uma i1troduÇÃo ao estudo de limites de fu1ÇÃo real

52

Upload: buiphuc

Post on 07-Jan-2017

213 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

�P���� ��������

��

��

��

��

!!��22��11FF��))''��!!ddkk''��22''����EE��!!��''����������

3311��11����EE��������++!!FFddkk''��))��2233��

��

��

��

��

�������������������������������������� �������������� ��

������������))��**����������++ ����

��

��

��

��

��

��

��!!����������

,,���� ��-- ��** ������������..//00//��

Page 2: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

�� �3���

������%�C �>�������� ����������� ��������� ����������M!��� � ����� �

����� ��������*���������������������� ���N#����������������������� ������� #�� %��

������ ���� �&��&�������)�*�����+ �������������� �� ����������� �

�������� �������������������������� ���� ���!��"��������������������������&��

'� ���� #� �������� � M!�� ��� ���� � � ����� � ��� �������� ��� ����� � ��N#� � ��

���*� ����� ������������������������������������� �K��������� #� %B���"�� �

�������� ���������������&�2����"��������" �"��� ������ ���������������� ������� ��

�����" �"���� � �� ��� �� � � .J� � � � � ����� � �>�� � ��� ��� � �� ��� �� ��� ��� ��� ��

�>�����������������������&�

2�������� �>�$���������%�C �� ���� ���%���� ����� ����� ���� ���� ������� ��

�������� � %�� �������� ��� ����� � ��&� � ��� �� ��"������ � �� �����C��� "���� � �

�����" �"����� � ��� C%�������� ��� ������#� B�������� �� "������ � �B������

���������#��>����������������� ��������������������������#������*�� � ��$�� ��

��>%�� #������ ������>�� #������ �� �#����� ���� ����"������"�����&���

Page 3: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

���3���

1�������)*� 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444441:I/�� ���������3��������� 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444441:5/41����#H#,#���������%�#&���&��'&#%�7�����"�#"���,#�#&�� 44444444444444444444444444444444441:5/4/ ����#H#,#����� �� �#�,@&#%� F������"&���H=�&� � =�������8������ 7��� � �"�#"� ��,#�#&��4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/016������� ���������4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/0E641&#?#����1 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/0G?&0&0�'�����=��������"�����0����������������������������������������������������������������������������������������MD�

64/&#?#����/ 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/0CF�E���'������ /��������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������MK�

646&#?#����6 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/0:F�F�E�'������ /��������������������F ��������������������������������������������������������������������������������������EM�

64E&#?#����E 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/10F�I�E�'������ /��������������������I ��������������������������������������������������������������������������������������E��

64G&#?#����G 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/16F�J�E�'������ /��������������������J ��������������������������������������������������������������������������������������EI�

64I&#?#����I 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/1GF�D�E�'������ /��������������������D ��������������������������������������������������������������������������������������EK�

64C&#?#����C 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/15F�K�E�'������ /��������������������K ��������������������������������������������������������������������������������������EO�

645&#?#����5 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444//0F�N�E�'������ /��������������������N �����������������������������������������������������������������������������������������

64:&#?#����: 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444//6F�O�E�'������ /��������������������O ���������������������������������������������������������������������������������������J�

6410&#?#����10 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444//IF�EM�E�'������ /��������������������EM �����������������������������������������������������������������������������������N�

6411&#?#����11 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444//:F�EE�E�'������ /��������������������EE ����������������������������������������������������������������������������������FM�

641/&#?#����1/ 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/61F�E��E�'������ /��������������������E� ����������������������������������������������������������������������������������F��

6416&#?#����16 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/66F�EF�E�'������ /��������������������EF ����������������������������������������������������������������������������������FI�

641E&#?#����1E 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/6GF�EI�E�'������ /��������������������EI ����������������������������������������������������������������������������������FD�

641G&#?#����1G 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/6CF�EJ�E�'������ /��������������������EJ ����������������������������������������������������������������������������������FN�

641I&#?#����1I 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/6:F�ED�E���������� /��������������������ED ������������������������������������������������������������������������������IM�

E������ �)O ������44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/E1

Page 4: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

� � �P���� 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/E/� J�4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/EE� J��������R������ 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444/EG�

Page 5: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

075�

1�������)*�

����� ������ ���������� � ����� � ��� ����� � � %�� � ����� � �������� ��� ����=��� ���#�

�������� � ��� �>��� ��� ��"������ $��� � �� ������� ��� ��� ���� � � .J� � � � � ����� �

�>�� � ��� ��� ��� � �>���� � ��� 1�� ������ 1�������� ��� ��� ��� �� �>����� ������ ��� �����

����&��

2�� ��"������ � � ���� � �� �����" �"���� %B���"�� � �" ���� �

�����" �"����� � ��� C%�������� ���������� �� � � ������ � � � � �C������� � � � ���� � �

��� &�����% ������ �������������������� � �����B���� ������"�����(�� �� ��

����4����� ����������7��5���� �� 5���� ��� ������� :�'!2�b#� 07U5;� �� � �� �� ��������� �����

��������� -���������� :�')��)D� �2E1F�132#� .///;&� ����� �� ��� �� � ���������

%�"�������� ������� ��� ��� ��������%�C &�

2�� ��"������ �� � % ���� � � ����� � �� ��� #� �>�� ��� ������ �����=��� ��

� ���� ��� � %�� �� %B���" �� �������� �#� � ���� � ������ � �� � �����" �"����� � ��

��"�������� ������=���� %��� �� "����� ����������������$���� ���������� ��� ����

�� ���� � ��� ����&� 2� ������� �� �������� � ��� ���C�� � �� ������ �� $��� ���

� ���� ���� ������������������������"��������������&�

+ �� �� � ���*���������"������� � ���#������" �"������������ ����������

��#���������� ��% ��� ������� �����&��������� �����������I�������"����#�$���

�� �$����� ��� ������"�����#��� ����� ��$���� �������������B�����*�����������

�� �� �#� �� $��� �� ��� �� � ���� �������� �� �� ���=��� � �� �� � ����&� ����� ��� � ���

� �������� � � ��� �" ���� � ���� � � �������� � $��#� ������ � E� ��� :.//?;#� >� ���

� ��������� ����� ��� �C������� "�������#� �� ��� �� �����"���&�

2������������������������"������� �������(�

&� � �������� ���������������������� ���D�

%&� 3������������D�

�&� � �������� ��������� �� �� ��D�

�&� � ���������������� �����������D�

�&� 3�������� ���� �/8/D�

�&� 3�������1������ ������������� �������� D�

�&� 3��������� � �>��� �+��������D�

Page 6: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

07@�

C&� 3��������� �������+��������&�

� � ��� ��� ��� ��� ��� ���� � � ����� #� �� � �������� �� % �� � �������� �

� ��� ��� ������#� �������� � � ������ � � ����� � ���W��� � ��� ������#� �����*�� � ��

������=���M������N� ��� ���������N&��

'%��"�� � �� ������������ �� %������ �� ���� �� �� � ����� � �� �����*���� � �

� ����� ����������#�"������ ��$���X��Q�������&#�:.//5;�� ����$���������������������

�� ������������ �������������������� ��� �� ����� ��������� #����� ����������� �

���������� ��� %�������� ��� ����� �����������&��������������*�� �� ���% � �

����� �������� ����������"�������*�� �� �$�� ������ ��� ������������ �� ����������

% �� �������"������0.��06#������� ��������*�� �������� ��O������� &�1����� �� �

� ��O�� ��"��P���� �#� �����" �"�� ���� �� ���� �������������)��Q����#� ���C�������

������ 2����L#� ���� � "��� � � ������ � ����H��� �

C���(88��C&�����&���8���8O���� �&C���#����*�� ��� �� ���������� �� ���� �2���� �

)�%�� � ��� \����&� !�� ��� ��� ��� � ������#� ��� ���� � E��"� X�� ���� �#� ��%>�� ���

��� ���� ������� �C���(88��C&�����&���8���8O�����&C���&�

����� �� $��� ����� ������ � ��� � ���%��� ��� � � � ����������" � � �� � ����� �

��� ����� �� ������ ��������������$��� �� ���� ���������� ��"� #��� ��������������*�

�� ��"������ $��� ��������#� ��� $��� ��%>�� � ��� � ���*�� ��� ����� ��"������� �

�������&�

Page 7: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

07U�

/�� ���������3���������

���� % ������ � �� ��� �C���� �� � ��� � ����� � � ��(� � �� �� ����"��

�� ������ ��������� :�'���)D� �2E1F�132#� .///;� �� � �� �� ���>���� �������

%B�� � �� B � � ��� $�� �� :�'!2�b#� 07U5;&� ����� �� $��� ����� ���� �� ��� � ����

� ���%����� ������������ ��������� �� ����� ��� % � ������ ���������������� ���&�

2��� ������"������������������#�� ��������MP������� �������C������N�

>� �� ������ ��� � F�� ��� � ������ �� ���C��� ����C������� �� �����*�� � � ��"�� ��

���$���� ������ ���� ���������������� ������ ��!��� �#�$����" ���$����������>�

���� ��������������������*����:�')��)D��2E1F�132#�.///;&������ ��$��� �

�� ��������"������� � �� #� ������" �"����� �������� �������� ��������� #�� ����

�" ��������� �� ������� #�� ������ ����� �#�� ��� ����� ����" �"�� ��� �� ���� �

�������� &�

�������� �#� ������� ������ ��L�:07U5;����������>����������� %B�� ���

� B � ����$�� ��������������� � ������ ������" �"����� ������"�����#���������

���$��������$������������ ����$�� ����>%�� #����>�� #�"�%�� ������� #�� ���

%�������� �� ���� ����� ������ �� �� �C������� ������� %B�� ��������� &�

/41����#H#,#���������%�#&���&��'&#%�7�����"�#"���,#�#&��

'�� �W��� �� ��������� F�� ���� ������� � � � ��� � �� %B���" �� ��

��������#��� ������ ��>�� #���"� ���� ��M���������� �#�������������������

��� �����=��� ���������� �� "� �*� � ������ � �� ��������� �� �� ��� ����=��� ���

��������N�:,)2E13#�.///;&��

2� ��� � � ��� M����"�� �� ������ ��������N� �������� � $��$��� ��� � ���

������������B��� ���������������������������&�������� #�� �������������

:.///;�� �������$������� � � ���M����"������������������N���������K�������

�����������������������������������������#����� �� � %B���" � ������������ �

����� ����� ������&�

Page 8: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

077�

���� �����$���� ���:�')��)#��2E1F�132#�.///D�E�'3�#�.//?D��2)X23-'#�

�1��F�2#� .//6D� +)�1�2�#� 077@D� E2F�'E#� .//6;� � ���� $��� � ������ ���� �����

��� �W���� � � � ������� ��� �����*���#� �������� � �������=��� � �� � ���� �� ���

�������� � �� $������ � � � � �C������� #� ��� "�*� $��� � � � ��� ����"�� >� ��� � ���� �

� ����� �$�����" �"������������ ���*�� �� ��� � �� #��">��� �� ������������� � ��

��������� &�2�>������ #� ����� �� ��*�� ���� ������������� ������������������ �

� ���� ����������� ����� �����������������$��� ����� ������B���������� �� �� ���I� �

������� &�

2���������������"�������������������� �����>��� ���� #�� ��B�� �$�������

��� ��� �� � �� ���� � ��� ��� �������� � � %���&� ��� � � � � �� E� ��� :.//?;#� �

����������������������������������������>��(�

&� '������ � � �������#� �� ���������#� ��� ������ � %�� � $���

���� %���� %������������� �� ����� #�������������������� %�� �

$�����*��D�

%&� �������� �� ��� �� � ��� � ���� ���C ��� ���� ��� ��� ��������� ���

"�*�$��#� �����"�#� ����� ��� ��� �����%�#�� ���������*#�� � �

������� �=������ ����� ���������� �D�

�&� +������� %��"�� �� �$��� ����� ��������������������#��>��

��� � ��� � � � �� ���������� �������� ���� ��>��� �� $���� �� � ����

������������� ������" �"����� �� ��%�C &�

���� � �� ��E�� ��:.//6;#��

� ��������� ������ � ��� ��� "���� ��� � � � � ��� ��������� � �� ��%������������ ������������� ���� ����� ����� ��$��� �� � ������������������ � #� �� $��� � � ���� � ��� "���� � �� ������ � � %�� � �����*���� >�� ������������ %���*� &�:E2F�'E#�.//6#��&�0.U;&��

2� �� #� ���� $��� � �����#� ��� ���� ��� ��������#� ������ ��� ����� ���

����� #� ��� "�*� $��� ������ �� ����������� ����"����� �� � ����"�� � � � ���� � ���

� ������ � �� � ���� � � � � �C������� &� ���� ���$���� � �����* �� � ������ ���

������������������������� #�4���%�3���#�� �������� ������������������ ����#�

�>�������� ����������� ���� ���� ���� ��������������#��%�C�� ��� ���� �

�����$��� ������ �#����#������ ��������#��� ���� �������� �&�

Page 9: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.//�

� O������,���:.//5;���%>�������������"������"�������������$���� �������

�����*��������������� ���������� �K�����W���(�������� ��"�#����H����#�����������

��� ��������� �#������ �����������I�����������������"�����#�� ���� ������ �� ��#�

� � � � � �� � ����H��� � �� ������ ��� �������� #� �� � �� ��#� � � � ���� ��� %����� �� ��

�� ����� ��������������������W���&�

� O���� �� ,��� :.//5;� ���������� � ������ ��������� � � � � ��� #� $��� � �

������>������������� ������ ����� �C������� #�������% �����������������

��������D� �� � � � � ���� �� ��� #� $��� � � � � � �� � �� ���� �� ��� �#� ���� �

� ������#� ���� #� � � � ��� ��� � ��� � �C������� &� 2� ������ ��� ��������� � � ��

����� ��� ���������"#�������� �K������=���$���� ��������&�2������������ ���>�

���� ��� ���"#� �� ������� ���>�#� ���� �����*�� �� % ����� � ��� #� ���� >�

���������"���� ������������ &� �2��������������"� ����� ����� ����"�%��*� �

� ���������� ���� #�� ��������� ����������������������������� �&�

+����� :077@;� ���� $��� �� ���������#� � ����"���� ��������#� � �����

�������������������� ����� ��� #� �" �%���� #����������� ������� ������� ���� �

��� �� �� ��� �%���&� ����� ���$���� � � ��� $��� � ������ �� ��������� >� ��� ����

� �����#�� ��� ������$��� � ��� #� �>����� � �������� ���������$��� ����� ����"��� #�

���� ��$������ ������� ���������������� &��

��� ��� ������������������������� �%���� ���������#�����#������ ����

��"�#�������"�*���������������������" �"������ �C������� ��������������$���

����������>���� ��K�� ���������:E�'3�#�.//?D�+)�1�2�#�077@;&�

F �����B���� ������"������$�����������#����� ����" �����������

��������#�������� �(�

&� ��������%���#������ �#���$��� ������ ����" �"��� �� ����� ��

�������� �#����$��� ��������������"���������*��������� �������

�����������" �"��#���������� �������D�

%&� � �������� ���� ������% � ������� ���������=��#�����%�������

� ������ �����������=������ ����� ���������� �#�� ��� ����������� �

���������������&��

2�>������ #� � ������������������ ��� ��"�� � � ���� ��������� ���� "���� �

� ����� �#������� ������� %��"� ��� ���$�� ����������������� ��� ���������#�

Page 10: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

./0�

���� ���� �� �����������>��������������� ��������������=��&�

'� ��� � ��� ������ ��������� � ������ � ��� ��"������ >� � % ����� � ��� #� ��

��� ���� � � �C������� � � � ��� � � %�� �� ����� �� % �� �� � %�� ������� �� � � ��� �

����� ��#� ��� ����� ��� ���" #� � � � ���������� � �� O���� ��,��� :.//5;&�2����#�

� � ������ #� �� ������ ��"����#� ����� �� � ��� � $��� ����� $��� � �� � � � � ��� �

������� C"�� ��� � �����*� � ��� ���� ��� ��������&� ����� �� $��� � ��� � � ���� ���

��� ��� ��� ���"#� $��� �"���� $��� � ��������� B�� ��"�� ������ ��� � � �� � ����� &����

������"�����#������ ��$��� ���� �����"�B���������"����������� ���&��

/4/ ����#H#,#����� �� �#�,@&#%� F������"&���H=�&� � =�������8������ 7��� � �"�#"� ��

,#�#&��

2����� ��� ���� �� � %�� � ���>���� ������� %B�� #� �*���� ��������� ���

������� � � %�� �� �������=��� ��� %B�� � �� ������� ����� � � � ��L� :07U5;&� !��

� ����� � �������� � � ��� ������� ��� ����� ��� %B�� #� $��� � >� ���� ��������*� � ��

� ���� ��� � ����������� �� "��#� ����� ������#�$��� ����� �� �������� ����

��� �����*�� � �� �� �"�� ��� � %���&� !�� ����� ������� � ��� ��� ����� �

��"�� ��� %������#� %B���"�� ��� �"�����I��� �� %���#�"������������� �������

�������&� E����� � ��C� � :0777;#� � �������� � ��� ������� ������� ����

���� �������� �� ��� � ���� #� � ������� ������� ��� ����� ����� � ����� ��� � �#�

�������� #���������� ������������� ������ &��

M�����������"�������������#������� �� ��������*��������������� ����

���������������&N�:�'!2�b#�07U5#��&�7#������ �� ��;?U&�2������*�� ����� ����������

������� � ��$��� ������� #� �������� �"������ %���#�������� ����� ������

$��� ���� ������ � �C���� ���� � ����=��� ��� �� � �� ������=��&� ������� #� ��� � ��� � � ���

B�������� ��� ��������� ����� �#����� ����������������� ������������� ������ ���&�

� ��L�:07U5;�����$��#� �������� �"������ %���#������������ ���������

� $����� � ��� ���������� � �� �� ��� "���#� ����� � � ��� ��� $�� � �� �� #� ������� �

�������� $��� �� � � �� ������������ �����*��&� ���� �� � ������� � � � $�� �� ��

�������������������������������������������������?U� ��� >�^"�#� ��� ���"��>� ��C>���$��#� ����� �� ��� K� ��� ����� ��� ���^�� ���������� �� ���������&� :�'!2�b#�07U5#��&�7;&�

Page 11: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

./.�

��"�� ����� ������ � �� ���������� ��� � #�� ������� #����>��� #���>%�� #��� �>��� �

������� &��������$���� ��������$�� �� � ����� �M� ������ � �� �� %B�� ��������� �

����������#�������=�������� �� %B�� �#��������� ����=���� ���"����������"������

������������������ ������ �������� %B�� ������������=��&N�:�'!2�b#�07U5#��&�00#�

����� � � ��;?7&� 2� ������ ��� $�� �� ������� %��� � ����=��� ���������#� �� �

������������� �$��"������#� ��� ��� ���� � � %���#� �������� � � �� � ��� �������� ��

�>������$����� ���������C������������ ���� &�

��� ��L�:07U5;������� �� ������ �C������� ��������� ����>���*���������*�

������������ ����#������������������������� ���� �������� %���&�������� #�

"���� ������������ �����#� ��� ��� ��� ��#� �� $��� � ��� � � ��� "�"����� ���

������� �������$��������"������� #���� ��������������� � � �������$��#���� ���

��� ��%���������� ����� �#�� ��� ����� %�����$����� ���������� ���������������

� ��� ����� ������������������� �� ��$�� �&�

� ��L� :07U5;�����$��#���� �������������� ���������#� ��%���� ������� �K��

�������#� $��� ������� ��� �������� � ��������� ��� � �� %B�� �� � ��� �������#�

��"�� �� ������������������� �� �������>����������� %B�� #����>�������� �� " ���

�B � ����$�� �&�

2������������>����������� %B�� ��� (�

&� '� ���� (� �� � ����� �� �������� �� $��� �� ��� �� B�� ���� �� � �����*� �� � � �

������������ �"�#� ���� ��������#������ �� %���&�

%&� 2����$����� �� " � ���� ��� (� � ��$��� � �� ��� ���� � � �������� �� �"��

� �������������$����=���� � ����� �� ������ ��� ����� �&�������"�*��#��*�

������������������������$�� �#��������� ����I"����� ����� �&�

�&� 2� ���������� � �� ��������� ���*�� � � ��(� �� ������� �� $��� ��"��� �����

��� ��������������� �� ���#�� #������� ��� ����� ����� �&�F����

���� � ������ ���� ������������ �� ����"#����� ����=�������"���������

��������� ���*�� �� ��&�

�&� 2� ��������� ���*�� ��� ������ � ��� %B�� (� ������ � ���� #� � � ���� � ���=�� �

� " #��������� � �� ���I� ����� �� ���*�#�� ���������=��#� �� ������

�������������������������������������������������?7���� ���$�R������������ ������>����� %B�����R����%��C��������C>���$���#��������� ������������ %B���#��������� � ����� ��� >"������������� ��"����� ��� ���� ������ �������� �� ��>��� K� ���� %B���� ��� ���� ���� ��&�:�'!2�b#�07U5#��&�00;�

Page 12: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

./?�

��� ����=��&�

�&� 2� ������*�� � �� ���"�������� (� � � ���� � ������� �� ��� �� � " ��

� %����� $��� ������� � �� � ����� �� ������������ ��������� ���*��&� 2����

������� ���� �� �� �������� � ������ �%���� � �C���� �#� �� ��� �� �� % ���

� ��� �����=��������" �� �����$������������"�����*�� ���������� �����

��� ����� %����&�

�&� � ����������� � �� ���� �� � " � � %���(� ��� � %���� ���� � ����� � >�

� � �� � ����� �#�������� �� ����������������� �������" �"�������� � �� ��

���� "��$�����=��&�

� ��L� :07U5;� ������� B � �� ��� $�� �� � � � ������� ��� $�� �� :��>%�� #�

�� �>��� #����>��� #������ ;�� " ������� �� ���� #��������� �$��� ���� ��" ������

�����������$���&������� �������� ������"���������������(���������������������� D�

� ��� �����������������D����C ����� ��� ����������� ���� �� �� �C������� &�

F����������������������������� #� ����� ���������#�� ��� �����������#�

������ " �$�� ����� %����� ���� #����%������� �� ��� �������������$�� ��

���������&�� ���� � ��� ��� �����������������#�� �*=������������� ��� �����

���� �C������� �� ����� �&����������� �����������$��� %� ����� �"���=���� ����� �&�

!���� �$���� ������$����%� ���%����� ����� ��>��� ������� ������ ��$�� ���#�K��

"�*��#�������*�� �������$�� ������������������� &�'� �#���������#�������C ��

���� ��� ������������� ��$�� ���� �� ���� �� ������ �C������� &�

!����*� �������"������� � ���#��>��� ��$�� ����>%�� �������� #���%>�� ��

$�� �� ���>�� � �� ��� ��������� ����&� 2� ��������� � � � $�� � ���>�� � � ����

� ���%��� �� $��� �� ��� �� � �������� � � ����� � ��� "�*��C��#� ��� ����� �� �

�����" �"����� ���� �� ���� ������&�'��� ��� �������������#� � � �� � � ��$�� ��

����� �� �� ��>%�� �#� >� �������"� ���������������"�����#�$��� �� ������ � ����� ��

$���B������$����������� ���&�

Page 13: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

./9�

6������� ���������

2 � ����� ����� ��"�����#� ������ �� �� � ���� ��� $��� � ����� �����

�������������������� ��� %�� ������ �� ��� � �� �#������C���� ���������� ���&�

�������� � � ������ �� � �>���� ����#� �� ����� �� $��� �� ��"������ ��"��

���� ���� ���� ��� ��������� ���*�� #� �� ���>���� ������� %B�� � :�'!2�b#� 07U5;#�

��� ���$��� ����� ��������������"�����&������� �������� ������ � %B���" ������������

$����=��� ��������#� ��� �� �I"���� $��� ������ �� � ����� � ������ ��� %B�� � �� ��

����� �������" �"�� �������"�����&���

2�� �����=����� ������" �"����� ������"�������� ������������������C����

��� ��"����&� ����� �� �����=��� ��� � ������� ���� � � ����� � ��� � ���%��� � �� �

�%�C �� �� ���� &�

Page 14: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

./6�

641&#?#����1

&#?#����1�

0&� F������������������$���" �����$���� �#� ���� �M������N�� ����� ������"�*G��:�����;�E��� � � � � � :�����;�F� �.&� ����� ������" #������$��� ���� � � ���� �M������N�� ����� &�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�?&� ����� ������" #����$��������� ��������������" ���������%�� ���� �M������N������� �

��� G��:����;�� ����=���:����;���� � �����:����;��������� �� ��I�� � �:����;��������� �� ��I�� ���:����;�+���� �:����;�4����" ��������� � ���� �� ��:����;�'�� �� ���I� ��������� &�V��G��rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�9&� F���������������������>������$���" �����$���� �#� ���� �M������N�� ����� ������"�*G��:�����;�E��� � � � � � :�����;�F� ������ ������" #������$��� ���� � � ���� ��������� �M������N�� ����� G�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�6&� ���� � �� ������� �C������� #� �$�����������#������������#� ���� �M������NG������$���

� ��������"�&�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�+ ���(���% � ������� �

Page 15: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

./5�

F�E�E�'������ /��������������������E�

��#�"&� L��7�����&#?#����1

���7���&#���� 0/��06������ ��

�H=�&#?� X������ ��� �� ��� �� ���� ����� � �C������� � � %�� � ��� � ����������� �� �K����������������������� ������ ��� ����� �� �� ����#�����$���� ������ ���� �� ��� ���I� �&�

�#7���&��H�,>� 1���"����&�

��%�������"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L��

2�� �������� ����� ��� �� ���������� � ����"�� ��� �������� � %�� ������ ��������#��" ����� #������� �#��������� �� ��� ��������� �����������������&�

E�� �� ��� �� B�� ������� � ����=��� �� �>����#� �������� $��� ���������������� ���� ���� ��������� �� ����������� ��� ����� �������� � ����� � �� �>���#� $��� � � �I�� � ��� ��� �� ������ ��������� &�'������ ���� � ������ ������� � #����"�*�$�������������=������ � �>����� � ���� ��� ������ � � ����� � ������#� ��� � �� � ����� �� ��� "������� �� C �* ����� � � ��% � � ��� ����� ����� �&���%>�� ���I�� �� ��� ���� � ����� ���� ��� ��� �������� �� ����� ���">��� �� ����� �������������&��������� �#��� �� ������������ ��������� ���� ��*��� � � ����� � ��� ����=��� �� �� ��� �� " ����� � �� � � ���� �� �#���� ���� ����� �������&�

+ ���(���% � ������� �

Page 16: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

./@�

64/&#?#����/

��

&#?#����/

0&� 2������ �� : ; . 0� �� : : �>���������� ��������� ����#���� ��������� �$���B��� ������������� �����&��

������� �"� �����::;���"� ������:�l�/�����:�l�.&��$��� ��� �� ��� ���� ������� �%�� &�

������� ���� �� ��������������$���>����������� �������������� � : ; . 0� �� : : &������������

� ���� ������� (�

�0&/ �/&6 /&6 0&/ 0&6 .&/ .&6 ?&/ ?&6 9&/

/&6

0&/

0&6

.&/

.&6

?&/

?&6

9&/

9&6

6&/

L

.&� 2� #�� ���������%��(�

G� � � � � � � � �

: ; . 0� �� : : � .#6� .#U� .#7� .#76� ?#/6� ?#0� ?#.� ?#6�

?&� 2��������%�����$����� �.&�� ��� ����*��$��(�

&� .#6�Y���::;�Y�?#6�������$����rrrrrY�:�Y�rrrrrr��%&� .#U�Y���::;�Y�?#.�������$����rrrrrY�:�Y�rrrrrr���&� .#7�Y���::;�Y�?#0�������$����rrrrrY�:�Y�rrrrrr���&� .#76�Y���::;�Y�?#/6�������$����rrrrrY�:�Y�rrrrrr��2����#���*�� ��$��(�

: ; . 0� �� : : �� ������� �� ������ �� �"� �rrrrrr�$��� ����$���#�������$���:� ��$�������������������

����� ����:�l�rrrrrrr&�

+ ���(���% � ������� �

F�E���'������ /����������������������

Page 17: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

./U�

��#�"&� L��7�����&#?#����/

���7���&#���� ./������ ��

�H=�&#?� 1�� ��*����������� ������������&�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%������

�"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L��

� ������� � � �� �� ��� � ��L� :07U5;#� ���� ��"����� ��� ��$��� ��

���� :;� �� �� �� �� ���>���� ������� %B�� #� ��� $��� �� � ����� ��

�������� ��� %�������� �� ��� �������0J������"��������������

�� ��� ��*�� � � ����� � ��� "�*��C��� ��� ��� � �� &� !����*����� ��

$�� ������� ��� ���>%�� ������ &�

�$� " � �� � � � ������ "� ��� ��� �� ���� $��� �:�;�l� /� �� �:�;� l� .� �� �

����� �#� ��"�*� � � � � � ��� ��������� � �� $����� � ��

���� �C������� � � � ����� � ����� � � ��� ���� ��� ����� � ��&� 2�

���� � ��� � �� � �� �#� � � ������ � � �� ���������� �� � � � �

������ � ��� ������� �� �� "� ��� ���� �� �� �#� � ���� ��"� � ���

��% � ��� �� ������ ���$����� ���������&��

F��������$����� � ���� #��������������������� #���"�������� �

"� � ��� �&� � �� � � ������ � ������� "� ��� � ���� ��� � ���� �� ����

%��"�� � � � ��% � � ����� � � � ���� �� � 0� �� ���� ������� � �

� �� ����� �� ��"� �����������%��&�

2� ������$����� ���������$��� ����� �� ����� �������� ��������� �

� �� "� ��� ������ �� �� �%��� �� $����� � ���� &� 2����#� � �� � ��

������ ����.Z�$����� � ��� ��������������%���� ��������*���� ��

��������$����� &���������$��� ����� ��� �������������� �"� �

� ��������������� �$��� ��������� �"� �0#��">���� %��"�� �� ��

"� ��������� �����$����=������?&;��?&�;&�

+ ���(���% � ������� &��

Page 18: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

./7�

646&#?#����6

��

&#?#����6

0&� X� ������%#�� #������� �$������� .: ; � � �� : �: �: � &�'������ ������������ �$�������

������% �� �%�� (�

�&� V���>� �"� �� ��������� �������� �� �� ���� �',G�

��

%&� �������� *������G������ ������" #�$���������"� ��G���

�&� � �� �� "� ��� %��� �� ��� ;� �� ��� %;� >� � �� "��� �������� � ����� � $������&������������%�������������� ���% ������� �����&�

�.&� �������� ��������&���$����� ����� #���� �������������%��(�G� 0#0� 0#.� 0#9� 0#96� 0#66� 0#5� 0#U� 0#7�)::;� ��/#/7�� ��/#05� ��/#.9� ��/#.9@6� ��/#.9@6� ��/#.9� ��/#05� ��/#/7�

� ������(�

Page 19: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.0/�

� ������: ; rrrrrrrrrr������ : �$��� �

� ������0#6�����: �

���������� �������������������������� � ��

0#6��� : ; rrrrr�

�:

� : �

?&� 2������ � ������ #�� ������(�

&�/

��� : ; rrrrr�

�:

� : �

%&�0

��� : ; rrrrr�

�:

� : �

�&�.

��� : ; rrrrr�

�:

� : �

�+ ���(���% � ������� �

�F�F�E�'������ /��������������������F�

��

��#�"&� L��7�����&#?#����6

���7���&#���� ./������ ��

�H=�&#?� ���� ���� ����� �� ��� ���� ��� ������ ���#� ����� � ����� ������ �� � � ����� � ��� "�*��C��#� ��� ��*��� � � ��������� �������������������������������������� #�$��� ��������������"� ��������� &�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%� F� ���������&�

��&����H���?� L��

'�� � �� � ����� �� ��� $����=��� 0&;� �� 0&%;#� ��� � �� �#� ���"�#�� �����#� ��� � �� � ��������� � %�� �� ��������=��� �� ����� � � �� ����� �� �#� � � ��� #� �������� $��� ����� $����=��� �� � ���������� %����� �� ���������&� \�� � $����� � 0&�;� � ��� ������� � �� ��������� ��� ���������� �� ��� ������������� ����� #� �$���� ������� "������ � ���������� ���� �� ��� ��� � ������ ���%����������� $����=��� ���� ��#� �� ��� � ��% � � � � ����� #� ���%������� #�����#����� ��� ������������ ��$�� ������� �����>%�� &����.Z�$����� #����"� ���� �� ������$����� #��������� #�>� �"� � ��� �� /#.9@6� $��� ����� ��� �������� �� �%��� � � ���� ���������������� ����� � ������"������$���������� �� ������� �">������������ �$������&�2�?Z�$����� ��� �� �� ����� ����������� ��� ��*�� ���$����� �.&�'����� �� � ���� ������ �� "� ��� � �� �������� ��� � ���%��������$��� ����� %��"�� �� ���% � �� ������ ��� ����� &���� � �� ���#�� � �� � ��� ����=��� � ��� ����#� ��� : ; : ;

: �� : � �

�� #� �� ����������

� ���#� ���� � ���� ���� ���������� � ����������� � � ����� � ���������� ��� ��� ����� � � �� ��#� � ����� ��� ���� � ���� � ����$����� #� ������� � � � ������� ��� ����=��� � �� ���� � � � �������������� ���&�

+ ���(���% � ������� �

Page 20: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.00�

64E&#?#����E

&#?#����E

�������� �����������

E�B��������� ���������������������"� �%�� ����� � �������"� ��&�F� ���������������

����� � �� ����� �������� ���&� E�� � "� � �� ����� � �� ���� %��������� ����� � ��� ��� "� �<#�

� ��� � "� ��� ��� :� ���������������� ����� �� ��� �� :"� ��� ��� :� ����������� ��� ��� $��� �� ��

"� ������:�������������� ���$����;#����� ���*�� ��$��������� ���������������<�$��� �:��������

�&�������������#�� ��� ������"��

��� : ;: �

� : <�

� �

� � ��� ������������� ���������� ��� : ;: �

� : <�

� �� � �M�,#�#&���F�" !��8��"���

&�"��7���@ 4N

2� #�"� ������� ������� ���������=�������������������%�� (�

0&� V���������������������������=��������������������������G�

.&� � ��������*�#������������������#�$��� ��� : ;: �

� : <�

� G������$���� ��������"�&�

+ ���(���% � ������� �

���������3�����������$��� �:����������

:�

3���

��

,�

'� :�

3���

��

,�

'�

������3�����������$��� �:����������

Page 21: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.0.�

F�I�E�'������ /��������������������I�

��#�"&� L��7�����&#?#����E

���7���&#���� 06������ ��

�H=�&#?� 1�� ��*�� � �������� � ��� ��� ��� ������#� �������� � ��� ���� � ������������������� �������� ����� &�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L��

�������#����������$����� #�$��� ���� � %��"���������������� �� � � �� �� ��� ���� ����=��#� ���������� � ���� �� � �� � ��� ����������������� ��������������� ����������� �� � �� &��

2����������������������� �����"� ���� ��$����� �������������� �������� �� � ����� � �� $��� � �� ������ � #� ��� "�*� $��� �� ��"��������� ���% �"������=��������������� �� ������ � � � � ����"� ���� �#� � ��� #� ��� : ; : ;

: �� : � �

�� &� �� ��� ���� � �������� � .Z�

$����� #� � ��� � ��"� ��� �#� ������������#� � �������� $��#� �� �������������� ������������� ����� � ������� �� #� �� �������������� ������ ���������������������������� �� &�

+ ���(���% � ������� �

Page 22: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.0?�

64G&#?#����G

&#?#����G

X ����B���%��� �$��������������*�� ��� : ;: �

� : <�

� &�2������� �#�� #� �$����� ������������������

�������� �������"��"������:&�

���� ��� � ��� : ;: �

� : <��

� #���*�� ��$��� � ,#�#&� ,�&���,��8�������� ����� � � �::;�>�<�$��� �:�

����������� �"� ������:���� ���$����#���� �>#�"� ������:�K���$����������������&�

���� ����� �#�� ������(��

���� ��� � ��� : ;: �

� : <��

� #���*�� ��$����rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

��% ��� ������� ���������=�������� �$����������(�

. 0# ���� 0: ;

9# ���� 0

: :� :

: :

� ��� �

� � ���

. # ���� 0: ;

?# ���� 0

: :� :

:

� �� �

���

�9 �? �. �0 0 . ? 9 6

�6

�9

�?

�.

�0

0

.

?

9

:

,

�9 �? �. �0 0 . ? 9 6

�6

�9

�?

�.

�0

0

.

?

9

:

,

��������

0��� : ;

:

� :��

� � 0��� : ;

:

� :��

� �

'�$���� ��� ����*��� %�� �� �������� ���������

�::;�$��� �:��������0G�\������$��&�

�+ ���(���% � ������� �

Page 23: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.09�

F�J�E�'������ /��������������������J�

��#�"&� L��7�����&#?#����G

���7���&#���� ./������ ��

�H=�&#?� 2������� �� ����� ����������������������������� ����"��"�����&�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L��

2� ���� ������ � �C������� �� ���� ��� � �� ��� �� � %�� ����=���� ��� ����� ��� ����� � ��#� ��� ������ � ��� �� ��� ����� � � ������� ������� %������=������������� ������������������&�� ��� ���� �� ���% � �� ������� ��� ������"����� ������� ������ ��"� ���� ���������������&�'�� ��� �$���� ��� ��� ����� ������� ����>��� ��� ���������� �������� ��$�� ����>%�� �������� &�

'�� � ����C�� ��� ����#� ����� ��"����#� >� � �� � ��� $��� � ����� � ��������� �������� ������ ���������� � �� �� ������� � � 0&� �� �� ��� �#�� ��������B���������"������ �� ���������� %���#����"�*�$��� �������������� � ���� � � ����� �#� ��� ���� �� ���������������� ����������#� � ������ ���� ������ ���� ���� �����*�� ���� �� ��������������&�

����� ��$������� �$��� ���� ��� �� ���������������� ������������������$��� ���������� �������"��� ����������������� ���������������� ����� #� ������������� � � �� ��� � ���� � ������� &� ���� �$������ � � #�����$����� �� �����"� ��������������� ������ �� ����� �� �����������������&��

+ ���(���% � ������� �

Page 24: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.06�

64I&#?#����I

&#?#����I

'%��"�� ������� ������� �$�����������

0&�0 . ? 9 6

0

.

?

9

6

:

,

.&�

�9 �? �. �0 0 . ? 9 6

�6

�9

�?

�.

�0

0

.

?

9

:

,

9��� : ;

:

� :��

� �9

��� : ;:

� :��

� �9

��� : ;:

� :�

� � �������.

��� : ;:

� :�

G�\������$��&�

��������:.;&�'�$���" ��� %��"G�

��

?&�

�0&6 �0&/ �/&6 /&6 0&/ 0&6 .&/

�.&/

�0&6

�0&/

�/&6

/&6

0&/

0&6

:

,

��

9&�

�? �. �0 0 . ? 9

�0

0

.

?

9

6

:

,

�������� ��������������������::;�$��� �:��������/���

"����������������/

��� : ;:

� :�

&�

V��� �"� �����:/;G�

X����$�������������0

��� : ;:

� :�

&�\������$��&�

V��� �"� ���������:�l�0G�

Page 25: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.05�

�9 �? �. �0 0 . ? 9 6

�6

�9

�?

�.

�0

0

.

?

9

:

,

6&�

�. �0 0 . ?

�?

�.

�0

0

.

:

,

��

5&�

�. �0 0 . ?

�?

�.

�0

0

.

:

,

� ������(�

0��� : ;:

� :�

l�

�:0;�l�

'�$���" ��� %��"G�

� ������(�

0��� : ;:

� :�

l�

�:0;�l�

'�$���" ��� %��"G�

@&� 2������ ��������� ����� �� �6�>������������:�l�0#�� ���0

��� : ;:

� :�

l��:0;&�

2������ ��������� ����� �� �5�>��������������:�l�0&������$���� $��&�

E�B��(�2���,#���*�� ��$��������� ���>��������������� � ���������� ��$��� ��� : ; : ;: �

� : � ��

� �

U&� )��������������������������� ���$���������� ������ ����=����������%�� (�

0��� : ;

:

� :��

l0

��� : ;:

� :��

?��� : ;

:

� :��

l?

��� : ;:

� :��

F� ��������.

��� : ;:

� :�

/��� : ; 0:

� :�

� ����:/;�l�.�

�:�0;�l�/��������� �>�� �� ���������� �� ���::;����� ��%��������������$��� �

:����������������������

+ ���(���% � ������� �

Page 26: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.0@�

F�D�E�'������ /��������������������D�

��#�"&� L��7�����&#?#����I

���7���&#���� .6������ ��

�H=�&#?� +��� �� ����� ���� �������� �������� ��� ��*���$����� ���� �����������������=��#��">����������������% � ���������� �������������������=��&��

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L��

F�� ���� ������� $����=��#� ������� $�� ��� : ; : ;: �

� : � ��

� &� !��

��������� � ��� ���� ����% � ��� ��� ��"�� ��� ���������� ���������&�

2� ����� � �������� � � ���� �� � ?� ������� ��� ���� ���������� ������ #����$��� ��� : ; : ;

: �

� : � ���

� &�!��� ������ �������$����� �>�

$��� � ��� #� � � ��� �%�C� � ���� ������ � �� ����=��� � ��� ����#�� �����$��#���$��$�������� #� ��� : ; : ;

: �� : � �

�� &�

'� ����� � � � ���� �� � 9� ������� ��� ����� � ��� $��� �� "� ��� � ���������� ������ �� � ���������� ����� ��� �� ���������� � � "� � �� ����� � � �� �� ���l�0&�!����������� ���� ���� �� ����� ������������ �����"����� ���� ���#� ���� � � � � ����� � �� ���������� � � ������� � �� ��������� ��0#����� ������"� � �����:0;&�

'����� �� �@�����$��������� ���% ���� ����� �� �6�>�� �� ��#����"�*�$���

0��� : ; :0;:

� : ��

� #� ������� �$���� ����� �� ����� �� �5��� �>�

� �� ��#�����������B���������"��������� &�E� �������� � �� ��������� ���� $��� ����$���� $�� ��� : ; : ;

: �� : � �

� #� �����*�� � � $�� �

��>%�� � ������������������&�

2� UZ� $����� � � ������ �� ��� �� $��� ���������� ��� ����� � $��$��#�������� � �� ���� �����&� ���� $����� � ��" �"�� � ��������� � ������� ��� ����� ������������������������� ���������������������������� �� #�%��� � � � � ����� ��� � ���������� ��� ����� &� '�� � � �� � � � �� � >� ���� ���� ���� �� ���������� �������� &���

+ ���(���% � ������� �

Page 27: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.0U�

64C&#?#����C

&#?#����C�

������� �#��������"����#�������� ��������������������������=������"��"�����&������ #�

� ������� 0��� : ;: �

� : <�

� #� .��� : ;: �

� : <�

� ���L���1)&�'%��"����� ������� ������ �����%�� (�

0&� � � 0 .��� : ; : ; ��� : ; ��� : ;: � : � : �

� : � : � : � : < <� � �

� � � � � �

'����������������4�������������������&�

.&� � � 0 .��� : ; : ; ��� : ; ��� : ;: � : � : �

� : � : � : � : < <� � �

� � � � � �

������������'������������������ ���4��

�?&� �

'������������������4�����������������������

9&� � � 0��� : ; ��� : ;: � : �

L� : L � : L<� �

� � �

��

6&� ���

'� ������� ��� ��������� 4� �� ��������� ���� �������"� ������ ��� �� ������� ���

��������������5��������������� �����

5&� � � 0��� : ; ��� : ;�

� �

: � : �� : � : <

� �

� �� �� �� �#� ������� �

@&� 0��� : ; ��� : ;� ��: � : �

� : � : <� �

� � #� ������� �:E����� ��#����� �30���/;&�

'�������������� ���4�����4���� ���4����������������;�����������"����#��<E���M��

�+ ���(���% � ������� �

Page 28: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.07�

F�K�E�'������ /��������������������K�

��#�"&� L��7�����&#?#����C

���7���&#���� 06������ ��

�H=�&#?� 1�� ��*��������� ��������������������������=������"��"�����&�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L��

F������"����#�������� ��������� ������������ ���������#� ������������� ��>%��� �� $��� �� ��� �� �����"�� �� � �������������#� �� ����� I����� �� ����� �������� �����*�� � � �% � ���������� �&� � �� ������ ������=��� � ���� ��� ��"�� � � ���� �� ���� � ��� ��������� 8��� ������� � �� ��������� ���%�����������#��"�������� ����� ��� ���������� �������� ��$�� �����������������%�����������������������&�

2� ������ ��������� >� � � � � �� ��"����#� �������"�� ���� � �� � �����% � ���������������� ���� �� ����������������&�

+ ���(���% � ������� �

Page 29: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

../�

645&#?#����5

&#?#����5�

0&� ��% ��� ������ �������� ��::;�l�:�� ���� ������� �%�� &�

�9 �? �. �0 0 . ? 9 6

�6

�9

�?

�.

�0

0

.

?

9

:

,

��������� �>�� �� �����$��$���"� �������:G�'�$���� ��� ����*�#����� #�� %�� � ���: �

:�

G�

\������$��&�

.&� ��������� ��"� ���� ����������%�� #�������� �$����� ��������"���������"�����@�

� �������*������� ���� &��

&� ?

.���:

:�

� �

%&�.6

���:

:�

� �

�&� 0

?���:

:�

�� �

�&� � � �.

?��� ? .:

: :�

� � � ��

�&� � � � �.

0��� . . 9:

: : :�

� � � � ��

�&� � �..

��� 0:

:��

� � ��

�&� � � � �?

��� 0 .�

� � �� �� �:

: : �

Page 30: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

..0�

+ ���(���% � ������� �

?&� '�������� �� %��� ��� ������ �� ��.&�;���.&�;��� ������&�X ���� �����%��$�����������������

�� ������#����������� �������� �G�\������$��&�

9&� E�B��::;�l�:���0����::;�l�:.���0&���������

&� � �..

��� : ;:

� :��

� ��

%&�0

: ;���

: ;���

:

� :

� :��

�&� �������0

: ;���

: ;:

� :

� :��G�\������$��&��

�&� '�$���� ������$��� ������� ��0

: ;���

: ;:

� :

� :�G��

Page 31: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

...�

F�N�E�'������ /��������������������N�

��#�"&� L��7�����&#?#����5

���7���&#���� ?/������ ��

�H=�&#?� +������ ������������������&�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L��

'� 0J� ���� �� � ��"� � ��� � � $����� �� � � ���������� �� ����� ������������� �"� ���� ���

: �:

�#��%�C�� � �$�� ������ ��� ���>%�� &�

'����� �� ���������B���������"������ ���� ���� #� �������"�� � �K������� ��������&� �������� $��� � ��������� %��"�� $��#� �� ��������� #� ��� #

: �: � �

�� � �� &� ���� ��� ��� �� �� � �������� ��� ��������

���������� �� 2��"����� @� � ��������� �� �������� �� � ������ � � ��������������� ��� �� �� ������ �� �&�

������� �� ��� ���=��� ��>%���� � ���� ���� �� "� ��� ������ � ������������$����� �.#�%���� � � ������ ���� �� ����� ��������� ���������&�

'����� �� �?���� ��$��� ��"� ���� �������������$����=���.&����.&���� ������� �� ����� �� ��� �� ��� B���������"#� � "������ %B���"�� � ������" �"����� � �� ������ ��������&� !�� ��� ��� ������ >� $��� �� ��� �� ���� ���������� ����$����� �.&��>������� ���$����� �.&�&��

2�9Z� ���� ��� ��*�� ���$����� ����� �� ��� �������� � ������������������ � �� ��� $��� � � ��� ���� � ������ � *� � �� �������� ��� $��� ������� � � � ��%�������� � ��"�� K� ����������� � /8/&� �������� $��� ��� �� � �� ��� �� ��� ��� $��� ����� �������� �� � �������� �� $��� �� ����������� �#� ��� � ��� ���� � ������� ����� �� � ��� ������� �������������� ������� ���������������������� �&�

+ ���(���% � ������� �

Page 32: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

..?�

64:&#?#����:

&#?#����:

0&� '%��"�� ���% � �������� ��::;�%�� ������������ �$����������(�

�U �@ �5 �6 �9 �? �. �0 0 . ? 9 6 5 @ U 7

�6

�9

�?

�.

�0

0

.

?

9

:

,

&� U��� : ;

:� :

�� �

%&�0

��� : ;:

� :��

�&�/

��� : ;:

� :�

�&�0

��� : ;��:

� : �

�&�0

��� : ;��:

� : �

�&�0

��� : ;:

� :�

�&�.

��� : ;:

� :�

C&�9

��� : ;��:

� : �

�&�9

��� : ;��:

� : �

.&� �� � ����� � ��% ��� ���� �����#� ��������$��� � �� �� ���� ������� ���� ���������&�

\������$��������� ��&�

Page 33: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

..9�

?&� ��������� �"� ��������$��������� ��������������� �. # ���� 0

: ;0# ���� 0

: :� :

�: :

�� �� �

� ����$��� �:�

��������0&�

9&� ��������� �"� ��������$���� ����� �. 6# ���� .

: ;# ���� .

: :� :

� :

� � ��� �

� ��� ��B�� �� ������:�

��������.&�

6&� ������� ����������%�� #�������� ���� �������������*��(�

&� � �? .

.��� . 0:

: : :�

� � � � �

%&�/

0���

. ?:

:

:�

��

��

�&� � �?0

��� ?:

:�

� � �

�&�9 .

6��� 7

::

��� � �

�&�0

0���

?: :��

��

�&�0/

��� .:��

� �

5&� ������� �� �����������. � 9 n 9

: ; l� .

: :� :

:������ : ; l .�� : : �$��� �:� �������.&�'�$���

" ��� %��"G��\������$��&��

�����+ ���(���% � ������� �

Page 34: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

..6�

F�O�E�'������ /��������������������O�

��#�"&� L��7�����&#?#����:

���7���&#���� ?/������ ��

�H=�&#?� )�� �� ��� ����� �����������#��� ���������#��������������#������������������������ ������������������������� ������ �����&�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L��

2�������$����� ���" �"��������������������������� ����� �$���� ������ ������ ��� ���� � ������� ��������� � ��� ���� ���% � �� ������ �������� � ����������� ����� �� ����� ����������&�

2��������$����� �� �=��$��� ����� ����������� %���� ����������������� � ��% ��� � � ���� �� � ���� #� �������� � � ������ ��������&���������$��� ����� ����������$���� ������"� �������� ���������� �>����� �� ��#� �� � $��� �� � ������� ������� �� ����� �� � � �� � �� � $��#������������������ �������#� �"� �������������� �"� �������� �� �� �� &�

2� ������$����� ������ ������� ������ ��� $��� ������ � ��������� ����� �������������� �"� �����#� ����� ��������� � �� �C������� �� %�� �����>� ��������������� ��������������� #&��

2� $����� � 9� � ������ � ��������� ��� "� � �� �� ��� $��� � ����� ���������� ����� �� �������l���.&�

2�6Z�$����� ������ � %B���" ��� �� ��� ����� ��������� ���������&�2� ��%�������� � �������� � �� "� ��� ��� �� �� �� ������ �� � �� ����������%>�� ��"� � ������ ��� �� �&�E ��������#� � ������ #� $��� �� ��� ������$����� ������ �������������*���� ������� �������������&�

2�I�����$����� �� ���*���������������� �� ���� �/8/&���������$��� �� ��� �� %��$���� ����>���� ��� � ���� � �� $��#� ��"�*#� �">�� ������������� � � � ������� �� ����� � �� ���� �� �� � �C������ � ���� ��������������� ��#�$��� ����������.&�

+ ���(���% � ������� �

Page 35: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

..5�

6410&#?#����10

&#?#����10

0&� � ������������� �. 9

: ;.

:� :

:

��

�#���B ���% � �>�� ����� �%�� ������ �$����������(�

�9 �? �. �0 0 . ? 9 6

�6

�9

�?

�.

�0

0

.

?

9

:

,

;� ��������$��� ������ � �� &�

%;� '%��"�� � ������ #����������.

.

9���

.:

:

:�

! "�# $# $�% &

&�

�;� ���������������������� ������ �������� ������������ ��::;�l�:�n�.G�\������$��&�

�;� �������.

��� : ;:

� :�

&� � ���� � �� � ������� %��� � �� $����� � %;&� '� $��� " ���

%��"G�\������$��&�

Page 36: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

..@�

.&� E�B������� � .: ; . 0� : : :� � � &�

;� ��������� �������*� �&�

%;� 3��%�� �$���>�� �� "�������"�� .0 .: ; : ;: ;� : �: �: � � : : : :� � � � � � #� ����:0���:.�

�� � ��*� ��������� #�����"���::;���� ���� �&�

�;� �������.

0

. 0���

0:

: :

:��

� ��

&�

?&� E�B������� �. . 0

: ;0

: :� :

:

� ��

�&��

;� ��������$��� ������ � �� &�

%;� � � �" ���� ����������.

0

. 0���

0:

: :

:�

� ��

G�

9&� E�B�.

.: ;

?

:� :

: :�

�&�� � �� ������������

./

.���

?:

:

: :� �G�

6&� �������� .: ;� : :� #���������� �$����������(�

E�B�: ; : ;

: ;� : � � :

� :�

� �� &�������� �"� ����

/��� : ;�

� :�

&�

'�������������� ���$����� ����� �>�������������������$������%�� �� ���������"����

����� � � � � �� � :#� ��� ��� � � �� 3::;&� � ��� �#� ���� #� ������������#� ������� �� 3::;#�

���� #�� � : ;� :3 � �

�����+ ���(���% � ������� �

Page 37: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

..U�

F�EM�E�'������ /��������������������EM�

��#�"&� L��7�����&#?#����10

���� ������� � ?/������ ��

'%B���" � 1�� ��*�� �������� ��B � ������ � � � ��%�������� � � ���*��� K������������ �� ���� �/8/&�

��� �����%�C � �������&�

)���� ����1�� ������ F� ���������&�

'���� %��"�=���

V��$���"� �� ���������������� ���$����� �0&%#�������������9#�� ����"�������$��� ����� �������� �� ��������� �� ����� ���� ������&��� ����������0&����������$��� ������������� ����������� ��$��� � ������� �� ����� � �� � ��� ��� ������ � ��� � ������� �� ����� � �#� � �� ��������� ��.&�

F�.Z�$����� #����������� ���� ���� ��*� ��������� ���� �����"�������� �� ��� �� �� � � "� � � � ������#� %��� � � � ��� ���� ����� � ������������ ��������:��"��� �� �*� ;&�

�������#� �� ?Z� �� �� 9Z� $����� #� $��� �� ��� �� � ������ ���������� ������=����� �����#����� #��������� ���������&�

F� 6Z� $����� #� ��� ����������� $��� � ��� ����� >� � ��������� � ��

��������� ��������� �� ������: ; : ;

: ;� : � � :

� :�

� �� #�

� ������� � � � "��� ��� %���� � ������ &� '�� � � �� � ��� ����� >� ���������� �$��� ����� ��� ����� ������� �� " �� ����� �$������������ � ������� � �� � ���"�� � � � �� � �&� �������� $��� �� ��� ����� ���������"��������� ���������� �� ������������% � �����������&�

+ ���(���% � ������� �

Page 38: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

..7�

6411&#?#����11

&#?#����11

2�� ������� ��� �� �� � ��������� � ������ � ���� ��� �����*��� �� � ������ �� �� �������� ���

����=����� ���&�

� �� �. .� � � � � �� � � � � � �.. ..� �� � � �' � � ' �

� � � �? ? . .� � � � � �� �� � � � � � � �� �? ? . .� � � � � �� �� � � � � �

.0 .: ;: ;�: �: � � : : : :� � � � � � : ;�� �� � � �� � � �

0&� ���������������������������� ����������%�� (�

.&����������� ��::;�l��:�n��#� ������������1)#�������: ; : ;

���: �

� : � �

: ��

��

&�

��

;�.

/���:

: :

:�

�� %;�

.

0

0���

0:

:

:�

��

�;�.

.

.���

.:

: :

:�

� ��

� �;�� �.

/

. 9���:

:

:�

� ��

�;�.?

?���

7:

:

:�

�� �;�

?

.0

0���

0:

:

:��

��

+ ���(���% � ������� �

Page 39: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.?/�

F�EE�E�'������ /��������������������EE�

��#�"&� L��7�����&#?#����11

���7���&#���� ?6������ ��

�H=�&#?� +��� �� ������ ����"�� � ������ � ��� �������� $��� ����� ��� �������������� �� ���� �/8/&�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L��

)��� ���� �������0Z� $����� �� ���� ������ �$� " � ����� ���� � � �� � � �� � �������� �� ��� �� �� � �� K� ��������� � ��� ��� � �� ����� ����������&�

'� ���� �� � .� � ������ � ������ � �� ���"�� �� ����� � � ��� ���� ��� 0J���� � � � �� � �� l� � ���� �����#� ������� #� $��� �� ��� �� ���C�� ���� �C������� � ��� $��� ��� ��� � � ������ � �� ���"�� ��� ��� � �� &� '�� %B���" �� ����� $����� � �� � �%�� ��� �� ���������� � �������� �*�� �������� ������������� ������% � ��������������" �"���� �� ���� ����������� ������������� &�

+ ���(���% � ������� �

Page 40: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.?0�

641/&#?#����1/

&#?#����1/

��������"����#������*�� �� �����(����+�������� �� � %B���" ��������� �� �� ����� ����

����=���%�� &�

0&� ��% ��� ������ ����0

: ;� ::

� &�)��� ���

;� '�$���� ��� ����*��� %��/

0���

: :��G�

%;� ��� %��/

0���

: :��G��

�;� �������/

0���: :�

G�\������$��&�

.&� ��% ��� ������ ����.

0: ;� :

:� &�)��� ���

;� '�$���� ��� ����*��� %��.

/

0���

: :��G�

%;� ��� %��.

/

0���

: :��G�

�;� �������./

0���: :�

&�

?&� ��% ��� ������ ��������=���?

0: ;� :

:� ���

9

0: ;� :

:� &�X ��� %��"��������� G������"�

&��

9&� 2������ � �� $����=��� ���#� � $��� � ��� �� ���� � %��?

0���

?: :� �G� �� � %��

..

0���

: .;: :�� �G���

?0

0���

: 0;: :� �G�\������$��&�

+ ���(���% � ������� �

Page 41: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.?.�

F�E��E�'������ /��������������������E��

��#�"&� L��7�����&#?#����1/

���7���&#���� ./������ ��

�H=�&#?� ��������������������� ��� �������� #�$��� � ���� ���� ���������*� &�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

!����*�� �������� ��O������% � ������ ��������=���:P���� �;&�

��&����H���?� L��

F�0Z� $����� #� �������� $��� �� ��� �� � ������$��� �� � ������� � �������$��� ����������*� #����"�*�$��� ������������������ ����������&�

2�.Z�$����� �������������� �.

0: ;� :

:� #���B �������#�$��� ����������

*� #���������������� &�2 ������*� �� ��O�#� ����� ����"�������"�������� �� �������� ������ #�� ��� �� ���� ������������������� ���������� �� ����������&� 2����#� � ������� � � ��#� � � ���� � �����������#� �� ����� � � � � �:�;� l� 08�t.� �� ���#� �:�;� l� �t:�.;#� ��"� ���% � ������ ������ &�

2�?Z�$����� ���������� ���*�� ����� ��������$����������*�� ����

/

0��� #

�:�

:

(

! "�# $

% &� #� �">�� �� %��"�� � � �� $�� �� ����� �� ���

����=��� ��������� ������ ���� �� � �� � �� � ��� ���� ��&� )��� ������� ����������$����=��#���"�� ��� �������������� �� ��$�� �� ����% � ����� �� ��� ������� �#�� �����*��� ��$��� ����� ���� �����

�� �B������������ %�� �"� ����/

0��� #

�:�

:

(

! "�# $

% &� &�

�� � 9Z� $����� #� ��% � �� � ���C� ��� � � ������ � � �� � � � � ��O�#������ �� $��� �� ��� �� �����*��� � � ��� �� � ������� � ��� �� ����� �� ��� ����=��#� ������� � � $�� � ����� � �� ���������� �� ���������&��

+ ���(���% � ������� �

Page 42: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.??�

6416&#?#����16

&#?#����16

��������"����#������*�� �� �����(����+�������� �� � %B���" ��������� �� �� ����� ����

����=���%�� &�

0&� ��% ��� ������� ���������=��� : ; . ?� : :� � #� : ; 0� : :� � � ��� .: ; . ?� : : :� � � &�'%��"�� �

� �� ����� ��������=��������������

;� ��� : ;:

� :��

%;� ��� : ;:

� :���

�;� ��� : ;:

� :��

�;�: ;

���: ;:

� :

� :����

�;�: ;

���: ;:

� :

� :���

�;� !����*�� � �������������� ��������;#��������: ;

���: ;:

� :

� :��&�\������$��&�

.&� '�$���� ��� ����*��� %��0

0 0 /0

0 0 /

&&&���

&&&

� �� �

� �:� �

� : � : � : �

� : � : � : �

��

��� �

� � � �

� � � �����

;� ��m��G�

%;� ��l��G�

�;� ��Y��G�

?&� E�B���::;����::;���������=���� ��� ��������"��"������� ��������������&���������=�������$���

;�: ;

��� /: ;:

� :

� :���� �

%;�: ;

��� ?: ;:

� :

� :��� � �

�;�: ;

���: ;:

� :

� :���� � �

+ ���(���% � ������� �

Page 43: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.?9�

F�EF�E�'������ /��������������������EF�

��#�"&� L��7�����&#?#����16

���7���&#���� ./������ ��

�H=�&#?� 1�� ��*�� � � ����� � ��� ������� � �� �� ������� � � ������� #� � � "�*����C�� ����������� �������� &�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

!����*�� �������� ��O������% � ������ ��������=���:P���� �;&�

��&����H���?� L��

�� ���� �� ������� ���������=������$����=���0&�;���0&�;#� ����� ��� ����� ������������� �������������������������*�� �����������������=��� �� ���� �8�� �� C8�� �� ��� � ���� � � � � ��� M� �%���=��N�$��#� � �� ���� �� ���� ����=��#� ��% �� ��� � "� ����� � ��� ����� ��� ����� ���#� ��"��� #� � ��� #� ���&������ � �#� � ������� � $��� ����% � �� ����� �� ��� ����=��� ����B�� � �� �#� �� � �� � �� "� ��� � ���������� ��"��� ��� ���� �� �� K� ��������� � ��� � �� ��% � �� �� ��� � ����������� �� � � ����� ���� ������� � ���� ������� ��� ������� &�'����� �� � 0&�;� � ������ �� ��� �� $��� �������� � ������� � ���� ��� 0&�;&�!����� ���� �� "����� ������� ����������������������� �������������������"��������� �����&�

2� $����� � .� ����� ��"� �� ��� �� � ��� � ����������� � � � ������� �������=��� �� ����� ���� ������� �� ������� &�'����� ��� �����C���K��� �����=��� � ���� ���� %��"�� � � � ���� �� � 0#� �� ��% ��� � ������� �� ��� ��"���� ����=��� ���� � � P���� �&� !�� ����������� �����$����� �� ������ ������������ ���������������������������&�

'�?J����� �� �� ������ ����� ��$������������=����� ���#�������������=���� ��� ���������$��� �"� �� �������#�� ����������� ��������� #���B� � �C���� &� ����� ���� �� � � ��� ���� K� ���� ��� M������*�� � ���� �� ���>���� ������� %B�� N� :�'!2�b#� 07U5;&� '�� ������������"��� ��� � �C������� � � %�� � $��� >� ��� ����� � � ��� ���� �� ������ ���� � � �������� � .Z� $����� � �� ��� �� ����=��� �� ���&� 2������*�� � � � $�� � ����� � � ��� B��� �� ��� �� � ��� ������ ��������� �� &�F������� #����� �� ���� �����>� �B � ����$�� ����>%�� �������� &�

+ ���(���% � ������� �

Page 44: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.?6�

641E&#?#����1E

&#?#����1E

��������"����#������*�� �� �����(����+�������� �� � %B���" ��������� �� �� ����� ����

����=���%�� &�

0&� )�� ��� �#�� #������� ���� � �>�����::;�l����::;&��

;� V��� � �� � � �� ����� � : ; ���: ;� : :� G� �� $��� � �� � � �� ����� �

: ; ���: ;# �� : �: � (� �� G�

%;� V����������������� � : ; ���: ;# �� : � : � (� �� G��

.&� ��$���"� ������:����������� �������������� ����: ;

: ;:

� ::

� G���% ��� ������ �������� &�

'%��"�� � ������ �����::;#� �$���� ��� ������� %��/

���: ;���:

:

:�G�

?&� 2��������/

���: ;���:

:

:�#��������

/

��: ;���:

:

:�&�

9&� 2�">�� �� %��"�� � � � ��% � � �� �� ��� ��� ����=������: ;

: ; # ��:

� : �:

(� �� #� � $���

� ��� ����*��� %��/

���: ;���:

�:

:�G�

6&� 2�����#�� #���� ������: ;

: ; # �:

� : ��:

(� �� &�'�$���� ��� ����*��� %��/

���: ;���:

:

�:�G���

� %��/

���: ;��� # � ���:

�:� �

�:

( (

�� �� � G�

+ ���(���% � ������� �

Page 45: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.?5�

F�EI�E�'������ /��������������������EI�

��#�"&� L��7�����&#?#����1E

���7���&#���� .6������ ��

�H=�&#?� ������ ����������� � �>��� �����������

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

!����*�� �������� ��O������% � ������ ��������=���:P���� �;&�

��&����H���?� L��

)��� ���� ���������� ���

.

#� �� � �� � � �� ����� �

: ; ���: ;# �� : �: � (� �� #� �� _�� %#� %`� �� � ������ �� ����� �

: ; ���: ;# �� : � : � (� �� � � ���� ��� �� �� ������� � ��� ��� ������� #� ������������������������������ ��� � �������� � �#����#����"�����*�� �� �� �B��� ������&�

��������$��� ����� �� ����$������� ���� �����C�����K� q:�� ���.Z�$����� &�2�">������������� �������� ���� �$�� ������ #������

���$��� ����� ��� �������������� �"� �/

���: ;���:

:

:�&�

2���� ��� � ������ �� ��� �� $��� �����*��� � ��� ��� �� $����� �.� �������� ����������?Z�$����� #��������� ��$��� ����� ��� ���������*� �

� ��� P���� �� �� ��� � ����� � �� ����� ���: ;

: ;:

� ::

� � �#�

���� #�������� ������������� &�

F � ���� �� � 9#� � �������*�� � ��� ��� �� ����� #� ��� � � ��L�l������8��� ��������L�l����:�;8�#�� �����"����������� ���� �� �� �������&�2����������M �$���� ��� ����*��� %�&&&N�� ������ �� ���� �� � ���� �� �������"� � ������ ��������#� ��% � ���� �� ��� ��� ���� ����� ��� �� �� "� ��� � �� �������#� � ��">�� ��� B�������� ������� &�

� %����� �� �������*�� � ��� ����=��� � � 6J� ���� �� � � ���� ����� �� ��� %��"�=��� ��� ����=��� �#� � � � ���������#� �*�� "� ������ �� ���� ����������� ������ �&�

+ ���(���% � ������� �

Page 46: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.?@�

641G&#?#����1G

&#?#����1G�

��������"����#������*�� �� �����(����+�������� �� � %B���" ��������� �� �� ����� ����

����=������ ����������� � �����&��

0&� V��� � "� � ���0

��� 0: :��

! "�# $% &

G� V��� � "� � $��� " ��� ����� ��� ��� ��0

��� 0:

: :��

! "�# $% &

G�

��% ��� ������ ����0

: ; 0:

� ::

! "� �# $% &

���"����$��� �"� ����0

��� 0:

: :��

! "�# $% &

&�

.&� 2������ �������� %��"� ���$����� ����� #�� � �������� � �0

/��� 0 ::

:�

� G�

?&� !����*�� �� � �������� �������� � %�� �������� �� �����.0

��� 0:

: :��

! "�# $% &

#� �%��� � $���

.0��� 0

:

: :��

! "�# $% &

.0

��� 0:

: :��

� �! "� �� �# $% &� �� �

&� X ��� � ������� ������&0

��� 0� :

: :��

! "�# $% &

#� ���� �� >� ���

�I�� ������ ���� G�

9&� ��� �C�������"� �������:������������*� ;�����% �������� � : ; 0:

�� :

:

! "� �# $% &

&�X ���

� ������������������������� ��� ��� 0:

:

:��

! "�# $% &

G�\������$��&�

+ ���(���% � ������� �

Page 47: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.?U�

F�EJ�E�'������ /��������������������EJ�

��#�"&� L��7�����&#?#����1G

���7���&#���� ./������ ��

�H=�&#?� ������ ����������� ����������������&�

�#7���&��H�,>� �������&�

��%�������"F���'&#%�

!����*�� �������� ��O������% � ������ ��������=���:P���� �;&�

��&����H���?� L��

F�$����� �0��� ��%������������� �$���>���� � ���� � ��������M � $��� " ��� ����� ��� ��&&&N&� '� �� � ��� �� � ��� ��������� ���������*� � ����� � � � � ��O�� � ��� ��"� � ��� ��� � ��� �� � � ������ �������� ��������#�� ��� #����� ���������������� �"� �� �����������$����� &�!������������������������ ��������������� ������ ��� ����� �C������� � ����$�������� �� ��I�� ��&�

�������#� �� � .Z� $����� #� $��� �� ��� �� � ������ %��"� $��� ��������������������"��"���: 0, :� ;�� �����"� ������� �����B� &�

������� #� ���� ��� �� � ��� ��� � � ������ #� �� ��� �� � ���� ��� ���% � � � � ����� � �� ����� � �����*�� � � � ��O�&� !�� �������*�� ���� �� ����� � � � #� � � ������ #��L�l�:0n�;t08�� ��L�l�0�n��t08�� ���">�����L�l�:0�n��;t:08�;#���"�������% � ���� �� ��#�� ��� #�����"� �� ������������������ ������ &�

�������� $��� �">�� �� %��"�� � � �� ����� �� �� ��� �� � ������

��"������� �B�������������*#� %���� � �"� ���� ��� 0:

:

:��

! "�# $% &

&�

F "�����#� ����������� �����*� � ������ ��������#� � ������� � �B���������"�� �������� �� %��� �&�

+ ���(���% � ������� �

Page 48: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.?7�

641I&#?#����1I

&#?#����1I

0&� F������ #����������� �� ������ �������&��������:�;�� ��:�;�$���" ����� ��� %������������ (�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

.&� �����$��#�� ��������"�#� �$���" ������������ � ��� : ;: �

� : <�

� (�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

?&� '�$���" ����C ��� %���� ��$������>�������������� ��"���������������G�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

9&� ���� ���"����� ������ ����������=��(�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr�

+ ���(���% � ������� �

Page 49: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.9/�

F�ED�E���������� /��������������������ED�

��"�#���� L��7�����&#?#����1I

���7���&#���� 0/������ ��

�H=�&#?� +*�� ��� ��"������ � � � $��� �� ��� �� ��� ���%�� � �� � ����� �� ��

� �=���� %�� ����������������������� ���#�% �� �������������&�

�#7���&��H�,>� 1���"����&�

��%������

�"F���'&#%�

F� ���������&�

��&����H���?� L�� F� � �������� ��� ���� ����� �� ���� �� � ������ $����� #� ���

��������$��� ����� ��� ����������������������� ��� %�� ������ �

����������&��

2� ������� $����� � �������"� � M����"�� �� ������ ��������N#�

� ������� � ���� �$�������"������������������ �$������������ %��

�������� �������������%������������&�

2����������$���$����=���������������"���� �� ����� ��� %�� �

��� �����%�C ������" �"�� �� ������ �����������&�

+ ���(���% � ������� �

Page 50: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.90�

E������ �)O ������

2�� ��"������ ��������� %��� � � � �� �����=��� � %�� ���� �����" �"����� ��

� �� ��� ��� ��� ���� � :./0/;&� 2�� ��"������ � �� ������� ��� ��� ��� ��� � � ����

���$���� &��

����� �� ��� ����� �������� ���� ������"�����(�

&� 2���������������� %������ ������" �� ������ ����������D�

%&� 2��� �����>����������� %B�� ���B � ����$�� ������ ��L�:07U5;#�F�����

��"�����#� �� ���������� ��"�� � �����*� � � �C������� � ���� � � %�� ����=���

��� ������ �� �C������� �� " #�� %���������&�'�B � ����$�� ��:���>�� #�

��>%�� #� ����� #� ��� � ���� ����;� ��"�� ��� ������ � ��� �� ��� �� �� ��� �

� ���� ����� ���� �� ������ �� ��������� �������"�����&���������� �

��% � � ����� � ��� ����=��#� �� �������� � � ��O�� P���� �&� '� � ���� #�

����������������������� ���*�� ��� %�#�� �������������������� ����=��#�

�� ���� �� ������ �� ��� ��� ����� � �%�C� � ��� ��"�����#� %B���"�� �

� ����� ���������� %B�� �K��� �=���� ���� ������ �����������&�

�&� 2� �� �� ����"�� �� ������ ��������(� 2� ��� �W���� �� ������ � � �

������� ��� �����*���� ������ � � �� � ��� ��� ��� � ���� � $��� ������� �

���*�� �� ��������� ������������"��������� �� %�� �$���� �������� &��

A� ����� � ������ $��� ���� ��� ����� $��� ��� ��� ��� ���� �� ��� >� �

�����" �"����� � � � ���� �� #� � ���� � ���� � �� �� ���� &� ����� �� $��� � � ���� #�

�">���� �� ������"���� ��������������#� ���C� � ���������� %��"� ����

$����� #� � ���� � ���������� �� ������������ ��������� ��� �� ��� � � � � ���� � ���

�����*����� ������� �������������&��

'�������2��������� #�������������<����������)� #��!����� ������B� ���

��"�� ��� ��� ���� � � ����� � ��� �������#� � ���� � ��� �����*� � ��� � � � ����� � �>�� �

$��� ������� ����� ����� �� ������� �������������1�����&��

����� �� $��� � � ���� � � �����*� �� ���C�� � � ���� ������ �%�C #� ��$���

�������"� �������������������"��������$��������C��� ������������������� ���

����������$�������"���������� �������������������� ���������&�

Page 51: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.9.�

� � �P����

,)2E13#�E��������������� ��>��������� �����&����^��&�������#%�,������%#�"�#�K����� ��>�� &�,� ��(�������>� ��������� 8E��������������� ��>��������� �����#�.///&�0/7��&����� � "�����(��YC���(88� ��&���&� "&%8�����&�C�G ��� �l� �r� �����y"��Ol�����y��l0.67Ue?2��%���� ��y1�����lU67m&��2���� ���(�00�%&�.//7&����2)X23-'#�\ �>�2����� �,��� D��1��F�2#�\ ���������) �C���M����"���������#�����"����������� ������� N&�1��E13X2#�,��� ��&�D�23��1�2#�3��� �E&#�:� �;&�%&������"��������,�#%�����&���$�����#%�7������#�&�_���)'�`&�,�(����� ����1�"������� ���������� �� �1������� ���������� ������� � �����!��"�������� ����C #��&�0U@@�0UU6#�.//6&����� � "�����(�YC���(88�� ��� ���&����&����C &��8%������80U..86976808����"�e./�e./�����e.�e./����"�e./�e./������e./ e./������ &���m&�2���� ���(�./��� �./0/&�����'!2�b#�)&�\�����������������������$��� ����� %B��&���%>��%>���"�#��%&#8�������&>@��&#8���"�"&�@#��&�.#��&�6�?0&�3�����>��E�"��#�07U5&���+)�1�2�#��Q&�)���������O����������C����C����������� �&��>���&>���&#%� ��%�&��#��� ��#�"&�U#��&�0#��&05�.0#�077@&����� � "�����(�YC���(88��C&� �&��&���8���81�����8"/U�08?�����&���m&�2���� ���(�./��� �./0/&������2)2F-k'#�����������E&����2&&����>����������� %B�� &�1�(�23�[F�2)2#�E �"�����&� ��%� !���&��'&#%�K������� ���� &�E� ���� (�����#�0777&��&�006�0?9&����')��)#��L�T&D��2E1F�132#�\ ���'&����������C���������� ��O������ ��� ������������ ������Q� O����������������&� ��%�&#�"�,�&��#���"��&>���&#%�#�F��C�����#�"&�9.#��&�.#��&056�0@@#��&�.///&�����1F�'#�������������������� ��&����7��7��&�7�����"�#"���7��"�#.������,#�#&���F�" !����,4�./0/&�0@.��&��������� �:����� ;���� ���� ���!��"��������������������������&����'P�33#�[���� ���O�D�,21))23#����� &���%�#&���7�"����"&���&��'&#%�(������=������ �����������&�������(������#�.//5&�000�&����E2F�'E#�E���2�����&����� �=��������������������������������������&�1�(�F2�2)2�'#�2���������D�3'��E#��������������&� �%�#&���,�#&����"����%� !���&��'&#%�4�,�� �- �* ���(�2�������#�.//6&��&�0.@�090&�

Page 52: UMA I1TRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES DE FU1ÇÃO REAL

.9?�

E�'3�#�T�����������E� �� &�3�#�����"������ �"��� %����(�C%��������%����������������������&� ��%� !�����%�#�E� ���� #�"&�U#��&�0#��&0�0.#���� &�.//?&����� � "�����(�YC���(88OOO&� ���&� �&%8��"�� �8�"��� r�� ��82��� r�������&� �m�2���� ���(�./�%&�./0/&���X)2F�T�F#�E��"������&����������������� ����� ��������i�*�L���������*B������� ����� ����� ����&�����#��#�,��� ��2������2������#��&�.7#��&7�07#��� �.//5&����� � "�����(�YC���(88OOO&� ��& �&8� ������ �8.7e./"��Q��&���m&�2���� ���(�07�%&�./0/&����