir.

Tanım 2.4.3 Eğer cismi öz alt cisme sahip değilse bir asal cisimdir.

Tanım 2.4.4 tamlık bölgesi ve bir cisim olsun. Eğer nin bir alt halkası ≅ ve her ∈ ve 0 ≠ , ∈ için = olacak şekilde mevcut ise

cismine nin kesir cismi denir.

Tanım 2.4.5 bir cisim ve , nin bir alt cismi olsun. O zaman ye nin bir

cisim genişlemesi denir.

Tanım 2.4.6 bir cisim ve üzerinde bir belirsizinin polinom halkası [ ] olsun. [ ] in kesirler cismi ( ) ile gösterilir.

( ) = ( ) ( ) ( ), ( ) ∈ [ ] ve ( ) ≠ 0

dır. Burada sabit polinomlar nin elemanları ile gösterilirse , ( ) in bir alt cismi

olup ( ), nin bir cisim genişlemesi olur. ( ) e üzerindeki rasyonel

fonksiyonlar cismi denir.

Tanım 2.4.7 bir asal sayı ve ∈ ℕ olmak üzere eleman sayısı olan sonlu cisme

Galois Cismi denir ve ( ) ile gösterilir.

2.5.Modül

Tanım 2.5.1 bir halka, bir toplamsal değişmeli grup, işlemi


14

× ⟶ ( , ) ⟶

şeklinde tanımlı bir sol çarpım olsun. Eğer ∀ , ∈ ve , ∈ için

(i) ( + ) = +

(ii) ( + ) = +

(iii) ( ) = ( )

ise ya bir sol -modül denir. Eğer birimli bir halka olmak üzere ∀ ∈ için 1 = ise ya birimli sol -modül denir. Benzer şekilde sağ -modül ve birimli

sağ -modül tanımlanır.

Tanım 2.5.2 bir halka, bir -modül ve ∅ ≠ ⊆ olsun. Eğer , nın

toplamsal alt grubu ve ∀ ∈ , ∈ için ∈ ise ye nın alt modülü denir.

Bir bölüm halkası üzerindeki bir vektör uzayının bir alt modülüne alt uzay denir.

Tanım 2.5.3 Bir modülü verilsin. Eğer nin alt modülleri sadece {0} ve ise

ye basit modül denir.

Tanım 2.5.4 bir -modül olsun. { ∈ | = 0} kümesi nin bir idealidir. Bu

ideal sıfıra eşitse ye faithful modül denir. den ye bir halka homomorfizması

verilsin. Eğer bir faithful -modül ise halka homomorfizmasına faithful

homomorfizm denir.

Tanım 2.5.5 ve iki -modül ve : → bir fonksiyon olsun. Eğer

(i) ∀ , ∈ için ( + ) = ( ) + ( )

(ii) ∀ ∈ ve ∈ için ( ) = ( )

oluyorsa ye bir -modül homomorfizması denir ve den ye tüm -modül

homomorfizmalarının kümesi ( , ) ile gösterilir.


15

Tanım 2.5.6 bir halka, değişmeli halka ve bir sol -modül olsun. ∀ ∈ ve ∀ , ∈ için

( ) = ( ) = ( )

oluyorsa ye bir -cebir denir.

Tanım 2.5.7 bir -modül ve ⊆ olsun. nin sıfırdan farklı her elemanı için = 1,2,⋯ , için ≠ 0 olmak üzere = +⋯+ olacak şekilde bir ve bir

tek { , ,⋯ , } ⊂ ve { , ,⋯ , } ⊂ bulunabiliyorsa ye üzerinde

serbest -modül denir.

2.6.Vektör Uzayları

Tanım 2.6.1 vektörlerin bir kümesi ve bir cisim olsun. Ayrıca =( , ,⋯ , ), = ( , ,⋯ , ) ∈ ve ∈ için iki vektörün toplamı ve

skalerle bir vektörün çarpımı + = ( + , + ,⋯ , + ) ve =( , ,⋯ , ) şeklinde tanımlansın. Buna göre eğer aşağıdaki aksiyomlar

sağlanırsa ye cismi üzerinde bir vektör uzayı denir.

Her , ∈ ve , ∈ için

(i) ( , +) değişmeli bir gruptur.

(ii) ∈

(iii) ( + ) = +

(iv) ( + ) = +

(v) ( ) = ( )

(vi) 1 ⋅ = olacak şekilde 1 ∈ vardır.

Tanım 2.6.2 , cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve ∅ ≠ , nin

herhangi bir alt kümesi olsun. Eğer , de tanımlanan toplama ve skalerle çarpma


16

işlemlerine göre bir vektör uzayı ise ya nin bir alt vektör uzayı ya da kısaca alt

uzayı denir.

Tanım 2.6.3 Bir cismi üzerinde tanımlanan vektör uzayındaki vektörlerin bir

kümesini içeren bütün alt uzayların arakesitine o kümenin -lineer gereni denir.

Tanım 2.6.4 , cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve = { , ,⋯ , } ⊆ olsun.

+ + ⋯+ = 0

olması = 1,2,⋯ , olmak üzere = 0 olmasını gerektiriyorsa kümesine cismi

üzerinde lineer bağımsızdır denir. Eğer ∃ için ≠ 0 ise kümesine cismi

üzerinde lineer bağımlıdır denir.

Tanım 2.6.5 , cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve = { , ,⋯ , } ⊆ olsun.

= ∈

kümesi nin bir alt uzayıdır. alt uzayına tarafından gerilen alt uzay denir.

Tanım 2.6.6 , cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve ∅ ≠ , nin bir alt

kümesi olsun. Buna göre aşağıdaki koşullar sağlanırsa o zaman ⊆ alt kümesine nin bir bazı veya tabanı ve bazdaki eleman sayısına nin boyutu denir.

(i) alt kümesi lineer bağımsızdır.

(ii) alt kümesi yi gerer.


17

Tanım 2.6.7 , cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve , nin iki alt

uzayı olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa o zaman ye ve alt uzaylarının

direkt toplamı denir ve = ⊕ şeklinde gösterilir.

(i) = +

(ii) ∩ = {0}

2.7.Lineer Dönüşümler ve Matrisler

Tanım 2.7.1 ve , cismi üzerinde tanımlanmış iki vektör uzayı olsun. Eğer : → dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlar ise o zaman bu dönüşüme bir lineer

dönüşüm denir.

(i) Her , ∈ için ( + ) = ( ) + ( )

(ii) Her ∈ ve ∈ için ( ) = ( ) vektör uzayından cismi içine olan bir lineer dönüşüme lineer fonksiyonel ya da

lineer form denir.

Tanım 2.7.2 , cismi üzerinde bir vektör uzayı olmak üzere, = olacak

biçimdeki bir : → lineer dönüşümüne, bir izdüşüm denir.

Tanım 2.7.3 , , bir cismi üzerinde vektör uzayları olmak üzere, : × → fonksiyonu aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa dönüşümüne bilineer dönüşüm

denir.

(i) Her ∈ , her , ∈ , her ∈ için

( + , ) = ( , ) + ( , )

dır.

(ii) Her ∈ , her ∈ , her , ∈ için


18

( , + ) = ( , ) + ( , )

dır.

Tanım 2.7.4 , bir cismi üzerinde vektör uzayları olmak üzere, : × →

bilineer dönüşümü her , ∈ için ( , ) = ( , ) eşitliğini sağlarsa

bilineer dönüşümüne simetriktir denir. Simetrik bir bilineer fonksiyona, vektör

uzayı üzerinde bilineer form denir.

Tanım 2.7.5 , , bir cismi üzerinde vektör uzayları olmak üzere, : × → bilineer bir dönüşüm olsun. = { | ∈ ve her ∈ için ( , ) = 0}

kümesi vektör uzayının alt uzayıdır. : × → bilineer bir form olsun. ={0} ise bilineer formuna dejenere olmayan bilineer form denir.

Tanım 2.7.6 bir iç çarpım uzayı ve , üzerinde dejenere olmayan bir bilineer

form olsun. Bir : → lineer dönüşümünün ek dönüşümü her , ∈ için

( ( ), ) = , ∗( )

olacak şekildeki bir ∗: → lineer dönüşümüdür.

Tanım 2.7.7 Bir = × kare matrisinin izi matrisinin esas köşegen

elemanlarının toplamı olarak tanımlanır ve ( ) ile gösterilir. Yani

( ) =

dır.


19

Tanım 2.7.8 Eğer bir cisim ise , ,⋯ ile × tipindeki birim matris nin

sütunları ifade edilirse üzerindeki bir permütasyon matris nin sütunlarının

değiştirilmesi ile elde edilen matristir.

Tanım 2.7.9 bir grup, bir cism ve , cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. : → ( ) homomorfizmasına nin üzerindeki bir lineer temsili ya da kısaca nin - temsili denir. Varsayalım ki nin bir bazı { , ,⋯ } olsun. O zaman ∈ ise ( , ) de bir ∗ matrisi vardır öyle ki bu eleman verilen baza göre bir lineer dönüşümünü temsil eder. ∗: → ( , ) dönüşümü bir

homomorfizmadır ve bu homomorfizma verilen baz ile ilişkili matris temsili olarak

isimlendirilir (Burada ( , ), üzerinde tanımlı bütün × tipinde tersinir

matrislerin kümesidir ve ( ) de nin tersi olan bütün lineer dönüşümlerinin

grubudur).

2.8.İç Çarpım Uzayları

Tanım 2.8.1 , cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı olmak üzere

⟨ , ⟩: × →

dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlarsa bu dönüşüme üzerinde bir iç çarpım denir.

Üzerinde iç çarpım tanımlanmış bir vektör uzayına iç çarpım uzayı denir.

(i) Her ∈ için ⟨ , ⟩ ≥ 0

(ii) Her ∈ için ⟨ , ⟩ = 0 olması için gerek ve yeter koşul = 0

olmasıdır.

(iii) Her , ∈ için ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩ dir.(⟨ , ⟩, ⟨ , ⟩ nin karmaşık

eşleniğidir)

(iv) Her , ∈ ve ∈ için ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩ dir.

(v) Her , , ∈ için ⟨ , + ⟩ = ⟨ , ⟩ + ⟨ , ⟩ dir.


20

Tanım 2.8.2 , kompleks sayılar cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı

olmak üzere

⟨ , ⟩: × →

dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlarsa bu dönüşüme üzerinde bir Hermityen iç

çarpım denir. Üzerinde Hermityen iç çarpım tanımlanmış bir vektör uzayına

Hermityen iç çarpım uzayı denir.

(i) Her ∈ için ⟨ , ⟩ ≥ 0

(ii) Her ∈ için ⟨ , ⟩ = 0 olması için gerek ve yeter koşul = 0

olmasıdır.

(iii) Her , ∈ için ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩ dir.

(iv) Her , ∈ ve ∈ için ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩ dir.

(v) Her , ∈ ve ∈ için ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩ (vi) Her , , ∈ için ⟨ , + ⟩ = ⟨ , ⟩ + ⟨ , ⟩ dir.

Tanım 2.8.3 bir iç çarpım uzayı ve , ∈ olsun. Eğer ⟨ , ⟩ = 0 ise ve

birbirine diktir denir. Bütün vektörleri ikişer ikişer birbirine dik olan kümeye dik

küme, her vektörü birim uzunluğa sahip olan (yani normu 1 olan) bir kümeye de

ortonormal küme denir.

Tanım 2.8.4 , cismi üzerinde tanımlanmış bir iç çarpım uzayı ve , nin bir alt

kümesi olsun. O zaman

= { ∈ |⟨ , ⟩ = 0,∀ ∈ için}

kümesine dik tümleyen denir.


21

2.9.Serbest Gruplar

Tanım 2.9.1 ≠ ∅ bir küme olsun. , ile aralarında bire bir eşleme olan küme

ve ∩ = ∅ olsun. ∀ ∈ için : → , → ( ) = şeklinde

tanımlansın. = { | ∈ } ve 1 ∉ ∪ olsun. ∪ ∪ {1} kümesini ele

alalım. Bu kümenin elemanlarından oluşan ve sonlu terimi dışındaki bütün terimleri

1 olan ( , ,⋯ ) dizisine in elemanları üzerinde bir kelime denir. = ( , ,⋯ ) bir kelime olsun. Eğer bu kelimede ∀ ∈ için ile komşu

değilse yani = ise ≠ ve bir ≥ 1 için = 1 iken ∀ ≥ için = 1

özellikleri sağlanır ise a indirgenmiş kelime denir.

Eğer = ( , ,⋯ , , 1,1,⋯ ) bir indirgenmiş kelime ise = ±1, , ,⋯ , ∈ ve = olmak üzere = ⋯ şeklinde

gösterilebilir. üzerinde bütün indirgenmiş kelimelerin kümesi ( ) olsun. ( )

üzerinde bir ikili işlem aşağıdaki gibi tanımlansın. = ⋯ , = ⋯ ∈ ( ) olsun. Genelliği bozmaksızın ≥ kabul edebiliriz. 0 ≤ ≤ olmak üzere = 0,1,2,⋯ , − 1 için = koşulunu sağlayan en büyük tamsayı olsun.

= ( ⋯ ) ⋯ = ⋯ ⋯ , < < ⋯ , = < 1 , = = .

( ) yukarıda tanımlanan ikili işleme göre gruptur ve ( ) = ⟨ ⟩ ile gösterilir. ( ) e üzerinde bir serbest grup denir.

Tanım 2.9.2 herhangi bir grup, , nin bir üreteçler kümesi olsun. Eğer ≅ ( ) ise, grubu üzerinde serbest olup ya nin serbest üreteçler kümesi denir.

Teorem 2.9.3 bir grup, , ⊆ olsun. Eğer grubu hem hem de üzerinde


22

serbest ise, | | = | | dir. Başka bir deyişle, bir serbest grubun herhangi iki serbest

üreteçler kümesinin kardinalitesi aynıdır. Bu kardinaliteye o grubun rankı denir.

2.10.Grup Etkisi

Tanım 2.10.1 bir grup ve boştan farklı bir küme olsun. Bir

∗: × ⟶ , ( , ) ⟶∗ ( , ) = ∗

fonksiyonu verilsin. Eğer

(i) Her ∈ için ∗ = ise;

(ii) Her ∈ ve ,ℎ ∈ için ( ℎ) ∗ = ∗ (ℎ ∗ ) ise;

O zaman ∗ fonksiyonuna nin üzerine bir etkisi ve ya bir -kümesi denir.

bir grup olsun. Her , ∈ için ∗ = olarak tanımlı ∗ fonksiyonu

nin kendi üzerine bir etkisidir. Buna nin kendi üzerine soldan çarpma etkisi denir.

Benzer şekilde nin kendi üzerine sağdan çarpma etkisi tanımlanabilir.

Teorem 2.10.2 Bir grubu bir kümesi üzerine etki etsin ve ∈ olsun. Her ∈ için ( ) = ∗ biçiminde tanımlı fonksiyonu üzerinde bir

permütasyondur ve : → ( ), ( ) = biçiminde tanımlı fonksiyonu bir

homomorfizmadır.(Burada ( ), nın permütasyonlarının grubudur)

Yukarıda görüldüğü gibi eğer bir grubu bir kümesi üzerine etki ederse

nin her elemanı üzerinde bir permütasyon tanımlar ve den ( ) içine bir

homomorfizma tanımlıdır. O halde bir grubunun her etkisi nin bir permütasyon

temsilini tanımlar.

Tanım 2.10.3 grubu kendi üzerine soldan çarpma biçiminde etki etsin ve her , ∈ için ( ) = olsun. ∈ ( ) ve : → ( ), ( ) =

biçiminde tanımlı fonksiyonu nin bir permütasyon temsilidir. Buna nin sol


23

regüler temsili denir. Benzer şekilde nin kendi üzerindeki sağdan çarpma etkisi de nin bir permütasyon temsilini tanımlar. Buna nin sağ regüler temsili denir.

2.11. Jacobian Matris ve Taylor Serisi

Teorem 2.11.1 ⊂ ℝ açık bir küme, : → ℝ olmak üzere = ( , ,⋯ , ), ∈ de türevlenebilen bir dönüşüm ise her 1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤ için ( ) kısmi

türevleri vardır ve nin noktasındaki Jacobian Matrisi ( )

( ) = ⎣⎢⎢⎢⎡ ( ) ⋯ ( ) ⋮ ⋱ ⋮ ( ) ⋯ ( ) ⎦⎥⎥

⎥⎤ ×

dır.

Tanım 2.11.2 Bir ∈ noktasının -komşuluğu

( , ) = { : | − | < }

olarak tanımlanan kümedir. Buradaki noktasına komşuluğun merkezi, sayısına

ise komşuluğun yarıçapı denir.

Tanım 2.11.3 fonksiyonu bir noktasının bir komşuluğunda tanımlı olsun. Eğer

lim → ( )− ( ) −

varsa, fonksiyonu noktasında diferansiyellenebilir denir. Bu limit değeri ( )

ile gösterilir.


24

Tanım 2.11.4 Bir karmaşık fonksiyonu bir noktasının belli bir ( , )

komşuluğundaki bütün noktalarda diferansiyellenebiliyorsa , da analitiktir denir.

Eğer bir karmaşık fonksiyonu bir kümesinin bütün noktalarında analitikse ,

üzerinde analitiktir denir. Bir fonksiyonu nin tüm noktalarında analitikse ye

tam fonksiyon denir.

Teorem 2.11.5 Bir fonksiyonu, yakınsaklık yarı çapı > 0 olan

( ) = ( − )

kuvvet serisi ile verilsin. O zaman her ≥ 0 tamsayısı için

= ( )( ) !

dir. Diğer taraftan, fonksiyonu bir sayısını içeren bir açık kümenin her

noktasında her basamaktan türeve sahip ise

( )( ) ! ( − )

kuvvet serisi oluşturulabilir. Bu seriye nin civarındaki Taylor Serisi denir.

3.GRUP HALKASI NEDİR Melek ŞENOL

25

3.GRUP HALKASI NEDİR

3.1.Giriş bir cisim olsun. 3 elemanlı { , , } kümesi verilsin ve bu kümeyi taban kabul

eden vektör uzayı olsun. Bu durumda kümesi , , ∈ için ∙ + ∙ + ∙ şeklindeki bütün toplamların kümesidir. Eğer 4, 5 ya da 6 elemanlı küme

verilirse, bu yapıyı oluşturmak zor değildir. Fakat daha büyük bir küme verilirse ∑

notasyonu kullanılır. Genellikle, eğer kümesi verilirse o zaman tabanıyla -

vektör uzayı , ∑ ∈ ∙ şeklinde tüm formal toplamlardan oluşur. Burada ∈ dır. Sonuç olarak nin sonsuz olmasında hiçbir zorluk yoktur. Burada

sadece ∑ ∙ toplamının sonlu olması kısıtlanmaktadır. Bunun anlamı sadece

sonlu sayıda katsayılarının sıfırdan farklı olmasıdır. de ki toplam

∙ + ∙ = ( + ) ∙

ve skalerle çarpım

∙ = ( ∙ ) ∙ , ( )

şeklindedir. nin elemanları nasıl çarpılır? (∑ ∙ )°(∑ ∙ ) = ∑( ∙ ) ∙ çarpımı çok fazla ilginç değildir ve hiçbir

doğal seçimle varlığı görülemez. O zaman bir küme değil bir çarpımsal grup kabul

edilmelidir.

O halde bir cisim ve sonlu olması gerekmeyen çarpımsal bir grup olsun.

O zaman [ ] grup halkası tabanlı -vektör uzayıdır ve çarpma


26

∈ ∙ ∙ ∈ = ∙ ( ) , ∈ = ∈ ∙

şeklinde tanımlıdır. Burada

= =

dir. de ki birleşme özelliği [ ] deki çarpmanın birleşme özelliğini garanti eder.

Böylece [ ] bir halkadır ve aslında bir -cebirdir.

nin sonlu olduğunu kabul edelim. Bu durumda [ ] sonlu boyutlu -

cebirdir. Sonlu boyutlu -cebir çalışmaları sonlu grup çalışmalarından daha iyi bir

şekilde şekillendiği için [ ] grup halkası grup teorisinin konusu olarak ele alınır.

Eğer sonsuz ise o zaman ne grup teorisi ne de halka teorisi özel bir şekilde

ilerlemez ve burada ilginç olan şey ikisi arasındaki karşılıklı etkidir.

Örnek 3.1.1 = ( , +,∙) , = { , } ise grup halkasını belirleyelim. = = ∑ , ∈ ∈ + 0 + 0 0 + 0 + + 0 + + 0


27

∙ 0 + 0 0 0 0 0 0 + 0 + + 0 + + 0

Örnek 3.1.2 bir küme ve nin kuvvet kümesi ( ) olsun.Her , ∈ ( ) için + ve ∙ aşağıdaki şekilde tanımlansın: + = ( ⋃ )\( ⋂ ) ve ∙ = ⋂ olsun. ( ) bu işlemlerle bir halkadır.

Şimdi = {1,2,3} kümesini alalım. ( ) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} şeklindedir. ( ) nin sıfırı ∅ ve birimi kümesidir. = { , , , } Klein-4 grubunu alalım. ( ) grup halkasını bulalım. ( ) = = ∑ ∈ , ∈ ( ) = { ∙e+ ∙a+ ∙b+ ∙c │ ∈P(S) }

(∅e+{1}a+{2}b+∅c), ({1,2,3}e+{1,2,3}a+{1,2,3}b+{1,2,3}c) ∈ P(S)G olsun. (∅ + {1} + {2} + ∅ ) + ({1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} ) ={1,2,3} + {2,3} + {1,3} + {1,2,3} ({1} + {2} ) ∙ ({1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} ) = {1,2} + {1,2} +{1,2} + {1,2} .


28

3.2.Sıfır Bölen

[ ] grup halkasında [ ] nin bir bazı ile nin elemanları özdeşlenirse ∑ ∙

deki toplamı ve çarpımı adi toplam ve adi çarpım olarak görebiliriz. Özel olarak bu

notasyon da ki “nokta” atılabilir. Ayrıca eğer , nin alt grubu ise , bazının bir

alt kümesi olduğu için nın - lineer gereni [ ] dır. Böylece [ ] , [ ] içerisine gömülebilir. , nin birimden farklı bir elemanı olsun. O zaman , < >

devirli grubunu ve [ ] , [< >] i içerir ve [< >] grup halkasını

düşünebiliriz. İlk olarak sonlu > 1 mertebeli olsun. O zaman 1 , ,⋯ , ,

in farklı kuvvetleridir ve (1− )(1 + +⋯+ ) = 1 − = 0 denklemi

gösterir ki [< >] ve böylece [ ] sıfır bölene sahiptir. Tersine eğer sonsuz

mertebeli ise in bütün kuvvetleri farklıdır ve [< >], ∑ formundaki

bütün sonlu toplamlardan oluşur. Böylece [< >] grup halkasını [ ] polinom

halkası gibi görebiliriz ve aslında [< >] in her elemanı in yeterince büyük

kuvveti tarafından bölünebilen in bir polinomudur. Böylece [< >], ( )

rasyonel fonksiyon cismi tarafından içerilir. Bu nedenle [< >] bir tamlık

bölgesidir.

Eğer birimden farklı sonlu mertebeli bir torsiyon elemana sahipse o zaman [ ] aşikar olmayan sıfır bölenlere sahiptir. Fakat eğer birimden farklı sonlu

mertebeli elemana sahip değilse o zaman en azından sıfır bölenler açık şekilde

yoktur. 25 yılın üzerinde uğraşılan “ torsiyonsuzdur gerek ve yeter koşul [ ] sıfır bölensizdir” hipotezi aslında grupların oldukça basit sınıfları olan serbest gruplar ya

da değişmeli gruplar için doğrudur. Değişmeli gruplar için olan ispat oldukça

kolaydır.

değişmeli, torsiyonsuz ve , ∈ [ ] için = 0 olsun. , ve yı

kapsayan nin sonlu üreteçli alt grubu olsun. Bu durumda ve , [ ] a aittir.

Değişmeli grupların temel teoremi gereğince , < > , < > ⋯ ve < >

sonsuz devirli grupların direkt çarpımıdır. O zaman [ ] nin [ , ,⋯ , ] polinom halkası ve ( , ,⋯ , ) rasyonel fonksiyon cismi arasında olduğunu

göstermek zor değildir. Aslında [ ], ( , ,⋯ , ) nin ( ⋯ ) nin yeterince


29

büyük kuvveti tarafından bölünebilen , ,⋯ , ye bağlı bütün polinomlarının

kümesidir. Böylece [ ] bir tamlık bölgesidir ve ya = 0 ya da = 0 dır.

R bir halka olsun. , ∈ için αRβ = 0 ⇒ α = 0 ya da β = 0 oluyorsa

halkasına asaldır denir. Açık bir şekilde değişmeli olma durumunda genel tanımla bu

uyuşmaktadır. Örneğin; matris halkası ≥ 2 için sıfır bölenlere sahip olmasına

rağmen her zaman asaldır.

Teorem 3.2.1 [ ] grup halkasının asal olması için gerek ve yeter koşul nin

birimden farklı sonlu normal alt grubunun olmamasıdır.

İspat. Kabul edelim ki , nin birim olmayan sonlu normal alt grubu ve =∑ ℎ ∈ olsun. Eğer ℎ ∈ ise ℎ = ve böylece ℎ = ve

= ℎ ∈ = | |

dır. Özel olarak = | |1 − ise = 0 dır. , G de normal olduğu için ∀ ∈

için = ve böylece = dır. Böylece , [ ] nin bir bazı ile değişmelidir

ve merkezcildir ve

[ ] = [ ] = 0

dır.

Sonuç olarak ve sıfır olmadığı için [ ] asal değildir.

Karşıt yönünü göstermek oldukça zordur. nin sonlu bir normal alt grubunun

nasıl bulunacağını düşünmeliyiz. Eğer böyle bir alt grup ve ℎ ∈ ise ℎ sonlu

mertebelidir ve ∀ ∈ için

ℎ = ℎ ∈ =

dir.


30

Böylece ℎ nin deki eşlenikleri tarafından içerilir ve ℎ olan sonlu sayıda

eleman vardır.

Şimdi aşağıdaki kümeleri düşünelim.

∆( ) = { ∈ | in de sonlu sayıda eşleniği vardır}

∆ ( ) = ∈ in de sonlu sayıda eşleniği vardırve in mertebesi sonludur.

Yardımcı Teorem 3.2.2 bir grup ve ∆( ) ve ∆ ( ) yukarıdaki gibi tanımlansın.

O zaman

(i) ∆( ) ve ∆ ( ), nin normal alt gruplarıdır.

(ii) ∆ ( ) ⊆ ∆( ) ve ∆( ) ∕ ∆ ( ) bölüm grubu torsiyonsuz değişmeli

gruptur.

(iii) ∆ ( ) ≠ 1 ⟺ G birimden farklı sonlu normal alt gruba sahiptir.

İspat .

(i) ∆( ) ⊲ olduğunu gösterelim. ( ) = { | ∈ } olmak üzere ∆( ) = { ∈ | ( ) sonlu} dır. ∆( ) ⊆ dir ve ∈ ve ∀ ∈ için = = olup ∈ ∆( ) ve böylece ∆( ) ≠ ∅ dir. ∆( ) ≤ olduğunu gösterelim. ∈ ∆( ) olsun. O halde ( ) sonludur. ( )

sonlu mudur? ( ) = { | ∈ } = {( ) | ∈ } ∶ ( ) ⟶ ( ) , ⟶ olsun. = ℎ ℎ ⇒ ( ) = (ℎ ℎ )


31

⇒ ( ) = (ℎ ℎ ) ⇒ ( ) = (ℎ ℎ ) ⇒ iyi tanımlıdır ( ) = (ℎ ℎ ) ⇒ ( ) = (ℎ ℎ ) ⇒ ( ) = (ℎ ℎ )

⇒ = ℎ ℎ

O halde birebirdir. ∀ ℎ ℎ ∈ C( ) için ℎ ℎ ∈ ( ) olup (ℎ ℎ ) = ℎ ℎ dir. Yani

örtendir. Böylece | ( )| = |C( )| elde edilir.

O halde ( ) sonlu ve ∈ ∆( ) dir. , ∈ ∆( ) olsun. ( ) = { | ∈ }, ( ) = { | ∈ } sonludur ve |C( )| = ve |C( )| = olsun. ( ) = { | ∈ }

= {( )( )| ∈ } ( ) ( ) = {( )(ℎ ℎ )| , ℎ ∈ } ⇒ ( ) ⊆ C( ) C( ) ⇒ |C( )| ≤ |C( ) C( )| = |C( )||C( )| = ⋅ ⇒ |C( )| ≤ ⋅ ⇒ ( ) sonludur.


32

⇒ ∈ ∆( )

O halde ∆( ) ≤ dir. ∀ ∈ ∆( ) , ∈ için ∈ ∆( ) midir? ∈ ∆( ) ise ( ) = { | ∈ } sonludur. ( ) = { ( ) | ∈ } ( ) = {( ) ( ) | ∈ } ⇒ ( ) ⊆ ( ) ⇒ C( ) sonlu olduğundan ( ) de sonludur. ⇒ ∈ ∆( ) dir.

Böylece ∆( ) ⊲ olduğu görülür. ∆ ( ) ⊲ olduğunu gösterelim. ( ) = { | ∈ } olmak üzere ∆ ( ) ={ ∈ |C( ) sonlu ve | | < ∞} dır. ∆ ( ) ⊆ , ∆ ( ) ≠ ∅ dir. ∈ ∆ ( ) olsun . O halde ( ) sonludur ve | | < ∞ dur. ( ) = { | ∈ } = {( ) | ∈ } ∶ ( ) ⟶ ( ) fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu gösterdik.

| ( )| = |C( )| olduğundan C( ) sonludur. ∈ ∆ ( ) olduğundan in mertebesi sonludur. | | = olsun. ( ) = ( ) = 1 ⇒ | | ∕ ⇒ | | < ∞ olup ∈ ∆ ( ) dir. , ∈ ∆ ( ) olsun.


33

( ) = { | ∈ } ve ( ) = { | ∈ } sonludur ve | | < ∞, | | < ∞

olur. ( ) nin sonlu olduğunu gösterdik. | | = , | | = olsun. ( ) sonlu olduğundan ( ) ∈ ( ) elemanının mertebesi sonludur. ( ) elemanının mertebesi m olsun. ( ( ) ) = ( ( ) )( ( ) )⋯ ( ( ) ) =

⇒ ( )( )( )( )⋯ ( )( ) =

⇒ ( )( )⋯ ( ) =

⇒ ( ) =

⇒ ( ) =

⇒ | | ∕

⇒ | | < ∞ ⇒ ∈ ∆ ( )

O halde ∆ ( ) ≤ dir. ∀ ∈ ∆ ( ), ∈ için ∈ ∆ ( ) midir?

C( ) in sonlu olduğunu gösterdik. | | = olsun.

C( ) sonlu olduğundan ( ) ∈ C( ) elemanının mertebesi

sonludur. ( ) elemanının mertebesi n olsun. ( ( ) ) = ( ( ) )( ( ) )⋯ ( ( ) ) =

⇒ ( )( )( )( )⋯ ( )( ) =

⇒ ( )( )⋯ ( ) =

⇒ ( ) =


34

⇒ ( ) = | | ∕ ⇒ | | < ∞

⇒ ( ) ∈ ∆ ( ) dir.

Böylece ∆ ( ) ⊲ olduğu görülür.

(ii) ∆ ( ) ⊆ olduğu açıktır. ∆( ) ⊲ ve ∆ ( ) ⊲ olduğundan ∆ ( ) ⊲ ∆( ) dir. Bu durumda ∆( ) ∆ ( )⁄

bölüm grubundan söz edebiliriz. ∆( ) ∆ ( )⁄ = { ∆ ( )| ∈ ∆( )} dir ve ∆ ( ) ∈ ∆( ) ∆ ( )⁄ nın mertebesi olsun.

∆ ( ) = ∆ ( ) ⇒ ∆ ( ) = ∆ ( ) ⇒ ∈ ∆ ( ) ⇒ nın mertebesi sonludur. | | = olsun. ( ) = = ⇒ | | ⁄ ⇒ in mertebesi sonludur. ∈ ∆ ( ) ⇒ ∆ ( ) =∆ ( ) ⇒ ∆ ( ) birim elemandır.

O halde ∆( ) ∆ ( )⁄ torsiyonsuzdur. ∆( ) ∆ ( )⁄ nin değişmeli olduğunu gösterelim. , ∈ ∆( ) için =< , > ve ∆ ( ), ∆ ( )∈ ∆( ) ∆ ( )⁄ olsun. ∆ ( ) ∆ ( ) = ∆ ( ) ∆ ( ) olduğunu göstermek için ∈∆ ( ) olduğunu göstermeliyiz.

Lemma 3.2.3 ,∆( ) nin sonlu üreteçli alt grubu olsun. O zaman | | sonludur.

İspat. Passmann (1971), Lemma 2.2’ye bakınız.


35

=< , > olduğundan sonlu üreteçlidir ve Lemma 3.2.3 den < , > komütatör alt grubu sonludur.

O halde [ , ] = ∈ ∆ ( ) dir.

O halde ∆( ) ∆ ( )⁄ değişmelidir.

Lemma 3.2.4 bir grup ve , ,⋯ , nin sonlu alt grupları ve = ⋂

olsun.

(i) Eğer ∀ için [ : ] sonlu ise o zaman [ : ] sonludur.

(ii) grubu alt gruplarının sonlu sayıda sağ kosetlerinin birleşimi yani

= ⋃ olsun. O zaman bazı ler için [ : ] < ∞ dur = 1,2,⋯ ; =1,2,⋯ ( ) .

İspat.

(i) Eğer , nın bir koseti ise = ∩ ∩⋯∩ dir. ∩ ∩⋯∩ için en fazla [ : ][ : ]⋯ [ : ] seçim yapılabilir.

Dolayısıyla [ : ] sonludur.

(ii) lerin birbirinden farklı olduğunu ve sayısının olduğunu kabul

edelim. üzerine indüksiyon yapalım. = 1 durumunda ispat açıktır. − 1 için

doğru olsun. Eğer nin kosetlerinin bir tam kümesi arasında ise [ : ] <∞ olur ve böylece ispat biter. Aksi takdirde eğer yoksa ⊆ ⋃ dir.

Fakat ∩ = ∅ olduğundan ⊆ ⋃ , dir. ⊆ ⋃ , dir ve , , ,⋯ , kosetlerinin sonlu birleşimi

olarak yazılabilir. İndüksiyon hipotezinden = 1,2,⋯ − 1 için [ : ] < ∞ olduğu

için ispat biter.

Şimdi Teorem 3.2.1 in ispatına dönelim. = ∑ ∈ [ ] için S

ile { ∈ | ≠ 0} kümesini gösterelim. Yani; , = ∑ ifadesinde

katsayıları sıfırdan farklı olan bütün grup elemanlarının kümesi olsun. Böylece


36

, = 0 iken nin boş bir alt kümesidir. Kabul edelim ki [ ] asal olmasın. ve grup halkasının sıfırdan farklı elemanları olmak üzere [ ] = 0 olsun.

Eğer ∈ ve ∈ ise ( ) [ ]( ) = 0 dır ve 1 ∈ , 1 ∈ dir. Genelliği bozmaksızın ve 1 i içersin.

= + , = + olsun. Burada , ⊆ ∆( ) ve , ⊆ − ∆( ) dir. 1, ve tarafından içerildiği için

ve , [∆( )] nin sıfırdan farklı elemanlarıdır. = 0 olduğunu

gösterelim. ≠ 0 olsun. O zaman = + sıfır değildir çünkü ⊆ ∆( ) ve ⊆ − ∆( ) olduğu için bu iki toplam arasında

iptal etme durumu olmaz. O halde da sabit olan bir ∈ elemanı

seçilebilir. Eğer ∈ ise [ : ( )] sonludur ve böylece Lemma 3.2.4 nin (i)

şıkkından dolayı = ⋂ ( ) ∈ , de sonlu indekse sahiptir.

ℎ ∈ elemanı da ki her elemanı merkezler ve böylece ℎ, ı

merkezler. Şimdi = { , ,⋯ } ve = { , ,⋯ } olsun. Eğer , de ile eşlenirse o zaman = olacak şekilde sabit ∈

seçilmiş olur. ℎ ∈ olsun ve [ ] = 0 ı ele alalım. ℎ = 0 dır ve ℎ, ı

merkezler.

0 = ℎ ℎ = ℎ ( + )ℎ ∙ = + ℎ ℎ

Böylece ℎ ℎ = − olup ∈ (ℎ ℎ ) dır. = ℎ ℎ olacak

şekilde , vardır. Diğer bir deyişle = ℎ ℎ dir. O halde ve de

eşleniktir. nin tanımından

ℎ ℎ = =

dır. Böylece ℎ , yi merkezler. O halde ∀ ℎ ∈ için uygun bir , vardır öyle

ki ℎ ∈ ( ) ve ⊆ ⋃ ( ) , dir.


37

[ : ] sonlu olduğundan = ⋃ şeklinde nın sağ kosetlerinin sonlu

birleşimidir ve = ⋃ ( ) , , dır. Böylece , ( ) alt gruplarının

kosetlerinin sonlu bir birleşimi olarak yazılabilir. O halde Lemma 3.2.4 nin (ii)

şıkkından bazı ler için [ : ( )] sonludur. Buradan ∈ ∆( ) çelişkisi elde

edilir. Çünkü ∈ ⊆ − ∆( ) idi. Böylece = 0 dır. = 0 ve , , [∆( )] nın sıfırdan farklı elemanları olduğu için [∆( )] aşikar olmayan

sıfır bölenlere sahiptir. Bu yüzden ∆( ) torsiyonsuz değişmeli grup olamaz.

Yardımcı Teorem 3.2.2 (ii) ye göre ∆( ) ∆ ( )⁄ torsiyonsuz değişmelidir ve

böylece ∆ ( ) ≠ 1 dir. Böylece Yardımcı Teorem 3.2.2 (iii) birim olmayan sonlu

normal alt gruba sahip olduğu zaman ki durum ispatlanmış olur. O halde Teorem

3.2.1 in ispatı tamamlanmış olur.

Sonuç olarak; Teorem 3.2.1 sıfır bölen probleminin güzel bir uygulamasıdır.

Yani, torsiyonsuz grupsa [ ] nin aşikar olmayan sıfır bölenlere sahip olması için

gerek ve yeter koşul [ ] nin karesi sıfır olan sıfırdan farklı elemanlara sahip

olmasıdır. Eğer ∈ [ ], ≠ 0, = 0 ise [ ] sıfır bölene sahiptir. Tersine ve , [ ] nin sıfırdan farklı elemanları ve = 0 olsun. torsiyonsuz olduğu

için Teorem 3.2.1 den [ ] asaldır. Böylece [ ] ≠ 0 dır. Fakat [ ] ∙ [ ] = [ ]( ) [ ] = 0 dır. Böylece [ ] nın her elemanının karesi

sıfırdır.

3.3.Idempotent

Bir sonlu grubun grup halkasına tekrar dönelim ve grup halkasının regüler

temsilini düşünelim. = [ ] yi sağdan çarpımla lineer dönüşüm olarak etki eden -vektör uzayı olarak görebiliriz. Özel olarak, sonlu boyutlu olduğunda seçilen her

bir baz [ ] için belirgin bir matris temsili verir. Böyle olan her bir bazdan : [ ] ⟶ bir faithful homomorfizm elde edilir (Burada , üzerinde ×

tipindeki matrislerin halkasıdır). Açık bir şekilde = = | | dir.

İlk olarak kabul edelim ki , doğal bazına yani nin kendisine karşılık

gelsin. O zaman her bir ∈ için sadece ile sağdan çarpımla baz elemanlarının


38

sırası değişir. Böylece ( ) bir permütasyon matrisdir. Eğer ≠ 1 ise ∀ ∈ için ≠ ve böylece ( ) = 0 dır. Tersine eğer = 1 ise (1) birim matristir ve (1) = n = | | dir. Matris iz fonksiyonları -lineerdir ve böylece =∑ ∈ [ ] için

( ) = ( ) = | |

dır. Diğer bir deyişle ( ), nın birim katsayısı in bir sabit skaler katıdır.

Böylece keyfi grubu için : [ ] ⟶ dönüşümü tanımlanır. Bu

dönüşüme iz dönüşümü denir ve

=

dır. Aslında , [ ] üzerinde -lineer fonksiyoneldir ve = ∑ , = ∑

için

=

dir ve = 1 gerek ve yeter koşul = 1 olduğundan , ve üzerinde

simetriktir. Böylece = olur.

∈ [ ] idempotent eleman ve sonlu olsun. Bir lineer dönüşümün izi

bazın seçiminden bağımsız olduğundan için uygun bir baz alarak

| | = ( )

eşitliği hesaplanabilir. Yani vektör uzayını = + (1− ) şeklinde direkt

toplam olarak yazarsak için bir baz olarak nin bir bazı ve (1 − ) nin bir


39

bazının birleşimini seçebiliriz. ilk küme üzerinde birim etki ve ikinci küme

üzerinde sıfır etki şeklinde etki ettiği için

| | = ( ) =

dır. Eğer nın karakteristiği nin mertebesini bölmezse

= ( ) | |⁄

dır.

Diğer bir deyişle , nın asal bir alt cisminde içerilir. Örneğin; ( ) = 0 ise

asal alt cisim rasyonel sayılar cismi, ( ) = ise asal alt cisim ( ) Galois

cismidir. Karakteristik 0 olduğunda 0 ≤ ≤ | | olduğundan 0 ≤ ≤ 1 dır.

Teorem 3.3.1 ∈ [ ] bir idempotent eleman olsun. O zaman , nın asal alt

cismi tarafından içerilir.

İspat. İlk olarak cisminin karakteristiği > 0 olsun ve = özelliğini göz

önünde bulunduralım. Cebirde, karakteristiği olan cisim üzerinde ki dönüşümün

inci kuvveti iyi tanımlıdır. ( + ) = + özdeşliği değişmeli -cebirinde ve

değişmeli olmayan -cebirinde uygun bir genelleme ile vardır. bir -cebiri olsun. nın komütatör alt uzayı [ , ], , ∈ için [ , ] = − ile tanımlanan bütün

Lie çarpımları tarafından üretilen alt uzayı şeklinde tanımlıdır.

Lemma 3.3.2 , karakteristiği > 0 olan bir cismi üzerinde bir cebir olsun. Eğer , ,⋯ ∈ ve > 0 bir tamsayı ise ∈ [ , ] elemanı vardır öyle ki

( + + ⋯+ ) = + + ⋯+ +

dır.


40

İspat. Passman(1971), Lemma 3.4’e bakınız.

Teorem 3.3.1 in ilk kısmını yani cisminin karakteristiği > 0 olan durumu

ispatlayalım. = ∑ , [ ] de bir idempotent eleman olsun ve , nin bir

alt kümesi ve mertebesi nın karakteristiği nin bir kuvveti olan bütün

elemanlarının kümesi olsun. sonlu olduğu için ∀ ∈ için nin uygun bir kuvveti vardır öyle ki = 1 dir. , ≥ olan herhangi bir tamsayı olsun ve = olduğundan Lemma 3.3.2 yi uygulayabiliriz. Böylece [ ] nin komütatör

alt uzayında bir elemanı vardır öyle ki

= = ( ) +

dır. Bu eşitliğin her iki tarafının izini hesaplayalım. , ∈ [ ] için =

olduğundan [ , ] = 0 olur ve = 0 elde edilir. ≥ olmak üzere herhangi bir ∈ için = 1 olması için gerek ve yeter koşul ∈ olmasıdır. Böylece

= ( ) ∈ = ∈

dır.

Bu eşitliği bütün ≥ tamsayıları için ele alalım. Özel olarak = ve + 1 ise

( ) = ∈ = ∈ =

dır. ∈ için = denilirse = olur. Bu şekilde ki bütün elemanları ( ) de içerildiği için teorem karakteristik > 0 için ispatlanmış olur.

Şimdi karakteristiğin sıfır olduğu ikinci durumu ele alalım.


41

Lemma 3.3.3 = [ , ,⋯ ] karakteristiği sıfır olan bir tamlık bölgesi olsun

öyle ki tamsayıları üzerinde bir halka olarak sonlu üreteçli olsun ve ∈ elemanı rasyonel sayılar halkasında içerilmesin. O zaman nın bir maksimal ideali

vardır öyle ki = ∕ karakteristiği > 0 olan bir cisimdir ve ∈ nin

görüntüsü ( ) de içerilmez.

nın karakteristiği sıfır ve = ∑ , [ ] de idempotent eleman olsun.

Eğer = [ | ∈ ] ise karakteristik sıfır durumunda bir tamlık bölgesidir

ve , tamsayıları üzerinde bir halka olarak sonlu üreteçlidir. Ayrıca , [ ] de

idempotentdir ve [ ] katsayıları da olan bütün elemanları içeren [ ] nin alt

halkasıdır. Şimdi , nın herhangi bir maksimal ideali olsun. Bu durumda = ∕ karakteristiği > 0 olan bir cisimdir.

[ ] ⟶ ∕ [ ] = [ ]

doğal homomorfizması altında nin görüntüsü idempotentdir. Böylece Teorem 3.3.1

in ilk kısmından nin görüntüsü ( ) de içerilir. Teorem 3.3.1 nin ikinci kısmı,

Lemma 3.3.3 de = alınırsa hemen görülür.

Böylece , nın asal alt cismi tarafından içerilir özelliği ispatlanmış olur.

Şimdi nın karakteristiği sıfır ise 0 ≤ ≤ 1 özelliğini gösterelim.

İkinci özelliğin ispatı için bazı kısıtlamalar kabul edeceğiz.

, karakteristiği sıfır olan bir cisim ve = ∑ , [ ] de idempotent

eleman olsun. = ( | ∈ ), nun sonlu üreteçli cisim genişlemesidir ve , [ ] de idempotentdir. Ayrıca , kompleks sayılar cismi içerisine gömülebilir

ve , [ ] de idempotentdir. O halde ilk kısıtlama olarak = olarak kabul

edebiliriz. Burada kompleks sayılar cismidir. İkinci olarak ≥ 0 olduğunu

göstermeliyiz. Eğer idempotent ise o zaman 1 − de idempotentdir ve böylece 1 − = (1 − ) ≥ 0 eşitsizliği ≤ 1 i sağlar.

Şimdi [ ] kompleks grup halkasını ele alalım. Eğer = ∑ , = ∑ [ ] nin elemanları ise


42

( , ) =

ve

‖ ‖ = ( , ) ∕ = | | ∕

dır. Burada , nın eşleniğidir ve | |, nın mutlak değeridir.

Açık bir şekilde (, ) bir ortonormal baz olan grup elemanları ile [ ] üzerinde

Hermityen iç-çarpımdır ve ∥ ∥ bu bazla ilişkili normdur.

∗ =

şeklinde tanımlansın. O zaman ∗ dönüşümü

( + )∗ = ∗ + ∗, ( )∗ = ∗ ∗, ∗∗ =

eşitliklerini sağlar. Böylece ∗, mertebesi 2 olan bir halka anti-otomorfizmasıdır.

( , ) = ∗ = ∗

eşitliğini inceleyelim. Eğer , [ ] nin üçüncü bir elemanı ise

( , ) = ( ∗ , ) = ( ∗ , )

olur. Gerçekten;

= ∑ , = ∑ , = ∑ olsun. ∗ = ∑ , ∗ = ∑ dır.


43

( , ) = ∑ = ∑

( ∗ , ) = ∑ ( ) = ∑

( ∗ , ) = ∑ ( ) = ∑ .

Diğer bir deyişle ∗ hem sağ hem de sol çarpım için bu iç çarpımla bir ek

dönüşümdür.

Şimdi sonlu olduğu zaman en az ≥ 0 iddiasının bir alternatif ispatını

elde etmek için yukarıda ki ifadeler kullanılmalıdır. = [ ], idempotent

elemanı tarafından üretilen [ ] nin bir sağ ideali ve , nın ortogonal tümleyeni

olsun. O zaman [ ] sonlu boyutlu olduğu için + = [ ] bir direkt toplam

ayrışımıdır. Fakat , [ ] nin sadece bir alt uzayı değil aynı zamanda [ ] nin bir

sağ idealidir. ∈ , ∈ ve ∈ [ ] olsun. bir sağ ideal olduğu için ∗ ∈ ve

( , ) = ( ∗, ) = 0

dır. Böylece ∀ ∈ için ortogonaldir ve ∈ dir.

+ = [ ] olmak üzere [ ] iki sağ idealin direkt toplam olarak bir

ayrışımıdır.

+ = 1, 1 in bir ayrışımına karşılık gelsin. ve , = [ ] ve = [ ] ile idempotentdir. , [ ] = (1 − ) [ ] ye ortogonaldir. ∀ ∈ [ ] için

0 = ( , (1− ) ) = ((1− )∗ , )

dır. Buradan (1 − )∗ ∈ [ ] = 0 dir. Böylece = ∗ elde edilir. O halde

∗ = ( ∗ )∗ = ∗ =

dir. O halde bir self-adjoint idempotent, bir izdüşümdür. [ ] = = [ ] olduğu için hem hem de , ideali için sol birimdir.


44

= = =

olur ve = ∗ olduğundan

= = ∗ = ‖ ‖

elde edilir. Bu sonucun ∈ ve ≥ 0 için elde edilmiş olması değil sonsuz

gruplara genişletilebilir olması önemlidir. nin sonlu olması burada çok önemlidir. + = [ ] ayrışımı sonsuz boyutlu iç-çarpım uzaylarında genellikle doğru

değildir. İspat gerçekte özel bir elemanına dayanmaktadır. ∈ olsun. [ ] nin

ve 1 elemanları arasındaki uzaklığı inceleyelim.

( , 1) = ‖ − 1‖ = ( − 1, − 1)

şeklinde tanımlansın. + = 1 ve ( − , ) = 0 olduğundan

( , 1) = ( − − , − − ) = ‖ − ‖ + ‖ ‖

olur. Böylece ( , 1) ≥ ‖ ‖ dir ve eşitlik ancak = iken elde edilir. Diğer bir

deyişle , nın 1 e en yakın olan tek elemanıdır.

Şimdi bir keyfi grup, , [ ] de bir idempotent eleman ve = [ ] olsun. nın 1 e uzaklığı

= ∈ ( , 1) = ∈ ‖ − 1‖

şeklinde tanımlansın. Eğer sonsuz ise [ ] tam olmadığı için 1 e çok yakın olacak

şekilde nın elemanının bulunduğuna dair hiçbir kanıt yoktur. Fakat nın

elemanlarının uzaklığı ile ilişkili bir dizisi vardır. nın elemanlarının uygun bir , , ⋯ ⋯ dizisi seçilebilir öyle ki


45

≤ ‖ − 1‖ < + 1 ⁄

dır. Bu dizi, sonlu durumlarda özel eleman ile önemli bir rol oynar ve aslında

yukarıda elde edilen = ‖ ‖ orijinal formülüne ayna tutar. Yeterli sayıda

eşitsizlikler ve yaklaşımlarla burada verilmeyen bir dizi çalışma ile

= lim → ‖ ‖ ≥ 0

elde edilir. Böylece ispat biter.

3.4 Yarı Basitlik

Bu bölümde karakteristiğin sıfır olması durumunda önceki bazı çalışmaların

beraberinde hipotez tartışılacaktır.

Eğer bir halka ise o zaman bir , -modülü, nin elemanlarıyla sağ

çarpımla tanımlanan toplamsal değişmeli gruptur. den nin endomorfizm

halkasına ⟶ halka homomorfizması verilsin. Bu dönüşüm yoluyla

üzerinde nin doğal bir etkisi vardır ve bu etki sağ çarpımla tanımlıdır. Böylece

bir -vektör uzayıdır.

Eğer nin 0 ve kendisinden başka hiçbir -alt modülü yoksa ye

indirgenemez -modül denir. Örneğin; = bir cisim ise indirgenemez -modül

bir boyutlu -vektör uzayıdır.

Artık nin indirgenemez modüllerinin terimleri üzerinde çalışabiliriz. Fakat

burada bir engel vardır. ≠ olmak üzere , ∈ elemanları vardır öyle ki her

indirgenemez -modül ve her ∈ için = olduğu söylenemez. Eğer bu

eşitlik sağlanır ise ( − ) = 0 dır ve böylece − elemanının sıfırdan farklı

olduğu söylenemez.

= { ∈ | = 0, her indirgenemez − modül için}


46

ifadesine nin Jacobson radikali denir. Jacobson radikali nin hem sağ hem sol

idealidir.

Lemma 3.4.1 birimli bir halka olsun. O zaman

= { ∈ |∀ ∈ için 1 − tersinirdir}

dir.

Eğer bir halkasının Jacobson radikali sıfır ise halkasına yarı basit denir.

İlk olarak karakteristiğin sıfır olduğu durumu ele alalım. Çünkü sonlu

olduğu için [ ] yarı basittir. Muhtemelen karakteristik sıfır durumunda [ ] her

zaman yarı basittir. Burada sonsuz gruplar üzerinde ki kompleks sayılar cismini

düşünelim. [ ] nin karakteristiğinin sıfır olması durumunda [ ] nin yarı basit

olduğu kabul edilebilir.

Teorem 3.4.2 Her grubu için [ ] yarı basittir.

İspat. Eğer = ∑ ise | | = ∑| | tanımlaması ile [ ] üzerinde bir özel norm

ortaya koyalım. | + | ≤ | | + | | ve | | ≤ | || | dır. , [ ] nin sabit bir

elemanı olsun. O zaman Lemma 3.4.1 den dolayı her kompleks sayısı için 1 −

tersinirdir.

( ) = (1 − )

fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyon kompleks değişkenli nin kompleks

fonksiyonudur ve nin bir tam fonksiyon olduğu gösterilebilir ve başlangıç

noktasına göre nin Taylor serisi bulunabilir. ( ) = (1− ) denirse ( ) = ( ) olur. Açık bir şekilde ∀ ( ) ∈ [ ] değişmelidir. Böylece


47

( ) − ( ) = (1− ) − (1− )

= [(1− )− (1− )](1− ) (1− )

= ( − ) ( ) ( )

temel özdeşliği elde edilir. İlk olarak | ( )| nin nin bir komşuluğunda sınırlı

olduğunu göstermeliyiz. ( ) = ( )− ( − ) ( ) ( ) ve böylece | ( )| ≤| ( )| + | − || ( )|| ( )|. Böylece

| ( )|{1 − | − || ( )|} ≤ | ( )|

dır.

Özel olarak yü ye yeteri kadar yakın seçersek {⋯ } çarpanını den daha büyük

yapabiliriz. Böylece ~ , | ( )| ≤ 2| ( )| dir.

( ) nün tam fonksiyon olduğunu göstermeliyiz. Bunun için ilk olarak ( )

için yukarıda ki formülü ele alalım.

( ) − ( ) = ( − ) ( ){ ( ) − ( − ) ( ) ( )}

Bu denklem − ile bölünür ve izi alınırsa

( )− ( ) − − ( ) = −( − ) ( ) ( )

elde edilir.

Sonuç olarak | | ≤ | | ve nin bir komşuluğunda | ( )| sınırlı olmasından

lim → ( )− ( ) − = ( )


48

elde edilir. Böylece ( ), ( ) ile bir tam fonksiyondur ve ( ) = ( ) dır.

Şimdi nin başlangıç noktasına göre Taylor serisini bulalım. Yeteri kadar küçük

için ( ) = (1 − ) olduğundan (1− ) uygun bir geometrik serinin

toplamı olarak yazılabilir ve izi alınarak elde edilebilir.

( ) =

olsun.

( )− ( ) = ( )−

= ( ) 1− (1− )∑ = ( )

ve böylece

| ( )− ( )| ≤ | | | | | ( )|

dır.

Öncelikle | ( )| in sıfırın bir komşuluğunda sınırlı olduğunu belirtmeliyiz ve

böylece yeterince küçük olmak üzere

lim → ( ) = ( )

olur. Böylece

( ) =


49

eşitliği başlangıç noktasının bir komşuluğunda ( ) nin Taylor serisinin

genişletilmesidir. bir tam fonksiyondur ve yukarıdaki serinin ( ) yi tanımladığını

ve her için yakınsadığını anlamak için kompleks analizden iyi bilinen Teorem

2.11.6 ya başvurabiliriz. Özel olarak

lim → = 0

dır ve bu her ∈ [ ] için sağlanır.

İspatı bitirmek için göstermeliyiz ki [ ] ≠ 0 ise o zaman bir ∈ [ ] elemanı vardır öyle ki yukarıdaki ifade sağlanmaz. Kabul edelim ki , [ ] nin

sıfırdan farklı bir elemanı olmak üzere = ∗ ∕ ‖ ‖ olsun. Jacobson radikali bir

ideal olduğu için ∈ [ ] dir ve = ∗ dır. = ‖ ‖ ∗ = ‖ ‖ ‖ ‖ = 1

nın kuvvetleri ∗ altında simetrik olduğundan ∀ ≥ 0 için

= ( )∗ = ‖ ‖ ≥ ( )

olur. Tümevarım yoluyla ∀ ≥ 0 için ≥ 1 dir ve bu ⟶ 0 ile çelişir.

O halde [ ] = 0 dır. Böylece [ ] yarı basittir.

, rasyonel sayılar cismi üzerinde cebirsel olmayan, karakteristiği sıfır olan

bir cisim olsun. O zaman her grubu için [ ] yarı basittir. Tüm geri kalan cisimler

için yarı basitlik sorusu rasyonel grup halkasınınkine denktir (Passman, 1971).

Bu noktada [ ] için yukarıdaki fikri genişletmeye çalışmada şaşırtıcı bir

durum vardır. Tekrar dan ya bir fonksiyon olarak ( ) = (1 − )

eşitliğini ele alalım. Öncelikle | | yeteri kadar küçük iken


50

( ) =

ifadesini inceleyelim. Şimdi sağ tarafı orjinin bir komşuluğunda bir analitik

fonksiyon olarak tanımlayalım. Böyle bir fonksiyonun polinom olması gerekli midir?

Maalesef böyle bir durum yoktur. Buna aşağıdaki gibi basit bir karşıt örnek

verilebilir. , ⋯ ⋯ negatif olmayan rasyonel sayıların bir sırası olsun ve ℎ( ) = 1 ! ( − )( − )⋯ ( − )( + 1)( + 1)⋯ ( + 1)

olarak tanımlayalım. O zaman ℎ, dan ya bir tam fonksiyondur ve ℎ polinom

fonksiyon değildir.

“ Sonlu üreteçli bir cebirin Jacobson radikali her zaman bir nil idealdir”

hipotezi, [ ] sıfır olmayan nil ideallere sahip değilse [ ] = 0 ı sağlar.

Karakteristiği > 0 olan cisim verilsin. İlk olarak kabul edelim ki sonlu olsun. O

zaman [ ] nin yarı basit olması için gerek ve yeter koşul ∤ | | olmasıdır. Bu,

ikinci durum olan sonsuz gruplar için anlamlı değildir. Fakat denk durumlarda yani nin , mertebeli hiçbir elemana sahip olmaması yukarıdakine denktir. Bununla

birlikte bu doğru cevap değildir. ” [ ] ≠ 0 olması için gerek ve yeter koşul nin

mertebeli bir elemana sahip olmasıdır’’ ifadesi doğru değildir. de uygun bir şekilde

iyi yerleştirilmiş olan mertebeli elemanlar önemli bir rol oynar.

Lemma 3.4.3 , [ ] grup halkasının bir elemanı olsun. ∈ [ ] olması için

gerek ve yeter koşul nin ⊆ olacak şekildeki her sonlu üreteçli alt

grubu için ∈ [ ] olmasıdır.

‘’iyi yerleştirilmiş’’ ile kastedilen nin her sonlu üreteçli alt grubunda özel

elemanların bulunmasıdır. , nin normal bir alt grubu olsun. Eğer

[ ] = [ ] ∙ [ ]


51

ise , nin radikalini taşır denir. Burada amaç nin uygun bir taşıyıcı alt

grubunu bulmaktır öyle ki [ ] yapısı iyi anlaşılsın.

,∆ alt grubuna ve yukarıda ki Lemma 3.4.3 e dayansın. ∧ ( ) = { ∈ | i içeren nin her sonlu üreteçli alt grubu için ∈ ∆ ( )}

şeklinde tanımlansın. O zaman ∧ ( ) , nin karakteristik alt grubudur. Şimdiye

kadar sayılan örneklerin hepsinde ∧ ( ) radikali taşır.

= [∧ ( )] ∙ [ ]

ideali üzerinde çalışılmış ve bu idealin Jacobson radikalinin çoğu özelliğine sahip

olduğu bulunmuştur. Böylece ∧ ( ) radikali taşır. Son olarak bu hipotez iyi bir

halka teorisi yorumuna sahiptir. Yani bu ‘’ sonlu üreteçli grup ise o zaman [ ] nilpotent ideallerin birleşimidir.’’ iddiasına denktir.

Yukarıda verilen hipotezde sonraki adım ∧ ( ) ve [∧ ( )] yi

çalışmaktır. ∧ ( ) herhangi bir yerel sonlu gruba dönüşür ve belirli [∧ ( )] nin

problemi aşikar değildir. Böylece genel durumda yerel sonlu grupları çalışma

problemi ile yüzleşiliyor ve burada yeni bir madde devreye giriyor.

Eğer grubunun her sonlu üreteçli alt grubu sonlu ise ye yerel sonlu denir. , nin böyle bir sonlu alt grubuysa ve , ⊆ ⊆ olan bütün sonlu alt

gruplarında alt normal ise , de yerel alt normaldir. Diğer bir deyişle böyle olan

her bir kümesi; bazı ler için

= ⊆ ⊆ ⋯ ⊆ =

ve ⊲ şeklinde alt grupların bir zincirine sahiptir. O zaman bu yerel alt

normal alt grupları kullanarak ( ) ile gösterilen nin yeni ve ilginç bir

karakteristik alt grubu tanımlanabilir. Sayılan bütün örneklerde ( ), nin

radikalini taşır ve

= [ ( )] ∙ [ ]


52

ideali genel durumda Jacobson radikalinin çoğu özelliğine sahiptir. Böylece

görünüyor ki yerel sonlu ise o zaman ( ), nin radikalini taşır.

Gruplar için yarı basitlik problemi iki parçaya ayrılır. Yani sonlu üreteçli grup

ve yerel sonlu grup durumlarına ayrılır. Bu durumların her birine ilişkin hipotezleri

birleştirirsek beklenen şey ∧ ( ) grubunun nin radikalini taşımasıdır. Bu grup

biraz karışık gibi görünürken onun için bazı teoremler vardır. Dahası ve en önemlisi ∧ ( ) ≠ 0 olması için gerek ve yeter koşul ∧ ( ) nin , mertebeli bir

eleman içermesidir.

Tanım 3.4.4 bir halka ise o zaman Jacobson radikali nin bütün maksimal sol

ideallerinin kesişimi olarak tanımlanır.

Önerme 3.4.5 , birimli bir halka olsun. ∈ için aşağıdaki ifadeler denktir.

(i) ∈

(ii) ∀ ∈ için 1 − elemanı bir sol terse sahiptir. Yani ∈ için (1 − ) = 1 dir.

(iii) Her maksimal sol ideal için ( ∕ ) = {0} dır. (Bu ifade her basit sol -modül için = {0} a denktir)

İspat.

(i)⟹(ii) Eğer ∈ için 1 − sol terse sahip değilse (1− ) bir öz sol

idealdir. Çünkü (1 − ) 1 i içermez. ‘’Her öz ideal bazı maksimal idealler

tarafından içerilir.’’ Teoreminden dolayı bir maksimal sol ideali vardır öyle ki 1 − ∈ (1 − ) ⊆ dır. ∈ ⊆ dır. sol ideal olduğu için 1 =(1 − ) + ∈ olur. Bu ise bir çelişkidir.

(ii) ⟹(iii) Bir sol -modül basittir gerek ve yeter koşul , bir maksimal sol

ideal olmak üzere ≅ ∕ dır. Bir basit -modül için ≠ {0} olsun. O zaman 0 ≠ ∈ için ≠ 0 dır. Böylece ≠ 0 dır. Çünkü alt modülü 1 yi içerir. basit


53

olduğu için = dir. Böylece ∈ için = ise (1 − ) = 0 dır.

Hipotezden (1 − ) bir sol terse sahiptir, yani (1 − ) = 1 dır. 0 = (1− ) = ⟹ = 0 çelişkisi elde edilir.

O halde = {0} dir.

(iii) ⟹(i) Eğer ( ∕ ) = {0} ise (1 + ) = + = ⟹ ∈ dır. Her

maksimal sol ideal için ( ∕ ) = {0} ise ∈∩ = dir.


54

4.GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR Melek ŞENOL

55

4. GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR

değişmeli olması gerekmeyen bir grup ve , değişmeli halkası üzerinde

modül olsun. × ⟶ fonksiyonu

(i) 1 = ( 1, nin birim elemanıdır.)

(ii) ∈ , ∈ için ( ) = ( ) ve ( ) = ( )

özelliklerini sağlıyorsa , üzerine etki eder denir.

Bir -modül olarak, [ ] bazı { | ∈ } olan bir serbest -modüldür.

deki grup işlemi, baz elemanlarının hepsinin üzerinde tanımlanmış bir çarpım verir.

Bunun [ ] üzerinde birleşme ve dağılma özelliklerine sahip bir çarpıma

genişletilebileceğini görmek kolaydır. Bu [ ] yi bir -cebir yapar. nin birim

elemanı [ ] nin birimidir. , [ ] nin birim elemanını içerecek şekilde [ ] nin

bir alt halkası olarak tanımlanabilir. M üzerinde nin bir grup etkisi ile birlikte bir -modül hem gösterim olarak hem de kavram olarak bir [ ]-modül ile aynı şeydir.

Burada nin sonlu olmasına gerek yoktur. Fakat grubun sonlu olması son derece

kullanışlı olan morfizmalar üzerinde güzel bir işlem verir.

Lemma 4.1 bir sonlu grup ve | | ≠ 0 ise ve , [ ]-modüller olmak üzere ∈ ( , ) -lineer dönüşümünden, ∈ [ ]( , ) [ ]-lineer

dönüşümüne bir operatör vardır öyle ki aşağıdaki ifadeler doğrudur.

(i) Eğer , [ ]-lineer dönüşüm ise = dir.

(ii) Eğer ∈ ( , ) ve ∈ [ ]( , ) ise = dır.

İspat. ∈ ( , ) ve ∈ için ( ) = | |∑ ( ) ∈ şeklinde

tanımlayalım. ∈ olsun. Bu durumda

( ) = 1| | ( )


56

= | |∑( ) ( )

= ( )

elde edilir. O halde , [ ]-lineerdir. ile çarpma nin elemanlarının sırasını değiştirdiğinden { } ∈ elemanlarının

ailesi yine dir.

Eğer , [ ]-lineer ise o zaman

( ) = 1| | ( )

= | |∑ ( )

= | |∑ ( ) = ( )

dır. Eğer , -lineer ve , [ ]-lineer ise o zaman

( ) = 1| | ( )

= | |∑ ( )

= ( )

eşitliği elde edilir. ∈ için nin eşlenik sınıfı {ℎ ℎ|ℎ ∈ } dir. Eğer sonsuz ise bir

eşlenik sınıfı sonlu ya da sonsuz olabilir. Eğer bir sonlu eşlenik sınıfı ise o zaman

kolaylıkla görülebilir ki ∑ , [ ] nin merkezinin bir elemanıdır.

Önerme 4.2 [ ] nin merkezi, , nin tüm sonlu eşlenik sınıflarını taramak üzere ∑ elemanlarından oluşan bir baza sahip olan bir serbest -modüldür.


57

Herhangi bir grup cebiri [ ] için bir tek : [ ] ⟶ , -cebir morfizması

vardır öyle ki ∀ ∈ için ( ) = 1 dir. Bu dönüşüme genişletme dönüşümü denir.

nun çekirdeğine [ ] nin genişletme ideali denir.

Önerme 4.3

(i) [ ] nin genişletme ideali [ ] nin, ∈ için bütün − 1 elemanları

tarafından üretilen idealidir.

(ii) , [ ] nin genişletme ideali olsun. , ∈ için

− 1 ≡ ( − 1) + ( − 1)( )

dir.

(iii) [ , ], nin komütatör alt grubu olsun ve ,ℤ[ ] nin genişletme ideali

olsun. O zaman

[ , ]⁄ ≈ ⁄

dir.

(iv) Eğer ve (sonlu olması gerekli değil) değişmeli gruplar ve ℤ[ ] ≈ℤ[ ] ise o zaman ≈ dir.

İspat.

(i) ( ) = 1 ⇔ ( ) = (1)

⇔ ( − 1) = 0

⇔ − 1 ∈

elde edilir.

(ii) ( − 1)( − 1) = − − + 1

⇒ ( − 1)( − 1) ≡ 0 ( )


58

⇒ ( − 1) ≡ + − 1 − 1 ( )

⇒ ( − 1) ≡ ( − 1) + ( − 1) ( ) dir.

5. GRUP HALKASINDA TÜREV Melek ŞENOL

59

5.GRUP HALKASINDA TÜREV

Bu kısımda herhangi bir grubu ve rasyonel tam sayıların halkası ile

ilişkilendirilmiş grup halkasını çalışacağız. de ki çarpma

∙ =

şeklinde tanımlıdır. nin elemanı nin ∙ 1 elemanı ile ve nin elemanı

nin 1 ∙ elemanı ile tanımlanabilir. Böylece ve , nin alt kümeleri olarak

görülebilir.

Bir grubundan bir grubuna homomorfizması den a bir halka

homomorfizmasını belirler. Aynı sembolü tarafından belirtilen bu halka

homomorfizması, grup-homomorfizmasının lineer genişlemesidir. ∑ =∑ ( ) şeklinde tanımlıdır ve nin her elemanını sabit bırakır. grup-

homomorfizmasının çekirdeği, tarafından nın birim elemanı 1 e dönüştürülen

nin elemanlarından oluşan normal alt grup dir. halka-homomorfizmasının

çekirdeği, tarafından ın sıfır elemanına dönüştürülen nin elemanlarından

oluşan idealidir. Bu şekilde ideali her normal alt grubuna karşılık getirilebilir.

Karşıt olarak de ki her ideali nin bir normal alt grubunu tanımlar. Bu alt

grup , ⟶ ∕ halka homomorfizması tarafından nin 1 e dönüştürülen

elemanlarından oluşur. Açık bir şekilde verilen bir normal alt grubuna karşılık

gelen ideali yi belirler ve yi belirleyen nin en küçük idealidir.

Eğer , ,⋯ de yi üretiyor ise o zaman − 1, − 1⋯ de yi

üretir. Kabul edelim ki ∑ ∈ olsun. Bu durumda ∑ ( ) = 0 dır. O zaman nın herhangi bir ℎ elemanı için ∑ , ( ) = ℎ olan elemanlarının genişletilmesi

ise ∑ = 0 dır. , ( ) = ℎ olan bir eleman olsun. O zaman ∑ = ∑ ( − 1) + ∑ = ∑ ( − 1) olur.


60

Böylece ∑ , ∈ , − 1 elemanlarının bir lineer kombinasyonudur. ∑ , − 1, − 1⋯ nin bir lineer kombinasyonudur ve

− 1 = − ( − 1)

− 1 = ( − 1) + ( − 1)

− 1 = ( − 1)

şeklinde ifade edilebilir. ∘: ⟶ 1 aşikar homomorfizması tarafından belirlenen ∘: ⟶ homomorfizmasının özel bir önemi vardır. nin ∑ elemanı, ∘ tarafından

katsayıların toplamına ∘ ∑ = ∑ ∘ ( ) = ∑ dönüştürülür. ∘ halka-

homomorfizmasının çekirdeği yani nin kendisine karşılık gelen ideali,

katsayıların toplamı sıfır olan bütün elemanlardan oluşur. ye nin temel ideali

denir.

grup halkasında ki türev den ye bir dönüşümü ile gösterilir ve

aşağıdakileri sağlar.

( + ) = + (5.1.)

( ∙ ) = ∙∘ ( ) + ⋅ , , ∈ . (5.2.)

( ℎ) = + ℎ, ,ℎ ∈ . (5.2 .) = 0, ∈ . (5.3.)

∑ = ∑ , (5.4.)

( ∙ ⋯ ) = ∑ ⋯ ∙∘ ( )⋯ ∘ ( ) , (5.5.)

( ) = − , ∈ . (5.6.)


61

de ki türev bir sağ -modül belirler ve bu modülde toplama ( + ) = + ve sağ-çarpım, nin bir elemanı için ( ∙ ) = ∙ şeklinde

tanımlıdır.

5.1 Serbest Grup Halkasında Türev

Bir serbest grubu, ( ) = ( , ,⋯ ) üreteçler kümesine sahiptir. in bir elemanı,

kelimelerin bir denklik sınıfıdır öyle ki bir tek gösterime sahip olan indirgenmiş

kelime = ±1, = için + ≠ 0 olmak üzere ∏ ile gösterilir.

nun uzunluğu indirgenmiş temsilci kelimenin uzunluğudur. Birim eleman 1, boş

kelime ile temsil edilir ve uzunluğu sıfırdır. nun tersi ∏ indirgenmiş

kelimesi ile temsil edilir.

serbest grup halkasının bir elemanı ( ) = ∑ , ∈ , ∈ serbest

polinomudur. den bir grubuna homomorfizması ( ) ⟶ ( ) =( ( ), ( )⋯ ) şeklinde tanımlı bir dönüşümdür. Bu homomorfizmanın

belirlediği halka homomorfizması : ⟶ , ( ) ⟶ ( ) = ∑ ( )

şeklinde tanımlı bir dönüşümdür. Özel olarak ∘ : ⟶ homomorfizması ( ) ⟶ (1) = ∑ ∘ ( ) = ∑ şeklinde tanımlıdır. in temel ideali (1) = 0

olan ( ) polinomlarından oluşur. de ki türevlerin kümesi özel basit bir yapıya

sahiptir.

Teorem 5.1.1 in her bir üretecine ( ) ⟶ ( ) = ( ) = ( )/ türevi karşılık gelir ve buna ye göre türev denir. Bu türev

= , (Kroneker delta) (5.7.)

özelliğine sahiptir.


62

Dahası ( ) ⟶ ( ) şeklinde tanımlı bir ve yalnız bir türev vardır öyle ki , ,⋯ yi in önceden belirlenmiş ℎ ( ),ℎ ( ),⋯ elemanlarına dönüştürür. Bu

türevin formülü

( ) = ∑ ( ) ∙ ℎ ( ) (5.8.)

dir.

İspat. Her indeksi ve in elemanı için

⟨ , ⟩ = 1,eğer , indirgenmiş temsilci kelime nun başlangıç kısmı ise0, aksi takdirde

şeklinde tanımlansın. Bu tanımın lineer olarak e genişletilmesi ⟨ , ( )⟩ =⟨ , ∑ ⟩ = ∑ ⟨ , ⟩ şeklindedir.

Her indeksi, in elemanı ve ( ) serbest polinomu için

⟨ , , ( )⟩ = ⟨ , ( )⟩− ⟨ , ⟩ (1)

şeklinde tanımlansın. ⟨ , , ⟩ = ⟨ , ⟩− ⟨ , ⟩ ifadesi , nun bir başlangıç kısmı değilse sıfırdır.

Çünkü nin nun başlangıç kısmı olması için gerek ve yeter koşul nin

in bir başlangıç kısmı olmasıdır. ve ( ) verilsin ⟨ , , ( )⟩ = ⟨ , , ∑ ⟩ =∑ ⟨ , , ⟩ tamsayısı in elemanlarının bir sonlu sayısı hariç sıfıra eşittir. ye

göre ( ) in türevini

( ) = ⟨ , , ( )⟩ ∈


63

şeklinde tanımlayalım. Açık bir şekilde ( ) türevi (5. 1) i sağlar. Böylece (5. 2) nin

(5.2 ) özel durumunu ispatlamak uygundur. , ∈ olsun.

( ) = ∑ (⟨ , ⟩− ⟨ , ⟩ )

= ∑ (⟨ , ⟩− ⟨ , ⟩ ) + ∑ (⟨ , ⟩− ⟨ , ⟩ )

= ∑ (⟨ , ⟩− ⟨ , ⟩ ) + ∑ (⟨ , ⟩ − ⟨ , ⟩ )

= + (5.7) in ispatı için nın başlangıç kısımlarını 1 ve olarak görelim. Böylece

= ⟨ , 1, ⟩ + ⟨ , , ⟩ = (⟨ , ⟩− ⟨ , 1⟩ ) + (⟨ , 1⟩ − ⟨ , ⟩ )

= − 0 + (0− 0) .

Son olarak (5.8) i ispatlayalım. ( ) , indislerinin sonlu sayısı hariç tanımlı

olmadığından

( ) ∙ ℎ ( )

toplamı sonludur. de ki türevler bir sağ -modül formunda olduğu için ( ) ⟶∑ ( ) ∙ ℎ ( ) bir türevdir. Dahası her indeksi için ⟶ ℎ ( ) dir. Eğer ( ) ⟶ ( ), , ,⋯ yi ℎ ( ),ℎ ( ),⋯ e götüren herhangi bir türev dönüşümü

ise o zaman ( ) ⟶ ( )− ∑ ( ) ∙ ℎ ( ) , her yi 0 a götüren bir türev


64

dönüşümüdür. Böylece her ,− ∙ 0 = 0 a gider. (5.1) ve (5.2) den in her

elemanı 0 a dönüşür. Böylece ( ) = ∑ ( ) ∙ ℎ ( ) dir.

( ) ⟶ ( )− (1), , ,⋯ yi − 1, − 1,⋯ e götüren bir türev

dönüşümüdür. (5.8) den

( ) = (1) + ∑ ( ) ∙ − 1 (5.9.)

temel formülü elde edilir. Bu formül in herhangi bir ( ) elemanını (1) den ve ( ), = 1,2,⋯, türevi özel olarak serbest grubunun herhangi bir elemanını / , / ,⋯ türevlerinden kurtarır.

Bir üretecin bir kuvvetinin türevi (5.9) temel formülünden kolaylıkla

hesaplanır

= = 1 + + ⋯+ ≥ 1, (5.10.)

= 0 = 0, = − − −⋯− ≤ −1.

Bu formül ve (5.5) den ∈ elemanı

= ⋯

formunda yazılabilir. Burada , ,⋯ , sıfırdan farklı tamsayılardır ve

indirgenmiş temsilci kelimeler , ,⋯ , üretecini içermez.

= ∑ ⋯ ( 5.11. )


65

ifadesi elde edilir.

Örnek 5.1.2 serbest grubunun üreteç kümesi ( ) = ( , ) ve = olsun.

( ) = ( ) = ∑ ⋯

= + +

= (1 + + + ) + + (1 + + )

= (1 + + + ) + + (1 + + )

( ) = ( ) = ∑ ⋯

= + + +

= 1 + + + (1 + + + ) + (1 + + + + )

Örnek 5.1.3 serbest grubunun üreteç kümesi ( ) = ( , , ) ve = olsun.

( ) = ( )

= (1 + ) +

( ) = ( )

= (1 + + + ) + (− − ) + (1 + + )

( ) = ( )

= + (− − )


66

Örnek 5.1.4 , > 0 olmak üzere ( ) = (1 + +⋯+ ) + (− − −⋯− )

= (1− )(1 + + ⋯+ ).

Bu örnekler türevin zincir kuralını tanımlar.

Eğer , bir serbest grubundan serbest grubuna bir homomorfizma ise herhangi

bir ∈ için

/ = ∑ dir. (5.12.)

(5.11) e rağmen (5.12) de ki eşleniklik özel durumlarda hesaplanan türevin en

özel yoludur. Bu nun indirgenmiş temsilci kelimesinin terimlerinde ki / için

bir açık formüle sahiptir. Böyle bir formülde bir kelimenin başlangıç kısımlarının bir

düzenlemesi hariç başlangıç kısmına ihtiyaç yoktur. ∏ , = ±1 kelimesinin -yıncı başlangıç kısmı ∏ , = +1 ya da ∏ , = −1 olarak

tanımlanır. ∈ in -yıncı başlangıç kısmı ( ), indirgenmiş temsilci kelimenin -

yıncı başlangıç kısmı olarak tanımlanır. Böylece

( ) = ∏ ( ) = ∏ ∙ ( )/ (5.13.)

dir. -yıncı kısım için bu notasyon, = 1,2,⋯

= ∑ ( ) (5.14.)

formülünü verir. Toplama = için indisine genişletilmiştir.

(5.9) temel formülünden dolayı in bir elemanında görülen özelliğin türevinde de

görülmesi beklenir. Örneğin, in bir elemanının ∏ temsilci kelimesinin


67

= için indisi üzerinde ki ∑ kuvvet toplamı / ∘ a eşittir. Bu eşitlik

(5.14) den görülür. Aslında (5.14) e göre / , da ki nin bir ağırlıklı kuvvet

toplamı olarak görülebilir. = nin kuvveti ( ) çarpanı tarafından ‘’ağırlıklı’’

olur. (5.14) formülünde değişmeli toplam ile ağırlıklı kuvvetler eklense bile , / türevleri tarafından belirlenebilir.

(5.14) in sağ tarafında kısıtlama ya da sınıflandırma mümkün değildir.

Tersine kabul edelim ki < için ( ) = ( ) olsun. Bu durumda ( )/ ⋯ ( )/ = 1 dir. Bu ancak = + 1 ve = −1, = 1

iken mümkündür. Hipotezden ⋯ bir indirgenmiş kelime olduğu için bu

mümkün değildir. Bunun bir sonucu ‘’ = için indisi üzerindeki -uzunluğu = ∑| |, / de ki terimlerin sayısına eşittir’’ ifadesidir. Bir serbest ( )

polinomu, in herhangi bir elemanının tüm katsayılarının mutlak değeri ≤ 1

olmadıkça, / türevine eşit olamaz. ( Bu koşul yeterli değildir; herhangi bir ∈ için = mümkün değildir.)

5.2 Fox Türevlerinin Uygulamaları

Bir grubunun integral grup halkası ile gösterilir. , nin genişletme

homomorfizmasını belirtsin öyle ki ∀∑ ∈ için ∑ = ∑ olsun. ∆= a nin genişletme ideali denir. den ye tanımlı dönüşümü eğer ∀ , ∈ ℤ için ( + ) = + ve ( ∙ ) = ∙ ( ) + ⋅

eşitliklerini sağlıyorsa dönüşümüne bir (sol) türev denir. de ki türev aşağıda ki

özelliklere sahiptir.

(i) ∀ ∈ ℤ için = 0,

(ii) ( ∙ ⋯ ) = ∑ ⋯ , ≥ 1, , ,⋯ , ∈ ,

(iii) ∀ ∈ için ( ) = − .


68

serbest grubunun bazı , ,⋯ , olsun. = 1, 2,⋯ , için ∈

olmak üzere , ye göre kısmi Fox türevi olsun öyle ki / = dir( Kroneker delta). , ,⋯ , nin elemanlarının bir kümesi olsun ve = ( , ,⋯, ) ( , ,⋯, ) ifadesi Jacobian matrisi belirtsin. 1973 de Birman ‘’ , ,⋯ , yi

üretir ancak ve ancak Jacobian matrisinin sağ tersi vardır’’ teoremini ispatladı. ⊲ olmak üzere , ,⋯ , elemanlarının kümesinin = / nin üreteç

kümesi olması için gerek ve yeter koşulları belirleyelim.

Teorem 5.2.1 , , ,⋯ , bazına sahip bir serbest grup ve , nin normal alt

grubu ve , ,⋯ , nin elemanlarının bir kümesi olsun. O zaman { , ,⋯ , }

kümesinin / nin üreteç kümesi olması için gerek ve yeter koşul üzerinde × tipinde bir = matrisi vardır öyle ki , ,⋯ , ∈ ℤ ve ℎ , ℎ ,⋯ ,ℎ ∈ olmak üzere

+diag( , ,⋯ , ) =

olmasıdır.

Burada , × tipinde birim matris ve diag( , ,⋯ , ) esas köşegen elemanları , ,⋯ , olan × tipinde köşegen matristir.

İspat. Eğer { , ,⋯ , }, / nin üreteç kümesi ise = ( , ,⋯ , ) , ,⋯ , de bir kelimedir. Böylece = ( , ,⋯ , )ℎ ,ℎ ∈ dir. de

= = { ( , ,⋯ , )ℎ } = + ℎ

elde edilir. (ii) özellikten


69

=

, ∈ ℤ , 1 ≤ ≤

dır. = ve = , = 1, 2,⋯ olsun. O zaman

+diag( , ,⋯ , ) =

eşitliği elde edilir.

Tersine

+diag( , ,⋯ , ) = olsun.

Burada , ,⋯ , ∈ ℤ ve ℎ , ℎ ,⋯ ,ℎ ∈ dir. O zaman

+ ℎ =

olur. Eşitliğin her iki tarafını − 1 ile çarpalım ve üzerinde toplam alalım.

− 1 + ℎ

− 1 = − 1

dır.

Fox’ un temel formülü (5.9) dan ∑ − 1 = − 1 ve ∑ − 1 =ℎ − 1 elde edilir. Böylece

∑ ( − 1) + (ℎ − 1) = − 1


70

ve

∑ ( − 1) = − 1 mod ℤ ( − 1)

elde edilir. (Cohen, 1972) den , ,⋯ , / nin üreteç kümesidir.

Sonuç 5.2.2

(i) Gerekliliğin ispatı için matrisi, , ,⋯ , ve ℎ ,ℎ ,⋯ , ℎ

elemanlarının bulunması için bir algoritma vardır. Aslında , ,⋯ , elemanları

serbest grubuna aittir.

(ii) = 1 ise Teorem 5.2.1 den “ nin , ,⋯ , elemanlarının için bir

baz olması için gerek ve yeter koşul Jacobian matrisinin de tersi olmasıdır”

ifadesi elde edilir.

Örnek 5.2.3 = ⟨ , ⟩ , = , = , = olsun. = = ve = = olmak üzere , / için üreteç kümesi midir?

Çözüm. , nin / nin üreteç kümesi olması için

+ diag( , ,⋯ , ) = olacak şekilde matrisi, , ∈ ℤ ve ℎ , ℎ ∈ elemanları bulunmalıdır.

= = − 00 1 − 00 1 + 00 = 1 00 1


71

− − + = 1 00 1 − + = 1

+ = 0

− + = 0

+ = 1

= 1 − − − 0 0 ; ℎ = [ , ] = , ℎ = 1; = , = 1 olarak alınırsa istenen elde edilir.




= = 1 0− 1 1 0− 1 + 00 = 1 00 1 − − + = 1 00 1


72

− + = 1

+ = 0

− + = 0

+ = 1

= 1 01 ; ℎ = 1 , ℎ = [ , ] = ; = 1, = olarak

alınırsa istenen elde edilir.




= = 0 11 0 11 + 00 = 1 00 1 + + + = 1 00 1 + = 1


73

+ + = 0

+ = 0

+ + = 1

= − − 1 + − − ; ℎ = [ , ] = , ℎ = [ , ] = ; = , = 1 olarak alınırsa istenen elde edilir.




= = 0 11 − 0 11 − + 00 = 1 00 1 − − + = 1 00 1 + = 1

− + = 0


74

+ = 0

− + = 1

= 1 1 0 ; ℎ = [ , ] = , ℎ = 1; = , = 1 olarak

alınırsa istenen elde edilir.




= = 1 01 1 01 + 00 = 1 00 1 + + + = 1 00 1 + + = 1

+ = 0

+ + = 0


75

+ = 1

= 1 + − − − − + − ; ℎ = [ , ] = , ℎ = [ , ] = ; = , =

olarak alınırsa istenen elde edilir.


76

6.DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER Melek ŞENOL

77

6.DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER

Bir grubunun grup halkasını ( ) ile gösterelim. ( ) , ( ) integral

grup halkasının birim grubu olsun. Eğer sonlu değişmeli ise

( ) = ± ×

eşitliği sağlanır (Higman, 1940). Burada serbest gruptur ve rankı ( : 1) + 1 + − 2 dir. , nin mertebesi 2 olan elemanlarının sayısı ve , nin devirli alt

gruplarının sayısıdır. Sonlu üreteçli, değişmeli grubu için ( ) yi

hesaplayalım ve ( ) = ∈ ve , nin bir sonlu alt grubu olmak üzere ∈ ( ) eşitliğini ispat edelim. sonlu değişmeli olduğu zaman ( ) nin bir

otomorfizması ∈ için ( ) = ± gibi bir grup otomorfizmasından elde edilir.

sonlu üreteçli ve değişmeli olduğu zaman ( ) nin grup otomorfizmasını

inceleyelim.

6.1 ( ) nin Birimleri

Lemma 6.1.1 Eğer bir tamlık bölgesi ve torsiyonsuz değişmeli grup ise ( ) nin

birim grubu ( ) ∙ dir.

İspat: , 1969’ e bakınız.

Lemma 6.1.2 bir değişmeli halka ve sadece 0 ve 1 idempotent elemanlarına

sahip olsun. = ⟨ ⟩ sonsuz devirli grup olsun. Eğer sıfırdan farklı nilpotent

elemanları içermezse ( ) in birim grubu ( ) ∙ dir.


78

İspat. , ∈ ( ) olmak üzere = 1 olsun. = ∑ ve = ∑ , ≠ 0

olarak alınabilir. İlk olarak = ∑ , ≠ 0 olduğunu gösterelim. , nin yi içermeyen bir asal ideali olsun. = 1, / ( ) dedir. Lemma 6.1.1 den dolayı ≠ 0 dır ve benzer şekilde eğer ≠ 0 ise o zaman ≠ 0 dır. Böylece =

dir. Benzer düşünce ile eğer bazı > 0 için ≠ 0 ise ≠ 0 dır. O halde = ∑ ve = ∑ olur.

İkinci olarak ≠ için = 0 ve = 0 olduğunu gösterelim. Kabul

edelim ki ≠ 0 olsun. ∉ olacak şekilde asal ideali seçelim. O zaman ≠ 0 ve ≠ 0, / de ve / ( ) grup halkasında = 1 dir. Bu ise Lemma

6.1.1 ile çelişir. O halde = 0 dır ve benzer şekilde ≠ için = 0 ve = 0 dır. O halde

= 1

= = 0 = , ≠ için (⋆)

ifadeleri biliniyor. ≠ 0 olsun. O zaman

+ + ⋯+ = 1

olur. ile her iki tarafı çarparsak

= ve ( ) =

elde edilir.

Böylece = 1 ve (⋆) dan ≠ için = 0 olur. O halde

= ve =


79

dır.

bir grup olsun. , nin bir normal alt grubu ve ( : ) < ∞ olmak üzere ⋂ = 1 ise ye residülü sonlu grup denir.

Lemma 6.1.3. residülü sonlu grup ve ( ) de nin integral grup halkası olsun. O

zaman

∈ ( ), = ⇒ = 0 ya da = 1 dir.

İspat. sonlu olduğu zaman iyi bilinen sonuç için (Berman, 1953) e bakınız. = ∑ , ∈ ℤ olsun. residülü sonlu olduğu için nin bir normal alt

grubu vardır öyle ki ( : ) < ∞ ve 1 ≤ ≤ için kosetleri farklıdır. ( / )

de ki = eşitliğini düşünelim. ∈ , = 1 ya da sıfırdır ve > 1 için = 0

dır. Böylece = 0 ya da 1 dir.

Lemma 6.1.4 sonlu üreteçli değişmeli grup olsun. O zaman

∈ ( ), = ⇒ = 0 ya da = 1 dir.

İspat. sonlu üreteçli olduğu için residülü sonludur. Böylece Lemma 6.1.3 den

istenen elde edilir.

Teorem 6.1.5 sonlu üreteçli değişmeli grup olsun. O zaman ( ) nin birim grubu ( ) = ∈ ve , nin bir sonlu alt grubu olmak üzere ∈ ( ) dir.

İspat. ∈ ( ) olsun. sonlu üreteçli olduğundan

= × ⟨ ⟩ ×⋯× ⟨ ⟩, | | < ∞


80

olur. İspatı üzerine tümevarımla yapalım. ( × ⟨ ⟩ ×⋯× ⟨ ⟩) aşikar

olmayan idempotent ya da nilpotent elemanlara sahip olmadığından Lemma 6.1.2, = × ⟨ ⟩ × ⋯× ⟨ ⟩ ve , ( ) in birimi olmak üzere = e

uygulanabilir. Tümevarım hipotezinden = , ∈ ve , ( ) ın birimi olup, | | < ∞ dır. Böylece = = dir.

Sonuç 6.1.6 bir sonlu üreteçli grup yani = × , sonlu ve serbest olsun. O

zaman ( ) nin birim grubu × ile verilir. Burada , ( ) nin birim grubudur.

6.2. ( ) nin Otomorfizmaları

sonlu değişmeli olduğu için ( ) deki sonlu mertebeli birimler sadece ∈ için ± dir (Hıgman, 1940). ( ) nin bütün otomorfizmaları nin otomorfizmalarından

belirlenmiştir. torsiyonlu ya da torsiyonsuz değişmeli olduğu zaman ( ) nin

bütün otomorfizmaları nin otomorfizmalarından belirlenmiştir (Sehgal, 1969).

Fakat karma olduğu zaman bu durum olmaz.

Örneğin; = ⟨ ⟩ × ⟨ ⟩, = 1,∘ ( ) = ∞ olsun. ( ) nin birim grubu , ± ×⟨ ⟩, ∘ ( ) = ∞ ile verilir. Bunun nedeni (⟨ ⟩) nin birim grubunun serbest kısmının

1 rankına sahip olmasıdır.

: ( ) ⟶ ( )

fonksiyonu

=

şeklinde tanımlansın. bir homomorfizmadır. birebirdir. Çünkü 0 = ∑ ⇒ ∑ = 0 ⇒∑ = 0 ⇒ = 0 dır.


81

sonlu üreteçli değişmeli grup olsun. O zaman = × dir. Burada

sonlu ve serbestdir. ( ) nin birim grubu

( ) = × × ( ) = ×

şeklinde verilsin. = ( ) nin otomorfizm grubu = nin otomorfizmaları tarafından belirlenen ( ( ) = ± ; , ∈ gibi) ( ) nin otomorfizmalarının grubu = × in elemanlarını eleman eleman sabit bırakan × × nin

otomorfizmalarının grubu olsun.

Teorem 6.2.1 = × dir.

İspat. ∈ olsun.

( ) = ( ), ∈ , ∈

şeklinde tanımlansın. , ( ) nin bir otomorfizmasına genişletilebilir. O zaman ∈ ve , ×

elemanını sabit bırakır ve nin bir elemanı olarak düşünülebilir. O halde

⊆ × (6.1. )

dır. Karşıt olarak ∈ , ∈ olsun.


82

= ( )

olarak tanımlayalım. Burada ∈ farklıdır ve ∈ ( ) dir. Açık bir şekilde bir

homomorfizmadır. (∑ ) = 0 olsun.

0 = = ( )

dır.

Böylece 0 = ∑ ( ) = ∑ , ∈ × , ∈ dir. ler farklı

olduğundan = 0 dır. Dolayısıyla ∑ = 0 olur. O halde

× ⊆ (6.2. )

olur. (6.1. ) ve (6.2. ) den

= ×

elde edilir.

7. GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER Melek ŞENOL

83

7.GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER

Bu kısımda grup halkaları alanında karşılaşılan bazı önemli problemlere

değineceğiz. ve grup ve bir halka olsun. ≅ ⇒ ≅ ifadesi doğru mudur?

Aynı mertebeli izomorfik olmayan sonlu değişmeli iki grubun karmaşık sayılar üzerinde izomorfik grup cebiri vardır. Fakat 1950 de S.Perlis ve C.Walker sonlu değişmeli grupların rasyonel sayılar cismi üzerinde kendi grup halkaları tarafından belirlendiğini gösterdi. Sonra 1956 da W.E.Deskins sonlu abeliyan p-gruplarının karakteristiği p olan keyfi cisimler üzerindeki grup halkaları tarafından belirlendiğini gösterdi. Değişmeli olmayan gruplar üzerindeki bazı sonuçlar D.B.Coleman ve D.S.Passman tarafından elde edildi.

Bu izomorfizm problemlerinin pozitif bir şekilde çözüldüğü uygun cisimler üzerinde grupların özel aileleri için görüldü. Fakat 1972 de E.Dade grup halkalarının izomorfik olmayan her K cismi üzerinde izomorfik olduğuna dair bir örnek yayınladı.

Sonuç olarak sonlu grupların integral grup halkası üzerinde verilen aşağıdaki hipotezi ele alalım. ≅ ⇒ ≅

İntegral durumuna yönelmenin nedeni ≅ olması diger her değişmeli halkası için ≅ olmasını gerektirir. Böylece bu koşullarda ≅ , hipotezi güçlü bir olasılıkla sağlar. Bu hipotezdeki ilk pozitif sonuçlar 1940 da sonlu değişmeli gruplar ve Hamiltonian 2-grupları için Graham Higman tarafından bulundu. Şimdiye kadar problem tam anlamıyla çözülemedi. Fakat birkaç sonuç çeşitli grup sınıfları için elde edildi. Tanım 7.1. : → fonksiyonu ∑ ( ) ∈ = ∑ ( ) ∈ şeklinde

tanımlansın. fonsiyonu bir halka homomorfizmasıdır. foksiyonuna RG nin

genişletme fonksiyonu denir.

Tanım 7.2 : → izomorfizması verilsin. Eğer ∀ ∈ için ( ) = ( ) ya da ∀ ∈ için ( ) = 1 ise bu izomorfizmasına


84

normalleştirilmiş izomorfizm denir. Eğer : → izomorfizması varsa bu iki halka arasında normalleştirilmiş izomorfizm vardır. : → bir normalleştirilmiş izomorfizm olsun. Eğer ∀ h∈ için (ℎ) ∈ ise , ve arasında kısıtlanmış izomorfizm verir. En büyük zorluk ℎ ∈ için (ℎ) formunun elemanları hakkındaki ana bilgidir. | | = olduğunda ∀ ℎ ∈ için ℎ = 1 dir ve bir homomorfizma olduğu için (ℎ) = 1 dir. O halde ℎ ∈ için (ℎ) de sonlu mertebeli birimdir. bir sonlu mertebeli grup olsun.

( ) = { ∈ | tersinir} ( ) = { ∈ ( )| ( ) = 1}

şeklinde tanımlansın. İlk kümeye nin birim grubu denir ve ilk küme içerisinde normal olan ikinci kümeye nin normalleştirilmiş birimlerinin grubu denir.

H.J.Zassenhaus integral grup halkalarının normalleştirilmiş birimleri ve izomorfizmleri hakkında çeşitli hipotezler ortaya koydu:

1. : → normalleştirilmiş otomorfizm olsun. Bu durumda bir ∈ birimi ve ∈ ( ) otomorfizması vardır öyleki ∀ ∈ ç ( ) = ( ) dir.

2. ∈ ( ) torsiyon birim olsun. O zaman bir ∈ birimi vardır öyleki ∈ dir. (Bu durumda , nin birim elemanı ile eştir.)

3. , ( ) nin sonlu bir alt grubu ve | | = | | olsun. O zaman ∈ birimi vardır öyleki = dir.

4. , ( ) nin sonlu alt grubu olsun. O zaman bir ∈ birimi vardır öyleki ⊂ dir.

5. , ( ) nin p-alt grubu olsun. O zaman öyle bir ∈ birimi vardır ki ⊂ dir. Bu hipotez ( ) nin herhangi bir Sylow p-alt grubunun G nin bir p-alt grubuna eşlenik olduğunu ifade eder.

Bu bağlamda diğer önemli sorulardan söz edeceğiz. Verilen bir grubunun nin birim grubundaki yerinin nasıl belirleneceği ve ( ) içerisindeki normalleyenini belirlemek doğal bir sorudur. Açık olarak ( ( )) merkezi ve


85

nin merkezi yi normalize eder. Normalleştirme hipotezi bu iki grubun normalleyenini belirler. ( )( ) = ∙ ( ) .

70 li yıllardan beri elde edilen sonuçlar gösterdi ki bir grup halkasının birim grubu çok karmaşık bir yapıdır.Nedenlerden birisi çok sık bir şekilde birim grubunun rankı 2 olan bir serbest grubu içermesidir. Açık problemlerden birisi birim gruplarındaki serbest alt grupların somut üreteçlerini belirlemektir.

Grup halkaları kavramının çeşitli genellemeleri vardır. Onlardan bazıları yaygın bir şekilde çalışılmış olan çarpık grup halkaları , vektörel çarpımlar , yarı grup halkaları , Frobenius ve yarı-Frobenius halkaları, ilmik halkaları ve Hopf cebirleridir.

Grup halkalarının birim gruplarındaki serbest alt gruplarının varlığı sorusu A.Lichtman dan dolayı bölüm halkaları için benzer bir hipoteze sebep oldu. 6. Değişmeli olmayan bölüm halkasının çarpımsal grubu, rankı 2 olan bir serbest grup içerir. L.Makor-Limanow dan dolayı benzer bir hipotez vardır. 7. merkezi üzerinde sonsuz boyutlu sonlu üreteçli bir bölüm halkası, rankı 2 olan bir serbest -cebir içerir. 8. merkezi üzerinde sonsuz boyutlu sonlu üreteçli bölüm halkası, rankı 2 olan bir serbest grubun üzerinde grup cebirini içerir. Yukarıdaki problemler M. Hertweck tarafından aşağıdaki durumlar için ispatlanmıştır.

• Sonlu metabelyen gruplar. • Simetrik ve alterne gruplar. • Sonlu gruplar ki bunlar bazı halkaların çarpımsal gruplarıdır. • Sonlu nilpotent gruplar.

2 nin doğru olduğu grup listelerini aşağıda verelim.

a) b) c) G=< >⋊ < > formunun yarı devirli grupları. Burada in mertebesi

ve nin mertebesi , ve farklı asal sayılardır. d) G=< > ⋊< > formundaki yarı devirli gruplar. Burada (| |, | |) = 1 e) f) A5

g) S5 h) G=< > ⋊ formundaki gruplar. Burada değişmeli grup, (| |, | |) = 1


86

4 hipotezi aşağıdaki gruplar için ispatlanmıştır.

a) Nilpotent gruplar. b) G=< > ⋊< > formundaki yarı devirli gruplar. Burada (| |, | |) = 1 dir. c) ve ikili Octahedral gruplar. d) , 5 e (2,5)

Diğer taraftan 5 hipotezinin doğruluğu aşağıdaki grup aileleri için sağlandı.

a) Sonlu nilpotent-by-nilpotent gruplar b) Sonlu çözülebilir gruplar öyleki her Sylow -alt grubu ya abelyen ya da

genelleşmiş quaterniyon altgruplarıdır. c) Sonlu çözülebilir gruplar ki bu grupların mertebeleri bir asal sayının 4-üncü

kuvveti tarafından bölünemez. d) Genellikle > 2 için Frobenius gruplar ve = 2 durumunda homomorfik

görüntüsü olmayan Frobenius gruplar.

87

KAYNAKLAR

ASAR, A. O., ARIKAN, A., ARIKAN, A., 2009. Cebir. Eflatun Yayınevi, Ankara,

383s

BAŞKAN, T., 2005. Kompleks Fonksiyonlar Teorisi. Nobel Yayın Dağıtım, Ankara,

318s

BIRMAN, J.S., 1973. An Inverse Function Theorem for Free Groups. Proc. Amer.

Math. Soc., 41: 634-638

BERMAN, S. D., 1953. On Properties of Integral Group Rings. Dokl. Akad. Nauk

SSR, 91:7-9

COHEN, D. E., 1972. Groups of Cohomological Dimension One. Springer-Verlag,

Berlin, Heidelberg, New York

FOX, R. H., 1953. Free Differantial Calculus I. Derivation in the Free Group Ring.

Ann. of Math., 57: 547-560

GOLDHABER, J. K., and EHRLICH, G., 1970. Algebra. The Macmillan Company,

Canada, 430p

HIGMAN, G., 1940. The Units of Group Ring. Prcc. London Math. Scc., 46: 231-

248

http://www.ime.usp.br/~polcino/group_rings/

HUNGERFORD, T. W., 2000. Algebra. Springer-Verlag, New York, 512p

KARAKAŞ, H. I., 2010. Cebir Dersleri. Türkiye Bilimler Akademisi, Ankara, 462s

LADY, E. L., 1977. Group Rings.

LIN, W., 2000. Application of Fox’s Derivation in Determining the Generators of

a Group. Bull. Austral. Math. Soc., 61: 27-32

PASSMAN, D. S., 1976. What is a Group Ring. Mathematical Notes

, 1971. Infinite Group Rings. Marcer Dekker Inc., New York, 157p

ROBINSON, D. J. S., 1982. A Course in the Theory of Groups. Splinper-Verlag,

New York Heidelberg New York, 481p

ROTMAN, J.J., 2002. Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 1040p

SABUNCUOĞLU, A., 2008. Lineer Cebir. Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, 631s

SEHGAL, S. K., 1970. Units in Commutative Integral Group Rings. University of

http://www.ime.usp.br/~polcino/group_rings/

88

Alberta Edmonton 7, Alberta, Canada

, 1969. On the Isomorphism of Integral Group Rings I. Can. J. Math., 21:

410-413

TAŞCI, D., 2005. Lineer Cebir. Gazi Kitabevi, Ankara, 477s

89

ÖZGEÇMİŞ

12.04.1985 yılında Çorum’da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Çorum’da

tamamladıktan sonra 2004 yılında Ondokuz Mayıs Üniversitesi Matematik

bölümünde lisans öğrenimine başladı ve 2008 yılında mezun oldu. 2008-2009 eğitim

öğrenim yılının II. Döneminde Gazi Üniversitesi Matematik bölümünde yüksek

lisansa başladı. 2010 yılında Ç.Ü. Matematik bölümünde araştırma görevlisi olarak

çalışmaya başladı ve yatay geçiş yaparak Ç.Ü. Matematik bölümünde yüksek lisans

eğitimine devam etti. Halen Ç.Ü. Matematik bölümünde araştırma görevlisi olarak

görev yapmaktadır.

Çukurova Ünİversİtesİ fen bİlİmlerİ …ve teoremleri verdik. Üçüncü bölümünde grup...

Documents