UMA EXPERIEcircNCIA DE IMPLEMENTACcedilAtildeO DO PROGRAMA 1ordm E 2ordm CICLOS

Olga Seabra

EB 23 de Paredes

olgaseabra1gmailcom

Rui Candeias

EB1JI da Quinta de Santo Antoacutenio

ruicandeias2gmailcom

Resumo

Desde o ano de 2004 que se desenvolvem acccedilotildees por parte do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo com o

propoacutesito de melhorar os resultados escolares agrave disciplina de Matemaacutetica Vaacuterias foram as acccedilotildees de

formaccedilatildeo que a pedido do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo foram desenvolvidas pelas escolas superiores de

educaccedilatildeo e universidades Numa primeira fase apenas para o 1ordm ciclo do ensino baacutesico mais tarde

alargando-se ao 2ordm ciclo do ensino baacutesico

Em 2006 surge uma nova acccedilatildeo no combate ao insucesso a Matemaacutetica satildeo lanccediladas um conjunto

de Acccedilotildees e Medidas com a duraccedilatildeo prevista de trecircs anos lectivos o entatildeo chamado ldquoPlano de

Acccedilatildeo para a Matemaacuteticardquo que inclui o ldquoPlano da Matemaacuteticardquo e o Reajustamento dos Programas

de Matemaacutetica O Plano da Matemaacutetica foi levado a cabo por muitas escolas a niacutevel nacional sendo

que para participarem tiveram que elaborar um projecto de escola onde explicavam quais as

medidas que tencionavam tomar no sentido de melhorar os resultados a Matemaacutetica Durante este

periacuteodo surge a proposta de um novo programa de Matemaacutetica para o Ensino Baacutesico Este esteve

aberto a discussatildeo sendo homologado em Dezembro de 2007

Com a aprovaccedilatildeo do novo programa houve a necessidade de testaacute-lo Assim no ano lectivo de

20082009 daacute-se iniacutecio ao ldquoProjecto das Turmas Pilotordquo Este envolve 20 turmas do 1ordm ciclo (10

turmas do 1ordm ano escolaridade e 10 turmas do 3ordm ano de escolaridade) 10 turmas do 2ordm ciclo do

5ordm ano de escolaridade e 10 turmas do 3ordm ciclo do 7ordm ano de escolaridade Quando surge no

horizonte a probabilidade de renovaccedilatildeo dos programas e das metodologias do ensino de

Matemaacutetica estas preconizam um movimento de acccedilatildeo cultural da proacutepria escola enquanto entidade

produtora de discussatildeo (Miguel 2002)

Eacute entatildeo objectivo deste artigo ilustrar duas experiecircncias de implementaccedilatildeo do novo programa de

Matemaacutetica do Ensino Baacutesico nomeadamente do 1ordm e 2ordm ciclos de escolaridade com incidecircncia

no tema ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo

Palavras-chave turmas piloto programa implementaccedilatildeo tarefas

Introduccedilatildeo

No presente ano lectivo (20082009) a Direcccedilatildeo Geral de Inovaccedilatildeo e Desenvolvimento Curricular

levou a cabo o ldquoProjecto das Turmas Pilotordquo com o objectivo de implementar num grupo alvo de

turmas o Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico Eacute essa experiecircncia de implementaccedilatildeo

que iremos dar a conhecer neste caso em particular relativa a duas turmas uma do 1ordm ano de

escolaridade e a outra do 5ordm ano de escolaridade

Profmatmdash 2009

Com a implementaccedilatildeo deste novo programa existem algumas mudanccedilas tanto na forma como o

proacuteprio programa eacute apresentado como na forma de ser trabalhado Natildeo significa isto que no

anterior programa algumas destas ideias natildeo estivessem patentes no entanto nunca chegaram a ser

postas em praacutetica Assim este novo programa surge organizado por ciclos e natildeo por anos de

escolaridade agrave excepccedilatildeo do 1ordm ciclo que estaacute organizado em blocos de 2 anos de escolaridade (1ordm

2ordm e 3ordm4ordm) Esta organizaccedilatildeo permite agrave escolaagrupamento construir o seu proacuteprio percurso

curricular o que eacute positivo pois poderaacute adequar de uma melhor forma o programa agraves necessidades

reais dos seus alunos Aleacutem disso surgem evidenciadas as capacidades transversais raciociacutenio

matemaacutetico resoluccedilatildeo de problemas e comunicaccedilatildeo matemaacutetica As alteraccedilotildees referidas

anteriormente centram-se no modo como o programa estaacute estruturado mas satildeo tambeacutem

significativas para a praacutetica pedagoacutegica as mudanccedilas propostas nas orientaccedilotildees metodoloacutegicas

Estas apesar de jaacute no anterior programa de 1991 estarem contempladas satildeo neste programa

reforccediladas nomeadamente o trabalho de grupo e a aprendizagem atraveacutes da realizaccedilatildeo de tarefas

(exploratoacuterias investigativas resoluccedilatildeo de problemashellip)

Operaccedilotildees com nuacutemeros naturais Eacute um dos toacutepicos do tema Nuacutemeros e Operaccedilotildees do novo

Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico Nos dois primeiros anos de escolaridade satildeo abordadas

as quatro operaccedilotildees (adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo) no entanto no primeiro ano de

escolaridade a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo assumem um papel central A primeira parte deste texto aborda

o desenvolvimento dos conceitos de adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo centrado nos diferentes sentidos que estas

operaccedilotildees podem ter consoante os contextos em que surgem Paralelamente seraacute abordada a

estruturaccedilatildeo do caacutelculo nestas duas operaccedilotildees Esta anaacutelise seraacute realizada a partir do trabalho

efectuado pelos alunos numa tarefa proposta nas brochuras disponibilizadas agraves turmas - piloto

Pacotes de leite

Operaccedilotildees com nuacutemeros racionais natildeo negativos Este eacute um dos toacutepicos estudados no 2ordm ciclo de

escolaridade pertencente ao tema ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo Quando satildeo estudados os nuacutemeros

inteiros e mais tarde os nuacutemeros racionais natildeo negativos deve ter como ponto de partida quer

situaccedilotildees que envolvem elementos do dia-a-dia dos alunos quer as que emergem no proacuteprio campo

da Matemaacutetica No estudo dos nuacutemeros racionais natildeo negativos a associaccedilatildeo a situaccedilotildees de medida

Profmat mdash 2009

de grandezas como comprimento aacuterea volume massa tempo e dinheiro promove a compreensatildeo

desses nuacutemeros e de conexotildees entre eles A resoluccedilatildeo de problemas quando abrangem a

investigaccedilatildeo de regularidades numeacutericas constitui um factor a privilegiar da didaacutectica dos nuacutemeros

neste ciclo de ensino O aluno tem assim a possibilidade de alargar o seu conhecimento dos

nuacutemeros de criar e usar estrateacutegias e discutir a sua conformidade agraves situaccedilotildees e a desenvolver

conjecturas e a testaacute-las (Ponte Serrazina Guimaratildees Breda Guimaratildees Sousa Menezes Martins

amp Oliveira 2007)

Numa primeira abordagem seraacute analisado o desenvolvimento dos conceitos de adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo

de nuacutemeros racionais natildeo negativos Esta anaacutelise seraacute realizada a partir do trabalho efectuado pelos

alunos numa tarefa proposta nas brochuras disponibilizadas agraves turmas ndash piloto

Vejamos entatildeo de que forma nas turmas piloto se estatildeo a operacionalizar estas orientaccedilotildees

O iniacutecio do projecto

A organizaccedilatildeo dos trabalhos Quando recebemos o convite para participar no ldquoProjecto das Turmas

Pilotordquo houve um sentimento comum de uma certa apreensatildeo o primeiro pensamento que tivemos

foi ldquoe se natildeo sou capazrdquo Mas sendo este um novo desafio natildeo podiacuteamos recusar e apesar de

algum receio aceitamos Hoje estamos muito felizes por o ter feito pois estaacute a ser uma experiecircncia

muito enriquecedora Vejamos entatildeo como decorreram os trabalhos desde a planificaccedilatildeo ateacute agrave

implementaccedilatildeo na sala de aula

Numa fase inicial foi necessaacuteria a opccedilatildeo por um percurso curricular para o 5ordm ano de escolaridade

ficando automaticamente decidido o percurso curricular para o 6ordm ano de escolaridade Assim

apoacutes esta primeira decisatildeo era necessaacuterio passar agrave planificaccedilatildeo das aulas Ora quando tal

aconteceu foi quando nos deparaacutemos com a primeira novidade ou seja as aulas iriam ser

planificadas tendo em conta as tarefas que iriam ser seleccionadas (cadeias de tarefas) de um

conjunto de variadas tarefas que jaacute tinham sido alvo de discussatildeo e anaacutelise por parte de alguns

professores Mas afinal o que eacute considerado uma tarefa matemaacutetica ldquoUma tarefa eacute definida como

um segmento da actividade da sala de aula dedicada ao desenvolvimento de uma ideia matemaacutetica

particularrdquo (Stein amp Smith p1 1998) O uso das tarefas baseia-se no facto dos professores envolvidos

no projecto bem como os autores do programa acreditarem que as tarefas estabelecem o suporte para a

Profmatmdash 2009

aprendizagem dos alunos (Doyle 1988) No entanto estas tarefas natildeo eram estanques pois apesar de

terem sido seleccionadas e estarem ldquoaptasrdquo a serem usadas iam sempre ocorrendo reformulaccedilotildees de

modo a melhorar e optimizar cada uma delas Como sustenta Joatildeo Pedro da Ponte ldquoum aluno

aprende Matemaacutetica trabalhando em tarefas matemaacuteticas que define para si proacuteprio ou que lhe satildeo

propostas pelo professor e falando sobre elas com os seus colegas ou reflectindo sobre os seus

raciociacutenios e os seus resultadosrdquo (p71999) De facto as tarefas matemaacuteticas satildeo uma forma muito

interessante e motivadora de levar os alunos a aprenderem os toacutepicos matemaacuteticos

Com a investigaccedilatildeo construccedilatildeo e posterior aplicaccedilatildeo das tarefas houve sempre uma questatildeo que

pairava no ar como classificar as tarefas Seratildeo de investigaccedilatildeo Ou exploratoacuterias Ou ainda

resoluccedilatildeo de problemas Esta eacute uma duacutevida por vezes difiacutecil de resolver principalmente entre

tarefas de cariz exploratoacuterio e investigativo ldquoEmbora a exploraccedilatildeo e a descoberta sejam aspectos

que estatildeo intimamente ligados com o conceito de investigaccedilatildeo matemaacutetica eles natildeo o caracterizam

totalmente Assim explorar e investigar dizem respeito sobretudo ao processo enquanto que

descobrir aponta predominantemente para o produtordquo (Porfiacuterio amp Oliveira) Mas apesar da

dificuldade tentamos sempre tendo autores como o Joatildeo Pedro da Ponte Paulo Abrantes Heacutelia

Oliveira Mary Kay Stein ou Margaret Schan Smith por referecircncia Aleacutem da classificaccedilatildeo de tarefas

estas tecircm que responder a certos requisitos Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (1999) existem certos

cuidados a ter com a escolha e posterior aplicaccedilatildeo tarefas nomeadamente

i) a importacircncia de definir bem os objectivos ii) natildeo interessa ter muitos meios de

recolha de dados iii) as tarefas de investigaccedilatildeo para os alunos natildeo precisam de ser

demasiado ldquocomplicadasrdquo iv) o modo como a tarefa eacute apresentada tem uma enorme

influecircncia na relaccedilatildeo que os alunos estabelecem com ela e com o ambiente de trabalho

que se cria v) estimulados por tarefas interessantes os alunos ultrapassam com

frequecircncia e largamente as nossas expectativas vi) diferentes tipos de alunos reagem a

este tipo de trabalho por vezes de modo muito diferente ndash variando da grande adesatildeo e

entusiasmo ao cepticismo e reserva (p9-10)

De facto a elaboraccedilatildeo de tarefas eacute um processo bastante trabalhoso no entanto quando o trabalho

do professor eacute centrado ldquonas tarefas matemaacuteticas e nas suas fases de utilizaccedilatildeo na sala de aula pode

ajudar os professores no processo de reflexatildeordquo (Stein amp Smith p1 1998) levando a um trabalho

futuro muito mais frutiacutefero e efectivo

Profmat mdash 2009

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 1ordm ciclo

Sentido das operaccedilotildees O Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico (DGIDC 2007) aponta como

objectivos especiacuteficos para o toacutepico das Operaccedilotildees com nuacutemeros naturais a compreensatildeo da adiccedilatildeo

nos sentidos combinar e acrescentar e a compreensatildeo da subtracccedilatildeo nos sentidos retirar comparar e

completar

Para o sentido combinar da adiccedilatildeo Ponte e Serrazina (2000) sugerem contextos como ldquoO Joatildeo tem

quinze berlindes e o Pedro tem dezassete Quantos berlindes tecircm os dois juntosrdquo ou ldquoNo recreio

estatildeo 15 rapazes e 17 raparigas Quantas crianccedilas estatildeo no recreiordquo Na proposta apresentada na

tarefa este sentido da adiccedilatildeo aparece na questatildeo ldquoQuantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf

feirardquo

Para o sentido acrescentar satildeo sugeridos contextos como ldquoO Joatildeo tem 15 berlindes deram-lhe mais

7 Quantos berlindes tem ele agorardquo (Ponte amp Serrazina 2000 p 148) Na tarefa apresentada este

sentido da adiccedilatildeo era explorado na situaccedilatildeo ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12 pacotes de leite quantos

pacotes se beberam hoje sabendo que se beberam mais trecircsrdquo

Dos trecircs sentidos apresentados no programa para a subtracccedilatildeo esta tarefa trabalhou o sentido

completar na questatildeo ldquoQuantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feirardquo

Niacuteveis de caacutelculo Kraemer (2006) considera que existem diferentes niacuteveis de caacutelculo a desenvolver

desde o preacute-escolar a) caacutelculo por contagem ndash refere-se a situaccedilotildees em que ocorre a contagem de

conjuntos de objectos Numa primeira fase a crianccedila tenderaacute a contar tudo (trecircs vezes) b) caacutelculo

sequencial ndash parte das relaccedilotildees entre os nuacutemeros e implica contar para a frente e para traacutes a partir

de um nuacutemero contar dando saltos de 5 em 5 (no caacutelculo ateacute 20) contar dando saltos de 10 em 10

ou ateacute agrave dezena mais proacutexima (no caacutelculo ateacute 100) c) caacutelculo semi ndash posicional - parte das relaccedilotildees

entre os nuacutemeros e implica decompor os nuacutemeros em muacuteltiplos de 10 e 1 decompor os nuacutemeros e

dar saltos (caacutelculo combinado) fazer caacutelculos por decomposiccedilatildeo (muito proacuteximo dos algoritmos)

d) caacutelculo com recurso agraves propriedades das operaccedilotildees

De acordo com esta sequecircncia Kraemer (2006) propotildee um percurso para os niacuteveis de caacutelculo a)

ordenar utilizar a ordem dos nuacutemeros e contar a partir de um nuacutemero raciocinar a partir de

imagens e dos dedos estabelecer diferenccedilas entre os nuacutemeros pares e iacutempares b) agrupar fazer

Profmatmdash 2009

pares fazer grupos de 5 usar o 5 nas composiccedilotildees do 6 7 8 9 e 10 usar o 10 nas composiccedilotildees de

outros nuacutemeros compor usando o 1 5 e 10 c) estruturar decompor ateacute 6 os dobros 2 4 6 8 10

nuacutemeros com 5 (5 + 1 5 + 2 hellip) decomposiccedilotildees do 10 Na tarefa apresentada o graacutefico

encontrava-se organizado com segmentos horizontais a marcarem espaccedilos com 5 quadriacuteculas de

altura Pretendia-se assim que os alunos recorressem agrave estruturaccedilatildeo em grupos de 5 e de 10 neste

caso de nuacutemeros ateacute 20 estabelecendo uma relaccedilatildeo com a estrutura do colar de contas e do aacutebaco

horizontal materiais que tecircm apoiado o caacutelculo dos alunos

A tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo A tarefa trabalhada tinha como principais ideias e procedimentos a

desenvolver os seguintes a) Ler explorar e interpretar informaccedilatildeo (apresentada em graacuteficos de

pontos) b) compreender a adiccedilatildeo nos sentidos combinar e acrescentar e c) compreender a

subtracccedilatildeo no sentido completar e estabelecia conexotildees com o tema da Organizaccedilatildeo e Tratamento

de Dados relacionando-se com a anaacutelise de um graacutefico de pontos Tambeacutem eacute importante frisar a

exploraccedilatildeo matemaacutetica de uma rotina de sala de aula como eacute o registo dos pacotes de leite

consumidos

As vaacuterias questotildees da tarefa foram trabalhadas em dois dias diferentes e foram exploradas primeiro

colectivamente com uma leitura e esclarecimentos sobre o que era pretendido depois a pares com

o trabalho dos alunos na tarefa e finalmente com uma discussatildeo colectiva antecedida de uma

exposiccedilatildeo das resoluccedilotildees feitas pelos diferentes pares Cada par dispunha de um graacutefico de pontos

com o registo dos pacotes de leite e de uma folha de trabalho com as questotildees

Figura - 1 ndash Graacutefico de pontos

apresentado aos alunos

Profmat mdash 2009

1ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf feira juntos

No que diz respeito a esta questatildeo a que estaacute subjacente o uso da operaccedilatildeo adiccedilatildeo no sentido

combinar a grande maioria dos alunos apresentou um registo idecircntico ao exposto na figura 2

Figura - 2

Questionados oralmente sobre a forma como tinham efectuado o caacutelculo a maioria dos pares referiu

a utilizaccedilatildeo da organizaccedilatildeo em grupos de 5 do graacutefico fazendo 10 + 2 + 5 + 3 somando primeiro

10 + 5 depois 3 + 2 e finalmente juntando 15 + 5 Os pares de alunos que utilizaram esta estrutura

usaram os caacutelculos que tinham feito para responder agraves questotildees anteriores (quantos leites foram

consumidos na 2ordf feira e na 6ordf feira) Eacute de destacar um nuacutemero significativo de pares que apesar

de apresentarem um registo idecircntico ao da figura quando explicitam a estrateacutegia de caacutelculo ainda eacute

perceptiacutevel a utilizaccedilatildeo da contagem um a um Apenas um par referiu que as duas colunas juntas

completavam uma coluna grande ou seja que faziam a quantidade 20 Um par natildeo conseguiu fazer

qualquer abordagem ao problema

2ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feira

No que diz respeito agrave questatildeo 2 que trabalhava a subtracccedilatildeo no sentido completar cinco dos onze

pares de alunos optaram por apresentar uma resoluccedilatildeo idecircntica agrave da figura 3 Na explicitaccedilatildeo oral

do caacutelculo muitos destes pares realccedilaram a relaccedilatildeo entre as duas colunas da 2ordf feira e da 6ordf feira

para fazer a coluna da 4ordf feira (o que tinha sido destacado na discussatildeo colectiva das primeiras

questotildees)

Figura - 3

Profmatmdash 2009

Dois pares apresentaram a resoluccedilatildeo representada na figura 4 Na explicitaccedilatildeo oral da resoluccedilatildeo foi

evidente que o raciociacutenio foi 20 - ___ = 12 ou seja os alunos olharam para a coluna da 4ordf feira

com 20 pacotes e depois foram tentar perceber quantos pacotes teriam que retirar para ficarem com

o nuacutemero de pacotes de 2ordf feira Neste caacutelculo um destes pares utilizou a estrutura de 5 em 5 da

construccedilatildeo do graacutefico e disse que ldquoPara irmos da coluna de 4ordf feira para a coluna de 2ordf feira temos

que retirar 5 e depois 3 que daacute 8rdquo O outro par destacou a relaccedilatildeo da coluna de 2ordf feira com a

coluna de 6ordf feira para perfazer a coluna de 4ordf feira ldquoNoacutes vimos que tirando as cruzes da coluna de

6ordf feira agrave coluna de 4ordf feira ficaacutevamos com a coluna de 2ordf feirardquo Apesar de neste caso o resultado

da operaccedilatildeo natildeo corresponder agrave resposta do problema os dois pares conseguiram perceber que 8 eacute

que correspondia agrave quantidade de pacotes a mais e responderam correctamente

Figura - 4 Figura - 5

Um par de alunos apresentou a resoluccedilatildeo da figura 5 Neste caso os alunos partiram da quantidade

de pacotes de leite bebidos na 2ordf feira e foram ver quantos faltavam para ficarem com a mesma

quantidade que na 4ordf feira o que corresponde agrave situaccedilatildeo 12 + ____ = 20 Quanto agrave estrateacutegia de

caacutelculo os alunos referiram que utilizaram a estrutura de 5 em 5 ou seja que a 12 faltavam 3 + 5

para fazer 20

Profmat mdash 2009

Trecircs pares de alunos apresentaram na sua resoluccedilatildeo estrateacutegias diferentes como nas figuras 6 e 7

Nos trecircs casos e de acordo com o que foi explicitado oralmente a primeira estrateacutegia utilizada na

resoluccedilatildeo foi a de verificar quantos pacotes teriam que retirar aos 20 pacotes de 4ordf feira para

ficarem com os 12 pacotes de 2ordf feira Os elementos destes trecircs grupos salientaram a relaccedilatildeo

existente entre as colunas de 2ordf 6ordf e 4ordf feira como estrateacutegia de caacutelculo No segundo exemplo a

estrateacutegia indicada oralmente foi idecircntica agrave do primeiro exemplo (apesar de natildeo ser essa a ordem

apresentada no registo dos alunos) No uacuteltimo registo os alunos deste par tambeacutem explicitam a

forma como calculam a quantidade de pacotes da 4ordf feira utilizando a estrutura de 5 em 5

Figura - 6

Figura - 7

Ainda na 2ordf questatildeo foi colocada uma segunda pergunta resolvida apoacutes a discussatildeo colectiva da

primeira pergunta ldquoE quantos pacotes a mais na 4ordf feira do que na 5ordf feirardquo Nesta 2ordf pergunta

manteve-se a diversidade de registos apresentados na 1ordf pergunta Um dos registos mais utilizados

continuou a ser o de subtrair ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira o nuacutemero de pacotes de 5ordf feira 20 ndash

14 = 6 No entanto a explicitaccedilatildeo oral de dois dos grupos que fizeram este tipo de registo foi que

tinham pensado quantos pacotes teriam que acrescentar aos 14 para chegarem aos 20 de 4ordf feira

num raciociacutenio de 14 + ____ = 20 mas que registaram 20 ndash 14 = 6 porque viram que o resultado era

o mesmo

Figura - 8

Profmatmdash 2009

No registo apresentado por um dos grupos figura 9 a estrateacutegia inicial correspondia a um

raciociacutenio que pode ser expresso por 14 + _____ = 20 Na explicitaccedilatildeo escrita do caacutelculo este par

utilizou a estrutura de 5 em 5 presente no graacutefico para calcular que faltavam 6 pacotes na 5ordf feira

para chegar ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira 5 + 1 = 6 que depois juntaram ao nuacutemero de pacotes

de 5ordf feira fazendo 14 + 5 + 1 = 20 e finalmente 14 + 6 =20 No lado inferior esquerdo deste registo

surge a operaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 Este registo foi justificado com o recurso agrave relaccedilatildeo entre a adiccedilatildeo e a

subtracccedilatildeo ldquoNoacutes vimos que 14 + 6 = 20 entatildeo se fizermos 20 ndash 14 daacute os seis pacotes que faltam na

5ordf feirardquo

Figura - 9

Na 3ordf questatildeo que trabalhava a adiccedilatildeo no sentido de acrescentar ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12

pacotes de leite Quantos pacotes se beberam hoje a maisrdquo a estrateacutegia apresentada por todos os

pares corresponde ao raciociacutenio apresentado na figura 10

Figura - 10

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

de grandezas como comprimento aacuterea volume massa tempo e dinheiro promove a compreensatildeo

desses nuacutemeros e de conexotildees entre eles A resoluccedilatildeo de problemas quando abrangem a

investigaccedilatildeo de regularidades numeacutericas constitui um factor a privilegiar da didaacutectica dos nuacutemeros

neste ciclo de ensino O aluno tem assim a possibilidade de alargar o seu conhecimento dos

nuacutemeros de criar e usar estrateacutegias e discutir a sua conformidade agraves situaccedilotildees e a desenvolver

conjecturas e a testaacute-las (Ponte Serrazina Guimaratildees Breda Guimaratildees Sousa Menezes Martins

amp Oliveira 2007)

Numa primeira abordagem seraacute analisado o desenvolvimento dos conceitos de adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo

de nuacutemeros racionais natildeo negativos Esta anaacutelise seraacute realizada a partir do trabalho efectuado pelos

alunos numa tarefa proposta nas brochuras disponibilizadas agraves turmas ndash piloto

Vejamos entatildeo de que forma nas turmas piloto se estatildeo a operacionalizar estas orientaccedilotildees

O iniacutecio do projecto

A organizaccedilatildeo dos trabalhos Quando recebemos o convite para participar no ldquoProjecto das Turmas

Pilotordquo houve um sentimento comum de uma certa apreensatildeo o primeiro pensamento que tivemos

foi ldquoe se natildeo sou capazrdquo Mas sendo este um novo desafio natildeo podiacuteamos recusar e apesar de

algum receio aceitamos Hoje estamos muito felizes por o ter feito pois estaacute a ser uma experiecircncia

muito enriquecedora Vejamos entatildeo como decorreram os trabalhos desde a planificaccedilatildeo ateacute agrave

implementaccedilatildeo na sala de aula

Numa fase inicial foi necessaacuteria a opccedilatildeo por um percurso curricular para o 5ordm ano de escolaridade

ficando automaticamente decidido o percurso curricular para o 6ordm ano de escolaridade Assim

apoacutes esta primeira decisatildeo era necessaacuterio passar agrave planificaccedilatildeo das aulas Ora quando tal

aconteceu foi quando nos deparaacutemos com a primeira novidade ou seja as aulas iriam ser

planificadas tendo em conta as tarefas que iriam ser seleccionadas (cadeias de tarefas) de um

conjunto de variadas tarefas que jaacute tinham sido alvo de discussatildeo e anaacutelise por parte de alguns

professores Mas afinal o que eacute considerado uma tarefa matemaacutetica ldquoUma tarefa eacute definida como

um segmento da actividade da sala de aula dedicada ao desenvolvimento de uma ideia matemaacutetica

particularrdquo (Stein amp Smith p1 1998) O uso das tarefas baseia-se no facto dos professores envolvidos

no projecto bem como os autores do programa acreditarem que as tarefas estabelecem o suporte para a

Profmatmdash 2009

aprendizagem dos alunos (Doyle 1988) No entanto estas tarefas natildeo eram estanques pois apesar de

terem sido seleccionadas e estarem ldquoaptasrdquo a serem usadas iam sempre ocorrendo reformulaccedilotildees de

modo a melhorar e optimizar cada uma delas Como sustenta Joatildeo Pedro da Ponte ldquoum aluno

aprende Matemaacutetica trabalhando em tarefas matemaacuteticas que define para si proacuteprio ou que lhe satildeo

propostas pelo professor e falando sobre elas com os seus colegas ou reflectindo sobre os seus

raciociacutenios e os seus resultadosrdquo (p71999) De facto as tarefas matemaacuteticas satildeo uma forma muito

interessante e motivadora de levar os alunos a aprenderem os toacutepicos matemaacuteticos

Com a investigaccedilatildeo construccedilatildeo e posterior aplicaccedilatildeo das tarefas houve sempre uma questatildeo que

pairava no ar como classificar as tarefas Seratildeo de investigaccedilatildeo Ou exploratoacuterias Ou ainda

resoluccedilatildeo de problemas Esta eacute uma duacutevida por vezes difiacutecil de resolver principalmente entre

tarefas de cariz exploratoacuterio e investigativo ldquoEmbora a exploraccedilatildeo e a descoberta sejam aspectos

que estatildeo intimamente ligados com o conceito de investigaccedilatildeo matemaacutetica eles natildeo o caracterizam

totalmente Assim explorar e investigar dizem respeito sobretudo ao processo enquanto que

descobrir aponta predominantemente para o produtordquo (Porfiacuterio amp Oliveira) Mas apesar da

dificuldade tentamos sempre tendo autores como o Joatildeo Pedro da Ponte Paulo Abrantes Heacutelia

Oliveira Mary Kay Stein ou Margaret Schan Smith por referecircncia Aleacutem da classificaccedilatildeo de tarefas

estas tecircm que responder a certos requisitos Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (1999) existem certos

cuidados a ter com a escolha e posterior aplicaccedilatildeo tarefas nomeadamente

i) a importacircncia de definir bem os objectivos ii) natildeo interessa ter muitos meios de

recolha de dados iii) as tarefas de investigaccedilatildeo para os alunos natildeo precisam de ser

demasiado ldquocomplicadasrdquo iv) o modo como a tarefa eacute apresentada tem uma enorme

influecircncia na relaccedilatildeo que os alunos estabelecem com ela e com o ambiente de trabalho

que se cria v) estimulados por tarefas interessantes os alunos ultrapassam com

frequecircncia e largamente as nossas expectativas vi) diferentes tipos de alunos reagem a

este tipo de trabalho por vezes de modo muito diferente ndash variando da grande adesatildeo e

entusiasmo ao cepticismo e reserva (p9-10)

De facto a elaboraccedilatildeo de tarefas eacute um processo bastante trabalhoso no entanto quando o trabalho

do professor eacute centrado ldquonas tarefas matemaacuteticas e nas suas fases de utilizaccedilatildeo na sala de aula pode

ajudar os professores no processo de reflexatildeordquo (Stein amp Smith p1 1998) levando a um trabalho

futuro muito mais frutiacutefero e efectivo

Profmat mdash 2009

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 1ordm ciclo

Sentido das operaccedilotildees O Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico (DGIDC 2007) aponta como

objectivos especiacuteficos para o toacutepico das Operaccedilotildees com nuacutemeros naturais a compreensatildeo da adiccedilatildeo

nos sentidos combinar e acrescentar e a compreensatildeo da subtracccedilatildeo nos sentidos retirar comparar e

completar

Para o sentido combinar da adiccedilatildeo Ponte e Serrazina (2000) sugerem contextos como ldquoO Joatildeo tem

quinze berlindes e o Pedro tem dezassete Quantos berlindes tecircm os dois juntosrdquo ou ldquoNo recreio

estatildeo 15 rapazes e 17 raparigas Quantas crianccedilas estatildeo no recreiordquo Na proposta apresentada na

tarefa este sentido da adiccedilatildeo aparece na questatildeo ldquoQuantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf

feirardquo

Para o sentido acrescentar satildeo sugeridos contextos como ldquoO Joatildeo tem 15 berlindes deram-lhe mais

7 Quantos berlindes tem ele agorardquo (Ponte amp Serrazina 2000 p 148) Na tarefa apresentada este

sentido da adiccedilatildeo era explorado na situaccedilatildeo ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12 pacotes de leite quantos

pacotes se beberam hoje sabendo que se beberam mais trecircsrdquo

Dos trecircs sentidos apresentados no programa para a subtracccedilatildeo esta tarefa trabalhou o sentido

completar na questatildeo ldquoQuantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feirardquo

Niacuteveis de caacutelculo Kraemer (2006) considera que existem diferentes niacuteveis de caacutelculo a desenvolver

desde o preacute-escolar a) caacutelculo por contagem ndash refere-se a situaccedilotildees em que ocorre a contagem de

conjuntos de objectos Numa primeira fase a crianccedila tenderaacute a contar tudo (trecircs vezes) b) caacutelculo

sequencial ndash parte das relaccedilotildees entre os nuacutemeros e implica contar para a frente e para traacutes a partir

de um nuacutemero contar dando saltos de 5 em 5 (no caacutelculo ateacute 20) contar dando saltos de 10 em 10

ou ateacute agrave dezena mais proacutexima (no caacutelculo ateacute 100) c) caacutelculo semi ndash posicional - parte das relaccedilotildees

entre os nuacutemeros e implica decompor os nuacutemeros em muacuteltiplos de 10 e 1 decompor os nuacutemeros e

dar saltos (caacutelculo combinado) fazer caacutelculos por decomposiccedilatildeo (muito proacuteximo dos algoritmos)

d) caacutelculo com recurso agraves propriedades das operaccedilotildees

De acordo com esta sequecircncia Kraemer (2006) propotildee um percurso para os niacuteveis de caacutelculo a)

ordenar utilizar a ordem dos nuacutemeros e contar a partir de um nuacutemero raciocinar a partir de

imagens e dos dedos estabelecer diferenccedilas entre os nuacutemeros pares e iacutempares b) agrupar fazer

Profmatmdash 2009

pares fazer grupos de 5 usar o 5 nas composiccedilotildees do 6 7 8 9 e 10 usar o 10 nas composiccedilotildees de

outros nuacutemeros compor usando o 1 5 e 10 c) estruturar decompor ateacute 6 os dobros 2 4 6 8 10

nuacutemeros com 5 (5 + 1 5 + 2 hellip) decomposiccedilotildees do 10 Na tarefa apresentada o graacutefico

encontrava-se organizado com segmentos horizontais a marcarem espaccedilos com 5 quadriacuteculas de

altura Pretendia-se assim que os alunos recorressem agrave estruturaccedilatildeo em grupos de 5 e de 10 neste

caso de nuacutemeros ateacute 20 estabelecendo uma relaccedilatildeo com a estrutura do colar de contas e do aacutebaco

horizontal materiais que tecircm apoiado o caacutelculo dos alunos

A tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo A tarefa trabalhada tinha como principais ideias e procedimentos a

desenvolver os seguintes a) Ler explorar e interpretar informaccedilatildeo (apresentada em graacuteficos de

pontos) b) compreender a adiccedilatildeo nos sentidos combinar e acrescentar e c) compreender a

subtracccedilatildeo no sentido completar e estabelecia conexotildees com o tema da Organizaccedilatildeo e Tratamento

de Dados relacionando-se com a anaacutelise de um graacutefico de pontos Tambeacutem eacute importante frisar a

exploraccedilatildeo matemaacutetica de uma rotina de sala de aula como eacute o registo dos pacotes de leite

consumidos

As vaacuterias questotildees da tarefa foram trabalhadas em dois dias diferentes e foram exploradas primeiro

colectivamente com uma leitura e esclarecimentos sobre o que era pretendido depois a pares com

o trabalho dos alunos na tarefa e finalmente com uma discussatildeo colectiva antecedida de uma

exposiccedilatildeo das resoluccedilotildees feitas pelos diferentes pares Cada par dispunha de um graacutefico de pontos

com o registo dos pacotes de leite e de uma folha de trabalho com as questotildees

Figura - 1 ndash Graacutefico de pontos

apresentado aos alunos

Profmat mdash 2009

1ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf feira juntos

No que diz respeito a esta questatildeo a que estaacute subjacente o uso da operaccedilatildeo adiccedilatildeo no sentido

combinar a grande maioria dos alunos apresentou um registo idecircntico ao exposto na figura 2

Figura - 2

Questionados oralmente sobre a forma como tinham efectuado o caacutelculo a maioria dos pares referiu

a utilizaccedilatildeo da organizaccedilatildeo em grupos de 5 do graacutefico fazendo 10 + 2 + 5 + 3 somando primeiro

10 + 5 depois 3 + 2 e finalmente juntando 15 + 5 Os pares de alunos que utilizaram esta estrutura

usaram os caacutelculos que tinham feito para responder agraves questotildees anteriores (quantos leites foram

consumidos na 2ordf feira e na 6ordf feira) Eacute de destacar um nuacutemero significativo de pares que apesar

de apresentarem um registo idecircntico ao da figura quando explicitam a estrateacutegia de caacutelculo ainda eacute

perceptiacutevel a utilizaccedilatildeo da contagem um a um Apenas um par referiu que as duas colunas juntas

completavam uma coluna grande ou seja que faziam a quantidade 20 Um par natildeo conseguiu fazer

qualquer abordagem ao problema

2ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feira

No que diz respeito agrave questatildeo 2 que trabalhava a subtracccedilatildeo no sentido completar cinco dos onze

pares de alunos optaram por apresentar uma resoluccedilatildeo idecircntica agrave da figura 3 Na explicitaccedilatildeo oral

do caacutelculo muitos destes pares realccedilaram a relaccedilatildeo entre as duas colunas da 2ordf feira e da 6ordf feira

para fazer a coluna da 4ordf feira (o que tinha sido destacado na discussatildeo colectiva das primeiras

questotildees)

Figura - 3

Profmatmdash 2009

Dois pares apresentaram a resoluccedilatildeo representada na figura 4 Na explicitaccedilatildeo oral da resoluccedilatildeo foi

evidente que o raciociacutenio foi 20 - ___ = 12 ou seja os alunos olharam para a coluna da 4ordf feira

com 20 pacotes e depois foram tentar perceber quantos pacotes teriam que retirar para ficarem com

o nuacutemero de pacotes de 2ordf feira Neste caacutelculo um destes pares utilizou a estrutura de 5 em 5 da

construccedilatildeo do graacutefico e disse que ldquoPara irmos da coluna de 4ordf feira para a coluna de 2ordf feira temos

que retirar 5 e depois 3 que daacute 8rdquo O outro par destacou a relaccedilatildeo da coluna de 2ordf feira com a

coluna de 6ordf feira para perfazer a coluna de 4ordf feira ldquoNoacutes vimos que tirando as cruzes da coluna de

6ordf feira agrave coluna de 4ordf feira ficaacutevamos com a coluna de 2ordf feirardquo Apesar de neste caso o resultado

da operaccedilatildeo natildeo corresponder agrave resposta do problema os dois pares conseguiram perceber que 8 eacute

que correspondia agrave quantidade de pacotes a mais e responderam correctamente

Figura - 4 Figura - 5

Um par de alunos apresentou a resoluccedilatildeo da figura 5 Neste caso os alunos partiram da quantidade

de pacotes de leite bebidos na 2ordf feira e foram ver quantos faltavam para ficarem com a mesma

quantidade que na 4ordf feira o que corresponde agrave situaccedilatildeo 12 + ____ = 20 Quanto agrave estrateacutegia de

caacutelculo os alunos referiram que utilizaram a estrutura de 5 em 5 ou seja que a 12 faltavam 3 + 5

para fazer 20

Profmat mdash 2009

Trecircs pares de alunos apresentaram na sua resoluccedilatildeo estrateacutegias diferentes como nas figuras 6 e 7

Nos trecircs casos e de acordo com o que foi explicitado oralmente a primeira estrateacutegia utilizada na

resoluccedilatildeo foi a de verificar quantos pacotes teriam que retirar aos 20 pacotes de 4ordf feira para

ficarem com os 12 pacotes de 2ordf feira Os elementos destes trecircs grupos salientaram a relaccedilatildeo

existente entre as colunas de 2ordf 6ordf e 4ordf feira como estrateacutegia de caacutelculo No segundo exemplo a

estrateacutegia indicada oralmente foi idecircntica agrave do primeiro exemplo (apesar de natildeo ser essa a ordem

apresentada no registo dos alunos) No uacuteltimo registo os alunos deste par tambeacutem explicitam a

forma como calculam a quantidade de pacotes da 4ordf feira utilizando a estrutura de 5 em 5

Figura - 6

Figura - 7

Ainda na 2ordf questatildeo foi colocada uma segunda pergunta resolvida apoacutes a discussatildeo colectiva da

primeira pergunta ldquoE quantos pacotes a mais na 4ordf feira do que na 5ordf feirardquo Nesta 2ordf pergunta

manteve-se a diversidade de registos apresentados na 1ordf pergunta Um dos registos mais utilizados

continuou a ser o de subtrair ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira o nuacutemero de pacotes de 5ordf feira 20 ndash

14 = 6 No entanto a explicitaccedilatildeo oral de dois dos grupos que fizeram este tipo de registo foi que

tinham pensado quantos pacotes teriam que acrescentar aos 14 para chegarem aos 20 de 4ordf feira

num raciociacutenio de 14 + ____ = 20 mas que registaram 20 ndash 14 = 6 porque viram que o resultado era

o mesmo

Figura - 8

Profmatmdash 2009

No registo apresentado por um dos grupos figura 9 a estrateacutegia inicial correspondia a um

raciociacutenio que pode ser expresso por 14 + _____ = 20 Na explicitaccedilatildeo escrita do caacutelculo este par

utilizou a estrutura de 5 em 5 presente no graacutefico para calcular que faltavam 6 pacotes na 5ordf feira

para chegar ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira 5 + 1 = 6 que depois juntaram ao nuacutemero de pacotes

de 5ordf feira fazendo 14 + 5 + 1 = 20 e finalmente 14 + 6 =20 No lado inferior esquerdo deste registo

surge a operaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 Este registo foi justificado com o recurso agrave relaccedilatildeo entre a adiccedilatildeo e a

subtracccedilatildeo ldquoNoacutes vimos que 14 + 6 = 20 entatildeo se fizermos 20 ndash 14 daacute os seis pacotes que faltam na

5ordf feirardquo

Figura - 9

Na 3ordf questatildeo que trabalhava a adiccedilatildeo no sentido de acrescentar ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12

pacotes de leite Quantos pacotes se beberam hoje a maisrdquo a estrateacutegia apresentada por todos os

pares corresponde ao raciociacutenio apresentado na figura 10

Figura - 10

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

aprendizagem dos alunos (Doyle 1988) No entanto estas tarefas natildeo eram estanques pois apesar de

terem sido seleccionadas e estarem ldquoaptasrdquo a serem usadas iam sempre ocorrendo reformulaccedilotildees de

modo a melhorar e optimizar cada uma delas Como sustenta Joatildeo Pedro da Ponte ldquoum aluno

aprende Matemaacutetica trabalhando em tarefas matemaacuteticas que define para si proacuteprio ou que lhe satildeo

propostas pelo professor e falando sobre elas com os seus colegas ou reflectindo sobre os seus

raciociacutenios e os seus resultadosrdquo (p71999) De facto as tarefas matemaacuteticas satildeo uma forma muito

interessante e motivadora de levar os alunos a aprenderem os toacutepicos matemaacuteticos

Com a investigaccedilatildeo construccedilatildeo e posterior aplicaccedilatildeo das tarefas houve sempre uma questatildeo que

pairava no ar como classificar as tarefas Seratildeo de investigaccedilatildeo Ou exploratoacuterias Ou ainda

resoluccedilatildeo de problemas Esta eacute uma duacutevida por vezes difiacutecil de resolver principalmente entre

tarefas de cariz exploratoacuterio e investigativo ldquoEmbora a exploraccedilatildeo e a descoberta sejam aspectos

que estatildeo intimamente ligados com o conceito de investigaccedilatildeo matemaacutetica eles natildeo o caracterizam

totalmente Assim explorar e investigar dizem respeito sobretudo ao processo enquanto que

descobrir aponta predominantemente para o produtordquo (Porfiacuterio amp Oliveira) Mas apesar da

dificuldade tentamos sempre tendo autores como o Joatildeo Pedro da Ponte Paulo Abrantes Heacutelia

Oliveira Mary Kay Stein ou Margaret Schan Smith por referecircncia Aleacutem da classificaccedilatildeo de tarefas

estas tecircm que responder a certos requisitos Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (1999) existem certos

cuidados a ter com a escolha e posterior aplicaccedilatildeo tarefas nomeadamente

i) a importacircncia de definir bem os objectivos ii) natildeo interessa ter muitos meios de

recolha de dados iii) as tarefas de investigaccedilatildeo para os alunos natildeo precisam de ser

demasiado ldquocomplicadasrdquo iv) o modo como a tarefa eacute apresentada tem uma enorme

influecircncia na relaccedilatildeo que os alunos estabelecem com ela e com o ambiente de trabalho

que se cria v) estimulados por tarefas interessantes os alunos ultrapassam com

frequecircncia e largamente as nossas expectativas vi) diferentes tipos de alunos reagem a

este tipo de trabalho por vezes de modo muito diferente ndash variando da grande adesatildeo e

entusiasmo ao cepticismo e reserva (p9-10)

De facto a elaboraccedilatildeo de tarefas eacute um processo bastante trabalhoso no entanto quando o trabalho

do professor eacute centrado ldquonas tarefas matemaacuteticas e nas suas fases de utilizaccedilatildeo na sala de aula pode

ajudar os professores no processo de reflexatildeordquo (Stein amp Smith p1 1998) levando a um trabalho

futuro muito mais frutiacutefero e efectivo

Profmat mdash 2009

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 1ordm ciclo

Sentido das operaccedilotildees O Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico (DGIDC 2007) aponta como

objectivos especiacuteficos para o toacutepico das Operaccedilotildees com nuacutemeros naturais a compreensatildeo da adiccedilatildeo

nos sentidos combinar e acrescentar e a compreensatildeo da subtracccedilatildeo nos sentidos retirar comparar e

completar

Para o sentido combinar da adiccedilatildeo Ponte e Serrazina (2000) sugerem contextos como ldquoO Joatildeo tem

quinze berlindes e o Pedro tem dezassete Quantos berlindes tecircm os dois juntosrdquo ou ldquoNo recreio

estatildeo 15 rapazes e 17 raparigas Quantas crianccedilas estatildeo no recreiordquo Na proposta apresentada na

tarefa este sentido da adiccedilatildeo aparece na questatildeo ldquoQuantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf

feirardquo

Para o sentido acrescentar satildeo sugeridos contextos como ldquoO Joatildeo tem 15 berlindes deram-lhe mais

7 Quantos berlindes tem ele agorardquo (Ponte amp Serrazina 2000 p 148) Na tarefa apresentada este

sentido da adiccedilatildeo era explorado na situaccedilatildeo ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12 pacotes de leite quantos

pacotes se beberam hoje sabendo que se beberam mais trecircsrdquo

Dos trecircs sentidos apresentados no programa para a subtracccedilatildeo esta tarefa trabalhou o sentido

completar na questatildeo ldquoQuantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feirardquo

Niacuteveis de caacutelculo Kraemer (2006) considera que existem diferentes niacuteveis de caacutelculo a desenvolver

desde o preacute-escolar a) caacutelculo por contagem ndash refere-se a situaccedilotildees em que ocorre a contagem de

conjuntos de objectos Numa primeira fase a crianccedila tenderaacute a contar tudo (trecircs vezes) b) caacutelculo

sequencial ndash parte das relaccedilotildees entre os nuacutemeros e implica contar para a frente e para traacutes a partir

de um nuacutemero contar dando saltos de 5 em 5 (no caacutelculo ateacute 20) contar dando saltos de 10 em 10

ou ateacute agrave dezena mais proacutexima (no caacutelculo ateacute 100) c) caacutelculo semi ndash posicional - parte das relaccedilotildees

entre os nuacutemeros e implica decompor os nuacutemeros em muacuteltiplos de 10 e 1 decompor os nuacutemeros e

dar saltos (caacutelculo combinado) fazer caacutelculos por decomposiccedilatildeo (muito proacuteximo dos algoritmos)

d) caacutelculo com recurso agraves propriedades das operaccedilotildees

De acordo com esta sequecircncia Kraemer (2006) propotildee um percurso para os niacuteveis de caacutelculo a)

ordenar utilizar a ordem dos nuacutemeros e contar a partir de um nuacutemero raciocinar a partir de

imagens e dos dedos estabelecer diferenccedilas entre os nuacutemeros pares e iacutempares b) agrupar fazer

Profmatmdash 2009

pares fazer grupos de 5 usar o 5 nas composiccedilotildees do 6 7 8 9 e 10 usar o 10 nas composiccedilotildees de

outros nuacutemeros compor usando o 1 5 e 10 c) estruturar decompor ateacute 6 os dobros 2 4 6 8 10

nuacutemeros com 5 (5 + 1 5 + 2 hellip) decomposiccedilotildees do 10 Na tarefa apresentada o graacutefico

encontrava-se organizado com segmentos horizontais a marcarem espaccedilos com 5 quadriacuteculas de

altura Pretendia-se assim que os alunos recorressem agrave estruturaccedilatildeo em grupos de 5 e de 10 neste

caso de nuacutemeros ateacute 20 estabelecendo uma relaccedilatildeo com a estrutura do colar de contas e do aacutebaco

horizontal materiais que tecircm apoiado o caacutelculo dos alunos

A tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo A tarefa trabalhada tinha como principais ideias e procedimentos a

desenvolver os seguintes a) Ler explorar e interpretar informaccedilatildeo (apresentada em graacuteficos de

pontos) b) compreender a adiccedilatildeo nos sentidos combinar e acrescentar e c) compreender a

subtracccedilatildeo no sentido completar e estabelecia conexotildees com o tema da Organizaccedilatildeo e Tratamento

de Dados relacionando-se com a anaacutelise de um graacutefico de pontos Tambeacutem eacute importante frisar a

exploraccedilatildeo matemaacutetica de uma rotina de sala de aula como eacute o registo dos pacotes de leite

consumidos

As vaacuterias questotildees da tarefa foram trabalhadas em dois dias diferentes e foram exploradas primeiro

colectivamente com uma leitura e esclarecimentos sobre o que era pretendido depois a pares com

o trabalho dos alunos na tarefa e finalmente com uma discussatildeo colectiva antecedida de uma

exposiccedilatildeo das resoluccedilotildees feitas pelos diferentes pares Cada par dispunha de um graacutefico de pontos

com o registo dos pacotes de leite e de uma folha de trabalho com as questotildees

Figura - 1 ndash Graacutefico de pontos

apresentado aos alunos

Profmat mdash 2009

1ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf feira juntos

No que diz respeito a esta questatildeo a que estaacute subjacente o uso da operaccedilatildeo adiccedilatildeo no sentido

combinar a grande maioria dos alunos apresentou um registo idecircntico ao exposto na figura 2

Figura - 2

Questionados oralmente sobre a forma como tinham efectuado o caacutelculo a maioria dos pares referiu

a utilizaccedilatildeo da organizaccedilatildeo em grupos de 5 do graacutefico fazendo 10 + 2 + 5 + 3 somando primeiro

10 + 5 depois 3 + 2 e finalmente juntando 15 + 5 Os pares de alunos que utilizaram esta estrutura

usaram os caacutelculos que tinham feito para responder agraves questotildees anteriores (quantos leites foram

consumidos na 2ordf feira e na 6ordf feira) Eacute de destacar um nuacutemero significativo de pares que apesar

de apresentarem um registo idecircntico ao da figura quando explicitam a estrateacutegia de caacutelculo ainda eacute

perceptiacutevel a utilizaccedilatildeo da contagem um a um Apenas um par referiu que as duas colunas juntas

completavam uma coluna grande ou seja que faziam a quantidade 20 Um par natildeo conseguiu fazer

qualquer abordagem ao problema

2ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feira

No que diz respeito agrave questatildeo 2 que trabalhava a subtracccedilatildeo no sentido completar cinco dos onze

pares de alunos optaram por apresentar uma resoluccedilatildeo idecircntica agrave da figura 3 Na explicitaccedilatildeo oral

do caacutelculo muitos destes pares realccedilaram a relaccedilatildeo entre as duas colunas da 2ordf feira e da 6ordf feira

para fazer a coluna da 4ordf feira (o que tinha sido destacado na discussatildeo colectiva das primeiras

questotildees)

Figura - 3

Profmatmdash 2009

Dois pares apresentaram a resoluccedilatildeo representada na figura 4 Na explicitaccedilatildeo oral da resoluccedilatildeo foi

evidente que o raciociacutenio foi 20 - ___ = 12 ou seja os alunos olharam para a coluna da 4ordf feira

com 20 pacotes e depois foram tentar perceber quantos pacotes teriam que retirar para ficarem com

o nuacutemero de pacotes de 2ordf feira Neste caacutelculo um destes pares utilizou a estrutura de 5 em 5 da

construccedilatildeo do graacutefico e disse que ldquoPara irmos da coluna de 4ordf feira para a coluna de 2ordf feira temos

que retirar 5 e depois 3 que daacute 8rdquo O outro par destacou a relaccedilatildeo da coluna de 2ordf feira com a

coluna de 6ordf feira para perfazer a coluna de 4ordf feira ldquoNoacutes vimos que tirando as cruzes da coluna de

6ordf feira agrave coluna de 4ordf feira ficaacutevamos com a coluna de 2ordf feirardquo Apesar de neste caso o resultado

da operaccedilatildeo natildeo corresponder agrave resposta do problema os dois pares conseguiram perceber que 8 eacute

que correspondia agrave quantidade de pacotes a mais e responderam correctamente

Figura - 4 Figura - 5

Um par de alunos apresentou a resoluccedilatildeo da figura 5 Neste caso os alunos partiram da quantidade

de pacotes de leite bebidos na 2ordf feira e foram ver quantos faltavam para ficarem com a mesma

quantidade que na 4ordf feira o que corresponde agrave situaccedilatildeo 12 + ____ = 20 Quanto agrave estrateacutegia de

caacutelculo os alunos referiram que utilizaram a estrutura de 5 em 5 ou seja que a 12 faltavam 3 + 5

para fazer 20

Profmat mdash 2009

Trecircs pares de alunos apresentaram na sua resoluccedilatildeo estrateacutegias diferentes como nas figuras 6 e 7

Nos trecircs casos e de acordo com o que foi explicitado oralmente a primeira estrateacutegia utilizada na

resoluccedilatildeo foi a de verificar quantos pacotes teriam que retirar aos 20 pacotes de 4ordf feira para

ficarem com os 12 pacotes de 2ordf feira Os elementos destes trecircs grupos salientaram a relaccedilatildeo

existente entre as colunas de 2ordf 6ordf e 4ordf feira como estrateacutegia de caacutelculo No segundo exemplo a

estrateacutegia indicada oralmente foi idecircntica agrave do primeiro exemplo (apesar de natildeo ser essa a ordem

apresentada no registo dos alunos) No uacuteltimo registo os alunos deste par tambeacutem explicitam a

forma como calculam a quantidade de pacotes da 4ordf feira utilizando a estrutura de 5 em 5

Figura - 6

Figura - 7

Ainda na 2ordf questatildeo foi colocada uma segunda pergunta resolvida apoacutes a discussatildeo colectiva da

primeira pergunta ldquoE quantos pacotes a mais na 4ordf feira do que na 5ordf feirardquo Nesta 2ordf pergunta

manteve-se a diversidade de registos apresentados na 1ordf pergunta Um dos registos mais utilizados

continuou a ser o de subtrair ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira o nuacutemero de pacotes de 5ordf feira 20 ndash

14 = 6 No entanto a explicitaccedilatildeo oral de dois dos grupos que fizeram este tipo de registo foi que

tinham pensado quantos pacotes teriam que acrescentar aos 14 para chegarem aos 20 de 4ordf feira

num raciociacutenio de 14 + ____ = 20 mas que registaram 20 ndash 14 = 6 porque viram que o resultado era

o mesmo

Figura - 8

Profmatmdash 2009

No registo apresentado por um dos grupos figura 9 a estrateacutegia inicial correspondia a um

raciociacutenio que pode ser expresso por 14 + _____ = 20 Na explicitaccedilatildeo escrita do caacutelculo este par

utilizou a estrutura de 5 em 5 presente no graacutefico para calcular que faltavam 6 pacotes na 5ordf feira

para chegar ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira 5 + 1 = 6 que depois juntaram ao nuacutemero de pacotes

de 5ordf feira fazendo 14 + 5 + 1 = 20 e finalmente 14 + 6 =20 No lado inferior esquerdo deste registo

surge a operaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 Este registo foi justificado com o recurso agrave relaccedilatildeo entre a adiccedilatildeo e a

subtracccedilatildeo ldquoNoacutes vimos que 14 + 6 = 20 entatildeo se fizermos 20 ndash 14 daacute os seis pacotes que faltam na

5ordf feirardquo

Figura - 9

Na 3ordf questatildeo que trabalhava a adiccedilatildeo no sentido de acrescentar ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12

pacotes de leite Quantos pacotes se beberam hoje a maisrdquo a estrateacutegia apresentada por todos os

pares corresponde ao raciociacutenio apresentado na figura 10

Figura - 10

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 1ordm ciclo

Sentido das operaccedilotildees O Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico (DGIDC 2007) aponta como

objectivos especiacuteficos para o toacutepico das Operaccedilotildees com nuacutemeros naturais a compreensatildeo da adiccedilatildeo

nos sentidos combinar e acrescentar e a compreensatildeo da subtracccedilatildeo nos sentidos retirar comparar e

completar

Para o sentido combinar da adiccedilatildeo Ponte e Serrazina (2000) sugerem contextos como ldquoO Joatildeo tem

quinze berlindes e o Pedro tem dezassete Quantos berlindes tecircm os dois juntosrdquo ou ldquoNo recreio

estatildeo 15 rapazes e 17 raparigas Quantas crianccedilas estatildeo no recreiordquo Na proposta apresentada na

tarefa este sentido da adiccedilatildeo aparece na questatildeo ldquoQuantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf

feirardquo

Para o sentido acrescentar satildeo sugeridos contextos como ldquoO Joatildeo tem 15 berlindes deram-lhe mais

7 Quantos berlindes tem ele agorardquo (Ponte amp Serrazina 2000 p 148) Na tarefa apresentada este

sentido da adiccedilatildeo era explorado na situaccedilatildeo ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12 pacotes de leite quantos

pacotes se beberam hoje sabendo que se beberam mais trecircsrdquo

Dos trecircs sentidos apresentados no programa para a subtracccedilatildeo esta tarefa trabalhou o sentido

completar na questatildeo ldquoQuantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feirardquo

Niacuteveis de caacutelculo Kraemer (2006) considera que existem diferentes niacuteveis de caacutelculo a desenvolver

desde o preacute-escolar a) caacutelculo por contagem ndash refere-se a situaccedilotildees em que ocorre a contagem de

conjuntos de objectos Numa primeira fase a crianccedila tenderaacute a contar tudo (trecircs vezes) b) caacutelculo

sequencial ndash parte das relaccedilotildees entre os nuacutemeros e implica contar para a frente e para traacutes a partir

de um nuacutemero contar dando saltos de 5 em 5 (no caacutelculo ateacute 20) contar dando saltos de 10 em 10

ou ateacute agrave dezena mais proacutexima (no caacutelculo ateacute 100) c) caacutelculo semi ndash posicional - parte das relaccedilotildees

entre os nuacutemeros e implica decompor os nuacutemeros em muacuteltiplos de 10 e 1 decompor os nuacutemeros e

dar saltos (caacutelculo combinado) fazer caacutelculos por decomposiccedilatildeo (muito proacuteximo dos algoritmos)

d) caacutelculo com recurso agraves propriedades das operaccedilotildees

De acordo com esta sequecircncia Kraemer (2006) propotildee um percurso para os niacuteveis de caacutelculo a)

ordenar utilizar a ordem dos nuacutemeros e contar a partir de um nuacutemero raciocinar a partir de

imagens e dos dedos estabelecer diferenccedilas entre os nuacutemeros pares e iacutempares b) agrupar fazer

Profmatmdash 2009

pares fazer grupos de 5 usar o 5 nas composiccedilotildees do 6 7 8 9 e 10 usar o 10 nas composiccedilotildees de

outros nuacutemeros compor usando o 1 5 e 10 c) estruturar decompor ateacute 6 os dobros 2 4 6 8 10

nuacutemeros com 5 (5 + 1 5 + 2 hellip) decomposiccedilotildees do 10 Na tarefa apresentada o graacutefico

encontrava-se organizado com segmentos horizontais a marcarem espaccedilos com 5 quadriacuteculas de

altura Pretendia-se assim que os alunos recorressem agrave estruturaccedilatildeo em grupos de 5 e de 10 neste

caso de nuacutemeros ateacute 20 estabelecendo uma relaccedilatildeo com a estrutura do colar de contas e do aacutebaco

horizontal materiais que tecircm apoiado o caacutelculo dos alunos

A tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo A tarefa trabalhada tinha como principais ideias e procedimentos a

desenvolver os seguintes a) Ler explorar e interpretar informaccedilatildeo (apresentada em graacuteficos de

pontos) b) compreender a adiccedilatildeo nos sentidos combinar e acrescentar e c) compreender a

subtracccedilatildeo no sentido completar e estabelecia conexotildees com o tema da Organizaccedilatildeo e Tratamento

de Dados relacionando-se com a anaacutelise de um graacutefico de pontos Tambeacutem eacute importante frisar a

exploraccedilatildeo matemaacutetica de uma rotina de sala de aula como eacute o registo dos pacotes de leite

consumidos

As vaacuterias questotildees da tarefa foram trabalhadas em dois dias diferentes e foram exploradas primeiro

colectivamente com uma leitura e esclarecimentos sobre o que era pretendido depois a pares com

o trabalho dos alunos na tarefa e finalmente com uma discussatildeo colectiva antecedida de uma

exposiccedilatildeo das resoluccedilotildees feitas pelos diferentes pares Cada par dispunha de um graacutefico de pontos

com o registo dos pacotes de leite e de uma folha de trabalho com as questotildees

Figura - 1 ndash Graacutefico de pontos

apresentado aos alunos

Profmat mdash 2009

1ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf feira juntos

No que diz respeito a esta questatildeo a que estaacute subjacente o uso da operaccedilatildeo adiccedilatildeo no sentido

combinar a grande maioria dos alunos apresentou um registo idecircntico ao exposto na figura 2

Figura - 2

Questionados oralmente sobre a forma como tinham efectuado o caacutelculo a maioria dos pares referiu

a utilizaccedilatildeo da organizaccedilatildeo em grupos de 5 do graacutefico fazendo 10 + 2 + 5 + 3 somando primeiro

10 + 5 depois 3 + 2 e finalmente juntando 15 + 5 Os pares de alunos que utilizaram esta estrutura

usaram os caacutelculos que tinham feito para responder agraves questotildees anteriores (quantos leites foram

consumidos na 2ordf feira e na 6ordf feira) Eacute de destacar um nuacutemero significativo de pares que apesar

de apresentarem um registo idecircntico ao da figura quando explicitam a estrateacutegia de caacutelculo ainda eacute

perceptiacutevel a utilizaccedilatildeo da contagem um a um Apenas um par referiu que as duas colunas juntas

completavam uma coluna grande ou seja que faziam a quantidade 20 Um par natildeo conseguiu fazer

qualquer abordagem ao problema

2ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feira

No que diz respeito agrave questatildeo 2 que trabalhava a subtracccedilatildeo no sentido completar cinco dos onze

pares de alunos optaram por apresentar uma resoluccedilatildeo idecircntica agrave da figura 3 Na explicitaccedilatildeo oral

do caacutelculo muitos destes pares realccedilaram a relaccedilatildeo entre as duas colunas da 2ordf feira e da 6ordf feira

para fazer a coluna da 4ordf feira (o que tinha sido destacado na discussatildeo colectiva das primeiras

questotildees)

Figura - 3

Profmatmdash 2009

Dois pares apresentaram a resoluccedilatildeo representada na figura 4 Na explicitaccedilatildeo oral da resoluccedilatildeo foi

evidente que o raciociacutenio foi 20 - ___ = 12 ou seja os alunos olharam para a coluna da 4ordf feira

com 20 pacotes e depois foram tentar perceber quantos pacotes teriam que retirar para ficarem com

o nuacutemero de pacotes de 2ordf feira Neste caacutelculo um destes pares utilizou a estrutura de 5 em 5 da

construccedilatildeo do graacutefico e disse que ldquoPara irmos da coluna de 4ordf feira para a coluna de 2ordf feira temos

que retirar 5 e depois 3 que daacute 8rdquo O outro par destacou a relaccedilatildeo da coluna de 2ordf feira com a

coluna de 6ordf feira para perfazer a coluna de 4ordf feira ldquoNoacutes vimos que tirando as cruzes da coluna de

6ordf feira agrave coluna de 4ordf feira ficaacutevamos com a coluna de 2ordf feirardquo Apesar de neste caso o resultado

da operaccedilatildeo natildeo corresponder agrave resposta do problema os dois pares conseguiram perceber que 8 eacute

que correspondia agrave quantidade de pacotes a mais e responderam correctamente

Figura - 4 Figura - 5

Um par de alunos apresentou a resoluccedilatildeo da figura 5 Neste caso os alunos partiram da quantidade

de pacotes de leite bebidos na 2ordf feira e foram ver quantos faltavam para ficarem com a mesma

quantidade que na 4ordf feira o que corresponde agrave situaccedilatildeo 12 + ____ = 20 Quanto agrave estrateacutegia de

caacutelculo os alunos referiram que utilizaram a estrutura de 5 em 5 ou seja que a 12 faltavam 3 + 5

para fazer 20

Profmat mdash 2009

Trecircs pares de alunos apresentaram na sua resoluccedilatildeo estrateacutegias diferentes como nas figuras 6 e 7

Nos trecircs casos e de acordo com o que foi explicitado oralmente a primeira estrateacutegia utilizada na

resoluccedilatildeo foi a de verificar quantos pacotes teriam que retirar aos 20 pacotes de 4ordf feira para

ficarem com os 12 pacotes de 2ordf feira Os elementos destes trecircs grupos salientaram a relaccedilatildeo

existente entre as colunas de 2ordf 6ordf e 4ordf feira como estrateacutegia de caacutelculo No segundo exemplo a

estrateacutegia indicada oralmente foi idecircntica agrave do primeiro exemplo (apesar de natildeo ser essa a ordem

apresentada no registo dos alunos) No uacuteltimo registo os alunos deste par tambeacutem explicitam a

forma como calculam a quantidade de pacotes da 4ordf feira utilizando a estrutura de 5 em 5

Figura - 6

Figura - 7

Ainda na 2ordf questatildeo foi colocada uma segunda pergunta resolvida apoacutes a discussatildeo colectiva da

primeira pergunta ldquoE quantos pacotes a mais na 4ordf feira do que na 5ordf feirardquo Nesta 2ordf pergunta

manteve-se a diversidade de registos apresentados na 1ordf pergunta Um dos registos mais utilizados

continuou a ser o de subtrair ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira o nuacutemero de pacotes de 5ordf feira 20 ndash

14 = 6 No entanto a explicitaccedilatildeo oral de dois dos grupos que fizeram este tipo de registo foi que

tinham pensado quantos pacotes teriam que acrescentar aos 14 para chegarem aos 20 de 4ordf feira

num raciociacutenio de 14 + ____ = 20 mas que registaram 20 ndash 14 = 6 porque viram que o resultado era

o mesmo

Figura - 8

Profmatmdash 2009

No registo apresentado por um dos grupos figura 9 a estrateacutegia inicial correspondia a um

raciociacutenio que pode ser expresso por 14 + _____ = 20 Na explicitaccedilatildeo escrita do caacutelculo este par

utilizou a estrutura de 5 em 5 presente no graacutefico para calcular que faltavam 6 pacotes na 5ordf feira

para chegar ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira 5 + 1 = 6 que depois juntaram ao nuacutemero de pacotes

de 5ordf feira fazendo 14 + 5 + 1 = 20 e finalmente 14 + 6 =20 No lado inferior esquerdo deste registo

surge a operaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 Este registo foi justificado com o recurso agrave relaccedilatildeo entre a adiccedilatildeo e a

subtracccedilatildeo ldquoNoacutes vimos que 14 + 6 = 20 entatildeo se fizermos 20 ndash 14 daacute os seis pacotes que faltam na

5ordf feirardquo

Figura - 9

Na 3ordf questatildeo que trabalhava a adiccedilatildeo no sentido de acrescentar ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12

pacotes de leite Quantos pacotes se beberam hoje a maisrdquo a estrateacutegia apresentada por todos os

pares corresponde ao raciociacutenio apresentado na figura 10

Figura - 10

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

pares fazer grupos de 5 usar o 5 nas composiccedilotildees do 6 7 8 9 e 10 usar o 10 nas composiccedilotildees de

outros nuacutemeros compor usando o 1 5 e 10 c) estruturar decompor ateacute 6 os dobros 2 4 6 8 10

nuacutemeros com 5 (5 + 1 5 + 2 hellip) decomposiccedilotildees do 10 Na tarefa apresentada o graacutefico

encontrava-se organizado com segmentos horizontais a marcarem espaccedilos com 5 quadriacuteculas de

altura Pretendia-se assim que os alunos recorressem agrave estruturaccedilatildeo em grupos de 5 e de 10 neste

caso de nuacutemeros ateacute 20 estabelecendo uma relaccedilatildeo com a estrutura do colar de contas e do aacutebaco

horizontal materiais que tecircm apoiado o caacutelculo dos alunos

A tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo A tarefa trabalhada tinha como principais ideias e procedimentos a

desenvolver os seguintes a) Ler explorar e interpretar informaccedilatildeo (apresentada em graacuteficos de

pontos) b) compreender a adiccedilatildeo nos sentidos combinar e acrescentar e c) compreender a

subtracccedilatildeo no sentido completar e estabelecia conexotildees com o tema da Organizaccedilatildeo e Tratamento

de Dados relacionando-se com a anaacutelise de um graacutefico de pontos Tambeacutem eacute importante frisar a

exploraccedilatildeo matemaacutetica de uma rotina de sala de aula como eacute o registo dos pacotes de leite

consumidos

As vaacuterias questotildees da tarefa foram trabalhadas em dois dias diferentes e foram exploradas primeiro

colectivamente com uma leitura e esclarecimentos sobre o que era pretendido depois a pares com

o trabalho dos alunos na tarefa e finalmente com uma discussatildeo colectiva antecedida de uma

exposiccedilatildeo das resoluccedilotildees feitas pelos diferentes pares Cada par dispunha de um graacutefico de pontos

com o registo dos pacotes de leite e de uma folha de trabalho com as questotildees

Figura - 1 ndash Graacutefico de pontos

apresentado aos alunos

Profmat mdash 2009

1ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf feira juntos

No que diz respeito a esta questatildeo a que estaacute subjacente o uso da operaccedilatildeo adiccedilatildeo no sentido

combinar a grande maioria dos alunos apresentou um registo idecircntico ao exposto na figura 2

Figura - 2

Questionados oralmente sobre a forma como tinham efectuado o caacutelculo a maioria dos pares referiu

a utilizaccedilatildeo da organizaccedilatildeo em grupos de 5 do graacutefico fazendo 10 + 2 + 5 + 3 somando primeiro

10 + 5 depois 3 + 2 e finalmente juntando 15 + 5 Os pares de alunos que utilizaram esta estrutura

usaram os caacutelculos que tinham feito para responder agraves questotildees anteriores (quantos leites foram

consumidos na 2ordf feira e na 6ordf feira) Eacute de destacar um nuacutemero significativo de pares que apesar

de apresentarem um registo idecircntico ao da figura quando explicitam a estrateacutegia de caacutelculo ainda eacute

perceptiacutevel a utilizaccedilatildeo da contagem um a um Apenas um par referiu que as duas colunas juntas

completavam uma coluna grande ou seja que faziam a quantidade 20 Um par natildeo conseguiu fazer

qualquer abordagem ao problema

2ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feira

No que diz respeito agrave questatildeo 2 que trabalhava a subtracccedilatildeo no sentido completar cinco dos onze

pares de alunos optaram por apresentar uma resoluccedilatildeo idecircntica agrave da figura 3 Na explicitaccedilatildeo oral

do caacutelculo muitos destes pares realccedilaram a relaccedilatildeo entre as duas colunas da 2ordf feira e da 6ordf feira

para fazer a coluna da 4ordf feira (o que tinha sido destacado na discussatildeo colectiva das primeiras

questotildees)

Figura - 3

Profmatmdash 2009

Dois pares apresentaram a resoluccedilatildeo representada na figura 4 Na explicitaccedilatildeo oral da resoluccedilatildeo foi

evidente que o raciociacutenio foi 20 - ___ = 12 ou seja os alunos olharam para a coluna da 4ordf feira

com 20 pacotes e depois foram tentar perceber quantos pacotes teriam que retirar para ficarem com

o nuacutemero de pacotes de 2ordf feira Neste caacutelculo um destes pares utilizou a estrutura de 5 em 5 da

construccedilatildeo do graacutefico e disse que ldquoPara irmos da coluna de 4ordf feira para a coluna de 2ordf feira temos

que retirar 5 e depois 3 que daacute 8rdquo O outro par destacou a relaccedilatildeo da coluna de 2ordf feira com a

coluna de 6ordf feira para perfazer a coluna de 4ordf feira ldquoNoacutes vimos que tirando as cruzes da coluna de

6ordf feira agrave coluna de 4ordf feira ficaacutevamos com a coluna de 2ordf feirardquo Apesar de neste caso o resultado

da operaccedilatildeo natildeo corresponder agrave resposta do problema os dois pares conseguiram perceber que 8 eacute

que correspondia agrave quantidade de pacotes a mais e responderam correctamente

Figura - 4 Figura - 5

Um par de alunos apresentou a resoluccedilatildeo da figura 5 Neste caso os alunos partiram da quantidade

de pacotes de leite bebidos na 2ordf feira e foram ver quantos faltavam para ficarem com a mesma

quantidade que na 4ordf feira o que corresponde agrave situaccedilatildeo 12 + ____ = 20 Quanto agrave estrateacutegia de

caacutelculo os alunos referiram que utilizaram a estrutura de 5 em 5 ou seja que a 12 faltavam 3 + 5

para fazer 20

Profmat mdash 2009

Trecircs pares de alunos apresentaram na sua resoluccedilatildeo estrateacutegias diferentes como nas figuras 6 e 7

Nos trecircs casos e de acordo com o que foi explicitado oralmente a primeira estrateacutegia utilizada na

resoluccedilatildeo foi a de verificar quantos pacotes teriam que retirar aos 20 pacotes de 4ordf feira para

ficarem com os 12 pacotes de 2ordf feira Os elementos destes trecircs grupos salientaram a relaccedilatildeo

existente entre as colunas de 2ordf 6ordf e 4ordf feira como estrateacutegia de caacutelculo No segundo exemplo a

estrateacutegia indicada oralmente foi idecircntica agrave do primeiro exemplo (apesar de natildeo ser essa a ordem

apresentada no registo dos alunos) No uacuteltimo registo os alunos deste par tambeacutem explicitam a

forma como calculam a quantidade de pacotes da 4ordf feira utilizando a estrutura de 5 em 5

Figura - 6

Figura - 7

Ainda na 2ordf questatildeo foi colocada uma segunda pergunta resolvida apoacutes a discussatildeo colectiva da

primeira pergunta ldquoE quantos pacotes a mais na 4ordf feira do que na 5ordf feirardquo Nesta 2ordf pergunta

manteve-se a diversidade de registos apresentados na 1ordf pergunta Um dos registos mais utilizados

continuou a ser o de subtrair ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira o nuacutemero de pacotes de 5ordf feira 20 ndash

14 = 6 No entanto a explicitaccedilatildeo oral de dois dos grupos que fizeram este tipo de registo foi que

tinham pensado quantos pacotes teriam que acrescentar aos 14 para chegarem aos 20 de 4ordf feira

num raciociacutenio de 14 + ____ = 20 mas que registaram 20 ndash 14 = 6 porque viram que o resultado era

o mesmo

Figura - 8

Profmatmdash 2009

No registo apresentado por um dos grupos figura 9 a estrateacutegia inicial correspondia a um

raciociacutenio que pode ser expresso por 14 + _____ = 20 Na explicitaccedilatildeo escrita do caacutelculo este par

utilizou a estrutura de 5 em 5 presente no graacutefico para calcular que faltavam 6 pacotes na 5ordf feira

para chegar ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira 5 + 1 = 6 que depois juntaram ao nuacutemero de pacotes

de 5ordf feira fazendo 14 + 5 + 1 = 20 e finalmente 14 + 6 =20 No lado inferior esquerdo deste registo

surge a operaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 Este registo foi justificado com o recurso agrave relaccedilatildeo entre a adiccedilatildeo e a

subtracccedilatildeo ldquoNoacutes vimos que 14 + 6 = 20 entatildeo se fizermos 20 ndash 14 daacute os seis pacotes que faltam na

5ordf feirardquo

Figura - 9

Na 3ordf questatildeo que trabalhava a adiccedilatildeo no sentido de acrescentar ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12

pacotes de leite Quantos pacotes se beberam hoje a maisrdquo a estrateacutegia apresentada por todos os

pares corresponde ao raciociacutenio apresentado na figura 10

Figura - 10

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

1ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam na 2ordf e na 6ordf feira juntos

No que diz respeito a esta questatildeo a que estaacute subjacente o uso da operaccedilatildeo adiccedilatildeo no sentido

combinar a grande maioria dos alunos apresentou um registo idecircntico ao exposto na figura 2

Figura - 2

Questionados oralmente sobre a forma como tinham efectuado o caacutelculo a maioria dos pares referiu

a utilizaccedilatildeo da organizaccedilatildeo em grupos de 5 do graacutefico fazendo 10 + 2 + 5 + 3 somando primeiro

10 + 5 depois 3 + 2 e finalmente juntando 15 + 5 Os pares de alunos que utilizaram esta estrutura

usaram os caacutelculos que tinham feito para responder agraves questotildees anteriores (quantos leites foram

consumidos na 2ordf feira e na 6ordf feira) Eacute de destacar um nuacutemero significativo de pares que apesar

de apresentarem um registo idecircntico ao da figura quando explicitam a estrateacutegia de caacutelculo ainda eacute

perceptiacutevel a utilizaccedilatildeo da contagem um a um Apenas um par referiu que as duas colunas juntas

completavam uma coluna grande ou seja que faziam a quantidade 20 Um par natildeo conseguiu fazer

qualquer abordagem ao problema

2ordf questatildeo ndash Quantos pacotes de leite se beberam a mais na 4ordf feira do que na 2ordf feira

No que diz respeito agrave questatildeo 2 que trabalhava a subtracccedilatildeo no sentido completar cinco dos onze

pares de alunos optaram por apresentar uma resoluccedilatildeo idecircntica agrave da figura 3 Na explicitaccedilatildeo oral

do caacutelculo muitos destes pares realccedilaram a relaccedilatildeo entre as duas colunas da 2ordf feira e da 6ordf feira

para fazer a coluna da 4ordf feira (o que tinha sido destacado na discussatildeo colectiva das primeiras

questotildees)

Figura - 3

Profmatmdash 2009

Dois pares apresentaram a resoluccedilatildeo representada na figura 4 Na explicitaccedilatildeo oral da resoluccedilatildeo foi

evidente que o raciociacutenio foi 20 - ___ = 12 ou seja os alunos olharam para a coluna da 4ordf feira

com 20 pacotes e depois foram tentar perceber quantos pacotes teriam que retirar para ficarem com

o nuacutemero de pacotes de 2ordf feira Neste caacutelculo um destes pares utilizou a estrutura de 5 em 5 da

construccedilatildeo do graacutefico e disse que ldquoPara irmos da coluna de 4ordf feira para a coluna de 2ordf feira temos

que retirar 5 e depois 3 que daacute 8rdquo O outro par destacou a relaccedilatildeo da coluna de 2ordf feira com a

coluna de 6ordf feira para perfazer a coluna de 4ordf feira ldquoNoacutes vimos que tirando as cruzes da coluna de

6ordf feira agrave coluna de 4ordf feira ficaacutevamos com a coluna de 2ordf feirardquo Apesar de neste caso o resultado

da operaccedilatildeo natildeo corresponder agrave resposta do problema os dois pares conseguiram perceber que 8 eacute

que correspondia agrave quantidade de pacotes a mais e responderam correctamente

Figura - 4 Figura - 5

Um par de alunos apresentou a resoluccedilatildeo da figura 5 Neste caso os alunos partiram da quantidade

de pacotes de leite bebidos na 2ordf feira e foram ver quantos faltavam para ficarem com a mesma

quantidade que na 4ordf feira o que corresponde agrave situaccedilatildeo 12 + ____ = 20 Quanto agrave estrateacutegia de

caacutelculo os alunos referiram que utilizaram a estrutura de 5 em 5 ou seja que a 12 faltavam 3 + 5

para fazer 20

Profmat mdash 2009

Trecircs pares de alunos apresentaram na sua resoluccedilatildeo estrateacutegias diferentes como nas figuras 6 e 7

Nos trecircs casos e de acordo com o que foi explicitado oralmente a primeira estrateacutegia utilizada na

resoluccedilatildeo foi a de verificar quantos pacotes teriam que retirar aos 20 pacotes de 4ordf feira para

ficarem com os 12 pacotes de 2ordf feira Os elementos destes trecircs grupos salientaram a relaccedilatildeo

existente entre as colunas de 2ordf 6ordf e 4ordf feira como estrateacutegia de caacutelculo No segundo exemplo a

estrateacutegia indicada oralmente foi idecircntica agrave do primeiro exemplo (apesar de natildeo ser essa a ordem

apresentada no registo dos alunos) No uacuteltimo registo os alunos deste par tambeacutem explicitam a

forma como calculam a quantidade de pacotes da 4ordf feira utilizando a estrutura de 5 em 5

Figura - 6

Figura - 7

Ainda na 2ordf questatildeo foi colocada uma segunda pergunta resolvida apoacutes a discussatildeo colectiva da

primeira pergunta ldquoE quantos pacotes a mais na 4ordf feira do que na 5ordf feirardquo Nesta 2ordf pergunta

manteve-se a diversidade de registos apresentados na 1ordf pergunta Um dos registos mais utilizados

continuou a ser o de subtrair ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira o nuacutemero de pacotes de 5ordf feira 20 ndash

14 = 6 No entanto a explicitaccedilatildeo oral de dois dos grupos que fizeram este tipo de registo foi que

tinham pensado quantos pacotes teriam que acrescentar aos 14 para chegarem aos 20 de 4ordf feira

num raciociacutenio de 14 + ____ = 20 mas que registaram 20 ndash 14 = 6 porque viram que o resultado era

o mesmo

Figura - 8

Profmatmdash 2009

No registo apresentado por um dos grupos figura 9 a estrateacutegia inicial correspondia a um

raciociacutenio que pode ser expresso por 14 + _____ = 20 Na explicitaccedilatildeo escrita do caacutelculo este par

utilizou a estrutura de 5 em 5 presente no graacutefico para calcular que faltavam 6 pacotes na 5ordf feira

para chegar ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira 5 + 1 = 6 que depois juntaram ao nuacutemero de pacotes

de 5ordf feira fazendo 14 + 5 + 1 = 20 e finalmente 14 + 6 =20 No lado inferior esquerdo deste registo

surge a operaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 Este registo foi justificado com o recurso agrave relaccedilatildeo entre a adiccedilatildeo e a

subtracccedilatildeo ldquoNoacutes vimos que 14 + 6 = 20 entatildeo se fizermos 20 ndash 14 daacute os seis pacotes que faltam na

5ordf feirardquo

Figura - 9

Na 3ordf questatildeo que trabalhava a adiccedilatildeo no sentido de acrescentar ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12

pacotes de leite Quantos pacotes se beberam hoje a maisrdquo a estrateacutegia apresentada por todos os

pares corresponde ao raciociacutenio apresentado na figura 10

Figura - 10

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

Dois pares apresentaram a resoluccedilatildeo representada na figura 4 Na explicitaccedilatildeo oral da resoluccedilatildeo foi

evidente que o raciociacutenio foi 20 - ___ = 12 ou seja os alunos olharam para a coluna da 4ordf feira

com 20 pacotes e depois foram tentar perceber quantos pacotes teriam que retirar para ficarem com

o nuacutemero de pacotes de 2ordf feira Neste caacutelculo um destes pares utilizou a estrutura de 5 em 5 da

construccedilatildeo do graacutefico e disse que ldquoPara irmos da coluna de 4ordf feira para a coluna de 2ordf feira temos

que retirar 5 e depois 3 que daacute 8rdquo O outro par destacou a relaccedilatildeo da coluna de 2ordf feira com a

coluna de 6ordf feira para perfazer a coluna de 4ordf feira ldquoNoacutes vimos que tirando as cruzes da coluna de

6ordf feira agrave coluna de 4ordf feira ficaacutevamos com a coluna de 2ordf feirardquo Apesar de neste caso o resultado

da operaccedilatildeo natildeo corresponder agrave resposta do problema os dois pares conseguiram perceber que 8 eacute

que correspondia agrave quantidade de pacotes a mais e responderam correctamente

Figura - 4 Figura - 5

Um par de alunos apresentou a resoluccedilatildeo da figura 5 Neste caso os alunos partiram da quantidade

de pacotes de leite bebidos na 2ordf feira e foram ver quantos faltavam para ficarem com a mesma

quantidade que na 4ordf feira o que corresponde agrave situaccedilatildeo 12 + ____ = 20 Quanto agrave estrateacutegia de

caacutelculo os alunos referiram que utilizaram a estrutura de 5 em 5 ou seja que a 12 faltavam 3 + 5

para fazer 20

Profmat mdash 2009

Trecircs pares de alunos apresentaram na sua resoluccedilatildeo estrateacutegias diferentes como nas figuras 6 e 7

Nos trecircs casos e de acordo com o que foi explicitado oralmente a primeira estrateacutegia utilizada na

resoluccedilatildeo foi a de verificar quantos pacotes teriam que retirar aos 20 pacotes de 4ordf feira para

ficarem com os 12 pacotes de 2ordf feira Os elementos destes trecircs grupos salientaram a relaccedilatildeo

existente entre as colunas de 2ordf 6ordf e 4ordf feira como estrateacutegia de caacutelculo No segundo exemplo a

estrateacutegia indicada oralmente foi idecircntica agrave do primeiro exemplo (apesar de natildeo ser essa a ordem

apresentada no registo dos alunos) No uacuteltimo registo os alunos deste par tambeacutem explicitam a

forma como calculam a quantidade de pacotes da 4ordf feira utilizando a estrutura de 5 em 5

Figura - 6

Figura - 7

Ainda na 2ordf questatildeo foi colocada uma segunda pergunta resolvida apoacutes a discussatildeo colectiva da

primeira pergunta ldquoE quantos pacotes a mais na 4ordf feira do que na 5ordf feirardquo Nesta 2ordf pergunta

manteve-se a diversidade de registos apresentados na 1ordf pergunta Um dos registos mais utilizados

continuou a ser o de subtrair ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira o nuacutemero de pacotes de 5ordf feira 20 ndash

14 = 6 No entanto a explicitaccedilatildeo oral de dois dos grupos que fizeram este tipo de registo foi que

tinham pensado quantos pacotes teriam que acrescentar aos 14 para chegarem aos 20 de 4ordf feira

num raciociacutenio de 14 + ____ = 20 mas que registaram 20 ndash 14 = 6 porque viram que o resultado era

o mesmo

Figura - 8

Profmatmdash 2009

No registo apresentado por um dos grupos figura 9 a estrateacutegia inicial correspondia a um

raciociacutenio que pode ser expresso por 14 + _____ = 20 Na explicitaccedilatildeo escrita do caacutelculo este par

utilizou a estrutura de 5 em 5 presente no graacutefico para calcular que faltavam 6 pacotes na 5ordf feira

para chegar ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira 5 + 1 = 6 que depois juntaram ao nuacutemero de pacotes

de 5ordf feira fazendo 14 + 5 + 1 = 20 e finalmente 14 + 6 =20 No lado inferior esquerdo deste registo

surge a operaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 Este registo foi justificado com o recurso agrave relaccedilatildeo entre a adiccedilatildeo e a

subtracccedilatildeo ldquoNoacutes vimos que 14 + 6 = 20 entatildeo se fizermos 20 ndash 14 daacute os seis pacotes que faltam na

5ordf feirardquo

Figura - 9

Na 3ordf questatildeo que trabalhava a adiccedilatildeo no sentido de acrescentar ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12

pacotes de leite Quantos pacotes se beberam hoje a maisrdquo a estrateacutegia apresentada por todos os

pares corresponde ao raciociacutenio apresentado na figura 10

Figura - 10

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

Trecircs pares de alunos apresentaram na sua resoluccedilatildeo estrateacutegias diferentes como nas figuras 6 e 7

Nos trecircs casos e de acordo com o que foi explicitado oralmente a primeira estrateacutegia utilizada na

resoluccedilatildeo foi a de verificar quantos pacotes teriam que retirar aos 20 pacotes de 4ordf feira para

ficarem com os 12 pacotes de 2ordf feira Os elementos destes trecircs grupos salientaram a relaccedilatildeo

existente entre as colunas de 2ordf 6ordf e 4ordf feira como estrateacutegia de caacutelculo No segundo exemplo a

estrateacutegia indicada oralmente foi idecircntica agrave do primeiro exemplo (apesar de natildeo ser essa a ordem

apresentada no registo dos alunos) No uacuteltimo registo os alunos deste par tambeacutem explicitam a

forma como calculam a quantidade de pacotes da 4ordf feira utilizando a estrutura de 5 em 5

Figura - 6

Figura - 7

Ainda na 2ordf questatildeo foi colocada uma segunda pergunta resolvida apoacutes a discussatildeo colectiva da

primeira pergunta ldquoE quantos pacotes a mais na 4ordf feira do que na 5ordf feirardquo Nesta 2ordf pergunta

manteve-se a diversidade de registos apresentados na 1ordf pergunta Um dos registos mais utilizados

continuou a ser o de subtrair ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira o nuacutemero de pacotes de 5ordf feira 20 ndash

14 = 6 No entanto a explicitaccedilatildeo oral de dois dos grupos que fizeram este tipo de registo foi que

tinham pensado quantos pacotes teriam que acrescentar aos 14 para chegarem aos 20 de 4ordf feira

num raciociacutenio de 14 + ____ = 20 mas que registaram 20 ndash 14 = 6 porque viram que o resultado era

o mesmo

Figura - 8

Profmatmdash 2009

No registo apresentado por um dos grupos figura 9 a estrateacutegia inicial correspondia a um

raciociacutenio que pode ser expresso por 14 + _____ = 20 Na explicitaccedilatildeo escrita do caacutelculo este par

utilizou a estrutura de 5 em 5 presente no graacutefico para calcular que faltavam 6 pacotes na 5ordf feira

para chegar ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira 5 + 1 = 6 que depois juntaram ao nuacutemero de pacotes

de 5ordf feira fazendo 14 + 5 + 1 = 20 e finalmente 14 + 6 =20 No lado inferior esquerdo deste registo

surge a operaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 Este registo foi justificado com o recurso agrave relaccedilatildeo entre a adiccedilatildeo e a

subtracccedilatildeo ldquoNoacutes vimos que 14 + 6 = 20 entatildeo se fizermos 20 ndash 14 daacute os seis pacotes que faltam na

5ordf feirardquo

Figura - 9

Na 3ordf questatildeo que trabalhava a adiccedilatildeo no sentido de acrescentar ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12

pacotes de leite Quantos pacotes se beberam hoje a maisrdquo a estrateacutegia apresentada por todos os

pares corresponde ao raciociacutenio apresentado na figura 10

Figura - 10

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

No registo apresentado por um dos grupos figura 9 a estrateacutegia inicial correspondia a um

raciociacutenio que pode ser expresso por 14 + _____ = 20 Na explicitaccedilatildeo escrita do caacutelculo este par

utilizou a estrutura de 5 em 5 presente no graacutefico para calcular que faltavam 6 pacotes na 5ordf feira

para chegar ao nuacutemero de pacotes de 4ordf feira 5 + 1 = 6 que depois juntaram ao nuacutemero de pacotes

de 5ordf feira fazendo 14 + 5 + 1 = 20 e finalmente 14 + 6 =20 No lado inferior esquerdo deste registo

surge a operaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 Este registo foi justificado com o recurso agrave relaccedilatildeo entre a adiccedilatildeo e a

subtracccedilatildeo ldquoNoacutes vimos que 14 + 6 = 20 entatildeo se fizermos 20 ndash 14 daacute os seis pacotes que faltam na

5ordf feirardquo

Figura - 9

Na 3ordf questatildeo que trabalhava a adiccedilatildeo no sentido de acrescentar ldquoNa 2ordf feira beberam-se 12

pacotes de leite Quantos pacotes se beberam hoje a maisrdquo a estrateacutegia apresentada por todos os

pares corresponde ao raciociacutenio apresentado na figura 10

Figura - 10

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

Neste exemplo os alunos decidiram registar a relaccedilatildeo que encontraram Se 2 + 3 completa um

grupo de 5 entatildeo 12 + 3 (10 + 2 + 3) iraacute completar trecircs grupos de 5 ou seja 15

Na uacuteltima questatildeo desta tarefa era pedido que calculassem o total de leites bebidos ao longo da

semana registada no graacutefico Nesta questatildeo surgiram estrateacutegias de caacutelculo bastante diversificadas

Alguns pares de alunos contaram um a um (figura 11) embora no exemplo o registo que estaacute no

graacutefico natildeo corresponda exactamente ao registo que estaacute agrave direita onde natildeo eacute perceptiacutevel qualquer

estruturaccedilatildeo da contagem

Figura - 11

No entanto a maioria dos pares de alunos utilizou a estrutura presente no graacutefico para efectuar a

contagem apresentando caacutelculos idecircnticos aos da figura 12

Figura - 12

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

Eacute ainda de salientar que nesta questatildeo trecircs pares natildeo conseguiram chegar ao nuacutemero total de

pacotes de leite devido agrave ordem de grandeza dos nuacutemeros envolvidos embora tenham seleccionado

uma estrateacutegia correcta

Uma experiecircncia de implementaccedilatildeo ndash 2ordm ciclo

Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos Seraacute necessaacuterio ter em primeiro lugar uma definiccedilatildeo do

sentido do nuacutemero com o objectivo de contextualizar as experiecircncias de aprendizagem

posteriormente apresentadas Entatildeo apoacutes alguma pesquisa a definiccedilatildeo defendida pelos autores

McIntosh Reys e Reys (1992) e Brocardo Serrazina Rocha Mendes Menino e Ferreira (2007)

pareceu a mais adequada incluindo os seguintes aspectos

1O conhecimento e destreza com os nuacutemeros que engloba o sentido da regularidade dos

nuacutemeros as muacuteltiplas representaccedilotildees dos nuacutemeros o sentido da grandeza relativa e absoluta dos

nuacutemeros e finalmente o uso de sistemas de referecircncia que permitem avaliar uma resposta ou

arredondar um nuacutemero para facilitar o caacutelculo

2 O conhecimento e destreza com as operaccedilotildees que engloba compreensatildeo do efeito das

operaccedilotildees das propriedades e a das relaccedilotildees entre as operaccedilotildees

3 A aplicaccedilatildeo do conhecimento e da destreza com os nuacutemeros e as operaccedilotildees em situaccedilotildees de

caacutelculo que engloba a compreensatildeo para relacionar o contexto e os caacutelculos a

consciencializaccedilatildeo da existecircncia de muacuteltiplas estrateacutegias a apetecircncia para usar representaccedilotildees

eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado (Brocardo et al p2 2007)

Em relaccedilatildeo aos nuacutemeros racionais natildeo negativos mais especificamente as fracccedilotildees estas satildeo uma

representaccedilatildeo versaacutetil pois possibilita indicar relaccedilotildees diversas No entanto a pluralidade de

significados pode trazer ambiguidades sendo essencial que os professores estejam prevenidos para

algumas dificuldades que poderatildeo emergir durante o ensino mas que saibam tambeacutem tirar partido

dessa mesma variedade Por exemplo a fracccedilatildeo 35 pode ser interpretada como 35 de um bolo

como a razatildeo entre o nuacutemero de rapazes (3) e de raparigas (5) existentes numa sala de aula ou

como o quociente resultante de se dividir 3 chocolates iguais por cindo pessoas (Monteiro amp Pinto

2007) Desta forma podemos afirmar que eacute na siacutentese da multiplicidade de situaccedilotildees e na teia de

conexotildees que os alunos vatildeo determinando a partir delas que o sentido do nuacutemero racional se vai

expandindo (Monteiro amp Pinto 2007)

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

Ao niacutevel do 2ordm ciclo as fracccedilotildees podem ter diferentes significados vejamos a) a relaccedilatildeo parte ndash

todo de uma unidade contiacutenua b) a relaccedilatildeo parte ndash todo de uma unidade discreta c) o quociente

entre dois nuacutemeros inteiros representado pela fracccedilatildeo ab d) o operador partitivo multiplicativo e)

a medida f) a razatildeo entre duas partes de um mesmo todo (Monteiro amp Pinto 2007)

Os nuacutemeros fraccionaacuterios satildeo um dos toacutepicos do ensino baacutesico que maior repercussatildeo teraacute no

entendimento de toacutepicos fundamentais da matemaacutetica escolar Tendo em conta a riqueza de

conexotildees que estes nuacutemeros implicam eles satildeo considerados importantes no desenvolvimento de

estruturas mentais indispensaacuteveis ao crescimento intelectual dos alunos (Monteiro amp Pinto 2007)

A tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Um dos temas matemaacuteticos onde os alunos se mostraram mais

interessados e participativos foi o dos ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo mais concretamente no toacutepico

ldquoNuacutemeros Racionais natildeo Negativosrdquo Uma das tarefas que lhes despertou mais a atenccedilatildeo foi a dos

ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo Esta tarefa tem como objectivos especiacuteficos os seguintes a) adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo b) resolver

problemas que envolvam nuacutemeros racionais natildeo negativos c) conceber e pocircr em praacutetica estrateacutegias

de resoluccedilatildeo de problemas verificando a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos

utilizados d) exprimir ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo

simbologia e vocabulaacuterio proacuteprios A tarefa estaacute dividida em trecircs partes na 1ordf parte os alunos

tinham que descobrir que fracccedilatildeo de terreno corresponde a cada proprietaacuterio

Figura 13 ndash As aldeias

Aldeia Amarela Aldeia Branca

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

A 2ordf parte denomina-se ldquoCompras e Vendasrdquo onde os proprietaacuterios realizam transacccedilotildees entre si

obedecendo a algumas condiccedilotildees para que soacute 4 famiacutelias fiquem com propriedades

Parte 2 ndash Compras e vendas

Algumas famiacutelias venderam os seus terrenos a outros proprietaacuterios Depois de concluiacutedas as

vendas a distribuiccedilatildeo das terras passou a ser a seguinte

Apenas 4 proprietaacuterios ndash as famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e Moura ndash detecircm todos os terrenos

das duas aldeias

A famiacutelia Alves comprou terras a uma uacutenica famiacutelia e tem agora o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Iliacutedio comprou terrenos a trecircs famiacutelias e agora deteacutem o equivalente a de uma

aldeia

A famiacutelia Moura tem agora o equivalente de uma aldeia

A famiacutelia Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias

Cada uma das quatro famiacutelias que detecircm a totalidade dos terrenos pode deslocar-se ao longo

do limite da sua propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos

1 Que transacccedilotildees foram feitas entre as vaacuterias famiacutelias que detinham inicialmente a

propriedade dos terrenos das duas aldeias Explica o teu raciociacutenio

2 Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famiacutelias Alves Iliacutedio Esteves e

Moura Em cada parcela de terreno escreve uma expressatildeo com fracccedilotildees que evidencie as

transacccedilotildees realizadas

Figura 14 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

Por fim 3ordf e uacuteltima parte ldquoEm busca do algoritmordquo onde os alunos teratildeo que descobrir como

realizar os algoritmos da adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de fracccedilotildees

1

2

13

32

1

2

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

Parte 3 ndash Em busca do algoritmo

Quando precisamos de adicionar ou subtrair eacute necessaacuterio dispormos de um conjunto de

procedimentos que nos conduzam rapidamente ao resultado pretendido Esse conjunto de

procedimentos chama-se algoritmo

Um algoritmo soacute eacute uacutetil se descrever claramente e de forma compreensiacutevel os passos a seguir e

se conduzir sempre ao resultado correcto

1 A partir das situaccedilotildees exploradas nas Partes 1 e 2 descreve um algoritmo para adicionar

fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que um algoritmo) Regista o algoritmo de

forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com quem natildeo tivesses oportunidade de

conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria compreender perfeitamente as tuas

instruccedilotildees

2 Cria agora um algoritmo para subtrair fracccedilotildees (o teu grupo pode apresentar mais do que

um algoritmo) Regista o algoritmo de forma clara tal como se fosses enviaacute-lo a algueacutem com

quem natildeo tivesses oportunidade de conversar e que por isso lendo a tua mensagem deveria

compreender perfeitamente as tuas instruccedilotildees

3 Experimenta os teus algoritmos e verifica se funcionam ou natildeo nos casos que se seguem

8

7

8

5

8

1

4

3

4

1

6

5

3

5

5

3

Figura 15 ndash Excerto da tarefa retirado da Brochura de ―Nuacutemeros Racionais natildeo Negativos

As capacidades transversais desenvolvidas com esta tarefa satildeo raciociacutenio matemaacutetico (justificaccedilatildeo)

e a comunicaccedilatildeo matemaacutetica (interpretaccedilatildeo representaccedilatildeo expressatildeo discussatildeo)

Resoluccedilotildees dos alunos Passamos entatildeo agrave apresentaccedilatildeo de um exemplo de resoluccedilatildeo de um dos

grupos de trabalho

Para a 1ordf parte da tarefa que consistia na descoberta da fracccedilatildeo de terreno correspondente a cada

proprietaacuterio este grupo de trabalho apresentou a seguinte resposta

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

Este grupo de trabalho no primeiro momento apoacutes olharem para a tarefa pediram para eu me

aproximar do grupo e disseram ldquoProfessora se eacute para dividir em partes iguais entatildeo vamos dividir

tudo em bocadinhos como o do Sr Faro pois eacute o que tem o terreno mais pequeno Eacute assim natildeo eacuterdquo

ao que respondi para continuarem a trabalhar pois estavam no caminho certo mas esse natildeo era o

uacutenico alertei Apoacutes terem realizado as respectivas divisotildees do terreno observaram que cada parte

Figura 16 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (a) Figura 17 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (b)

Figura 18 ndash Resoluccedilatildeo da parte 1 (c)

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

era 1 parte de 32 partes em que estava dividida a unidade neste caso cada aldeia De seguida tendo

em conta esta conclusatildeo foi muito faacutecil para o grupo descobrir a fracccedilatildeo de terreno correspondente

a cada um dos proprietaacuterios Mas apoacutes terem registado qual a fracccedilatildeo correspondente a cada um dos

proprietaacuterios repararam que podiam em alguns casos apresentar fracccedilotildees equivalentes que foi o

que fizeram por exemplo no caso do Sr Lopes em que afirmam que 832 equivale a 416 que por

sua vez equivale a 28 que por sua vez equivale a frac12

Na 2ordf parte da tarefa os alunos teriam de descobrir tendo em conta as condiccedilotildees fornecidas quais

as transacccedilotildees ocorridas para que soacute 4 famiacutelias fossem proprietaacuterias

Figura 19 ndash Resoluccedilatildeo da parte 2

Esta parte da tarefa foi uma surpresa Eu tinha algum receio que sendo estes alunos do 5ordmano

apresentassem algumas dificuldades em conseguir ter em conta tantas condiccedilotildees em simultacircneo

mas para meu espanto tal natildeo se verificou Aliaacutes aconteceu exactamente o contraacuterio todos os

grupos resolveram com bastante facilidade Apoacutes terem realizado o que era pedido este grupo

sugeriu o seguinte ldquoProfessora podemos pintar cada propriedade e fazer uma legendardquo ao que

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

acedi de imediato felicitando iniciativa Os outros grupos quando ouviram decidiram todos fazer o

mesmo

Na 3ordf e uacuteltima parte os alunos teriam de descrever um algoritmo para a adiccedilatildeo e outro para a

subtracccedilatildeo e por fim conseguir chegar agrave regra para adicionar ou subtrair quaisquer fracccedilotildees dadas

Figura 20 ndash Resoluccedilatildeo da parte 3

A maneira como este grupo (e natildeo soacute) resolveu de forma muito curiosa a uacuteltima parte da tarefa

Como no enunciado referia que teriam de responder para que quem natildeo tivesse conhecimento da

situaccedilatildeo perceber tudo o que eles estavam a relatar entatildeo resolveram ldquocontarrdquo tudo o que tinham

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

feito desde a 1ordf parte descrevendo exaustivamente todos os passos efectuados Quando lhes

perguntei ldquoMas entatildeo para quecirc escrever tanta informaccedilatildeordquo eles responderam de imediato

ldquoProfessora teve que ser Aqui na folha dizia que as pessoas tinham que entender tudo entatildeo

escrevemos tudo As pessoas vatildeo entender de certezardquo No que diz respeito agrave regra geral para

adicionar e subtrair fracccedilotildees na resoluccedilatildeo natildeo aparece a regra para adiccedilatildeo apenas para a

subtracccedilatildeo A explicaccedilatildeo que o grupo deu para este facto foi que sendo a mesma regra apenas

escreveram para a subtracccedilatildeo pois foi o algoritmo que tiveram que ldquoinventarrdquo No caso em que

surge a situaccedilatildeo em que os denominadores satildeo diferentes automaticamente os alunos referiram que

teriam que encontrar fracccedilotildees equivalentes para isso tinham que ver os resultados comuns na

tabuada de cada um dos nuacutemeros respeitantes aos denominadores Quando ouvi esta explicaccedilatildeo

indaguei ldquoResultados comuns Mas isso natildeo tem um nome especiacuteficordquo apoacutes alguns momentos de

reflexatildeo um dos alunos diz ldquoEacute ohellip qualquer coisa muacuteltiplo comumrdquo de imediato outro aluno

completa de forma muito vigorosa ldquoMiacutenimo miacutenimordquo Apoacutes este esclarecimento os grupos que

jaacute tinham concluiacutedo qual era a regra geral alteraram a terminologia ldquoo primeiro resultado comum

da tabuada de cada um dos nuacutemeros dos denominadoresrdquo para ldquomiacutenimo muacuteltiplo comum entre os

dois denominadoresrdquo

Foi uma tarefa que todos os alunos adoraram pedindo se era possiacutevel fazer mais tarefas do geacutenero

Esta tarefa era uma das que eu mais receava aplicar pois achava que os alunos iam ter muitas

dificuldades nomeadamente por estar associada aos nuacutemeros racionais natildeo negativos No entanto

superou todas as minhas expectativas sendo das tarefas que os alunos resolveram com mais

entusiasmo e facilidade

Conclusatildeo

No decorrer deste ano lectivo muitas foram as novidades e desafios com que nos deparamos o

proacuteprio programa (apresentaccedilatildeo e organizaccedilatildeo) a forma de planificar a construccedilatildeo de cadeias de

tarefas bem como a forma de organizaccedilatildeo dos trabalhos na sala de aula (incidecircncia no trabalho de

grupo) Este conjunto de factores levou a que nos questionaacutessemos constantemente ldquoSeraacute que esta

tarefa eacute a mais adequadardquo ldquoEstarei a escolher o melhor caminhordquo ldquoEsta cadeia de tarefas faz

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

sentidordquo ldquoTrabalho de grupo sempre a melhor opccedilatildeordquo As questotildees eram muitas Mas com o

decorrer dos trabalhos e os resultados obtidos pelos alunos as nossas ansiedades foram-se

esbatendo e a confianccedila aumentando

Neste tema especiacutefico ldquoNuacutemeros e Operaccedilotildeesrdquo os alunos desenvolveram o sentido de nuacutemero e

das operaccedilotildees nomeadamente com a realizaccedilatildeo das tarefas ldquoPacotes de Leite ndash 1ordm Anordquo e

ldquoTerrenos nas Aldeias ndash 5ordm anordquo

Na tarefa ldquoPacotes de Leiterdquo salienta-se em primeiro lugar a importacircncia do contexto da tarefa

apresentada Apesar dos dados trabalhados natildeo corresponderem a dados reais a tarefa correspondia

a uma rotina de sala de aula o que levou a que os alunos demonstrassem uma maior motivaccedilatildeo e

uma maior facilidade na leitura do graacutefico

No que diz respeito agraves questotildees que trabalhavam a adiccedilatildeo no sentido combinar quase todos os pares

de alunos conseguiram encontrar uma estrateacutegia adequada agrave situaccedilatildeo apresentada Nestas questotildees

a estrutura de 5 em 5 apresentada no graacutefico foi significativa na estruturaccedilatildeo do caacutelculo dos

alunos

Em relaccedilatildeo agraves questotildees que trabalhavam a subtracccedilatildeo no sentido completar surgiram diversas

estrateacutegias No registo que foi mais frequente entre os pares de alunos 20 ndash 12 = 8 ou na segunda

situaccedilatildeo 20 ndash 14 = 6 foi utilizada a subtracccedilatildeo No entanto no raciociacutenio explicitado oralmente foi

perceptiacutevel que este registo correspondia muitas vezes a um raciociacutenio que se pode representar por

12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Na justificaccedilatildeo do registo da subtracccedilatildeo estava a subjacente a

relaccedilatildeo que os alunos encontraram entre a adiccedilatildeo e a subtracccedilatildeo como operaccedilotildees inversas A

maioria dos pares que apresentou este tipo de resoluccedilatildeo afirmou que comeccedilou por verificar a coluna

que tinha o menor nuacutemero de pacotes de leite e soacute depois foi ver quantos faltavam para chegar ao

total da coluna com o maior nuacutemero de pacotes de leite Nestas questotildees foi tambeacutem significativo o

nuacutemero de pares que apresentou um registo com uma adiccedilatildeo correspondendo a um raciociacutenio de

completar uma quantidade 12 + ____ = 20 ou 14 + ____ = 20 Foi interessante e de certa forma

estranho verificar que da primeira para a segunda pergunta deste contexto da subtracccedilatildeo esta

estrateacutegia foi utilizada por um maior nuacutemero de pares e durante a discussatildeo alguns alunos terem

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

considerado esta estrateacutegia mais faacutecil de compreender A maioria dos pares que apresentou uma

estrateacutegia correcta para estas questotildees utilizou a estrutura do graacutefico para organizar a contagem

No que se refere agrave questatildeo de adiccedilatildeo no sentido acrescentar todos os pares conseguiram encontrar

uma estrateacutegia correcta Nesta questatildeo para alguns pares a estrutura do graacutefico foi significativa

Outros pares fizeram contagens de um em um a partir do 12

Em relaccedilatildeo ao desenvolvimento deste toacutepico eacute importante tambeacutem salientar que alteraccedilotildees foram

sentidas em relaccedilatildeo ao trabalho com o programa anterior No que se refere agrave importacircncia da

resoluccedilatildeo de problemas no desenvolvimento de conteuacutedos matemaacuteticos o anterior programa jaacute

valorizava este aspecto considerando-a uma parte fundamental (DEB 1998) No que diz respeito

ao desenvolvimento dos diferentes sentidos das operaccedilotildees no anterior programa estes natildeo

apareciam de uma forma expliacutecita no programa natildeo existindo qualquer objectivo especiacutefico nem

notas metodoloacutegicas que explicitassem estes sentidos Estes sentidos das operaccedilotildees acabavam por

ser trabalhados de uma forma pouco consciente

Uma outra alteraccedilatildeo diz respeito agrave explicitaccedilatildeo de objectivos especiacuteficos para as competecircncias

transversais que natildeo acontecia no programa anterior Isto leva a que exista uma preocupaccedilatildeo maior

em relaccedilatildeo agrave forma como satildeo exploradas as tarefas de forma a desenvolver e promover a

comunicaccedilatildeo matemaacutetica o raciociacutenio matemaacutetico e a valorizar a resoluccedilatildeo de problemas No

desenvolvimento do trabalho com esta e outras tarefas a comunicaccedilatildeo matemaacutetica acabou por

assumir um papel essencial no desenvolvimento das aprendizagens

Os alunos ao realizarem a tarefa ldquoTerrenos nas Aldeiasrdquo descobriram a forma de adicionar e

subtrair nuacutemeros racionais natildeo negativos representados sob a forma de fracccedilatildeo ao mesmo tempo

que aplicaram estrateacutegias para resolverem problemas que envolviam nuacutemeros racionais natildeo

negativos e verificaram a adequaccedilatildeo dos resultados obtidos e dos processos utilizados Aleacutem disso

exprimiram ideias e processos matemaacuteticos oralmente e por escrito usando a notaccedilatildeo simbologia e

vocabulaacuterio proacuteprios Com esta tarefa desenvolveram essencialmente duas capacidades

transversais raciociacutenio matemaacutetico pois o aluno justifica a sua escolha e a comunicaccedilatildeo

matemaacutetica dando lugar agrave interpretaccedilatildeo agrave representaccedilatildeo agrave expressatildeo e agrave discussatildeo

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmatmdash 2009

Mas entatildeo o que mudou O que se faz agora que natildeo era possiacutevel fazer anteriormente Satildeo

provavelmente as questotildees que mais professores colocam De facto o anterior programa jaacute

recomendava muitas das ideias agora reforccediladas no entanto natildeo foi possiacutevel concretizaacute-las na sua

plenitude Porque eacute que agora tal seraacute possiacutevel Existem na nossa opiniatildeo dois factores relevantes

para tal em primeiro lugar a forma como o programa eacute apresentado de uma maneira mais objectiva

e clara exemplo disso satildeo as notas Com elas percebe-se exactamente o que se pretende com o

toacutepico e subtoacutepico associados Em segundo lugar a consciecircncia do que se pretende saber que com

aquela tarefa cadeia de tarefas estamos a desenvolver as capacidades A B ou C e quais os

objectivos a atingir com a realizaccedilatildeo da mesma percepccedilatildeo esta que anteriormente natildeo se sentia

talvez por apenas utilizarmos os exerciacutecios dos manuais Aqui existe uma investigaccedilatildeo preacutevia as

tarefas satildeo examinadas ao pormenor levando a que o professor saiba em concreto e em consciecircncia

o que estaacute a trabalhar e quais as aprendizagens a serem adquiridas

Em suma podemos afirmar que estaacute a ser uma experiecircncia de implementaccedilatildeo muito positiva o que

nos daacute muita esperanccedila para o futuro no que diz respeito ao relacionamento dos alunos com a

Matemaacutetica

Referecircncias bibliograacuteficas

Abrantes P Ferreira C amp Oliveira H (2000) Matemaacutetica para todos Investigaccedilotildees na sala de aula

Acedido 8 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-texto2pdf

Brocardo J (2004) Desenvolvimento curricular contributos de um projecto centrado no sentido do nuacutemero

Acedido a 11 de Junho 2009 de httpwwwspceorgpt-sem-Montegordo-2XVpdf

Brocardo J Serrazina L Rocha I Mendes F Menino H amp Ferreira E (2007) Um projecto centrado

no sentido do nuacutemero Acedido a 10 de Junho 2009 de httpwwwseiemes-publicaciones-

archivospublicaciones-actas-Actas12SEIEM-Apo3Brocardopdf

DEB (1998) Organizaccedilatildeo Curricular e Programas Lisboa Editorial do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo

Doyle W (1988) Work in mathematics classes The context of studentsrsquo thinking during instruction

Educational Psycologist 23 167-80 In Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas

como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de

httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-smith2098pdf

Kraemer JM (2006) Sequecircncia de reconstruccedilatildeo de tabuadas meacutetodos e procedimentos para adicionar e

subtrair com os nuacutemeros naturais ateacute 100 (1000) Texto de apoio agrave formaccedilatildeo interna da equipa da

ESE de Setuacutebal do PFCM natildeo publicado

Profmat mdash 2009

Menezes L Rodrigues C Tavares F amp Gomes H (2008) Nuacutemeros racionais natildeo negativos Lisboa

Direcccedilatildeo Geral de Investigaccedilatildeo e Desenvolvimento Curricular

Monteiro C amp Pinto H (2007) Mal entendidos mais comuns dos alunos relativamente agraves fracccedilotildees e aos

numerais decimais Acedido a 12 de Junho 2009 de httpblogsesecsipleiriapt-eb1mat-files-

2008-07 brochura_racionaispdf

Ponte J P amp Matos J F (2000) Processos Cognitivos e Interacccedilotildees Sociais nas Investigaccedilotildees

Matemaacuteticas Acedido a 5 de Junho 2009 de httpwwwprof2000pt-users-jpinto-textos-

texto19pdf

Ponte J P amp Serrazina L (2000) Didaacutectica da Matemaacutetica do 1ordm ciclo Lisboa Universidade Aberta

Ponte J P Serrazina L Guimaratildees H Brenda A Guimaratildees F Sousa H Menezes L Martins ME

amp Oliveira P A (2007) Programa de matemaacutetica do ensino baacutesico Lisboa Direcccedilatildeo Geral de

Investigaccedilatildeo e Desenvolvimento Curricular

Ponte JP (1999) Didaacutecticas especiacuteficas e construccedilatildeo do conhecimento profissional Acedido a 8 de Junho

2009 de httpwwweducfculpt-docentes-jponte-docs-pt-99-Ponte(Aveiro)pdf

Porfiacuterio J amp Oliveira H (2007) Uma reflexatildeo em torno das tarefas de investigaccedilatildeo Acedido a 10 de

Junhos 2009 de httpwwweducfculpt-docentes-jponte-sd-textos-porfirio-oliveirapdf

Segurado I amp Ponte J P (1998) Concepccedilotildees sobre a matemaacutetica e trabalho investigativo Quadrante

7(2) 5-40

Stein M K amp Smith M S (1998) Tarefas matemaacuteticas como quadro para a reflexatildeo Da investigaccedilatildeo agrave

praacutetica Acedido a 9 de Junho 2009 de httpwwweducfculpt-docentes-jponte-fdm-textos-stein-

smith2098pdf