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UMA ANÁLISE DAS CONCEPÇÕES DE ALUNOS DA 8ª SÉRIE/9º ANO
RELATIVAS AOS CONCEITOS ÁREA E PERÍMETRO E SUA APLI CAÇÃO NO
ESTUDO DO RETÂNGULO ÁUREO
Autora: Cleide Betenheuser Rox1
Orientadora: Tânia Teresinha Bruns Zimer2
Resumo
Os conceitos área e perímetro são fundamentais no ensino-aprendizagem de Matemática e podem ser aplicados a outros conhecimentos matemáticos. A construção desses conceitos envolve aspectos geométricos e de grandezas que não são explorados de uma forma geral em sala de aula, privilegiando-se apenas os aspectos numéricos e algébricos, ou seja, exclusivamente o cálculo a partir de fórmulas dadas. O presente artigo relata a análise quanto à compreensão e assimilação dos conceitos área e perímetro por alunos de 8ª série/9º ano, aplicando-os no estudo do retângulo áureo, a partir da implementação de atividades de investigação matemática. Essas atividades foram elaboradas com base em estudos das pesquisadoras francesas Regine Douady e Marie-Jeanne Perrin Glorian, relatados por Baltar, Bellemain, Lima, Brito e outros. A produção didática surgiu com o intuito de pensar atividades investigativas que envolvessem conteúdos de área e perímetro, levando os alunos a assimilarem os conceitos básicos no que se refere aos quadros geométrico, numérico e das grandezas, relacionando-os por fim ao quadro algébrico. E, para uma aplicação com conteúdos curriculares específicos, esses conceitos foram explorados no estudo de razão e proporção e de semelhança, de uma forma interativa, com o uso do GeoGebra e conciliando a análise histórica e atual de proporções no retângulo áureo. A Unidade Didática que engloba metodologicamente essas atividades constituiu requisito obrigatório para a implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica junto ao Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), implantado pela Secretaria de Educação do Estado do Paraná. Os resultados obtidos no decorrer da implementação dessas atividades serviram de subsídio para redação do presente artigo científico, com o objetivo de socializá-los e contribuir para estudos de outros professores e pesquisadores na área da educação.
Palavras-chave: Área e Perímetro; Proporção Áurea; Investigação Matemática; Dificuldades de Aprendizagem.
1 Professora PDE 2010. SEED – PR. E-mail: [email protected] 2 Professora orientadora – UFPR – Curitiba. Doutora em Educação pela USP
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1. Introdução
Área e perímetro são conceitos fundamentais no ensino-aprendizagem de
Matemática e podem ser aplicados a outros conhecimentos matemáticos. A
construção desses conceitos envolve aspectos geométricos e de grandezas que não
são explorados de uma forma geral em sala de aula, privilegiando-se apenas os
aspectos numéricos e algébricos, ou seja, exclusivamente o cálculo a partir de
fórmulas dadas. Por isso, muitos alunos possuem dificuldades em assimilá-los e/ou
diferenciá-los, confundindo-se inclusive entre aplicações de fórmulas e unidades de
medida.
Nas séries finais do Ensino Fundamental, tais conhecimentos são aplicados
a outras situações de ensino. Nesses momentos, observam-se as dificuldades de
entendimento ou não assimilação desses conceitos, vindo a ser um dos fatores que
prejudicam e/ou dificultam a aplicação ou resolução de situações-problema. Em vista
disso, surgiu a necessidade de revisar e ensinar alguns pontos básicos e
necessários de área e perímetro, aplicando-os a outros específicos de 8ª série/9º
ano - razão e proporção e semelhança de polígonos -, os quais também apresentam
dificuldades no ensino-aprendizagem.
A partir dos trabalhos de Baltar (1996, apud Duarte, 2004), Bellemain e Lima
(apud Brito e Bellemain, 2004), Teles e Bellemain (2010) e outros pesquisadores,
que se basearam nos estudos das pesquisadoras francesas Regine Douady e
Marie-Jeanne Perrin Glorian, procedeu-se a uma pesquisa de como ocorre a
assimilação dos conceitos área e perímetro em sua sequência de complexidade,
levando-se em conta os quadros geométrico, numérico e das grandezas
identificados por Douady e Perrin Glorian, relacionando-os por fim ao quadro
algébrico.
Esses estudos serviram de base para a elaboração de uma produção
didática, requisito obrigatório para a implementação do Projeto de Intervenção
Pedagógica junto ao Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), implantado
pela Secretaria de Educação do Estado do Paraná, com o intuito de buscar formas
de contribuir para a melhoria da educação pública.
Nessa perspectiva, a seguinte questão-problema norteava o estudo e a
elaboração de tal produção didático-pedagógica: “Quais compreensões os alunos
evidenciam dos conceitos área e perímetro e suas ap licações no estudo de
proporções no retângulo áureo mediante uma metodolo gia envolvendo
atividades de investigação matemática?”
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A Unidade Didática elaborada surgiu com o intuito de pensar atividades
investigativas que envolvessem conteúdos de área e perímetro, levando os alunos a
assimilarem os conceitos básicos no que se refere aos quadros geométrico,
numérico e das grandezas, relacionando-os por fim ao quadro algébrico. E, para
uma aplicação com conteúdos curriculares específicos de 8ª série/9º ano, esses
conceitos foram explorados no estudo de razão e proporção e de semelhança de
uma forma interativa, conciliando a análise histórica e atual de proporções no
retângulo áureo.
Os resultados obtidos no decorrer da implementação dessas atividades
serviram de subsídio para redação do presente artigo científico, com o objetivo de
socializá-los e de contribuir para estudos de outros professores e pesquisadores na
área da educação.
2. Os conceitos área e perímetro: uma problemática
O estudo das grandezas geométricas é de grande importância para a
formação do pensamento do aluno e para aplicações em sua vida diária.
Comprimento, área e volume, como componentes do campo conceitual das
grandezas geométricas, possuem um campo privilegiado de articulações com a
geometria, a aritmética e a álgebra, além das possíveis conexões com outras
disciplinas abordadas na escola, como a Geografia e a Física. (BRITO e
BELLEMAIN, 2004, p. 2).
Apesar disso, várias pesquisas realizadas por educadores matemáticos
detectaram problemas no ensino e na aprendizagem das grandezas geométricas,
pois esse processo de construção dos conceitos geralmente é trabalhado de forma
insatisfatória, gerando ou reforçando dificuldades de aprendizagem, como: a
confusão que os alunos fazem entre perímetro e área e entre contorno e superfície;
confusão entre grandezas e medidas de grandeza; cálculo de medidas, usando
fórmulas, mas sem saber o que calculam; suposição de que somente os polígonos
que têm nome e fórmulas, têm também perímetro e área. Há também “uma carência
nos livros didáticos no sentido de explorar situações de comparação (sem a ação de
medir) que favoreçam a construção dos conceitos de comprimento e de área como
grandezas”. (BRITO e BELLEMAIN, 2004, p. 3-4)
Ignácio (2006, p. 32) ressalta ainda que geralmente os conceitos de área e
perímetro são apresentados aos alunos num mesmo momento, tendo como
consequência a confusão entre as duas grandezas. Eles associam também a ideia
de área à operação de multiplicação e a ideia de perímetro à de adição.
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Baltar (1996, apud Duarte, 2004, p. 1) identificou dificuldades conceituais na
construção do conceito de área em seu estudo, ao analisar avaliações do
desempenho de alunos franceses, entre elas: a confusão entre perímetro e área,
utilização de fórmulas errôneas e uso inadequado de unidades. Mesmo localizando-
se no contexto do sistema educativo francês, Baltar observa que esses aspectos da
aprendizagem dos conceitos de área e perímetro também são complexos e
problemáticos no contexto brasileiro.
Lima e Bellemain e Lima (apud Brito e Bellemain, 2004, p. 2) constatam, nas
últimas décadas, um certo descaso com o estudo das grandezas geométricas em
nossas escolas, tendo, como possível razão, o fato de que esse estudo faz parte do
conteúdo de geometria em muitas propostas curriculares e livros didáticos, mas é
praticamente abandonado no ensino escolar.
Porém, nos últimos anos, muitos professores e pesquisadores têm se
dedicado à “reflexão, elaboração, implementação e avaliação de alternativas”, no
sentido de resgatar o processo de ensino das grandezas geométricas, como se
observa na proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) para o Ensino
Fundamental, no qual o conteúdo de Geometria encontra-se distribuído em dois
blocos: Espaço e Forma; Grandezas e Medidas, sendo possível identificar neste
último uma maior interligação entre os campos da aritmética e da geometria.
(IGNÁCIO, 2006, p. 12)
Outros avanços são verificados nas mudanças encontradas nos livros
didáticos atuais, com uma evolução na maneira de abordar geometria e grandezas.
Em algumas coleções de livros didáticos, esses assuntos deixaram de ser
trabalhados apenas no final do livro. Uma outra mudança está na exploração de
situações contextualizadas relacionadas ao cotidiano e às atividades profissionais.
(BRITO e BELLEMAIN, 2004, p. 2-3)
Atualmente, com a estruturação das Diretrizes Curriculares da Educação
Básica de Matemática da Rede Pública do Estado do Paraná, nota-se a
preocupação com a identificação e organização dos campos de estudos
fundamentais para a compreensão da disciplina de Matemática, sendo
caracterizados como Conteúdos Estruturantes: Números e Álgebra; Grandezas e
Medidas; Geometrias; Funções; Tratamento de Informação. (PARANÁ, 2008, p. 49)
Observa-se que, a partir das Diretrizes Curriculares de Matemática, há
também uma valorização dos “conhecimentos geométricos, que não devem ser
rigidamente separados da aritmética e da álgebra”, sendo que “conceitos,
propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser clarificados pela
geometria”. (Ibid, p. 57)
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Há uma crescente preocupação com o ensino significativo de conhecimentos
geométricos de uma forma mais contextualizada e interdisciplinar, para que o aluno
possa entender e aplicar os conceitos básicos em seu cotidiano escolar e social.
3. Os conceitos área e perímetro: uma significação
As pesquisadoras Douady e Perrin Glorian (1989, apud Silva e Bellemain,
2010) propõem uma abordagem do conceito de área de figuras planas como uma
grandeza, o que corresponde a distinguir três quadros: o geométrico, o das
grandezas e o numérico.
De acordo com Teles e Bellemain (2010, p. 4), o quadro geométrico refere-
se às superfícies planas (triângulos, quadriláteros, figuras com contornos
curvilíneos); o quadro numérico refere-se às medidas da área das superfícies, que
pertencem ao conjunto dos números reais positivos; e o quadro das grandezas
refere-se ao estabelecimento de classes de equivalência formadas por figuras de
mesma área, integrando os dois primeiros quadros.
Para considerar a área como uma grandeza é preciso distinguir área e figura (pois figuras distintas podem ter a mesma área) e também área e número (pois se medimos a área de uma figura com diferentes unidades, obtemos números diferentes para expressar a medida de área e obviamente a área não se altera). (TELES e BELLEMAIN, 2010, p. 4)
A abordagem de área como grandeza articula-se do ponto de vista do
desenvolvimento cognitivo com a ideia de conservação, a qual permite ao sujeito
admitir que figuras qualitativamente diferentes possam ser equivalentes quanto ao
atributo área. (Ibid, p. 4)
Segundo Kordaki (2003, apud Teles e Bellemain, 2010, p. 4), a noção de
conservação de área articula-se com a ideia de equidecomposição de polígonos e
permite falar em área enquanto grandezas. A área, como um espaço dentro de uma
figura, e a noção de conservação da área são conceitos preliminares para a
compreensão do conceito e da medida da área.
Na construção do conceito de área enquanto grandeza, Douady e Perrin-
Glorian (1989, apud Silva e Bellemain, 2010, p. 6) afirmam:
Que é preciso elaborar um processo de aprendizagem de área relacionando-a com o lugar ocupado por uma superfície no plano. Do ponto de vista matemático, o que se procura é uma função, denominada função medida, que associa superfícies planas a números, de tal forma que seu domínio seja um certo conjunto de superfícies planas e seu contradomínio seja o conjunto de números reais não-negativos.
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Silva e Bellemain (2010, p. 6) destacam ainda que na “medição de área
atribui-se um número real positivo a cada superfície plana, ou seja, constrói-se uma
função (função área) com valores numéricos, de modo que comparar superfícies
planas reduz-se a comparar números, que são as medidas de área.” Para isso,
“escolhe-se uma superfície de valor um (superfície unitária). A partir daí, a medição
de área de uma superfície plana consiste na indagação intuitiva: ‘Quantas vezes a
superfície unitária cabe na superfície plana em questão?’ ”
Construída a função área, define-se área como sendo uma classe de
equivalência de superfícies planas de mesma área, pertencente a esse conjunto. E a
área da superfície unitária passa a ser denominada de unidade de área. (Ibid, p. 6.)
Baltar (1996, apud Silva e Bellemain, 2010, p. 7) analisa a construção do
conceito de área sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais, de Gerard
Vergnaud. Dessa forma, propõe uma classificação dos tipos de situações que dão
sentido à área: situações de comparação, de medida e de produção. Em Brito e
Bellemain (2004, p. 6) e em Silva e Bellemain (2010, p. 7), constam exemplos dessa
classificação, conforme interpretados a seguir:
• Situações de comparação: situam-se em torno do quadro das grandezas.
Comparando-se duas superfícies, pode-se verificar se elas pertencem ou não
a uma mesma classe de equivalência.
Exemplo: Dando uma só mão de tinta, em qual das paredes o pintor gastaria mais tinta.
(SILVA e BELLEMAIN, 2010, p.7)
• Situações de medida: destacam-se o quadro numérico em si e a passagem
do quadro das grandezas ao quadro numérico através da escolha da unidade.
O resultado esperado nessa situação é um número seguido de uma unidade.
Exemplo: Usando uma régua, meça os lados do retângulo abaixo e calcule o seu perímetro.
(SILVA e BELLEMAIN, 2010, p.7)
• Situações de produção: são diferentes das anteriores do ponto de vista da
tarefa cognitiva do aluno, pois, enquanto nas situações de comparação e
medida em geral há apenas uma resposta correta para cada situação, as
situações de produção admitem frequentemente várias respostas corretas.
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Exemplo: Numa folha de papel quadriculado, considerando um quadradinho dessa folha ( □ ) como unidade de medida, desenhe polígonos de:
a) área igual a 16 quadradinhos; c) área igual a 48 quadradinhos;
b) área igual a 11 quadradinhos; d) área igual a 8,5 quadradinhos.
(SILVA e BELLEMAIN, 2010, p.7)
Lima (1995, apud Duarte, 2004, p. 4) propôs adicionar aos três quadros
relativos ao conceito de área propostos por Douady e Perrin-Glorian um quarto
quadro, o algébrico-funcional , que considera uma álgebra das grandezas e as
fórmulas de área. O esquema abaixo (Figura 1) mostra as relações entre os quadros
mencionados.
Figura 1 – Relações entre os quadros que compõem o conceito de área
Fonte: DUARTE, 2004, p. 4
Alguns objetos e ferramentas conceituais, pertencentes a dois ou mais
quadros do esquema anterior, podem ser mobilizados quando inseridos em uma
situação de aprendizagem. Exemplificando, quando em uma situação que envolve a
comparação entre a área de duas figuras, sem o emprego de medidas, requer-se a
articulação dos quadros geométrico e das grandezas; em uma situação onde é
necessária a intervenção das medidas de área, é previsível a articulação entre os
conceitos dos quadros geométrico, numérico e das grandezas; enquanto que os
conceitos do quadro algébrico-funcional são utilizados, por exemplo, em situações
onde é necessário o uso das fórmulas de áreas de figuras conhecidas.
Para Baltar (1996, apud Facco, 2003, p. 33) e outros estudiosos,
os diferentes conceitos sobre área são identificados por meio da verificação da medida da área, da comparação de áreas e superfícies, da construção de superfícies de mesma área de uma superfície dada, das superfícies de área mínima para um contorno fixo e da verificação das deformações que conservam a área.
Quadro geométrico
Quadro algébrico-funcional
Quadro das grandezas
Quadro numérico
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Baltar (Ibid, p. 33) destaca ainda que, para definir uma aplicação de medida
entre superfícies planas e números, é necessário, antes de construir a área como
grandeza autônoma, deixar claras as diferenças existentes entre área e perímetro.
Assim, a autora (1996, apud BALDINI, 2004, p. 20-21) classificou essa distinção de
acordo com quatro pontos de vista:
• Topológico , pelo qual os conceitos de área e perímetro correspondem a
objetos geométricos distintos, sendo a área associada à superfície e o
perímetro a seu contorno;
Figura a Figura b
Na Figura a, a superfície que corresponde à área foi destacada de cinza
azulado; e na Figura b, o destaque de cinza foi dado ao seu contorno, o perímetro da
figura.
• Dimensional , o qual evidencia que uma superfície e seu contorno são
objetos matemáticos de naturezas distintas, no que diz respeito às
dimensões, trazendo consequências imediatas sobre o uso das unidades
adaptadas à expressão das medidas de área e perímetro;
Figura c Figura d
A Figura c é bidimensional, ou seja, tem duas dimensões e é adequada para
o cálculo de áreas. A Figura d é unidimensional, ou seja, possui uma única
dimensão, adequada para o cálculo de perímetro.
• Computacional , que corresponde à aquisição das fórmulas de área e
perímetro de figuras usuais;
Área = b . h
Perímetro = b + b + h + h = 2b + 2h
Figura e
• Variacional , que consiste na aceitação de que área e perímetro não
variam necessariamente no mesmo sentido, e que figuras de mesma área
podem ter perímetros distintos e vice-versa.
b
h
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Área = 12 u2 Área = 12 u2
Perímetro = 16 u Perímetro = 14 u
Figura f Figura g
As Figuras f e g apresentadas são exemplos de superfícies que possuem
mesma área e perímetros diferentes.
Quando pensamos em comprimento de uma curva, devemos considerar que
curvas distintas podem ter o mesmo comprimento. A grandeza comprimento não é
igual ao segmento de reta. O comprimento nos dá a ideia de distância entre dois
pontos; já o segmento está no quadro geométrico, onde se encontram os desenhos.
Conclui-se que distância é o comprimento de um segmento. Assim, observa-se que
a grandeza área e a grandeza comprimento são completamente distintas. (SILVA e
BELLEMAIN, 2010, p. 5)
De acordo com os três quadros identificados por Douady e Perrin-Glorian
(ou seja: o geométrico, o das grandezas e o numérico), em relação ao conceito de
comprimento, do quadro geométrico participam as linhas abertas ou as fechadas -
constituindo-se estas últimas no que chamamos de contorno de uma figura plana,
poligonal ou não. O comprimento faz parte do quadro das grandezas e caracteriza-
se de forma distinta das linhas, pois diferentes linhas podem ter o mesmo
comprimento. O perímetro é um caso particular da grandeza comprimento,
diferenciando-se do objeto geométrico em si, que é uma linha fechada. E o quadro
numérico é composto das medidas de comprimento usando diferentes unidades.
(BRITO e BELLEMAIN, 2004, p. 5). Podemos afirmar que perímetro é a medida do
contorno de uma determinada figura e não apenas a “soma das medidas dos lados”,
pois esta definição pode ser estendida também ao cálculo do perímetro de uma
circunferência.
4. Metodologia
O presente artigo relata os resultados observados durante e após a
aplicação das atividades de investigação matemática constantes na Unidade
Didática estruturada para servir de instrumento-base para as investigações.
As atividades foram desenvolvidas com 16 alunos de 8ª série/9º ano das
turmas do matutino, no Colégio Estadual Bom Pastor – Ensino Fundamental e
Médio, situado no município de Curitiba, Estado do Paraná, entre os meses de
setembro a novembro de 2011. Os encontros ocorriam nas segundas-feiras, no
período vespertino. Como ocorrem muitos recessos devido a feriados nesse período,
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a presença nesses encontros oscilava entre 12 a 16 alunos. Os alunos que tiveram,
no mínimo, 80% de presença, destacaram-se por seguir a sequência de atividades
em sua lógica de complexidade e construção. Estes alunos, os sujeitos desta
pesquisa, são identificados pela atribuição do seguinte código: A1; A2; A3; A4; A5;
A6; A7; A8; A9; A10; A11; A12; A13; A14; A15 e A16.
Os conteúdos foram abordados metodologicamente na Unidade Didática por
meio de atividades de Investigação Matemática, uma das tendências metodológicas
da Educação Matemática incorporada às Diretrizes Curriculares do Estado do
Paraná, com o intuito de contribuir para a melhor compreensão da matemática.
Como se presumiu que os alunos não estavam familiarizados com atividades
de exploração e investigação matemática, a princípio foram elaboradas tais
atividades sob a forma de um “estudo dirigido”, auxiliando-os na delimitação das
estratégias que iriam explorar para solucionar as questões das atividades e construir
por si o conhecimento matemático.
Para uma abordagem mais interativa, os conteúdos básicos – área e
perímetro, razão e proporção e semelhança de polígonos – foram explorados
também no estudo da proporção áurea. Nesse momento, foi utilizado como recurso
tecnológico o software de Geometria Dinâmica GeoGebra, para a construção do
retângulo áureo e medição de seus lados, objetivando uma análise mais detalhada
da proporção áurea.
Incluíram-se, de uma forma mais restrita, atividades investigativas de
proporções entre áreas e perímetros a partir da Sequência de Fibonacci, que podia
ser observada nas construções geométricas incorporadas no retângulo áureo.
Para o fechamento e conclusão da unidade, incluiu-se, também, uma
atividade investigativa complementar, objetivando a análise histórica e atual de
algumas aplicações da proporção áurea na arquitetura, nas artes, na fotografia e no
design gráfico.
Com o fim de nortear o estudo e as observações, duas questões centrais
foram delimitadas:
• Os alunos assimilarão melhor as noções básicas dos conceitos de área e
perímetro - em seus aspectos geométrico, numérico e das grandezas -, a
partir das atividades investigativas envolvendo tais conceitos?
• Como os alunos compreenderão os conceitos de área e perímetro aplicando-
os em proporções num retângulo áureo?
O objetivo inicial era de identificar a compreensão dos alunos com relação
aos aspectos geométrico, numérico e das grandezas dos conceitos área e
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perímetro. Assim, as quatro primeiras atividades estavam relacionadas
especificamente com esses aspectos. As atividades investigativas seguintes já se
relacionavam com a aplicação desses conceitos de área e perímetro em razão e
proporção, em especial, no retângulo áureo. Por isso, a análise a seguir prioriza os
aspectos observados e os resultados obtidos nas primeiras intervenções.
5. Análise dos aspectos observados
1ª Atividade Investigativa: Investigando áreas de fi guras geométricas
A primeira atividade investigativa tinha como objetivo a análise de como é
evidenciado o conceito de área de figuras geométricas nos seus aspectos
geométrico e das grandezas. A partir de um quadro onde constavam ilustrações de
oito formas geométricas dentro de uma malha quadriculada (Figura 2), os alunos
deveriam inicialmente identificar a área de cada forma, procedendo a seguir à
análise da equivalência entre as áreas.
Figura 2 – Figuras geométricas para relacionar equivalência de áreas
Fonte: A autora
Como os alunos estão acostumados com o cálculo de área a partir de
fórmulas, alguns ficaram confusos, pois não sabiam como calcular de modo tão
simples. Questionados inicialmente quanto às possibilidades de resolução, surgiram
como respostas: “Calculando os quadriculados da malha, somando os cm” (A1);
“Multiplicando e dividindo suas medidas” (A2); “Por centímetros e metros” (A8);
“Lado x lado” (A14 e A15); “Com uma régua, dependendo do seu tamanho, ou uma
fita métrica” (A16).
Apenas A3, A4 e A5 aproximaram-se da resposta esperada, respectivamente
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citada: “Contando a área pintada”; “Dizendo o número da quantidade de quadrados”;
“É só contar quantos quadrados tem”. Esses alunos evidenciaram modos de
resolução que não se baseiam no uso de fórmulas e, ainda, permitem que se
observe a maneira como fazem a contagem das unidades de área, conforme
enunciado por A3: “Como a G tem dois meios, dois meios vale um”, ao se referir na
contagem de um quadradinho formado por duas metades.
Ao serem interrogados quanto ao significado de equivalente, surgiram
respostas como “semelhante” e “igual”, o que denota a confusão conceitual que
pode ter havido, devido à possibilidade de não terem entendido ainda o conceito de
semelhança, o qual estava sendo trabalhado na sala de aula regular.
A ideia de equivalente considerada neste trabalho é a que admite que duas
figuras são equivalentes, quando possuem áreas iguais. Quando da análise de
áreas equivalentes com as formas geométricas variadas, ao serem interrogados
sobre quando é que duas superfícies têm a mesma área, dos dezesseis sujeitos,
sete apresentaram a seguinte resposta: “Quando há a mesma quantidade de
quadradinhos pintados”. Entretanto, foram observados conceitos equivocados,
como: “Quando são a mesma figura ou semelhante” (A1). Tal resposta denota que o
entendimento do aluno é o de que só as figuras com a mesma forma é que possuem
superfícies equivalentes.
O conceito de equivalência de áreas, conforme o quadro das grandezas
abordado por Douady e Perrin-Glorian, teve sua assimilação bem observada na
resolução da questão em que deveriam ser identificadas as possibilidades de
associações juntando figuras que possuíam áreas equivalentes. Com a união de
figuras como F e G, seria possível encontrar uma área equivalente à figura C. Nesta
questão, havia um total de cinco possibilidades diferentes de associações, mas os
alunos em sua maioria só identificaram corretamente até duas associações durante
a resolução das questões. Nota-se como não estão acostumados a observar e
identificar regularidades em figuras com formas variadas, diferentemente do
quadrado e do retângulo, a que estão acostumados. Apenas ao final, na discussão
em grupo, ao serem incentivados a procurar outras soluções, ainda identificaram
mais duas delas.
Uma questão interessante feita por A16: “Se não houvesse nenhuma
unidade de medida, como poderíamos fazer?” Observa-se aqui a necessidade de os
alunos sempre utilizarem uma unidade de medida padrão, como o metro e o
centímetro. Ainda não haviam assimilado a possibilidade de o quadradinho da malha
ser a própria unidade de medida, sem uma padronização específica.
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2ª Atividade Investigativa: E se a unidade de medida mudar, como
calcular a área?
A segunda atividade investigativa também versava sobre os aspectos
geométrico, numérico e das grandezas do conceito de área. Mais especificamente, a
medição da área era efetuada a partir de diferentes unidades. O quadro numérico
que expressava a medida da área se alterava, mas a área como superfície
propriamente dita, não. Como unidade de medida de área, não foi utilizado apenas
um quadradinho, mas unidades de medida com quantidade diferente de
quadradinhos. (Figura 3)
Figura 3 – Áreas de figuras a partir de unidades dadas
Fonte: BALDINI, 2004, Anexo III, seção VII
Inicialmente, a maioria dos alunos sentiu dificuldades no entendimento de
como calcular a área utilizando diferentes unidades de medida. Só após o
questionamento de quantas vezes a unidade 1 cabe na Figura A, por exemplo, eles
passaram a compreender. Um aluno evidenciou que teria que identificar quantas
vezes usaria a unidade 1 para completar um retângulo em cada figura. Nesse caso,
ele respondeu 2 vezes. De certo modo, entendeu que a unidade era formada pela
junção dos quatro quadradinhos.
Ao comparar as medidas de área encontradas em uma figura, conforme as
unidades empregadas, os alunos deveriam responder às perguntas: “Aumentando a
unidade de medida, o que acontece com a medida da figura?” e “Explique com suas
palavras por que isso acontece.” Era importante que o aluno verificasse aqui que as
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figuras têm várias áreas porque foram utilizadas várias unidades de medida. A área
em si não se altera, ou seja, não diminui a quantidade de quadradinhos que
compõem sua superfície. Surgiram respostas que denotam o entendimento da
relação entre a unidade de medida e a superfície medida, apesar da dificuldade que
se observa no modo correto de alguns alunos ao se expressarem: A2: Aumenta e diminui a área. Por causa do tamanho da figura que compõe a área das outras figuras (unidade de medida). A14: Diminui. Quanto maior a unidade de medida, menos vezes ela se repete na figura. A16: Conforme as áreas foram aumentando e depois diminuindo de novo. Porque as unidades de medida são totalmente diferentes.
(Fonte: Dados de campo)
Após essas conclusões, eles deveriam identificar figuras com áreas
equivalentes apesar de serem medidas por unidades diferentes. Observou-se que a
noção de equivalência de áreas foi assimilada, pois os alunos, em sua maioria,
identificaram A e B como figuras com áreas equivalentes e, em alguns casos
também, observaram que a própria unidade de medida 2 é equivalente à unidade de
medida 4 (A1, A2, A14 e A16).
3ª Atividade Investigativa: Investigando perímetros de figuras
geométricas
Esta atividade tinha como objetivo principal a análise de como é evidenciado
o conceito de perímetro de figuras geométricas nos seus aspectos geométrico,
numérico e das grandezas.
Para tanto, o aluno deveria identificar inicialmente a diferença entre os
conceitos área e perímetro, a partir da atividade citada abaixo, sem se preocupar
ainda com medidas a partir de unidades padronizadas:
a) Construa, na malha quadriculada simples, três figuras diferentes. Registre, abaixo de cada uma, a
área e o perímetro, usando, como unidade de comprimento, o lado do quadrado da malha e, como
unidade de área, a área desse quadradinho.
Pretendia-se que os alunos não criassem apenas retângulos e quadrados,
mas que também explorassem outras formas. Durante o procedimento, dois deles
entenderam que, para identificar o perímetro, teriam de contar quantos quadradinhos
contornavam a área pintada ou hachurada. Essa ideia errada sobre o contorno foi
sanada depois da explicação de que a unidade de comprimento utilizada para o
perímetro é o lado do quadradinho , e não o quadradinho .
Houve a oportunidade de alunos observarem casos interessantes na relação
entre área e perímetro: quando a medida do perímetro encontrado foi maior do que a
área e vice-versa; quando o perímetro era menor do que a área, a figura se
aproximava ou era exatamente no formato de um quadrado (A15); quando a medida
15
da área era igual à do perímetro (A1, A6 e A9).
Surgiram dois casos de construção de figuras, formadas pela união de duas
metades de quadradinhos para formar um quadradinho de unidade. (A13 e A14). Ao
calcular o perímetro, houve uma intervenção no sentido de pensarem: “Será que
essa diagonal no quadradinho forma uma unidade de medida de comprimento igual
à unidade que estavam utilizando para identificar o perímetro?” Procedeu-se ao
desenho de um esboço no quadro (Figura 4), para melhor análise.
Figura 4 – Medida da diagonal de um quadrado Fonte: Dados de campo
Então eles verificaram que não seria exatamente igual, e sim, um pouco
maior do que a unidade do lado do quadradinho. Convencionou-se, então, que
poderiam utilizar essa medida como aproximadamente igual à unidade utilizada para
se ter uma estimativa do valor do perímetro (Figura 5).
Figura 5 – Construções geométricas dos alunos A13 e A14 com medidas de perímetro aproximadas
Fonte: Dados de campo
Observa-se que essa seria uma ótima oportunidade para explorar a
identificação da medida da diagonal ℓ.√ 2 de um quadrado (sendo ℓ a medida do lado
do quadrado).
Nas questões seguintes, o aluno deveria estabelecer, no decorrer processo,
relações entre perímetros de retângulos e outras figuras geométricas que possuíam
mesma medida de área. A partir da atividade citada abaixo, o aluno iria observar o
uso da unidade de medida padrão, o centímetro.
b) Desenhe na folha quadriculada todos os retângulos possíveis, utilizando 36 quadradinhos de 1
cm de lado . Nomeie-os de acordo com as letras sugeridas na tabela abaixo. Para cada retângulo
obtido, determine as medidas dos lados (neste caso, chamadas de base e altura ). Complete a tabela
abaixo, identificando a área, com o quadradinho de 1 cm de lado como unidade. A seguir, complete a
medida do perímetro , usando o lado do quadradinho de 1 cm como unidade de comprimento:
16
Retângulo Base (cm) Altura (cm) Área (cm 2) Perímetro (cm)
A
B
C
D
E
Ao construir os retângulos, os alunos observaram que os dados encontrados
em relação à base e à altura não alteravam os resultados de área e perímetro dos
retângulos, mesmo se estes fossem trocados de posição ao desenhar. Apenas os
alunos A2, A5, A10 e A13 registraram como se fossem casos diferentes: 9x4 e 4x9,
18x2 e 2x18, 3x12 e 12x3.
O aluno A4 perguntou se poderia construir em diagonal. Foi-lhe questionado,
então: “Qual a condição para que fosse um retângulo?” Fazendo-o pensar no nome,
respondeu: “Ângulos retos.” Foi-lhe então sugerido que não fizesse em diagonal
ainda, pois a construção dos retângulos poderia ficar comprometida, visto que tais
retângulos possuem ângulos retos. Também, na identificação dos perímetros e das
áreas, a unidade de medida do lado do quadradinho já não seria exatamente o
centímetro, havendo a necessidade do uso de régua para medição. Isso resultaria
em dados aproximados.
Três grupos demoraram para identificar as opções 6x6 e 36x1. A opção 36x1
foi realmente a última a surgir, até porque não cabia na folha em malha quadriculada
1x1 cm. Assim sendo, como sugestão, os alunos construíram na malha simples, com
quadriculado menor. Interessante como ocorreu uma certa rejeição pelos alunos A9,
A13 e A16 para identificar o quadrado 6x6 como resposta. Eles diziam que não era
um retângulo, o que denota o pouco conhecimento geométrico da classificação dos
quadriláteros.
A partir da construção dos retângulos e identificação do perímetro e da área,
o aluno deveria descobrir que o retângulo com menor perímetro é o quadrado, com
24 cm. Quanto a isso, apenas o grupo dos alunos A3, A6 e A9 teve que ser
auxiliado. Esta descoberta facilitou a resolução das questões seguintes, cuja
resolução buscava a fixação e o entendimento desse aspecto da noção do conceito
de perímetro. Evidenciam-se as questões d, e e f, cuja sequência de raciocínio
incentivou alguns alunos a formular hipóteses e conjecturas interessantes:
d) Se identificarmos retângulos com 100 cm 2 de área:
- Qual deles possui o menor perímetro?........................................................................
- Qual é a medida desse perímetro?..............................................................................
Os alunos, em sua maioria, responderam que o quadrado com 10 cm de
lado é o retângulo de menor perímetro, medindo 40 cm, ou seja, a maioria dos
17
alunos conseguiu generalizar o conceito desenvolvido na malha quadriculada para
outras situações similares.
e) Você pode fazer um quadrado com perímetro igual a 100 cm? E com 50 cm?
f) Como encontrar o menor perímetro quando não é possível formar um quadrado?
Na questão e, todos os alunos logo identificaram que um quadrado, com os
lados medindo 25 cm, possui perímetro igual a 100 cm, o que não ocorre se forem
lados medindo 50 cm, pois, neste último caso, não é possível formar um quadrado
perfeito utilizando números inteiros. A2 respondeu: “Com 50 fica quebrado.”
Assim, eles se depararam com um caso em que o perímetro com menor
medida não seria possível a partir de um quadrado perfeito. Presumia-se que eles
descobrissem que o retângulo, cujas medidas se aproximam ao máximo de um
quadrado, é aquele em que encontrariam o menor perímetro. Mas a dificuldade foi
justamente ao responder a letra f. Foi necessária a intervenção nos grupos, com o
intuito de analisarem mais uma vez as respostas das questões anteriores. Surgiram
então ideias como as seguintes: A2: Formando um retângulo. A base e a altura têm que ficar próximos. A4: Montando um retângulo e mantendo números próximos na altura e na base. A14: Fazendo um retângulo mais parecido com um quadrado possível.
(Fonte: Dados de campo)
Ao final, na reunião do grande grupo, os alunos foram incentivados a
descobrir quais seriam as medidas para que o retângulo de 50 cm se aproximasse
de um quadrado. Segue-se um diálogo: A1: Poderia ser 10x15? Professora: Poderiam ser medidas de base e altura que mais se aproximassem de um quadrado. A4: Poderia ser entre 10 e 15. Tipo passar um para lá. Tipo menos um de um lado e mais um de outro. (...) Professora: Se dois lados fossem 11, quanto seriam os outros lados? A2: Se fosse 11 seria 11x14. A14: Seria 13x12 para se aproximar de um quadrado.
(Fonte: Dados de campo)
Foi-lhes comentado que, quanto menor o perímetro, se fosse o caso de
cercar um terreno, a quantidade de arame farpado a ser utilizada seria menor. A
partir daí, surgiram algumas conclusões: A13: Poderia juntar meio mais meio para formar o quadrado? Professora: Sim. E quanto seria então a medida de cada um dos lados para formar o quadrado com perímetro de 50 cm? A13: 12 e mais meio. 12 e meio.
(Fonte: Dados de campo)
Na questão seguinte, os alunos trabalhariam com o raciocínio dedutivo de
que o produto das medidas dos lados do retângulo é igual à medida da área.
18
g) Responda à questão seguinte sem desenhar.
Se um retângulo dado tivesse 30 cm 2 de área e um de seus lados medisse 5 cm:
- Qual seria a medida do outro lado?.............................................................................
- Qual seria a medida do perímetro desse retângulo?...................................................
Os alunos não tiveram dificuldade em resolvê-la, talvez devido ao fato de
que já tenham compreendido que a multiplicação entre as medidas dos lados maior
e menor do retângulo resulta na área deste e a soma das medidas dos lados
corresponde ao perímetro. Na verdade, tais raciocínios correspondem às “fórmulas”
de cálculo da área e do perímetro do retângulo, numa lógica construída pelo aluno.
Observa-se aqui que, para se chegar à resposta, o aluno deveria efetuar
mentalmente operações inversas às de multiplicação e adição para chegar ao
resultado.
Era também importante que os alunos assimilassem o fato de que as
dimensões entre as grandezas área e perímetro não são as mesmas. Como o
perímetro se refere ao comprimento do contorno da figura, sua medida é
unidimensional. Já a área, por estar associada à superfície, possui medida
bidimensional. O questionamento seguinte sugeriu tal associação.
h) Se você observar no quadro inicial (onde registrou os dados encontrados com medidas de base,
altura, perímetros e áreas), essas medidas estão identificadas em cm e cm2. Por que a unidade de
medida utilizada para o perímetro está em centímetros e a unidade de medida para a área está em
centímetros quadrados ? Explique com suas palavras.
Surgiram respostas que demonstraram o entendimento por parte dos alunos
da distinção entre os conceitos área e perímetro. As citações a seguir reforçam os
pontos de vista topológico e computacional dessa distinção classificada por Baltar
(1996, apud BALDINI, 2004, p. 20-21): A1: Porque área é medida lado e lado, e perímetro se conta o contorno dos retângulos. A7: O perímetro é só o contorno do quadrado, e a área é o quadrado preenchido, tendo que contar todos os quadrados de dentro. A14: Porque a área é lado x lado por isso é elevado ao quadrado. Já o perímetro é lado mais lado (soma dos lados) por isso não é elevada ao quadrado. A15: Porque a área é lado x lado que multiplicando dá área do “quadrado”. E o perímetro é só contorno, ou seja, linhas retas.
(Fonte: Dados de campo)
4ª Atividade Investigativa: Analisando relações entr e área e perímetro de
retângulos
As questões formuladas nessa atividade visavam analisar outras relações
entre áreas e perímetros de retângulos, partindo da identificação da medida de área
de retângulos construídos a partir de uma medida de perímetro dada.
19
As atividades anteriores são parecidas com as que serão analisadas a
seguir, mas agora o foco central não é uma medida de área pré-estabelecida, e sim,
uma medida de perímetro.
Inicialmente, os alunos deveriam desenhar, na folha quadriculada, todos os
retângulos cujos perímetros fossem de 20 cm e os lados formados só de números
inteiros. A seguir, eles deveriam registrar numa tabela os respectivos valores da base
e da altura dos retângulos e determinar a área de cada um.
Como se presumia, inicialmente os alunos pensaram que era a mesma
atividade do dia anterior, na qual deveriam determinar o perímetro de retângulos de
área dada. Foi-lhes solicitado que lessem novamente o enunciado da questão e,
sem necessidade de maiores explicações, logo os grupos foram entendendo o
objetivo da questão. Nesse caso, alguns alunos sentiram a dificuldade inicial em
construir os retângulos, pensando em lados paralelos que deveriam ter a mesma
medida dois a dois. Seguem abaixo alguns diálogos que especificam pensamentos
de alunos para a construção dos retângulos: A12: Tem que fazer com 20 assim. (mostrou o comprimento de uma linha) Professora: Formaria um retângulo? A12: Não. Professora: Isso formaria uma linha.
Logo após, em outra construção, pensando com os colegas: A12: Se tiver 4 com 4 cada lado e 5 com 5 dá 20? A3: Não, dá 18. A12: 3 com 3 dá 6, sobra 14 para cada lado. Professora: 14 para cada lado? A12: Não, dá 7 para cada lado.
(Fonte: Dados de campo)
Os alunos A1, A2, A7 e A16 demoraram a identificar o quadrado 5x5 cm
como resposta. Por isso, foi-lhes incentivado a pensarem um pouco mais nessa
outra opção de retângulo, pois logo sentiriam dificuldades para analisar as questões
seguintes:
b) Qual é o retângulo que tem maior área? E o que possui menor área?
c) Se fosse o caso de uma planta da construção de um barracão, qual área seria a que aproveitaria
melhor o espaço físico para depósito de materiais? Por quê?
d) Se identificarmos retângulos com 32 cm de perímetro :
- Qual deles possui a maior área?..................................................................................
- Qual é a medida dessa área?......................................................................................
Ao responder às questões b e c, a maioria dos alunos logo percebeu que o
retângulo que possui a menor área é o de 9x1 cm e o que tem a maior área é o
quadrado, com 25 cm2, sendo este também o que possui maior aproveitamento de
espaço físico no caso de uma construção.
20
Observou-se, no entanto, que os alunos com dificuldades na atividade inicial
(quadrado 5x5 cm), foram os mesmos que não conseguiram perceber que, para a
questão d, a resposta seria a construção de um quadrado de 8x8 cm, com 64 cm2 de
área.
Houve uma questão que chamou a atenção, pois constituiu-se em uma
atividade matemática investigativa genuína, na qual o aluno foi chamado a: agir
como matemático ao formular as questões e conjecturas; realizar as provas e
refutações; apresentar seus resultados; discutir e argumentar com seus colegas e
com o professor (PONTE, 2009, p. 23). Eis a questão:
e) Escolha agora como medida 14 cm para o perímetro de retângulos. Desenhe-os, compare as áreas
e anote os resultados. Como podemos identificar a maior área nesse caso?
Nesta situação, os alunos observaram que a maior área que se aproxima de
um quadrado é o retângulo 3x4 cm. Foi possível observar o trabalho investigativo do
aluno A4, que tentou identificar quais deveriam ser as medidas dos lados e da área
de forma que não apenas se aproximasse da superfície de um quadrado, mas que
fosse realmente um quadrado. No início, ele fez suas conjecturas e tentou
demonstrar geometricamente, mas não se convencia, afirmando: “Eu entendo
porque o perímetro não daria certo, pois 3,5x3,5 dá 12,25 de área, mas faltaria um
pedacinho” (para determinar o perímetro de 14 cm, apontando para o quadradinho
ao lado em seu desenho). (Figura 6)
Figura 6 – Esquema do aluno A4 para identificar a maior área que se aproxima de um quadrado com 14 cm de perímetro
Fonte: Dados de campo
Na realidade, A4 não observou que, juntando mais duas vezes duas meias
unidades de lado, daria a medida 14 cm de perímetro. Exatamente uma semana
depois, durante as aulas no período normal, ele explicou que o perímetro dá
realmente 14 cm e “não falta pedacinho”. Interessante a perseverança que o levou a
buscar a solução para sua conjectura.
21
Ao final, no grande grupo, como fechamento dos trabalhos desta atividade,
os alunos foram incentivados a recordar e analisar que, se quisermos aproveitar o
maior espaço numa construção, o formato de quadrado é o melhor, pois possui
maior área e perímetro menor.
5ª Atividade Investigativa: Investigando geometricam ente área,
perímetro, razão e proporção
O desenvolvimento da 5ª atividade foi mais complexo. O objetivo geral era
analisar as relações entre áreas e perímetros de retângulos, aplicando-as em
situações envolvendo razão e proporção. Ainda, os cálculos de área e perímetro não
se baseavam mais apenas na observação do número de quadradinhos (para
identificar área) ou lado dos quadradinhos (para o perímetro).
A partir de figuras desenhadas num quadro (Figura 7), inicialmente foram
encaminhadas questões, nas quais os alunos identificavam e analisavam áreas de
quadriláteros que possuíam unidades de medida diferentes, mas de mesma
superfície, reforçando a noção de conservação de área. Outra questão era a de
identificação de áreas de quadriláteros que possuíam unidades de medida e de
superfícies diferentes, mas medidas de área iguais.
Figura 7 – Áreas de figuras com superfícies ou unidades de medida iguais
Fonte: A autora
Presumia-se que o aluno observasse que a área como superfície é a mesma
nas Figuras 1 e 2, mudando apenas o número correspondente à unidade de
medida: na Figura 1, a área é igual a 60 quadradinhos e na Figura 2, igual a 15
quadradinhos. Em relação às Figuras 3 e 4, o número correspondente à unidade de
medida é o mesmo, ou seja, 16, mas a superfície das duas figuras não é a mesma,
isto é, não há equivalência entre elas.
As respostas com relação à análise das Figuras 1 e 2 foram diferenciadas.
22
Apesar de, em sua maioria, referirem-se apenas à semelhança entre elas,
destacam-se: A1 e A2: Que cada quatro quadradinhos da figura 1 equivalem a 1 quadradinho da figura 2. A4: São iguais o tamanho, mas com medidas diferentes (...), mas pode utilizar a F1 como centímetros quadrados e metro na F2. A12: A figura 2 é a metade da metade da figura 1. A14: Que a figura um a unidade de medida é menor que a figura 2. A15: A figura 2 tem 4 vezes mais de área do que a figura 1. Porém elas têm o mesmo formato e tamanho. Semelhantes.
(Fonte: Dados de campo)
Com relação à afirmação de A4, observa-se que, apesar de unidades
desproporcionais, a noção de proporção entre as figuras e uso de unidades de
medida mais cabíveis para medição são destacadas. A12 referiu-se à medida de
área encontrada. Ainda: houve desatenção do aluno A15 ao se relacionar às
Figuras 1 e 2, invertendo-as no relato. Também, quando redigiu área, talvez
estivesse querendo indicar unidade de medida de área.
Quanto à análise das Figuras 3 e 4, destacam-se: A1: Que os quadrados são semelhantes. Possuem o mesmo número de quadradinhos. A4: As medidas são diferentes, pois a figura 3 é medida como exemplo centímetro e a 4 em metros. A6 e A14: Que a área é a mesma, mas a figura 4 é maior. A15: Elas têm a mesma área e o mesmo formato, porém tamanhos diferentes. Semelhantes.
(Fonte: Dados de campo)
Observa-se que a noção de semelhança entre os retângulos e os quadrados
ficou estabelecida. Ressalta-se, também, o entendimento da noção de conservação
de área por parte dos alunos. Comparando-se as duas superfícies dos quadrados,
pode-se verificar que elas não pertencem a uma mesma classe de equivalência,
diferentemente dos retângulos que, apesar de possuírem unidades de medida
diferentes, sua superfície é equivalente.
Na questão seguinte, observando que cada quatro quadradinhos da Figura
1 equivalem a um quadradinho da Figura 2, os alunos deveriam identificar
perímetros dos quadriláteros de mesmo tamanho. Inicialmente, utilizando o lado do
quadradinho menor como unidade de comprimento e, depois, utilizando o lado do
quadradinho maior como unidade de comprimento. Ao registrar suas conclusões,
eles chegaram às mesmas respostas, sem dificuldades de entendimento: que,
utilizando o lado do quadradinho menor como unidade de medida nas Figuras 1 e 2,
a medida do perímetro é a mesma, ou seja, 32 unidades. Utilizando-se o lado do
quadradinho maior como unidade de medida, ambas as figuras terão perímetro igual
a 16 unidades.
Com o propósito de aplicar esses conhecimentos assimilados no decorrer
23
das atividades propostas, foi-lhes apresentado um novo quadro, como o da Figura 8,
a partir do qual os alunos iriam analisar a razão de proporção entre perímetros e
áreas de retângulos semelhantes.
Figura 8 – Áreas de retângulos proporcionais
Fonte: A autora
A partir desse momento, o aluno iria trabalhar com medidas envolvendo
números com vírgula, pois teriam que proceder à medição “exata” dos lados maior e
menor dos retângulos, para depois efetuar a razão entre eles. Para essa atividade,
foi necessário o uso da régua e ficou evidente o pouco domínio com relação aos
instrumentos de medição, pois não faltou a famosa pergunta: “Começo a medir do
zero ou do 1?”
Após, os alunos deveriam calcular os valores do perímetro e da área desses
retângulos, a partir das medições efetuadas dos lados e, também, poderiam utilizar a
calculadora, já que o objetivo nesse momento não era o procedimento do algoritmo
da operação a ser efetuada, mas sim, o raciocínio do cálculo.
Ao efetuar a razão entre os valores dos perímetros das Figuras 6 e 2, nessa
ordem, os alunos identificaram facilmente a razão de proporção direta igual ou
aproximadamente igual a 2. Praticamente em todos os registros ficou reforçada a
ideia de que os retângulos são semelhantes.
As duas últimas questões referiam-se à análise da razão de proporção entre
as medidas de áreas encontradas entre as Figuras 6 e 2, nessa ordem. Como
previsto, os alunos sentiram dificuldade em perceber que a proporção não é direta,
pois o resultado não será o mesmo encontrado para a razão entre os lados dos
retângulos e o perímetro, o que poderia levá-los a pensar que não há
proporcionalidade.
Nesse momento, observou-se que, por coincidência, a razão entre as áreas
encontradas tinha o mesmo valor que o dobro da razão entre os perímetros, o que
os deixou confusos. Entre as questões, constava a seguinte observação em
destaque: “A razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da
24
razão de semelhança”. Mesmo assim, as respostas foram praticamente unânimes de
que a razão da área é o dobro da razão do perímetro, ou seja, 4.
Na reunião do grande grupo, foi-lhes solicitado que observassem bem o
enunciado em negrito e, após a explicação da coincidência de que o quadrado de 2
é o mesmo que o dobro de 2, foram sugeridos exemplos em que a razão entre os
perímetros fosse igual a 3 ou 4. Os alunos concluíram, então, que a razão entre as
áreas seria 9 ou 16.
Ao final, A4 perguntou: “Por que em perímetro não precisa elevar ao
quadrado a razão?”. Foi-lhe exposto que, ao calcular o perímetro, apenas somamos
as medidas dos lados numa única dimensão, por isso a razão é a mesma dos lados
correspondentes. Ao calcular a área, utilizamos duas dimensões, efetuando a
multiplicação lado x lado. Como nos baseamos em quadrados como unidade de
área, a razão também se eleva ao quadrado.
6ª e 7ª Atividades Investigativas: “Conhecendo um pouc o o GeoGebra”
e “O retângulo áureo no GeoGebra. Qual a relação com área e perímetro?”
Essas atividades tinham como objetivos gerais: explorar as principais
ferramentas do GeoGebra, utilizadas para a construção e medição de polígonos e
análise de áreas e perímetros; identificar a razão áurea como razão de proporção
entre as medidas de área e perímetro do retângulo áureo construído no GeoGebra.
A partir da observação dos arquivos salvos pelos alunos, verificou-se que
eles não tiveram dificuldades quanto ao manuseio do software e identificação de
área e perímetro nos polígonos. Uma observação interessante: alguns alunos
notaram que, a partir de acionada a opção Polígono, enquanto não delimitavam a
região poligonal clicando em seus vértices, não conseguiam identificar a área,
porque a superfície interna do polígono não estava estruturada.
Praticamente todos os alunos conseguiram encontrar o valor do número de
ouro como razão de proporção entre os lados do retângulo áureo construído no
GeoGebra, de acordo com as especificações dadas. Esse número, também
chamado de razão áurea, possui um valor aproximadamente igual a
1,6180339887..., por ser um número irracional, cuja razão entre dois comprimentos
não pode ser expressa por uma fração (como um número racional). É uma grandeza
que pode ser traçada, mas não pode ser medida. É chamado de Fi ou Phi, cujo
símbolo é Ф, em homenagem ao famoso escultor grego Phidias (ou Fidias), que
viveu entre 490 e 430 a.C. (LIVIO, 2009, p. 15-16)
No momento em que os alunos deveriam calcular o perímetro do maior
retângulo, observado no retângulo áureo construído, para depois identificar a razão
de proporção entre o retângulo maior e o menor, o aluno A4 efetuou um
procedimento diferente dos outros. Em sua maioria, eles simplesmente verificavam
25
as medidas dos segmentos que contornavam o retângulo maior com as ferramentas
do GeoGebra e depois procediam à soma dessas medidas. O aluno A4 primeiro
identificou a soma dos valores dos perímetros do quadrado e do retângulo menor em
sua construção geométrica (19,85 + 16,05 = 35,9), depois subtraiu duas vezes a
medida do lado “conjugado” entre os dois polígonos (ou seja, 9,92 = 2 . CB). (Figura
9)
Figura 9 – Dados do raciocínio do aluno A4 para identificar o perímetro do retângulo maior em sua
construção geométrica Fonte: Dados de campo
Os alunos concluíram, ao final das atividades, que a razão áurea é a medida
aproximada entre os lados do retângulo e entre os perímetros dos retângulos
identificados. Mas pairou a dúvida quanto às áreas, devido a problemas técnicos nos
computadores que impossibilitaram a finalização da atividade.
8ª Atividade Investigativa: Investigando retângulos de Fibonacci
O objetivo geral desta atividade era identificar a razão áurea como razão de
proporção entre as medidas de área e perímetro no retângulo áureo formado a partir
da Sequência de Fibonacci.
Essa sequência é assim chamada em homenagem ao matemático italiano
Leonardo Fibonacci de Pisa, um dos responsáveis pela divulgação do sistema de
numeração na Europa. A sequência infinita, formada pelos números 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34..., possui relação com o número de ouro Fi. (LIVIO, 2009, p. 120)
Um retângulo áureo tem a interessante propriedade de, se o dividirmos num
quadrado e num retângulo, o novo retângulo é também áureo. Repetindo esse
processo infinitamente e unindo os vértices dos quadrados onde estes cortam os
retângulos na razão áurea, obtém-se uma espiral a que se dá o nome de espiral
26
áurea. Os quadrados que formam essa espiral áurea “crescem” de acordo com a
Sequência de Fibonacci. (Figura 10)
Figura 10 – Sequência de Fibonacci no retângulo áureo
Fonte: A autora
Como atividade inicial, os alunos investigaram, a partir da montagem de um
quebra-cabeça, a maneira como ocorre a regra de formação e as regularidades no
retângulo áureo construído a partir de quadrados com medidas dos lados iguais à
Sequência de Fibonacci. Após, identificaram o número de ouro como razão
aproximada entre um número da Sequência de Fibonacci e seu antecessor.
Ao calcular a razão entre o valor do perímetro de um dos quadrados que
forma essa sequência pelo perímetro do quadrado imediatamente inferior, todos os
alunos encontraram, como resultado aproximado, o número de ouro 1,618....
Comprovaram, assim, que há proporção direta entre os perímetros dos quadrados e,
consequentemente, também entre os retângulos formados, como revelam os dados
registrados por A2. (Figura 11)
Figura 11 – Razão de proporção entre os perímetros dos quadrados identificados pela Sequência de
Fibonacci Fonte: Dados de campo
Mas, ao efetuar o mesmo procedimento do cálculo da razão entre as
medidas encontradas das áreas dos quadrados, observou-se que os valores não
são imediatamente iguais ao número de ouro. Apenas os alunos A1, A2 e A7
verificaram que essa razão não é direta, efetuando, assim, o cálculo da raiz
quadrada do valor encontrado. Dessa forma, identificaram o número de ouro como
razão aproximada de proporção entre as áreas, com foi registrado por A2. (Figura
12)
27
Figura 12 – Razão de proporção entre as áreas dos quadrados identificados pela Sequência de
Fibonacci Fonte: Dados de campo
No grande grupo, ao analisar os resultados encontrados com relação à
proporção entre as áreas dos quadrados formados na Sequência de Fibonacci, foi
necessário lembrar os alunos também de que, no caso específico do quadrado, a
operação que nos dá o valor da área pode ser relacionada a uma potenciação.
Analisando que a operação inversa da potenciação é a raiz quadrada, os alunos A4,
A5 e A13 também chegaram à conclusão de que deveriam calcular a raiz quadrada
do número encontrado para identificar a razão entre as áreas.
Conclusão e Considerações Finais
A partir da sequência didática construída, foi possível observar que os
alunos assimilaram os conceitos básicos de área e perímetro em seus aspectos
geométrico, numérico e das grandezas, incorporando-os ao aspecto algébrico.
Mesmo considerando que tais conceitos não eram o foco principal nas
últimas quatro intervenções, sendo apenas empregados como aplicação no estudo
da proporção áurea nos retângulos, percebeu-se que os alunos não se equivocaram
quanto ao raciocínio correto, quando necessitaram do cálculo de área e perímetro
como componentes das atividades investigativas solicitadas. Ficou bem definida a
noção básica de que área relaciona-se à superfície de um polígono e perímetro
relaciona-se ao contorno dele.
Ao implementar a proposta pedagógica na Escola, observou-se o interesse
dos alunos em atividades que os levassem a manusear materiais simples e/ou
tecnológicos para a construção do conhecimento. Apesar disso, trabalhar com
atividades de investigação matemática, nas quais os alunos constroem seus
conceitos, ainda é um desafio, pois eles não estão acostumados a formular questões
e conjecturas, testá-las, apresentar resultados, discutir e argumentar. Pode-se dizer
que apenas três dos dezesseis alunos se encantaram com esse processo.
Mas, analisando positivamente, há um rompimento com a linearidade do
currículo, pois os conteúdos são entrelaçados e contextualizados, o que exige um
domínio pleno do assunto por parte do professor, pois o processo de aprendizagem
28
está nas mãos do aluno, sendo o professor apenas o orientador e mediador desse
conhecimento.
Outros aspectos não relatados de forma específica no artigo, mas que
puderam ser observados durante os procedimentos de implementação, foram a falta
de leitura e a dificuldade de interpretação de textos que alguns alunos possuem,
necessitando de auxílio para entender aspectos básicos de questões formuladas.
Acrescenta-se, ainda, a dificuldade em expressar o que sabem com palavras de um
vocabulário matemático mais específico.
A definição de quadrado e retângulo também é confusa para alguns alunos.
Observou-se que possuíam conhecimentos superficiais com relação ao fato de que
todo quadrado é também um retângulo, com a característica especial de possuir
todos os lados iguais. Esses conceitos foram construídos no decorrer do processo, o
que se nota por relatos como: “Sim, pois o retângulo pode ser formado de vários
modos e o quadrado não”. (A2); “O quadrado pode ser retângulo porque tem todos
os lados iguais e os outros retângulos não” (A13); “É porque alguns retângulos não
têm todos os lados com a mesma medida.” (A6, A12 e A14).
Verificou-se, também, que os alunos não estão acostumados a observar
regularidades, o que dificultou inicialmente o entendimento das propostas
apresentadas na 8ª atividade investigativa, na qual teriam que identificar como era
construída a Sequência de Fibonacci. Outro aspecto a que os alunos não estão
acostumados a considerar é o registro em respostas, principalmente de forma
correta, das unidades para medição de perímetro e área, como cm e cm 2.
Por fim, considerou-se como válido o trabalho desenvolvido, visto que houve
um acréscimo de conteúdos pedagógicos tanto para o professor quanto para os
alunos participantes, com a proposta inovadora do Programa GeoGebra e a
dinâmica do conceito do número de ouro.
Referências
BALDINI, Loreni Aparecida Ferreira. Construção do conceito de área e perímetro: uma sequência didática com auxílio de software de g eometria dinâmica. 211 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática), Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2004. Disponível em: <http://200.189.113.123/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/dissertacao_loreni.pdf> Acesso em 16.mar.2011.
BRITO, Alexsandra Felix de; BELLEMAIN, Paula Moreira Baltar. Influência do uso de materiais manipulativos na construção da grandeza comprimento. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais... Recife:
29
Universidade Federal de Pernambuco, 2004. 1 CD-ROM.
DUARTE, Jorge Henrique. Análise de situações didáticas para construção do conceito de área como grandeza no Ensino Fundamental. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais... Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2004. 1 CD-ROM.
FACCO, Sonia Regina. Conceito de área – uma proposta de ensino-aprendizagem. 149, xxv f. Dissertação (Mestrado) - Centro de Ciências Exatas e Tecnologia, Pontifícia Universidade Católica. São Paulo, 2003. Disponível em: <http://www.sapientia.pucsp.br//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=5056> Acesso em 30.nov.2010.
IGNÁCIO, Renato da Silva. Um estudo das concepções de professores polivalentes sobre área e perímetro. 122 f. Dissertação (Mestrado) – Centro de Educação, Universidade Federal de Paraíba. João Pessoa, 2006. Disponível em: <http://www.ce.ufpb.br/ppge/Dissertacoes/dissert06/Renato%20Silva%20Ignacio/Renato_da_S_Ignacio.pdf> Acesso em 02.dez.2010.
LIVIO, Mario. Razão áurea: a história de Fi, um número surpreende nte. Trad. Marco Shinobu Matsumura. 4 ed. Rio de Janeiro: Record, 2009.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da Educação Básica do Estado do Paraná: Matemática. Curitiba: Secretaria de Estado da Educação, 2008.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2009.
SILVA, José Valério Gomes da; BELLEMAIN, Paula Moreira Baltar. Análise da abordagem de comprimento, perímetro e área em livros didáticos de Matemática do 6º ano do ensino Fundamental sob a ótica da Praxeologia Matemática. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 14. Anais... Campo Grande, 2010. Disponível em: <http://ebrapem.mat.br/inscricoes/trabalhos/GT11_SILVA_TA1.pdf> Acesso em 29.nov.2010.
TELES, Rosinalda Aurora de Melo; BELLEMAIN, Paula Moreira Baltar. Fórmulas de área de figuras geométricas planas: categorias de usos em livros didáticos e provas de vestibulares. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9. Anais... Belo Horizonte, Sociedade Brasileira de Ensino de Matemática, 2010. Disponível em: <http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Comunicacao_Cientifica/Trabalhos/CC58937242400T.doc> Acesso em 08.nov.2010.