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Una alternativa pa¡a el cálculo de la transmisividad regionalizada de acuíferos cársicos en régimen no influenciadoInvestigaciones hídrogeológicas n Cuba, pp: 43-51Eds. D.M Arellanq M.A. Gómez-lvfatíU t Antigü€da¿ 1997

UNA ALTERNATIVA PARA EL CÁLCULO DE LA TRANSMISIV¡DAD REGIONALIZADA DEACUíFEROS CÁRSICOS EN RÉGIMEN NO INFLUENCIADO

L.F. Molerio León

Centro de Hidrologfa y Calidad de las Aguas (CENHICA), lnstituto Nacional de Recursos Hüráulicos

RESUMENSe establece la semejanza dinámica teódca entre el mecanismo de gasto decreciente quecaracteriza el agotamiento de los acuíferos y el de un pozo, con gasto también decreciente,presentándose la solución para el cálculo de la transm¡sividad (Q del sistema, modificándose lametodología inicialmente propuesta por Abu Zied y Scoü (1963), Abu Zied, Scott y Aron (1964), yAron y Scott (1965) para diferentes condiciones de contomo que, incluyen, además la modificacióndel fac{or 2,312r. pare tomar en cuenta el ángulo que, con referencia al punto de emisiónselecc¡onado para el cálculo, foma la zona de descarua respecto al acuífero drenado.

ABSTRACTTheoretical dynamic similarity is established between the behaviour of decreasing yield characterizingaquifer recession and that of a well with decreasing yield. A solution for the computeation ofregionalised transmissivity is then presented after a modif¡cat¡on of the solut¡on initially presented byAbu Zied & Scott (1963), Abu Zied, Scoü & Aron (1964), and Aron& Scoü (1965) now for differentboundary conditions which includes the modifcation of the faclor 2,312n to account for the angleformed by the discharge zone w¡th respeci to the aquifer at the selecled discharge point of thesystem.

INTRODUCCIÓN

El período de recesión o agotamiento de caudales (Q) o niveles del agua subtenánea(h), en acuíferos cársicos, viene definido por aquella parte del gráf¡co log Q,h = f(t) en queal cesar la recarga (alimentación) efectiva, la rama deviene asintótica con el eje de lostiempos, denotando, por ello, la contribución del aporte en aguas subteráneas al volumentotal de flujo (Boussinesq, 1904; Maillet, 1905).

Dos tipos de curvas representan este fenómeno, que se c¿¡racter¡za, entre otrosaspectos, por presentar valores de Q y h variables en el tiempo y decrecientes en magnitudabsoluta. Una de ellas representa, teóricamente, la contribución de n grupos de colectores-conductores y la curva no puede ser representada por sólo un término exponencial, sinopor la suma de varios de ellos, tres por lo común asociados a los espacios constitutivos deluniverso cársico (Molerio, 1985). De este modo, la curva de decrecimiento de caudal (o denivel) presenta diferentes rupturas de pendiente y tiene la forma generalizada de la fig. l,cuya apariencia y descomposición se presenta en la fig. 2, donde las ramas 1,2 y 3representan los llamados subregímenes de agotamiento.

Una segunda clase de curvas se caracteriza por presentar una sola rama dedecrecimiento. Al decir, entonces, que se trata de un sólo subrégimen, la recesión seexpresa sólo por un valor de pendiente también sintótico al eje de los tiempos. Por locomún, adoptan la forma de la fig. 3.

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Generalmente, las curvas de agotamiento indican el establecimiento de un rég¡men nopermanente, excepto en el c¿¡so de las que se representan en la fig. 3, en que se alcanzaun régimen cuasi-permanente; esto es, que los valores de los coeficientes matriciales quedefinen el campo de propiedades físicas son independientes del tiempo durante el períodoanalizado, lo que no significa que, a escala de sistema y en series plurianuales secomporte de otro modo (Varela, 1978: Molerio, Flores y Guena, 1981; Piñera, Molerio yMarch, 1982, Molerio, 1982, 1984, 1989a, 1989b).

Fig. 1. Curvas tipo de agotamiento de caudales y niveles (simplifrcado de Mangin, 1975).

qozho2

qo3ho3

Cürris t¡po de igotim¡ento de caudales y n¡{elee

Qt, llt = qol, ho'l e*p (.lf¡l'delta t{} + qo2, ho2 e*p(slf¡2rdelto t2| + qo3, ho3 eÍp (itr¡3 * deft¡ t3l

t (dí¡*)

Fig. 2. Estructura y descompos¡ción de los términos de una curva de agotamiento de caudales.

Una alternativa para el crílculo de la transmisiviclad regionalizad¿ de acuíferos cá,rsicos en réginen no inlluenciado

Fig. 3. Curua de recesión de un sólo subrégimen de agotamiento.

Al evaluar las componentes del c€¡nmpo de propiedades físicas apl¡cando cualesquierade los métodos propuestos desde Boussinesq (1904) -véase bibliografía- normalmente seconsideran constantes los valores de Q para cada rama, de manera que los valores de et,al final de cada rama de la recesión, responden a las ecuaciones de los términos que sedestacan en la fig. 2.

De las componentes del campo de propiedades físicas, la transmisiviclact (I) es uno delos valores más importantes, al tratarse de un indicador de transporte de masas que, desdeef punto de vista práctico permite además aractenzar las propiedades y potencialidadesacuíferas del sistema. Como quiera que, durante la recesión, los valores del campo sonvariables regionalizadas por sí mismas, y no están afectadas más que por el propio campoy el estado inicial del sistema, suele aplicarse el método de Theis-Jacob para sudeterminación cuantitativa (Mijatovic, 1968; Molerio,19gz, Moterio et at. 1995a, 19b5b), demanera que, para cada rama de recesión, en régimen no permanente:

(1) T = (0.183 Q log 1o t2yt1) / (s2 - s1)

o, simplificando cuando, (sz - sr) se toma para (log ro tztr) = 1 = A s

l2l T = 0.183 Q/A s

Puede obtenerse, además, partiendo de la modificación de Jacob a Theis (Jacob, 194O;Theis, 1935):

(3) ¡H = { 0.183 e/T t@92.2s TÉ S) + rog T)l }que no es más que una función de la forma:(4) y=a( logb+logx)

en la que,

(5) a=0.183Q/T

y las variables son y = AR (variación de reservas) y x = t, de manera que la constante a= 0.183 Q/T conesponde, más o menos, al coeficiente de la recta que describe el valor des = f(t), por lo que tomando la primera derivada de y, respecto a x en (3), se obtiene:

Qt, lft = qo,l, ho{ e*p (atral¡deltatl)

t (dío*)

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(6) 0.183 Q/T = dy/dx = a ^R

/a (log t)

y, como el valor A LR lA flog t) se relaciona con AR en un ciclo logarítmico, en unintervalo c que represente (log ro tztr) = 1, queda que

(71 0.183 Q/T = AR = cpor lo que también,

(8) T=0.183Q/c

Aunque bajo ciertas premisas, como las de los gráficos que se presentan en la fig. 4, laconstante c es el valor de tan 0 y se expresa como:

(9) AH = f ( log t) ;T= 0.183 Qr/c

(rO) ^H

= f (log Vñ ;t = 0.183 Q/c

(1f) ^H

= f (log R) ; T= 0.183 Q/c

Exceptuando el caso de las curvas log Q = f(t) y log h = f(0 que se presentan en la f¡9. 3,invarialemente la recesión representa la condición:

Qr,tr > Qz,tz > Q¡,t¡ >... Qn,L

e, igual ocure con la componente h, lo que significa que, para cada instante t>to secumple que Q<Qo y, al rectificar las curvas Q = f(t) y h = f(t) sucede que, para un üempo tcualquiera en que t>to, se cumple, aceptando Maillet (1905), que Qf, hf = Qo, Ho exp (- ct),donde cr, es la pendiente de la curva rectificada para cada subrégimen, de manera que eldecrecimiento rectif¡cado de Q,h, se produce en intervalos idénticos en c€tda rama y vale,aproximadamente, 1/e, por lo que puede ofrecerse una alternativa de solución de T con lacondicíón de Q decreciente en valor constante para intervalos t idénticos en cada rama dela recesión. Para este análisis pude partirse de un modelo de semejanza dinámicaconsiderando el idéntico comportamiento de un pozo de bombeo en que ocuredecrecimiento del gasto producido por una respuesta del campo de propiedades físicas(Molerio, 1989) y no por una regulación art¡ficialdel bombeo. Las causas del fenómeno noseÉn estudiadas aquí, lo que se reserva para un tratamiento posterior.

Para el caso de los pozos sometidos a bombeo, la solución de T fue propuesta por AbuZied y Scott (f 963), Abu Zied, Scott y Aron (1964), y Aron y Scott (1965).

Fig. 4. Tres casos de dependencia de la funcional AH.

'ogAtz

log R

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Una altemativa para el qálculo de la transmisividad regionalizada de acuíferos c.ársicos en régimen no influenciado

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Según Abu Zied y Scott (1963), Abu Zied, Scott y Aron (1964), y Aron y Scott (1965), etproblema, en un pozo, puede examinarse del modo siguiente.

Considerando un pozo sometido a bombeo con un valor de gasto Qo que decrece enintervalos regulares AQb = e Qo, en t¡empos t1, t2, tn (fig. 5), el abatimiento S,(decrecimiento del nivel piezométrico en cualqu¡er punto situado a una distancia r del pozobombeado en un tiempo tn, puede expresarse por la fórmula general de Theis (1935), demanera que,

n(12)

^H = Qo/4¡T t W(u) - e X W(u)f

i=1

@

en la que, Iw(u)il = I1,¡iexp (-u) du/u, es la función de pozo de Theis y u¡ = ls/4T(t"-t¡).Es conocido que para valores u¡ < 0.01 el valor aproximado de,

(13) tw(u)fl x - 0.577 - In u¡- tn12.25 T tn (1 - rJl lSl

en la que, r¡ = (L /t), de manera que, combinando (12) y (13) se obtiene que (fig. 5),n

l14l aH =Qo/47úTi(1 -ne) tn l2.2 'Ttn(1 -r) l lSl- [eXtn 1r -r i ) l Ii=1

Para simplificar, haciendo,1-ne=Tne=Fr=UtnF =QO-Qb/BQO

la sumatoria en (14) puede transformarse en una integral y, entonces,1

(15) ^H

= Qo/4zT (yW(u)n * 9l ln (1 - t) drr)0

Como no parece haber una relación matemática directa entre t y p , la integral,

(16) o = (p r) f In (1 - r) d¡^r

puede estimarse a partir de una serie de curvas parabólicas de la forma 1 = ¡¿ K, en la

que K es un entero arbitrario entre 2 y 8, de manera que expandiendo la serie,

(17) o (p) =f In ( '1 - pK) d¡r

se obtiene.

(18) 1/K+l + 112(2K+1) + 1/3(3K+1) + + +...

cuya convergencia constituye los valores que se presentan en la tabla 1.

Puede seleccionarse el valor de l. = f(t) construyendo las curvas con los valores de latabla 1, de manera que el decrecimiento de Q pueda comparase y, entonces, seleccionar elvalor adecuado de K. Por ello, si se cumple que u < 0.01 y W(u) > 4.O, a menos que B semayor que y, el término y W(u) en la ecuación (15) es, al menos, diez veces

I(19) Bo(p ,r) = B f tn 1t - "¡

op0

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I t t+ l

Fig. 5. Variables de la ecuación (14).

Tabla 1. Valores de Afu) y K.

Teóricamente ocure que, cuando el tiempo progresa, B se incrementa; T decrece; W(u)aumenta y O(p,t) disminuye, por lo que parece que, entonces, FO(p ,r) es independientedel tiempo t, y de la distancia r y, si el valor comparado con T W(u) es pequeño, puedeconsiderarse una constante, de manera que la ecuación (15) puede simplificarse a laexpresión siguiente:

(20) ^H

= (Qo/4ztT) (1n2.25 TVfS) + he

de manera que yQo es la descarga en cualquier tiempo t y he es un abatimientoincremento provocada por la descarga inicial superior. Siendo Q la descarga en cualquiermomento t, y Qm la descarga media en t, desde o a t, he es causado por (Qm - e)t en todael área de influencia, por lo que puede considerarse que ocurra a una distancia ri tal que In2.25 TUri'S = 0 y, para el flujo radial, el área de influencia es:

(211 Aí = n n2= 2.25 nTlJ S

Q\ ne = (Qm - OX / AiS = (Qm - Q)l 2.25 r'l

DETERMINACIÓN DE LA TRANSMISIVIDAD

A partir de un gráfico H/Q = f(log t) se modifica la expresión de Jacob (1940), de maneraque se plantea, entonces (fig. 6).

Tomando Qn constante para un instante tn a distancia r, entonces (22) se convierte en:(23) T= (2.3 Qn Alog r)/ (2nLH) = (0.366 Qn Alog r)/ AH

de manera que (22) y (23) permiten el cálculo de T aplicándolo a un sistema acuíferodrenado en recesión, mientras se disponga de registro de niveles en pozos de observaciónen su área de influencia.

El modelo aquí presentado, aunque parte del modelo de Theis por lo que, por supuesto,muchos de las premisas en que se basa no son aplicables al carso, puede ser aplicadopartiendo del criterio de creación -o identificación de medios continuos equivalentes-. Porello, aquellos modelos analíticos que consideran diferentes condiciones del acuífero

Qo =,1/e Qot,t+{

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pueden, en princ¡pio, resolverse sustituyendo en (12) el valor de la función del pozo. Asípuede procederse en los casos que se presentan en la tabla 2, para diferentes condicionesde contomo.

logt

Fig. 6. lndicadores de cálculo de Ia Transmisividad.

Condiciones analíticaAcuífero confinado T=(Q/4¡H) W(u)

T=1Q/2trH) (Ko(r/L)

_ - 111"J

Acuíferosemiconfinado

Acuíferosemiconfinado

1= (Q / 4z H) J (1/y) exp

l-y -(?t4L2y\ldyT=(Ql4n1= (Q/4zr 0.5 H) tKo(r/L) l

f= (Q / 4z H) W(u,0r-J

= rl2LAcuífero libre,semilibre ys€miconf¡nado

1= (Q / 4z H) W(ur, r/B)

1= (Q / 2n H ¡.) G(x,y)

Acuífero l¡bre oconf¡nadoAcuÍfero libre oconf¡nadoAcuífero libre,homogéneo,

l=(Q/4nH) W(u)

libre, T=(Q/4nH') \/V"(t,u'o)homogéneo,

Tabla 2. Modelos de cálculo de la transmisiviclad para diferentes cond¡c¡ones de contomo delgoblema (tomado de Krusemann y de Ridder, 1974).

EFECTO DE LA MORFOLOGíN OT UZONA DE DESCARGA

El cálculo de la transmisividad, como variable regionalizada, según se deriva de lasc¡Jryas de agotamiento de niveles y caudales está afectado por la morfología de la zona dedescarga del acuífero, en tanto la constante 0.183 surge de dividir el valor 2.3 de laecuación general de Theis, que representa la relación entre los logaritmos neperianos y los

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de base 10 por 27r, que muestrE¡ la presunción básica del movimiento radial det flujo a 360o.

Tomando en consideración que el drenaje hacia la fuente puede encontrarse a ángulos

inferiores, el valor de la constante debe ajustarse mediante el valor conespondiente de t,como se muestra en la fig. 7 (Molerio, 1975,1982; Molerio et. al' 1996)'

\p¡= 99 gedos

piÉ 30 grados

Fig. 7. Variación del coeñciente 2.3/2r en el cálculo de Ia Transmisividad regionalizada en función delacomodamiento de las llneas de flujo a la mofiología del impermeable en la zona cle clescarga.

LISTA DE SíMBOLOS

:ik

:s

i : ; : : : : i i . : : l i: : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : \ -+: : : : : : : : : : : : : : : : : l I: : : : : : : : : : : : : : : : : : : \ü-: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ;

Q = gastoti,t = tiempoh,H = carga hidráulicac¿ = coef¡c¡ente de agotamientoq1 = gasto al final de un tiempo tn cualquiera igual al tiempo que corresponde eldecrecimiento de caudal en una rama de la curva de agotamientoHf = carga hidráulica final, definida como en la variable anteriorHo = carga hidráulica inicialü/tr = relación entre los tiempos en que ocune un AHAH, szlsr = diferencia de abatimiento en un pozoAs = pend¡ente de la curva s=f (log t)S = coeficiente de almacenamientoAR = variación de reservasy,x = variablesc = constanter = distancia del pozo central al de observaciónR = radio de influenciato = tiempo inicial de bombeohe = enor en el valor de abatimiento o carga hidráulicaQ¡ = gasto medioQ = qasto en cualouier momento t

Una alternativa para el eálculo de la transmisividad regionalizada de acuíferos cársicos en regimen no influenciado

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