uma caçada transcendente: a classificação de mahler
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
Uma Caçada Transcendente: A Classificaçãode Mahler
Profa. Ana Paula Chaves
Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade Federal de Goiás
Seminário de Álgebra 2015.1 - IME/UFG19 de março de 2015
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresAlgumas DefiniçõesMotivação
Aproximação RacionalO Teorema de LiouvilleNúmeros de LiouvilleO Teorema de DirichletUm Novo Critério de Irracionalidade
Aproximação AlgébricaUm Novo Critério de TranscendênciaA Classificação de Mahler
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresAlgumas DefiniçõesMotivação
Aproximação RacionalO Teorema de LiouvilleNúmeros de LiouvilleO Teorema de DirichletUm Novo Critério de Irracionalidade
Aproximação AlgébricaUm Novo Critério de TranscendênciaA Classificação de Mahler
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresAlgumas DefiniçõesMotivação
Aproximação RacionalO Teorema de LiouvilleNúmeros de LiouvilleO Teorema de DirichletUm Novo Critério de Irracionalidade
Aproximação AlgébricaUm Novo Critério de TranscendênciaA Classificação de Mahler
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresAlgumas Definições
DefiniçãoUm número complexo α é dito algébrico, se existe umpolinômio não nulo P(z) ∈ Z [z] tal que P(α) = 0.
ExemploTodos os números racionais, m
√p/q com p/q ∈ Q, i =
√−1, ...
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresAlgumas Definições
DefiniçãoUm número complexo α é dito algébrico, se existe umpolinômio não nulo P(z) ∈ Z [z] tal que P(α) = 0.
ExemploTodos os números racionais, m
√p/q com p/q ∈ Q, i =
√−1, ...
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresAlgumas Definições
DefiniçãoUm número complexo ξ que não é algébrico, é ditotranscendente.
DefiniçãoDois números ξ e τ são ditos algebricamente dependentes seexiste um polinômio, não nulo, de duas variáveisP(x , y) ∈ Z [x , y ] tal que P(ξ, τ) = 0.
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresAlgumas Definições
DefiniçãoUm número complexo ξ que não é algébrico, é ditotranscendente.
DefiniçãoDois números ξ e τ são ditos algebricamente dependentes seexiste um polinômio, não nulo, de duas variáveisP(x , y) ∈ Z [x , y ] tal que P(ξ, τ) = 0.
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresAlgumas Definições
DefiniçãoSeja P(z) ∈ Z [z] com P(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn. A altura deP é dada por
H(P) := max|a0|, . . . , |an|.
DefiniçãoA altura e o grau de um número algébrico α, denotados porH(α) e ∂(α), são respectivamente iguais à altura e o grau doseu polinômio minimal.
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PreliminaresAlgumas Definições
DefiniçãoSeja P(z) ∈ Z [z] com P(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn. A altura deP é dada por
H(P) := max|a0|, . . . , |an|.
DefiniçãoA altura e o grau de um número algébrico α, denotados porH(α) e ∂(α), são respectivamente iguais à altura e o grau doseu polinômio minimal.
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresMotivação
Dado um número complexo arbitrário ξ, renunciamos aotrabalho de determinar quando existe um polinômio não-nuloque tenha ξ como raíz. Ao invés disso, vamos considerar ospolinômios P(z) ∈ Z [z] para os quais |P(ξ)| é o menorpossível, dependendo da altura e do grau de P, mas semprediferente de zero. Pode se dizer que estamos “brincando” deescolher polinômios com o objetivo de responder: Qual omenor valor que |P(ξ)| pode assumir fora do zero?
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PreliminaresMotivação
Dado um número complexo arbitrário ξ, renunciamos aotrabalho de determinar quando existe um polinômio não-nuloque tenha ξ como raíz. Ao invés disso, vamos considerar ospolinômios P(z) ∈ Z [z] para os quais |P(ξ)| é o menorpossível, dependendo da altura e do grau de P, mas semprediferente de zero. Pode se dizer que estamos “brincando” deescolher polinômios com o objetivo de responder: Qual omenor valor que |P(ξ)| pode assumir fora do zero?
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PreliminaresMotivação
Dado um número complexo arbitrário ξ, renunciamos aotrabalho de determinar quando existe um polinômio não-nuloque tenha ξ como raíz. Ao invés disso, vamos considerar ospolinômios P(z) ∈ Z [z] para os quais |P(ξ)| é o menorpossível, dependendo da altura e do grau de P, mas semprediferente de zero. Pode se dizer que estamos “brincando” deescolher polinômios com o objetivo de responder: Qual omenor valor que |P(ξ)| pode assumir fora do zero?
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
PreliminaresMotivação
Uma questão natural a ser levantada é:
Como esta caça a polinômios que quase se anulam em ξ seconecta com sua transcendência?
Veremos que esta aproximação nos leva a um refinamento dadefinição de transcendência, pois divide os transcendentes emclasses disjuntas.
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PreliminaresMotivação
Uma questão natural a ser levantada é:
Como esta caça a polinômios que quase se anulam em ξ seconecta com sua transcendência?
Veremos que esta aproximação nos leva a um refinamento dadefinição de transcendência, pois divide os transcendentes emclasses disjuntas.
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PreliminaresMotivação
Esta classificação, criada em 1932 por Kurt Mahler, nos leva àuma nova compreensão dos números transcendentes e nospermite produzir resultados como:• Dar uma condição suficiente para que dois números
transcendentes ξ e ζ aplicados a um polinômioF (x , y) ∈ Z[x , y ] sejam tais que F (ξ, ζ) também sejatranscendente.
• Mostrar que a função f : C→ C dada porf (z) = ez +
∑∞n=1 10−n! leva valores algébricos em valores
transcendentes.
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Aproximação RacionalO Teorema de Liouville
Apesar de Euler ter levantado a questão sobre a existência denúmeros transcendentes em 1748, Liouville, quase um séculodepois, foi o primeiro a mostrar exemplos de tais númerosutilizando o seguinte resultado:
Teorema (Liouville - 1844)Seja α um algébrico com polinômio minimal P(z) ∈ Z[z] degrau n ≥ 2. Então, existe uma constante positiva c := c(α) talque ∣∣∣∣α− p
q
∣∣∣∣ ≥ cqn
para todo racional p/q, com q > 0.
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Aproximação RacionalO Teorema de Liouville
Ele construiu um exemplo que não satisfazia o seu teorema, onúmero
L =∞∑
n=1
10−n! = 0.1100010000000000000000001...,
e portanto é transcendente. Este número é conhecido porconstante de Liouville, sendo o primeiro exemplo de númerotranscendente.
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Aproximação RacionalNúmeros de Liouville
Liouville foi além e criou um conjunto não enumerável denúmeros reais que não satisfazia o seu teorema:
DefiniçãoUm número ξ ∈ R é dito número de Liouville se existe umasequência de infinitos racionais pn/qn, com qn > 1, tais quepara todo n ∈ N temos
0 <∣∣∣∣ξ − pn
qn
∣∣∣∣ < 1qn
n
ExemploTodo número escrito como
∑n≥1 ank−n!, onde k ∈ N− 1 e
an ∈ 1, . . . , k − 1 é um número de Liouville.
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Aproximação RacionalNúmeros de Liouville
Sabemos que todo número de Liouville é transcendente, mas arecíproca é verdadeira?
A resposta é negativa! Números transcendentes como e e πnão são números de Liouville.
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Aproximação RacionalNúmeros de Liouville
Sabemos que todo número de Liouville é transcendente, mas arecíproca é verdadeira?
A resposta é negativa! Números transcendentes como e e πnão são números de Liouville.
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Aproximação RacionalNúmeros de Liouville
Alguns resultados interessantes sobre números de Liouvillesão:
Teorema (Mailet - 1906)Se ξ é um número de Liouville e f é uma função racional, nãoconstante, com coeficientes racionais, então f (ξ) também é umnúmero de Liouville.
Teorema (Erdös - 1962)Todo número real pode ser escrito como a soma de doisnúmeros de Liouville.
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Aproximação RacionalNúmeros de Liouville
Alguns resultados interessantes sobre números de Liouvillesão:
Teorema (Mailet - 1906)Se ξ é um número de Liouville e f é uma função racional, nãoconstante, com coeficientes racionais, então f (ξ) também é umnúmero de Liouville.
Teorema (Erdös - 1962)Todo número real pode ser escrito como a soma de doisnúmeros de Liouville.
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Aproximação RacionalO Teorema de Dirichlet
Agora, veremos que, ao contrário dos números racionais, osirracionais podem ser tão bem aproximados por racionaisquanto desejarmos:
Teorema (Dirichlet)Dado um número irracional τ , existe uma constante positivaC(τ) = C tal que para todo H inteiro positivo, existem inteiros pe q, com 0 < max|p|, |q| ≤ H, satisfazendo a desigualdade
|τq − p| < CH
Se C < H, então q 6= 0.
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Aproximação RacionalO Teorema de Dirichlet
Como consequência dos Teoremas de Liouville e Dirichlet,obtemos uma nova definição de irracionalidade, equivalente ausual:
TeoremaDado um número real τ e um inteiro positivo H, seja
Ω(τ,H) = min|P(τ)|; P(z) = a1z + a0 ∈ Z[z]
com P(τ) 6= 0 e H(P) ≤ H
Defina ω(τ,H) como Ω(τ,H) = H−ω(τ,H) eω(τ) = lim supH→+∞ ω(τ,H). Então τ é irracional se, esomente se, ω(τ) 6= 0.
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Aproximação AlgébricaUm Novo Critério de Transcendência
E como consequência das generalizações dos Teoremas deDirichlet e Liouville, conseguimos um critério paratranscendência semelhante ao obtido para irracionalidade:
TeoremaDados um número complexo ξ e inteiros positivos H e N, sejam
PN,H = P(z) ∈ Z[z]; gr(P) ≤ N e H(P) ≤ H
eΩ(ξ,N,H) = min|P(ξ)|; P(z) ∈ PN,H e P(ξ) 6= 0.
Defina ω(ξ,N,H) como Ω(ξ,N,H) = H−ω(ξ,N,H)·N ,ω(ξ,N) := lim supH→∞ ω(ξ,N,H) e ω(ξ) := lim supN→∞ ω(ξ,N).Então ξ é transcendente se, e somente se, ω(ξ) 6= 0.
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Quais os possíveis valores de ω(ξ)?i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico;ii. 0 < ω(ξ) < +∞iii. ω(ξ) = +∞
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Quais os possíveis valores de ω(ξ)?i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico;ii. 0 < ω(ξ) < +∞iii. ω(ξ) = +∞
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Quais os possíveis valores de ω(ξ)?i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico;ii. 0 < ω(ξ) < +∞iii. ω(ξ) = +∞
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Quais os possíveis valores de ω(ξ)?i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico;ii. 0 < ω(ξ) < +∞iii. ω(ξ) = +∞
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Relembrando da definição de ω(ξ):
ω(ξ) = lim supN→∞
ω(ξ,N)
onde ω(ξ,N) também é um lim sup dado por
ω(ξ,N) = lim supH→∞
ω(ξ,N,H),
observamos que: Se ω(ξ,N0) =∞ para algum N0 ∈ N, então
ω(ξ) = lim supN→∞
ω(ξ,N) ≥ ω(ξ,N0) =∞⇒ ω(ξ) =∞
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Portanto, para se obter ω(ξ) =∞, existem duas maneiras:i. ω(ξ,N0) =∞ para algum N0;ii. ω(ξ,1), ω(ξ,2), . . . não possui ponto de acumulação.
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Dessa forma, a classificação que divide os números complexosem duas classes,• ω(ξ) = 0 (no caso ξ algébrico)• ω(ξ) 6= 0 (no caso ξ transcendente)
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Se tornou uma classificação mais detalhada que consiste emquatro classes,• ω(ξ) = 0• 0 < ω(ξ) <∞• ω(ξ) =∞ e existe um N0 tal que ω(ξ,N0) =∞• ω(ξ) =∞ e para todo N, ω(ξ,N) 6=∞
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Visando analisar bem estes últimos três casos, vamos definir
υ(ξ) := menor inteiro positivo N tal que ω(ξ,N) =∞.
Logo, caso ω(ξ,N) <∞ para todo N, então υ(ξ) =∞. Agora,se ω(ξ) =∞ então υ(ξ) pode ser finito ou infinito.
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Deste modo, temos quatro possibilidades para ω(ξ) e υ(ξ) quecorrespondem às quatro classes vistas anteriormente e dãoorigem à seguinte classificação devida a Mahler (1932), paraum número complexo ξ:
Se ω(ξ) = 0 e (logo) υ(ξ) =∞, ξ é um A-número.Se 0 < ω(ξ) <∞ e (logo) υ(ξ) =∞, ξ é um S-número.Se ω(ξ) =∞ e υ(ξ) <∞, ξ é um U-número.Se ω(ξ) =∞ e υ(ξ) =∞, ξ é um T-número.
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
U-números são aqueles em que ω(ξ) = +∞ mas υ(ξ) <∞.Isto nos leva à definir subclasses dentro dos U-números deacordo com os possíveis valores de υ(ξ):
DefiniçãoSejam ξ um número complexo e m um inteiro positivo. Então ξé dito um U-número de tipo m se ω(ξ) = +∞ e υ(ξ) = m. OsU-números de tipo m também são conhecidos comoUm-números.
ProposiçãoOs Números de Liouville são exatamente os U1-números.
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Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
U-números são aqueles em que ω(ξ) = +∞ mas υ(ξ) <∞.Isto nos leva à definir subclasses dentro dos U-números deacordo com os possíveis valores de υ(ξ):
DefiniçãoSejam ξ um número complexo e m um inteiro positivo. Então ξé dito um U-número de tipo m se ω(ξ) = +∞ e υ(ξ) = m. OsU-números de tipo m também são conhecidos comoUm-números.
ProposiçãoOs Números de Liouville são exatamente os U1-números.
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
Apesar de haver uma quantidade não enumerável deU-números, quase todo número não é U-número:
TeoremaO conjunto dos U-números tem medida nula em C
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Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler
A existência de Um-números para todo m ≥ 1 foi mostrada porLeveque, com o resultado:
Teorema (Leveque, 1953)Seja ai n2,4 para todo j. Então, a raíz m-ésima de(3 +
∑j≥1 aj10−j)/4 é um Um-número.
Chaves e Marques construíram Um-números de forma maisnatural, como podemos ver:
Teorema (Chaves-Marques, 2014)Sejam α um algébrico de grau m e L a constante de Liouville.Então αL e α + L são Um-números.
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O resultado de Erdös pode ser reescrito como: ?todo númeroreal pode ser escrito como a soma de dois U1-números?.Pollington mostrou que esta não é uma propriedade exclusivadesta classe de U-números:
Teorema (Pollington, 1993))Dado um inteiro positivo m, todo número real pode ser escritocomo a soma de dois Um-números
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Mais alguns resultados sobre U-números:• Mahler em 1953 mostrou que logα não é um U-número,
onde α 6= 1 é um algébrico não nulo.• Mahler, também em 1953, provou que π não é um
U-número.• Adhikari, Saradha, Shorey e Tijedman em 2001, aplicaram
a teoria de A. Baker sobre forma linear em logaritmosmostrar que os números∑
n≥0
((3n + 1)(3n + 2)(3n + 3))−1 e∑n≥1
2−nFn/n,
onde (Fn)n≥0 é a sequência de Fibonacci, sãotranscendentes mas não são U-números.
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Um fato conhecido é que o conjunto dos Números Algébricos éprecisamente o conjunto dos A-números. Observamos que aunião dos A- e U-números formam um conjunto de medidanula no plano complexo. Daí, quase todos os números são S-ou T -números. Daremos um passo à frente, estabelecendo oresultado:
TeoremaQuase todos os números são S-números
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No mesmo trabalho em que Mahler exibiu a sua classificação,ele provou que:
Teorema (Mahler, 1932)Todo número da forma eα, com α algébrico não nulo, é umS-número.
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Quando Mahler propôs a sua classificação, ele mostrou que oconjunto dos U-números e dos T -números tinham medidanula. Entretanto, Entretanto, Mahler não conseguiu provar aexistência de T -números em seu trabalho. A primeira provadeste fato foi descoberta 36 anos depois de Mahler propôr asua classificação, e é devida a Schmidt.
Teorema (Schmidt, 1968)Existem T-números.
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Quando Mahler propôs a sua classificação, ele mostrou que oconjunto dos U-números e dos T -números tinham medidanula. Entretanto, Entretanto, Mahler não conseguiu provar aexistência de T -números em seu trabalho. A primeira provadeste fato foi descoberta 36 anos depois de Mahler propôr asua classificação, e é devida a Schmidt.
Teorema (Schmidt, 1968)Existem T-números.
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• Apesar de sabermos que T -números existem, exibirexemplos desta classe ainda é um problema em aberto.
• Caveny, em 1993, mostrou que se α é um T - ou U-númeroe β é um U-número, então αβ é transcendente.
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Estabelecemos a relação entre classificação de Mahler edependência algébrica com o seguinte Teorema:
TeoremaSe dois números são algebricamente dependentes, então elespertencem à mesma classe.A contrapositiva deste teorema nos permite produzir umresultado interessante sobre transcendência:
CorolárioSejam ξ e ζ números transcendentes que pertencem a classesdiferentes e F (x , y) ∈ Z[x , y ] um polinômio não nulo. Então,F (ξ, ζ) é transcendente.
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Alguns problemas a serem resolvidos são:• Dar exemplos de T -números.• Saber qual a classificação de π• Quais funções analíticas f são tais que se ξ é um número
de Liouville, f (ξ) também é?
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Bibliografia
Bibliografia I
A. P. Chaves, D. MarquesAn Explicit Family of Um-numbersElemente der Mathematik (Printed ed.), v. 69, p. 18-22,2014.
Y. BugeaudApproximation by Algebraic NumbersNew York: Cambridge University Press, 2014. 274 p.(Cambridge Trats in Mathematics vol. 160)
E. Burger, R. Tubbs.Making Transcendence transparent: An intuitive approachto classical transcendental number theorySpringer-Verlag, 2004. 263 p.
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Bibliografia
“If numbers aren’t beautiful, I don’t know what is.” (P. Erdös)
Obrigada!