ConvencionesFórmulas de un lenguaje: Conjunto numerable de variables: Constantes individuales: Símbolos conectivos: Conjunto finito de símbolos cuantificadores: Símbolos funcionales de aridad n: Símbolos relacionales de aridad n: Símbolos de agrupación: ( , ), [, ], {, }, …

Definiciones

Definición 1 (Lenguaje)Un lenguaje, , es una colección no vacía de al menos los siguientes tres conjuntos:Numerable de fórmulas atómicas o variables individuales.Finito de símbolos conectivos.Finito de símbolos auxiliares de agrupaciónEjemplo:

Definición 2 (Conjunto de Fórmulas bien Formadas)

Definición 3 (Subfórmula) es subfórmula de si, y sólo si:

Definición 4 (Teoría Formal sobre un leguaje ) es una Teoría Formal si consta de los siguientes elementos:Un lenguaje Un conjunto de Axiomas.Un conjunto de reglas de la forma:

Una Introducción a la Teoría de Modelos

Jonathan Julián Huerta y Munive1, Dr. Iván Martínez Ruiz1.1Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas-BUAP.

INTRODUCCIÓNDurante la primera mitad del siglo XX surgió la Grundlagenkrise der Mathematik originada por el hallazgo de varias paradojas en algunas ramas de las matemáticas. Por ello surgieron varias escuelas de pensamiento : la Escuela Formalista dirigida por David Hilbert, la escuela Intuicionista , por L. E. J. Brouwer y la escuela logicista, por Bertrand Russell y Alfred North Whitehead. Gracias a esto, la Lógica Matemática y, más recientemente, la Teoría de Modelos se desarrollaron ampliamente y generaron diversos resultados de aplicación tanto en la computación, física y las mismas matemáticas como en la resolución parcial de la crisis.OBJETIVOSEn el trabajo se expusieron una serie de definiciones y resultados elementales de la Lógica Matemática con el propósito de introducir al lector en dicha área del conocimiento humano y al investigador en los cimientos básicos para desarrollar en un futuro una investigación de mayor impacto en la comunidad científica.

METODOLOGÍASe tomaron las convenciones expuestas a continuación y se investigaron las definiciones en material bibliográfico con el objetivo de demostrar diversos teoremas y propiedades:

CONCLUSIÓNSe han desarrollado los conceptos fundamentales de la Lógica Matemática los cuales también sirven de base para comprender la Teoría de Modelos:•Se indujo un método de demostración denominado por complejidad de la fórmula.•Se demostró el Teorema de la Deducción para el Cálculo Proposicional Clásico.•El Cálculo Proposicional Clásico es una Teoría Formal Completa y Consistente.•La Lógica Intuicionista está propiamente contenida en la Lógica Clásica.•Se indujo un método de demostración denominado por complejidad del término.•Se demostró que es posible realizar una valuación para las Lógicas de 1º Orden.

RESULTADOSA continuación se enuncian los teoremas y propiedades más importantes obtenidas durante la investigación:

Definiciones 5 (Prueba, Teorema y consecuencia de un conjunto)

Definiciones 6 (Consistencia) es consistente es absolutamente consistente

Definición 7 (Término)

Propiedades, Lemas, Teoremas, Corolarios y Construcciones:

Teorema1 (Inducción sobre la complejidad de la fórmula)Sea P una propiedad y denotando por al enunciado “ satisface la propiedad P.” Si existe tal que:

Entonces

Propiedad 1: y tiene conectivos, entonces tiene a lo más subfórmulas.Propiedad 2: La relación de ser subfórmula es de orden parcial, es decir, es reflexiva, transitiva y antisimétrica.

Cálculo Proposicional Clásico (CPropC)

Lema 1 (Lema de Kalmár)Si ; ; es subfórmula de y además:

Entonces:

Teorema 2 (Teorema de la Deducción para el CPropC)

Teoremas 3 (Teoremas de Completitud y Consistencia) (El Cálculo Proposicional Clásico es completo) (El Cálculo Proposicional Clásico es consistente)