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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelliUn percorso di calcolo infinitesimale nella
scuolaVII giornata di analisi non standard
Daniele Zambelli
Liceo Scientifico Girolamo Fracastoro
2017
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 1 / 1
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Piano della presentazione I
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Un percorso sensato
1 Insiemi numerici
2 Funzioni razionali
3 Funzioni trascendenti
4 Derivate
5 Continuita
6 Integrali
7 Limiti
8 Conclusioni
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 3 / 1
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Un percorso sensato
1 Insiemi numerici
2 Funzioni razionali
3 Funzioni trascendenti
4 Derivate
5 Continuita
6 Integrali
7 Limiti
8 Conclusioni
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infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Un percorso sensato
1 Insiemi numerici
2 Funzioni razionali
3 Funzioni trascendenti
4 Derivate
5 Continuita
6 Integrali
7 Limiti
8 Conclusioni
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Un percorso sensato
1 Insiemi numerici
2 Funzioni razionali
3 Funzioni trascendenti
4 Derivate
5 Continuita
6 Integrali
7 Limiti
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Un percorso sensato
1 Insiemi numerici
2 Funzioni razionali
3 Funzioni trascendenti
4 Derivate
5 Continuita
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7 Limiti
8 Conclusioni
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Un percorso sensato
1 Insiemi numerici
2 Funzioni razionali
3 Funzioni trascendenti
4 Derivate
5 Continuita
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7 Limiti
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Un percorso sensato
1 Insiemi numerici
2 Funzioni razionali
3 Funzioni trascendenti
4 Derivate
5 Continuita
6 Integrali
7 Limiti
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Un percorso dicalcolo
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Un percorso sensato
1 Insiemi numerici
2 Funzioni razionali
3 Funzioni trascendenti
4 Derivate
5 Continuita
6 Integrali
7 Limiti
8 Conclusioni
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infinitesimalenella scuola
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Insiemi numerici
Gli Iperreali
precisare che in questo insieme non e valido l’assioma diEudosso-Archimede;
capire bene la differenza tra numero standard e numerofinito.
abituarsi a un modo diverso dal solito per confrontare duenumeri: invece della differenza qui e vantaggioso usare ilrapporto.
capire bene la differenza tra essere infinitamente vicini eessere indistinguibili;
abituarsi a nuovi simboli e nuove convenzioni;
imparare la nuova funzione parte standard, ovviamentenon presente nei numeri Reali.
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Insiemi numerici
Gli Iperreali
precisare che in questo insieme non e valido l’assioma diEudosso-Archimede;
capire bene la differenza tra numero standard e numerofinito.
abituarsi a un modo diverso dal solito per confrontare duenumeri: invece della differenza qui e vantaggioso usare ilrapporto.
capire bene la differenza tra essere infinitamente vicini eessere indistinguibili;
abituarsi a nuovi simboli e nuove convenzioni;
imparare la nuova funzione parte standard, ovviamentenon presente nei numeri Reali.
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Insiemi numerici
Gli Iperreali
precisare che in questo insieme non e valido l’assioma diEudosso-Archimede;
capire bene la differenza tra numero standard e numerofinito.
abituarsi a un modo diverso dal solito per confrontare duenumeri: invece della differenza qui e vantaggioso usare ilrapporto.
capire bene la differenza tra essere infinitamente vicini eessere indistinguibili;
abituarsi a nuovi simboli e nuove convenzioni;
imparare la nuova funzione parte standard, ovviamentenon presente nei numeri Reali.
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Insiemi numerici
Gli Iperreali
precisare che in questo insieme non e valido l’assioma diEudosso-Archimede;
capire bene la differenza tra numero standard e numerofinito.
abituarsi a un modo diverso dal solito per confrontare duenumeri: invece della differenza qui e vantaggioso usare ilrapporto.
capire bene la differenza tra essere infinitamente vicini eessere indistinguibili;
abituarsi a nuovi simboli e nuove convenzioni;
imparare la nuova funzione parte standard, ovviamentenon presente nei numeri Reali.
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Insiemi numerici
Gli Iperreali
precisare che in questo insieme non e valido l’assioma diEudosso-Archimede;
capire bene la differenza tra numero standard e numerofinito.
abituarsi a un modo diverso dal solito per confrontare duenumeri: invece della differenza qui e vantaggioso usare ilrapporto.
capire bene la differenza tra essere infinitamente vicini eessere indistinguibili;
abituarsi a nuovi simboli e nuove convenzioni;
imparare la nuova funzione parte standard, ovviamentenon presente nei numeri Reali.
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Insiemi numerici
Gli Iperreali
precisare che in questo insieme non e valido l’assioma diEudosso-Archimede;
capire bene la differenza tra numero standard e numerofinito.
abituarsi a un modo diverso dal solito per confrontare duenumeri: invece della differenza qui e vantaggioso usare ilrapporto.
capire bene la differenza tra essere infinitamente vicini eessere indistinguibili;
abituarsi a nuovi simboli e nuove convenzioni;
imparare la nuova funzione parte standard, ovviamentenon presente nei numeri Reali.
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Insiemi numerici
Gli Iperreali
precisare che in questo insieme non e valido l’assioma diEudosso-Archimede;
capire bene la differenza tra numero standard e numerofinito.
abituarsi a un modo diverso dal solito per confrontare duenumeri: invece della differenza qui e vantaggioso usare ilrapporto.
capire bene la differenza tra essere infinitamente vicini eessere indistinguibili;
abituarsi a nuovi simboli e nuove convenzioni;
imparare la nuova funzione parte standard, ovviamentenon presente nei numeri Reali.
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Un percorso dicalcolo
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Insiemi numerici
L’aggiunta di questi nuovi numeri ha un costo in termini ditempo dedicato, ma offre in cambio la possibilita di lavorare ecapire il calcolo infinitesimale gia in seconda o terza.
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
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Funzioni razionali
Calcolare il risultato di questa espressione negli Iperreali eabbastanza semplice:
ε2 + 3ε− 4
5ε+ 7
Semplificare:δ − 4
δ + 7
Calcolare la parte standard: −4
7
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Funzioni razionali
Calcolare il risultato di questa espressione negli Iperreali eabbastanza semplice:
ε2 + 3ε− 4
5ε+ 7
Semplificare:δ − 4
δ + 7
Calcolare la parte standard: −4
7
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Funzioni razionali
Calcolare il risultato di questa espressione negli Iperreali eabbastanza semplice:
ε2 + 3ε− 4
5ε+ 7
Semplificare:δ − 4
δ + 7
Calcolare la parte standard: −4
7
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Funzioni razionali
Calcolare il risultato di questa espressione negli Iperreali eabbastanza semplice:
ε2 + 3ε− 4
5ε+ 7
Semplificare:δ − 4
δ + 7
Calcolare la parte standard: −4
7
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Un percorso dicalcolo
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Funzioni razionali
Calcolare il risultato di questa espressione negli Iperreali eabbastanza semplice:
ε2 + 3ε− 4
5ε+ 7
Semplificare:δ − 4
δ + 7
Calcolare la parte standard: −4
7
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Funzioni razionali
Calcolare il risultato di questa espressione negli Iperreali eabbastanza semplice:
ε2 + 3ε− 4
5ε+ 7
Semplificare:δ − 4
δ + 7
Calcolare la parte standard: −4
7
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Funzioni razionali
Ma quanto fatto corrisponde a risolvere:
limx→0
x2 + 3x − 4
5x + 7
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
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Funzioni razionali
E se il limite porta ad una forma di indecisione? Ad esempio:
limx→2
x2 + 3x − 10
x2 − 4
limx→2
x2 + 3x − 10
x2 − 4= st
((2 + ε)2 + 3 (2 + ε)− 10
(2 + ε)2 − 4
)=
= st
(4 + 4ε+ ε2 + 6 + 3ε− 10
4 + 4ε+ ε2 − 4
)=
= st
(ε (ε+ 7)
ε (ε+ 4)
)= st
(ε+ 7
ε+ 4
)=
7
4
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Funzioni razionali
E se il limite porta ad una forma di indecisione? Ad esempio:
limx→2
x2 + 3x − 10
x2 − 4
limx→2
x2 + 3x − 10
x2 − 4= st
((2 + ε)2 + 3 (2 + ε)− 10
(2 + ε)2 − 4
)=
= st
(4 + 4ε+ ε2 + 6 + 3ε− 10
4 + 4ε+ ε2 − 4
)=
= st
(ε (ε+ 7)
ε (ε+ 4)
)= st
(ε+ 7
ε+ 4
)=
7
4
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Funzioni razionali
Possiamo notare che i nostri alunni, una volta imparato:
il calcolo algebrico allargato agli infinitesimi e agli infiniti,
il significato della funzione parte standard . . .
sono in grado di calcolare le espressioni che nell’analisichiameremo limiti
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 9 / 1
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Funzioni razionali
Possiamo notare che i nostri alunni, una volta imparato:
il calcolo algebrico allargato agli infinitesimi e agli infiniti,
il significato della funzione parte standard . . .
sono in grado di calcolare le espressioni che nell’analisichiameremo limiti
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
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Funzioni trascendenti
Ampliamo i vari argomenti domandandoci come si comportanole nuove funzioni con gli infinitesimi e gli infiniti.
il seno di un arco infinito e indefinito poiche la funzionecontinua ad oscillare tra −1 e +1.
il seno di un arco infinitesimo e un infinitesimo.
Ma quanto vale questo infinitesimo? Nei testi, a questoproposito, c’e sempre una dimostrazione molto divertente.
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Funzioni trascendenti
Ampliamo i vari argomenti domandandoci come si comportanole nuove funzioni con gli infinitesimi e gli infiniti.
il seno di un arco infinito e indefinito poiche la funzionecontinua ad oscillare tra −1 e +1.
il seno di un arco infinitesimo e un infinitesimo.
Ma quanto vale questo infinitesimo? Nei testi, a questoproposito, c’e sempre una dimostrazione molto divertente.
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 10 / 1
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Funzioni trascendenti
Ampliamo i vari argomenti domandandoci come si comportanole nuove funzioni con gli infinitesimi e gli infiniti.
il seno di un arco infinito e indefinito poiche la funzionecontinua ad oscillare tra −1 e +1.
il seno di un arco infinitesimo e un infinitesimo.
Ma quanto vale questo infinitesimo? Nei testi, a questoproposito, c’e sempre una dimostrazione molto divertente.
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Funzioni trascendenti
Ampliamo i vari argomenti domandandoci come si comportanole nuove funzioni con gli infinitesimi e gli infiniti.
il seno di un arco infinito e indefinito poiche la funzionecontinua ad oscillare tra −1 e +1.
il seno di un arco infinitesimo e un infinitesimo.
Ma quanto vale questo infinitesimo? Nei testi, a questoproposito, c’e sempre una dimostrazione molto divertente.
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Funzioni trascendenti
Ampliamo i vari argomenti domandandoci come si comportanole nuove funzioni con gli infinitesimi e gli infiniti.
il seno di un arco infinito e indefinito poiche la funzionecontinua ad oscillare tra −1 e +1.
il seno di un arco infinitesimo e un infinitesimo.
Ma quanto vale questo infinitesimo? Nei testi, a questoproposito, c’e sempre una dimostrazione molto divertente.
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Funzioni trascendenti
Usando infiniti e infinitesimi, invece, possiamo dare unadefinizione di circonferenza che ha come immediataconseguenza il risultato:
sen ε
ε∼ 1 ⇒ sen ε ∼ ε
Una circonferenza e un poligonoregolare di infiniti lati.
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 11 / 1
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Funzioni trascendenti
Usando infiniti e infinitesimi, invece, possiamo dare unadefinizione di circonferenza che ha come immediataconseguenza il risultato:
sen ε
ε∼ 1 ⇒ sen ε ∼ ε
Una circonferenza e un poligonoregolare di infiniti lati.
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Ora, in un poligono siffatto, ogni lato infinitesimo coincide conun arco infinitesimo.Anche la meta dell’arco e la meta del lato saranno uguali tra diloro, quindi:
sen ε ∼ ε
E interessante ricordare che seno significa proprio mezza corda.
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Derivate
Possiamo definire la tangente ad una curva in un suo puntocome la retta passante per quel punto e per un punto dellacurva infinitamente vicino.La derivata di una funzione in un punto e la parte standard delrapporto differenziale se esiste ed e indipendente dal valoredell’incremento infinitesimo:
f ′(x) = st
(d f (x)
d x
)= st
(f (x + ε)− f (x)
ε
)
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
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Derivate
Possiamo definire la tangente ad una curva in un suo puntocome la retta passante per quel punto e per un punto dellacurva infinitamente vicino.La derivata di una funzione in un punto e la parte standard delrapporto differenziale se esiste ed e indipendente dal valoredell’incremento infinitesimo:
f ′(x) = st
(d f (x)
d x
)= st
(f (x + ε)− f (x)
ε
)
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Derivate
Possiamo definire la tangente ad una curva in un suo puntocome la retta passante per quel punto e per un punto dellacurva infinitamente vicino.La derivata di una funzione in un punto e la parte standard delrapporto differenziale se esiste ed e indipendente dal valoredell’incremento infinitesimo:
f ′(x) = st
(d f (x)
d x
)= st
(f (x + ε)− f (x)
ε
)
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Derivate
Possiamo definire la tangente ad una curva in un suo puntocome la retta passante per quel punto e per un punto dellacurva infinitamente vicino.La derivata di una funzione in un punto e la parte standard delrapporto differenziale se esiste ed e indipendente dal valoredell’incremento infinitesimo:
f ′(x) = st
(d f (x)
d x
)= st
(f (x + ε)− f (x)
ε
)
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
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Derivate
Possiamo costruire le dimostrazioni dei teoremi sul calcolo, adesempio per la derivata del prodotto di due funzioni passiamoattraverso il differenziale dell’area di un rettangolo. Come sipuo vedere dal disegno:
00
b b + ∆b
h + ∆hh
b · h
b · ∆h
∆b·h
∆b · ∆h
00
b ∼ b + db
h ∼ h + dh
×109
×∞
b · h
b · dh
db·h
db · dh
dA(x) ∼ db(x) · h(x) + b(x) · dh(x)
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Derivate
Possiamo costruire le dimostrazioni dei teoremi sul calcolo, adesempio per la derivata del prodotto di due funzioni passiamoattraverso il differenziale dell’area di un rettangolo. Come sipuo vedere dal disegno:
00
b b + ∆b
h + ∆hh
b · h
b · ∆h
∆b·h
∆b · ∆h
00
b ∼ b + db
h ∼ h + dh
×109
×∞
b · h
b · dh
db·h
db · dh
dA(x) ∼ db(x) · h(x) + b(x) · dh(x)
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
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Derivate
Possiamo costruire le dimostrazioni dei teoremi sul calcolo, adesempio per la derivata del prodotto di due funzioni passiamoattraverso il differenziale dell’area di un rettangolo. Come sipuo vedere dal disegno:
00
b b + ∆b
h + ∆hh
b · h
b · ∆h
∆b·h
∆b · ∆h
00
b ∼ b + db
h ∼ h + dh
×109
×∞
b · h
b · dh
db·h
db · dh
dA(x) ∼ db(x) · h(x) + b(x) · dh(x)
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Derivate
Poi dividendo per dx e prendendo la parte standard:
A′(x) = st
(db(x) · h(x)
dx+
b(x) · dh(x)
dx
)A′(x) = b′(x) · h(x) + b(x) · h′(x)
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 15 / 1
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Continuita
Gia la definizione di continuita risulta semplice e intuitiva:
Definizione
Una funzione e continua se a spostamenti infinitesimi di xcorrispondono spostamenti infinitesimi di y :
f (x) ≈ f (x + ε)
.
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 16 / 1
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Continuita
Gia la definizione di continuita risulta semplice e intuitiva:
Definizione
Una funzione e continua se a spostamenti infinitesimi di xcorrispondono spostamenti infinitesimi di y :
f (x) ≈ f (x + ε)
.
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Continuita
Vediamo anche come esempio il teorema di Weierstrass Sia[a; b] ∈ R un intervallo chiuso, limitato e non vuoto e siaf : [a, b] 7→ R una funzione continua. Allora f (x) ammette(almeno) un punto di massimo assoluto e un punto di minimoassoluto nell’intervallo [a; b].
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 17 / 1
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Continuita
Se suddividiamo l’intervallo [a; b] in un certo numero diintervalli attraverso una sequenza di punti t1, t2, . . . , ti , . . . tn,confrontando i diversi valori di f (ti ) posso individuare il valoreche e maggiore o uguale (minore o uguale) a tutti gli altri.
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 18 / 1
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Continuita
Per il principio di trans-fer posso ripetere lo stes-so procedimento anche segli intervalli sono infinitesi-mi cioe posso trovare un va-lore f (tk) che sia maggioreo uguale (minore o uguale)a tutti gli altri valori f (ti )prendendo la sua parte stan-dard questa sara maggiore ouguale (minore o uguale) atutte le parti standard deivalori di f (t) calcolati ne-gli altri punti di separazionedell’intervallo.
st (f (tk)) > st (f (ti )) ∀ i (6)
x
y
f
a bu c
×∞
ua + iδ
δ
×∞
ca + kδ
δ
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infinitesimalenella scuola
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Continuita
Quindi st (f (tk)) e il massimo (minimo) della funzione fnell’intervallo [a; b].
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infinitesimalenella scuola
DanieleZambelli
Integrali
Anche gli integrali beneficiano della possibilita di passare dasuccessioni finite a successioni infinite grazie al principio ditransfer. Avremo quindi la somma di Riemann finita e lasomma di Riemann infinita e risultera semplice dimostrare levarie proprieta degli integrali.
Daniele Zambelli Un percorso di calcolo infinitesimale nella scuola 2017 21 / 1
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Integrali
Anche gli integrali beneficiano della possibilita di passare dasuccessioni finite a successioni infinite grazie al principio ditransfer. Avremo quindi la somma di Riemann finita e lasomma di Riemann infinita e risultera semplice dimostrare levarie proprieta degli integrali.
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Integrali
Consideriamo il teorema fondamentale dell’analisi:
D
[∫f dx
]= f ovvero
∫f dx = F se F ′ = f
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Integrali
Dobbiamo innanzitutto pre-cisare cosa intendiamo perfunzione integrale di unafunzione f . Questa funzio-ne spesso e indicata con Fed e legata all’area sottesaalla funzione f .
x
y
f
xdx
f (x)
Se indichiamo con F (x) = A(x) quest’area, possiamo vedereche l’area di un tratto infinitesimo e
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
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Integrali
d A(x) ∼ f (x) · dx ⇒
⇒ f (x) ∼ d A(x)
dx=
d F (x)
dx= F ′(x)
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Integrali
d A(x) ∼ f (x) · dx ⇒
⇒ f (x) ∼ d A(x)
dx=
d F (x)
dx= F ′(x)
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Limiti
Il concetto di limite non e necessario nell’analisi non standard,ma qualche volta puo essere una ridondanza utile. Si puodefinire il limite di una funzione nei termini dell’Analisi NonStandard:
limx→a
f (x) = st (f (a + ε))
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Limiti
Il concetto di limite non e necessario nell’analisi non standard,ma qualche volta puo essere una ridondanza utile. Si puodefinire il limite di una funzione nei termini dell’Analisi NonStandard:
limx→a
f (x) = st (f (a + ε))
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Limiti
Il concetto di limite non e necessario nell’analisi non standard,ma qualche volta puo essere una ridondanza utile. Si puodefinire il limite di una funzione nei termini dell’Analisi NonStandard:
limx→a
f (x) = st (f (a + ε))
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Limiti
I problemi sorgono quando nell’Analisi Standard si usa ilsimbolo ∞ che non e un numero reale ma un concetto che ha ache fare con la frase: “una cosa piu grande di un qualunquenumero reale.” Per Keisler se f (a + ε) e un numero infinitoallora non esiste il limite. E una posizione semplice einteressante.
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Limiti
I problemi sorgono quando nell’Analisi Standard si usa ilsimbolo ∞ che non e un numero reale ma un concetto che ha ache fare con la frase: “una cosa piu grande di un qualunquenumero reale.” Per Keisler se f (a + ε) e un numero infinitoallora non esiste il limite. E una posizione semplice einteressante.
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
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Limiti
Quindi dobbiamo complicare un po’ la definizione:
limx→a
f (x) =
{st (f (a + ε)) se f (a + ε) e finito∞ se f (a + ε) e infinito
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Un percorso dicalcolo
infinitesimalenella scuola
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Svantaggi
Perche non usare il calcolo infinitesimale?
Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
. . .
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Svantaggi
Perche non usare il calcolo infinitesimale?
Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
. . .
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Perche non usare il calcolo infinitesimale?
Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
. . .
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
. . .
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
. . .
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
. . .
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
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E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
. . .
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
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E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
. . .
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
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Vantaggi
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
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Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
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E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
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Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
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E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
Probabilmente i nostri alunni dovranno impararsi anchel’analisi Standard;
Non c’e nei libri di testo (seri);
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E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
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Perche usare il calcolo infinitesimale?
Bisogna trattare insiemi numerici non archimedei;
Spesso richiede uno studio ulteriore da partedell’insegnante;
E molto recente (solo mezzo secolo);
Usa metodi antichi;
E conosciuto solo da una esigua minoranza di insegnanti;
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. . . perche e bello.
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. . . perche e bello.
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