Uma Introdução às Curvas Elípticas

William da S. Pedretti Jaime E. A. RodriguezUniversidade Estadual Paulista - Departamento de Matemática, UNESP

15385-000, Ilha Solteira, SPE-mail: william81063@aluno.feis.unesp.br , jaime@mat.feis.unesp.br

Palavras-chave: Análise e Aplicações, ECC, Característica, Corpo Finito.

Resumo: Neste trabalho analisamos as condições sob as quais duas curvas elípticas são isomorfas, de acordo com a característica do corpo sobre o qual estão definidas.

1- Introdução

Sistemas criptográficos baseados em curvas elípticas (ECC) baseiam sua segurança no problema do logaritmo discreto (PLD) aplicado no grupo de pontos de uma curva elíptica. Este problema atualmente é considerado mais difícil de resolver-se do que a fatoração de números inteiros (IFP), no qual baseia-se o RSA. Além disso, os ECCs trabalham com chaves substancialmente menores comparados a outros métodos criptográficos, permitindo assim, uma eficácia maior na hora de elaborar e implementar algoritmos. Este tipo de sistema forma parte dos chamados métodos assimétricos ou de chave pública, e foi primeiramente proposto e de maneira independente, por Koblitz e Miller em 1985.Certas famílias de curvas elípticas podem ser isomorfas desde que certa transformação seja aplicada, o que proporciona um ganho na hora da programação, pois podemos escolher em qual curva trabalhar de modo que facilite os cálculos, já que a estrutura de ambas é basicamente a mesma.

2 – Definição de Curva Elíptica

Baseia- se no problema do logaritmo discreto em um grupo formado pelos pontos da curva elíptica. O melhor algoritmo conhecido para resolução deste problema tem complexidade exponencial, o que confere um alto grau de segurança ao sistema.

Definição 2.1 Uma curva elíptica é definida sobre o corpo K é dada pela equação de Weierstrass:

542

23

312 axaxaxyaxyay (1)

onde a1, a2, a3, a4, a6 K.

3 – Isomorfismo entre duas Curvas Elípticas.

Teorema 3.1 Sendo K um corpo finito, duas curvas elípticas E1 / K e E2 / K dadas pelas equações:

542

23

312

2

542

23

312

1

:

:

axaxaxyaxyayE

axaxaxyaxyayE

(2)

são isomorfos sobre K, u, r, s, t K e u 0 , tal que a mudança de variáveis.

),(),( 232 tsxuyurxuyx (3)

216

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transforma a equação de E1 na equação de E2.

Usando o conceito de isomorfismo entre curvas elípticas, a equação (1) pode sersimplificada de acordo com a característica do corpo K sobre o qual ela está definida.

4 – Curvas definidas em Corpos de Característica ≠ 2 e ≠ 3

Seja E/K dada por 542

23

312 axaxaxyaxyay (4)

tal que a característica de K é diferente de 2. Uma transformação admissível de variável é

),( yx

22, 31 a

xa

yx (5)

a qual transforma E/K em

542

232

1 :/ bxbxbxyKE (6)

onde

4

2

4

23

55

3144

21

22

aab

aaab

aab

(7)

Nos casos em que a característica de K também é ≠ 3, a mudança de variável

),( yx

216,

36

3 2 ybx(8)

pode ser aplicada sobre E1/K para transformá-la em

.:/ 322 baxxyKE (9)

Como E/K é isomorfa a E1/K e E1/K é isomorfa a E2/K, podemos considerar que toda curva elíptica, definida sobre um corpo cuja característica é ≠ 2 e ≠ 3, escreve como

baxxyE 32: (10)

onde a, b K .

5 – Curvas definidas em Corpos de Característica 2

Seja E/K, dada por 542

23

312 axaxaxyaxyay (11)

217

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uma curva elíptica sobre K, de característica 2.

Se a1 ≠ 0, então a mudança de variáveis

),( yx

31

234

213

11

321 ,

a

aaaya

a

axa (12)

transforma E/K na curva

52

232

1 :/ bxbxxyyKE (13)

Quando a1 = 0, uma mudança admissível de variáveis é

),( yx ),( 2 yax (14)que transforma E/K na curva

543

32

2 :/ cxcxycyKE (15)

com

2455

2244

33

aaac

aac

ac

(16)

6 – Conclusões

Observamos que certas mudanças de variáveis permitem transformar determinadas equações de curvas elípticas em outras mais simples (isomorfas), as quais permitem ser manipuladas com mais facilidade, a efeitos de realizar cálculos, elaborar algoritmos e implementá-los.

Referências

[1] COUTINHO, S.C: Números Inteiros e Criptografia RSA, Série de Computação e Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 2003.

[2] HEFEZ, A. e VILELA, M.A.T.: Códigos corretores de erros, Série de Computação e Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 2002.

[3] KOBLITZ, N.; Elliptic Curve Cryptosystems, Mathematics of Computation, 1987.

[4] LAVOR, C. C; ALVES, M. M. S.; SIQUEIRA, R. M.; COSTA, S. I. R., Uma Introdução à Teoria dos Códigos, Notas em Matemática Aplicada, vol. 21, SBMAC, São Carlos, 2006.

[5] MENEZES, A. J.; Elliptic Curve Public Key Cryptosystems, Auburn University, 1999.

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